Square je pravilan četverougao u kojem su svi uglovi i stranice jednaki jedni drugima.

Često se ova brojka smatra posebnim slučajem ili. Dijagonale kvadrata su jednake jedna drugoj i koriste se u formuli za površinu kvadrata kroz dijagonalu.
Da biste izračunali površinu, razmotrite formulu za površinu kvadrata u smislu dijagonala:

Odnosno, površina kvadrata jednaka je kvadratu dužine dijagonale podijeljene sa dva. S obzirom da su stranice figure jednake, dužinu dijagonale možete izračunati iz formule površine pravokutnog trokuta ili pomoću Pitagorine teoreme.

Razmotrimo primjer izračunavanja površine kvadrata kroz dijagonalu. Neka je zadan kvadrat dijagonale d = 3 cm. Potrebno je izračunati njegovu površinu:

Koristeći ovaj primjer izračunavanja površine kvadrata kroz dijagonale, dobili smo rezultat 4,5 .

Kvadratna površina preko strane

Također možete pronaći površinu pravilnog četverougla pored njegove strane. Formula za površinu kvadrata je vrlo jednostavna:

Budući da smo u prethodnom primjeru izračunavanja površine kvadrata izračunali vrijednost po prečniku, sada pokušajmo pronaći dužinu stranice:
Zamijenite vrijednost u izrazu:
Dužina stranice kvadrata bit će 2,1 cm.

Vrlo je lako koristiti formulu za površinu kvadrata upisanog u krug.

Prečnik opisane kružnice biće jednak prečniku kvadrata. Budući da se kvadrat smatra pravilnim rombom, možete koristiti formulu za izračunavanje površine romba. Jednaka je polovini umnoška njegovih dijagonala. Dijagonale kvadrata su jednake, pa će formula izgledati ovako:
Razmotrimo primjer izračunavanja površine kvadrata upisanog u krug.

Dat je kvadrat upisan u krug. Dijagonala kruga je d = 6 cm. Nađite površinu kvadrata.
Sjećamo se da je dijagonala kruga jednaka dijagonali kvadrata. Zamjenjujemo vrijednost u formuli za izračunavanje površine kvadrata kroz njegove dijagonale:

Površina kvadrata je 18

Kvadratna površina kroz perimetar

U nekim problemima, opseg kvadrata je dat uslovima i potrebno je izračunati njegovu površinu. Formula za površinu kvadrata kroz perimetar se izvodi iz vrijednosti perimetra. Perimetar je zbir dužina svih strana figure. Jer u kvadratu od 4 jednake strane, onda će biti jednako. Odavde nalazimo stranu figure Površina kvadrata prema uobičajenoj formuli smatra se kako slijedi:.
Razmotrimo primjer izračunavanja površine kvadrata kroz perimetar.

Kada imaju iste dužine dijagonala, stranica i jednakih uglova.

Kvadratna svojstva.

Sve 4 strane kvadrata imaju istu dužinu, tj. stranice kvadrata su:

AB=BC=CD=AD

Suprotne strane kvadrata su paralelne:

AB|| CD, BC|| AD

Sve dijagonale dijele ugao kvadrata na dva jednaka dijela, tako da se ispostavi da su simetrale uglova kvadrata:

∆ABC = ∆ADC = ∆BAD = ∆BCD

∠ ACB=∠ ACD=∠ BDC=∠ BDA=∠ CAB=∠ CAD=∠ DBC=∠ DBA = 45°

Dijagonale dijele kvadrat na 4 identična trokuta, osim toga, trokuti dobiveni u isto vrijeme su jednakokračni i pravokutni:

∆AOB = ∆BOC = ∆COD = ∆DOA

Dijagonala kvadrata.

Dijagonala kvadrata je svaki segment koji povezuje 2 vrha suprotnih uglova kvadrata.

Dijagonala bilo kojeg kvadrata je √2 puta stranica ovog kvadrata.

Formule za određivanje dužine dijagonale kvadrata:

1. Formula za dijagonalu kvadrata u smislu stranice kvadrata:

2. Formula dijagonale kvadrata u smislu površine kvadrata:

3. Formula dijagonale kvadrata u smislu obima kvadrata:

4. Zbir uglova kvadrata = 360°:

5. Dijagonale kvadrata iste dužine:

6. Sve dijagonale kvadrata dijele kvadrat na 2 identične figure koje su simetrične:

7. Ugao presjeka dijagonala kvadrata je 90 °, prelazeći jedni druge, dijagonale su podijeljene na dva jednaka dijela:

8. Formula za dijagonalu kvadrata u smislu dužine segmenta l:

9. Formula za dijagonalu kvadrata u smislu polumjera upisane kružnice:

R- poluprečnik upisane kružnice;

D- prečnik upisane kružnice;

d je dijagonala kvadrata.

10. Formula za dijagonalu kvadrata u smislu polumjera opisane kružnice:

R- poluprečnik opisane kružnice;

D- prečnik opisane kružnice;

d- dijagonala.

