Uzunlamasına to'lqinlar. Bir jinsli tayoqning uzunlamasına tebranishlari Matematik model, Korteweg-de Vries tenglamasi
Qattiq to'siq bilan ta'sirlanganda energiya yo'qotilishini hisobga olgan holda yoki hisobga olmagan holda, o'zgaruvchan kesma novdalarining uzunlamasına tebranishlari muammosini hal qilish uchun chastotali usul taklif etiladi. Rodning uzunlamasına tebranishlar tenglamasi nolga teng bo'lmagan boshlang'ich shartlar mavjud bo'lganda Laplas bo'yicha o'zgartiriladi. Chegaraviy masala yechiladi, u Laplas tomonidan o'zgartirilgan chekka bo'ylama kuchlarini chekka siljishlarining funktsiyalari sifatida topishdan iborat. Keyin tugunlar uchun muvozanat tenglamalari tizimi tuziladi, uni hal qilishda amplituda-faza-chastota xarakteristikalari (APFC) qiziqtiruvchi novda kesimlari uchun tuziladi. Teskari Laplas konvertatsiyasini bajarish orqali o'tish jarayoni quriladi. Sinov misoli sifatida chekli uzunlikdagi doimiy kesmaning novdasi ko'rib chiqiladi. Ma'lum bo'lgan to'lqin eritmasi bilan taqqoslash berilgan. Qattiq to'siq bilan to'qnashuvda rodning dinamik hisoblash usuli cheksiz miqdordagi elastik bog'langan massalar mavjud bo'lganda, uchlari va uzunligi bo'ylab ixtiyoriy kuch qo'llaniladigan ixtiyoriy novda tizimini umumlashtirishga imkon beradi. tayoq.
Chastota usuli
tayoqning uzunlamasına tebranishlari
1. Biderman, V.L. Mexanik tebranishlarning amaliy nazariyasi / V.L. Biderman. – M.: Oliy maktab, 1972. – 416 b.
2. Lavrentiev, M.A. Kompleks o'zgaruvchining funktsiyalari nazariyasi usullari / M.A. Lavrentiev, B.V. Shabbat. – M.: Nauka, 1973. – 736 b.
3. Sankin, Yu.N. Tarqalgan parametrlarga ega viskoelastik tizimlarning dinamik xususiyatlari / Yu.N. Sankin. - Saratov: Sarat nashriyoti. Universitet, 1977. – 312 b.
4. Sankin, Yu.N. To'siq bilan to'qnashganda novda tizimlarining beqaror tebranishlari / Yu.N. Sankin, N.A. Yuganova; umumiy ostida ed. Yu.N. Sankina. – Ulyanovsk: Ulyanovsk davlat texnika universiteti, 2010. – 174 b.
5. Sankin, Y.N. Qattiq to'siq bilan to'qnashuvchi bosqichli o'zgaruvchan kesmaning elastik tayoqlarining uzunlamasına tebranishlari \ Yu. N. Sankin va N.A. Yuganova, J. Appl. Maths Mechs, jild. 65, № 3, bet. 427–433, 2001 yil.
Qattiq to'siq bilan ta'sir qilishda energiya yo'qotilishini hisobga olgan holda yoki hisobga olmagan holda bosqichli o'zgaruvchan tasavvurlar novdalarining uzunlamasına tebranishlari muammosini hal qilishning chastota usulini ko'rib chiqamiz, biz buni ma'lum to'lqin eritmasi bilan taqqoslaymiz. bir qator tebranish rejimlarining shakli (14).
Ichki qarshilik kuchlarini hisobga olgan holda novda uzunlamasına tebranishlari uchun differentsial tenglama quyidagi shaklga ega:
Keling, quyidagi chegara va boshlang'ich shartlarni o'rnatamiz:
. (2)
Berilgan dastlabki shartlar (2) uchun (1) tenglamani va chegaraviy shartlarni (2) Laplasga ko‘ra o‘zgartiramiz. U holda (2) tenglama va chegaraviy shartlar (2) quyidagicha yoziladi:
; (3)
,
novda nuqtalarining Laplas orqali o'zgartirilgan siljishlari qayerda; p - Laplas o'zgartirish parametri.
Tenglama (3) energiya sarfini hisobga olmagan holda (= 0 da) quyidagi shaklni oladi:
. (4)
Hosil boʻlgan bir jinsli boʻlmagan differensial tenglama uchun chegaraviy masala yechiladi, u Laplas tomonidan oʻzgartirilgan chekka boʻylama kuchlarini chekka siljishlar funksiyasi sifatida topishdan iborat.
Buning uchun energiya tarqalishini hisobga olgan holda novda uzunlamasına tebranishlarining bir hil tenglamasini ko'rib chiqing.
(5)
Belgilash
va yangi o'zgaruvchiga o'tsak, biz (5) o'rniga olamiz
(6)
Agar chastota parametri qaerda bo'lsa, u holda
.
Bir jinsli (6) tenglamaning yechimi quyidagi shaklga ega:
Dastlabki shartlardan c1 va c2 integratsiya konstantalarini topamiz:
u = u0 ; N = N0,
Bular. 
;
Ushbu yechim quyidagi transfer matritsasiga mos keladi:
. (7)
O'tkazish matritsasining elementlari uchun olingan ifodalarni siljish usuli formulalariga almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
;
(8)
;
n va k indekslari mos ravishda novda kesimining boshi va oxirini ko'rsatadi. Va nk va kn indeksli geometrik va fizik konstantalar tayoqning ma'lum bir qismiga ishora qiladi.
Rodni elementlarga bo'lib, formulalar (8) yordamida biz tugunlarning dinamik muvozanati uchun tenglamalar tuzamiz. Bu tenglamalar noma’lum tugun siljishlari uchun tenglamalar sistemasini ifodalaydi. Tegishli koeffitsientlar aniq integratsiya yo'li bilan olinganligi sababli, novda qismlarining uzunligi cheklanmagan.
Olingan tenglamalar tizimini yechish orqali biz novdaning bizni qiziqtirgan kesimlari uchun amplituda-faza-chastota xarakteristikalarini tuzamiz. Bu AFKlarni impulsli ta’sirlar ostida Laplas konvertatsiyasiga to‘g‘ri keladigan bir tomonlama Furye transformatsiyasining grafik tasviri sifatida qarash mumkin. Tegishli ifodalarning barcha yagona nuqtalari xayoliy o'qning chap tomonida joylashganligi sababli, teskari o'zgartirishni qabul qilish orqali amalga oshirilishi mumkin, ya'ni. tuzilgan AFKlardan foydalanish. Tayoqning zichligiga ko'paytirilgan boshlang'ich tezliklar maydoni kuch ta'sirida paydo bo'ladigan OFKni qurish vazifasi yordamchi hisoblanadi. Odatda, AFClar bezovta qiluvchi kuchlar ta'siridan tuziladi, keyin teskari Laplas konvertatsiyasi raqamli integratsiya yoki boshqa usul bilan amalga oshiriladi.
Oddiy misol sifatida, V0 tezlikda qattiq to'siq bilan uzunlamasına to'qnashuvchi l uzunlikdagi to'g'ri tayoqni ko'rib chiqaylik (1-rasm).
Tayoq nuqtalarining zarbadan keyin siljishini aniqlaylik. Ta'sirdan keyin to'siq va novda o'rtasidagi aloqa saqlanib qoladi deb taxmin qilamiz, ya'ni. tayoqning qaytishi yo'q. Agar ulanish tarkibida bo'lmasa, muammoni qismli chiziqli deb hisoblash mumkin. Boshqa yechim variantiga o'tish mezoni aloqa nuqtasida tezlik belgisining o'zgarishi hisoblanadi.
Lavrentyev M.A., Shabat B.V.ning monografiyasida. (4) tenglamaning to‘lqinli yechimi berilgan:
va uning asli topildi
, (9)
qayerda birlik qadam funksiyasi.
Ushbu muammoni hal qilishning yana bir yondashuvi ushbu maqolada tasvirlangan chastota usuli bilan amalga oshirilishi mumkin. Ushbu muammo bilan bog'liq holda bizda quyidagilar bo'ladi:
; 
;
; ;
; 
;
. (10)
Keling, asl nusxasini topamiz (11)
Xuddi shu masalani chastota usuli yordamida hal qilaylik. 1-tugunning muvozanat tenglamasidan:
(12)
biz novda uchini harakatlantirish uchun formulani olamiz.
Endi, agar doimiy kesmadagi sinov tayog'i l1 va l2 uzunlikdagi ikkita ixtiyoriy qismga bo'linsa (1-rasmga qarang), u holda tugunlar uchun muvozanat shartlari quyidagicha bo'ladi:
(13)
Tizimni (13) yechish natijasida biz 1 va 2-bo'limlarda (mos ravishda U1 va U2) siljishlar uchun faza-chastota javobining grafiklarini olamiz. Shunday qilib, (12) va (13) holatlarida energiya tarqalishini hisobga olgan holda yopiq shaklda chekka siljishi uchun tasvir mos keladi va shaklga ega:
. (14)
Keling, tayoqning oxirida natijalarning mos kelishini tekshiramiz. Shaklda. 2-rasmda eritmaning (10) x = l0.1 da va tizimni (13) yechish natijasida grafiklari ko'rsatilgan. Ular butunlay bir xil.
