Belirli bir noktadan belirli bir yönde geçen bir çizginin denklemi. Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemi. İki düz çizgi arasındaki açı. İki düz çizginin paralellik ve diklik durumu. İki çizginin kesişme noktasının belirlenmesi

Çözümlü problem örnekleri

İki noktadan geçen bir çizginin denklemini bulun: (-1, 2) ve (2, 1).

Çözüm.

Denklem'e göre.

buna inanmak X 1 = -1, sen 1 = 2, X 2 = 2, sen 2 = 1 (hangi noktanın ilk, hangi noktanın ikinci olduğu önemli değildir), şunu elde ederiz:

basitleştirmelerden sonra formdaki gerekli son denklemi elde ederiz

X + 3sen - 5 = 0.

Üçgenin kenarları denklemlerle verilmektedir: (AB ) 2 X + 4 sen + 1 = 0, (AC. ) X - sen + 2 = 0, (M.Ö. ) 3 X + 4 sen -12 = 0. Üçgenin köşelerinin koordinatlarını bulun.

Çözüm.

Köşe koordinatları A tarafların denklemlerinden oluşan bir sistemi çözerek buluruz AB Ve AC.:

İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemini temel cebirden bilinen yöntemleri kullanarak çözüyoruz ve şunu elde ediyoruz:

Tepe noktası A koordinatları var

Köşe koordinatları B tarafların denklem sistemini çözerek bulacağız AB Ve M.Ö.:

Aldığımız .

Köşe koordinatları C tarafların denklem sistemini çözerek elde ederiz M.Ö. Ve AC.:

Tepe noktası C koordinatları vardır.

A (2, 5) 3. çizgiye paralelX - 4 sen + 15 = 0.

Çözüm.

İki doğru paralelse, denklemlerinin her zaman yalnızca serbest terimleri farklı olacak şekilde temsil edilebileceğini kanıtlayalım. Aslında iki doğrunun paralelliği durumundan şu sonuç çıkar.

ile belirtelim T bu ilişkilerin genel değeri. Daha sonra

ve bundan şu sonuç çıkıyor

A 1 = A 2 T, B 1 = B 2 T. (1)

Eğer iki satır

A 1 X + B 1 sen + C 1 = 0 ve

A 2 X + B 2 sen + C 2 = 0

paraleldir, koşullar (1) karşılanmıştır ve bu denklemlerden ilkinde yerine A 1 ve B 1 formül (1)'e göre, elimizde olacak

A 2 teşekkür ederim + B 2 sana + C 1 = 0,

veya denklemin her iki tarafını da bölerek şunu elde ederiz:

Ortaya çıkan denklemin ikinci düz çizginin denklemiyle karşılaştırılması A 2 X + B 2 sen + C 2 = 0, bu denklemlerin yalnızca serbest terimde farklı olduğunu not ediyoruz; Böylece neyin gerekli olduğunu kanıtladık. Şimdi sorunu çözmeye başlayalım. İstenilen doğrunun denklemini, verilen doğrunun denkleminden sadece serbest terim kadar farklı olacak şekilde yazacağız: bu denklemden istenilen denklemin ilk iki terimini alıp onu göstereceğiz. tarafından ücretsiz süre C. Daha sonra gerekli denklem forma yazılacaktır.

3X - 4sen + C = 0, (3)

ve belirlenecek C.

Denklem (3)'te değerin verilmesi C mümkün olan tüm gerçek değerleri kullanarak, verilene paralel bir dizi doğru elde ederiz. Dolayısıyla, denklem (3), bir doğrunun değil, belirli bir doğruya paralel tüm bir doğrular ailesinin denklemidir 3 X - 4sen+ 15 = 0. Bu çizgi ailesinden noktadan geçeni seçmeliyiz A(2, 5).

Bir doğru bir noktadan geçiyorsa bu noktanın koordinatları doğrunun denklemini sağlamalıdır. Ve bu nedenle belirleyeceğiz C, eğer (3)'te mevcut koordinatların yerine koyarsak X Ve sen nokta koordinatları A yani X = 2, sen= 5. Alırız ve C = 14.

Bulunan değer C(3)'ü yerine koyarsak gerekli denklem aşağıdaki gibi yazılacaktır:

3X - 4sen + 14 = 0.

Aynı sorun başka bir şekilde de çözülebilir. Paralel doğruların açısal katsayıları birbirine eşit olduğundan ve belirli bir doğru için 3 X - 4sen+15 = 0 eğim varsa istenilen doğrunun eğimi de eşittir.

