Definicija Konveksni poliedar se naziva
ispravno ako su mu sva lica
jednaki pravilni poligoni i
svaki od njegovih vrhova konvergira isto
isti broj rebara. ispravan
postoji samo pet poliedara: tetraedar,
heksaedar, oktaedar, dodekaedar, ikosaedar.

Tetrahedron
Oktaedar
Tetrahedron - najjednostavniji poliedar, lica
koji su četiri trougla. At
tetraedar 4 lica, 4 vrha i 6 ivica. tetraedar, u
čija su sva lica jednakostrana
trouglovi se zove
ispravan. Uradi ispravno
tetraedar svih diedarskih uglova na ivicama i
Svi uglovi trokutastih vrhova su jednaki.
Oktaedar - ima 8 trouglastih lica, 12 ivica, 6
vrhova, 4 ivice se sastaju na svakom vrhu.

Primjeri pravilnih poliedara:

ikosaedar
Kocka
Ikosaedar - pravilno konveksan
poliedar, dvadesetostrani. Svaki od 20
lica je
jednakostranični trougao. Broj ivica je
30, broj vrhova - 12. Ikosaedar ima
59 oblika zvijezda.
Kocka je pravilan poliedar, svaka strana
koji je kvadrat. vrhovi -
8, Ivice - 12, Fasete - 6.

Primjeri pravilnih poliedara:

Dodecahedron
Dodekaedar - sastavljen od
dvanaest tacnih
pentagoni koji su njegovi
lica.
Svaki vrh dodekaedra
je vrh od tri regularna
pentagons. dakle,
dodekaedar ima 12 lica
(petougaoni), 30 rebara i 20
vrhovi (3 ivice se konvergiraju u svakom).

Karakteristike i formule:

Elementi simetrije pravilnog tetraedra:
Pravilan tetraedar nema centar
simetrija. Ali ima tri ose
simetrija i šest ravni
simetrija.

Elementi simetrije pravilnog oktaedra:

Pravilan oktaedar ima centar
simetrija - tačka preseka njenih osa
simetrija. Tri od 9 aviona
kroz koje prolaze simetrije tetraedra
svaka 4 vrha oktaedra koji leži unutra
jedan avion. šest aviona
simetrije prolaze kroz dva vrha,
ne pripadaju istom licu, i
sredine suprotnih rebara.

Elementi simetrije pravilnog ikosaedra:

Pravilan ikosaedar ima 15 osi
simetrije, od kojih svaka prolazi
kroz sredine suprotnosti
paralelna rebra. Tačka raskrsnice
svih osa simetrije ikosaedra je
njegov centar simetrije. Avioni
simetrija takođe 15. Ravnine
simetrije prolaze kroz četiri
vrhova koji leže u istoj ravni, i
sredine suprotnih paralela
rebra.

Elementi simetrije kocke:

Kocka ima jedan centar simetrije -
tačka preseka njegovih dijagonala, takođe
Kroz centar simetrije prolazi 9 osa
simetrija. Ravnine simetrije kocke
takođe 9 i oni ili prolaze
suprotna rebra.

Elementi simetrije pravilnog dodekaedra:

Pravilan dodekaedar ima centar
simetrija i 15 osi simetrije. Svaki
od osi prolazi kroz sredinu
suprotne paralelne ivice.
Dodekaedar ima 15 ravnina
simetrija. Bilo koji od aviona
simetrija se odvija u svakom licu
kroz vrh i sredinu
suprotno rebro.

Sve informacije preuzete sa:

http://licey102.k26.ru/
http://math4school.ru
wikipedia.org
Udžbenik za 10-11 razred iz geometrije

Jedna od najstarijih referenci na pravilne poliedre nalazi se u Platonovoj raspravi (pne) "Timaus". Zbog toga se pravilni poliedri nazivaju i Platonova tijela (iako su bili poznati mnogo prije Platona). Svaki od pravilnih poliedara, a ima ih ukupno pet. Platon je povezivao sa četiri "zemaljska" elementa: zemljom (kocka), vodom (ikosaedar), vatrom (tetraedar), vazduhom (oktaedar), kao i sa "nezemaljskim" elementom - nebom (dodekaedar).