Vaqtinchalik jarayonni olish uchun diskret Furye transformatsiyasidan foydalanish mumkin. Natijani formuladan foydalanib t=0... sonli integrasiyani bajarish orqali olish mumkin
. (15)
OFKda (2-rasmga qarang) faqat bitta ko'rinadigan burilish sezilarli darajada namoyon bo'ladi. Shuning uchun ketma-ket (15) bir atama olinishi kerak. 3-rasmdagi grafiklar yechim (9) va tebranish rejimlari uchun yechim (11) tavsiya etilgan chastotali yechim bilan qanchalik to'g'ri kelishini ko'rsatadi. Xato 18% dan oshmaydi. Natijada paydo bo'lgan kelishmovchilik (9) va (11) echimlar novda materialida energiya tarqalishini hisobga olmasligi bilan izohlanadi.
Guruch. 3. Rodning oxiri uchun vaqtinchalik jarayon; 1, 2, 3 - formulalar (9), (11), (15) bo'yicha tuzilgan grafiklar.
Murakkabroq misol sifatida, uchida yuk bo'lgan pog'onali novdaning (4-rasm) bo'ylama tebranishlari, V0 tezlikli qattiq to'siq bilan to'qnashuvi masalasini ko'rib chiqing va yukning massasi massaga teng bo'lsin. rodning qo'shni qismining:.
Guruch. 4. Uchida yuk bo'lgan pog'onali novda bo'ylama tebranishlarini hisoblash diagrammasi.
Biz siljishlarni hisoblaydigan novda 1,2,3 xarakterli kesimlarini kiritamiz. Tenglamalarni yechish tizimini tuzamiz:
(16)
Tizimni (16) yechish natijasida biz ikkinchi va uchinchi bo'limlarda (U2() va U3() mos ravishda siljishlar uchun faza-chastota javobining (5-rasm) grafiklarini olamiz. Hisob-kitoblar quyidagi doimiy qiymatlar bilan amalga oshirildi: l = 2 m; E = 2,1×1011 Pa; F = 0,06 m2; = 7850 kg/m3; V = 10 m/s. Olingan AFClarda faqat ikkita ko'rinadigan burilish sezilarli darajada namoyon bo'ladi. Shuning uchun tanlangan bo'limlarda o'tish jarayonini qurishda biz ketma-ketlikning ikkita hadini olamiz (16). Buning uchun birinchi navbatda aniqlash kerak
Guruch. 5. Bosqichli tayoqning ikkinchi va uchinchi qismlaridagi siljishlar AFC (4-rasmga qarang).
O'tish jarayoni (15) formuladan foydalangan holda xuddi shunday tuzilgan.
Xulosa: to'siq bilan ta'sir qilishda novdalarning uzunlamasına tebranishlarini hisoblash usuli ishlab chiqilgan.
Taqrizchilar:
Lebedev A.M., texnika fanlari doktori, dotsent, Ulyanovsk oliy aviatsiya maktabi (instituti) professori, Ulyanovsk.
Antonets I.V., texnika fanlari doktori, Ulyanovsk davlat texnika universiteti professori, Ulyanovsk.
Bibliografik havola
Yuganova N.A. QATQIQ TO'SIQ BILAN TO'QSHISHDAGI RODLARNING BO'YLAMA VIBRASIYALARI // Fan va ta'limning zamonaviy muammolari. – 2014 yil. – 2-son;URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12054 (kirish sanasi: 15.01.2020). "Tabiiy fanlar akademiyasi" nashriyoti tomonidan chop etilgan jurnallarni e'tiboringizga havola etamiz.
Tarqalgan parametrlarga ega tizimlarning erkin tebranishlari
Cheksiz erkinlik darajasiga ega tizimlarning erkin tebranishlari jarayonining asosiy xususiyati tabiiy chastotalar sonining cheksizligi va rejim shakllarida ifodalanadi. Bu matematik xususiyatlar bilan ham bog'liq: cheklangan miqdordagi erkinlik darajasiga ega bo'lgan tizimlarning tebranishlarini tavsiflovchi oddiy differentsial tenglamalar o'rniga, biz qisman differensial tenglamalar bilan shug'ullanishimiz kerak. Dastlabki siljishlar va tezliklarni aniqlaydigan dastlabki shartlardan tashqari, tizimning fiksatsiyasini tavsiflovchi chegaraviy shartlarni ham hisobga olish kerak.
6.1. Rodlarning uzunlamasına tebranishlari
To'g'ri tayoqning bo'ylama tebranishlarini tahlil qilganda (67-rasm, a) biz kesmalar tekis bo'lib qoladi va novda zarralari ko'ndalang harakatlarni amalga oshirmaydi, faqat bo'ylama yo'nalishda harakat qiladi deb taxmin qilamiz.
Mayli u - tebranishlar paytida rodning joriy qismining uzunlamasına harakati; bu harakat kesimning joylashishiga (koordinatalar x) va t vaqtiga bog'liq. Shunday qilib, ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi mavjud; uning ta'rifi asosiy vazifani ifodalaydi. Cheksiz yaqin kesmaning siljishi ga teng, shuning uchun cheksiz kichik elementning mutlaq uzayishi teng (67-rasm, b), nisbiy uzayishi esa ga teng.
Shunga ko'ra, koordinatali bo'limda uzunlamasına kuch X sifatida yozish mumkin
,(173)
taranglikda (siqilishda) tayoqning qattiqligi qayerda. N kuchi ham ikkita argumentning funksiyasi - koordinatalar X va vaqt t.
Ikki cheksiz yaqin kesimlar orasida joylashgan novda elementini ko'rib chiqaylik (67-rasm, v). Elementning chap tomoniga N kuch, o'ng tomoniga esa kuch qo'llaniladi. Agar novda materialining zichligini belgilasak, unda ko'rib chiqilayotgan elementning massasi . Shuning uchun o'qga proyeksiyada harakat tenglamasi X
,
Ko'rib chiqish (173) va qabul qilish A= const, olamiz
Furye usulidan foydalanib, biz (175) differensial tenglamaning ma'lum bir yechimini shaklda qidiramiz.
,(177)
bular. harakat deb faraz qilaylik u ikkita funktsiyaning mahsuloti sifatida ifodalanishi mumkin, ulardan biri faqat argumentga bog'liq X, ikkinchisi esa faqat t argumentidan. Keyin u (x, t) ikkita o'zgaruvchining funksiyasini aniqlash o'rniga, har biri faqat bitta o'zgaruvchiga bog'liq bo'lgan ikkita X(x) va T(t) funksiyalarni aniqlash kerak.
(177) ni (174) o‘rniga qo‘yib, hosil bo‘lamiz
bu yerda tub sonlar ga nisbatan farqlash amalini bildiradi x, va nuqtalar bilan t. Keling, bu tenglamani quyidagicha qayta yozamiz:
Bu erda chap tomon faqat x ga, o'ng tomon esa faqat t ga bog'liq. Ushbu tenglik bir xil bo'lishi uchun (har qanday x va t) uning har bir qismi doimiyga teng bo'lishi kerak, biz buni quyidagicha belgilaymiz:
; .(178)
Bu ikkita tenglamaga olib keladi:
;
.(179)
Birinchi tenglamaning yechimi bor:
,(180)
tebranish xarakterini ko'rsatadi va (180) dan noma'lum miqdor erkin tebranishlar chastotasi ma'nosiga ega ekanligi aniq.
(179) tenglamalarning ikkinchisi yechimga ega:
,(181)
tebranishlar shaklini aniqlash.
Qiymatni aniqlaydigan chastota tenglamasi chegara shartlaridan foydalangan holda tuziladi. Bu tenglama har doim transsendental bo'lib, cheksiz ko'p ildizlarga ega. Shunday qilib, tabiiy chastotalar soni cheksiz bo'lib, har bir chastota qiymati bog'liqlik (180) bilan aniqlangan o'zining T n (t) funktsiyasiga va bog'liqlik (181) bilan aniqlangan Xn (x) funktsiyasiga mos keladi. Yechim (177) faqat qisman bo'lib, harakatning to'liq tavsifini bermaydi. To'liq eritma barcha qisman eritmalarni qo'shish orqali olinadi:
.
X n (x) funksiyalar chaqiriladi o'z funktsiyalari muammolar va ularning tebranish usullarini tavsiflash. Ular boshlang'ich shartlarga bog'liq emas va ortogonallik shartini qanoatlantiradi, bu A = const uchun shaklga ega.
, Agar .
Keling, chegara shartlari uchun ba'zi variantlarni ko'rib chiqaylik.
