Sada kada smo naučili kako zbrajati i množiti pojedinačne razlomke, možemo pogledati složenije strukture. Na primjer, što ako isti problem uključuje zbrajanje, oduzimanje i množenje razlomaka?

Prije svega, trebate pretvoriti sve razlomke u neprave. Zatim izvodimo potrebne radnje uzastopno - istim redoslijedom kao i za obične brojeve. Naime:

1. Prvo se vrši potenciranje - riješite se svih izraza koji sadrže eksponente;
2. Zatim - dijeljenje i množenje;
3. Zadnji korak je zbrajanje i oduzimanje.

Naravno, ako u izrazu postoje zagrade, redoslijed operacija se mijenja - prvo se mora prebrojati sve što je unutar zagrada. I zapamtite nepravilne razlomke: morate istaknuti cijeli dio tek kada su sve druge radnje već dovršene.

Pretvorimo sve razlomke iz prvog izraza u neprave, a zatim izvršimo sljedeće korake:

Nađimo sada vrijednost drugog izraza. Nema razlomaka s cijelim dijelom, ali ima zagrada, pa prvo izvodimo zbrajanje, a tek onda dijeljenje. Imajte na umu da je 14 = 7 · 2. Zatim:

Na kraju, razmotrite treći primjer. Ovdje postoje zagrade i stupanj - bolje ih je računati odvojeno. S obzirom da je 9 = 3 3, imamo:

Obratite pozornost na posljednji primjer. Da biste podigli razlomak na potenciju, morate posebno podići brojnik na tu potenciju, a posebno nazivnik.

Možete odlučiti drugačije. Ako se prisjetimo definicije stupnja, problem će se svesti na uobičajeno množenje razlomaka:

Višekatni razlomci

Do sada smo razmatrali samo "čiste" razlomke, kada su brojnik i nazivnik obični brojevi. Ovo je sasvim u skladu s definicijom razlomka broja danom u prvoj lekciji.

Ali što ako stavite složeniji objekt u brojnik ili nazivnik? Na primjer, još jedan numerički razlomak? Takve se konstrukcije pojavljuju vrlo često, osobito kada se radi s dugim izrazima. Evo nekoliko primjera:

Postoji samo jedno pravilo za rad s razlomcima na više razina: morate ih se odmah riješiti. Uklanjanje "dodatnih" katova prilično je jednostavno, ako se sjetite da kosa crta označava standardnu ​​operaciju dijeljenja. Stoga se svaki razlomak može prepisati na sljedeći način:

Koristeći ovu činjenicu i slijedeći proceduru, možemo lako svesti bilo koji višekatni razlomak na obični. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pretvorite višekatne razlomke u obične:

U svakom slučaju prepisujemo glavni razlomak, zamjenjujući crtu dijeljenja znakom dijeljenja. Također zapamtite da se svaki cijeli broj može prikazati kao razlomak s nazivnikom 1. To je 12 = 12/1; 3 = 3/1. Dobivamo:

U posljednjem primjeru razlomci su poništeni prije konačnog množenja.

Specifičnosti rada s višerazinskim razlomcima

Postoji jedna suptilnost u frakcijama na više razina koje se uvijek moraju zapamtiti, inače možete dobiti pogrešan odgovor, čak i ako su svi izračuni bili točni. Pogledaj:

1. Brojnik sadrži jedini broj 7, a nazivnik sadrži razlomak 12/5;
2. Brojnik sadrži razlomak 7/12, a nazivnik zasebni broj 5.

Dakle, za jedno snimanje dobili smo dvije potpuno različite interpretacije. Ako brojite, odgovori će također biti drugačiji:

Kako biste osigurali da se zapis uvijek čita nedvosmisleno, upotrijebite jednostavno pravilo: crta razdjelnice glavnog razlomka mora biti duža od crte ugniježđenog razlomka. Po mogućnosti nekoliko puta.

Ako slijedite ovo pravilo, tada bi gornji razlomci trebali biti napisani na sljedeći način:

Da, vjerojatno je neugledno i zauzima previše prostora. Ali dobro ćete računati. Na kraju, nekoliko primjera gdje se zapravo pojavljuju razlomci s više katova:

Zadatak. Pronađite značenja izraza:

Dakle, poradimo na prvom primjeru. Pretvorimo sve razlomke u neprave, a zatim izvršimo operacije zbrajanja i dijeljenja:

Učinimo isto s drugim primjerom. Pretvorimo sve razlomke u neprave i izvršimo potrebne operacije. Da ne dosađujem čitatelju, izostavit ću neke očite računice. Imamo:

Budući da brojnik i nazivnik osnovnih razlomaka sadrže zbrojeve, automatski se poštuje pravilo za pisanje višekatnih razlomaka. Također, u posljednjem primjeru smo namjerno ostavili 46/1 u obliku razlomka za izvođenje dijeljenja.

Također ću primijetiti da u oba primjera crtica razlomka zapravo zamjenjuje zagrade: prije svega smo pronašli zbroj, a tek onda kvocijent.

Neki će reći da je prijelaz na neprave razlomke u drugom primjeru očito bio suvišan. Možda je ovo istina. Ali time se osiguravamo od pogrešaka, jer sljedeći put primjer može ispasti mnogo kompliciraniji. Odaberite sami što vam je važnije: brzina ili pouzdanost.

Kako naučiti rješavati razlomke?

I sam sam se suočio s činjenicom da su se razlomci pokazali prilično teškom temom za moju djecu.