Pravilan poliedar, ili Platonovo tijelo, je konveksan poliedar sa najvećom mogućom simetrijom. Poliedar se naziva regularan ako je: konveksan ako su sve njegove strane jednake pravilne mnogouglove na svakom od njegovih vrhova, isti broj strana konvergira, svi njegovi diedarski uglovi su jednaki

Uočavamo zanimljivu činjenicu vezanu za heksaedar (kocka) i oktaedar. Kocka ima 6 strana, 12 ivica i 8 vrhova, dok oktaedar ima 8 lica, 12 ivica i 6 vrhova. To jest, broj lica jednog poliedra jednak je broju vrhova drugog i obrnuto. Kaže se da su kocka i heksaedar međusobno dualni. To se također manifestira u činjenici da ako uzmete kocku i izgradite poliedar s vrhovima u središtima njegovih lica, tada, kao što možete lako vidjeti, dobijete oktaedar. Vrijedi i obrnuto - središta strana oktaedra služe kao vrhovi kocke. To je upravo dualnost oktaedra i kocke (sl.). Lako je shvatiti da ako uzmemo središta lica pravilnog tetraedra, onda opet dobijamo pravilan tetraedar (sl.). Dakle, tetraedar je dualan samom sebi.

Čuveni matematičar i astronom Kepler izgradio je model Sunčevog sistema kao niz pravilno upisanih i opisanih pravilnih poliedara i sfera. Koji je redoslijed rasporeda planeta (u skladu sa "zahtjevima" pravilnih poliedara) dobio Kepler? U sferu putanje Saturna upisana je kocka, a u nju je upisana sfera orbite Jupitera; tetraedar se uklapa u ovu sferu, u nju - sferu orbite Marsa; dalje: dodekaedar - sfera Zemljine orbite - ikosaedar - sfera putanje Venere - oktaedar - sfera putanje Merkura.

Nazad napred

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati puni obim prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ciljevi lekcije:

• upoznati učenike sa pojmom pravilnog poliedra i sa pet vrsta pravilnih poliedara,
• promovirati formiranje vještina korištenja kompjuterske tehnologije u proučavanju novog gradiva
• promovirati razvoj samostalne aktivnosti, sposobnost poređenja, generalizacije.

Oprema za nastavu:

• Multimedijalni projektor, platno, kompjuteri
• Prezentacija "Pravilni poliedri"
• Modeli pravilnih poliedara
• Kartice - zadaci "Zadaci prema gotovim crtežima" - Aneks 1
• Tabela "Pravilni poliedri"
• Materijal "Ukrštenica" - Aneks 2

TOKOM NASTAVE

1. Organizacioni momenat(5 minuta.)

Ciljna postavka časa (poruka teme, svrha časa i radni nalog)
Odjeljak o pravilnim poliedrima je opisnog karaktera, za njegovo proučavanje predviđena je jedna lekcija. Materijal o pravilnim poliedrima značajno dopunjuje i logično upotpunjuje odeljak „Poliedri“. U stvari, ovdje se nastavlja klasifikacija poliedara; pravilni se razlikuju od konveksnih poliedara.

2. Učenje novog gradiva(15 minuta.)

Nastavnik treba da organizuje rad na način da se novi koncept „pravilnog poliedra“ formira na osnovu već utvrđenih predstava učenika o pravilnim prizmama, piramidama i pravilnim mnogokutnicima.
Bez dokaza se navodi postojanje samo pet vrsta pravilnih poliedara. Dokaz ove teoreme može se razmatrati u nastavi odgovarajućeg fakultativnog predmeta.

