Fonksiyonların türevlerini almayı öğrenin. Türev, bir fonksiyonun grafiğinde yer alan belirli bir noktadaki değişim oranını karakterize eder. Bu durumda grafik düz bir çizgi veya eğri bir çizgi olabilir. Yani türev, fonksiyonun belirli bir zaman noktasındaki değişim oranını karakterize eder. Türevlerin alındığı genel kuralları hatırlayın ve ancak bundan sonra bir sonraki adıma geçin.

• Makaleyi oku.
• En basit türevlerin, örneğin üstel bir denklemin türevinin nasıl alınacağı açıklanmaktadır. Aşağıdaki adımlarda sunulan hesaplamalar burada açıklanan yöntemlere dayalı olacaktır.

Eğimin bir fonksiyonun türevine göre hesaplanması gereken problemleri birbirinden ayırmayı öğrenin. Görevlerde bir fonksiyonun eğimini veya türevini bulmak her zaman önerilmez. Örneğin, bir fonksiyonun A(x, y) noktasındaki değişim oranını bulmanız istenebilir. Ayrıca A(x, y) noktasındaki teğetin eğimini bulmanız da istenebilir. Her iki durumda da fonksiyonun türevini almak gerekir.

Verilen fonksiyonun türevini alın. Burada bir grafik oluşturmanıza gerek yok; yalnızca fonksiyonun denklemine ihtiyacınız var. Örneğimizde fonksiyonun türevini alın f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x). Türevi yukarıda belirtilen makalede belirtilen yöntemlere göre alın:

Eğimi hesaplamak için size verilen noktanın koordinatlarını bulunan türevin yerine koyun. Fonksiyonun türevi belirli bir noktadaki eğime eşittir. Başka bir deyişle f"(x), fonksiyonun herhangi bir (x, f(x)) noktasındaki eğimidir. Örneğimizde:

Bağımsız değişken x'in (argüman) belirli bir değerini verdikten sonra, bağımlı değişken y'nin karşılık gelen değerini hesaplamak için uygundur. Örneğin, bir fonksiyona y \u003d x 2 verilirse, yani. f (x) \u003d x 2, o zaman x \u003d 1 için y \u003d 1 2 \u003d 1 elde ederiz; kısaca şu şekilde yazılır: f (1) \u003d 1. x \u003d 2 için f (2) \u003d 2 2 \u003d 4, yani y \u003d 4 elde ederiz; x \u003d - 3 ile f (- 3) \u003d (- Z) 2 \u003d 9, yani y \u003d 9 vb. elde ederiz.

Zaten 7. sınıfta, y \u003d f (x) eşitliğinde sağ tarafın, yani. f(x) ifadesi yukarıda sıralanan dört durumla (C, kx, kx + m, x 2) sınırlı değildir.

Örneğin, parçalı fonksiyonlarla zaten tanışmıştık, yani. işlevler farklı aralıklarla farklı formüllerle verilir. İşte böyle bir fonksiyon: y = f(x), burada

Bu tür fonksiyonların nasıl çizileceğini hatırlıyor musunuz? Öncelikle bir y \u003d x 2 parabol oluşturmanız ve x'te onun yerini almanız gerekir.< 0 (левая ветвь параболы, рис. 1), затем надо построить прямую у = 2х и взять ее часть при х >0 (Şek. 2). Ve son olarak, seçilen her iki parça da tek bir şekilde birleştirilmelidir, yani aynı koordinat düzlemi üzerine inşa edilmelidir (bkz. Şekil 3).

Şimdi görevimiz şu: öğrenilen işlevler stokunu yenilemek. Gerçek hayatta, yalnızca yukarıda listelediklerimiz değil, y \u003d f (x) formundaki çeşitli matematiksel modellerle açıklanan süreçler vardır. Bu bölümde y = kx 2 fonksiyonunu ele alacağız, burada katsayı k - sıfırdan farklı herhangi bir sayı.

Aslında y = kx 2 fonksiyonu bir durumda size tanıdık geliyor. Bakınız: eğer k \u003d 1 ise, o zaman y \u003d x 2 elde ederiz; Bu fonksiyonu 7. sınıfta incelediniz ve muhtemelen grafiğinin bir parabol olduğunu hatırlıyorsunuz (Şekil 1). k katsayısının diğer değerleri için ne olacağını tartışalım.

İki işlevi düşünün: y \u003d 2x 2 ve y \u003d 0,5x 2. İlk y \u003d 2x 2 fonksiyonu için bir değerler tablosu yapalım:

(0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1.5; 4.5), (-1.5; 4.5) noktalarını oluşturun. koordinat uçağı(Şekil 4); bir çizgi çiziyorlar, hadi çizelim (Şekil 5).

İkinci fonksiyon y \u003d 0,5x 2 için bir değerler tablosu yapalım:

(0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), C; noktalarını oluşturun; 4.5), (-3; 4.5) koordinat düzleminde (Şekil 6); bir çizgi çiziyorlar, hadi çizelim (Şek. 7)

.

