Klasa: 9

Osnovni ciljevi:

1. Učvrstiti koncept cijele racionalne jednadžbe th stupnja.
2. Formulirajte osnovne metode rješavanja jednadžbi viših stupnjeva (br > 3).
3. Naučiti osnovne metode za rješavanje jednadžbi višeg reda.
4. Naučite koristiti vrstu jednadžbe kako biste odredili najučinkovitiji način za njezino rješavanje.

Oblici, metode i pedagoške tehnike koje nastavnik koristi u nastavi:

• Predavačko-seminarski sustav nastave (predavanja - objašnjenje novog gradiva, seminari - rješavanje zadataka).
• Informacijske i komunikacijske tehnologije (frontalna anketa, usmeni rad s razredom).
• Diferencirano učenje, grupni i individualni oblici.
• Korištenje istraživačke metode u nastavi s ciljem razvijanja matematičkog aparata i misaonih sposobnosti svakog pojedinog učenika.
• Tiskani materijal – pojedinačni kratki sažetak lekcije (temeljni pojmovi, formule, tvrdnje, nastavni materijal sažet u obliku dijagrama ili tablica).

Plan učenja:

1. Organiziranje vremena.
   Svrha pozornice: uključiti učenike u obrazovne aktivnosti, odrediti sadržaj lekcije.
2. Obnavljanje znanja učenika.
   Svrha pozornice: obnavljanje znanja učenika o prethodno proučavanim srodnim temama
3. Proučavanje nove teme (predavanje). Cilj etape: formulirati osnovne metode rješavanja jednadžbi viših stupnjeva (br > 3)
4. Sažimajući.
   Svrha pozornice: još jednom istaknuti ključne točke u materijalu koji se proučava u lekciji.
5. Domaća zadaća.
   Svrha pozornice: formuliranje domaće zadaće za učenike.

Sažetak lekcije

1. Organizacijski trenutak.

Formulacija teme lekcije: “Jednadžbe viših potencija. Metode za njihovo rješavanje.”

2. Obnavljanje znanja učenika.

Teorijska anketa – razgovor. Ponavljanje nekih prethodno naučenih informacija iz teorije. Učenici formuliraju osnovne definicije i formuliraju potrebne teoreme. Navedite primjere kako biste pokazali razinu prethodno stečenog znanja.

• Pojam jednadžbe s jednom varijablom.
• Pojam korijena jednadžbe, rješenja jednadžbe.
• Pojam linearne jednadžbe s jednom varijablom, pojam kvadratne jednadžbe s jednom varijablom.
• Pojam ekvivalencije jednadžbi, jednadžbe-posljedice (pojam stranih korijena), prijelaz ne posljedici (slučaj gubitka korijena).
• Koncept cijelog racionalnog izraza s jednom varijablom.
• Pojam cijele racionalne jednadžbe n ti stupanj. Standardni oblik cijele racionalne jednadžbe. Reducirana cijela racionalna jednadžba.
• Prijelaz na skup jednadžbi nižih stupnjeva faktoriziranjem izvorne jednadžbe.
• Pojam polinoma n th stupanj iz x. Bezoutov teorem. Korolari iz Bezoutovog teorema. Korijenski teoremi ( Z-korijenje i Q-korijeni) cijele racionalne jednadžbe s cjelobrojnim koeficijentima (reduciranim i nereduciranim).
• Hornerova shema.

3. Proučavanje nove teme.

Razmotrit ćemo cijelu racionalnu jednadžbu n-ta potencija standardnog oblika s jednom nepoznatom varijablom x:Pn(x)= 0, gdje je P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0– polinom n th stupanj iz x, a n ≠ 0. Ako a n = 1 onda se takva jednadžba naziva reducirana cjelobrojna racionalna jednadžba n ti stupanj. Razmotrimo takve jednadžbe za različite vrijednosti n te navesti glavne metode za njihovo rješavanje.

n= 1 – linearna jednadžba.

n= 2 – kvadratna jednadžba. Diskriminantna formula. Formula za izračunavanje korijena. Vietin teorem. Odabir cijelog kvadrata.

n= 3 – kubna jednadžba.

Metoda grupiranja.

Primjer: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x – 4)(x 2– 1) = 0 x 1 = 4 , x 2 = 1,x 3 = -1.

Recipročna kubna jednadžba oblika sjekira 3 + bx 2 + bx + a= 0. Rješavamo kombiniranjem članova s ​​istim koeficijentima.

Primjer: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.

Izbor Z-korijena na temelju teorema. Hornerova shema. Kod primjene ove metode potrebno je naglasiti da je pretraga u ovom slučaju konačna, a korijene odabiremo određenim algoritmom u skladu s teoremom Z-korijeni zadane cijele racionalne jednadžbe s cjelobrojnim koeficijentima.

Primjer: x 3 – 9x 2 + 23x– 15 = 0. Jednadžba je dana. Zapišimo djelitelje slobodnog člana ( + 1; + 3; + 5; + 15). Primijenimo Hornerovu shemu:

Dobivamo ( x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

Jednadžba s cjelobrojnim koeficijentima. Odabir Q-korijena na temelju teorema. Hornerova shema. Pri primjeni ove metode potrebno je naglasiti da je pretraga u ovom slučaju konačna i korijene biramo pomoću određenog algoritma u skladu s teoremom o Q-korijeni nereducirane cjelobrojne racionalne jednadžbe s cjelobrojnim koeficijentima.

