3.1. Chiziqning kanonik tenglamalari.

Nuqtadan o`tuvchi Oxyz koordinata sistemasida to`g`ri chiziq berilgan bo`lsin

(18-rasmga qarang) bilan belgilaymiz
berilgan chiziqqa parallel vektor. Vektor chaqirdi to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori. To'g'ri chiziqdagi nuqtani olaylik
va vektor vektorlarini ko'rib chiqing
kollinear, shuning uchun ularning mos keladigan koordinatalari proportsionaldir:

(3.3.1 )

Bu tenglamalar deyiladi kanonik tenglamalar Streyt.

Misol: M(1, 2, –1) nuqtadan vektorga parallel boʻlgan toʻgʻri chiziq tenglamalarini yozing.

Yechim: Vektor - kerakli chiziqning yo'nalish vektori. Formulalarni (3.1.1) qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

Bu chiziqning kanonik tenglamalari.

Izoh: Maxrajlardan birining nolga aylanishi mos keluvchining nolga aylanishini bildiradi, ya'ni y – 2 = 0; y = 2. Bu chiziq Oxz tekisligiga parallel y = 2 tekislikda yotadi.

3.2. To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari.

To'g'ri chiziq kanonik tenglamalar bilan berilgan bo'lsin

belgilaylik
Keyin
t qiymati parametr deyiladi va har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin:
.

X, y va z ni t shaklida ifodalaymiz:

(3.2.1 )

Olingan tenglamalar deyiladi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari.

1-misol: M (1, 2, –1) nuqtadan vektorga parallel oʻtuvchi toʻgʻri chiziqning parametrik tenglamalarini tuzing.

Yechim: Ushbu chiziqning kanonik tenglamalari 3.1-band misolida olingan:

To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini topish uchun (3.2.1) formulalar hosilasi qo'llaniladi:

Shunday qilib,
- berilgan chiziqning parametrik tenglamalari.

Javob:

2-misol. M (–1, 0, 1) nuqtadan vektorga parallel o‘tuvchi chiziq uchun parametrik tenglamalarni yozing.
Bu yerda A (2, 1, –1), B (–1, 3, 2).

Yechim: Vektor
- kerakli chiziqning yo'nalish vektori.

Keling, vektorni topamiz
.

= (–3; 2; 3). Formulalardan (3.2.1) foydalanib, biz to'g'ri chiziq tenglamalarini yozamiz:

to'g'ri chiziqning kerakli parametrik tenglamalaridir.

3.3. Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamalari.

Yagona toʻgʻri chiziq fazoda berilgan ikkita nuqtadan oʻtadi (20-rasmga qarang). Ballar berilsin Vektor
bu chiziqning yo'nalish vektori sifatida qabul qilinishi mumkin. Keyin tenglamalarni to'g'ridan-to'g'ri topish mumkin Ular (3.1.1) formulalar bo'yicha:
).

(3.3.1)

1-misol. Nuqtalardan o`tuvchi chiziqning kanonik va parametrik tenglamalarini tuzing

Yechim: Formulani qo'llaymiz (3.3.1)

Biz to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini oldik. Parametrik tenglamalarni olish uchun formulalar hosilasini (3.2.1) qo'llaymiz. olamiz

to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari.

2-misol. Nuqtalardan o`tuvchi chiziqning kanonik va parametrik tenglamalarini tuzing

Yechim: Formulalar (3.3.1) yordamida biz quyidagilarni olamiz:

Bu kanonik tenglamalar.

Parametrik tenglamalarga o'tamiz:

- parametrik tenglamalar.

Olingan to'g'ri chiziq oz o'qiga parallel bo'ladi (21-rasmga qarang).