Şekil 2'de gösterilen noktalar. 4 ve 6 bazen karşılık gelen fonksiyon grafiği için kontrol noktaları olarak anılır.

Şekil 1, 5 ve 7'yi karşılaştırın. Çizilen çizgilerin benzer olduğu doğru değil mi? Her birine parabol denir; bu durumda (0; 0) noktasına parabolün tepe noktası, y eksenine ise parabolün simetri ekseni adı verilir. K katsayısının değeri, parabolün dallarının yukarı doğru "aspirasyon hızını" veya dedikleri gibi parabolün "diklik derecesini" belirler. Şekil 2'de bu açıkça görülmektedir. Şekil 8'de yukarıda oluşturulan üç parabolün tümü aynı koordinat düzleminde yer almaktadır.

Durum, y \u003d kx 2 formundaki diğer herhangi bir fonksiyonla tamamen aynıdır, burada k\u003e 0. Grafiği, başında tepe noktası olan bir paraboldür. koordinatlar, parabolün dalları yukarı doğru yönlendirilir ve ne kadar dik olursa k katsayısı da o kadar büyük olur. Y ekseni parabolün simetri eksenidir. Bu arada, kısaltma adına, matematikçiler genellikle "y \u003d kx 2 fonksiyonunun grafiği olarak hizmet eden parabol" uzun ifadesi yerine "parabol y \u003d kx 2" derler ve " terimi yerine " parabolün simetri ekseni” için “parabol ekseni” terimini kullanırlar.

y = kx fonksiyonuyla bir benzerlik olduğunu fark ettiniz mi? Eğer k > 0 ise, y \u003d kx fonksiyonunun grafiği orijinden geçen düz bir çizgidir (hatırlayın, kısaca şunu söyledik: düz çizgi y \u003d kx) ve burada düz çizginin "dikliği" şunlara bağlıdır: k katsayısının değeri. Şekil 2'de bu açıkça görülmektedir. 9, burada bir koordinat sistemi gösterilmektedir çizelgeler doğrusal fonksiyonlar y = kx katsayısının üç değeri için

Y \u003d kx 2 fonksiyonuna dönelim. Negatif ft katsayısı durumunda işlerin nasıl yürüdüğünü öğrenelim. Örneğin fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım

y \u003d - x 2 (burada k \u003d - 1). Bir değerler tablosu oluşturalım:

(0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3;) noktalarına dikkat edin. - 9) koordinat düzleminde (Şekil 10); bir çizgi çiziyorlar, hadi çizelim (Şek. 11). Bu, tepe noktası (0; 0) noktasında olan bir paraboldür, y ekseni simetri eksenidir, ancak k>0 durumundan farklı olarak bu sefer parabolün dalları aşağıya doğru yönlendirilmiştir. K katsayısının diğer negatif değerleri için de durum benzerdir.

Yani fonksiyonun grafiği, köşesi orijinde olan bir paraboldür; y ekseni parabolün eksenidir; k>0 için parabolün dalları yukarı doğru u k için aşağıya doğru yönlendirilir<0.

Ayrıca y \u003d kx 2 parabolünün (0; 0) noktasında x eksenine temas ettiğini, yani parabolün bir dalının sanki x eksenine yapışıyormuş gibi düzgün bir şekilde diğerine geçtiğini not ediyoruz.

Tek bir koordinat sistemi oluşturursanız fonksiyon grafikleri y \u003d x 2 ve y \u003d - x2, o zaman bu parabollerin Şekil 2'de açıkça görüldüğü gibi x ekseni etrafında birbirlerine simetrik olduğunu görmek kolaydır. 12. Aynı şekilde y \u003d 2x 2 ve y \u003d - 2x 2 parabolleri x ekseni etrafında birbirine simetriktir (tembel olmayın, bunları oluşturun
aynı koordinat sisteminde iki parabol ve yapılan ifadenin geçerliliğini doğrulayın).

Genel olarak, y \u003d - f (x) fonksiyonunun grafiği, y \u003d f (x) fonksiyonunun x eksenine göre grafiğine simetriktir.

k > 0 için y \u003d kx 2 fonksiyonunun özellikleri

Bu fonksiyonun özelliklerini açıklarken, onun geometrik modeline (bir parabol) güveneceğiz (Şekil 13).

1. Herhangi bir x değeri için y \u003d kx 2 formülüne göre karşılık gelen y değerini hesaplayabileceğiniz için, işlev herhangi bir x noktasında (x argümanının herhangi bir değeri için) tanımlanır. Kısaca bu şu şekilde yazılır: Fonksiyonun tanım kümesi (-oo, +oo), yani koordinat çizgisinin tamamıdır.