Primjer: 9 x 3 + 27x 2 – x– 3 = 0. Jednadžba je nereducirana. Zapišimo djelitelje slobodnog člana ( + 1; + 3). Zapišimo djelitelje koeficijenta na najvećoj potenciji nepoznanice. ( + 1; + 3; + 9) Prema tome, tražit ćemo korijene među vrijednostima ( + 1; + ; + ; + 3). Primijenimo Hornerovu shemu:

Dobivamo ( x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.

Radi lakšeg izračuna pri odabiru Q -korijenje Može biti zgodno napraviti promjenu varijable, ići na zadanu jednadžbu i odabrati Z -korijenje.

Cardano formula. Postoji univerzalna metoda za rješavanje kubnih jednadžbi - to je Cardano formula. Ova se formula povezuje s imenima talijanskih matematičara Gerolama Cardana (1501–1576), Nicola Tartaglie (1500–1557) i Scipionea del Ferra (1465–1526). Ova formula je izvan opsega našeg tečaja.

n= 4 – jednadžba četvrtog stupnja.

Metoda grupiranja.

Primjer: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x - 6) = 0 (x + 2)(x– 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

Metoda zamjene varijable.

• Bikvadratna jednadžba oblika sjekira 4 + bx 2 + s = 0 .

Primjer: x 4 + 5x 2 – 36 = 0. Zamjena g = x 2. Odavde g 1 = 4, g 2 = -9. Zato x 1,2 = + 2 .

Rješavamo kombiniranjem članova s ​​istim koeficijentima zamjenom oblika

• Generalizirana rekurentna jednadžba četvrtog stupnja oblika sjekira 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0.

Primjer 3 . Zamjena općeg pogleda(slijedi iz vrste specifične jednadžbe).

n = 3.

Jednadžba s cjelobrojnim koeficijentima. Izbor Q-korijena n = 3.

Opća formula. Postoji univerzalna metoda za rješavanje jednadžbi četvrtog stupnja. Ova se formula povezuje s imenom Ludovica Ferrarija (1522–1565). Ova formula je izvan opsega našeg tečaja.

n > 5 – jednadžbe petog i viših stupnjeva.

Jednadžba s cjelobrojnim koeficijentima. Odabir Z-korijena na temelju teorema. Hornerova shema. Algoritam je sličan onome koji je gore opisan za n = 3.

Jednadžba s cjelobrojnim koeficijentima. Izbor Q-korijena na temelju teorema. Hornerova shema. Algoritam je sličan onome koji je gore opisan za n = 3.

Simetrične jednadžbe. Svaka recipročna jednadžba neparnog stupnja ima korijen x= -1 i nakon rastavljanja na faktore nalazimo da jedan faktor ima oblik ( x+ 1), a drugi faktor je recipročna jednadžba parnog stupnja (njegov stupanj je za jedan manji od stupnja izvorne jednadžbe). Svaka recipročna jednadžba parnog stupnja zajedno s korijenom oblika x = φ sadrži i korijen vrste. Koristeći ove izjave, rješavamo problem snižavanjem stupnja jednadžbe koja se proučava.

Metoda zamjene varijable. Korištenje homogenosti.

Ne postoji opća formula za rješavanje cijelih jednadžbi petog stupnja (to su pokazali talijanski matematičar Paolo Ruffini (1765–1822) i norveški matematičar Niels Henrik Abel (1802–1829)) i viših stupnjeva (to su pokazali francuski matematičar Evariste Galois (1811–1832) )).

• Podsjetimo još jednom da je u praksi moguće koristiti kombinacije gore navedene metode. Pogodno je prijeći na skup jednadžbi nižih stupnjeva pomoću rastavljanje izvorne jednadžbe na faktore.
• Izvan opsega naše današnje rasprave su oni koji se široko koriste u praksi. grafičke metode rješavanje jednadžbi i metode približnih rješenja jednadžbe viših stupnjeva.
• Postoje situacije kada jednadžba nema R-korijene.
Tada se rješenje svodi na dokazivanje da jednadžba nema korijena. Da bismo to dokazali, analiziramo ponašanje razmatranih funkcija na intervalima monotonosti. Primjer: jednadžba x 8 – x 3 + 1 = 0 nema korijena.
• Korištenje svojstva monotonosti funkcija
. Postoje situacije kada korištenje različitih svojstava funkcija omogućuje pojednostavljenje zadatka.
Primjer 1: Jednadžba x 5 + 3x– 4 = 0 ima jedan korijen x= 1. Zbog svojstva monotonosti analiziranih funkcija nema drugih korijena.
Primjer 2: Jednadžba x 4 + (x– 1) 4 = 97 ima korijene x 1 = -2 i x 2 = 3. Analizirajući ponašanje odgovarajućih funkcija na intervalima monotonosti, zaključujemo da drugih korijena nema.

4. Sažimanje.

Sažetak: Sada smo savladali osnovne metode rješavanja raznih jednadžbi viših stupnjeva (za br > 3). Naš zadatak je naučiti kako učinkovito koristiti gore navedene algoritme. Ovisno o vrsti jednadžbe morat ćemo naučiti odrediti koja je metoda rješenja u određenom slučaju najučinkovitija, kao i pravilno primijeniti odabranu metodu.