Tayoqning mahkamlangan uchi(68-rasm, a). Oxirgi qismda u ko'chishi nolga teng bo'lishi kerak; shundan kelib chiqadiki, ushbu bo'limda
X=0(182)
Tayoqning erkin uchi(68-rasm, b). Oxirgi qismda uzunlamasına kuch
(183)
bir xil nolga teng bo'lishi kerak, agar oxirida X" = 0 bo'lsa mumkin.
Chidamli tayoqning oxiri(68-rasm, c).
Harakatlanayotganda u so'nggi novda, elastik qo'llab-quvvatlash reaktsiyasi paydo bo'ladi 
, bu erda C o - tayanchning qattiqligi. Uzunlamasına kuch uchun (183) hisobga olib, biz chegara shartini olamiz
qo'llab-quvvatlash rodning chap uchida joylashgan bo'lsa (68-rasm, c) va
qo'llab-quvvatlash rodning o'ng uchida joylashgan bo'lsa (68-rasm, d).
Rodning oxirida konsentrlangan massa.
Massa tomonidan ishlab chiqilgan inertsiya kuchi:
.
Chunki, (179) tenglamalarning birinchisiga ko'ra, inersiya kuchini ko'rinishda yozish mumkin. Biz chegara shartini olamiz
,
agar massa chap uchida bo'lsa (68-rasm, d), va
, (184)
agar massa o'ng uchiga ulangan bo'lsa (68-rasm, e).
Konsol novdasining tabiiy chastotalarini aniqlaymiz (68,a"-rasm).
(182) va (183) ga muvofiq chegara shartlari
X=0at x=0;
X"=0 da x= .
Bu shartlarni birma-bir yechimga (181) almashtirib, hosil qilamiz
C0 sharti chastota tenglamasiga olib keladi:
Bu tenglamaning ildizlari
(n=1,2,…)
Tabiiy chastotalarni aniqlang:
(n=1,2,…).(185)
n=1 da birinchi (eng past) chastota:
.
Ikkinchi chastota (n=2 da):
Massasi uchida bo'lgan novdaning tabiiy chastotalarini aniqlaymiz (68-rasm, f).
(182) va (184) ga ko'ra bizda mavjud
X=0 da x=0;
x= da.
Ushbu shartlarni yechimga (181) almashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
D=0; 
.
Binobarin, (176) hisobga olinganda chastota tenglamasi shaklga ega
.
Bu erda o'ng tomon novda massasining oxirgi yukning massasiga nisbatini ifodalaydi.
Olingan transsendental tenglamani yechish uchun qandaydir taxminiy usuldan foydalanish kerak.
At va eng muhim pastki ildizning qiymatlari mos ravishda 0,32 va 0,65 bo'ladi.
Kichik nisbatda yuk hal qiluvchi ta'sirga ega va taxminiy yechim yaxshi natijalar beradi
.
O'zgaruvchan tasavvurlar majmuasi uchun, ya'ni. Aconst uchun (173) va (174) dan harakat tenglamasi shaklda olinadi.
.
Bu differentsial tenglamani yopiq shaklda yechish mumkin emas. Shuning uchun bunday hollarda tabiiy chastotalarni aniqlashning taxminiy usullariga murojaat qilish kerak.
6.2. Millarning burilish tebranishlari
Uzluksiz taqsimlangan massaga ega bo'lgan vallarning burilish tebranishlari (69-rasm, a) tuzilishi bo'yicha novdalarning uzunlamasına tebranishlari uchun yuqoridagi tenglamalarga to'liq mos keladigan tenglamalar bilan tavsiflanadi.
Abtsissa bilan kesmada M momenti X burilish burchagi bilan (173) ga o'xshash differensial bog'liqlik bilan bog'langan:
Qayerda Jp-kesmaning qutbli inersiya momenti.
Masofada joylashgan bo'limda dx, moment tengdir (69-rasm, b):
Mil massasining uning o'qiga nisbatan inersiya momentining intensivligini (ya'ni, uzunlik birligiga to'g'ri keladigan inersiya momenti) orqali (val materialining zichligi qaerda) belgilash, milning elementar kesimining harakat tenglamasi. quyidagicha yozilishi mumkin:
,
yoki shunga o'xshash (174):
.
Bu yerda (186) ifodani, bilan almashtirish Jp=const (175) ga o'xshash tarzda olamiz:
, (187)
(187) tenglamaning umumiy yechimi (175) tenglama kabi shaklga ega
,
(188)
Tabiiy chastotalar va xos funksiyalar aniq chegara shartlari bilan belgilanadi.
Uzunlamasına tebranishlarga o'xshab, uchlarini mahkamlashning asosiy holatlarida biz olamiz
a) sobit uchi (=0): X=0;
b) erkin uchi (M=0): X"=0;
V) chidamli chap uchi: CoX=GJpX "(Birgalikda qattiqlik koeffitsienti);
G) chidamli o'ng uchi: -CoX=GJpX ";
e) diskning chap tomonida: 
(Jo - novda o'qiga nisbatan diskning inersiya momenti);
e) o'ng tomondagi disk: 
.
Agar mil chap uchida (x=0) mahkamlangan bo'lsa va o'ng uchi (x=) bo'sh bo'lsa, x=0 da X=0 va x=da X"=0; tabiiy chastotalar ( ga o'xshash tarzda aniqlanadi) 185):
(n=1,2,…).
Agar chap uchi mahkamlangan bo'lsa va o'ng uchida disk bo'lsa, biz transsendental tenglamani olamiz:
.
Agar milning ikkala uchi ham mahkamlangan bo'lsa, u holda x=0 va x= uchun chegara shartlari X=0 bo'ladi. Bu holda (188) dan olamiz
bular.
(n=1,2,…),
Bu yerdan biz tabiiy chastotalarni topamiz:
Agar milning chap uchi bo'sh bo'lsa va o'ng uchida disk bo'lsa, x=0 uchun X"=0; x= uchun Jo X=GJpX ".
(188) dan foydalanib topamiz
C=0; 
,
yoki transsendental chastota tenglamasi:
.
6.3.To`sinlarning egilish tebranishlari
6.3.1 Asosiy tenglama
Materiallarning mustahkamligi kursidan egilish nurlarining differentsial bog'liqliklari ma'lum:
bu erda EJ egilish qattiqligi; y=y (x, t) - burilish; M=M(x, t) - egilish momenti; q - taqsimlangan yukning intensivligi.
(189) va (190) birlashtirib, biz olamiz
.(191)
Erkin tebranishlar muammosida elastik skelet uchun yuk taqsimlangan inertial kuchlardir:
bu erda m - nur massasining intensivligi (uzunlik birligiga to'g'ri keladigan massa) va (191) tenglama shaklni oladi.
.
Doimiy kesmaning maxsus holatida, EJ = const, m = const bo'lganda, bizda:
.(192)
(192) tenglamani yechish uchun, yuqoridagidek, faraz qilamiz:
y= X ( x)× T ( t ).(193)
(193) ni (192) ga almashtirib, tenglamaga erishamiz:
.
Bu tenglik bir xil bajarilishi uchun tenglikning har bir qismi doimiy bo'lishi kerak. Bu doimiyni bilan belgilab, ikkita tenglamaga erishamiz:
.(195)
Birinchi tenglama, harakatning chastota bilan salınımlı ekanligini ko'rsatadi.
Ikkinchi tenglama tebranishlar shaklini aniqlaydi. (195) tenglamaning yechimi to'rtta konstantani o'z ichiga oladi va ko'rinishga ega
A.N.Krylov tomonidan taklif qilingan umumiy yechimni yozish variantidan foydalanish qulay:
(198)
A.N.Krylovning funktsiyalarini ifodalaydi.
X=0 da S=1, T=U=V=0 bo‘lishiga e’tibor qarataylik. S, T, U, V funktsiyalari quyidagicha bog'langan:
Shuning uchun hosila ifodalar (197) shaklida yoziladi
(200)
Ko'rib chiqilayotgan sinf muammolarida tabiiy chastotalar soni cheksiz ko'p; ularning har biri o'z vaqt funksiyasi T n va o'zining asosiy funktsiyasi X n ga ega. Umumiy yechim (193) ko'rinishdagi qisman eritmalarni qo'yish orqali olinadi.
.(201)
Tabiiy chastotalar va formulalarni aniqlash uchun chegara shartlarini hisobga olish kerak.
6.3.2. Chegara shartlari
Barning har bir uchi uchun siz ikkita chegara shartini belgilashingiz mumkin .
Tayoqning erkin uchi(70-rasm, a). Ko'ndalang kuch Q=EJX""T va egilish momenti M=EJX""T nolga teng. Shuning uchun chegara shartlari ko'rinishga ega.
