3.1. Kanonske jednadžbe pravca.

Neka je u koordinatnom sustavu Oxyz dana ravna crta koja prolazi točkom

(vidi sliku 18).Označimo sa
vektor paralelan zadanoj pravoj. Vektor nazvao vektor usmjeravanja pravca. Uzmimo točku na ravnoj liniji
i razmotrite vektorske vektore
su kolinearni, stoga su im odgovarajuće koordinate proporcionalne:

(3.3.1 )

Ove se jednadžbe nazivaju kanonske jednadžbe ravno.

Primjer: Napišite jednadžbe pravca koji prolazi točkom M(1, 2, –1) paralelno s vektorom

Riješenje: Vektor je vektor smjera željene linije. Primjenom formula (3.1.1) dobivamo:

Ovo su kanonske jednadžbe pravca.

Komentar: Okretanje na nulu jednog od nazivnika znači okretanje na nulu odgovarajućeg brojnika, odnosno y – 2 = 0; y = 2. Ovaj pravac leži u ravnini y = 2, paralelnoj s ravninom Oxz.

3.2. Parametarske jednadžbe pravca.

Neka je pravac zadan kanonskim jednadžbama

Označimo
Zatim
Vrijednost t naziva se parametar i može uzeti bilo koju vrijednost:
.

Izrazimo x, y i z kroz t:

(3.2.1 )

Dobivene jednadžbe nazivaju se parametarske jednadžbe pravca.

Primjer 1: Sastavite parametarske jednadžbe pravca koji prolazi točkom M (1, 2, –1) paralelno s vektorom

Riješenje: Kanonske jednadžbe ove linije dobivene su u primjeru paragrafa 3.1:

Da bismo pronašli parametarske jednadžbe pravca, primijenimo izvođenje formula (3.2.1):

Tako,
- parametarske jednadžbe zadane linije.

Odgovor:

Primjer 2. Napišite parametarske jednadžbe za pravac koji prolazi točkom M (–1, 0, 1) paralelno s vektorom
gdje je A (2, 1, –1), B (–1, 3, 2).

Riješenje: Vektor
je vektor smjera željene linije.

Nađimo vektor
.

= (–3; 2; 3). Pomoću formula (3.2.1) zapisujemo jednadžbe pravca:

su tražene parametarske jednadžbe pravca.

3.3. Jednadžbe pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke.

Jedna ravna crta prolazi kroz dvije zadane točke u prostoru (vidi sliku 20). Neka su dani bodovi.Vektor
može se uzeti kao vektor smjera ove linije. Tada se jednadžbe mogu pronaći izravno prema formulama (3.1.1):
).

(3.3.1)

Primjer 1. Sastaviti kanonske i parametarske jednadžbe pravca koji prolazi kroz točke

Riješenje: Primjenjujemo formulu (3.3.1)

Dobili smo kanonske jednadžbe pravca. Za dobivanje parametarskih jednadžbi primjenjujemo izvođenje formula (3.2.1). Dobivamo

su parametarske jednadžbe ravne linije.

Primjer 2. Sastaviti kanonske i parametarske jednadžbe pravca koji prolazi kroz točke

Riješenje: Koristeći formule (3.3.1) dobivamo:

Ovo su kanonske jednadžbe.

Prijeđimo na parametarske jednadžbe:

- parametarske jednadžbe.

Dobivena ravna linija je paralelna s osi oz (vidi sliku 21).

Neka su u prostoru zadane dvije ravnine

Ako se te ravnine ne poklapaju i nisu paralelne, tada se sijeku pravocrtno:

Ovaj sustav dviju linearnih jednadžbi definira ravnu liniju kao crtu presjeka dviju ravnina. Od jednadžbi (3.4.1) može se prijeći na kanonske jednadžbe (3.1.1) ili parametarske jednadžbe (3.2.1). Da biste to učinili, morate pronaći točku
koji leži na ravnoj liniji i vektor smjera Koordinate točke
dobivamo iz sustava (3.4.1), dajući jednoj od koordinata proizvoljnu vrijednost (na primjer, z = 0). Iza vektora vodiča možete uzeti vektorski produkt vektora, tj

Primjer 1. Sastavite kanonske jednadžbe pravca

Riješenje: Neka je z = 0. Riješimo sustav

Zbrajanjem ovih jednadžbi dobivamo: 3x + 6 = 0
x = –2. Pronađenu vrijednost x = –2 zamijenimo u prvu jednadžbu sustava i dobijemo: –2 + y + 1 = 0
y = 1.