5. Domaća zadaća.

: pasus 7, str. 164–174, brojevi 33–36, 39–44, 46.47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Moguće teme za izvješća ili sažetke na ovu temu:

• Cardano formula
• Grafička metoda rješavanja jednadžbi. Primjeri rješenja.
• Metode za približno rješavanje jednadžbi.

Analiza učenja studenata i interesa za temu:

Iskustvo pokazuje da se interes učenika prvenstveno pobuđuje mogućnošću odabira Z-korijenje i Q-korijeni jednadžbi koristeći prilično jednostavan algoritam koristeći Hornerovu shemu. Studente zanimaju i razne standardne vrste zamjena varijabli koje mogu znatno pojednostaviti tip problema. Grafičke metode rješenja obično su od posebnog interesa. U tom slučaju možete dodatno analizirati probleme pomoću grafičke metode za rješavanje jednadžbi; raspraviti opći oblik grafa za polinom stupnja 3, 4, 5; analizirati kako je broj korijena jednadžbi stupnja 3, 4, 5 povezan s izgledom odgovarajućeg grafa. Dolje je popis knjiga u kojima možete pronaći dodatne informacije o ovoj temi.

Bibliografija:

1. Vilenkin N.Ya. i dr. “Algebra. Udžbenik za učenike 9. razreda s produbljenim proučavanjem matematike” - M., Prosveshchenie, 2007. - 367 str.
2. Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F.“Iza stranica udžbenika matematike. Aritmetika. Algebra. 10-11 razreda” – M., Obrazovanje, 2008. – 192 str.
3. Vygodsky M.Ya.“Matematički priručnik” – M., AST, 2010 – 1055 str.
4. Galitsky M.L.“Zbirka zadataka iz algebre. Udžbenik za razrede 8-9 s produbljenim proučavanjem matematike” - M., Prosveshchenie, 2008 - 301 str.
5. Zvavič L.I. i dr. “Algebra i počeci analize. 8–11 razreda Priručnik za škole i razrede s produbljenim proučavanjem matematike” - M., Drofa, 1999. - 352 str.
6. Zvavich L.I., Averyanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N.“Zadaci iz matematike za pripremu pismenog ispita u 9. razredu” - M., Prosveshchenie, 2007. - 112 str.
7. Ivanov A.A., Ivanov A.P.“Tematski testovi za sistematizaciju znanja iz matematike” 1. dio – M., Fizmatkniga, 2006. – 176 str.
8. Ivanov A.A., Ivanov A.P.“Tematski testovi za sistematizaciju znanja iz matematike” 2. dio – M., Fizmatkniga, 2006. – 176 str.
9. Ivanov A.P.“Testovi i testovi iz matematike. Vodič". – M., Fizmatkniga, 2008. – 304 str.
10. Leibson K.L.“Zbirka praktičnih zadataka iz matematike. Dio 2–9 razreda” – M., MTSNM, 2009 – 184 str.
11. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G."Algebra. Dodatna poglavlja za školski udžbenik za 9. razred. Udžbenik za učenike škola i razreda s produbljenim učenjem matematike.” – M., Obrazovanje, 2006. – 224 str.
12. Mordkovich A.G."Algebra. Dubinska studija. 8. razred. Udžbenik” – M., Mnemosyne, 2006. – 296 str.
13. Savin A.P.“Enciklopedijski rječnik mladog matematičara” - M., Pedagogija, 1985. - 352 str.
14. Survillo G.S., Simonov A.S.“Didaktički materijali o algebri za 9. razred s produbljenim proučavanjem matematike” - M., Prosveshchenie, 2006 - 95 str.
15. Chulkov P.V.“Jednadžbe i nejednadžbe u školskom kolegiju matematike. Predavanja 1–4” – M., 1. rujna 2006. – 88 str.
16. Chulkov P.V.“Jednadžbe i nejednadžbe u školskom kolegiju matematike. Predavanja 5–8” – M., 1. rujna 2009. – 84 str.

Razmotrimo rješavanje jednadžbi s jednom varijablom većeg stupnja od druge.

Stupanj jednadžbe P(x) = 0 je stupanj polinoma P(x), tj. najveće potencije njegovih članova s ​​koeficijentom koji nije jednak nuli.

Tako, na primjer, jednadžba (x 3 – 1) 2 + x 5 = x 6 – 2 ima peti stupanj, jer nakon operacija otvaranja zagrada i dovođenja sličnih dobivamo ekvivalentnu jednadžbu x 5 – 2x 3 + 3 = 0 petog stupnja.

Prisjetimo se pravila koja će biti potrebna za rješavanje jednadžbi stupnja većeg od dva.

Izjave o korijenima polinoma i njegovih djelitelja:

1. Polinom n-tog stupnja ima broj korijena koji ne prelazi n, a korijeni višestrukosti m pojavljuju se točno m puta.

2. Polinom neparnog stupnja ima barem jedan realni korijen.

3. Ako je α korijen od P(x), tada je P n (x) = (x – α) · Q n – 1 (x), gdje je Q n – 1 (x) polinom stupnja (n – 1) .

4.