X""=0; X"""=0 .(202)
Menteşeli qo'llab-quvvatlanadigan novda uchi(70-rasm, b). Burilish y=XT va egilish momenti M=EJX""T nolga teng. Shunday qilib, chegara shartlari:
X=0; X""=0 .(203)
Chiqib ketgan uchi(70-rasm, c). Burilish y=XT va aylanish burchagi nolga teng. Chegara shartlari:
X=0; X"=0. (204)
Rodning oxirida nuqta massasi mavjud(70-rasm, d). Uning inertial kuchi 
(194) tenglama yordamida quyidagicha yozish mumkin: ; u siljish kuchiga teng bo'lishi kerakQ=EJX"""T, shuning uchun chegara shartlari shaklni oladi.
; X""=0 .(205)
Birinchi holatda, nuqta yuki novda chap uchiga ulanganda ortiqcha belgisi va novda o'ng uchiga ulanganda minus belgisi olinadi. Ikkinchi shart egilish momentining yo'qligidan kelib chiqadi.
Tayoqning elastik qo'llab-quvvatlanadigan uchi(70-rasm, d). Bu yerda egilish momenti nolga teng, ko‘ndalang kuch Q=EJX"""T tayanch reaksiyasiga teng. 
(C o - qo'llab-quvvatlovchi qattiqlik koeffitsienti).
Chegara shartlari:
X""=0 ; (206)
(elastik tayanch qolganda minus belgisi, o'ngda esa ortiqcha belgisi olinadi).
6.3.3. Chastotalar tenglamasi va xos shakllari
Chegaraviy shartlarning kengaytirilgan qayd etilishi C 1, C 2, C 3, C 4 konstantalariga nisbatan bir hil tenglamalarga olib keladi.
Bu konstantalar nolga teng bo'lmasligi uchun sistemaning koeffitsientlaridan tuzilgan aniqlovchi nolga teng bo'lishi kerak; bu chastota tenglamasiga olib keladi. Ushbu operatsiyalar davomida C 1, C 2, C 3, C 4 o'rtasidagi munosabatlar aniqlanadi, ya'ni. tabiiy tebranish rejimlari aniqlanadi (doimiy omilgacha).
Keling, misollar yordamida chastota tenglamalarining tarkibini kuzatamiz.
(203) ga ko'ra, uchlari sharnirli to'sin uchun quyidagi chegaraviy shartlarga ega bo'lamiz: X=0; x=0 va x= uchun X""=0. (197)-(200) dan foydalanib, biz birinchi ikkita shartdan olamiz: C 1 =C 3 =0. Qolgan ikkita shartni quyidagicha yozish mumkin
C 2 va C 4 nolga teng bo'lmasligi uchun determinant nolga teng bo'lishi kerak:
.
Shunday qilib, chastota tenglamasi shaklga ega
.
T va U ifodalarini almashtirib, biz hosil bo'lamiz
Chunki, oxirgi chastota tenglamasi quyidagicha yoziladi:
. (207)
Bu tenglamaning ildizlari:
,(n =1,2,3,...).
(196) ni hisobga olib, olamiz
.(208)
Keling, o'z shakllarimizni belgilashga o'tamiz. Yuqorida yozilgan bir hil tenglamalardan C 2 va C 4 konstantalari o'rtasidagi quyidagi bog'liqlik quyidagicha bo'ladi:
.
Binobarin, (197) shaklni oladi
(207) ga ko'ra bizda bor
,(209)
bu erda - boshlang'ich shartlar hisobga olinmaguncha qiymati noaniq bo'lib qoladigan yangi konstanta.
6.3.4. Harakatni dastlabki shartlar asosida aniqlash
Agar dastlabki buzilishdan keyingi harakatni aniqlash zarur bo'lsa, nurning barcha nuqtalari uchun dastlabki siljishlarni ham, boshlang'ich tezliklarni ham ko'rsatish kerak:
(210)
va xos shakllarning ortogonallik xususiyatidan foydalaning:
.
Umumiy yechimni (201) quyidagicha yozamiz:
.(211)
Tezlik tomonidan berilgan
.(212)
(211) va (212) tenglamalarning o'ng tomonlariga va chap tomonlariga ma'lum bo'lgan dastlabki siljishlar va tezliklarni almashtirib, biz hosil bo'lamiz.
.
Ushbu iboralarni ko'paytirish va butun uzunlik bo'ylab integrallash, biz bor
(213)
Ortogonallik xususiyati tufayli o'ng tomondagi cheksiz summalar yo'qoldi. (213) dan va doimiylar uchun formulalarga amal qiling
(214)
Endi bu natijalarni eritmaga almashtirish kerak (211).
Yana bir bor ta'kidlab o'tamizki, xos shakllar masshtabini tanlash muhim emas. Agar, masalan, xos shakl ifodasida (209) uning o'rniga marta kattaroq qiymat olsak, u holda (214) marta kichikroq natijalar beradi; eritma (211) ga almashtirilgandan so'ng, bu farqlar bir-birini qoplaydi. Shunga qaramay, ular ko'pincha normalangan xos funktsiyalardan foydalanadilar, ularning masshtabini shunday tanlaydilarki, ifodalarning maxrajlari (214) birga teng bo'ladi, bu esa ifodalarni soddalashtiradi.
6.3.5. Doimiy uzunlamasına kuchning ta'siri
Tebranish jarayonida kattaligi o'zgarmaydigan N bo'ylama kuchga duchor bo'lgan vaziyatni ko'rib chiqaylik. Bunday holda, statik egilish tenglamasi murakkablashadi va shaklni oladi (agar siqish kuchi ijobiy deb hisoblansa)
.
Qattiqlik konstantasini qabul qilib va hisobga olib, erkin tebranishlar tenglamasini olamiz
.(215)
Biz shaklda ma'lum bir yechimni qabul qilishda davom etamiz.
Keyin (215) tenglama ikkita tenglamaga bo'linadi:
Birinchi tenglama eritmaning tebranish xususiyatini ifodalaydi, ikkinchisi tebranishlar shaklini aniqlaydi, shuningdek, chastotalarni topishga imkon beradi. Keling, buni shunday qayta yozamiz:
(216)
Qayerda K(196) formula bilan aniqlanadi va
(216) tenglamaning yechimi ko'rinishga ega
Keling, tayoqning ikkala uchida menteşeli tayanchlar bo'lgan holatni ko'rib chiqaylik. Chap tomonda shartlar 
bering. O'ng tomonda bir xil shartlarni qondirib, biz olamiz
va miqdorlari uchun koeffitsientlardan tashkil topgan determinantni nolga tenglashtirib, tenglamaga erishamiz.
Ushbu chastota tenglamasining ildizlari:
Shuning uchun tabiiy chastota tenglamadan aniqlanadi
.
Bu yerdan (217) ni hisobga olib, topamiz
.(219)
Cho'zilganida chastota ortadi, siqilganda u kamayadi. Siqish kuchi N kritik qiymatga yaqinlashganda, ildiz nolga intiladi.
6.3.6. Zanjir kuchlarining ta'siri
Ilgari uzunlamasına kuch berilgan va tizimning siljishlaridan mustaqil deb hisoblangan. Ba'zi amaliy masalalarda ko'ndalang tebranishlar jarayoniga hamroh bo'lgan uzunlamasına kuch nurning egilishi tufayli yuzaga keladi va tayanch reaktsiyasi xarakteriga ega. Misol uchun, ikkita menteşeli va mahkamlangan tayanchlardagi nurni ko'rib chiqing. U egilganida, tayanchlarning gorizontal reaktsiyalari yuzaga keladi, bu esa nurning cho'zilishiga olib keladi; mos keladigan gorizontal kuch odatda chaqiriladi zanjir kuchi. Agar nur ko'ndalang tebransa, zanjir kuchi vaqt o'tishi bilan o'zgaradi.
Agar t lahzada nurning burilishlari funktsiya bilan aniqlansa, u holda o'qning cho'zilishi formuladan foydalanib topilishi mumkin.
.
Guk qonunidan foydalanib, tegishli zanjir kuchini topamiz
.
Bu natijani N uzunlamasına kuch o'rniga (215) ga almashtiramiz (belgini hisobga olgan holda)
.(220)
Natijada nochiziqli integrodifferensial Tenglama almashtirish yordamida soddalashtiriladi
,(221)
bu erda vaqtning o'lchovsiz funksiyasi, uning maksimal qiymati har qanday raqamga teng bo'lishi mumkin, masalan, birlik; tebranishlar amplitudasi.
(221) ni (220) ga almashtirib, oddiy differensial tenglamani olamiz
,(222)
ularning koeffitsientlari quyidagi qiymatlarga ega:
;.
Differensial tenglama (222) chiziqli emas, shuning uchun erkin tebranishlarning chastotasi ularning amplitudasiga bog'liq.
Transvers tebranishlar chastotasi uchun aniq yechim shaklga ega
zanjir kuchlarini hisobga olmasdan hisoblangan transvers tebranishlar chastotasi qayerda; tebranish amplitudasining kesmaning aylanish radiusiga nisbatiga qarab tuzatish koeffitsienti; qiymat mos yozuvlar adabiyotida berilgan.