Şimdi denklemi kullanıyoruz sen - sen 1 = k(X - X 1) bir sürü düz çizgi. Nokta A Düz çizginin içinden geçtiği (2, 5) bizim tarafımızdan bilinmektedir ve bu nedenle kalemin düz çizgi denkleminin yerine konulması sen - sen 1 = k(X - X 1) değerler, elde ederiz

veya basitleştirmelerden sonra 3 X - 4sen+ 14 = 0, yani öncekiyle aynı.

Bir noktadan geçen çizgilerin denklemlerini bulmaA (3, 4) düz çizgi 2'ye 60 derecelik bir açıylaX + 3 sen + 6 = 0.

Çözüm.

Sorunu çözmek için I ve II numaralı çizgilerin açısal katsayılarını belirlememiz gerekiyor (şekle bakınız). Bu katsayıları sırasıyla şu şekilde gösterelim: k 1 ve k 2 ve bu çizginin açısal katsayısı k. Şurası açık ki.

İki düz çizgi arasındaki açının tanımına dayanarak, belirli bir çizgi ile düz bir çizgi arasındaki açıyı belirlerken formüldeki kesrin payını takip ediyorum

bu çizginin eğimini çıkarın, çünkü noktanın etrafında saat yönünün tersine döndürülmesi gerekir C I düz çizgisiyle çakışıncaya kadar.

Bunu göz önünde bulundurarak elde ederiz

II. çizgi ile belirli bir çizgi arasındaki açıyı belirlerken, aynı kesirin payındaki II. çizginin açısal katsayısı çıkarılmalıdır; k 2, II. çizginin nokta etrafında saat yönünün tersine döndürülmesi gerektiğinden B bu çizgiye denk gelene kadar:

Bir noktadan geçen çizginin denklemini bulunA (5, -1) 3. çizgiye dikX - 7 sen + 14 = 0.

Çözüm.

Eğer iki satır

A 1 X + B 1 sen + C 1 = 0, A 2 X + B 2 sen + C 2 = 0

dik ise eşitlik

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0,

ya da aynı şey nedir?

A 1 A 2 = -B 1 B 2 ,

ve bundan şu sonuç çıkıyor

Bu ifadelerin genel anlamını şu şekilde belirtiriz: T.

Sonra şu oluyor

A 2 = B 1 T, B 2 = -A 1 T.

Bu değerleri değiştirme A 2 ve B 2 ve ikinci satırın denklemini elde ederiz

B 1 teşekkür ederim - A 1 sana + C 2 = 0.

veya bölerek T eşitliğin her iki tarafında da

Ortaya çıkan denklemin ilk düz çizginin denklemiyle karşılaştırılması

A 1 X + B 1 sen + C 1 = 0,

katsayılarının olduğunu görüyoruz. X Ve sen yer değiştirmiştir ve birinci ve ikinci terimler arasındaki işaret ters yönde değişmiştir ancak serbest terimler farklıdır.

Şimdi sorunu çözmeye başlayalım. 3. doğruya dik bir doğrunun denklemini yazmak istiyorum X - 7sen+ 14 = 0, yukarıda çıkan sonuca dayanarak şu şekilde ilerleyeceğiz: katsayıları değiştireceğiz X Ve sen ve aralarındaki eksi işaretini artı işaretiyle değiştirin ve serbest terimi harfle belirtin C. 7 alıyoruz X + 3sen + C= 0. Bu denklem 3. doğruya dik olan bir doğrular ailesinin denklemidir. X - 7sen+ 14 = 0. Tanımla C istenilen çizginin noktadan geçmesi koşulundan A(5, -1). Bir çizgi bir noktadan geçiyorsa bu noktanın koordinatlarının çizginin denklemini sağlaması gerektiği bilinmektedir. Son denklemde 5'i yerine koymak X ve bunun yerine -1 sen, alıyoruz

anlamı bu C Son denklemde yerine koyun ve elde edin

7X + 3sen - 32 = 0.

Aynı problemi farklı bir şekilde çözelim, bunun için kalemin düz çizgi denklemini kullanalım.

sen - sen 1 = k(X - X 1).

Bu doğrunun eğimi 3 X - 7sen + 14 = 0

daha sonra ona dik olan çizginin açısal katsayısı,

Düz çizgilerden oluşan bir kalemin denkleminde yerine koyma ve bunun yerine X 1 ve sen Bu noktanın 1 koordinatı A(5, -1), bul veya 3 sen + 3 = -7X+35 ve son olarak 7 X + 3sen- 32 = 0, yani öncekiyle aynı.