Dakle, točka
leži na željenoj liniji.

Da bismo pronašli vektor smjera ravne crte, zapisujemo normalne vektore ravnina: i nalazimo njihov vektorski produkt:

Jednadžbe pravca nalazimo pomoću formula (3.1.1):

Odgovor:
.

Drugi način: Kanonske i parametarske jednadžbe pravca (3.4.1) lako se mogu dobiti pronalaženjem dvije različite točke na pravcu iz sustava (3.4.1), a zatim primjenom formula (3.3.1) i izvođenjem formula (3.2 .1).

Primjer 2. Sastaviti kanoničku i parametarsku jednadžbu pravca

Riješenje: Neka je y = 0. Tada će sustav imati oblik:

Zbrajanjem jednadžbi dobivamo: 2x + 4 = 0; x = –2. Zamijenite x = –2 u drugu jednadžbu sustava i dobijete: –2 –z +1 = 0
z = –1. Dakle, našli smo poantu

Da bismo pronašli drugu točku, postavimo x = 0. Imat ćemo:

To je

Dobili smo kanonske jednadžbe pravca.

Sastavimo parametarske jednadžbe pravca:

Odgovor:
;
.

3.5. Relativni položaj dviju linija u prostoru.

Neka ravno
dati su jednadžbama:

:
;
:

.

Kut između ovih pravaca razumijeva se kao kut između njihovih vektora smjera (vidi sliku 22). Ovaj kut nalazimo pomoću formule iz vektorske algebre:
ili

(3.5.1)

Ako je ravno
okomito (
),Da
Stoga,

To je uvjet okomitosti dviju linija u prostoru.

Ako je ravno
paralelno (
), tada su im vektori smjera kolinearni (
), to je

(3.5.3 )

To je uvjet paralelnosti dviju linija u prostoru.

Primjer 1. Nađi kut između ravnih linija:

A).
I

b).
I

Riješenje: A). Zapišimo vektor smjera pravca
Nađimo vektor smjera
ravnine uključene u sustav. Zatim nalazimo njihov vektorski produkt:

(vidi primjer 1 klauzule 3.4).

Koristeći formulu (3.5.1) dobivamo:

Stoga,

b). Zapišimo vektore smjera ovih ravnih linija: Vektori
su kolinearni jer su im odgovarajuće koordinate proporcionalne:

Dakle, ravno je
paralelno (
), to je

Odgovor: A).
b).

Primjer 2. Dokažite okomitost pravaca:

I

Riješenje: Zapišimo vektor smjera prve ravnice

Nađimo vektor smjera druga ravna linija. Da bismo to učinili, pronalazimo normalne vektore
ravnine uključene u sustav: Izračunajmo njihov vektorski produkt:

(Vidi primjer 1 u stavku 3.4).

Primijenimo uvjet okomitosti pravaca (3.5.2):

Uvjet je ispunjen; dakle, linije su okomite (
).

Kako napisati jednadžbe pravca u prostoru?

Jednadžbe pravca u prostoru

Slično "ravnoj" liniji, postoji nekoliko načina na koje možemo definirati liniju u prostoru. Počnimo s kanonima - točkom i usmjeravajućim vektorom linije:

Ako je poznata određena točka u prostoru koja pripada pravcu i vektor smjera tog pravca, tada se kanonske jednadžbe tog pravca izražavaju formulama:

Gornji zapis pretpostavlja da su koordinate vektora pravca nije jednak nuli. Malo kasnije ćemo pogledati što učiniti ako su jedna ili dvije koordinate nula.