Kosmosda ikkita tekislik berilgan bo'lsin

Agar bu tekisliklar mos kelmasa va parallel bo'lmasa, ular to'g'ri chiziqda kesishadi:

Ushbu ikkita chiziqli tenglamalar tizimi to'g'ri chiziqni ikkita tekislikning kesishish chizig'i sifatida belgilaydi. (3.4.1) tenglamalardan kanonik tenglamalarga (3.1.1) yoki parametrik tenglamalarga (3.2.1) o'tish mumkin. Buning uchun siz nuqta topishingiz kerak
to'g'ri chiziqda yotgan va yo'nalish vektori Nuqta koordinatalari
koordinatalardan biriga ixtiyoriy qiymat berib (3.4.1) sistemadan olamiz (masalan, z = 0). Qo'llanma vektorining orqasida vektorlarning vektor mahsulotini olishingiz mumkin, ya'ni

1-misol. Chiziqning kanonik tenglamalarini tuzing

Yechim: z = 0 bo'lsin. Sistemani yechamiz

Ushbu tenglamalarni qo'shib, biz quyidagilarni olamiz: 3x + 6 = 0
x = –2. Topilgan x = –2 qiymatini sistemaning birinchi tenglamasiga almashtiring va quyidagini oling: –2 + y + 1 = 0
y = 1.

Shunday qilib, davr
kerakli chiziqda yotadi.

To'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini topish uchun tekisliklarning normal vektorlarini yozamiz: va ularning vektor mahsulotini topamiz:

(3.1.1) formulalar yordamida to'g'ri chiziq tenglamalarini topamiz:

Javob:
.

Boshqa yo'l:(3.4.1) chiziqning kanonik va parametrik tenglamalarini (3.4.1) sistemadan chiziqning ikki xil nuqtasini topib, keyin formulalar (3.3.1) va formulalarni chiqarish (3.2) yordamida osonlik bilan olish mumkin. .1).

2-misol. Chiziqning kanonik va parametrik tenglamalarini tuzing

Yechim: y = 0 bo'lsin. Shunda sistema quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Tenglamalarni qo'shib, biz quyidagilarni olamiz: 2x + 4 = 0; x = –2. Tizimning ikkinchi tenglamasiga x = –2 ni almashtiring va quyidagini oling: –2 –z +1 = 0
z = –1. Shunday qilib, biz nuqta topdik

Ikkinchi nuqtani topish uchun x = 0 ni o'rnatamiz. Bizda quyidagilar bo'ladi:

Ya'ni

Biz to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini oldik.

To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini tuzamiz:

Javob:
;
.

3.5. Ikki chiziqning fazodagi nisbiy holati.

To'g'ri bo'lsin
tenglamalar bilan berilgan:

:
;
:

.

Bu chiziqlar orasidagi burchak deganda ularning yo'nalish vektorlari orasidagi burchak tushuniladi (22-rasmga qarang). Bu burchak vektor algebrasidan formuladan foydalanib topamiz:
yoki

(3.5.1)

To'g'ri bo'lsa
perpendikulyar (
), Bu
Demak,

Bu fazodagi ikkita chiziqning perpendikulyarligi sharti.

To'g'ri bo'lsa
parallel (
), u holda ularning yo'nalish vektorlari kollinear (
), ya'ni

(3.5.3 )

Bu fazoda ikkita chiziqning parallellik sharti.

1-misol. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping:

A).
Va

b).
Va

Yechim: A). To'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini yozamiz
Yo'nalish vektorini topamiz
sistemaga kiritilgan tekisliklar.Unda ularning vektor mahsulotini topamiz:

(3.4-bandning 1-misoliga qarang).

(3.5.1) formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Demak,

b). Ushbu to'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlarini yozamiz: Vektorlar
Ularning mos koordinatalari proportsional bo'lgani uchun ular kollineardir:

Shunday qilib, u to'g'ri
parallel (
), ya'ni

Javob: A).
b).

2-misol. Chiziqlarning perpendikulyarligini isbotlang:

Va

Yechim: Birinchi to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini yozamiz

Yo'nalish vektorini topamiz ikkinchi to'g'ri chiziq. Buning uchun biz normal vektorlarni topamiz
Tizimga kiritilgan samolyotlar: ularning vektor mahsulotini hisoblaymiz:

(3.4-bandning 1-misoliga qarang).

Chiziqlarning perpendikulyarlik shartini qo'llaymiz (3.5.2):

Shart bajarilgan; shuning uchun chiziqlar perpendikulyar (
).

Fazoda to'g'ri chiziq tenglamalari qanday yoziladi?