Öklid geometrisinde düz bir çizginin özellikleri.

Herhangi bir noktadan geçen sonsuz sayıda düz çizgi çizilebilir.

Çakışmayan herhangi iki noktadan tek bir doğru çizilebilir.

Bir düzlemde birbirinden farklı iki doğru ya tek bir noktada kesişir ya da

paralel (öncekinin devamı).

Üç boyutlu uzayda iki çizginin göreceli konumu için üç seçenek vardır:

• çizgiler kesişiyor;

• çizgiler paraleldir;

• düz çizgiler kesişir.

Dümdüz astar— birinci dereceden cebirsel eğri: Kartezyen koordinat sisteminde düz bir çizgi

düzlemde birinci dereceden bir denklem (doğrusal denklem) ile verilir.

Düz bir çizginin genel denklemi.

Tanım. Düzlemdeki herhangi bir düz çizgi birinci dereceden bir denklemle belirtilebilir

Balta + Wu + C = 0,

ve sabit A, B aynı anda sıfıra eşit değildir. Bu birinci dereceden denklem denir genel

bir doğrunun denklemi. Sabitlerin değerlerine bağlı olarak A, B Ve İLE Aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

. C = 0, Bir ≠0, B ≠ 0- orijinden düz bir çizgi geçer

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- eksene paralel düz çizgi Ah

. B = 0, Bir ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- eksene paralel düz çizgi kuruluş birimi

. B = C = 0, Bir ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor kuruluş birimi

. bir = C = 0, B ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor Ah

Düz bir çizginin denklemi verilen herhangi bir duruma bağlı olarak farklı biçimlerde sunulabilir.

başlangıç ​​koşulları.

Bir noktadan ve normal bir vektörden gelen düz bir çizginin denklemi.

Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde (A, B) bileşenlerine sahip bir vektör

denklemin verdiği çizgiye dik

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Bir noktadan geçen çizginin denklemini bulun bir(1, 2) vektöre dik (3, -1).

Çözüm. A = 3 ve B = -1 ile doğrunun denklemini yazalım: 3x - y + C = 0. C katsayısını bulmak için

Elde edilen ifadede verilen A noktasının koordinatlarını yerine koyalım: 3 - 2 + C = 0 elde ederiz, dolayısıyla

C = -1. Toplam: gerekli denklem: 3x - y - 1 = 0.

İki noktadan geçen doğrunun denklemi.

Uzayda iki nokta verilsin M 1 (x 1, y 1, z 1) Ve M2 (x 2, y 2, z 2), Daha sonra bir çizginin denklemi,

şu noktalardan geçerek:

Paydalardan herhangi biri sıfır ise karşılık gelen pay sıfıra eşitlenmelidir. Açık

düzlemde yukarıda yazılan düz çizginin denklemi basitleştirilmiştir:

Eğer x 1 ≠ x 2 Ve x = x 1, Eğer x 1 = x 2 .

Kesir = k isminde eğim dümdüz.

Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun.

Çözüm. Yukarıda yazılan formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Bir nokta ve eğim kullanılarak düz bir çizginin denklemi.

Doğrunun genel denklemi ise Balta + Wu + C = 0şunlara yol açar:

ve atayın , sonra ortaya çıkan denklem denir

eğimi k olan bir doğrunun denklemi.

Bir noktadan ve yön vektöründen gelen düz bir çizginin denklemi.

Normal vektör boyunca düz bir çizginin denklemini dikkate alan noktaya benzetilerek göreve girebilirsiniz.

bir noktadan geçen düz bir çizgi ve bir düz çizginin yönlendirici vektörü.

Tanım. Sıfır olmayan her vektör (a 1, a 2) bileşenleri koşulu karşılayan

Aα 1 + Bα 2 = 0 isminde Bir doğrunun yönlendirici vektörü.

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Yön vektörü (1, -1) olan ve A(1, 2) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini bulun.

Çözüm. İstenilen çizginin denklemini formda arayacağız: Ax + By + C = 0. Tanıma göre,

katsayılar aşağıdaki koşulları karşılamalıdır:

1 * A + (-1) * B = 0, yani. A = B.

O halde düz çizginin denklemi şu şekildedir: Ax + Ay + C = 0, veya x + y + C / A = 0.

en x = 1, y = 2 aldık C/A = -3 yani gerekli denklem:

x + y - 3 = 0

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.

Düz çizginin genel denkleminde Ах + Ву + С = 0 С≠0 ise, -С'ye bölerek şunu elde ederiz:

veya nerede

Katsayıların geometrik anlamı, a katsayısının kesişim noktasının koordinatı olmasıdır.

eksenli düz Ah, A B- çizginin eksenle kesişme noktasının koordinatı OU.