2. x \u003d 0 için y \u003d 0; y > O'da . Bu aynı zamanda fonksiyonun grafiğinden de görülebilir (tümü x ekseninin üzerinde yer alır), ancak grafiğin yardımı olmadan da gerekçelendirilebilir: eğer

O halde iki pozitif sayı k ve x 2'nin çarpımı olarak kx 2 > O.

3. y = kx 2 sürekli bir fonksiyondur. Bu terimi şu ana kadar "bir fonksiyonun grafiği, kalemi kağıttan kaldırmadan çizilebilen düz bir çizgidir" cümlesinin eşanlamlısı olarak gördüğümüzü hatırlayın. Üst sınıflarda bir fonksiyonun sürekliliği kavramının geometrik gösterime dayalı değil, daha kesin bir matematiksel yorumu verilecektir.

4.y/ naim = 0 (x = 0'da elde edildi); nai6 mevcut değil.

Şunu hatırlayın (/naim, fonksiyonun en küçük değeridir ve Unib., fonksiyonun belirli bir aralıktaki en büyük değeridir; aralık belirtilmemişse, o zaman unaim- ve y naib sırasıyla en küçük ve en büyük değerlerdir) Tanım alanındaki fonksiyonun.

5. y \u003d kx 2 fonksiyonu x\u003e O için artar ve x için azalır< 0.

7. sınıf cebir dersinde, söz konusu aralıktaki grafiği soldan sağa doğru giden bir fonksiyonu "yokuş yukarı" artan ve artan olarak adlandırmayı kabul ettiğimizi hatırlayın. işlev, söz konusu aralıkta grafiği sanki "yokuş aşağı" gibi soldan sağa gidiyor - azalıyor. Daha kesin olarak şunu söyleyebiliriz: y \u003d f (x) fonksiyonuna X aralığında artan denir, eğer bu aralıkta argümanın daha büyük bir değeri fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık geliyorsa; y = f (x) fonksiyonuna, eğer bu aralıkta argümanın daha büyük değeri fonksiyonun daha küçük değerine karşılık geliyorsa, X aralığında azalan denir.

Cebir-7 ders kitabında bir fonksiyonun özelliklerini listeleme işlemine grafik okuyarak adını vermiştik. Fonksiyonların yeni özelliklerini inceledikçe grafiği okuma süreci bizim için giderek daha zengin ve daha ilginç hale gelecektir. Yukarıda sıralanan beş özelliği, 7. sınıfta orada çalışılan fonksiyonlar için tartışmıştık. Yeni bir özellik ekleyelim.

Bir fonksiyonun tüm değerleri belirli bir sayıdan büyükse, y = f(x) fonksiyonuna alttan sınırlı denir. Geometrik olarak bu, fonksiyonun grafiğinin bazılarının üstünde yer aldığı anlamına gelir. dümdüz, x eksenine paralel.

Şimdi bakın: y \u003d kx 2 fonksiyonunun grafiği, y \u003d - 1 (veya y \u003d - 2, önemli değil) düz çizgisinin üzerinde bulunur - Şekil 2'de çizilmiştir. 13. Dolayısıyla y - kx2 (k > 0) aşağıda sınırlı bir fonksiyondur.

Aşağıdan sınırlı fonksiyonların yanı sıra yukarıdan sınırlı fonksiyonlar da dikkate alınır. Fonksiyonun tüm değerleri belirli bir sayıdan küçükse, y - f(x) fonksiyonuna yukarıdan sınırlı denir. Geometrik olarak bu, fonksiyonun grafiğinin x eksenine paralel bir düz çizginin altında yer aldığı anlamına gelir.
Y = kx 2 parabolü için k > 0 olan böyle bir doğru var mı? HAYIR. Bu, fonksiyonun yukarıdan sınırlı olmadığı anlamına gelir.

Böylece bir özelliğimiz daha oldu, onu da yukarıda sıraladığımız beş özelliğe ekleyelim.

6. y = kx 2 (k > 0) fonksiyonu alttan sınırlı, üstten sınırsızdır.

k için y \u003d kx 2 fonksiyonunun özellikleri< 0

Bu fonksiyonun özelliklerini açıklarken geometrik durumuna güveniyoruz. modeli- parabol (Şekil 14).

1. Fonksiyon tanımlama alanı - (-oo, +oo).

2. x \u003d 0 için y \u003d 0; en< 0 при .

Z.y \u003d kx 2 sürekli bir fonksiyondur.
4. y nau6 = 0 (x = 0'da elde edilir), unaim mevcut değildir.

5. Fonksiyon x'te artar< 0, убывает при х > 0.

6. Fonksiyon yukarıdan sınırlıdır, aşağıdan sınırlı değildir.

Son özelliği açıklayalım: x eksenine paralel bir doğru vardır (örneğin, y = 1, Şekil 14'te çizilmiştir), öyle ki parabolün tamamı bu çizginin altında kalır; bu, fonksiyonun yukarıdan sınırlı olduğu anlamına gelir. Öte yandan, parabolün tamamı bu çizginin üzerinde olacak şekilde x eksenine paralel bir çizgi çizmek imkansızdır; bu, fonksiyonun aşağıda sınırlı olmadığı anlamına gelir.