Fazodagi to'g'ri chiziq tenglamalari

"tekis" chiziqqa o'xshab, fazoda chiziqni aniqlashning bir necha usullari mavjud. Keling, kanonlardan boshlaylik - chiziqning nuqtasi va yo'naltiruvchi vektori:

Agar chiziqqa tegishli bo'lgan fazoning ma'lum bir nuqtasi va bu chiziqning yo'nalishi vektori ma'lum bo'lsa, bu chiziqning kanonik tenglamalari quyidagi formulalar bilan ifodalanadi:

Yuqoridagi belgi yo'nalish vektorining koordinatalarini nazarda tutadi nolga teng emas. Agar bir yoki ikkita koordinata nolga teng bo'lsa, nima qilish kerakligini birozdan keyin ko'rib chiqamiz.

Maqolada bo'lgani kabi Tekislik tenglamasi, soddalik uchun biz darsning barcha masalalarida harakatlar fazoning ortonormal asosida amalga oshiriladi deb faraz qilamiz.

1-misol

Nuqta va yo‘nalish vektori berilgan chiziqning kanonik tenglamalarini tuzing

Yechim: Quyidagi formuladan foydalanib chiziqning kanonik tenglamalarini tuzamiz:

Javob:

Va bu aql bovar qilmaydigan ... garchi, yo'q, bu hech qanday aql bovar qilmaydi.

Bu juda oddiy misol haqida nimani e'tiborga olishingiz kerak? Birinchidan, hosil bo'lgan tenglamalarni bittaga qisqartirish EMAS: . Aniqroq qilib aytadigan bo'lsak, uni qisqartirish mumkin, ammo bu ko'zni g'ayrioddiy og'ritadi va muammolarni hal qilishda noqulaylik tug'diradi.

Ikkinchidan, analitik geometriyada ikkita narsa muqarrar - tekshirish va sinov:

Har holda, biz tenglamalarning maxrajlarini ko'rib chiqamiz va tekshiramiz - to'g'rimi u yerda yo'nalish vektorining koordinatalari yoziladi. Yo'q, bu haqda o'ylamang, bizda Tormoz bolalar bog'chasida dars yo'q. Bu maslahat juda muhim, chunki u beixtiyor xatolarni butunlay yo'q qilishga imkon beradi. Hech kim sug'urtalanmagan, agar ular noto'g'ri ko'chirilgan bo'lsa-chi? Geometriya bo'yicha Darvin mukofoti bilan taqdirlanadi.

To'g'ri tengliklar olinadi, ya'ni nuqta koordinatalari bizning tenglamalarimizni qondiradi va nuqta o'zi haqiqatan ham ushbu chiziqqa tegishli.

Sinovni og'zaki bajarish juda oson (va tez!).

Bir qator masalalarda berilgan chiziqqa tegishli boshqa nuqtani topish talab etiladi. Buni qanday qilish kerak?

Olingan tenglamalarni olamiz va aqliy "chimchilab", masalan, chap parcha:. Endi bu qismni tenglashtiramiz istalgan raqamga(allaqachon nol borligini unutmang), masalan, bittaga: . Chunki , keyin boshqa ikkita "bo'lak" ham bittaga teng bo'lishi kerak. Asosan, siz tizimni hal qilishingiz kerak:

Topilgan nuqta tenglamalarni qanoatlantirishini tekshiramiz :

To'g'ri tengliklar olinadi, bu nuqta haqiqatda berilgan chiziqda yotadi.

Chizmani to‘rtburchak koordinatalar sistemasida tuzamiz. Shu bilan birga, kosmosdagi nuqtalarni qanday qilib to'g'ri chizish kerakligini eslaylik:

Keling, bir nuqta quraylik:
– o‘qning manfiy yo‘nalishidagi koordinatalarning kelib chiqishidan biz birinchi koordinataning segmentini (yashil nuqta chiziq) chizamiz;
- ikkinchi koordinata nolga teng, shuning uchun biz o'qdan chapga ham, o'ngga ham "temirlanmaymiz";
– uchinchi koordinataga muvofiq, uchta birlikni yuqoriga qarab o'lchang (binafsha nuqta chiziq).

Nuqta tuzing: ikkita birlikni "sizga qarab" (sariq nuqta chiziq), bir o'ngga (ko'k nuqta chiziq) va ikkita birlikni pastga (jigarrang nuqta chiziq) o'lchang. Jigarrang nuqta chiziq va nuqtaning o'zi koordinata o'qiga qo'yilgan, ular o'qning pastki yarim bo'shlig'ida va OLDIDA ekanligiga e'tibor bering.