11. Formula za dijagonalu kvadrata kroz pravu koja izlazi iz ugla do sredine stranice kvadrata:

C- linija koja ide od ugla do sredine stranice kvadrata;

d- dijagonala.

Upisan krug u kvadrat- ovo je kružnica koja se graniči sa sredinama strana kvadrata i ima centar na presjeku dijagonala kvadrata.

Radijus upisane kružnice- strana kvadrata (pola).

Površina kruga upisanog u kvadrat manje od površine kvadrata za π/4 puta.

Krug opisan oko kvadrata je kružnica koja prolazi kroz 4 vrha kvadrata i koja ima centar na presjeku dijagonala kvadrata.

Radijus kružnice upisane okolo kvadrat veći od poluprečnika upisane kružnice za √2 puta.

Radijus kružnice upisane oko kvadrata jednaka 1/2 dijagonale.

Područje kruga opisanog oko kvadrata veća površina istog kvadrata je π/2 puta.

Često, tijekom planiranja krajolika ljetne vikendice, postaje potrebno "utisnuti" neku zgradu, na primjer, štalu, kupatilo ili sjenicu, u određeni fragment lokacije. Istovremeno, potrebno je vrlo precizno odrediti geometrijske dimenzije buduće konstrukcije, jer će se u slučaju greške u izgradnji morati suočiti s velikim problemima. Sličan problem se javlja i kod planiranja unutrašnjeg prostora stambene zgrade. Stoga će biti korisno znati kako izračunati stranu kvadrata, poznavajući druge karakteristike geometrijske figure - površinu, dijagonalu, perimetar.

Kako pronaći stranu kvadrata ako je poznata samo njegova površina?

Najlakši način da se izračuna veličina kvadrata je ako je poznata njegova površina. Takva se potreba često susreće prilikom izgradnje ili uređenja vrta. Na primjer, ako trebate odrediti veličinu budućeg staklenika, koji bi trebao zauzeti određeni broj četvornih metara. Slični proračuni se također moraju provesti kada je potrebno razgraničiti jedan prostor prvog ili drugog kata, naglašavajući u njemu kvadratnu sobu za spavaću sobu, kuhinju, dnevni boravak ili, na kraju, kupaonicu. Istovremeno, postoje građevinski propisi, prema kojima površina ​​​funkcionalnih prostorija ne bi trebala biti manja od određenih vrijednosti.

Kao što znate, površina pravokutnika se određuje množenjem njegovih stranica. Kvadrat je pravilan pravougaonik čije su stranice jednake, stoga, da bi se izračunala njegova površina, jedna od stranica mora biti podignuta na drugi stepen. Dakle, da biste pronašli stranu kvadrata sa poznatom površinom, morate iz nje izvući kvadratni korijen. Na primjer, ako se planira izgradnja kvadratne zgrade površine 16 kvadratnih metara. m., tada bi svaka strana trebala biti 4 m. Ako se rješenje kvadratnog korijena ne uklapa u cjelobrojnu vrijednost (na primjer, površina je 17,5 kvadratnih metara), tada možete koristiti običan kalkulator za izračunavanje. Nalazi se u modernim mobilnim telefonima ili među aplikacijama Windows operativnog sistema.

Kako pronaći stranu kvadrata ako je poznat obim?

S takvim se zadatkom može suočiti ljetni stanovnik, na primjer, prilikom određivanja veličine staklenika ili staklenika. Perimetar se u takvim slučajevima određuje na osnovu količine raspoloživog građevinskog materijala. Ako je u isto vrijeme pogrešno postaviti stranu strukture, onda ćete sigurno naići na probleme. Ako su dimenzije premale, to će dovesti do gubitka korisne površine. A ako u planu stavite preveliku važnost, onda neće biti dovoljno materijala, morat ćete ih dodatno kupiti, a to su dodatni troškovi i nevolje.

Kada je poznat obim kvadrata, onda je za izračunavanje dužine njegove stranice dovoljno brojčanu vrijednost opsega podijeliti sa brojem strana, odnosno sa 4. Na primjer, vrtlar ima 40 m na raspolaganju mu je metalni kutak koji se koristi prilikom izgradnje staklenika kao okvir za pričvršćivanje plastičnih ploča. Zatim morate ovaj broj podijeliti sa 2, jer će postojati dva vodiča - iznad i ispod. Dakle, obod budućeg staklenika iznosi 20 m, što znači da bi njegova strana trebala biti 5 m.

Kako pronaći stranu kvadrata ako je poznata samo dijagonala?

Ovo je najteža opcija, iako u ovom slučaju proračuni nisu posebno teški. Ovdje u pomoć dolazi Pitagorina teorema prema kojoj je hipotenuza na kvadrat jednaka zbiru kateta, također na kvadrat. Štaviše, dijagonala kvadrata s dvije susjedne strane nije ništa drugo do pravokutni trokut. Štaviše, budući da su stranice jednake, figura je i dalje jednakokračna. A to znači da Pitagorina formula dobija drugačiju formulaciju: dijagonala podignuta na drugi stepen ispada jednaka kvadratu stranice pomnoženoj sa 2. Slijedi da da biste odredili stranu kvadrata, prvo morate podići njegovu dijagonalu na drugi stepen, zatim podijelite sa 2 i nakon toga izračunajte kvadratni korijen ove vrijednosti.

