Tanım: Dışbükey bir çokyüzlüye denir
tüm yüzleri doğruysa doğrudur
eşit düzgün çokgenler ve
köşelerinin her biri aynı şekilde yakınsar
aynı sayıda kaburga. Doğru
yalnızca beş çokyüzlü vardır: tetrahedron,
altı yüzlü, oktahedron, dodekahedron, ikosahedron.

dörtyüzlü
Oktahedron
Tetrahedron - en basit çokyüzlü, yüzler
bunlar dört üçgen. Şu tarihte:
tetrahedron 4 yüz, 4 köşe ve 6 kenardan oluşur. tetrahedron, sen
hepsinin yüzü eşkenar
üçgen denir
doğru. Doğruyu yap
tetrahedron kenarlardaki tüm dihedral açılar ve
Tüm üçgenlerin tepe açıları eşittir.
Oktahedron - 8 üçgen yüze, 12 kenara, 6
Her köşede 4 kenar buluşuyor.

Düzenli çokyüzlülere örnekler:

ikosahedron
Küp
Icosahedron - düzenli dışbükey
çokyüzlü, yirmi kenarlı. 20'nin her biri
yüzler
eşkenar üçgen. Kenar sayısı
30, köşe sayısı - 12. İkosahedron
59 yıldız şekli.
Küp düzenli bir çokyüzlüdür ve her yüzü
bu bir kare. Zirveler -
8, Kenarlar - 12, Yönler - 6.

Düzenli çokyüzlülere örnekler:

Onikiyüzlü
Dodecahedron - oluşur
on iki doğru
onun olan beşgenler
yüzler.
Dodecahedronun her köşesi
üç düzgün sayının tepe noktasıdır
beşgenler. Böylece,
dodecahedronun 12 yüzü vardır
(beşgen), 30 kaburga ve 20
köşeler (her birinde 3 kenar birleşir).

Özellikler ve formüller:

Düzenli bir tetrahedronun simetri unsurları:
Düzenli bir tetrahedronun merkezi yoktur
simetri. Ama üç ekseni var
simetri ve altı düzlem
simetri.

Düzenli bir oktahedronun simetri unsurları:

Düzenli bir oktahedronun bir merkezi vardır
simetri - eksenlerinin kesişme noktası
simetri. 9 uçaktan üçü
tetrahedronun simetrileri geçiyor
oktahedronun her 4 köşesi
bir uçak. altı uçak
simetriler iki köşeden geçer,
aynı yüze ait olmayan ve
Karşılıklı kaburgaların orta noktaları.

Düzenli bir ikosahedronun simetri unsurları:

Düzenli bir ikosahedronun 15 ekseni vardır
her biri geçen simetriler
karşıtların orta noktalarından
paralel kaburgalar. Kesişim noktası
ikosahedronun tüm simetri eksenlerinin
simetri merkezi. Yüzeyleri
simetri de 15. Düzlemler
simetriler dörtten geçer
Aynı düzlemde bulunan köşeler ve
Zıt paralellerin orta noktaları
pirzola.

Küp simetri elemanları:

Küpün bir simetri merkezi vardır.
köşegenlerinin kesişme noktası da
Simetri merkezinden 9 eksen geçer
simetri. Bir küpün simetri düzlemleri
ayrıca 9 ve ya geçiyorlar
zıt kaburgalar.

Düzenli bir dodecahedronun simetri unsurları:

Düzenli bir dodecahedronun bir merkezi vardır
simetri ve 15 simetri ekseni. Her biri
eksenlerden ortasından geçer
Karşılıklı paralel kenarlar.
Dodecahedronun 15 uçağı var
simetri. Uçaklardan herhangi biri
simetri her yüzde çalışır
üstten ve ortadan
karşı kaburga.

Tüm bilgiler şu kaynaklardan alınmıştır:

http://licey102.k26.ru/
http://math4school.ru
wikipedia.org
Geometride 10-11. Sınıflar için ders kitabı

Düzenli çokyüzlülere ilişkin en eski referanslardan biri Platon'un (MÖ) "Timaus" adlı eserindedir. Bu nedenle düzenli çokyüzlülere Platonik katılar da denir (her ne kadar Platon'dan çok önce biliniyor olsalar da). Her biri normal çokyüzlülerden ve toplamda beş tane var. Platon dört "dünyevi" elementle ilişkilidir: toprak (küp), su (ikosahedron), ateş (tetrahedron), hava (oktahedron) ve ayrıca "dünya dışı" element - gökyüzü (dodecahedron).