Kesmaning amplitudasi va aylanish radiusi mutanosib bo'lsa, chastotani tuzatish muhim bo'ladi. Agar, masalan, dumaloq tayoqning tebranish amplitudasi uning diametriga teng bo'lsa, u holda , va chastota tayanchlarning erkin joy almashishi holida deyarli ikki barobar katta.
Koson inersiya radiusining nol qiymatiga to'g'ri keladi, bunda nurning egilish qattiqligi g'oyib bo'lganda - ip. Shu bilan birga, formula noaniqlikni beradi. Ushbu noaniqlikni ochib, biz ipning tebranish chastotasi uchun formulani olamiz
.
Ushbu formula muvozanat holatida kuchlanish nolga teng bo'lgan holatga taalluqlidir. Ko'pincha torli tebranishlar muammosi boshqa taxminlar ostida qo'yiladi: siljishlar kichik bo'lib, kuchlanish kuchi berilgan va tebranish jarayonida o'zgarmagan deb hisoblanadi.
Bunday holda, chastota formulasi shaklga ega
bu erda N - doimiy tortish kuchi.
6.4. Yopishqoq ishqalanish ta'siri
Ilgari novdalarning materiali mukammal elastik va ishqalanish yo'q deb taxmin qilingan. Keling, ichki ishqalanishning ta'sirini ko'rib chiqaylik, uni yopishqoq deb hisoblaymiz; keyin kuchlanish va deformatsiya o'rtasidagi munosabatlar munosabatlar bilan tavsiflanadi
;
.(223)
Tarqalgan parametrlarga ega novda erkin uzunlamasına tebranishlarni amalga oshirsin. Bunday holda, uzunlamasına kuch shaklda yoziladi
Rod elementining harakat tenglamasidan (174) munosabat olingan
Bu yerda (224) ni almashtirib, asosiy differensial tenglamaga kelamiz
,(225)
viskoz ishqalanish kuchlarining ta'sirini ifodalovchi ikkinchi muddat bilan (175) dan farq qiladi.
Furye usulidan kelib chiqib, (225) tenglamaning yechimini shaklda qidiramiz
,(226)
bu yerda funksiya faqat x koordinatalari, funksiya esa faqat t vaqt.
Bunda qatorning har bir a'zosi masalaning chegaraviy shartlarini, butun yig'indi ham boshlang'ich shartlarni qondirishi kerak. (226) ni (225) ga almashtirish va istalgan son uchun tenglikni bajarishni talab qilish r, olamiz
,(227)
bu yerda tub sonlar koordinataga nisbatan farqlanishni bildiradi x, va nuqtalar t vaqtga nisbatan farqlanadi.
Mahsulotga (227) bo'lish 
, biz tenglikka erishamiz
,(228)
chap tomon, bu faqat koordinataga bog'liq bo'lishi mumkin x, va to'g'ri - faqat t vaqtidan boshlab. Tenglik (228) bir xil bajarilishi uchun ikkala qism ham bir xil konstantaga teng bo'lishi kerak, biz uni bilan belgilaymiz.
Shundan kelib chiqib, tenglamalarni bajaring
(229)
.(230)
Tenglama (229) yopishqoqlik koeffitsienti K ga bog'liq emas va, xususan, mukammal elastik tizimda bir xil bo'lib qoladi, qachon . Shuning uchun raqamlar ilgari topilganlarga to'liq mos keladi; ammo, quyida ko'rsatilgandek, qiymat faqat tabiiy chastotaning taxminiy qiymatini beradi. E'tibor bering, o'z shakllari novdaning yopishqoq xususiyatlaridan butunlay mustaqildir, ya'ni. erkin so'ndirilmagan tebranishlarning shakllari erkin so'nmagan tebranishlar shakllariga to'g'ri keladi.
Endi (230) tenglamaga o'tamiz, bunda sönümli tebranishlar jarayoni tasvirlanadi; uning yechimi shaklga ega
.(233)
(232) ifoda parchalanish tezligini, (233) esa tebranish chastotasini aniqlaydi.
Shunday qilib, muammo tenglamasining to'liq echimi
.(234)
Doimiy va har doim berilgan dastlabki shartlar asosida topilishi mumkin. Tayoqning barcha bo'limlarining dastlabki siljishlari va boshlang'ich tezligi quyidagicha belgilansin:
;
,(235)
qaerda va ma'lum funktsiyalar.
U holda uchun, (211) va (212) ga ko'ra, biz bor
bu tengliklarning ikkala tomonini ko'paytirib, novdaning butun uzunligi bo'ylab integratsiyalash orqali biz hosil bo'lamiz
(236)
Xususiy shakllarning ortogonallik shartiga ko'ra, bu tengliklarning o'ng tomonlariga kiritilgan barcha boshqa hadlar nolga aylanadi. Endi tengliklardan (236) istalgan r raqamini topish oson.
(232) va (234) ni hisobga olsak, tebranish rejimining soni qancha ko'p bo'lsa, uning so'nishi shunchalik tez bo'lishini ta'kidlaymiz. Bundan tashqari, (234) ga kiritilgan atamalar, agar haqiqiy son mavjud bo'lsa, so'yilgan tebranishlarni tavsiflaydi. (233) dan ko'rinib turibdiki, bu tengsizlik bajarilganda r ning bir necha boshlang'ich qiymatlari uchungina sodir bo'ladi.
Etarlicha katta qiymatlar uchun r tengsizlik (237) buziladi va miqdor xayoliy holga keladi. Bunda umumiy yechimning (234) mos keluvchi shartlari endi sönümli tebranishlarni tasvirlamaydi, balki aperiodik sönümli harakatni ifodalaydi. Boshqacha aytganda, tebranishlar, so'zning odatiy ma'nosida, faqat yig'indining ma'lum bir cheklangan qismi bilan ifodalanadi (234).
Bu barcha sifatli xulosalar faqat bo'ylama tebranish holatlariga emas, balki burilish va egilish tebranishlariga ham tegishli.
6.5. O'zgaruvchan kesma barlarning tebranishlari
Tayoqning taqsimlangan massasi va kesimi uning uzunligi bo'ylab o'zgaruvchan bo'lsa, bo'ylama tebranish tenglamasi (175) o'rniga, tenglamadan harakat qilish kerak.
.(238)
Buralish tebranish tenglamasini (187) tenglama bilan almashtirish kerak
,(239)
ko‘ndalang tebranishlar tenglamasi (192) esa tenglama hisoblanadi
.(240)
(238)-(240) tenglamalarni o'xshash almashtirishlar yordamida ;;funktsiya uchun oddiy differentsial tenglamalarga keltirish mumkin.
TA'RIF
Uzunlamasına to'lqin- bu to'lqin bo'lib, uning tarqalishi paytida muhitning zarralari to'lqinning tarqalish yo'nalishi bo'yicha siljiydi (1-rasm, a).
Uzunlamasına to'lqinning sababi siqilish / kengaytma, ya'ni. muhitning uning hajmining o'zgarishiga qarshiligi. Suyuqlik yoki gazlarda bunday deformatsiya muhit zarrachalarining kamayishi yoki siqilishi bilan kechadi. Uzunlamasına to'lqinlar har qanday muhitda - qattiq, suyuq va gazsimon muhitda tarqalishi mumkin.
Uzunlamasına to'lqinlarga elastik tayoqdagi to'lqinlar yoki gazlardagi tovush to'lqinlari misol bo'la oladi.
Transvers to'lqinlar
TA'RIF
Transvers to'lqin- bu to'lqin bo'lib, uning tarqalishi paytida muhit zarralari to'lqinning tarqalishiga perpendikulyar yo'nalishda siljiydi (1-rasm, b).
Ko'ndalang to'lqinning sababi muhitning bir qatlamining boshqasiga nisbatan siljish deformatsiyasidir. Ko'ndalang to'lqin muhit bo'ylab tarqalsa, tizmalar va chuqurliklar hosil bo'ladi. Suyuqliklar va gazlar, qattiq jismlardan farqli o'laroq, qatlamlarning siljishiga nisbatan elastiklikka ega emaslar, ya'ni. shakli o'zgarishiga qarshilik qilmang. Shuning uchun ko'ndalang to'lqinlar faqat qattiq jismlarda tarqalishi mumkin.
Cho'zilgan arqon yoki ip bo'ylab harakatlanadigan to'lqinlar ko'ndalang to'lqinlarga misol bo'la oladi.
Suyuqlik yuzasidagi to'lqinlar bo'ylama ham, ko'ndalang ham emas. Agar siz suzuvchini suv yuzasiga tashlasangiz, u to'lqinlar ustida aylana shaklida harakatlanayotganini ko'rishingiz mumkin. Shunday qilib, suyuqlik yuzasida to'lqin ko'ndalang va bo'ylama tarkibiy qismlarga ega. Maxsus turdagi to'lqinlar suyuqlik yuzasida ham paydo bo'lishi mumkin - deb ataladigan narsa sirt to'lqinlari. Ular sirt tarangligining ta'siri va kuchi natijasida paydo bo'ladi.