5. Reducirani polinom s cjelobrojnim koeficijentima ne može imati razlomačke racionalne korijene.

6. Za polinom trećeg stupnja

P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d moguća je jedna od dvije stvari: ili se rastavlja na produkt triju binoma

R 3 (x) = a(h – α)(h – β)(h – γ), ili se rastavlja na umnožak binoma i kvadratnog trinoma R 3 (x) = a(h – α)(h 2 + βh + γ ).

7. Bilo koji polinom četvrtog stupnja može se proširiti u umnožak dvaju kvadratnih trinoma.

8. Polinom f(x) djeljiv je polinomom g(x) bez ostatka ako postoji polinom q(x) takav da je f(x) = g(x) · q(x). Za dijeljenje polinoma koristi se pravilo "podjele kutova".

9. Da bi polinom P(x) bio djeljiv binomom (x – c), potrebno je i dovoljno da broj c bude korijen iz P(x) (Korolar Bezoutovog teorema).

10. Vietin teorem: Ako su x 1, x 2, ..., x n pravi korijeni polinoma

P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, tada vrijede jednakosti:

x 1 + x 2 + … + x n = -a 1 /a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + … + x n – 1 x n = a 2 /a 0,

x 1 x 2 x 3 + … + x n – 2 x n – 1 x n = -a 3 / a 0,

x 1 · x 2 · x 3 · x n = (-1) n a n / a 0 .

Rješavanje primjera

Primjer 1.

Odredite ostatak dijeljenja P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 s (x – 1/3).

Riješenje.

Posljedicom Bezoutovog teorema: "Ostatak polinoma podijeljen s binomom (x - c) jednak je vrijednosti polinoma od c." Nađimo P(1/3) = 0. Dakle, ostatak je 0, a broj 1/3 je korijen polinoma.

Odgovor: R = 0.

Primjer 2.

Podijelite "kutom" 2x 3 + 3x 2 – 2x + 3 s (x + 2). Nađi ostatak i nepotpuni kvocijent.

Riješenje:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4 x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Odgovor: R = 3; kvocijent: 2x 2 – x.

Osnovne metode rješavanja jednadžbi višeg stupnja

1. Uvođenje nove varijable

Metoda uvođenja nove varijable već je poznata iz primjera bikvadratne jednadžbe. Sastoji se u tome da se za rješavanje jednadžbe f(x) = 0 uvodi nova varijabla (supstitucija) t = x n ili t = g(x) i f(x) se izražava kroz t, dobivajući novu jednadžbu r (t). Zatim se rješavanjem jednadžbe r(t) nalaze korijeni:

(t 1, t 2, …, t n). Nakon toga se dobije skup od n jednadžbi q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n iz kojih se nalaze korijeni izvorne jednadžbe.

Primjer 1.

(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

Riješenje:

(x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x) – 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 – 3 (x 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Zamjena (x 2 + x + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Obrnuta supstitucija:

x 2 + x + 1 = 2 ili x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 ili x 2 + x = 0;

Odgovor: Iz prve jednadžbe: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, iz druge: 0 i -1.

2. Rastavljanje na faktore grupiranjem i skraćenim formulama množenja

Osnova ove metode također nije nova i sastoji se u grupiranju pojmova na način da svaka grupa sadrži zajednički faktor. Da biste to učinili, ponekad je potrebno koristiti neke umjetne tehnike.

Primjer 1.

x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0.

Riješenje.

Zamislimo - 3x 2 = -2x 2 – x 2 i grupiramo:

(x 4 – 2x 2) – (x 2 – 4x + 3) = 0.

(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.

(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(x 2 – 1 – x + 2) (x 2 – 1 + x - 2) = 0.

(x 2 – x + 1)(x 2 + x – 3) = 0.

x 2 – x + 1 = 0 ili x 2 + x – 3 = 0.

Odgovor: U prvoj jednadžbi nema korijena, iz druge: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Faktorizacija metodom neodređenih koeficijenata

Bit metode je da se izvorni polinom faktorizira s nepoznatim koeficijentima. Koristeći svojstvo da su polinomi jednaki ako su im koeficijenti jednaki pri istim potencijama, nalaze se nepoznati koeficijenti proširenja.

Primjer 1.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Riješenje.

Polinom stupnja 3 može se proširiti u umnožak linearnih i kvadratnih faktora.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x – a)(x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx – ax 2 – abx – ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (cx – ab)x – ac.

Nakon što je sustav riješen:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac = 2,

(a = -1,
(b = 3,
(c = 2, tj.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1)(x 2 + 3x + 2).

Korijene jednadžbe (x + 1)(x 2 + 3x + 2) = 0 lako je pronaći.

Odgovor: -1; -2.

4. Metoda odabira korijena pomoću najvišeg i slobodnog koeficijenta

Metoda se temelji na primjeni teorema:

1) Svaki cjelobrojni korijen polinoma s cjelobrojnim koeficijentima je djelitelj slobodnog člana.

2) Da bi nesvodivi razlomak p/q (p - cijeli broj, q - prirodan) bio korijen jednadžbe s cjelobrojnim koeficijentima, potrebno je da broj p bude cjelobrojni djelitelj slobodnog člana a 0, a q - prirodni djelitelj vodećeg koeficijenta.