Bir fonksiyonun özelliklerini sıralarken yukarıda kullanılan hareket sırası, kronolojik olarak bu şekilde geliştiği sürece bir yasa değildir.

Az çok belirli bir hareket sırasını yavaş yavaş geliştireceğiz ve bunu 9. sınıf cebir dersinde birleştireceğiz.

örnek 1 Segmentteki y \u003d 2x 2 fonksiyonunun en küçük ve en büyük değerlerini bulun: a) ; b) [- 2, - 1]; c) [- 1, 1,5].

a) y \u003d 2x 2 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturalım ve segmentteki kısmını seçelim (Şekil 15). 1/naim olduğunu fark ediyoruz. = 0 (x = 0'da ulaşıldı) ve y max = 8 (x = 2'de ulaşıldı).

b) y \u003d 2x 2 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturalım ve [- 2, - 1] segmentindeki kısmını seçelim (Şekil 16). 2/naim = 2 (x = - 1'de elde edilir) ve y max = 8 (x = - 2'de elde edilir) olduğuna dikkat edin.

c) y \u003d 2x 2 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturalım ve [- 1, 1.5] segmentindeki kısmını seçelim (Şekil 17). unanm = 0'a (x = 0'da ulaşıldı) ve y'ye x = 1,5 noktasında ulaşıldığına dikkat edelim; bu değeri hesaplayalım: (1,5) = 2-1,5 2 = 2-2,25 = 4,5. Yani ymaks = 4,5.

Örnek 2 Denklemi çözün - x 2 \u003d 2x - 3.

Çözüm. Cebir-7 ders kitabında şunu geliştirdik: algoritma Denklemlerin grafik çözümü, hatırlayın.

F (x) = g (x) denklemini grafiksel olarak çözmek için şunlara ihtiyacınız vardır:

1) y \u003d -x 2 ve y \u003d 2x -3 olmak üzere iki işlevi göz önünde bulundurun;
2) i/ = / (x) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun;
3) y \u003d g (x) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturun;
4) oluşturulan grafiklerin kesişme noktalarını bulun; apsis
Bu noktaların toplamı f(x) = g(x) denkleminin kökleridir.

Bu algoritmayı verilen denkleme uygulayalım.
1) İki fonksiyonu düşünün: y \u003d - x2 ve y \u003d 2x - 3.
2) Bir parabol oluşturalım - y \u003d - x 2 fonksiyonunun bir grafiği (Şekil 18).

3) y \u003d 2x - 3 fonksiyonunun bir grafiğini oluşturalım. Bu düz bir çizgidir, onu oluşturmak için grafikte herhangi iki noktayı bulmak yeterlidir. Eğer x \u003d 0 ise, o zaman y \u003d - 3; eğer x = 1 ise y = -1 olur. Yani (0; -3) ve (1; -1) olmak üzere iki nokta bulduk. Bu iki noktadan geçen düz çizgi (y \u003d 2x - 3 fonksiyonunun grafiği) aynı çizimde gösterilmiştir (bkz. Şekil 18).

4) Çizime göre düz çizgi ile parabolün A (1; -1) ve B (-3; -9) iki noktasında kesiştiğini görüyoruz. Bu, bu denklemin iki kökü olduğu anlamına gelir: 1 ve - 3, A ve B noktalarının apsisleridir.

Cevap: 1, -3.

Yorum. Tabii ki, grafik resimlere körü körüne güvenemezsiniz. Belki bize A noktasının koordinatları (1; - 1) varmış gibi görünebilir, ama aslında bunlar farklıdır, örneğin (0,98; - 1,01)?

Bu yüzden kendinizi kontrol etmek her zaman iyidir. Dolayısıyla, ele alınan örnekte, A (1; -1) noktasının y \u003d - x 2 parabolüne ait olduğundan emin olmanız gerekir (bu kolaydır - sadece A noktasının koordinatlarını y \ formülünde değiştirin) u003d - x 2; - 1 \u003d - 1 2 - doğru sayısal eşitlik elde ederiz) ve düz çizgi y \u003d 2x - 3 (ve bu kolaydır - sadece A noktasının koordinatlarını y \u003d 2x - formülüne yazın) 3; - 1 \u003d 2-3 - doğru sayısal eşitliği elde ederiz). Aynı şey 8. nokta için de yapılmalıdır. Bu kontrol, dikkate alınan denklemde grafiksel gözlemlerin doğru sonuca yol açtığını gösterir.

Örnek 3 Sistemi çöz

Çözüm. Sistemin ilk denklemini y \u003d - x 2 formuna dönüştürelim. Bu fonksiyonun grafiği Şekil 2'de gösterilen paraboldür. 18.