Prezentacija "Pravilni poliedri"

Prezentacija je pripremljena na temu "Pravilni poliedri" za učenike 10-11 razreda opšteobrazovnih škola i učenike stručnih škola. Materijal nudi istorijske informacije o pravilnim poliedrima, njihovim karakteristikama, svojstvima. Navedeni su primjeri iz okolnog svijeta gdje se mogu naći poliedri. Prezentacija se može koristiti na nastavi geometrije, izbornim predmetima, kao i vannastavnim aktivnostima iz matematike.

Korištenje prezentacije u lekciji omogućava vam da uštedite vrijeme, učinite proučavanje materijala zanimljivijim, šarenijim i neobičnijim.

Slajdovi 2, 3- Uvodi se definicija pravilnog poliedra i učenici sami kontrolišu usvajanje definicije.
“Pravilni poliedri su prkosno malo, - L. Carroll je jednom napisao, - ali ovaj odred, veoma skroman po broju, uspeo je da uđe u same dubine raznih nauka.

Slajdovi 4-9- Izvještava se o postojanju samo pet tipova pravilnih poliedara, a za svaki poliedar prikazan je njegov crtež, trodimenzionalna slika, razvoj površine i osnovna svojstva.
Od davnina, poliedri su privlačili pažnju ljudi svojom ljepotom, savršenstvom i harmonijom.

Slajd 10– Istorijska referenca – podaci iz istorije Platona i pravilnih poliedara.

slajd 11– Elementi pravilnih poliedara, zavisnost između elemenata. Ojlerova teorema.

slajd15— Leonhard Euler

Posebno zanimanje za pravilne poliedre povezano je s ljepotom i savršenstvom njihovih oblika. Oni su prilično česti u prirodi.

Slajdovi 12, 13– Pravilni poliedri u prirodi, posebno u kristalografiji.

Slajd 14– Zaključak i domaći zadatak
Nakon proučavanja novog materijala, provjerava se asimilacija materijala pomoću žičanog i planarnog modela poliedara i tabele „Regularni poliedri“. Nakon toga učenici počinju rješavati zadatke prema gotovim crtežima.

3. Rješavanje problema(17 min.) – Aneks 1

№1. Odredite visinu pravilnog tetraedra sa ivicom od 10 cm.

Dato: ABCD je pravilan tetraedar,
AB = 10 cm

Nađi: visina tetraedra

Rješenje.

1) AF je medijan ΔABS, pa je BF = ______

2) Iz ΔABF, prema teoremi _______, nalazimo AF

AF 2 = AB 2 - BF 2

3) O dijeli segment AF u omjeru 2: 1, dakle AO \u003d _____________________

4) Iz ΔADO prema Pitagorinoj teoremi nalazimo DO

DO2 = ___________
DO = ____________

Odgovor: ______cm

br. 2. Riješite problem koristeći plan rješenja

Kristal ima oblik oktaedra, sastoji se od dvije pravilne piramide sa zajedničkom osnovom, ivica osnove piramide je 6 cm Visina oktaedra je 14 cm. Nađite površinu bočne površine kristala .

Rješenje.

1) Sside = 2 Spir = p ∙ SK (gdje je SK apotema, p je poluperimetar ABCD)

2) Pronađite OK _______________________

3) Pronađite SO ____________________________
______________________________________

4) Pronađite SK __________________________
______________________________________

5) Izračunaj Sside ___________________
______________________________________

№3. Dokazati da su krajevi dvije neparalelne dijagonale suprotnih strana kocke vrhovi tetraedra.

4. Dodatni zadatak.

Ukrštenica (rad u parovima) Aneks 2
U zavisnosti od nivoa pripremljenosti odeljenja ili grupe učenika, možete ih ponuditi dodatni zadatak u obliku ukrštenice. Ako razred ili grupa imaju slabe matematičke sposobnosti, tada se u narednoj lekciji može ponuditi ukrštenica za rješenje kao ponavljanje prethodno proučenog materijala.