Primjer 1.

6x 3 + 7x 2 – 9x + 2 = 0.

Riješenje:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Stoga je p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Pronašavši jedan korijen, na primjer – 2, ostale korijene pronaći ćemo kutnim dijeljenjem, metodom neodređenih koeficijenata ili Hornerovom shemom.

Odgovor: -2; 1/2; 1/3.

Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako riješiti jednadžbe?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

U 16. stoljeću matematičari su gotovo slučajno naletjeli na kompleksne brojeve (vidi 11. poglavlje). Do 18. stoljeća kompleksni brojevi smatrani su proširenjem polja realnih brojeva, ali rad s njima još uvijek je dovodio do pogrešaka pariteta, jer je Leonard E. u svom velikom djelu o teoriji brojeva, Arithmetical Investigations (1801.), izbjegavao korištenje takozvani "imaginarni brojevi". Čini mi se da je najvažniji dio ovog rada prvi dokaz temeljnog teorema algebre. Gauss je shvatio koliko je ovaj teorem važan, dajući nekoliko dodatnih dokaza tijekom sljedećih godina. Godine 1849. preradio je prvu verziju, ovaj put koristeći kompleksne brojeve. U modernim terminima, možemo reći da će za bilo koju konačnu polinomsku jednadžbu s realnim ili kompleksnim koeficijentima svi njezini korijeni biti realni ili kompleksni brojevi. Time dobivamo negativan odgovor na dugogodišnje pitanje zahtijeva li rješavanje polinomskih jednadžbi visokog reda generiranje brojeva višeg reda od složenih.

Jedan od najtrnovitijih problema u algebri tog vremena bilo je pitanje može li se polinom petog reda, kvinta, riješiti algebarskim metodama, odnosno korištenjem konačnog broja algebarskih koraka. Danas se u školi uči formula za rješavanje kvadratnih jednadžbi, a od 16. stoljeća poznate su slične metode za rješavanje jednadžbi trećeg i četvrtog stupnja (11. poglavlje). Ali za kvintike nije pronađena niti jedna metoda. Može se činiti da temeljni teorem algebre ima izglede za pozitivan odgovor, ali zapravo jednostavno jamči da rješenja postoje, ne govori ništa o postojanju formula koje daju točna rješenja (približne numeričke i grafičke metode već su postojale do tada ). A onda su se pojavila dva matematička genija tragične sudbine.

Niels Henrik Abel (1802. – 1829.) rođen je u velikoj, siromašnoj obitelji koja je živjela u malom selu u Norveškoj, zemlji razorenoj dugim godinama rata s Engleskom i Švedskom. Učitelj, koji je bio ljubazan prema dječaku, davao mu je privatne satove, ali nakon očeve smrti, u dobi od osamnaest godina, unatoč mladosti i krhkom zdravlju, Abel je bio prisiljen uzdržavati svoju obitelj. Godine 1824. objavio je znanstveni članak u kojem je ustvrdio da kvintika nije rješiva ​​algebarskim putem, kao što je to slučaj s bilo kojim polinomom višeg reda. Abel je vjerovao da će mu ovaj članak poslužiti kao ulaznica u znanstveni svijet i poslao ga je Gaussu na Sveučilište u Göttingenu. Nažalost, Gauss nikada nije stigao rezati stranice nožem (svaki čitatelj je to morao učiniti u to vrijeme) i nije pročitao članak. Godine 1826. norveška je vlada konačno osigurala sredstva za Abelovo putovanje po Europi. Bojeći se da mu osobna komunikacija s Gaussom neće donijeti mnogo radosti, matematičar je odlučio ne posjetiti Göttingen i umjesto toga je otišao u Berlin. Tamo se sprijateljio s Augustom Leopoldom Krelleom (1780. – 1855.), matematičarom, arhitektom i inženjerom koji je savjetovao prusko ministarstvo obrazovanja o pitanjima matematike. Krell je namjeravao osnovati Journal of Pure and Applied Mathematics. Tako je Abel dobio priliku širiti svoj rad te je mnogo objavljivao, posebice u prvim brojevima časopisa, koji se odmah počeo smatrati vrlo prestižnom i autoritativnom znanstvenom publikacijom. Norvežanin je tamo objavio proširenu verziju svog dokaza da je kvintika neodlučiva algebarskim metodama. A onda je otišao u Pariz. Ovo putovanje jako je uznemirilo Abela, jer praktički nije dobio potrebnu potporu francuskih matematičara. Zbližio se s Augustinom Louisom Cauchyjem (1789.–1857.), koji je u to doba bio vodeći svjetionik matematičke analize, ali vrlo složenog karaktera. Kao što je sam Abel rekao, "Cauchy je lud i tu se ništa ne može učiniti, iako je trenutno on jedini koji je sposoban za bilo što u matematici." Pokušamo li opravdati ispoljavanje nepoštivanja i zanemarivanja Gaussa i Cauchyja, možemo reći da je kvinta postigla stanovitu slavu i privukla pažnju i uglednih matematičara i originalista. Abel se vratio u Norvešku, gdje je sve više patio od tuberkuloze. Nastavio je slati svoj rad Crelleu, ali je umro 1829., nesvjestan koliko se njegova reputacija etablirala u znanstvenom svijetu. Dva dana nakon njegove smrti, Abel je dobio ponudu da preuzme znanstveno mjesto u Berlinu.