Postoji vrlo dobra igrica Nikitinovi razlomci, namijenjena je predškolskoj dobi, ali iu školi će savršeno pomoći djetetu da shvati što su razlomci, njihov međusobni odnos..., a sve to na pristupačan, vizualan i uzbudljiv oblik.

Sastoji se od dvanaest raznobojnih krugova. Jedan krug je cijeli, a svi ostali su podijeljeni na jednake dijelove - dva, tri.... (do dvanaest).

Od djeteta se traži da ispuni jednostavne zadatke igre, na primjer:

Kako se zovu dijelovi krugova? ili

Koji dio je veći? (stavite manji na veći.)

Ova tehnika mi je pomogla. Općenito, stvarno mi je žao što mi svi ovi Nikitinovi događaji nisu zapeli za oko dok su djeca još bila bebe.

Igru možete napraviti sami ili kupiti već gotovu, a više o svemu saznajte ovdje.

Rješavanje razlomaka može se objasniti i pomoću Lego kockica. Razvija ne samo maštu, već i kreativno i logično razmišljanje, što znači da se može koristiti i kao pomoć u nastavi.

Alicia Zimmerman došla je na ideju da pomoću blokova slavnog dizajnera podučava djecu osnovama matematike.

A evo kako objasniti razlomke koristeći Lego.





Praksa pokazuje da najviše poteškoća nastaje pri zbrajanju (oduzimanju) razlomaka s različitim nazivnicima i pri dijeljenju razlomaka.

Poteškoće nastaju zbog netočnih uputa u udžbeniku, poput dijeljenja razlomka razlomkom.

Da biste razlomak podijelili s razlomkom, pomnožite brojnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka, a brojnik drugog razlomka s nazivnikom prvog razlomka.

Može li dijete u 4. razredu to razumjeti i ne zbuniti se? NE!

A učiteljica nam je elementarno objasnila: treba drugi razlomak okrenuti i onda ga pomnožiti!

Ista stvar i sa zbrajanjem.

Da biste zbrojili dva razlomka, potrebno je brojnik prvog razlomka pomnožiti s nazivnikom drugog razlomka, a brojnik drugog razlomka pomnožiti s nazivnikom prvog razlomka, dobivene brojeve zbrojiti i upisati u brojnik. A u nazivnik trebate napisati umnožak nazivnika razlomaka. Nakon toga se dobiveni udio može (ili treba) smanjiti.

A to je jednostavnije: svedite razlomke na zajednički nazivnik, koji je jednak LCM-u nazivnika, a zatim dodajte brojnike.

Pokažite im jasnim primjerom. Na primjer, jabuku razrežite na 4 dijela, stavite je na 8 dijelova, 12 dijelova dodajte u cjelinu, dodajte nekoliko dijelova, oduzmite. U isto vrijeme, objasnite na papiru koristeći pravila. Pravila za zbrajanje i oduzimanje. dijeljenje razlomaka, kao i kako odvojiti cjelinu od nepravog razlomka - sve to naučite dok manipulirate jabukom. Nemojte požurivati ​​djecu, neka uz vašu pomoć pažljivo razvrstaju kriške.

Naročito je podučavanje djece rješavanju razlomaka prilično uobičajeno i neće stvarati mnogo problema. Najjednostavnije što možete učiniti je uzeti nešto cijelo, na primjer mandarinu ili bilo koju drugu voćku, podijeliti na dijelove i na primjeru pokazati oduzimanje, zbrajanje i druge operacije s komadićima tog voća, koji će biti razlomci iz cijeli. Sve treba objasniti i pokazati, a na kraju će biti zajedničko objašnjavanje i rješavanje zadataka na matematičkim primjerima dok dijete ne nauči te zadatke raditi samo.

Na slici se jasno vidi što čemu odgovara i kako razlomak izgleda na stvarnom objektu, upravo to treba objasniti.



Ovom pitanju morate pristupiti temeljito, jer će vam rješavanje razlomaka dobro doći u životu. U tom pitanju potrebno je, kako kažu, biti ravnopravan s djecom, te teoriju objasniti njima razumljivim jezikom, primjerice jezikom kolača ili mandarina. Morate podijeliti kolač na do i dati ga prijateljima, nakon čega će dijete početi shvaćati bit rješavanja razlomaka. Nemojte počinjati s teškim razlomcima, počnite s konceptima 1/2, 1/3, 1/10. Prvo oduzmite i zbrojite, a zatim prijeđite na složenije pojmove poput množenja i dijeljenja.

Postoje različite vrste problema s razlomcima. Jedno dijete ne može shvatiti da su jedna sekunda i pet desetinki isto, druga su zbunjena dovođenjem različitih razlomaka na isti nazivnik, a treća su zbunjena dijeljenjem razlomaka. Stoga ne postoji jedno pravilo za sve prilike.

Glavna stvar u problemima koji uključuju razlomke je ne propustiti trenutak kada ono što je razumljivo prestaje biti. Vratite se na štednjak i ponovite sve iznova, pa makar izgledalo i jadno primitivno. Na primjer, vratite se na što je jedna sekunda.

Dijete mora shvatiti da su matematički pojmovi apstraktni, da se ista pojava može opisati različitim riječima i izraziti različitim brojevima.

Sviđa mi se odgovor koji je dao Mefody66. Dodat ću iz dugogodišnje osobne prakse: poučavanje rješavanja problema s razlomcima (a ne rješavanje razlomaka; rješavanje razlomaka je nemoguće, kao što je nemoguće rješavanje brojeva) prilično je jednostavno, samo trebate biti blizu djeteta kada prvi put počne rješavati takve probleme, i na vrijeme ispraviti svoje rješenje, kako se greške, koje su neizbježne u svakom učenju, ne bi imale vremena zahvatiti u djetetovom umu. Ponovno učenje je teže nego naučiti nešto novo. I rješavati takve probleme što je više moguće. Rješavanje takvih zadataka bilo bi dobro dovesti do automatizma. Sposobnost rješavanja problema s običnim razlomcima jednako je važna u školskom tečaju matematike kao i poznavanje tablice množenja. Stoga morate odvojiti vrijeme i promatrati kako vaše dijete rješava takve probleme.