Sistemin ikinci denklemini y \u003d 2x - 3 formuna dönüştürüyoruz. Bu fonksiyonun grafiği, şekil 2'de gösterilen düz çizgidir. 18.

Parabol ve düz çizgi A (1; -1) ve B (- 3; - 9) noktalarında kesişir. Bu noktaların koordinatları verilen denklem sisteminin çözümüdür.

Cevap: (1; -1), (-3; -9).

Örnek 4. Bir y - f (x) fonksiyonu verildiğinde, burada

Gerekli:

a) f(-4), f(-2), f(0), f(1.5), f(2), f(3)'ü hesapla;

b) fonksiyonun bir grafiğini oluşturun;

c) bir grafik kullanarak bir fonksiyonun özelliklerini listeleyin.

a) x = - 4 değeri - koşulunu sağlıyorsa, bu nedenle fonksiyon tanımının ilk satırından f (-4) hesaplanması gerekir, f (x) = - 0,5x2 elde ederiz, bu da f (-4) anlamına gelir. = -0,5 . (-4) 2 = -8.

Benzer şekilde şunu da buluyoruz:

f(-2) = -0,5 . (-2) 2 =-2;
f(0) = -0,5 . 0 2 = 0.

Değer koşulu karşılıyor, dolayısıyla fonksiyon tanımının ikinci satırından hesaplanması gerekiyor. f(x) = x + 1 var, yani X = 1,5 değeri koşul 1'i karşılar< х < 2, т. е. f(1,5) надо вычислять по третьей строке задания функции. Имеем f (х) = 2х 2 , значит, f(1,5) = 2-1,5 2 = 4,5.
Benzer şekilde f(2)= 2 elde ederiz . 2 2 =8.

x = 3 değeri, fonksiyonun belirtilmesi için gereken üç koşuldan hiçbirini karşılamamaktadır ve bu nedenle f(3) bu durumda hesaplanamaz, x = 3 noktası fonksiyonun tanım kümesine ait değildir. f(3)'ü hesaplamak için yapılan atama yanlıştır.

b) “Parça parça” bir grafik oluşturabiliriz. Öncelikle y = -0,5x 2 parabolünü oluşturuyoruz ve bunun [-4, 0] doğru parçası üzerindeki kısmını seçiyoruz (Şekil 19). Sonra düz bir çizgi y \u003d x + 1 u oluşturuyoruz. (0, 1] yarım aralığındaki kısmını seçiyoruz (Şekil 20) Daha sonra y = 2x 2 parabolünü oluşturuyoruz ve (1, 2] yarım aralığındaki kısmını seçiyoruz (Şekil 21).

Son olarak, her üç "parça" da aynı koordinat sisteminde gösterilecektir; y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğini elde ederiz (Şekil 22).

c) Fonksiyonun özelliklerini listeleyelim veya anlaştığımız gibi grafiği okuyalım.

1. Fonksiyonun kapsamı [-4, 2] segmentidir.

2. x \u003d 0 için y \u003d 0; 0'da y > 0<х<2;у<0 при - 4 < х < 0.

3. Fonksiyon x = 0'da kesintiye uğrar.

4. Fonksiyon [-4, 2] segmentinde artar.

5. Fonksiyon hem aşağıdan hem de yukarıdan sınırlıdır.

6. y naim = -8 (x = -4'te elde edilir); ve nai6. = 8 (x = 2'de elde edilir).

Örnek 5 Y \u003d f (x) işlevi verilmiştir, burada f (x) \u003d Zx 2. Bulmak.

Doğrusal fonksiyon y = kx + m, m = 0 olduğunda y = kx olur. Bu durumda şunu görebilirsiniz:

1. Eğer x = 0 ise y = 0 olur. Dolayısıyla y = kx doğrusal fonksiyonunun grafiği k'nin değerine bakılmaksızın orijinden geçer.
2. Eğer x = 1 ise y = k olur.

Farklı k değerlerini ve bunun y'yi nasıl değiştirdiğini düşünün.

Eğer k pozitifse (k > 0), orijinden geçen düz çizgi (fonksiyon grafiği) I ve III koordinat çeyreklerinde yer alacaktır. Sonuçta pozitif k için x pozitif olduğunda y de pozitif olacaktır. Ve x negatif olduğunda y de negatif olacaktır. Örneğin, y = 2x fonksiyonu için x = 0,5 ise y = 1; eğer x = –0,5 ise y = –1.

Şimdi pozitif k koşulu altında üç farklı doğrusal denklemi düşünün. Şöyle olsun: y = 0,5x ve y = 2x ve y = 3x. Aynı x ile y'nin değeri nasıl değişir? Açıkçası k ile artar: ne kadar çok k, o kadar çok y. Bu da k değeri daha büyük olan düz çizginin (fonksiyon grafiği), x ekseni (apsis ekseni) ile fonksiyon grafiği arasında daha büyük bir açıya sahip olacağı anlamına gelir. Dolayısıyla, düz eksenin x ile hangi açıda kesiştiği k'ye bağlıdır ve bu nedenle k'den şu şekilde söz edilir: doğrusal fonksiyonun eğimi.