Isto kao u članku Jednadžba ravnine, zbog jednostavnosti ćemo pretpostaviti da se u svim problemima lekcije radnje provode u ortonormiranoj bazi prostora.

Primjer 1

Sastaviti kanonske jednadžbe pravca zadane točke i vektora smjera

Riješenje: Sastavljamo kanonske jednadžbe pravca pomoću formule:

Odgovor:

I nije pametno... iako, ne, uopće nije pametno.

Što biste trebali primijetiti o ovom vrlo jednostavnom primjeru? Prvo, dobivene jednadžbe NE TREBA reducirati za jedan: . Točnije, moguće ga je skratiti, ali neobično boli oko i stvara neugodnosti pri rješavanju problema.

I drugo, u analitičkoj geometriji dvije su stvari neizbježne - provjera i testiranje:

Za svaki slučaj, pogledamo nazivnike jednadžbi i provjerimo - Je li u redu tu su zapisane koordinate vektora pravca. Ne, ne razmišljaj o tome, nemamo nastavu u vrtiću Brake. Ovaj savjet je vrlo važan jer vam omogućuje potpuno uklanjanje nenamjernih pogrešaka. Nitko nije osiguran, što ako je krivo prepisao? Bit će nagrađen Darwinovom nagradom za geometriju.

Dobivene su točne jednakosti, što znači da koordinate točke zadovoljavaju naše jednadžbe, a sama točka stvarno pripada ovom pravcu.

Test se vrlo jednostavno (i brzo!) izvodi usmeno.

U velikom broju zadataka potrebno je pronaći neku drugu točku koja pripada zadanom pravcu. Kako to učiniti?

Uzimamo dobivene jednadžbe i mentalno “odštipnite”, na primjer, lijevi komad: . Sada izjednačimo ovaj komad na bilo koji broj(sjetite se da je već postojala nula), na primjer, na jedan: . Budući da , onda bi druga dva "komada" također trebala biti jednaka jedan. U biti, trebate riješiti sustav:

Provjerimo da li pronađena točka zadovoljava jednadžbe :

Dobivene su točne jednakosti, što znači da točka doista leži na zadanom pravcu.

Napravimo crtež u pravokutnom koordinatnom sustavu. U isto vrijeme, sjetimo se kako pravilno iscrtati točke u prostoru:

Izgradimo točku:
– iz ishodišta koordinata u negativnom smjeru osi crtamo segment prve koordinate (zelena točkasta linija);
– druga koordinata je nula, pa se „ne trzamo“ s osi ni lijevo ni desno;
– u skladu s trećom koordinatom izmjerite tri jedinice prema gore (ljubičasta točkasta crta).

Konstruirajte točku: izmjerite dvije jedinice "prema sebi" (žuta točkasta linija), jednu jedinicu udesno (plava točkasta linija) i dvije jedinice prema dolje (smeđa točkasta linija). Smeđa točkasta linija i sama točka superponirane su na koordinatnu os, imajte na umu da su u donjem poluprostoru ISPRED osi.

Sama ravna linija prolazi iznad osi i, ako me oko ne zavara, iznad osi. Ne fali, uvjerio sam se analitički. Ako bi ravna crta prolazila IZA osi, tada biste morali brisati gumicom dio crte iznad i ispod točke križanja.

Pravac ima beskonačan broj vektora smjera, na primjer:
(crvena strelica)

Rezultat je bio točno izvorni vektor, ali ovo je bila čista nesreća, tako sam odabrao točku. Svi vektori pravca su kolinearni, a njihove odgovarajuće koordinate proporcionalne (za više detalja, vidi Linearna (ne)ovisnost vektora. Osnova vektora). Dakle, vektori također će biti vektori smjera ove linije.

Dodatne informacije o izradi trodimenzionalnih crteža na kariranom papiru nalaze se na početku priručnika Grafovi i svojstva funkcija. U bilježnici su raznobojne točkaste staze do točaka (vidi crtež) obično tanko nacrtane jednostavnom olovkom koristeći istu točkastu liniju.

