Razmotrimo sustav linearnih algebarskih jednadžbi(SLAU) relativno n nepoznato x 1 , x 2 , ..., x n :

Ovaj sustav u "složenom" obliku može se napisati na sljedeći način:

S n i=1 a i J x j = b ja , i=1,2, ..., n.

U skladu s pravilom množenja matrica, razmatrani sustav linearnih jednadžbi može se napisati matrični oblik Ax=b, Gdje

Matrica Ačiji su stupci koeficijenti za odgovarajuće nepoznanice, a redovi su koeficijenti za nepoznanice u odgovarajućoj jednadžbi naziva se matrica sustava. Matrica stupca b, čiji su elementi desne strane jednadžbi sustava, naziva se matrica desne strane ili jednostavno desnu stranu sustava. Matrica stupca x , čiji su elementi nepoznate nepoznanice, naziva se sustavno rješenje.

Sustav linearnih algebarskih jednadžbi zapisan u obliku Ax=b, je matrična jednadžba.

Ako matrica sustava nedegeneriran, tada ima inverznu matricu i tada je rješenje sustava Ax=b daje se formulom:

x=A -1 b.

Primjer Riješite sustav matrična metoda.

Riješenje nađimo inverznu matricu za matricu koeficijenata sustava

Izračunajmo determinantu širenjem duž prvog retka:

Jer Δ ≠ 0 , To A -1 postoji.

Inverzna matrica je točno pronađena.

Pronađimo rješenje za sustav

Stoga, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Ispitivanje:

7. Kronecker-Capellijev teorem o kompatibilnosti sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Sustav linearnih jednadžbi ima oblik:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Ovdje su zadani a i j i b i (i = ; j = ), a x j su nepoznati realni brojevi. Koristeći koncept produkta matrica, sustav (5.1) možemo prepisati u obliku:

gdje je A = (a i j) matrica koja se sastoji od koeficijenata za nepoznanice sustava (5.1) koja se naziva matrica sustava, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T su vektori stupci sastavljeni od nepoznanica x j i slobodnih članova b i .

Naručeno preuzimanje n realnih brojeva (c 1, c 2,..., c n) naziva se sustavno rješenje(5.1), ako se kao rezultat zamjene ovih brojeva umjesto odgovarajućih varijabli x 1, x 2,..., x n svaka jednadžba sustava pretvara u aritmetički identitet; drugim riječima, ako postoji vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T takav da je AC  B.

Sustav (5.1) se zove zglob, ili rješiv, ako ima barem jedno rješenje. Sustav se zove nekompatibilno, ili nerješiv, ako nema rješenja.

,

nastalog dodjeljivanjem stupca slobodnih članova desnoj strani matrice A naziva se proširena matrica sustava.

Pitanje kompatibilnosti sustava (5.1) rješava se sljedećim teoremom.

Kronecker-Capellijev teorem . Sustav linearnih jednadžbi je konzistentan ako i samo ako se rangovi matrica A i A podudaraju, tj. r(A) = r(A) = r.

Za skup M rješenja sustava (5.1) postoje tri mogućnosti:

1) M =  (u ovom slučaju sustav je nekonzistentan);

2) M se sastoji od jednog elementa, tj. sustav ima jedinstveno rješenje (u ovom slučaju sustav se zove određeni);

3) M se sastoji od više od jednog elementa (tada se sustav naziva neizvjestan). U trećem slučaju sustav (5.1) ima beskonačan broj rješenja.

Sustav ima jedinstveno rješenje samo ako je r(A) = n. U ovom slučaju broj jednadžbi nije manji od broja nepoznanica (mn); ako je m>n, tada su m-n jednadžbe posljedice ostalih. Ako je 0

Za rješavanje proizvoljnog sustava linearnih jednadžbi potrebno je znati riješiti sustave u kojima je broj jednadžbi jednak broju nepoznanica – tzv. Sustavi tipa Cramer:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Sustavi (5.3) rješavaju se na jedan od sljedećih načina: 1) Gaussovom metodom, odnosno metodom eliminacije nepoznanica; 2) prema Cramerovim formulama; 3) matrična metoda.