Abel je pokazao da se bilo koji polinom iznad četvrtog reda ne može riješiti pomoću radikala kao što su kvadratni korijeni, kubni korijeni ili oni višeg reda. Međutim, Galois je formulirao eksplicitne uvjete pod kojima se, u posebnim slučajevima, ti polinomi mogu riješiti, kao i metodu za njihovo rješavanje. Évariste Galois (1811. – 1832.) živio je kratko i bogato životom. Bio je nevjerojatno nadaren matematičar. Galois je bio neumoljiv prema onima koje je smatrao manje talentiranima od sebe, a istodobno je mrzio društvenu nepravdu. Nije pokazivao nikakve sklonosti matematici sve dok nije pročitao Legendreove Elemente geometrije (objavljene 1794., ova je knjiga bila glavni udžbenik sljedećih sto godina). Zatim je doslovce progutao ostala djela Legendrea i, kasnije, Abela. Njegov entuzijazam, samouvjerenost i netrpeljivost doveli su do doista strašnih posljedica u njegovim odnosima s nastavnicima i ispitivačima. Galois je sudjelovao na natjecanju za upis na École Polytechnique, kolijevku francuske matematike, ali je pao na ispitu zbog nedostatka pripreme. Neko vrijeme nakon što je upoznao novog učitelja koji je prepoznao njegov talent, uspio je držati svoju narav pod kontrolom. U ožujku 1829. Galois je objavio svoj prvi rad o nastavljenim razlomcima, koji je smatrao svojim najznačajnijim radom. Poslao je poruku o svojim otkrićima Akademiji znanosti, a Cauchy je obećao da će ih predstaviti, ali je zaboravio. Štoviše, jednostavno je izgubio rukopis.

Galoisov drugi neuspjeh da uđe na École Polytechnique postao je dio matematičkog folklora. Bio je toliko naviknut na stalno držanje složenih matematičkih ideja u glavi da su ga bijesnila sitna zanovijetanja ispitivača. Budući da su ispitivači teško razumjeli njegova objašnjenja, jednom je od njih u lice bacio krpu za suho brisanje s ploče. Ubrzo nakon toga, njegov otac je umro, počinivši samoubojstvo kao rezultat crkvenih intriga. Praktički je na njegovom sprovodu izbila pobuna. U veljači 1830. Galois je napisao sljedeća tri rada, poslavši ih Akademiji znanosti za Grand Prix iz matematike. Joseph Fourier, tadašnji tajnik Akademije, umro je ne pročitavši ih, a nakon njegove smrti članci nisu pronađeni među njegovim radovima. Tolika bujica razočaranja bi svladala svakoga. Galois se pobunio protiv moćnika jer je smatrao da mu ne priznaju zasluge i uništili su mu oca. Naglo je uronio u politiku, postavši gorljivi republikanac - što nije bila najmudrija odluka u Francuskoj 1830. godine. U posljednjem pokušaju, poslao je znanstveni rad slavnom francuskom fizičaru i matematičaru Simeonu Denisu Poissonu (1781. – 1840.), koji je odgovorio zahtijevajući dodatne dokaze.

Ovo je bila posljednja kap. Godine 1831. Galois je dva puta uhićen – prvo zbog navodnog pozivanja na ubojstvo kralja Louisa Philippea, a onda da bi ga zaštitile – vlasti su se bojale republikanske pobune! Ovog puta osuđen je na šest mjeseci zatvora zbog izmišljene optužbe da je protuzakonito nosio odoru rasformirane topničke bitnice kojoj je pristupio. Pušten na uvjetnu slobodu, prihvatio se zadatka koji mu se gadio kao i sve drugo u životu. U njegovim pismima odanom prijatelju Chevalieru osjeća se njegovo razočaranje. 29. svibnja 1832. prihvatio je izazov na dvoboj, čiji razlozi nisu u potpunosti razjašnjeni. “Postao sam žrtva nepoštene kokete. Moj život je ugašen u bijednoj svađi", piše u "Pismu svim republikancima". Galoisovo najpoznatije djelo skicirano je noć prije kobnog dvoboja. Na marginama su razasute pritužbe: "Nemam više vremena, nemam više vremena." Bio je prisiljen drugima prepustiti detaljno izlaganje međukoraka koji nisu bili bitni za razumijevanje glavne ideje. Morao je staviti na papir osnovu svojih otkrića - podrijetlo onoga što se danas naziva Galoisovim teoremom. Završio je svoju oporuku tražeći od Chevaliera da "apeliraju na Jacobija i Gaussa da daju svoje javno mišljenje, ne o ispravnosti, već o važnosti ovih teorema." Rano ujutro, Galois je otišao u susret svom suparniku. Morali su pucati s udaljenosti od 25 koraka. Galois je ranjen i preminuo je u bolnici sljedećeg jutra. Imao je samo dvadeset godina.