Muammoni hal qilishga misollar
MISOL 1
| Mashq qilish | Ko'ndalang to'lqinning tarqalish yo'nalishini aniqlang, agar vaqtning bir nuqtasida suzuvchi rasmda ko'rsatilgan tezlik yo'nalishiga ega bo'lsa. |
| Yechim | Keling, rasm chizamiz. Keling, ma'lum vaqtdan keyin to'lqinning sirtini suzuvchi yaqinida chizamiz, bu vaqt ichida suzuvchi cho'kib ketganini hisobga olgan holda, chunki u vaqt momentida pastga yo'naltirilgan. Chiziqni o'ngga va chapga davom ettirib, biz to'lqinning vaqtidagi o'rnini ko'rsatamiz. Vaqtning dastlabki momentidagi (qattiq chiziq) va vaqt momentidagi (chiziq chiziq) to'lqinning holatini taqqoslab, biz to'lqin chapga tarqaladi degan xulosaga keldik. |
MEXANIKA
UDC 531.01/534.112
RODLAR PAKETINING BO'YLAMA VIBRASIYALARI
A.M. Pavlov, A.N. Temnov
MSTU im. N.E. Bauman, Moskva, Rossiya Federatsiyasi elektron pochtasi: [elektron pochta himoyalangan]; [elektron pochta himoyalangan]
Suyuq yonilg'i raketalarining dinamikasi masalalarida, bo'ylama elastik tebranishlar sodir bo'lganda, raketa harakatining barqarorligi muammosi muhim rol o'ynaydi. Bunday tebranishlarning paydo bo'lishi o'z-o'zidan tebranishlarning o'rnatilishiga olib kelishi mumkin, agar raketa bo'ylama yo'nalishda beqaror bo'lsa, uning tezda yo'q qilinishiga olib kelishi mumkin. Raketaning uzunlamasına tebranishlari muammosi ishlab chiqilgan, hisoblash modeli sifatida rodlar o'ramidan foydalanilgan. Raketa tanklaridagi suyuqlik "muzlatilgan" deb qabul qilinadi, ya'ni. suyuqlikning o'z harakatlari hisobga olinmaydi. Ko'rib chiqilayotgan masala bo'yicha umumiy energiya balansi qonuni shakllantirilib, uning operator formulasi keltirilgan. Raqamli misol keltirilib, ular uchun chastotalar aniqlanadi, tabiiy tebranishlarning shakllari tuziladi va tahlil qilinadi.
Kalit so'zlar: uzunlamasına tebranishlar, tebranishlarning chastotasi va shakli, novdalar to'plami, umumiy energiya balansi qonuni, o'z-o'zidan qo'shilish operatori, tebranish spektri, POGO.
RODLAR TIZIMI BO'YLAMA VIBRASYONLAR A.M. Pavlov, AL. Temnov
Bauman nomidagi Moskva davlat texnika universiteti, Moskva, Rossiya Federatsiyasi elektron pochtasi: [elektron pochta himoyalangan]; [elektron pochta himoyalangan]
Suyuq yonilg'i raketalari dinamikasi masalalarida bu raketaning harakat barqarorligi muammosi uzunlamasına elastik tebranishlarning paydo bo'lishi bilan muhim rol o'ynaydi. Bunday tebranishlarning paydo bo'lishi o'z-o'zidan tebranishlarni keltirib chiqarishi mumkin, bu esa raketaning bo'ylama yo'nalishda beqarorligida raketaning tezda yo'q qilinishiga olib kelishi mumkin. Paket sxemasi asosida suyuq yonilg'i raketasining uzunlamasına tebranishlari bo'yicha muammo hisoblash modeli sifatida o'rash tayoqchalari yordamida ishlab chiqilgan. Raketa tanklaridagi suyuqlik "muzlatilgan" deb taxmin qilinadi, ya'ni. suyuqlikning to'g'ri harakatlari kiritilmagan. Ushbu muammo uchun energiyani tejash printsipi ishlab chiqilgan va uning operatori bosqichlari berilgan. Raqamli misol bor, ular uchun chastotalar aniqlangan, Eigen tebranish shakllari qurilgan va tahlil qilingan.
Kalit so'zlar: uzunlamasına tebranishlar, xos rejimlar va chastotalar, rodlar modeli, energiyani tejash printsipi, o'z-o'zidan qo'shilish operatori, tebranish spektri, POGO.
Kirish. Hozirgi vaqtda Rossiyada va xorijda kerakli orbitaga foydali yukni chiqarish uchun ko'pincha markaziy blok atrofida teng taqsimlangan bir xil yon bloklari bo'lgan paketli raketalardan foydalaniladi.
Paket konstruktsiyalarining tebranishlarini o'rganish yon va markaziy bloklarning dinamik ta'siri bilan bog'liq ma'lum qiyinchiliklarga duch keladi. Otish apparati joylashuvining simmetriyasida paket konstruktsiyasi bloklarining murakkab, fazoviy o'zaro ta'siri cheklangan miqdordagi tebranish turlariga bo'linishi mumkin, ulardan biri markaziy va yon bloklarning uzunlamasına tebranishlaridir. Yupqa devorli novdalar paketi ko'rinishidagi bunday strukturaning uzunlamasına tebranishlarining matematik modeli ishda batafsil ko'rib chiqiladi. Guruch. 1. Markaziy sxemasi- Ushbu maqola bo'ylama nazariy novda va hisoblash natijalarini taqdim etadi.
A.A tomonidan olib borilgan tadqiqotni to'ldiruvchi novdalar paketining tebranishlari. Afsus.
Muammoni shakllantirish. l0 uzunlikdagi markaziy tayoqcha va bir xil uzunlikdagi j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, mahkamlangan N yon tayoqchalardan tashkil topgan novdalar o‘ramining boshqa uzunlamasına tebranishlarini ko‘rib chiqamiz. A nuqtada (xA = l) (1-rasm) markaziy kamon elementlari bilan qattiqlik k.
OX qo‘zg‘almas sanoq sistemasini kiritamiz va tayoqchalarning qattiqligi EFj (x), taqsimlangan massa mj (x) va buzilish q (x,t) x koordinatasining chegaralangan funksiyalari deb faraz qilaylik:
0 0 < mj < mj (x) < Mj; (1) 0 Uzunlamasına tebranishlar paytida tenglamalar bilan aniqlangan x koordinatali novda kesimlarida Uj (x, t) siljishlari yuzaga kelsin. mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2) novdalarning uchlarida normal kuchlarning yo'qligi uchun chegara shartlari 3 =0, x = 0, ^ = 1, 2, 0, x = 0, x = l0; novdalarda paydo bo'ladigan normal kuchlarning tenglik shartlari, EF-3 = F x = l bahor elementlarining elastik kuchlari FpPJ = k (sh (xa) - u (¡,)); (4) EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa; markaziy tayoqning xa nuqtasidagi siljishlarning tenglik sharti Shch (ha-o) = Shch (xa+o) va dastlabki shartlar Shch y (x, 0) - Shch (x); , _ u(x, 0) = u(x), bu erda u(x, 0) = "d^1(x, 0). Umumiy energiya balansi qonuni. (2) tenglamani u(x,p) ga ko'paytiramiz, har bir novda uzunligi bo'yicha integrallashamiz va chegara shartlari (3) va mos keladigan shart (4) yordamida natijalarni qo'shamiz. Natijada biz olamiz (( 1 ^ [ (diL 2 TZ (x) "BT" (x+ dt | 2 ^ J 3 w V dt N x „ h 2 .. N „ i. 1 ^ G „„ , f dp3\ , 1 ^ Gj 1 N /* i dpl 2 1 N fl j EF3 dx +2^Uo I (x - -)(no - Uj)2 dx = / ^ (x, £) ular y (x, £) (x, (6) bu yerda 8 (x - ¡y) Dirac delta funksiyasi. (6) tenglamada jingalak qavs ichidagi birinchi had tizimning kinetik energiyasini T (¿), ikkinchisi novdalarning deformatsiyasidan kelib chiqadigan potentsial energiya Pr (£) ni, uchinchisi esa potentsial energiyani ifodalaydi. Pk (£) prujinali elementlarning elastik deformatsiyalari mavjud bo'lganda novdalar shaklida yozilishi mumkin. Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Eu. (6) tenglama ko'rib chiqilayotgan mexanik tizimning vaqt birligidagi umumiy energiyaning o'zgarishi quvvatga teng ekanligini ko'rsatadi. tashqi ta'sir. Tashqi buzilish q (x,t) bo'lmasa, biz umumiy energiyaning saqlanish qonunini olamiz: T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0). Kinematografiya. Energiya balansi qonuni shuni ko'rsatadiki, har qanday t vaqt uchun Uj (x, t) funktsiyalari skalar ko'paytma bilan ¡i uzunligi bo'yicha aniqlangan L2j(; m3 (x)) Gilbert fazosining elementlari sifatida ko'rib chiqilishi mumkin. (us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0 va tegishli norma. L2j ortogonal yig‘indisiga teng H = L20 F L21 F... F L2N, U = (uo, Ui,..., uN)t vektor funksiyasi va A operatori bilan ishlaydigan Gilbert fazosini H kiritamiz. munosabatga ko'ra H maydoni AU = diag (A00U0, A11U1,..., Annun). mj(x)dx\jdx" da belgilangan operatorlar (3) va (4) shartlarni qanoatlantiradigan funksiyalarning B (A33) S N o'rnating. Dastlabki masala (1)-(5) boshlang'ich shartlari bilan birga shaklda yoziladi Au = f (*), u (0) = u0, 17(0) = u1, (7) Bu erda f (*) = ((*), 51 (*),..., Yam (¿))t. Lemma. 