I nemojte se previše oslanjati na udžbenik: učitelji u školama objašnjavaju točno onako kako je Mefody66 napisao u svom odgovoru. Bolje je razgovarati s učiteljem, saznati kojim riječima je učitelj objasnio ovu temu. I koristite iste riječi i fraze ako je moguće (da ne zbunite dijete previše)

Također: savjetujem vam da koristite vizualne primjere samo u početnoj fazi objašnjenja, a zatim brzo apstrahirajte i prijeđite na algoritam rješenja. Inače bi jasnoća mogla biti štetna pri rješavanju složenijih problema. Na primjer, ako trebate zbrojiti razlomke s nazivnicima 29 i 121, koja vrsta vizualne pomoći će vam pomoći? To će samo zbuniti.

Razlomci su jedna od onih blagoslovljenih matematičkih tema u kojima nema apstrakcija koje nisu primjenjive. Treba koristiti proizvode (na kolačima, kao Juanita Solis u Očajnim domaćicama - stvarno super metoda objašnjenja). Svi ovi brojnici-nazivnici dolaze kasnije. Tada je potrebno da dijete shvati da dijeljenje razlomkom više uopće nije smanjenje, a množenje povećanje. Ovdje je bolje pokazati kako dijeliti razlomkom u obliku množenja inverzijom. Predstavite kraticu na razigran način, ako su podijeljeni s jednim brojem, onda podijelite, skoro ispada Sudoku, ako vas zanima. Najvažnije je uočiti nesporazume na vrijeme, jer će dalje biti zanimljivijih tema koje nije lako razumjeti. Stoga više vježbajte rješavanje razlomaka i sve će brzo biti bolje. Meni, najčišćem humanistu, daleko od najmanjeg stupnja apstrakcije, razlomci su uvijek bili jasniji od ostalih tema.

Formulacija problema: Pronađite značenje izraza (operacije s razlomcima).

Problem je dio Jedinstvenog državnog ispita iz osnovne razine matematike za 11. razred pod brojem 1 (Akcije s razlomcima).

Pogledajmo kako se takvi problemi rješavaju pomoću primjera.

Primjer zadatka 1:

Odredite vrijednost izraza 5/4 + 7/6: 2/3.

Izračunajmo vrijednost izraza. Da bismo to učinili, odredimo redoslijed operacija: prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje. I izvršite potrebne radnje pravilnim redoslijedom:

Odgovor: 3

Primjer zadatka 2:

Odredi vrijednost izraza (3,9 – 2,4) ∙ 8,2

Odgovor: 12.3

Primjer zadatka 3:

Odredi vrijednost izraza 27 ∙ (1/3 – 4/9 – 5/27).

Izračunajmo vrijednost izraza. Da bismo to učinili, odredimo redoslijed operacija: prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje. U ovom slučaju, akcije u zagradama izvršavaju se prije akcija izvan zagrada. I izvršite potrebne radnje pravilnim redoslijedom:

Odgovor: –8

Primjer zadatka 4:

Pronađite vrijednost izraza 2,7 / (1,4 + 0,1)

Izračunajmo vrijednost izraza. Da bismo to učinili, odredimo redoslijed operacija: prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje. U ovom slučaju, akcije u zagradama izvršavaju se prije akcija izvan zagrada. I izvršite potrebne radnje pravilnim redoslijedom:

Odgovor: 1.8

Primjer problema 5:

Odredite vrijednost izraza 1 / (1/9 – 1/12).

Izračunajmo vrijednost izraza. Da bismo to učinili, odredimo redoslijed operacija: prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje. U ovom slučaju, akcije u zagradama izvršavaju se prije akcija izvan zagrada. I izvršite potrebne radnje pravilnim redoslijedom:

Odgovor: 36

Primjer problema 6:

Pronađite vrijednost izraza (0,24 ∙ 10^6) / (0,6 ∙ 10^4).

Izračunajmo vrijednost izraza. Da bismo to učinili, odredimo redoslijed operacija: prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje. U ovom slučaju, akcije u zagradama izvršavaju se prije akcija izvan zagrada. I izvršite potrebne radnje pravilnim redoslijedom:

Odgovor: 40

Primjer problema 7:

Odredite vrijednost izraza (1,23 ∙ 45,7) / (12,3 ∙ 0,457).

Izračunajmo vrijednost izraza. Da bismo to učinili, odredimo redoslijed operacija: prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje. U ovom slučaju, akcije u zagradama izvršavaju se prije akcija izvan zagrada. I izvršite potrebne radnje pravilnim redoslijedom:

Odgovor: 10

Primjer problema 8:

Pronađite vrijednost izraza (728^2 – 26^2) : 754.

Izračunajmo vrijednost izraza. Da bismo to učinili, odredimo redoslijed operacija: prvo množenje i dijeljenje, zatim zbrajanje i oduzimanje. U ovom slučaju, akcije u zagradama izvršavaju se prije akcija izvan zagrada. I izvršit ćemo potrebne radnje pravilnim redoslijedom. I u ovom slučaju trebate primijeniti formulu razlike kvadrata.