Düzenli bir çokyüzlü veya Platonik katı, mümkün olan en büyük simetriye sahip dışbükey bir çokyüzlüdür. Bir çokyüzlüye aşağıdaki durumlarda düzenli denir: dışbükeyse tüm yüzleri eşitse her köşede düzenli çokgenler aynı sayıda yüz birleşiyorsa tüm dihedral açıları eşitse

Altı yüzlü (küp) ve oktahedronla ilgili ilginç bir gerçeğe dikkat çekiyoruz. Bir küpün 6 ​​yüzü, 12 kenarı ve 8 köşesi varken, oktahedronun 8 yüzü, 12 kenarı ve 6 köşesi vardır. Yani, bir çokyüzlünün yüz sayısı diğerinin köşe sayısına eşittir ve bunun tersi de geçerlidir. Küp ve altı yüzlünün birbirine ikili olduğu söylenir. Bu aynı zamanda bir küp alıp yüzlerinin ortasında köşeleri olan bir çokyüzlü oluşturursanız, o zaman kolayca görebileceğiniz gibi bir oktahedron elde edeceğiniz gerçeğinde de kendini gösterir. Bunun tersi de doğrudur; oktahedronun yüzlerinin merkezleri küpün köşeleri görevi görür. Bu tam olarak oktahedron ve küpün ikiliğidir (şek.). Düzenli bir tetrahedronun yüzlerinin merkezlerini alırsak, yine düzenli bir tetrahedrona sahip olacağımızı anlamak kolaydır (Şek.). Dolayısıyla tetrahedron kendine ikilitir.

Ünlü matematikçi ve gökbilimci Kepler, düzenli olarak yazılmış ve tanımlanmış düzenli çokyüzlüler ve kürelerden oluşan bir güneş sistemi modeli oluşturdu. Kepler tarafından elde edilen gezegenlerin (düzenli çokyüzlülerin "gereksinimlerine" uygun olarak) düzenlenme sırası nedir? Satürn'ün yörüngesinin küresine bir küp yazılmıştı ve Jüpiter'in yörüngesinin küresi de onun içine yazılmıştı; bu küreye, içine bir tetrahedron sığar - Mars'ın yörüngesinin küresi; ayrıca: dodecahedron - Dünya'nın yörüngesinin küresi - ikosahedron - Venüs'ün yörüngesinin küresi - oktahedron - Merkür'ün yörüngesinin küresi.

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemesi yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tamamını yansıtmayabilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Dersin Hedefleri:

• Öğrencilere düzenli çokyüzlü kavramı ve beş tür düzenli çokyüzlü hakkında bilgi vermek,
• yeni materyallerin incelenmesinde bilgisayar teknolojisinin kullanımında becerilerin oluşumunu teşvik etmek
• bağımsız aktivitenin gelişimini, karşılaştırma ve genelleme yeteneğini teşvik etmek.

Ders ekipmanları:

• Multimedya projektörü, ekran, bilgisayarlar
• Sunum "Düzenli çokyüzlüler"
• Düzenli Çokyüzlülerin Modelleri
• Kartlar - görevler "Bitmiş çizimlere göre görevler" - Ek 1
• Tablo "Düzenli çokyüzlüler"
• Bildiri "Bulmaca" - Ek 2

DERSLERDE

1. Organizasyon anı(5 dakika.)

Dersin hedef belirlemesi (Konunun mesajı, dersin amacı ve çalışma düzeni)
Düzenli çokyüzlülerle ilgili bölüm doğası gereği tanımlayıcıdır, çalışması için bir ders ayrılmıştır. Düzenli çokyüzlülerle ilgili materyal, "Çokyüzlüler" bölümünü önemli ölçüde tamamlar ve mantıksal olarak tamamlar. Aslında çokyüzlülerin sınıflandırılması burada da devam ediyor; düzenli olanlar dışbükey çokyüzlülerden ayırt edilir.

2. Yeni materyal öğrenmek(15 dakika.)

Öğretmenin çalışmayı, öğrencilerin düzenli prizmalar, piramitler ve düzenli çokgenler hakkında önceden belirlenmiş fikirlerine dayanarak yeni "düzenli çokyüzlü" kavramının oluşturulacağı şekilde düzenlemesi gerekir.
Yalnızca beş tür düzenli çokyüzlünün varlığı kanıt olmadan bildirilmektedir. Bu teoremin ispatı ilgili seçmeli dersin derslerinde düşünülebilir.