1. Agar dastlabki ikkita shart (1) bajarilsa, evolyutsiya masalasidagi (7) operator A H fazoda chegaralanmagan, o‘z-o‘zidan qo‘shilgan, musbat aniqlangan operator bo‘ladi. (Au,K)n = (u,AK)n, (Au, u)i > c2 (i, u)i. 2. Operator A novdalar o‘ramining tebranishlarining potentsial energiyasining ikki barobariga teng normaga ega bo‘lgan NA energiya fazosini hosil qiladi. 3\^I h)2 = 2P > 0. (8) IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2P > 0. < Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно: (AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+ +£ jm(x) (- jx) | (ef- (x) dndxa))v-(x) dx=... = EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x) J EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) uo (x) ?o (x) + ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x) J EFo (x) uo (x) v" (x) dx - EFo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0 EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) + J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100 + £ / EF.,- (x) u- (x) g?- (x) dx+ o O(xa)- £ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10 + £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 - + £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H (AU, U)H = ... = I EF0 (x) u"2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) J EF0 (x) u"0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) + ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x) "J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx U^ k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) = EF0 (x) u"2 (x) dx + / EF0 (x) u"0 (x) dx + S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H Yuqoridagi natijalardan kelib chiqadiki, A operatorining energiya normasi (8) formula bilan ifodalanadi. Evolyutsion muammoning echilishi. Keling, quyidagi teoremani tuzamiz. Teorema 1. Shartlar bajarilsin U0 £ D (A1/2) , U0 £ H, f (t) £ C (; H), u holda (7) masala formula bilan aniqlangan intervalda yagona kuchsiz yechim U (t) ga ega U (t) = U0 cos (tA1/2) +U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds. 5 tashqi buzilish f (£) bo'lmasa, energiyaning saqlanish qonuni bajariladi. 1 II A 1/2UI2 = 1 1 II A1/2U 0|H. < Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости . Rodlar paketining tabiiy tebranishlari. Tayoq tizimiga tashqi kuchlar maydoni ta'sir qilmaydi, deb faraz qilaylik: f (t) = 0. Bunday holda, novdalarning harakatlari erkin deb nomlanadi. Exp (iwt) qonuniga ko'ra t vaqtga bog'liq holda rodlarning erkin harakati tabiiy tebranishlar deb ataladi. (7) tenglamada U (x, t) = U (x) eiWÍ ni olib, A operatori uchun spektral masalani olamiz: AU - AEU = 0, L = w2. (9) A operatorining xossalari xos funksiyalarning spektri va xossalari haqidagi teoremani shakllantirish imkonini beradi. Teorema 2. Rodlar paketining tabiiy tebranishlari haqidagi spektral masala (9) diskret musbat spektrga ega. 0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то va H va HA boʻshliqlarida toʻliq va ortogonal boʻlgan xos funksiyalar tizimi (Uk (x))^=0 va quyidagi ortogonallik formulalari bajariladi: (Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0 (Uk= £/T^) d*+ K ("feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=i Tayoqchalarning bir jinsli paketi holatida spektral muammoni o'rganish. m- (x, £) siljish funksiyasini m- (x, £) = m- (x) ko'rinishida taqdim etib, o'zgaruvchilarni ajratgandan so'ng, har bir novda uchun spektral masalalarni olamiz: ^Oi + Lm = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10) biz matritsa shaklida yozamiz 4 £ + Li = 0, A = -,-,-,...,- \ t0 t1 t2 t « u = (u0, u1, u2,..., u«)t. Olingan natijalarni yechish va tahlil qilish. Kesimdagi markaziy novda uchun siljish funksiyalarini u01, kesmada u02 (g) deb belgilaymiz. Bunda u02 funksiya uchun koordinatalar boshini / koordinatali nuqtaga o'tkazamiz. Har bir novda uchun (10) tenglamaning yechimini shaklda keltiramiz (11) dagi noma’lum konstantalarni topish uchun yuqorida ifodalangan chegara shartlaridan foydalanamiz. Bir jinsli chegara shartlaridan ba'zi konstantalarni aniqlash mumkin, xususan: C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0. Natijada, N + 3 konstantalarini topish qoladi: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Buning uchun N + 3 noma'lum uchun N + 3 tenglamani yechamiz. Olingan sistemani matritsa shaklida yozamiz: (A) (C) = (0) . Bu erda (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)t noma'lumlar vektori; (A) - xarakterli matritsa, cos (A1) EF0 A gunoh (A1) + L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000 0 y 00 00 0 000Y a = k soe ^ ^A-L^; in = -k co8((.40-01L)1/2 ^ ; 7 = (A4"-1 l) 1/2 ap ((A"1l) 1/2 + k sov ((A"1l) 1/2; (~ \ 1/2 ~ L= ^L] ; A--: 3 = 0. Notrivial yechim topish uchun o'zgaruvchi sifatida doimiy C01 € M ni olamiz.Bizda ikkita variant bor: C01 = 0; C01 = 0. C01 = 0 bo'lsin, keyin C03 = C04 = 0. Bu holda qo'shimcha shart bajarilganda (12) dan 7 = 0 bo'lsa, notrivial yechim olinishi mumkin. £ s-1 = 0, (13) sistemaning uchinchi tenglamasidan (12) olinishi mumkin. Natijada oddiy chastota tenglamasini olamiz EP (A"1 L)1/2 Vt ((A"1^1/2 P + zz \V zz K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G , birinchi qisman tizim sifatida qaralishi mumkin bo'lgan bir uchida elastik ravishda o'rnatilgan novda uchun chastota tenglamasiga to'g'ri keladi. Bunda (13) shartni qanoatlantiradigan yon tayoqchalar harakatining barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalarini shartli ravishda fazalarning turli kombinatsiyalariga mos keladigan guruhlarga bo'lish mumkin (ko'rib chiqilayotgan holatda faza C.d belgisi bilan belgilanadi). Agar yon tayoqlarni bir xil deb hisoblasak, bizda ikkita variant mavjud: 1) Sd = 0, u holda turli N uchun bunday birikmalar sonini n = N 2 formula yordamida hisoblash mumkin, bu erda qoldiqsiz bo'linish funktsiyasi; 2) har qanday (yoki har qanday) doimiy C- 0 ga teng, keyin mumkin bo'lgan kombinatsiyalar soni ortadi va formula bilan aniqlanishi mumkin. £ [(N - m) div 2]. Coi = 0 bo'lsin, keyin Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = = C01 (-v/t), bu erda in va y (12) ga kiritilgan komplekslar. (12) tizimdan bizda ham bor: C03 = C01 cos (A/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), ya'ni. barcha konstantalar C01 orqali ifodalanadi. Chastota tenglamasi shaklni oladi EFo U-o1 L tg A-1 L) " (lo - l)) - K2 cos | í a!-,1 L Misol sifatida, to'rtta yon panjarali tizimni ko'rib chiqing. Yuqorida tavsiflangan usulga qo'shimcha ravishda, ushbu misol uchun siz A matritsasining determinantini hisoblash va uni nolga tenglashtirish orqali butun tizim uchun chastota tenglamasini yozishingiz mumkin. Keling, buni ko'rib chiqaylik Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoL+ L cos (L (/o - /)) (EFoL sin (L/) + 4v)) - 4av3L cos (L(/0 - /)) = 0. Yuqorida ko'rib chiqilgan holatlar uchun transsendental chastota tenglamalarining grafiklari rasmda keltirilgan. 2. Dastlabki ma'lumotlar sifatida quyidagilar olingan: EF = 2,109 N; EF0 = 2,2 109 N; k = 7 107 N/m; m = 5900 kg / m; mo = 6000 kg/m; / = 23; /o = 33 m. Ko'rib chiqilayotgan sxemaning dastlabki uchta tebranish chastotasining qiymatlari quyida keltirilgan: n...................................... va xursandman................................. 