Şimdi k x'in pozitif olması durumunda y'nin negatif olacağı durumu inceleyelim; ve tersi: eğer x y > 0 ise. Böylece, k durumu için y = kx fonksiyonunun grafiği

Diyelim ki doğrusal denklemler var y = –0,5x, y = –2x, y = –3x. x = 1 için y = –0,5, y = –2, y = –3 elde ederiz. x = 2 için y = –1, y = –2, y = –6 elde ederiz. Dolayısıyla k ne kadar büyük olursa, x pozitifse y de o kadar büyük olur.

Ancak x = –1 ise y = 0,5, y = 2, y = 3. x = –2 için y = 1, y = 4, y = 6 elde ederiz. Burada k'nin değeri azaldıkça, y x'te artar

k için fonksiyonun grafiği

y = kx + m gibi fonksiyonların grafikleri, y = km grafiklerinden yalnızca paralel bir kayma ile farklılık gösterir.

Sınıf: 8

Ders için sunum

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemesi yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tamamını temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Ders türü: yeni bilgi keşfetme dersi.

Temel hedefler:

• işlev hakkında bir fikir oluşturmak y = kx 2, özellikleri ve grafikleri;
• tekrarla ve sabitle: özellik ayrıntıları y = x 2 7.sınıf dersinde bilinen fonksiyonun özellikleri.

Demo materyali:

1) bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak için algoritma:

2) K katsayısına bağlı olarak grafiğin konumunu belirleme kuralı:

3) bağımsız çalışma: Şek. y \u003d kx fonksiyonlarının grafikleri gösterilir 2 .

Her grafik için katsayıya karşılık gelen değeri belirtin İle.

4) bağımsız çalışmanın kendi kendine incelenmesi için bir örnek.

Bildiri:

1) kart:

1, 2 grup:

Grafik İşlevleri y= 2X 2 , y = 4X

3, 4 grup:

Grafik İşlevleri y=– 2X 2 , y = - 4X 2 ve bu fonksiyonların grafiklerinin hangi koordinat çeyreklerinde bulunduğunu belirleyin. k katsayısı hakkında bir sonuç çıkarın.

2) yansıma kartı:

DERSLER SIRASINDA

1. Öğrenme faaliyetleri için motivasyon

Hedefler:

• eğitim faaliyetleri açısından öğrencinin gereksinimlerinin gerçekleştirilmesini organize etmek;
• Tematik çerçeveyi oluşturmak için öğrencilerin etkinliklerini organize ediyoruz: işlevlerle çalışmaya devam ediyoruz;
• öğrencinin eğitim faaliyetlerine dahil edilmeye yönelik içsel ihtiyacının ortaya çıkması için koşullar yaratın.

1. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

- Merhaba! Önceki derslerde ne gibi ilginç şeyler öğrendiniz? (y = | x | fonksiyonunu, bu fonksiyonun grafiğini ve özelliklerini inceledik.)
– Bugün yeni özelliklerle tanışmaya devam edeceksiniz.
- Bugün nasıl çalışacaksın? (Güzel bir ruh hali ile).
- Sana başarılar diliyorum!

2. Bilginin hayata geçirilmesi ve bireysel faaliyetteki zorlukların giderilmesi

Hedefler:

• Yeni materyalin algılanması için gerekli ve yeterli olan eğitim içeriğini güncellemek.
• konuşmada ve işaretlerde güncellenmiş eylem yöntemlerini düzeltmek;
• güncellenmiş eylem yöntemlerinin bir sentezini organize etmek;
• bireysel bir görevi tamamlamaya motive etmek;
• yeni bilgi için bireysel bir görevin bağımsız olarak yerine getirilmesini organize etmek;
• Öğrencilerin bireysel bir görevin performansındaki veya gerekçesindeki bireysel zorlukların tespitini organize etmek.

2. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

2-5 arası birkaç slaytı analiz edin ve şu soruyu yanıtlayın:

Bugün hangi programla çalışacaksınız? (Bir parabol ile).

– Parabolün hangi fonksiyon grafiği olduğunu seçin en = X + 2, en = 2/X, y = x 2 ?(y=x 2 . Bu fonksiyonu 7. sınıfta incelemiştik).

- Fonksiyonun sayısal katsayısını adlandırın y = x 2 . (1'e eşittir)

- Fonksiyonun grafiği hangi koordinat bölgelerinde yer alır? y = x 2 , Bu fonksiyonun tanım alanı ve aralığı, artış ve azalış aralıkları nedir? (y = x fonksiyonunun grafiği 2 1 ve 2 koordinat çeyreğinde veya üst yarı düzlemde bulunur, tanım alanı tüm sayı doğrusudur, değer aralığı y \u003d x fonksiyonudur 2 negatif olmayan değerler alır; x'te artar > 0, x'te azalıyor < 0.)