Pozabavimo se posebnim slučajevima kada su jedna ili dvije koordinate vektora pravca nula. Istovremeno, nastavljamo obuku prostornog vida, koja je započela na početku lekcije. Jednadžba ravnine. I opet ću vam ispričati priču o golom kralju - nacrtat ću prazan koordinatni sustav i uvjeriti vas da tamo postoje prostorne linije =)

Lakše je navesti svih šest slučajeva:

1) Za točku i vektor smjera, kanonske jednadžbe pravca rastavljaju se na tri pojedinac jednadžbe: .

Ili ukratko:

Primjer 2: napravimo jednadžbe ravne crte koristeći točku i vektor smjera:

Kakva je ovo linija? Vektor smjera pravca je kolinearan jediničnom vektoru, što znači da će ovaj pravac biti paralelan s osi. Kanonske jednadžbe treba shvatiti na sljedeći način:
a) – “y” i “z” trajnog, su jednaki konkretne brojke;
b) varijabla “x” može poprimiti bilo koju vrijednost: (u praksi se ova jednadžba obično ne zapisuje).

Konkretno, jednadžbe definiraju samu os. Doista, "x" poprima bilo koju vrijednost, a "y" i "z" uvijek su jednaki nuli.

Jednadžbe koje razmatramo mogu se protumačiti na drugi način: pogledajmo, na primjer, analitički zapis apscisne osi: . Uostalom, to su jednadžbe dviju ravnina! Jednadžba zadaje koordinatnu ravninu, a jednadžba zadaje koordinatnu ravninu. Dobro mislite - ove koordinatne ravnine sijeku se duž osi. Metodu kada je pravac u prostoru definiran sjecištem dviju ravnina razmotrit ćemo na samom kraju lekcije.

Dva slična slučaja:

2) Kanonske jednadžbe pravca koji prolazi točkom paralelno s vektorom izražavaju se formulama.

Takve ravne linije bit će paralelne s koordinatnom osi. Konkretno, jednadžbe određuju samu koordinatnu os.

3) Kanonske jednadžbe pravca koji prolazi točkom paralelno s vektorom izražavaju se formulama.

Ove su ravne linije paralelne s koordinatnom osi, a jednadžbe definiraju samu primjenjivu os.

Stavimo druga tri u štand:

4) Za točku i vektor smjera, kanonske jednadžbe pravca rastavljaju se na proporcije i jednadžba ravnine .

Primjer 3: sastavimo jednadžbe pravca pomoću točke i vektora smjera.

Neka l- neka ravna linija prostora. Kao u planimetriji, svaki vektor

A =/= 0, kolinearna linija l, nazvao vektor vodiča ovu ravnu liniju.

Položaj pravca u prostoru potpuno je određen zadavanjem vektora smjera i točke koja pripada pravcu.

Neka bude ravno l s vektorom vodičem A prolazi kroz točku M 0, a M je proizvoljna točka u prostoru. Očito je da točka M (slika 197) pripada pravcu l ako i samo ako je vektor \(\overrightarrow(M_0 M)\) kolinearan s vektorom A , tj.

\(\desna strelica(M_0 M)\) = t a , t\(\u\) R. (1)

Ako su točke M i M 0 zadane svojim radijus-vektorima r I r 0 (Sl. 198) u odnosu na neku točku O u prostoru, tada \(\overrightarrow(M_0 M)\) = r - r 0 , a jednadžba (1) ima oblik

r = r 0 + t a , t\(\u\) R. (2)

Jednadžbe (1) i (2) nazivaju se vektorsko-parametarske jednadžbe pravca. Varijabilna t u vektorsko-parametarskim jednadžbama pravac se naziva parametar.

Neka je točka M 0 pravac l i vektor smjera a dati su svojim koordinatama:

M 0 ( x 0 ; na 0 , z 0), A = (A 1 ; A 2 ; A 3).

Onda ako ( X; y; z) - koordinate proizvoljne točke M pravca l, To

\(\desna strelica(M_0 M) \) = ( x - x 0 ; y - y 0 ; z - z 0)

a vektorska jednadžba (1) ekvivalentna je sljedećim trima jednadžbama:

x - x 0 = ta 1 , y - y 0 = ta 2 , z - z 0 = ta 3

$$ \begin(cases) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end(cases) (3)$$

Jednadžbe (3) nazivaju se parametarske jednadžbe pravca u svemiru.