Jedna od najvažnijih znanosti, čija se primjena može vidjeti u disciplinama poput kemije, fizike pa čak i biologije, je matematika. Proučavanje ove znanosti omogućuje vam da razvijete neke mentalne kvalitete i poboljšate svoju sposobnost koncentracije. Jedna od tema koja zaslužuje posebnu pozornost u predmetu Matematika je zbrajanje i oduzimanje razlomaka. Mnogim studentima je teško učiti. Možda će vam naš članak pomoći da bolje razumijete ovu temu.

Kako oduzeti razlomke čiji su nazivnici isti

Razlomci su isti brojevi s kojima možete izvoditi razne operacije. Njihova razlika od cijelih brojeva leži u prisutnosti nazivnika. Zato, kada izvodite operacije s razlomcima, morate proučiti neke od njihovih značajki i pravila. Najjednostavniji slučaj je oduzimanje običnih razlomaka čiji su nazivnici predstavljeni istim brojem. Izvođenje ove radnje neće biti teško ako znate jednostavno pravilo:

• Da bi se od jednog razlomka oduzela sekunda, potrebno je od brojnika razlomka koji se smanjuje oduzeti brojnik oduzetog razlomka. Taj broj upisujemo u brojnik razlike, a nazivnik ostavljamo isti: k/m - b/m = (k-b)/m.

Primjeri oduzimanja razlomaka čiji su nazivnici isti

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Od brojnika razlomka "7" oduzimamo brojnik razlomka "3" koji treba oduzeti, dobivamo "4". Ovaj broj upisujemo u brojnik odgovora, au nazivnik stavljamo isti broj koji je bio u nazivnicima prvog i drugog razlomka - "19".

Slika ispod prikazuje još nekoliko sličnih primjera.

Razmotrimo složeniji primjer gdje se oduzimaju razlomci s istim nazivnicima:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Od brojnika razlomka "29" koji se smanjuje redom oduzimanjem brojnika svih sljedećih razlomaka - "3", "8", "2", "7". Kao rezultat toga dobivamo rezultat "9", koji zapisujemo u brojniku odgovora, au nazivniku zapisujemo broj koji je u nazivnicima svih ovih frakcija - "47".

Zbrajanje razlomaka koji imaju isti nazivnik

Zbrajanje i oduzimanje običnih razlomaka slijedi isti princip.

• Da bi zbrojili razlomke čiji su nazivnici isti, potrebno je zbrojiti brojnike. Dobiveni broj je brojnik zbroja, a nazivnik će ostati isti: k/m + b/m = (k + b)/m.

Pogledajmo kako to izgleda na primjeru:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Brojniku prvog člana razlomka - "1" - dodajte brojnik drugog člana razlomka - "2". Rezultat - "3" - upisuje se u brojnik zbroja, a nazivnik ostaje isti kao onaj prisutan u razlomcima - "4".

Razlomci s različitim nazivnicima i njihovo oduzimanje

Već smo razmatrali operaciju s razlomcima koji imaju isti nazivnik. Kao što vidite, poznavanjem jednostavnih pravila, rješavanje takvih primjera prilično je jednostavno. Ali što ako trebate izvesti operaciju s razlomcima koji imaju različite nazivnike? Mnogi srednjoškolci su zbunjeni takvim primjerima. Ali čak i ovdje, ako znate princip rješenja, primjeri vam više neće biti teški. Ovdje također postoji pravilo bez kojeg je rješavanje takvih frakcija jednostavno nemoguće.

Da biste oduzeli razlomke s različitim nazivnicima, morate ih svesti na isti najmanji nazivnik.



Razgovarat ćemo detaljnije o tome kako to učiniti.

Svojstvo razlomka

Da biste nekoliko razlomaka doveli na isti nazivnik, potrebno je koristiti glavno svojstvo razlomka u rješenju: nakon dijeljenja ili množenja brojnika i nazivnika s istim brojem, dobivate razlomak jednak zadanom.

Tako, na primjer, razlomak 2/3 može imati nazivnike kao što su “6”, “9”, “12” itd., odnosno može imati oblik bilo kojeg broja koji je višekratnik broja “3”. Nakon što pomnožimo brojnik i nazivnik s "2", dobivamo razlomak 4/6. Nakon što pomnožimo brojnik i nazivnik izvornog razlomka s "3", dobivamo 6/9, a ako sličnu operaciju izvedemo s brojem "4", dobivamo 8/12. Jedna jednakost se može napisati na sljedeći način:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Kako pretvoriti više razlomaka u isti nazivnik

Pogledajmo kako svesti više razlomaka na isti nazivnik. Za primjer, uzmimo razlomke prikazane na donjoj slici. Prvo morate odrediti koji broj može postati nazivnik za sve njih. Da bismo olakšali stvari, faktorizirajmo postojeće nazivnike.

Nazivnik razlomka 1/2 i razlomka 2/3 ne mogu se faktorizirati. Nazivnik 7/9 ima dva faktora 7/9 = 7/(3 x 3), nazivnik razlomka 5/6 = 5/(2 x 3). Sada trebamo odrediti koji će faktori biti najmanji za sva ova četiri razlomka. Budući da prvi razlomak ima broj “2” u nazivniku, to znači da mora biti prisutan u svim nazivnicima; u razlomku 7/9 postoje dvije trojke, što znači da obje moraju biti prisutne i u nazivniku. Uzimajući u obzir gore navedeno, utvrđujemo da se nazivnik sastoji od tri faktora: 3, 2, 3 i da je jednak 3 x 2 x 3 = 18.