To'g'ri chiziqning o'zi o'qning ustida o'tadi va agar mening ko'zim tushmasa, o'qdan yuqorida. Bu muvaffaqiyatsizlikka uchramaydi, men analitik tarzda amin bo'ldim. Agar to'g'ri chiziq o'qning orqasidan o'tgan bo'lsa, unda kesishish nuqtasi ustidagi va pastdagi chiziqning bir qismini o'chirgich bilan o'chirishingiz kerak bo'ladi.

To'g'ri chiziq cheksiz ko'p yo'nalish vektorlariga ega, masalan:
(qizil o'q)

Natija aynan asl vektor edi, lekin bu shunchaki tasodif edi, men nuqtani shunday tanladim. To'g'ri chiziqning barcha yo'nalish vektorlari kollinear va ularning tegishli koordinatalari proportsionaldir (batafsil ma'lumot uchun qarang. Vektorlarning chiziqli (no) bog'liqligi. Vektorlar asoslari). Shunday qilib, vektorlar bu chiziqning yo'nalish vektorlari ham bo'ladi.

Qatlakli qog'ozda uch o'lchamli chizmalar yaratish bo'yicha qo'shimcha ma'lumotni qo'llanmaning boshida topishingiz mumkin Funksiyalarning grafiklari va xossalari. Daftarda nuqtalarga ko'p rangli nuqtali yo'llar (chizmaga qarang) odatda bir xil nuqta chiziq yordamida oddiy qalam bilan ingichka chizilgan.

Yo'nalish vektorining bir yoki ikkita koordinatasi nolga teng bo'lgan maxsus holatlar bilan shug'ullanamiz. Shu bilan birga, biz dars boshida boshlangan fazoviy ko'rish mashg'ulotlarini davom ettiramiz. Tekislik tenglamasi. Va yana sizga yalang'och qirol haqidagi ertakni aytib beraman - men bo'sh koordinatalar tizimini chizaman va sizni u erda fazoviy chiziqlar borligiga ishontiraman =)

Barcha oltita holatni sanab o'tish osonroq:

1) Nuqta va yo'nalish vektori uchun chiziqning kanonik tenglamalari uchga bo'linadi individual tenglamalar: .

Yoki qisqasi:

2-misol: nuqta va yo‘nalish vektoridan foydalanib to‘g‘ri chiziq tenglamalarini tuzamiz:

Bu qanday qator? To'g'ri chiziqning yo'nalish vektori birlik vektoriga kollinear, ya'ni bu to'g'ri chiziq o'qga parallel bo'ladi. Kanonik tenglamalarni quyidagicha tushunish kerak:
a) - "y" va "z" doimiy, teng aniq raqamlar;
b) "x" o'zgaruvchisi har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin: (amalda bu tenglama odatda yozilmaydi).

Xususan, tenglamalar o'qning o'zini belgilaydi. Darhaqiqat, "x" har qanday qiymatni oladi va "y" va "z" har doim nolga teng.

Ko'rib chiqilayotgan tenglamalarni boshqa yo'l bilan izohlash mumkin: masalan, abscissa o'qining analitik belgilanishini ko'rib chiqamiz: . Axir, bu ikki tekislikning tenglamalari! Tenglama koordinata tekisligini, tenglama esa koordinata tekisligini belgilaydi. Siz to'g'ri o'ylaysiz - bu koordinata tekisliklari eksa bo'ylab kesishadi. Darsning eng oxirida ikkita tekislikning kesishishi bilan fazodagi to'g'ri chiziq aniqlanganda usulni ko'rib chiqamiz.

Ikki o'xshash holat:

2) Vektorga parallel nuqtadan o'tuvchi chiziqning kanonik tenglamalari formulalar bilan ifodalanadi.

Bunday to'g'ri chiziqlar koordinata o'qiga parallel bo'ladi. Xususan, tenglamalar koordinata o'qini o'zi belgilaydi.

3) Vektorga parallel nuqtadan o'tuvchi chiziqning kanonik tenglamalari formulalar bilan ifodalanadi.