Sunum "Düzenli çokyüzlüler"

Genel eğitim okullarının 10-11. sınıf öğrencileri ve meslek yüksekokulu öğrencilerine yönelik "Düzenli çokyüzlüler" konulu sunum hazırlandı. Materyal, düzenli çokyüzlüler, özellikleri ve özellikleri hakkında tarihsel bilgiler sunmaktadır. Çokyüzlülerin bulunabileceği çevredeki dünyadan örnekler verilmiştir. Sunum geometri derslerinde, seçmeli derslerde ve matematikteki ders dışı etkinliklerde kullanılabilir.

Derste sunum kullanmak zamandan tasarruf etmenize, materyalin çalışmasını daha ilginç, renkli ve sıradışı hale getirmenize olanak tanır.

Slayt 2, 3- Düzenli çokyüzlünün tanımı tanıtılır ve öğrenciler tanımı özümseme konusunda kendilerini kontrol ederler.
“Normal çokyüzlüler meydan okurcasına azdır, - L. Carroll bir keresinde şöyle yazmıştı: - ancak sayıca çok mütevazı olan bu müfreze, çeşitli bilimlerin derinliklerine inmeyi başardı.

Slayt 4-9- Sadece beş tip düzgün çokyüzlünün varlığı bildirilmiş ve her çokyüzlü için çizimi, üç boyutlu görüntüsü, yüzey gelişimi ve temel özellikleri sunulmuştur.
Antik çağlardan beri çokyüzlüler güzelliği, mükemmelliği ve uyumuyla insanların ilgisini çekmiştir.

Slayt 10– Tarihsel referans – Platon ve düzenli çokyüzlülerin tarihinden bilgiler.

slayt 11– Düzenli çokyüzlülerin elemanları, elemanlar arasındaki bağımlılık. Euler teoremi.

slayt15— Leonhard Euler

Düzenli çokyüzlülere özel ilgi, formlarının güzelliği ve mükemmelliği ile ilişkilidir. Doğada oldukça yaygındırlar.

Slaytlar 12, 13– Doğada, özellikle kristalografide düzenli çokyüzlüler.

Slayt 14– Sonuç ve ödev
Yeni malzeme incelendikten sonra, malzemenin asimilasyonu tel çerçeve ve çokyüzlülerin düzlemsel modelleri ve "Düzenli çokyüzlüler" tablosu kullanılarak kontrol edilir. Bundan sonra öğrenciler bitmiş çizimlere göre problemleri çözmeye başlarlar.

3. Sorun çözme(17 dk.) – Ek 1

№1. Bir kenarı 10 cm olan düzgün bir dört yüzlünün yüksekliğini bulunuz.

Verilen: ABCD düzgün bir dört yüzlüdür,
AB = 10 cm

Bulmak: tetrahedronun yüksekliği

Çözüm.

1) AF medyan ΔABС'dır, dolayısıyla BF = ______

2) _______ teoremine göre ΔABF'den AF'yi buluyoruz

AF 2 = AB 2 - BF 2

3) O, AF segmentini 2: 1 oranında böler, bu nedenle AO \u003d _____________________

4) Pisagor teoremine göre ΔADO'dan DO'yu buluruz

DO2 = ____________
DO = ____________

Cevap: ______cm

2 numara. Çözüm planını kullanarak sorunu çözün

Kristal, ortak bir tabana sahip iki düzenli piramitten oluşan bir oktahedron şeklindedir, piramidin tabanının kenarı 6 cm'dir Oktahedronun yüksekliği 14 cm'dir Kristalin yan yüzey alanını bulun .

Çözüm.

1) Skenar = 2 Spir = p ∙ SK (burada SK özdeyiştir, p ABCD'nin yarı çevresidir)

2) Tamam'ı bulun _________________________

3) SO’yu bulun ____________________________
______________________________________

4) SK ____________________________ bulun
______________________________________

5) Tarafı Hesaplayın ______________________
______________________________________

№3. Bir küpün zıt yüzlerinin paralel olmayan iki köşegeninin uçlarının bir tetrahedronun köşeleri olduğunu kanıtlayın.

4. Ek görev.

Bulmaca (çiftler halinde çalışın) Ek 2
Bir sınıfın veya öğrenci grubunun hazırlık düzeyine bağlı olarak onlara teklifler sunabilirsiniz. ek görev bir bulmaca şeklinde. Bir sınıfın veya grubun matematik becerileri düşükse, bir sonraki derste daha önce çalışılan materyalin tekrarı olarak çözüm için bir bulmaca önerilebilir.