Razmotrimo prvi razlomak - 1/2. U nazivniku postoji "2", ali nema niti jedne znamenke "3", već bi trebale biti dvije. Da bismo to učinili, nazivnik pomnožimo s dvije trostruke, ali, prema svojstvu razlomka, brojnik moramo pomnožiti s dvije trostruke:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Izvodimo iste operacije s preostalim frakcijama.

• 2/3 - u nazivniku nedostaje jedna tri i jedna dvojka:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 ili 7/(3 x 3) - nazivniku nedostaje dvojka:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 ili 5/(2 x 3) - nazivniku nedostaje trojka:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Sve zajedno izgleda ovako:



Kako oduzimati i zbrajati razlomke koji imaju različite nazivnike

Kao što je gore spomenuto, da bi se dodali ili oduzeli razlomci koji imaju različite nazivnike, moraju se svesti na isti nazivnik, a zatim koristiti pravila za oduzimanje razlomaka koji imaju isti nazivnik, o kojima je već bilo riječi.

Pogledajmo ovo kao primjer: 18.4. - 15.3.

Nalaženje višekratnika brojeva 18 i 15:

• Broj 18 sastoji se od 3 x 2 x 3.
• Broj 15 je sastavljen od 5 x 3.
• Zajednički višekratnik bit će sljedeći faktori: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Nakon što se pronađe nazivnik, potrebno je izračunati faktor koji će biti različit za svaki razlomak, odnosno broj s kojim će biti potrebno pomnožiti ne samo nazivnik, već i brojnik. Da biste to učinili, podijelite broj koji smo pronašli (zajednički višekratnik) s nazivnikom razlomka za koji je potrebno odrediti dodatne faktore.

• 90 podijeljeno s 15. Dobiveni broj "6" bit će množitelj za 3/15.
• 90 podijeljeno s 18. Dobiveni broj "5" bit će množitelj za 4/18.

Sljedeća faza našeg rješenja je svođenje svakog razlomka na nazivnik "90".

Već smo govorili o tome kako se to radi. Pogledajmo kako je to napisano na primjeru:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Ako razlomci imaju male brojeve, tada možete odrediti zajednički nazivnik, kao u primjeru prikazanom na slici ispod.



Isto vrijedi i za one s različitim nazivnicima.

Oduzimanje i imanje cjelobrojnih dijelova

Već smo detaljno govorili o oduzimanju razlomaka i njihovom zbrajanju. Ali kako oduzeti ako razlomak ima cijeli dio? Opet, upotrijebimo nekoliko pravila:

• Pretvori sve razlomke koji imaju cijeli dio u neprave. Jednostavnim riječima, uklonite cijeli dio. Da biste to učinili, pomnožite broj cijelog dijela s nazivnikom razlomka i dodajte rezultirajući proizvod brojniku. Broj koji izađe nakon ovih radnji je brojnik nepravog razlomka. Nazivnik ostaje nepromijenjen.
• Ako razlomci imaju različite nazivnike, treba ih svesti na isti nazivnik.
• Izvršite zbrajanje ili oduzimanje s istim nazivnicima.
• Pri primanju netočnog razlomka odaberite cijeli dio.



Postoji još jedan način na koji možete zbrajati i oduzimati razlomke s cijelim dijelovima. Da biste to učinili, radnje se izvode odvojeno s cijelim dijelovima, a radnje s razlomcima zasebno, a rezultati se bilježe zajedno.



Navedeni primjer sastoji se od razlomaka koji imaju isti nazivnik. U slučaju da su nazivnici različiti, potrebno ih je dovesti na istu vrijednost, a zatim izvršiti radnje kao što je prikazano u primjeru.

Oduzimanje razlomaka od cijelih brojeva

Druga vrsta operacije s razlomcima je slučaj kada treba oduzeti razlomak.Na prvi pogled takav primjer izgleda teško rješiv. Međutim, ovdje je sve vrlo jednostavno. Da biste ga riješili, trebate pretvoriti cijeli broj u razlomak, i to s istim nazivnikom koji je u oduzetom razlomku. Zatim izvodimo oduzimanje slično oduzimanju s jednakim nazivnicima. Na primjeru to izgleda ovako:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Oduzimanje razlomaka (6. razred) prikazano u ovom članku osnova je za rješavanje složenijih primjera koji se obrađuju u sljedećim razredima. Znanje iz ove teme naknadno se koristi za rješavanje funkcija, derivacija i sl. Stoga je vrlo važno razumjeti i razumjeti gore razmotrene operacije s razlomcima.

Zbrajanje razlomaka s jednakim nazivnicima

Postoje dvije vrste zbrajanja razlomaka:

1. Zbrajanje razlomaka sa sličnim nazivnicima;
2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.

Prvo, proučimo zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjen.

Na primjer, zbrojimo razlomke i . Zbrojite brojnike i ostavite nazivnik nepromijenjen:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Dodate li pizzu na pizzu, dobit ćete pizzu:

Primjer 2. Zbrojite razlomke i .

Pokazalo se da je odgovor nepravi razlomak. Kada dođe kraj zadatka, uobičajeno je riješiti se nepravih razlomaka. Da biste se riješili nepravilnog razlomka, morate odabrati cijeli njegov dio. U našem slučaju, cijeli dio je lako izoliran - dva podijeljena s dva bit će jedan:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na dva dijela. Dodate li još pizze na pizzu, dobit ćete jednu cijelu pizzu:

Primjer 3. Zbrojite razlomke i .