Örnek. Düz bir çizginin genel denklemi verilmiştir x - y + 1 = 0. Bu doğrunun denklemini segmentler halinde bulun.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Bir doğrunun normal denklemi.

Denklemin her iki tarafı ise Balta + Wu + C = 0 sayıya böl buna denir

normalleştirme faktörü, sonra elde ederiz

xcosφ + ysinφ - p = 0 -bir doğrunun normal denklemi.

Normalleştirme faktörünün ± işareti şu şekilde seçilmelidir: µ*C< 0.

R- Başlangıç ​​noktasından düz çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu,

A φ - eksenin pozitif yönü ile bu dikin oluşturduğu açı Ah.

Örnek. Doğrunun genel denklemi verilmiştir 12x - 5y - 65 = 0. Farklı türde denklemler yazmak için gereklidir

bu düz çizgi.

Bu doğrunun segmentlerdeki denklemi:

Bu doğrunun eğimle denklemi: (5'e bölün)

Bir çizginin denklemi:

çünkü φ = 12/13; günah φ= -5/13; p = 5.

Her düz çizginin, örneğin düz çizgiler gibi bölümlerdeki bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.

eksenlere paralel veya orijinden geçen.

Düzlemdeki düz çizgiler arasındaki açı.

Tanım. İki satır verilirse y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, daha sonra bu çizgiler arasındaki dar açı

olarak tanımlanacak

İki doğru paralel ise k1 =k2. İki çizgi birbirine dik

Eğer k 1 = -1/ k 2 .

Teorem.

Doğrudan Balta + Wu + C = 0 Ve bir 1 x + B 1 y + C 1 = 0 katsayılar orantılı olduğunda paralel

A 1 = λA, B 1 = λB. Ayrıca С 1 = λС, o zaman çizgiler çakışır. İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları

Bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.

Belirli bir çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi.

Tanım. Bir noktadan geçen çizgi M 1 (x 1, y 1) ve çizgiye dik y = kx + b

denklemle temsil edilir:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.

Teorem. Bir puan verilirse M(x 0, y 0), daha sonra düz çizgiye olan mesafe Balta + Wu + C = 0şu şekilde tanımlanır:

Kanıt. Bırakın nokta M 1 (x 1, y 1)- bir noktadan bırakılan bir dikmenin tabanı M belirli bir süre için

doğrudan. Daha sonra noktalar arasındaki mesafe M Ve M1:

(1)

Koordinatlar x 1 Ve 1'de denklem sisteminin çözümü olarak bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, belirli bir M 0 noktasından dik olarak geçen düz bir çizginin denklemidir.

düz çizgi verilmiştir. Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra çözersek şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1)'de yerine koyarsak şunu buluruz:

Teorem kanıtlandı.

Denklemlerçok fazla eğri varİktisat literatürünü okurken bu eğrilerden bazılarını belirtelim.

Kayıtsızlık eğrisi - Tüketici için aynı değere veya faydaya sahip iki ürünün farklı kombinasyonlarını gösteren bir eğri.

Tüketici Bütçe Eğrisi - Bir tüketicinin belirli bir para geliri seviyesinde satın alabileceği iki malın farklı miktar kombinasyonlarını gösteren bir eğri.

Üretim olasılığı eğrisi - Sürekli kaynak arzı ve sabit teknolojiye sahip bir ekonomide, tam istihdam ve tam çıktı koşulları altında üretilebilecek iki mal veya hizmetin farklı kombinasyonlarını gösteren bir eğri.

Yatırım talebi eğrisi - Faiz oranının dinamiklerini ve farklı faiz oranlarındaki yatırım hacmini gösteren bir eğri.

Phillips eğrisi- İşsizlik oranı ile enflasyon oranı arasında istikrarlı bir ilişkinin varlığını gösteren bir eğri.

Laffer eğrisi- Vergi oranları ile vergi gelirleri arasındaki ilişkiyi gösteren ve vergi gelirlerinin maksimuma ulaştığı vergi oranını tanımlayan bir eğri.