Ushbu to'g'ri chiziqlar koordinata o'qiga parallel bo'lib, tenglamalar qo'llaniladigan o'qning o'zini aniqlaydi.

Keling, ikkinchi uchtasini do'konga joylashtiramiz:

4) Nuqta va yo‘nalish vektori uchun chiziqning kanonik tenglamalari proportsional va tekislik tenglamasi .

3-misol: nuqta va yo‘nalish vektoridan foydalanib to‘g‘ri chiziq tenglamalarini tuzamiz.

Mayli l- fazoning qandaydir to'g'ri chizig'i. Planimetriyada bo'lgani kabi, har qanday vektor

A =/= 0, kollinear chiziq l, chaqirildi hidoyat vektori bu to'g'ri chiziq.

Chiziqning fazodagi o'rni yo'nalish vektori va chiziqqa tegishli nuqtani ko'rsatish orqali to'liq aniqlanadi.

To'g'ri bo'lsin l hidoyat vektor bilan A M 0 nuqtadan o'tadi, M esa fazodagi ixtiyoriy nuqtadir. Shubhasiz, M nuqta (197-rasm) chiziqqa tegishli l agar \(\overrightarrow(M_0 M)\) vektori vektor bilan toʻgʻri kelsagina A , ya'ni.

\(\toʻgʻri yoʻnalish (M_0 M)\) = t a , t\(\in\) R. (1)

Agar M va M 0 nuqtalari ularning radius vektorlari bilan aniqlansa r Va r 0 (198-rasm) fazodagi ba'zi O nuqtaga nisbatan, keyin \(\yuqoriga o'q(M_0 M)\) = r - r 0 va tenglama (1) shaklni oladi

r = r 0 + t a , t\(\in\) R. (2)

(1) va (2) tenglamalar chaqiriladi to'g'ri chiziqning vektor-parametrik tenglamalari. O'zgaruvchan t vektor-parametrik tenglamalarda to'g'ri chiziq deyiladi parametr.

M 0 nuqta to'g'ri chiziq bo'lsin l va yo'nalish vektori a ularning koordinatalari bilan berilgan:

M 0 ( X 0 ; da 0 , z 0), A = (A 1 ; A 2 ; A 3).

Keyin agar ( X; y; z) - to'g'ri chiziqning ixtiyoriy M nuqtasining koordinatalari l, Bu

\(\toʻgʻri yoʻnalish(M_0 M) \) = ( x - x 0 ; y - y 0 ; z - z 0)

va vektor tenglama (1) quyidagi uchta tenglamaga ekvivalentdir:

x - x 0 = ta 1 , y - y 0 = ta 2 , z - z 0 = ta 3

$$ \begin(holatlar) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\da R\end(holatlar) (3)$$

(3) tenglamalar deyiladi chiziqning parametrik tenglamalari kosmosda.

Vazifa 1. Nuqtadan o`tuvchi chiziq uchun parametrik tenglamalarni yozing

M 0 (-3; 2; 4) va yo'nalish vektoriga ega A = (2; -5; 3).

Ushbu holatda X 0 = -3, da 0 = 2, z 0 = 4; A 1 = 2; A 2 = -5; A 3 = 3. Ushbu qiymatlarni formulalarga (3) almashtirib, biz ushbu chiziqning parametrik tenglamalarini olamiz

$$ \begin(holatlar) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, ​​\;\;t\in R\end(holatlar) $$

Parametrni istisno qilaylik t(3) tenglamalardan. Buni qilish mumkin, chunki A =/= 0, shuning uchun vektor koordinatalaridan biri A noldan farq qilishi aniq.

Avval barcha koordinatalar noldan farq qilsin. Keyin

$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$

va shuning uchun

$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$

Bu tenglamalar deyiladi chiziqning kanonik tenglamalari .

E'tibor bering, (4) tenglamalar uchta o'zgaruvchiga ega ikkita tenglamalar tizimini tashkil qiladi x, y Va z.

Agar (3) tenglamalarda vektor koordinatalaridan biri bo'lsa A , Masalan A 1 nolga teng, keyin parametrni yo'q qilish orqali t, biz yana uchta o'zgaruvchiga ega ikkita tenglamalar tizimini olamiz x, y Va z:

\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Bu tenglamalar kanonik chiziqli tenglamalar deb ham ataladi. Bir xillik uchun ular shartli ravishda (4) shaklida ham yoziladi.