1 2 3 20,08 31,53 63,50 Guruch. 2. Coi = 0 (i) va Coi = 0 (2) uchun transsendental chastota tenglamalarining grafiklari Olingan yechimlarga mos keladigan tebranish rejimlarini keltiramiz (umumiy holatda tebranish rejimlari normallashtirilmagan). Birinchi, ikkinchi, uchinchi, to'rtinchi, 13 va 14 chastotalarga mos keladigan tebranish shakllari rasmda ko'rsatilgan. 3. Birinchi tebranish chastotasida yon tayoqchalar bir xil shaklda tebranadi, lekin antifazada juft bo'ladi. 3-rasm. Yon (1) va markaziy (2) novdalarning tebranish shakllari, birinchi V = 3,20 Gts (a), ikkinchi V = 5,02 Gts (b), uchinchi V = 10,11 Gts (c), to'rtinchisiga mos keladi. V = 13,60 Gts (d), 13-V = 45,90 Gts (d) va 14-V = 50,88 Gts (f) chastotalar (3-rasm, a), ikkinchisi bilan markaziy novda tebranadi va yon tomonlari fazada bir xil shaklda tebranadi (3-rasm, b). Shuni ta'kidlash kerakki, ko'rib chiqilayotgan novda tizimining birinchi va ikkinchi tebranish chastotalari qattiq jismlardan tashkil topgan tizimning tebranishlariga mos keladi. Tizim uchinchi tabiiy chastota bilan tebranganda, tugunlar birinchi marta paydo bo'ladi (3c-rasm). Uchinchi va keyingi chastotalar (3d-rasm) tizimning elastik tebranishlariga mos keladi. Elastik elementlarning ta'sirining pasayishi bilan bog'liq tebranish chastotasining ortishi bilan tebranishlarning chastotalari va shakllari qisman bo'lishga intiladi (3-rasm, e, f). Abscissa o'qi bilan kesishish nuqtalari transsendental tenglamalarning yechimlari bo'lgan funktsiyalarning egri chiziqlari rasmda keltirilgan. 4. Rasmga ko'ra tizim tebranishlarining tabiiy chastotalari qisman chastotalar yaqinida joylashgan. Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, chastota ortishi bilan tabiiy chastotalarning qisman bilan yaqinlashishi ortadi. Natijada, butun tizim tebranish chastotalari shartli ravishda ikki guruhga bo'linadi: yon tayoqning qisman chastotalariga yaqin bo'lganlar va markaziy rodning qisman chastotalariga yaqin chastotalar. Xulosa. Rodlar paketining uzunlamasına tebranishlari muammosi ko'rib chiqiladi. Belgilangan chegaraviy muammoning xususiyatlari va uning o'ziga xos qiymatlari spektri tasvirlangan. Ixtiyoriy miqdordagi bir jinsli yon tayoqchalar uchun spektral masala yechimi taklif qilingan. Raqamli misol uchun, birinchi tebranish chastotalarining qiymatlari topiladi va tegishli shakllar tuziladi. Tuzilgan tebranish rejimlarining ba'zi xarakterli xususiyatlari ham aniqlandi. Guruch. 4. Abtsissa o'qi bilan kesishish nuqtalari transsendental tenglamalar yechimi bo'lgan funksiyalarning egri chiziqlari CoX = 0 (1), Cox = 0 (2) uchun birinchi qisman tizimga (elastikga mahkamlangan yon tayoqcha) to'g'ri keladi. x = I nuqtadagi element va ikkinchi qismli tizim (5) (A nuqtasida to'rtta elastik elementga mahkamlangan markaziy novda) ADABIYOT 1. Kolesnikov K.S. Raketalar dinamikasi. M.: Mashinasozlik, 2003. 520 b. 2. Balistik raketalar va raketalar / O.M. Alifanov, A.N. Andreev, V.N. Gushchin va boshqalar M.: Bustard, 2004. 511 b. 3. Rabinovich B.I. Kosmik kemalarni uchirish apparatlarining dinamikasi bilan tanishtirish. M.: Mashinasozlik, 1974. 396 b. 4. Suyuq raketalarning POGO barqarorligi bo'yicha parametrlarni o'rganish / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // Kosmik kemalar va raketalarning J. 2011. jild. 48.Is. 3. B. 537-541. 5. Balakirev Yu.G. Suyuq harakatlanuvchi raketalarning uzunlamasına tebranishlarini tahlil qilish usullari // Kosmonavtika va raketa fanlari. 1995. No 5. B. 50-58. 6. Balakirev Yu.G. Boshqarish ob'ekti sifatida partiyaning suyuq raketasining matematik modelining xususiyatlari // Zamonaviy mashinasozlikning tanlangan quvvat muammolari. 2008. 43-55-betlar. 7. Dokuchaev L.V. Simmetriyani hisobga olgan holda paketli raketa dinamikasini o'rganish usullarini takomillashtirish // Kosmonavtika va raketa fanlari. 2005. No 2. B. 112-121. 8. Pozhalostin A.A. Suyuqlik bilan elastik qobiqlarning tabiiy va majburiy tebranishlarini hisoblashning taxminiy analitik usullarini ishlab chiqish: dis. ... Tech. Sci. M., 2005. 220 b. 9. Kran S.G. Banax fazolarida chiziqli differensial tenglamalar. M.: Nauka, 1967. 464 b. 10. Kopachevskiy I.D. Matematik fizikaning operator usullari. Simferopol: MChJ "Forma", 2008. 140 p. Kolesnikov K.S. Dinamika raketasi. Moskva, Mashinostroenie nashriyoti, 2003. 520 b. Alifanov O.N., Andreev A.N., Gushchin V.N., muharrirlar. Ballisticheskie rakety va rakety-nositeli. Moskva, Drofa nashriyoti, 2003. 511 p. Rabinovich B.I. Vvedenie v dinamiku raket-nositeley kosmicheskix apparatov. Moskva, Mashinostroenie nashriyoti, 1974. 396 p. Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Chjan Q. Suyuq yonilg'i raketasining POGO barqarorligi bo'yicha parametrlarni o'rganish. J. Kosmik kemalar va raketalar, 2011, jild. 48, iss. 3, bet. 537-541. Balakirev Yu.G. Suyuq dvigatelli raketalarning uzunlamasına tebranishlarini tahlil qilish usullari. Kosm. men raketostr. , 1995 yil, №. 5, bet. 50-58 (rus tilida). Balakirev Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob"ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya". Moskva, Fizmatlit nashriyoti, 2008. 204 b. (435-betdan keltirilgan). Dokuchaev L.V. Klasterli raketalarning simmetriyasini hisobga olgan holda dinamikasini o'rganish usullarini takomillashtirish. Kosm. men raketostr. , 2005 yil, №. 2, bet. 112-121 (rus tilida). Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh i vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s jidkost"yu. Diss. dokt. texn. nauk . Kreyn S.G. Lineynye differentsial"nye uravneniya v Banaxovykh prostranstvax. Moskva, Nauka nashriyoti, 1967. 464 b. Kopachevskiy I.D. Operatornye metody matematicheskoy fiziki. Simferopol", Forma nashriyoti, 2008. 140 b. Maqola muharrir tomonidan 2014 yil 28 aprelda olingan Pavlov Arseniy Mixaylovich - MSTU Kosmik kemalar va uchirish mashinalari fakulteti talabasi. N.E. Bauman. Raketa va kosmik texnologiyalar sohasida ixtisoslashgan. MSTU im. N.E. Baumash, Rossiya Federatsiyasi, 105005, Moskva, 2-Baumanskaya ko'chasi, 5-uy. Pavlov A.M. - Bauman nomidagi Moskva davlat texnika universitetining “Kosmik kemalar va uchirish vositalari” fakulteti talabasi. Raketa-kosmik texnologiyalar sohasida mutaxassis. Bauman nomidagi Moskva davlat texnika universiteti, Baumanskaya ko'chasi, 2-ya. 5, Moskva, 105005 Rossiya Federatsiyasi. Temnov Aleksandr Nikolaevich - t.f.n. fizika va matematika fanlar, Moskva davlat texnika universitetining “Koinot kemalari va uchirish vositalari” kafedrasi dotsenti. N.E. Bauman. Suyuqlik va gaz mexanikasi hamda raketa-kosmik texnologiyalar sohasida 20 dan ortiq ilmiy ishlar muallifi. MSTU im. N.E. Baumash, Rossiya Federatsiyasi, 105005, Moskva, 2-Baumanskaya ko'chasi, 5-uy. Temnov A.N. - Cand. Sci. (fizika-matematika), dots. Bauman nomidagi Moskva davlat texnika universitetining "Kosmik kemalar va uchiruvchi vositalar" kafedrasi professori. Suyuqlik va gaz mexanikasi va raketa-kosmik texnologiyalar sohasida 20 dan ortiq nashrlar muallifi. Bauman nomidagi Moskva davlat texnika universiteti, Baumanskaya ko'chasi, 2-ya. 5, Moskva, 105005 Rossiya Federatsiyasi.