Terimlerin basit bir listesi, ekonomistler için grafikler oluşturabilmenin ve düz çizgiler ve ikinci dereceden eğriler (daire, elips, hiperbol, parabol) gibi eğri denklemlerini analiz edebilmenin ne kadar önemli olduğunu gösteriyor. Ayrıca, geniş bir problem sınıfını çözerken, denklemleri verilen bazı eğrilerle sınırlanan düzlemde bir alan seçmek gerekir.Çoğu zaman bu problemler şu şekilde formüle edilir: verilen kaynaklar için en iyi üretim planını bulmak. Kaynakların tahsisi genellikle denklemleri verilen eşitsizlikler şeklini alır. Bu nedenle eşitsizlik sisteminin denklemlerinin belirttiği bölgede belirli bir fonksiyonun aldığı en büyük veya en küçük değerleri aramamız gerekir.

Analitik geometride uçaktaki çizgi koordinatları denklemi karşılayan noktalar kümesi olarak tanımlanır F(x,y)=0. Bu durumda, bir yandan bu denklemin sonsuz çözüm kümesine sahip olması, diğer yandan bu çözüm kümesinin "düzlemin bir parçasını" doldurmaması için F fonksiyonuna kısıtlamalar getirilmesi gerekir. .” Önemli bir çizgi sınıfı, F(x,y) fonksiyonunun iki değişkenli bir polinom olduğu çizgilerdir; bu durumda F(x,y)=0 denklemiyle tanımlanan çizgiye denir. cebirsel. Birinci dereceden bir denklemle tanımlanan cebirsel çizgiler düz çizgilerdir. Sonsuz sayıda çözümü olan ikinci dereceden bir denklem, bir elips, hiperbol, parabol veya iki düz çizgiye bölünen bir çizgiyi tanımlar.

Düzlemde dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi belirtilsin. Düzlemdeki düz bir çizgi aşağıdaki denklemlerden biriyle belirtilebilir:

10. Bir doğrunun genel denklemi

Ax + By + C = 0. (2.1)

Vektör N(A,B) doğruya diktir, A ve B sayıları aynı anda sıfıra eşit değildir.

20. Eğimli bir doğrunun denklemi

y - y Ö = k (x - x Ö), (2.2)

burada k doğrunun eğimidir, yani k = tg a , nerede a - Ox ekseni ile düz bir çizginin oluşturduğu açının büyüklüğü, M (x o, y o) - düz çizgiye ait bir nokta.

Denklem (2.2) eğer M(0,b) düz çizginin Oy ekseni ile kesişme noktası ise y = kx + b formunu alır.

otuz. Segmentlerdeki bir doğrunun denklemi

x/a + y/b = 1, (2,3)

burada a ve b, koordinat eksenleri üzerinde düz bir çizgiyle kesilen bölümlerin değerleridir.

4 0. Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemi A(x 1, y 1) ve B(x 2, y 2):

. (2.4)

50. Belirli bir A(x 1, y 1) noktasından belirli bir vektöre paralel geçen bir çizginin denklemi A(m, n)

. (2.5)

6 0. Bir doğrunun normal denklemi

rn o - p = 0, (2,6)

Nerede R- bu doğrunun rastgele bir M(x, y) noktasının yarıçapı, N o, bu doğruya dik olan ve orijinden doğruya yönlendirilmiş bir birim vektördür; p, başlangıç ​​noktasından düz çizgiye olan mesafedir.

Koordinat formundaki normal şu ​​şekildedir:

x çünkü a + y sin a - p = 0,

burada bir - Öküz ekseni ile düz çizginin oluşturduğu açının büyüklüğü.

Merkezi A(x 1, y 1) noktasında olan bir kalem çizginin denklemi şu şekildedir:

y-y 1 = l (x-x 1),

neredeyim - ışın parametresi. Kiriş kesişen iki düz çizgiyle tanımlanırsa A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, denklemi şu şekildedir:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

nerede ben ve m - aynı anda 0'a dönmeyen ışın parametreleri.

y = kx + b ve y = k 1 x + b 1 çizgileri arasındaki açı aşağıdaki formülle verilir:

tg j = .

1 + k 1 k = 0 eşitliği, doğruların dikliği için gerekli ve yeterli bir koşuldur.

İki denklem için

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2,7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2,8)

Aynı düz çizgi verildiğinde katsayılarının orantılı olması gerekli ve yeterlidir:

A 1 /A 2 = B 1 /B 2 = C 1 /C 2.

Denklemler (2.7), (2.8), A 1 /A 2 = B 1 /B 2 ve B 1 /B 2 ise iki farklı paralel doğruyu tanımlar.¹ C1/C2; A 1 /A 2 ise çizgiler kesişir¹B1 /B2 .