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

agar maxraj nolga teng bo'lsa, unda mos keladigan pay ham nolga teng deb faraz qilamiz. Bu tenglamalar M 0 nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamalari ( X 0 ; da 0 , z 0) koordinata tekisligiga parallel yOz, chunki uning yo'nalishi vektori (0; A 2 ; A 3).

Nihoyat, agar (3) tenglamalarda ikkita vektor koordinatalari mavjud bo'lsa A , Masalan A 1 va A 2 nolga teng, keyin bu tenglamalar shaklni oladi

X = X 0 , y = da 0 , z = z 0 + t a 3 , t\(\in\) R.

Bular M 0 nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamalari ( X 0 ; da 0 ; z 0) o'qga parallel Oz. Bunday to'g'ri chiziq uchun X = X 0 , y = da 0, a z- har qanday raqam. Va bu holda, bir xillik uchun to'g'ri chiziq tenglamasi (4) shaklida yozilishi mumkin (xuddi shunday rezerv bilan)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Shunday qilib, fazodagi har qanday chiziq uchun kanonik tenglamalarni (4) va aksincha, koeffitsientlardan kamida bittasi bo'lsa, (4) ko'rinishdagi har qanday tenglamani yozish mumkin. A 1 , A 2 , A 3 nolga teng emas, fazoda qandaydir to'g'ri chiziqni aniqlaydi.

Vazifa 2. M 0 (- 1; 1, 7) nuqtadan vektorga parallel oʻtuvchi chiziqning kanonik tenglamalarini yozing. A = (1; 2; 3).

Bu holda (4) tenglamalar quyidagicha yoziladi:

\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)

Berilgan ikkita M 1 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamalari chiqarilsin ( X 1 ; da 1 ; z 1) va

M2( X 2 ; da 2 ; z 2). Shubhasiz, biz vektorni olishimiz mumkin a = (X 2 - X 1 ; da 2 - da 1 ; z 2 - z 1) va to'g'ri chiziq o'tadigan M 0 nuqtasidan tashqari, masalan, M 1 nuqta. Keyin (4) tenglamalar quyidagicha yoziladi:

\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)

Bular ikkita M 1 nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamalari ( X 1 ; da 1 ; z 1) va

M2( X 2 ; da 2 ;z 2).

Vazifa 3. M 1 (-4; 1; -3) va M 2 (-5; 0; 3) nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamalarini yozing.

Ushbu holatda X 1 = -4, da 1 = 1, z 1 = -3, X 2 = -5, da 2 = 0, z 2 = 3. Ushbu qiymatlarni formulalar (5) ga almashtirib, biz hosil bo'lamiz

\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)

Vazifa 4. M 1 (3; -2; 1) nuqtalardan o'tuvchi chiziq tenglamalarini yozing va

M 2 (5; -2; 1/2).

M 1 va M 2 nuqtalarning koordinatalarini (5) tenglamalarga almashtirgandan so'ng, biz hosil qilamiz

\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)

Chiziqning kanonik tenglamalari

Muammoni shakllantirish. Ikki tekislikning kesishish chizig'i sifatida berilgan chiziqning kanonik tenglamalarini toping (umumiy tenglamalar)

Yechim rejasi. Yo'nalish vektorli to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalari berilgan nuqtadan o'tish , shaklga ega bo'ling

. (1)

Demak, chiziqning kanonik tenglamalarini yozish uchun uning yo'nalishi vektorini va chiziqning qaysidir nuqtasini topish kerak.

1. To'g'ri chiziq bir vaqtning o'zida ikkala tekislikka tegishli bo'lgani uchun uning yo'nalishi vektori ikkala tekislikning normal vektorlariga ortogonal, ya'ni. vektor mahsulotining ta'rifiga ko'ra, bizda mavjud

. (2)

2. Chiziqning biron bir nuqtasini tanlang. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektori hech bo'lmaganda koordinata tekisliklaridan biriga parallel bo'lmaganligi sababli, to'g'ri chiziq bu koordinata tekisligini kesib o'tadi. Binobarin, uning ushbu koordinata tekisligi bilan kesishgan nuqtasini chiziqdagi nuqta sifatida olish mumkin.