Katsayının diğer değerlerinde ne olacağını tartışalım.

- Dersin konusunu formüle edin. (Fonksiyon y = kx 2 , özellikleri ve grafiği).

1) Tahtaya bir tablo hazırlanır. İlgili fonksiyon değerlerini bulun:

- Masayı doldurun. 4 öğrenci sırayla tahtaya çağrılır.

2) Fonksiyon Grafiği y = kx 2 A(2;8) noktasından geçer. Katsayının değerini belirleyin. Fonksiyonu yazın. (k = 2, y = 2x 2 ).

3) Fonksiyon grafiklerini genellikle hangi plana göre oluşturuyorsunuz? Slayt 7.

(Gerekli -
1. Değerler tablosunu doldurun
2. Koordinat düzleminde noktalar oluşturun
3. Oluşturulan noktaları düzgün bir çizgiyle birleştirin
4. İşlevin adını imzalayın.)

- Neyi tekrarladın?

- Şimdi tekrarladığınız ve öğrendiğiniz her şeyi kullanarak aşağıdaki görevi tamamlamanızı öneririm:
Grafik İşlevleri y= 2X 2 , y = - 4X 2 ve bu fonksiyonların grafiklerinin hangi koordinat çeyreklerinde bulunduğunu belirleyin. K katsayısına bağlı olarak grafiğin nasıl konumlandığı hakkında bir sonuca varın.

Öğrenciler grafik kağıdı üzerinde çalışırlar.

Kim sonuç alamıyor?
Neyi yapamadın? (Yapamadım__________________)
- İnşaatı tamamlayanların sonuçlarını gösterin.
Doğru şeyi yaptığınızı nasıl kanıtlayabilirsiniz? (Mecburum___________)
Kanıt olarak ne kullanacaksınız? (_______________.)
Neyi yapamadın?
İnşa ederken hangi kuralı kullandınız?
- Bunu yapamaz mısın?

3. Zorluğun nedenlerini belirlemek

Hedefler:

• eylemlerinin kullanılan standartlarla (algoritma, kavram vb.) ilişkisini organize etmek;
• Bu temelde, zorluğun nedeninin - orijinal sorunu çözmek için eksik olan belirli bilgi ve becerilerin - dış konuşmada tanımlanmasını ve sabitlenmesini organize edin.

3. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

Hangi görevi tamamlamanız gerekiyordu?
Görevi tamamlamak için ne kullandınız?
- Sorun nerede ortaya çıktı?
- Zorluğun nedeni nedir? (y \u003d kx2 fonksiyonunun grafiğinin k katsayısına bağlı olarak nasıl konumlandığını belirlemenin bir yolu yok.)

4. Yeni bilginin sorunlu açıklaması

Hedefler:

• dersin hedef belirlemesini organize etmek;
• dersin konusu hakkında açıklama ve anlaşma düzenlemek;
• yeni bilginin sorunlu bir şekilde tanıtılması konusunda yönlendirici veya teşvik edici bir diyalog düzenlemek;
• konu eylemlerinin kullanımını modeller, şemalar, özellikler vb. ile düzenlemek;
• konuşmada yeni bir eylem tarzının sabitlenmesini organize etmek;
• işaretlerde yeni bir eylem tarzının sabitlenmesini organize etmek;
• yeni bilginin bir ders kitabı, referans kitabı, sözlük vb. kurallarla ilişkilendirilmesi.
• zorlukların üstesinden gelmenin tespitini organize edin.

4. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

- Faaliyetinizin amacını belirtin. (Y \u003d kx fonksiyonunun grafiğinin nasıl konumlandığını belirlemenin bir yolunu bulun 2 k katsayısına bağlı olarak.)

- Dersin konusunu belirtin. (Fonksiyon y = kx 2 , özellikleri ve grafiği). slayt 6.

- Ve artık gruplar halinde çalışacaksınız: Slayt 8.

1, 2 grup:

Grafik İşlevleri y= 2X 2 , y = 4X 2 ve bu fonksiyonların grafiklerinin hangi koordinat çeyreklerinde bulunduğunu belirleyin. k katsayısı hakkında bir sonuç çıkarın.

3, 4 grup:

Grafik İşlevleri y = - 2X 2 ,y = - 4X 2 ve bu fonksiyonların grafiklerinin hangi koordinat çeyreklerinde bulunduğunu belirleyin. k katsayısı hakkında bir sonuç çıkarın.

Her gruba bir kart verilir. (Öğrenciler zorluk yaşıyorlarsa ders kitabı veya referans kitabından yararlanabilirler.)

- Algoritmanın versiyonunu sunun.