M o (x o, y o) noktasından düz çizgiye olan d mesafesi, M o noktasından düz çizgiye çizilen dikmenin uzunluğudur. Normal bir denklem tarafından düz bir çizgi veriliyorsa, d =ê RÖ N o - rê , Nerede R o - M noktasının yarıçap vektörü o veya koordinat biçiminde d =ê x o cos a + y o sin a - р ê .

İkinci dereceden bir eğrinin genel denklemi şu şekildedir:

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y +a = 0.

a 11, a 12, a 22 denkleminin katsayıları arasında sıfır olmayanların olduğu varsayılmaktadır.

Merkezi C(a, b) noktasında ve yarıçapı R'ye eşit olan bir dairenin denklemi:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R2 . (2.9)

Elipsverilen iki F 1 ve F 2 noktasına (odaklar) uzaklıkları toplamı 2a'ya eşit sabit bir değer olan noktaların geometrik yeridir.

Bir elipsin kanonik (en basit) denklemi

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

Denklem (2.10) ile verilen elips koordinat eksenlerine göre simetriktir. Seçenekler A Ve B arandı aks milleri elips.

a>b olsun, o zaman F 1 ve F 2 odakları Ox ekseninde belirli bir mesafede bulunur
c= kökenden. Oran c/a = e < 1 называется tuhaflık elips. Elipsin M(x, y) noktasından odak noktalarına (odak yarıçapı vektörleri) kadar olan mesafeler aşağıdaki formüllerle belirlenir:

r 1 = a - e x, r 2 = a + e x.

Eğer bir< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 = b + e x, r 2 = b - e x.

Eğer a = b ise elips, yarıçapın orijini merkezli bir dairedir. A.

Abartıverilen iki F 1 ve F 2 noktasına (odaklar) uzaklıkları farkı mutlak değer olarak verilen 2a sayısına eşit olan noktaların geometrik yeridir.

Kanonik hiperbol denklemi

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

Denklem (2.11) ile verilen hiperbol koordinat eksenlerine göre simetriktir. Ox eksenini, hiperbolün köşeleri olan A (a,0) ve A (-a,0) noktalarında keser ve Oy ekseniyle kesişmez. Parametre A isminde gerçek yarı eksen, B -hayali yarı eksen. c= parametresi odak noktasından orijine olan mesafedir. Oran c/a = e >1 denir tuhaflık abartı. Denklemleri y = olan çizgiler± b/a x denir asimptotlar abartı. Hiperbolün M(x,y) noktasından odak noktalarına (odak yarıçapı vektörleri) kadar olan mesafeler aşağıdaki formüllerle belirlenir:

r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + a ê .

a = b olarak adlandırılan bir hiperbol eşkenar, denklemi x 2 - y 2 = a 2 ve asimptot denklemi y =± X. Hiperboller x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 ve
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 denir konjuge.

Parabolbelirli bir noktadan (odak) ve belirli bir çizgiden (doğrultman) eşit uzaklıktaki noktaların yeridir.

Bir parabolün kanonik denkleminin iki biçimi vardır:

1) y 2 = 2рx - parabol Ox eksenine göre simetriktir.

2) x 2 = 2рy - parabol Oy eksenine göre simetriktir.

Her iki durumda da p>0 olup parabolün tepe noktası yani simetri ekseni üzerinde bulunan nokta orijinde yer alır.

Denklemi y 2 = 2рx, odak noktası F(р/2,0) ve doğrultman x = - р/2 olan bir parabolün üzerindeki M(x,y) noktasının odak yarıçapı vektörü r = x+ р/'dir. 2.

Denklemi x 2 =2рy olan, odağı F(0, р/2) olan ve doğrultmanı y = - р/2 olan bir parabol; parabolün M(x,y) noktasının odak yarıçapı vektörü r = y + p/2'ye eşittir.

F(x, y) = 0 denklemi, düzlemi iki veya daha fazla parçaya bölen bir çizgiyi tanımlar. Bu parçaların bazılarında F(x, y) eşitsizliği geçerlidir<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Başka bir deyişle çizgi
F(x, y)=0, düzlemin F(x, y)>0 olduğu kısmını düzlemin F(x, y) olduğu kısmından ayırır.<0.

Denklemi Ax+By+C = 0 olan bir doğru, düzlemi iki yarım düzleme böler. Pratikte hangi yarım düzlemde Ax+By+C'ye sahip olduğumuzu bulmak için<0, а в какой Ax+By+C>0, kontrol noktası yöntemi kullanılır. Bunu yapmak için bir kontrol noktası alın (tabii ki denklemi Ax+By+C = 0 olan düz bir çizgi üzerinde yer almayan) ve Ax+By+C ifadesinin bu noktada hangi işarete sahip olduğunu kontrol edin. Aynı işaret, kontrol noktasının bulunduğu yarım düzlemin tamamı boyunca belirtilen ifadeye sahiptir. İkinci yarı düzlemde Ax+By+C ters işarete sahiptir.