Zadatak 1. Napišite parametarske jednadžbe za pravac koji prolazi točkom

M 0 (-3; 2; 4) i ima vektor smjera A = (2; -5; 3).

U ovom slučaju x 0 = -3, na 0 = 2, z 0 = 4; A 1 = 2; A 2 = -5; A 3 = 3. Zamjenom ovih vrijednosti u formule (3), dobivamo parametarske jednadžbe ove linije

$$ \begin(cases) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, ​​​​\;\;t\in R\end(cases) $$

Isključimo parametar t iz jednadžbi (3). To se može učiniti jer A =/= 0, a time i jedna od koordinata vektora A očito se razlikuje od nule.

Neka su prvo sve koordinate različite od nule. Zatim

$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$

i stoga

$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$

Ove se jednadžbe nazivaju kanonske jednadžbe pravca .

Uočimo da jednadžbe (4) tvore sustav dviju jednadžbi s tri varijable x, y I z.

Ako se u jednadžbama (3) jedna od koordinata vektora A , Na primjer A 1 jednak nuli, tada eliminacijom parametra t, ponovno dobivamo sustav dviju jednadžbi s tri varijable x, y I z:

\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Ove se jednadžbe također nazivaju kanonske jednadžbe linija. Radi ujednačenosti, također se konvencionalno pišu u obliku (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

pod pretpostavkom da ako je nazivnik nula, tada je i odgovarajući brojnik također nula. Ove jednadžbe su jednadžbe pravca koji prolazi točkom M 0 ( x 0 ; na 0 , z 0) paralelno s koordinatnom ravninom yOz, budući da je njegov vektor smjera (0; A 2 ; A 3).

Konačno ako u jednadžbama (3) postoje dvije vektorske koordinate A , Na primjer A 1 i A 2 jednake nuli, tada ove jednadžbe imaju oblik

x = x 0 , g = na 0 , z = z 0 + t a 3 , t\(\u\) R.

Ovo su jednadžbe pravca koji prolazi točkom M 0 ( x 0 ; na 0 ; z 0) paralelno s osi Oz. Za tako ravnu liniju x = x 0 , g = na 0, a z- bilo koji broj. I u ovom slučaju, radi uniformnosti, jednadžba ravne linije može se napisati (s istim rezervama) u obliku (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Dakle, za bilo koji pravac u prostoru mogu se napisati kanonske jednadžbe (4), i obrnuto, svaka jednadžba oblika (4) pod uvjetom da je barem jedan od koeficijenata A 1 , A 2 , A 3 nije jednako nuli, definira neku ravnu liniju u prostoru.

Zadatak 2. Napišite kanonske jednadžbe pravca koji prolazi točkom M 0 (- 1; 1, 7) paralelno s vektorom A = (1; 2; 3).

Jednadžbe (4) u ovom slučaju se pišu na sljedeći način:

\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)

Izvedimo jednadžbe pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke M 1 ( x 1 ; na 1 ; z 1) i

M2( x 2 ; na 2 ; z 2). Očito, možemo uzeti vektor a = (x 2 - x 1 ; na 2 - na 1 ; z 2 - z 1), a iza točke M 0 kroz koju prolazi pravac, npr. točka M 1. Tada će se jednadžbe (4) napisati na sljedeći način:

\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)

Ovo su jednadžbe pravca koji prolazi kroz dvije točke M 1 ( x 1 ; na 1 ; z 1) i

M2( x 2 ; na 2 ;z 2).

Zadatak 3. Napišite jednadžbe pravca koji prolazi kroz točke M 1 (-4; 1; -3) i M 2 (-5; 0; 3).