Opet zbrajamo brojnike, a nazivnik ostavljamo nepromijenjenim:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako na pizzu dodate još pizze, dobit ćete pizzu:

Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Brojnike je potrebno zbrojiti, a nazivnik ostaviti nepromijenjenim:

Pokušajmo naše rješenje prikazati pomoću crteža. Ako dodate pizze na pizzu i dodate još pizza, dobit ćete 1 cijelu pizzu i više pizza.

Kao što vidite, nema ništa komplicirano u zbrajanju razlomaka s istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike, a nazivnik ostaviti nepromijenjenim;

Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

Naučimo sada kako zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Kod zbrajanja razlomaka, nazivnici razlomaka moraju biti isti. Ali nisu uvijek isti.

Na primjer, razlomci se mogu zbrajati jer imaju iste nazivnike.

Ali razlomci se ne mogu odmah zbrajati jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima razlomke je potrebno svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Postoji nekoliko načina svođenja razlomaka na isti nazivnik. Danas ćemo pogledati samo jednu od njih, budući da se druge metode početniku mogu činiti kompliciranima.

Bit ove metode je da se prvo pretražuje LCM nazivnika obaju razlomaka. LCM se zatim dijeli s nazivnikom prvog razlomka kako bi se dobio prvi dodatni faktor. Isto čine s drugim razlomkom - LCM se podijeli s nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor.

Brojnici i nazivnici razlomaka zatim se množe svojim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. A takve razlomke već znamo zbrajati.

Primjer 1. Zbrojimo razlomke i

Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika obaju razlomaka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

LCM (2 i 3) = 6

Sada se vratimo razlomcima i . Prvo podijelite LCM s nazivnikom prvog razlomka i dobijete prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobivamo 2.

Dobiveni broj 2 je prvi dodatni množitelj. Zapisujemo ga do prvog razlomka. Da biste to učinili, napravite malu kosu crtu preko razlomka i zapišite dodatni faktor koji se nalazi iznad:

Isto radimo s drugim razlomkom. LCM podijelimo s nazivnikom drugog razlomka i dobijemo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka je broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobivamo 3.

Dobiveni broj 3 je drugi dodatni množitelj. Zapisujemo ga do drugog razlomka. Opet, napravimo malu kosu liniju preko drugog razlomka i zapišemo dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:

Sada imamo sve spremno za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojnike i nazivnike razlomaka njihovim dodatnim faktorima:

Pažljivo pogledajte do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. A takve razlomke već znamo zbrajati. Uzmimo ovaj primjer do kraja:

Ovo dovršava primjer. Ispada dodati .

Pokušajmo naše rješenje prikazati pomoću crteža. Ako dodate pizzu na pizzu, dobit ćete jednu cijelu pizzu i još jednu šestinu pizze:

Svođenje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Svođenjem razlomaka i na zajednički nazivnik dobili smo razlomke i . Ove dvije frakcije bit će predstavljene istim komadima pizze. Jedina razlika bit će što će ovaj put biti podijeljeni na jednake dijelove (svedeni na isti nazivnik).

Prvi crtež predstavlja razlomak (četiri komada od šest), a drugi crtež predstavlja razlomak (tri komada od šest). Zbrajanjem ovih komada dobivamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak je nepravilan, pa smo istaknuli cijeli njegov dio. Kao rezultat, dobili smo (jednu cijelu pizzu i još jednu šestu pizzu).

Imajte na umu da smo ovaj primjer opisali previše detaljno. U obrazovnim ustanovama nije uobičajeno pisati tako detaljno. Morate biti u mogućnosti brzo pronaći LCM oba nazivnika i dodatnih faktora uz njih, kao i brzo pomnožiti pronađene dodatne faktore sa svojim brojnicima i nazivnicima. Da smo u školi, morali bismo napisati ovaj primjer na sljedeći način:

Ali postoji i druga strana medalje. Ako u prvim fazama učenja matematike ne vodite detaljne bilješke, tada se počinju javljati takva pitanja. “Odakle dolazi taj broj?”, “Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u sasvim druge razlomke? «.

Kako biste olakšali zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima, možete upotrijebiti sljedeće upute korak po korak:

1. Odredite LCM nazivnika razlomaka;
2. Podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak;
3. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima;
4. Zbrojite razlomke koji imaju iste nazivnike;
5. Ako se ispostavi da je odgovor nepravilan razlomak, odaberite cijeli njegov dio;

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza .

Poslužimo se gore navedenim uputama.

Korak 1. Pronađite LCM nazivnika razlomaka

Odredite LCM nazivnika obaju razlomaka. Nazivnici razlomaka su brojevi 2, 3 i 4

Korak 2. Podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka i dobijete dodatni faktor za svaki razlomak

Podijelite LCM s nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobijemo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapisujemo ga iznad prvog razlomka:

Sada dijelimo LCM s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobivamo 4. Dobivamo drugi dodatni faktor 4. Zapisujemo ga iznad drugog razlomka:

Sada dijelimo LCM s nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobijemo 3. Dobijemo treći dodatni faktor 3. Zapišemo ga iznad trećeg razlomka:

Korak 3. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka s njihovim dodatnim faktorima

Množimo brojnike i nazivnike njihovim dodatnim faktorima:

Korak 4. Zbrojite razlomke s istim nazivnicima

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste (zajedničke) nazivnike. Ostaje samo zbrojiti ove razlomke. Zbrojite:

Dodavanje nije stalo u jedan redak, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći redak. To je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, premješta se u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraju prvog i na početku novog retka. Znak jednakosti u drugom retku označava da se radi o nastavku izraza koji je bio u prvom retku.