İki bilinmeyenli doğrusal olmayan eşitsizlikler de aynı şekilde çözülür.

Örneğin x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0 eşitsizliğini çözelim. (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0 şeklinde yeniden yazılabilir.

(x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 denklemi, merkezi C(2,-3) noktasında ve yarıçapı 5 olan bir daireyi tanımlar. Daire, düzlemi iki parçaya böler - iç kısım ve harici. Bu eşitsizliğin hangisini sağladığını bulmak için iç bölgede bir kontrol noktası alın, örneğin çemberimizin C(2,-3) merkezi. C noktasının koordinatlarını eşitsizliğin sol tarafına koyarsak negatif -25 sayısını elde ederiz. Bu, dairenin içinde yer alan tüm noktalarda eşitsizliğin olduğu anlamına gelir.
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Örnek 1.5.A(3,1) noktasından geçen ve 2x+3y-1 = 0 doğrusuna 45o açı yapan doğruların denklemlerini yazınız.

Çözüm.y=kx+b formunda arama yapacağız. Doğru A noktasından geçtiği için koordinatları çizginin denklemini sağlar, yani. 1=3k+b,Þ b=1-3k. Düz çizgiler arasındaki açının boyutu
y= k 1 x+b 1 ve y= kx+b tg formülüyle belirlenir J = . Orijinal 2x+3y-1=0 düz çizgisinin açısal katsayısı k 1 - 2/3'e eşit olduğundan ve açı J = 45 o ise k'yi belirlemek için bir denklemimiz olur:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 veya (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

İki k değerimiz var: k 1 = 1/5, k 2 = -5. b=1-3k formülünü kullanarak b'nin karşılık gelen değerlerini bularak istenen iki düz çizgiyi elde ederiz; bunların denklemleri: x - 5y + 2 = 0 ve
5x + y - 16 = 0.

Örnek 1.6. Hangi parametre değerinde T 3tx-8y+1 = 0 ve (1+t)x-2ty = 0 denklemleri paralel midir?

Çözüm.Genel denklemlerle tanımlanan çizgiler, katsayıları varsa paraleldir. X Ve sen orantılıdır, yani 3t/(1+t) = -8/(-2t). Ortaya çıkan denklemi çözerek şunu buluruz: T: t 1 = 2, t 2 = -2/3.

Örnek 1.7. İki dairenin ortak akorunun denklemini bulun:
x 2 +y 2 =10 ve x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

Çözüm.Çemberlerin kesişme noktalarını bulalım, bunun için denklem sistemini çözelim:

.

İlk denklemi çözerek x 1 = 3, x 2 = 1 değerlerini buluyoruz. İkinci denklemden - karşılık gelen değerler sen: y 1 = 1, y 2 = 3. Şimdi bu doğruya ait A(3,1) ve B(1,3) noktalarını bilerek genel kirişin denklemini elde ediyoruz: (y-1)/(3) -1) = (x-3)/(1-3) veya y+ x - 4 = 0.

Örnek 1.8. Koordinatları (x-3) 2 + (y-3) 2 koşullarını sağlayan düzlemde noktalar nasıl bulunur?< 8, x >sen?

Çözüm.Sistemin ilk eşitsizliği, kenar hariç dairenin içini belirler, yani. merkezi (3,3) noktasında ve yarıçapı olan daire. İkinci eşitsizlik, denklemi x = y olan bir doğru ile tanımlanan bir yarım düzlemi tanımlar ve eşitsizlik katı olduğundan, doğrunun noktaları yarı düzleme ait değildir ve bu doğrunun altındaki tüm noktalar yarı düzleme aittir. yarım düzlem. Her iki eşitsizliği de sağlayan noktalar aradığımız için aradığımız alan yarım dairenin iç kısmıdır.

Örnek 1.9.Denklemi x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 olan bir elips içine yazılı bir karenin kenar uzunluğunu hesaplayın.

Çözüm.İzin vermek M(ler, sn)- ilk çeyrekte yer alan karenin tepe noktası. O halde karenin bir kenarı 2'ye eşit olacaktır. İle. Çünkü nokta M elipse aittir, koordinatları elipsin denklemini karşılar c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, dolayısıyla
c = ab/; Bu, karenin bir kenarının 2ab/ olduğu anlamına gelir.