Galois se oslanjao na radove Lagrangea i Cauchyja, ali je razvio općenitiju metodu. To je bilo iznimno važno postignuće u području rješavanja kvinta. Znanstvenik je manje pažnje obraćao na izvorne jednadžbe ili grafičku interpretaciju, a više je razmišljao o prirodi samih korijena. Da pojednostavimo, Galois je razmatrao samo takozvane nesvodljive kvintike, to jest one koje se ne mogu faktorizirati u obliku polinoma nižeg reda (kao što smo rekli, za sve polinomske jednadžbe do četvrtog reda postoje formule za pronalaženje njihovih korijenje). Općenito, nesvodljivi polinom s racionalnim koeficijentima je polinom koji se ne može rastaviti na jednostavnije polinome s racionalnim koeficijentima. Na primjer, (x 5 - 1) može se faktorizirati (x-1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1), dok (x 5 - 2) nesvodljiv. Galoisov cilj bio je odrediti uvjete pod kojima se sva rješenja opće nesvodljive polinomske jednadžbe mogu pronaći u smislu radikala.

Ključ rješenja je da korijeni bilo koje nesvodljive algebarske jednadžbe nisu neovisni, mogu se izraziti jedan kroz drugi. Ti su odnosi formalizirani u skupinu svih mogućih permutacija, tzv. korijensku skupinu simetrije - za kvintiku ova skupina sadrži 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 elemenata. Matematički algoritmi Galoisove teorije vrlo su složeni i, najvjerojatnije, djelomično zbog toga, u početku ih je bilo teško razumjeti. Ali jednom kada mu je razina apstrakcije omogućila da prijeđe s algebarskih rješenja jednadžbi na algebarsku strukturu njihovih pridruženih grupa, Galois je mogao predvidjeti rješivost jednadžbe na temelju svojstava takvih grupa. Štoviše, njegova je teorija također pružila metodu kojom se ti sami korijeni mogu pronaći. Što se tiče kvintike, matematičar Joseph Liouville (1809. – 1882.), koji je 1846. objavio većinu Galoisova rada u svom Journal of Pure and Applied Mathematics, primijetio je da je mladi znanstvenik dokazao "prekrasan teorem", i kako bi " Ako je nesvodljiva jednadžba izvornog stupnja rješiva ​​u terminima radikala, nužno je i dovoljno da svi njezini korijeni budu racionalne funkcije bilo koja dva od njih.” Budući da je to nemoguće za kvintiku, ne može se riješiti pomoću radikala.

U tri godine matematički svijet izgubio je dvije svoje najsjajnije nove zvijezde. Uslijedile su međusobne optužbe i dušebrižništvo, a Abel i Galois dobili su zaslužena priznanja, ali tek posthumno. Carl Jacobi je 1829. preko Legendrea doznao za Abelov "izgubljeni" rukopis, a 1830. izbio je diplomatski skandal kada je norveški konzul u Parizu zahtijevao da se pronađe članak njegova sunarodnjaka. Cauchy je na kraju pronašao članak, samo da bi ga urednici akademije ponovno izgubili! Iste godine, Abel je dobio Grand Prix iz matematike (podijeljen s Jacobijem) - ali je već bio mrtav. Godine 1841. objavljena je njegova biografija. Godine 1846. Liouville je uredio neke od Galoisovih rukopisa za objavljivanje i u uvodu izrazio žaljenje što je akademija isprva odbacila Galoisov rad zbog njegove složenosti - "jasnoća prezentacije je doista neophodna kada autor vodi čitatelja s utabane staze u neistraženu divljinu teritoriji." Nastavlja: “Galoisa više nema! Nemojmo pasti u beskorisne kritike. Ostavimo po strani nedostatke i pogledajmo prednosti!" Plodovi Galoisova kratkog života stanu na samo šezdesetak stranica. Urednik matematičkog časopisa za kandidate za École Normale i École Polytechnique komentirao je slučaj Galois na sljedeći način: “Kandidata visoke inteligencije eliminirao je ispitivač s nižom razinom razmišljanja. Barbarus hic ego sum, quia non intelligor illis.”

Prije svega, druga stranica ovog djela nije opterećena imenima, prezimenima, opisima društvenog položaja, titulama i elegijama u čast kakvog škrtog princa, čija će se novčanica otvoriti uz pomoć tih tamjana – uz prijetnju zatvaranja. to kad prestane pohvala. Ovdje nećete vidjeti hvalospjeve s pijetetom, ispisane slovima tri puta većim od samog teksta, upućene onima na visokom položaju u znanosti, nekom mudrom meceni - nešto obavezno (rekao bih neizbježno) za nekoga s dvadeset godina tko želi nešto napisati. Ovdje nikome ne govorim da svojim savjetima i podrškom dugujem sve dobro što proizlazi iz mog rada. Ne govorim ovo jer bi to bila laž. Kad bih trebao spomenuti bilo koga od velikana u društvu ili u znanosti (razlika između ove dvije klase ljudi u današnje je vrijeme gotovo neprimjetna), kunem se da to ne bi bio znak zahvalnosti. Njima dugujem što sam prvi od ova dva članka objavio tako kasno, i što sam sve ovo napisao u zatvoru - mjestu koje se teško može smatrati prikladnim za znanstveno promišljanje, i često se čudim svojoj suzdržanosti i sposobnosti da zadržim zatvori mi usta.dvorac u odnosu na glupe i zle zoile. Mislim da mogu upotrijebiti riječ "zoile" bez straha da ću biti optužen za nedoličnost, budući da tako nazivam svoje protivnike. Neću ovdje pisati o tome kako i zašto sam dospio u zatvor, ali moram reći da su se moji rukopisi najčešće jednostavno gubili u dosjeima gospode akademika, iako to, istina, ne mogu ni zamisliti. indiskrecija od strane ljudi koji su odgovorni za Abelovu smrt. Po mom mišljenju, svatko bi se želio uspoređivati ​​s ovim briljantnim matematičarem. Dovoljno je reći da je moj članak o teoriji jednadžbi poslan Akademiji znanosti u veljači 1830., da su izvadci iz njega poslani u veljači 1829., ali ništa od toga nije tiskano, a čak se i rukopis pokazalo nemogućim povratak.