3. Yo'naltiruvchi vektor va nuqtaning topilgan koordinatalarini to'g'ri chiziqning (1) kanonik tenglamalariga almashtiring.

Izoh. Agar vektor ko'paytma (2) nolga teng bo'lsa, u holda tekisliklar kesishmaydi (parallel) va chiziqning kanonik tenglamalarini yozish mumkin emas.

Muammo 12. Chiziqning kanonik tenglamalarini yozing.

Chiziqning kanonik tenglamalari:

,

Qayerda - chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalari; uning yo'nalishi vektoridir.

Keling, chiziqning biron bir nuqtasini topaylik. Shunday bo'lsin

Demak, – chiziqqa tegishli nuqtaning koordinatalari.

Keling, misol yechimini ko'rib chiqaylik.

Misol.

Ikki kesishuvchi tekislik tenglamalari orqali fazoda aniqlangan chiziqdagi istalgan nuqtaning koordinatalarini toping. .

Yechim.

Keling, tenglamalar tizimini quyidagi shaklda qayta yozamiz

Tizimning asosiy matritsasining bazis minori sifatida biz ikkinchi tartibli nolga teng bo'lmagan minorni olamiz. , ya'ni z erkin noma'lum o'zgaruvchidir. Tarkibida z bo‘lgan hadlarni tenglamalarning o‘ng tomoniga o‘tkazamiz: .

Qabul qilaylik, ixtiyoriy haqiqiy son qayerda, u holda .

Olingan tenglamalar tizimini yechamiz:

Shunday qilib, tenglamalar tizimining umumiy yechimi shaklga ega, bu erda.

Agar parametrning ma'lum bir qiymatini olsak, u holda biz tenglamalar tizimiga ma'lum bir yechimni olamiz, bu bizga berilgan chiziqda yotgan nuqtaning kerakli koordinatalarini beradi. Keling, uni qabul qilaylik , shuning uchun, chiziqning kerakli nuqtasi.

Nuqtaning topilgan koordinatalarini ikkita kesishuvchi tekislikning dastlabki tenglamalariga almashtirish orqali tekshirishingiz mumkin:

Javob:

Ikki tekislik kesishgan chiziqning yo'nalish vektori.

To'g'ri burchakli koordinatalar tizimida to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori to'g'ri chiziqdan ajralmas. Uch o'lchamli fazodagi to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi a to'g'ri chiziq kesishuvchi ikkita tekislik va tenglamalari bilan berilgan bo'lsa, to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalari ko'rinmaydi. Endi biz ularni qanday aniqlashni ko'rsatamiz.

Biz bilamizki, chiziq tekislikda yotgan har qanday chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, tekislikka perpendikulyar bo'ladi. U holda tekislikning normal vektori shu tekislikda yotgan har qanday nolga teng bo'lmagan vektorga perpendikulyar bo'ladi. Ushbu faktlardan chiziqning yo'nalishi vektorini topish uchun foydalanamiz.

a to'g'ri chiziq tekislikda ham, tekislikda ham yotadi. Demak, a chiziqning yo'nalish vektori normal vektorga perpendikulyar tekislik va normal vektor samolyot Shunday qilib, a to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori Va :

To'g'ri chiziqning barcha yo'nalish vektorlari to'plami va biz uni quyidagicha belgilashimiz mumkin , bu erda noldan boshqa har qanday haqiqiy qiymatlarni qabul qila oladigan parametr.

Misol.

Oxyz to'rtburchaklar koordinatalar tizimida uch o'lchovli fazoda kesishgan ikkita tekislik tenglamalari orqali aniqlangan to'g'ri chiziqning istalgan yo'nalish vektorining koordinatalarini toping. .

Yechim.

Samolyotlarning normal vektorlari vektorlardir Va mos ravishda. Berilgan ikkita tekislikning kesishmasi bo'lgan to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori normal vektorlarning vektor mahsulotidir:

Javob:

Fazoda to'g'ri chiziqning parametrik va kanonik tenglamalariga o'tish.