5. Ders özeti(5 dakika.)

Dersin sonucu, dersin sonunda öğrencilerle yalnızca belirlenen hedeflerin uygulanmasının başarısı değil, aynı zamanda neyi sevdikleri (beğenmedikleri) ve neden, kişisel olarak onun için neyin yararlı olduğu konusunda bir tartışma yapılmasını sağlar. neyi tekrarlamak istediğini, gelecekteki çalışmalarında neyi değiştireceğini.

6. Ödev(3 dakika.)

Düzenli çokyüzlülerin (düzenli tetrahedron, küp, oktahedron) yüzeylerini tarayın.
30, 31, s.243 numaralı soruları yanıtlayın, Pogorelov A. V. "Geometri 10-11"
57 s. 249, 70 s. 248 numaralı problemleri çözün

Ödev, problem çözmeyi ve düzenli çokyüzlülerin taramalarını ve modellerini oluşturmayı içerir. Öğrenciler, dikkate alınan çokyüzlülerden hangisini gerçekleştireceklerini kendileri seçerler (sınıf veya grubu, normal çokyüzlülerin türlerinin sayısına göre beş gruba “bölebilir” ve her gruba normal çokyüzlülerden yalnızca birini yapmalarını önerebilirsiniz).

slayt 2

Giriiş. Tarihsel referans. Tetrahedron. Küp (altı yüzlü). Oktahedron. Dodekahedron. Icosahedron. Kendini kontrol et. Kaynaklar.

slayt 3

Giriiş.

Dışbükey bir çokyüzlü, yüzleri aynı sayıda kenara sahip düzenli çokgenler ise ve çokyüzlülerin her bir köşesinde aynı sayıda kenar birleşiyorsa, düzenli olarak adlandırılır. Beş tür düzenli dışbükey çokyüzlü vardır: tetrahedron, küp, oktahedron, dodecahedron, icosahedron.

slayt 4

TARİHSEL REFERANS.

Bütün bu çokyüzlü türleri antik Yunanistan'da biliniyordu. Öklid'in Elementler kitabının XIII. Kitabı bu güzel bedenlere ayrılmıştır. Bunlara Platon'un katıları da denir. Onun idealist dünya resminde önemli bir yer tutuyorlardı. Bunlardan dördü, içindeki dört "özü" veya "elementi" temsil eder: Tetrahedron ateştir, ikosahedron sudur, küp topraktır, oktahedron havadır. Tüm dünya görüşünü simgeleyen "var olan her şeyi" somutlaştıran dodecahedron, en önemlisi olarak saygı görüyordu.

slayt 5

TETRAHEDRON.

Yunancadan birebir çeviride "dört yüzlü", "dört yüzlü" anlamına gelir. Düzenli bir tetrahedronun yüzleri vardır - düzenli üçgenler; üç kenar her tepe noktasında birleşir. Tetrahedron, tüm kenarları eşit olan üçgen bir piramittir.

slayt 6

HEXAHEDR.

Yunanca'da "altı yüzlü", "altı yüzlü" anlamına gelir. Bir küpte tüm yüzler karedir; üç kenar her tepe noktasında birleşir. Küp, kenarları eşit olan dikdörtgen bir paralel yüzlüdür.

Slayt 7

OKTAHEDRON.

Yunanca'da "oktahedron", "oktahedron" anlamına gelir. Oktahedron yüzleri düzenli üçgenlerdir, ancak tetrahedrondan farklı olarak dört kenar, her bir köşede birleşir.

Slayt 8

DODECAHEDRON.

Yunanca'da "Dodecahedron", "dodecahedron" anlamına gelir. Dodecahedronun yüzleri düzenli beşgenlerdir. Her köşede üç kenar birleşir.

Slayt 9

İKOŞAHEDRON.