Idite na youtube kanal naše web stranice kako biste bili u tijeku sa svim novim video lekcijama.

Prvo se prisjetimo osnovnih formula potencija i njihovih svojstava.

Umnožak broja a pojavljuje sam po sebi n puta, ovaj izraz možemo napisati kao a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Potencije ili eksponencijalne jednadžbe– to su jednadžbe u kojima su varijable potencije (ili eksponenti), a baza je broj.

Primjeri eksponencijalnih jednadžbi:

U ovom primjeru, broj 6 je baza; uvijek je na dnu i varijabla x stupanj ili pokazatelj.

Navedimo još primjera eksponencijalnih jednadžbi.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Sada pogledajmo kako se rješavaju eksponencijalne jednadžbe?

Uzmimo jednostavnu jednadžbu:

2 x = 2 3

Ovaj primjer se može riješiti čak iu vašoj glavi. Vidi se da je x=3. Uostalom, da bi lijeva i desna strana bile jednake, trebate umjesto x staviti broj 3.
Sada da vidimo kako formalizirati ovu odluku:

2 x = 2 3
x = 3

Da bismo riješili takvu jednadžbu, uklonili smo identične osnove(odnosno dvojke) i zapisao ono što je ostalo, to su stupnjevi. Dobili smo odgovor koji smo tražili.

Sada rezimiramo našu odluku.

Algoritam za rješavanje eksponencijalne jednadžbe:
1. Treba provjeriti isto ima li jednadžba baze s desne i lijeve strane. Ako razlozi nisu isti, tražimo opcije za rješavanje ovog primjera.
2. Nakon što baze postanu iste, izjednačiti stupnjeva i riješite dobivenu novu jednadžbu.

Sada pogledajmo nekoliko primjera:

Počnimo s nečim jednostavnim.

Baze na lijevoj i desnoj strani jednake su broju 2, što znači da baze možemo odbaciti i njihove stupnjeve izjednačiti.

x+2=4 Dobije se najjednostavnija jednadžba.
x=4 – 2
x=2
Odgovor: x=2

U sljedećem primjeru možete vidjeti da su baze različite: 3 i 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Prvo, pomaknite devet na desnu stranu, dobit ćemo:

Sada morate napraviti iste baze. Znamo da je 9=3 2. Upotrijebimo formulu za potenciju (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Dobivamo 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Sada je jasno da su na lijevoj i desnoj strani baze iste i jednake tri, što znači da ih možemo odbaciti i izjednačiti stupnjeve.

3x=2x+16 dobivamo najjednostavniju jednadžbu
3x - 2x=16
x=16
Odgovor: x=16.

Pogledajmo sljedeći primjer:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Prije svega, gledamo baze, baze dva i četiri. I trebamo da budu isti. Četvorku transformiramo pomoću formule (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Također koristimo jednu formulu a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Dodajte jednadžbi:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Naveli smo primjer iz istih razloga. Ali muče nas ostali brojevi 10 i 24. Što s njima? Ako bolje pogledate, možete vidjeti da se na lijevoj strani ponavlja 2 2x, evo odgovora - možemo staviti 2 2x izvan zagrada:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Izračunajmo izraz u zagradama:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Cijelu jednadžbu dijelimo sa 6:

Zamislimo 4=2 2:

2 2x = 2 2 baze su iste, odbacujemo ih i izjednačavamo stupnjeve.
2x = 2 je najjednostavnija jednadžba. Podijelimo sa 2 i dobijemo
x = 1
Odgovor: x = 1.

Riješimo jednadžbu:

9 x – 12*3 x +27= 0

Pretvorimo:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Dobivamo jednadžbu:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Naše baze su iste, jednake 3. U ovom primjeru možete vidjeti da prve tri imaju stupanj dva puta (2x) od druge (samo x). U ovom slučaju možete riješiti način zamjene. Zamjenjujemo broj s najmanjim stupnjem:

Tada je 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Zamijenimo sve x potencije u jednadžbi s t:

t 2 - 12t+27 = 0
Dobivamo kvadratnu jednadžbu. Rješavanjem preko diskriminante dobivamo:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Vraćajući se na varijablu x.

Uzmi t 1:
t 1 = 9 = 3 x

To je,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Pronađen je jedan korijen. Tražimo drugu iz t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odgovor: x 1 = 2; x 2 = 1.

Na web stranici možete postaviti sva pitanja koja imate u rubrici HELP DECIDE, mi ćemo Vam svakako odgovoriti.

Pridružite se grupi