U ovom slučaju x 1 = -4, na 1 = 1, z 1 = -3, x 2 = -5, na 2 = 0, z 2 = 3. Zamjenom ovih vrijednosti u formule (5), dobivamo

\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)

Zadatak 4. Napišite jednadžbe pravca koji prolazi kroz točke M 1 (3; -2; 1) i

M 2 (5; -2; 1/2).

Zamjenom koordinata točaka M 1 i M 2 u jednadžbe (5) dobivamo

\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)

Kanonske jednadžbe pravca

Formulacija problema. Nađite kanonske jednadžbe pravca zadanog kao presjecište dviju ravnina (opće jednadžbe)

Plan rješenja. Kanonske jednadžbe pravca s vektorom smjera prolazeći kroz datu točku , imaju oblik

. (1)

Dakle, da bismo napisali kanonske jednadžbe pravca, potrebno je pronaći njegov vektor smjera i neku točku na pravcu.

1. Kako pravac pripada objema ravninama istovremeno, njen vektor smjera je okomit na normalne vektore obiju ravnina, tj. prema definiciji vektorskog produkta imamo

. (2)

2. Odaberite neku točku na liniji. Budući da vektor smjera pravca nije paralelan s barem jednom od koordinatnih ravnina, pravac siječe tu koordinatnu ravninu. Prema tome, točka njezina sjecišta s ovom koordinatnom ravninom može se uzeti kao točka na pravcu.

3. Zamijenite pronađene koordinate vektora vođenja i pokažite u kanonske jednadžbe pravca (1).

Komentar. Ako je vektorski umnožak (2) jednak nuli, tada se ravnine ne sijeku (paralele) i nije moguće napisati kanonske jednadžbe pravca.

Problem 12. Napiši kanonske jednadžbe pravca.

Kanonske jednadžbe pravca:

,

Gdje – koordinate bilo koje točke na liniji, je njegov vektor smjera.

Pronađimo neku točku na liniji. Neka bude onda

Stoga, – koordinate točke koja pripada pravoj.

Pogledajmo primjer rješenja.

Primjer.

Nađite koordinate bilo koje točke na pravcu određenom u prostoru jednadžbama dviju ravnina koje se sijeku .

Riješenje.

Prepišimo sustav jednadžbi u sljedećem obliku

Kao bazni minor glavne matrice sustava uzimamo minor različit od nule drugog reda , odnosno z je slobodna nepoznata varijabla. Premjestimo članove koji sadrže z na desne strane jednadžbi: .

Prihvatimo , gdje je proizvoljan realni broj, tada .

Riješimo dobiveni sustav jednadžbi:

Dakle, opće rješenje sustava jednadžbi ima oblik , gdje je .

Ako uzmemo određenu vrijednost parametra, tada dobivamo određeno rješenje sustava jednadžbi, koje nam daje željene koordinate točke koja leži na zadanoj liniji. Uzmimo ga onda , dakle, je željena točka pravca.

Pronađene koordinate točke možete provjeriti tako da ih zamijenite u izvorne jednadžbe dviju ravnina koje se sijeku:

Odgovor:

Vektor smjera pravca po kojem se sijeku dvije ravnine.

U pravokutnom koordinatnom sustavu, smjerni vektor pravca je neodvojiv od pravca. Kada je pravac a u pravokutnom koordinatnom sustavu u trodimenzionalnom prostoru zadan jednadžbama dviju ravnina i , koje se sijeku, tada koordinate vektora usmjerivača pravca nisu vidljive. Sada ćemo pokazati kako ih odrediti.

Znamo da je pravac okomit na ravninu kada je okomit na bilo koji pravac koji leži u toj ravnini. Tada je vektor normale ravnine okomit na bilo koji vektor različit od nule koji leži u toj ravnini. Iskoristit ćemo ove činjenice da pronađemo vektor smjera pravca.

Pravac a leži i u ravnini i u ravnini. Stoga je vektor smjera pravca a okomit na vektor normale ravnina i normalni vektor avion Dakle, vektor smjera pravca a je I :

Skup svih vektora smjera ravne linije i možemo ga definirati kao , gdje je parametar koji može poprimiti bilo koju stvarnu vrijednost osim nule.

Primjer.