5. Sažetak lekcije(5 minuta.)

Ishod časa predviđa razgovor sa učenicima na kraju časa ne samo o uspešnosti realizacije postavljenih ciljeva, već i o tome šta im se dopalo (nije dopalo) i zašto, šta je njemu lično bilo korisno, šta bi želeo da ponovi, šta da promeni u budućem radu.

6. Domaći(3 min.)

Napravite skeniranje površina pravilnih poliedara (pravilni tetraedar, kocka, oktaedar).
Odgovorite na pitanja br. 30, 31 str. 243, Pogorelov A. V. "Geometrija 10-11"
Riješi zadatke broj 57, str.249, broj 70, str.248

Domaći zadatak uključuje rješavanje zadataka i građenje zamaha i modela pravilnih poliedara. Učenici sami biraju koji će od razmatranih poliedara izvoditi (možete "podijeliti" razred ili grupu u pet grupa prema broju tipova pravilnih poliedara i ponuditi svakoj grupi da napravi samo jedan od pravilnih poliedara).

slajd 2

Uvod. Istorijska referenca. Tetrahedron. Kocka (heksaedar). Oktaedar. Dodecahedron. Ikosaedar. Provjerite sami. Izvori.

slajd 3

Uvod.

Konveksni poliedar se naziva regularnim ako su njegove strane pravilni mnogouglovi sa istim brojem stranica i istim brojem ivica konvergiraju na svakom vrhu poliedra. Postoji pet tipova pravilnih konveksnih poliedara: tetraedar, kocka, oktaedar, dodekaedar, ikosaedar.

slajd 4

ISTORIJSKA REFERENCA.

Sve ove vrste poliedara bile su poznate u staroj Grčkoj. Knjiga XIII Euklidovih elemenata posvećena je ovim prekrasnim telima. Nazivaju se i Platonovim čvrstim materijama. Oni su zauzimali istaknuto mjesto u njegovoj idealističkoj slici svijeta. Četiri od njih predstavljaju četiri "esencije" ili "elementa" u njemu: tetraedar je vatra, ikosaedar je voda, kocka je zemlja, oktaedar je vazduh. Dodekaedar koji je oličavao "sve što postoji", simbolizirao je cijeli pogled na svijet, bio je poštovan kao najvažniji.

slajd 5

TETRAHEDRON.

"Tetrahedron" u doslovnom prijevodu sa grčkog znači "tetraedar." Pravilan tetraedar ima lica - pravilne trouglove; tri ivice konvergiraju na svakom vrhu. Tetraedar je trouglasta piramida sa svim ivicama jednakim.

slajd 6

HEXAHEDR.

"Heksaedar" na grčkom znači "heksaedar". U kocki, sva lica su kvadrati; tri ivice konvergiraju na svakom vrhu. Kocka je pravougaoni paralelepiped sa jednakim ivicama.

Slajd 7

OKTAEDAR.

"Octahedron" na grčkom znači "oktaedar". Površine oktaedra su pravilni trouglovi, ali za razliku od tetraedra, četiri ivice konvergiraju na svakom njegovom vrhu.

Slajd 8

DODECAHEDRON.

"Dodekaedar" na grčkom znači "dodekaedar". Lica dodekaedra su pravilni pentagoni. Tri ivice konvergiraju na svakom vrhu.

Slajd 9

IKOSAHEDRON.