Na primjer, ako je planirano da dijagonala predložene strukture bude 10 m, tada, podižući je na drugu potenciju, dobivamo 100, podijelimo sa 2 i izračunamo kvadratni korijen iz rezultata. Kao rezultat, stranica kvadrata je određena kao 7,07 m.

Korisni savjeti

Za praktične proračune dužine stranica kvadrata možete koristiti alate kao što je kalkulator ugrađen u Google tražilicu. Da biste to učinili, samo unesite navedenu stranicu i unesite sljedeći natpis u polje za pretragu: "korijen ((D na kvadrat) / 2)". Umjesto simbola "D", naravno, trebate zamijeniti vrijednost dužine dijagonale. Usput, Google dozvoljava upotrebu znakova ^ ili sqrt za označavanje eksponencijalnih ili korijenskih proračuna, respektivno. Dakle, ako je nekome zgodnije, onda prethodni izraz možete zamijeniti unosom: “sqrt (D ^ 2/2)”.

Video kurs "Osvoji A" obuhvata sve teme neophodne za uspešno polaganje ispita iz matematike za 60-65 poena. U potpunosti svi zadaci 1-13 Profila USE iz matematike. Pogodan i za polaganje Osnovnog USE iz matematike. Ako želite da položite ispit sa 90-100 bodova, potrebno je da 1. dio riješite za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanista.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadataka Banke FIPI. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima USE-2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine ispitnih zadataka. Tekstovni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih tipova USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizuelno objašnjenje složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.

Često je u geometriji potrebno pronaći dužinu stranice kvadrata, dok su njegovi parametri poznati: perimetar, površina, dužina dijagonale.

Kvadrat je romb ili pravougaonik čije su stranice jednake jedna drugoj. Uglovi kvadrata su također jednaki jedan drugom i svaki imaju po 90 °. Razmislite kako pronaći stranu kvadrata s obzirom na jedan od gore navedenih parametara.

Pronalaženje stranice kvadrata po obodu

U ovom slučaju, da biste pronašli dužinu stranice kvadrata, potrebno je podijeliti vrijednost opsega kvadrata sa 4 (budući da kvadrat ima 4 stranice jednake jedna drugoj): z = P / 4, gdje je z dužina stranice kvadrata; P je obim kvadrata.

Jedinica mjere za jednu stranu kvadrata bit će ista jedinica za dužinu kao i njegov perimetar. Na primjer, ako je opseg kvadrata dan u milimetrima, tada će i dužina njegove stranice biti u milimetrima.

Na primjer: Obim kvadrata je 40 metara. Prilikom rješavanja ovog problema dobijamo: z = 40/4 = 10. Dužina stranice kvadrata je 10 metara.

Pronalaženje stranice kvadrata prema njegovoj površini

U ovom slučaju, da biste pronašli dužinu stranice, morate dobiti kvadratni korijen vrijednosti površine (pošto je površina kvadrata jednaka kvadratu njegove stranice): z = vS, gdje je z je dužina stranice kvadrata; S je površina kvadrata.

Jedinica za jednu stranu kvadrata će biti ista jedinica za dužinu kao i njegova površina. Na primjer, ako je površina kvadrata data u kvadratnim milimetrima, dužina njegove stranice jednostavno će biti u milimetrima.

Na primjer: Površina kvadrata je 16 kvadratnih metara. Prilikom rješavanja ovog zadatka dobijamo: z = v9 = 3. Dužina stranice kvadrata je 4 metra.

Pronalaženje stranice kvadrata iz njegove dijagonale

U ovom slučaju, dužina stranice kvadrata će biti jednaka dužini dijagonale kvadrata podijeljenoj s kvadratnim korijenom od 2 (za Pitagorinu teoremu, budući da susjedne stranice kvadrata i njegova dijagonala čine jednakokraku pravougli trougao). Da biste dijagonalno pronašli stranu kvadrata, trebate: z = d / v2 (pošto z 2 + z 2 = d 2), gdje je: z dužina stranice kvadrata; d je dužina dijagonale kvadrata.

Jedinica za jednu stranu kvadrata bit će ista jedinica dužine kao i njegova dijagonala. Na primjer, ako je dijagonala kvadrata data u milimetrima, tada će i dužina njegove stranice biti u milimetrima.

Na primjer: Zadana je kvadratna dijagonala od 20 metara. Prilikom rješavanja ovog problema dobijamo: z = 20/v2, što je približno jednako 20/1,4142. Dužina stranice kvadrata je 20/v2 metara, odnosno približno 14.142 metara.

Sada znate kako pronaći dužinu stranice kvadrata s obzirom na njegov perimetar, površinu ili dužinu dijagonale.