Korak 5. Ako se ispostavi da je odgovor netočan razlomak, odaberite cijeli njegov dio

Pokazalo se da je naš odgovor netočan razlomak. Moramo istaknuti cijeli dio toga. Ističemo:

Dobili smo odgovor

Oduzimanje razlomaka s jednakim nazivnicima

Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

1. Oduzimanje razlomaka s jednakim nazivnicima
2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Prvo, naučimo kako oduzimati razlomke s istim nazivnicima. Ovdje je sve jednostavno. Da biste od jednog razlomka oduzeli drugi, morate od brojnika prvog razlomka oduzeti brojnik drugog razlomka, ali nazivnik ostaviti isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza. Da biste riješili ovaj primjer, morate brojnik drugog razlomka oduzeti od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti nepromijenjen. Napravimo to:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na četiri dijela. Ako od pizze režete pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza.

Opet, od brojnika prvog razlomka oduzmite brojnik drugog razlomka i ostavite nazivnik nepromijenjen:

Ovaj primjer lako je razumjeti ako se sjetimo pizze koja je podijeljena na tri dijela. Ako od pizze režete pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj primjer je riješen na potpuno isti način kao i prethodni. Od brojnika prvog razlomka potrebno je oduzeti brojnike preostalih razlomaka:

Kao što vidite, nema ništa komplicirano u oduzimanju razlomaka s istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste od jednog razlomka oduzeli drugi, trebate od brojnika prvog razlomka oduzeti brojnik drugog razlomka, a nazivnik ostaviti nepromijenjen;
2. Ako se ispostavi da je odgovor netočan razlomak, tada morate istaknuti cijeli njegov dio.

Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Na primjer, razlomak možete oduzeti od razlomka jer razlomci imaju iste nazivnike. Ali ne možete oduzeti razlomak od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima razlomke je potrebno svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Zajednički nazivnik nalazimo koristeći isti princip koji smo koristili pri zbrajanju razlomaka s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika obaju razlomaka. Zatim se LCM podijeli s nazivnikom prvog razlomka i dobije se prvi dodatni faktor koji je zapisan iznad prvog razlomka. Slično, LCM se podijeli s nazivnikom drugog razlomka i dobije se drugi dodatni faktor koji je napisan iznad drugog razlomka.

Razlomci se zatim množe svojim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci koji su imali različite nazivnike pretvaraju se u razlomke koji imaju iste nazivnike. A takve razlomke već znamo oduzimati.

Primjer 1. Pronađite značenje izraza:

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih trebate svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Prvo nalazimo LCM nazivnika obaju razlomaka. Nazivnik prvog razlomka je broj 3, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

LCM (3 i 4) = 12

Sada se vratimo razlomcima i

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM s nazivnikom prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka je broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobijemo 4. Napiši četvorku iznad prvog razlomka:

Isto radimo s drugim razlomkom. Podijelite LCM s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka je broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobivamo 3. Napiši trojku preko drugog razlomka:

Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste nazivnike. A takve razlomke već znamo oduzimati. Uzmimo ovaj primjer do kraja:

Dobili smo odgovor

Pokušajmo naše rješenje prikazati pomoću crteža. Ako izrežete pizzu od pizze, dobit ćete pizzu

Ovo je detaljna verzija rješenja. Da smo u školi, morali bismo kraće rješavati ovaj primjer. Takvo bi rješenje izgledalo ovako:

Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Svodeći ove razlomke na zajednički nazivnik, dobili smo razlomke i . Ovi će razlomci biti predstavljeni istim kriškama pizze, ali ovaj put će biti podijeljeni na jednake dijelove (svedeni na isti nazivnik):

Prva slika prikazuje razlomak (osam komada od dvanaest), a druga slika razlomak (tri komada od dvanaest). Rezanjem tri komada od osam komada, dobivamo pet komada od dvanaest. Razlomak opisuje ovih pet dijelova.

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Ti razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo treba svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Nađimo LCM nazivnika ovih razlomaka.

Nazivnici razlomaka su brojevi 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Sada nalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da biste to učinili, podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka.

Nađimo dodatni faktor za prvi razlomak. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka je broj 10. Podijelimo 30 sa 10, dobivamo prvi dodatni faktor 3. Zapisujemo ga iznad prvog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. Podijelite LCM s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka je broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobivamo drugi dodatni faktor 10. Zapisujemo ga iznad drugog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. Podijelite LCM s nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik trećeg razlomka je broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobivamo treći dodatni faktor 6. Zapisujemo ga iznad trećeg razlomka:

Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke njihovim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci koji su imali različite nazivnike pretvorili u razlomke koji su imali iste (zajedničke) nazivnike. A takve razlomke već znamo oduzimati. Završimo ovaj primjer.

Nastavak primjera neće stati u jedan redak, pa nastavak premještamo u sljedeći redak. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) u novom retku:

Ispostavilo se da je odgovor obični razlomak i čini se da nam sve odgovara, ali je preglomazan i ružan. Trebali bismo to učiniti jednostavnijim. Što može biti učinjeno? Možete skratiti ovaj razlomak.

Da biste smanjili razlomak, trebate podijeliti njegov brojnik i nazivnik s (NOT) brojeva 20 i 30.

Dakle, nalazimo gcd brojeva 20 i 30:

Sada se vraćamo našem primjeru i dijelimo brojnik i nazivnik razlomka s pronađenim gcd, odnosno s 10

Dobili smo odgovor

Množenje razlomka brojem

Da biste pomnožili razlomak s brojem, morate brojnik razlomka pomnožiti s tim brojem, a nazivnik ostaviti nepromijenjen.

Primjer 1. Pomnožite razlomak s brojem 1.