Pronađite koordinate bilo kojeg vektora pravca pravca koji je u Oxyz pravokutnom koordinatnom sustavu u trodimenzionalnom prostoru zadan jednadžbama dviju ravnina koje se sijeku .

Riješenje.

Normalni vektori ravnina su vektori I odnosno. Usmjeravajući vektor pravca, koji je sjecište dviju zadanih ravnina, vektorski je produkt normalnih vektora:

Odgovor:

Prijelaz na parametarske i kanonske jednadžbe pravca u prostoru.

Postoje slučajevi u kojima upotreba jednadžbi dviju ravnina koje se sijeku za opisivanje ravne linije nije sasvim prikladna. Neke probleme lakše je riješiti ako su poznate kanonske jednadžbe pravca u prostoru: ili parametarske jednadžbe pravca u prostoru oblika , gdje su x 1 , y 1 , z 1 koordinate određene točke na pravcu, a x , a y , a z su koordinate usmjeravajućeg vektora pravca, te je parametar koji poprima proizvoljne realne vrijednosti. Opišimo proces prijelaza s linearnih jednadžbi oblika kanonskim i parametarskim jednadžbama pravca u prostoru.

U prethodnim odlomcima naučili smo pronaći koordinate određene točke na pravcu, kao i koordinate određenog vektora smjera pravca koji je dan jednadžbama dviju ravnina koje se sijeku. Ovi podaci dovoljni su da se zapišu i kanonska i parametarska jednadžba ovog pravca u pravokutnom koordinatnom sustavu u prostoru.

Razmotrimo rješenje primjera, a nakon toga ćemo pokazati još jedan način pronalaženja kanonske i parametarske jednadžbe pravca u prostoru.

Primjer.

Riješenje.

Izračunajmo najprije koordinate vektora usmjeravanja pravca. Da bismo to učinili, nalazimo vektorski produkt normalnih vektora I avionima I :

To je, .

Odredimo sada koordinate određene točke na zadanoj liniji. Da bismo to učinili, pronaći ćemo jedno od rješenja sustava jednadžbi .

Determinanta različita od nule, uzmimo je kao bazni minor glavne matrice sustava. Tada je varijabla z slobodna, članove s njom prenosimo na desne strane jednadžbi, a varijabli z dajemo proizvoljnu vrijednost:

Dobiveni sustav jednadžbi rješavamo Cramerovom metodom:

Stoga,

Prihvatimo i dobijemo koordinate točke na liniji: .

Sada možemo napisati tražene kanonske i parametarske jednadžbe izvorne linije u prostoru:

Odgovor:

I

Evo drugog načina za rješavanje ovog problema.

Pri pronalaženju koordinata određene točke na pravcu rješavamo sustav jednadžbi . Općenito, njegova rješenja mogu se napisati u obliku .

A to su upravo tražene parametarske jednadžbe pravca u prostoru. Ako se svaka od dobivenih jednadžbi riješi s obzirom na parametar i zatim se izjednače desne strane jednakosti, tada se dobivaju kanonske jednadžbe pravca u prostoru

Pokažimo rješenje prethodnog problema ovom metodom.

Primjer.

Pravac u trodimenzionalnom prostoru definiran je jednadžbama dviju ravnina koje se sijeku . Napišite kanonske i parametarske jednadžbe za ovaj pravac.

Riješenje.

Rješavamo ovaj sustav dviju jednadžbi s tri nepoznanice (rješenje je dano u prethodnom primjeru, nećemo ga ponavljati). U ovom slučaju dobivamo . Ovo su tražene parametarske jednadžbe pravca u prostoru.

Ostaje dobiti kanonske jednadžbe ravne linije u prostoru:

Rezultirajuće jednadžbe ravne crte izvana se razlikuju od jednadžbi dobivenih u prethodnom primjeru, ali su ekvivalentne jer definiraju isti skup točaka u trodimenzionalnom prostoru (a time i istu pravu crtu).

Odgovor:

I

Bibliografija.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Viša matematika. Svezak prvi: elementi linearne algebre i analitičke geometrije.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitička geometrija.