Grupların her biri kendi versiyonunu sunar, geri kalanı tamamlar ve netleştirir. Anlaşmanın ardından kural panoya asılır:

Öğretmen şunu ekliyor:

- Çizdiğiniz doğruların her birine parabol denir. Bu durumda (0;0) noktasına parabolün tepe noktası denir ve eksen en parabolün simetri eksenidir.
Parabolün dallarının yukarı (aşağı) “aspirasyon hızı”, parabolün “diklik derecesi” k katsayısının değerine bağlıdır.
Şimdi ne keşfettin?
- Şimdi ne yapmalısın?

5. Dış konuşmada birincil konsolidasyon

Hedef:çocukların dış konuşmadaki telaffuzlarıyla yeni bir eylem tarzının asimilasyonunu organize etmek.

5. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

- Fonksiyonların grafikleri hangi koordinat bölgelerindedir? en = 1/5X 2 , en = X 2 /2, en = – X 2 /2, en = 3X 2 ?

Görev çiftler halinde gerçekleştirilir, bir çift tahtada çalışır.

6. Örneğe göre kendi kendini muayene ederek bağımsız çalışma

Hedefler:

• yeni bir eylem tarzı için standart görevlerin öğrencilerinin bağımsız performansını organize etmek;
• bağımsız çalışmanın sonuçlarına dayanarak hataların tanımlanmasını ve düzeltilmesini organize etmek;
• Bağımsız çalışmanın sonuçlarına dayanarak bir başarı durumu yaratın.

6. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

Bağımsız çalışma için kartta bir görev sunulur. 9. slayt

Şek. fonksiyonların grafikleri gösterilir en = kx 2 .

Her grafik için, ona karşılık gelen k katsayısının değerini belirtin.

Çalışmayı tamamladıktan sonra öğrenciler modele göre kontrol ederler: Slayt 10.

Görevi tamamlamak için hangi kuralları kullandınız?
- Kim zorluk çekiyor - k katsayısının işareti nasıl belirlenir?
- K katsayısının değerini belirlemede kimler zorlandı?
Kim işini doğru yaptı?

7. Bilgi sistemine dahil olma ve tekrarlama

Hedefler:

• daha önce çalışılan materyalle birlikte yeni içeriği kullanma becerilerini geliştirmek;
• Aşağıdaki derslerde gerekli olacak öğrenme içeriğini gözden geçirin:

7. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

GIA-9'daki görev tahtada gerçekleştirilir. Slayt 11-16.

- Bugün derste defalarca tekrarlanan terimi belirleyin.(Grafik)

1. Bu fonksiyonlardan hangisinin grafiği alt yarı düzlemde yer alan bir paraboldür?

3. y \u003d - 5x2 fonksiyonunun aralığını bulun

A) en = –15X 2 B) en = – 9X 2 v) en = – X 2 G) en = – 5X 2

C ah F Ve

5. Y \u003d - 5x 2 fonksiyonunu artırma aralıklarını belirtin

a) en X > 0 b) ne zaman X < 0 kedi X< 0 d) en X > 0

H Ö Ve T

6. y \u003d - 5x 2 fonksiyonunun en küçük değerini belirtin

a) 0 b) mevcut değil 5'te 5

S İle D V.

Fizik görevleri: slayt 17.

Serbest düşüşün ilk t saniyesinde vücudun kat ettiği yol şu formülle hesaplanır: H = GT 2/2, burada G\u003d 9,8 m / sn 2. Grafikten H'nin bağımlılığını bulun T:

A) düşen bir taşın ilk 6 saniyede uçacağı mesafe;
B) Taşın ilk 250 m'yi ne kadar sürede uçacağı?

8. Etkinliklerin derse yansıması

Hedefler:

• derste çalışılan yeni içeriğin sabitlenmesini organize etmek;
• belirlenen hedefe ve faaliyet sonuçlarına uygunluk derecesinin belirlenmesini organize etmek;
• hedefe ulaşmak için adımların sözlü olarak belirlenmesini organize etmek;
• dersteki çalışmanın analizinin sonuçlarına dayanarak gelecekteki faaliyetler için talimatların belirlenmesini organize etmek;
• derste çalışan öğrencilerin öz değerlendirmesini organize etmek;
• Tartışma düzenleyin ve ödevleri kaydedin.

8. aşamada eğitim sürecinin organizasyonu:

- Bugün ne okudun?
- Derste ne gibi yeni şeyler öğrendin?
- Kendiniz için hangi hedefleri belirlediniz?
– Hedeflerinize ulaştınız mı?
- Zorluklarla başa çıkmanıza ne yardımcı oldu?
- Çalışmanızı sınıfta gözden geçirin.

Öğrenciler yansıma kartları (P) ile çalışırlar.

Ev ödevi: slayt 18.

• Ders kitabının P.17 paragrafı okundu
• №17.2,
• №17.3,
• №17.11.

Kaynakça:

1. A.G. Mordkovich. Cebir, 8. sınıf. İki bölüm halinde. Eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı. M.: Mnemozina.2011.
2. İnternet kaynakları.