Yunanca'da "ikosahedron" "yirmi kenarlı" anlamına gelir. İkosahedron yüzleri düzenli üçgenlerdir, ancak tetrahedron ve oktahedrondan farklı olarak, her tepe noktasında beş kenar birleşir.

slayt 1

slayt 2

UZAYDA SİMETRİ “Simetri, bir kişinin düzeni, güzelliği ve mükemmelliği kavramaya ve yaratmaya çalıştığı fikirdir” (G. Weil) Simetri (“orantılılık”) herhangi bir dönüşüm sırasında ortaya çıkan yazışma, değişmezliktir (değişmezlik). Yani, örneğin bir cismin küresel simetrisi, bir noktayı yerinde tutarak uzayda rastgele açılarla döndürülmesi durumunda cismin görünüşünün değişmeyeceği anlamına gelir. Lenardo Da Vinci'nin "Vitruvius Adamı" (1490, Venedik)

slayt 3

UZAYDA SİMETRİ Eğer O, AA1 doğru parçasının orta noktası ise, A ve A1 noktalarına O (simetri merkezi) noktasına göre simetrik denir. O noktası kendisine simetrik kabul edilir. bir A1

slayt 4

UZAYDA SİMETRİ Düz çizgi AA1 doğru parçasının ortasından geçiyorsa ve bu parçaya dikse, A ve A1 noktalarına bir düz çizgiye (simetri ekseni) göre simetrik denir. A doğrusundaki her noktanın kendisine simetrik olduğu kabul edilir. A1

slayt 5

UZAYDA SİMETRİ A ve A1 noktaları, eğer bu düzlem AA1 doğru parçasının ortasından geçiyorsa ve bu doğru parçasına dik ise, bir düzleme (simetri düzlemi) göre simetrik olarak adlandırılır. Düzlemin her noktasının kendisine simetrik olduğu kabul edilir.

slayt 6

UZAYDA SİMETRİ Bir şeklin her noktası aynı şeklin bir noktasına göre simetrikse, bir noktaya (doğru, düzlem) şeklin simetri merkezi (eksen, düzlem) denir. Bir şeklin bir simetri merkezi (eksen, düzlem) varsa, o zaman merkezi (eksenel, ayna) simetriye sahip olduğunu söylerler.

Slayt 7

DÜZLEM ŞEKİLLERİNİN SİMETRİ ÖRNEKLERİ Paralelkenarın yalnızca merkezi simetrisi vardır. Simetri merkezi köşegenlerin kesişme noktasıdır.İkizkenar yamuğun yalnızca eksenel simetrisi vardır. Simetri ekseni yamuk tabanlarının orta noktalarından çizilen bir diktir.Eşkenar dörtgen hem merkezi hem de eksenel simetriye sahiptir. Simetri ekseni köşegenlerinden herhangi biridir; simetri merkezi - kesişme noktaları

Slayt 8

DÜZENLİ ÇOK YÜZLÜLER - 5 PLATON CİSİMİ En uzak galaksinin sakinleri bile, bizim bilmediğimiz düzenli dışbükey çokyüzlü şeklindeki zarları oynayamazlar. M. Gardner Bir dışbükey çokyüzlüye, eğer tüm yüzleri eşit düzenli çokgenlerse ve her bir köşe noktasında aynı sayıda kenar birleşiyorsa, düzenli denir. Ayrıca, normal bir çokgenin tüm kenarları eşittir, ortak kenarlı iki yüzü içeren tüm dihedral açılar gibi. n > veya = 6 için yüzleri n-gon olan düzgün bir çokyüzlü yoktur!

Slayt 9

DÜZGÜN TETRAEDER Dört eşkenar üçgenden oluşur. Köşelerinin her biri üç üçgenden oluşan bir köşedir. Her köşedeki düzlem açılarının toplamı tam olarak 180°'dir. Simetri elemanları: Tetrahedronun simetri merkezi yoktur, ancak 3 simetri ekseni ve 6 simetri düzlemi vardır. S toplam Hacim Yüksekliği Tepe Noktaları – 4 Yüz – 6 Kenar – 4

slayt 10

KÜP Altı kareden oluşur. Küpün her köşesi üç karenin tepe noktasıdır. Her köşedeki düzlem açılarının toplamı tam olarak 270°'dir. 6 yüz, 8 köşe ve 12 kenar Simetri unsurları: Küpün bir simetri merkezi vardır - küpün merkezi, 9 eksen ve simetri düzlemleri R opis. çevre S tam r uygun çevre

slayt 11

DÜZGÜN OKTAHEDRON Sekiz eşkenar üçgenden oluşur. Oktahedronun her köşesi dört üçgenden oluşan bir tepe noktasıdır. Her köşedeki düzlem açılarının toplamı 240°'dir. Simetri unsurları: Oktahedronun bir simetri merkezi vardır - oktahedronun merkezi, 9 simetri ekseni ve 9 simetri düzlemi 8 yüz 6 köşe 12 kenar