Pomnožite brojnik razlomka s brojem 1

Snimanje se može shvatiti kao da traje pola puta. Na primjer, ako jednom uzmete pizzu, dobit ćete pizzu

Iz zakona množenja znamo da ako se množenik i faktor zamijene, umnožak se neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao , tada će umnožak i dalje biti jednak . Opet, pravilo za množenje cijelog broja i razlomka funkcionira:

Ovaj zapis se može shvatiti kao uzimanje polovice jednog. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza i mi uzmemo pola, tada ćemo imati pizzu:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojnik razlomka s 4

Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete 4 pizze, dobit ćete dvije cijele pizze

A ako zamijenimo množenik i množitelj, dobit ćemo izraz . Također će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije pizze od četiri cijele pizze:

Broj koji se množi razlomkom i nazivnik razlomka rastavljaju se ako imaju zajednički faktor veći od jedan.

Na primjer, izraz se može izračunati na dva načina.

Prvi način. Pomnožite broj 4 s brojnikom razlomka, a nazivnik razlomka ostavite nepromijenjenim:

Drugi način. Četvorka koja se množi i četiri u nazivniku razlomka mogu se smanjiti. Ove četvorke se mogu smanjiti za 4, budući da je najveći zajednički djelitelj za dvije četvorke sama četvorka:

Dobili smo isti rezultat 3. Nakon smanjivanja četvorki umjesto njih nastaju novi brojevi: dvije jedinice. Ali množenje jedan s tri, a zatim dijeljenje s jedan ne mijenja ništa. Stoga se rješenje može ukratko napisati:

Smanjenje se može izvesti čak i kada smo se odlučili za prvu metodu, ali u fazi množenja broja 4 i brojnika 3 odlučili smo se za smanjenje:

Ali, na primjer, izraz se može izračunati samo na prvi način - pomnožite 7 s nazivnikom razlomka, a nazivnik ostavite nepromijenjenim:

To je zbog činjenice da broj 7 i nazivnik razlomka nemaju zajednički djelitelj veći od jedan, te se prema tome ne poništavaju.

Neki učenici pogrešno skraćuju broj koji se množi i brojnik razlomka. Ne možeš to učiniti. Na primjer, sljedeći unos nije točan:

Smanjenje razlomka znači da i brojnik i nazivnik podijelit će se istim brojem. U situaciji s izrazom, dijeljenje se vrši samo u brojniku, jer je to pisanje isto što i pisanje . Vidimo da se dijeljenje vrši samo u brojniku, a u nazivniku nema dijeljenja.

Množenje razlomaka

Da biste pomnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Ako se odgovor pokaže kao netočan razlomak, morate istaknuti cijeli njegov dio.

Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza.

Dobili smo odgovor. Preporučljivo je smanjiti ovaj udio. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačno rješenje imati sljedeći oblik:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje pizze od pola pizze. Recimo da imamo pola pizze:

Kako od ove polovice uzeti dvije trećine? Prvo morate ovu polovicu podijeliti na tri jednaka dijela:

I uzmi dva od ova tri komada:

Napravit ćemo pizzu. Prisjetite se kako pizza izgleda podijeljena na tri dijela:

Jedan komad ove pizze i dva komada koje smo uzeli imat će iste dimenzije:

Drugim riječima, govorimo o istoj veličini pizze. Stoga je vrijednost izraza

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožimo brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka i nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:

Odgovor je bio nepravilan razlomak. Istaknimo cijeli dio:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožimo brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka i nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:

Pokazalo se da je odgovor obični razlomak, ali bilo bi dobro da se skrati. Da biste smanjili ovaj razlomak, morate brojnik i nazivnik ovog razlomka podijeliti s najvećim zajedničkim djeliteljem (NZD) brojeva 105 i 450.

Dakle, pronađimo gcd brojeva 105 i 450:

Sada dijelimo brojnik i nazivnik našeg odgovora s gcd-om koji smo sada pronašli, to jest s 15

Predstavljanje cijelog broja kao razlomka

Bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao razlomak. Na primjer, broj 5 može se predstaviti kao . Ovo neće promijeniti značenje pet, budući da izraz znači "broj pet podijeljen s jedan", a to je, kao što znamo, jednako pet:

Recipročni brojevi

Sada ćemo se upoznati s vrlo zanimljivom temom iz matematike. To se zove "obrnuti brojevi".

Definicija. Obrnuto prema brojua je broj koji, kada se pomnoži saa daje jedan.

Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

Obrnuto prema broju 5 je broj koji, kada se pomnoži sa 5 daje jedan.

Je li moguće pronaći broj koji pomnožen s 5 daje jedan? Ispostavilo se da je moguće. Zamislimo pet kao razlomak:

Zatim pomnožite ovaj razlomak samim sobom, samo zamijenite brojnik i nazivnik. Drugim riječima, pomnožimo razlomak samim sobom, samo naopako:

Što će se dogoditi kao rezultat toga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobit ćemo jedan:

To znači da je obrnuto od broja 5 broj , jer kad pomnožite 5 s dobit ćete jedan.

Recipročna vrijednost broja može se pronaći i za bilo koji drugi cijeli broj.

Također možete pronaći recipročnu vrijednost bilo kojeg drugog razlomka. Da biste to učinili, samo ga okrenite.

Dijeljenje razlomka brojem

Recimo da imamo pola pizze:

Podijelimo ga jednako na dvoje. Koliko će pizze dobiti svaka osoba?

Vidljivo je da su se nakon dijeljenja pizze na pola dobila dva jednaka komada od kojih svaki čini pizzu. Tako da svi dobiju pizzu.