Örnek 1.10.Hiperbolün asimptot denklemini bilmek y =± 0,5 x ve M(12, 3) noktalarından biri hiperbolün denklemini oluşturur.

Çözüm.Hiperbolün kanonik denklemini yazalım: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Hiperbolün asimptotları y = denklemleriyle verilir.± 0,5 x, yani b/a = 1/2, dolayısıyla a=2b. Çünkü M bir hiperbol noktası ise koordinatları hiperbol denklemini karşılar, yani. 144/a 2 - 27/b 2 = 1. a = 2b olduğuna göre b: b 2 =9 bulunur.Þ b=3 ve a=6. O zaman hiperbolün denklemi x 2/36 - y 2/9 = 1 olur.

Örnek 1.11.Bir parabol içine yazılan normal üçgen ABC'nin kenar uzunluğunu parametreyle hesaplayın R A noktasının parabolün tepe noktasıyla çakıştığını varsayarak.

Çözüm.Bir parabolün parametreli kanonik denklemi R y 2 = 2рx formundadır, tepe noktası orijine denk gelir ve parabol apsis eksenine göre simetriktir. AB düz çizgisi Ox ekseniyle 30°'lik bir açı oluşturduğundan, düz çizginin denklemi şu şekildedir: y = x. çok sayıda grafik

Bu nedenle, B noktasının koordinatlarını, x = 6р, y = 2р olan y 2 = 2рx, y = x denklem sistemini çözerek bulabiliriz. Bu, A(0,0) ve B(6р,2р) noktaları arasındaki mesafenin 4р'ye eşit olduğu anlamına gelir.

K(x 0 ; y 0) noktasından geçen ve y = kx + a doğrusuna paralel olan doğru şu formülle bulunur:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Burada k doğrunun eğimidir.

Alternatif formül:
M 1 (x 1 ; y 1) noktasından geçen ve Ax+By+C=0 çizgisine paralel bir çizgi aşağıdaki denklemle temsil edilir

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Örnek No.1. M 0 (-2,1) noktasından aynı anda geçen düz bir çizginin denklemini yazın:
a) 2x+3y -7 = 0 düz çizgisine paralel;
b) 2x+3y -7 = 0 düz çizgisine dik.
Çözüm . Eğimi y = kx + a şeklinde olan denklemi hayal edelim. Bunu yapmak için y dışındaki tüm değerleri sağ tarafa taşıyın: 3y = -2x + 7 . Daha sonra sağ tarafı 3 katına bölün. Şunu elde ederiz: y = -2/3x + 7/3
y = -2 / 3 x + 7 / 3 düz çizgisine paralel, K(-2;1) noktasından geçen NK denklemini bulalım.
x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1'i yerine koyarsak şunu elde ederiz:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
veya
y = -2 / 3 x - 1 / 3 veya 3y + 2x +1 = 0

Örnek No.2. 2x + 5y = 0 doğrusuna paralel olan ve koordinat eksenleriyle birlikte alanı 5 olan bir üçgen oluşturan bir doğrunun denklemini yazınız.
Çözüm . Çizgiler paralel olduğundan istenilen çizginin denklemi 2x + 5y + C = 0'dır. a ve b'nin bacakları olduğu dik üçgenin alanı. İstenilen doğrunun koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulalım:
;
.
Yani A(-C/2,0), B(0,-C/5). Bunu alan formülünde yerine koyalım: . İki çözüm elde ederiz: 2x + 5y + 10 = 0 ve 2x + 5y – 10 = 0.

Örnek No. 3. (-2; 5) noktasından geçen ve 5x-7y-4=0 doğrusuna paralel bir doğrunun denklemini yazın.
Çözüm. Bu düz çizgi y = 5/7 x – 4/7 (burada a = 5/7) denklemiyle temsil edilebilir. İstenilen doğrunun denklemi y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)) yani. 7(y-5)=5(x+2) veya 5x-7y+45=0 .

Örnek No. 4. Örnek 3'ü (A=5, B=-7) formül (2)'yi kullanarak çözdükten sonra 5(x+2)-7(y-5)=0 buluruz.

Örnek No. 5. (-2;5) noktasından geçen ve 7x+10=0 doğrusuna paralel bir doğrunun denklemini yazınız.
Çözüm. Burada A=7, B=0. Formül (2) 7(x+2)=0 sonucunu verir; x+2=0. Formül (1) uygulanamaz çünkü bu denklem y'ye göre çözülemez (bu düz çizgi ordinat eksenine paraleldir).