To'g'ri chiziqni tasvirlash uchun kesishgan ikkita tekislik tenglamalaridan foydalanish mutlaqo qulay bo'lmagan holatlar mavjud. Kosmosdagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalari ma'lum bo'lsa, ba'zi muammolarni hal qilish osonroq bo'ladi: yoki shakl fazosidagi chiziqning parametrik tenglamalari , bu erda x 1 , y 1 , z 1 - chiziqning ma'lum bir nuqtasining koordinatalari, a x , a y , a z - chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalari va ixtiyoriy haqiqiy qiymatlarni qabul qiluvchi parametr. Shaklning chiziqli tenglamalaridan o'tish jarayonini tasvirlaylik fazodagi to'g'ri chiziqning kanonik va parametrik tenglamalariga.

Oldingi paragraflarda biz chiziqning ma'lum bir nuqtasining koordinatalarini, shuningdek, ikkita kesishgan tekislik tenglamalari bilan berilgan chiziqning ma'lum bir yo'nalish vektorining koordinatalarini topishni o'rgandik. Bu ma'lumotlar fazoda to'rtburchaklar koordinatalar tizimida ushbu chiziqning kanonik va parametrik tenglamalarini yozish uchun etarli.

Keling, misolning yechimini ko'rib chiqamiz va shundan so'ng fazoda chiziqning kanonik va parametrik tenglamalarini topishning boshqa usulini ko'rsatamiz.

Misol.

Yechim.

Avval to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektorining koordinatalarini hisoblaymiz. Buning uchun normal vektorlarning vektor mahsulotini topamiz Va samolyotlar Va :

Ya'ni, .

Endi berilgan chiziqdagi ma’lum nuqtaning koordinatalarini aniqlaymiz. Buning uchun tenglamalar sistemasining yechimlaridan birini topamiz .

Aniqlovchi noldan farq qiladi, uni tizimning asosiy matritsasining bazis minori sifatida qabul qilaylik. Keyin z o'zgaruvchisi bo'sh, biz u bilan atamalarni tenglamalarning o'ng tomonlariga o'tkazamiz va z o'zgaruvchisiga ixtiyoriy qiymat beramiz:

Olingan tenglamalar tizimini Kramer usuli yordamida yechamiz:

Demak,

ni qabul qilamiz va chiziqdagi nuqtaning koordinatalarini olamiz: .

Endi fazoda asl chiziqning kerakli kanonik va parametrik tenglamalarini yozishimiz mumkin:

Javob:

Va

Bu muammoni hal qilishning ikkinchi usuli.

Chiziqning ma'lum bir nuqtasining koordinatalarini topishda biz tenglamalar tizimini yechamiz . Umuman olganda, uning yechimlari shaklda yozilishi mumkin .

Va bu kosmosdagi to'g'ri chiziqning kerakli parametrik tenglamalari. Agar olingan tenglamalarning har biri parametrga nisbatan yechilsa va keyin tengliklarning o‘ng tomonlari tenglashtirilsa, u holda fazodagi to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamalarini olamiz.

Keling, ushbu usul yordamida oldingi muammoning echimini ko'rsatamiz.

Misol.

Uch o'lchovli fazodagi to'g'ri chiziq ikkita kesishgan tekislik tenglamalari bilan aniqlanadi . Ushbu chiziq uchun kanonik va parametrik tenglamalarni yozing.

Yechim.

Biz uchta noma'lumli ikkita tenglamadan iborat ushbu tizimni yechamiz (yechish oldingi misolda berilgan, biz uni takrorlamaymiz). Bunday holda biz olamiz . Bular fazodagi to'g'ri chiziqning kerakli parametrik tenglamalari.

Kosmosdagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini olish qoladi:

Olingan to'g'ri chiziq tenglamalari oldingi misolda olingan tenglamalardan tashqi jihatdan farq qiladi, lekin ular ekvivalentdir, chunki ular uch o'lchovli fazoda bir xil nuqtalar to'plamini (va shuning uchun bir xil to'g'ri chiziq) belgilaydi.

Javob:

Va

Adabiyotlar ro'yxati.

• Bugrov Ya.S., Nikolskiy S.M. Oliy matematika. Birinchi jild: chiziqli algebra va analitik geometriya elementlari.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitik geometriya.