"Ikosaedar" na grčkom znači "dvadesetostran". Površine ikosaedra su pravilni trouglovi, ali za razliku od tetraedra i oktaedra, pet ivica konvergira na svakom vrhu.

slajd 1

slajd 2

SIMETRIJA U PROSTORU “Simetrija je ideja kroz koju je osoba pokušala da shvati i stvori red, ljepotu i savršenstvo” (G. Weil) Simetrija („proporcionalnost”) je korespondencija, nepromjenjivost (invarijantnost) koja se manifestuje tokom bilo koje transformacije. Tako, na primjer, sferna simetrija tijela znači da se izgled tijela neće promijeniti ako se rotira u prostoru pod proizvoljnim kutovima, zadržavajući jednu tačku na mjestu. "Vitruvian Man" Lenarda Da Vincija (1490, Venecija)

slajd 3

SIMETRIJA U PROSTORU Tačke A i A1 se nazivaju simetričnima u odnosu na tačku O (centar simetrije) ako je O središte segmenta AA1. Tačka O se smatra simetričnom samoj sebi. A A1

slajd 4

SIMETRIJA U PROSTORU Tačke A i A1 nazivaju se simetričnim u odnosu na pravu liniju (os simetrije) ako prava prolazi sredinom odsječka AA1 i okomita je na ovaj segment. Svaka tačka prave a smatra se simetričnom za sebe. A1

slajd 5

SIMETRIJA U PROSTORU Tačke A i A1 nazivaju se simetričnima u odnosu na ravan (ravan simetrije) ako ta ravan prolazi sredinom segmenta AA1 i okomita je na ovaj segment. Svaka tačka ravni se smatra simetričnom za sebe.

slajd 6

SIMETRIJA U PROSTORU Tačka (prava, ravan) naziva se središte (osa, ravan) simetrije figure ako je svaka tačka figure simetrična u odnosu na nju prema nekoj tački iste figure. Ako figura ima centar (os, ravan) simetrije, onda kažu da ima centralnu (aksijalnu, zrcalnu) simetriju

Slajd 7

PRIMJERI SIMETRIJE RAVANSKIH FIGURA Paralelogram ima samo centralnu simetriju. Njegov centar simetrije je presjek dijagonala. Jednakokraki trapez ima samo aksijalnu simetriju. Njegova osa simetrije je okomita povučena kroz sredine osnova trapeza.Rombus ima centralnu i aksijalnu simetriju. Njegova osa simetrije je bilo koja od njegovih dijagonala; centar simetrije - tačka njihovog preseka

Slajd 8

PRAVILNI POLIEDRI - 5 PLATONOVA TELA Stanovnici čak ni najudaljenije galaksije ne mogu igrati kockice koje imaju nama nepoznat oblik pravilnog konveksnog poliedra. M. Gardner Konveksni poliedar se naziva regularnim ako su mu sva lica jednaki pravilni poligoni i isti broj ivica konvergira na svakom njegovom vrhu. Također, sve ivice pravilnog mnogougla su jednake, kao i svi diedarski uglovi koji sadrže dvije strane sa zajedničkom ivicom. Ne postoji pravilan poliedar čija su lica n-uglovi za n > ili = 6!

Slajd 9

PRAVILNI TETRAEDER Sastavljen od četiri jednakostranična trougla. Svaki od njegovih vrhova je vrh od tri trougla. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu je tačno 180°. Elementi simetrije: Tetraedar nema centar simetrije, ali ima 3 ose simetrije i 6 ravni simetrije. S ukupna zapremina Visina vrhovi – 4 lica – 6 ivica – 4

slajd 10

KOCKA Sastoji se od šest kvadrata. Svaki vrh kocke je vrh od tri kvadrata. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu je tačno 270°. 6 lica, 8 vrhova i 12 ivica Elementi simetrije: Kocka ima centar simetrije - centar kocke, 9 osa i ravni simetrije R opis. env. S full r fit env

slajd 11

PRAVILNI OKTAEDAR Sastavljen od osam jednakostraničnih trouglova. Svaki vrh oktaedra je vrh od četiri trougla. Zbir ravnih uglova u svakom vrhu je 240°. Elementi simetrije: Oktaedar ima centar simetrije - centar oktaedra, 9 osi simetrije i 9 ravni simetrije 8 lica 6 vrhova 12 ivica