Primjer 2.12. Istražite sustav jednadžbi i riješite ga ako je konzistentan:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Riješenje. Ispisujemo proširenu matricu sustava:

 .

Izračunajmo rang glavne matrice sustava. Očito je da je, na primjer, minor drugog reda u gornjem lijevom kutu = 7  0; minori trećeg reda koji ga sadrže jednaki su nuli:

Prema tome, rang glavne matrice sustava je 2, tj. r(A) = 2. Za izračunavanje ranga proširene matrice A, razmotrite rubni minor

to znači da je rang proširene matrice r(A) = 3. Budući da je r(A)  r(A), sustav je nekonzistentan.

U prvom dijelu smo se osvrnuli na teorijsko gradivo, metodu supstitucije, kao i metodu počlanog zbrajanja jednadžbi sustava. Preporučam svima koji su stranici pristupili putem ove stranice da pročitaju prvi dio. Možda će nekim posjetiteljima gradivo biti prejednostavno, ali u procesu rješavanja sustava linearnih jednadžbi iznio sam niz vrlo važnih komentara i zaključaka koji se tiču ​​rješavanja matematičkih problema općenito.

Sada ćemo analizirati Cramerovo pravilo, kao i rješavanje sustava linearnih jednadžbi pomoću inverzne matrice (metoda matrice). Svi materijali predstavljeni su jednostavno, detaljno i jasno; gotovo svi čitatelji moći će naučiti kako riješiti sustave koristeći gore navedene metode.

Prvo ćemo pobliže pogledati Cramerovo pravilo za sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice. Za što? – Uostalom, najjednostavniji sustav može se riješiti školskom metodom, metodom zbrajanja pojmova!

Činjenica je da se, iako ponekad, dogodi takav zadatak - riješiti sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice koristeći Cramerove formule. Drugo, jednostavniji primjer pomoći će vam da shvatite kako koristiti Cramerovo pravilo za složeniji slučaj - sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice.

Osim toga, postoje sustavi linearnih jednadžbi s dvije varijable, koje je preporučljivo rješavati pomoću Cramerovog pravila!

Razmotrimo sustav jednadžbi

U prvom koraku izračunavamo determinantu, tzv glavna odrednica sustava.

Gaussova metoda.

Ako , tada sustav ima jedinstveno rješenje, a da bismo pronašli korijene moramo izračunati još dvije determinante:
I

U praksi se gornji kvalifikatori mogu označavati i latiničnim slovom.

Korijene jednadžbe nalazimo pomoću formula:
,

Primjer 7

Riješite sustav linearnih jednadžbi

Riješenje: Vidimo da su koeficijenti jednadžbe prilično veliki, s desne strane su decimalni razlomci sa zarezom. Zarez je prilično rijedak gost u praktičnim zadacima iz matematike, ja sam ovaj sustav preuzeo iz jednog ekonometrijskog problema.

Kako riješiti takav sustav? Možete pokušati izraziti jednu varijablu u terminima druge, ali u ovom slučaju vjerojatno ćete završiti s užasnim otmjenim razlomcima s kojima je izuzetno nezgodno raditi, a dizajn rješenja izgledat će jednostavno užasno. Možete pomnožiti drugu jednadžbu sa 6 i oduzimati član po član, ali i ovdje će se pojaviti isti razlomci.

Što uraditi? U takvim slučajevima u pomoć dolaze Cramerove formule.

;

;

Odgovor: ,

Oba korijena imaju beskonačne repove i nalaze se približno, što je sasvim prihvatljivo (pa čak i uobičajeno) za probleme ekonometrije.

Komentari ovdje nisu potrebni, jer se zadatak rješava pomoću gotovih formula, ali postoji jedno upozorenje. Kada koristite ovu metodu, obvezno Fragment dizajna zadatka je sljedeći fragment: "To znači da sustav ima jedinstveno rješenje". U protivnom vas recenzent može kazniti zbog nepoštivanja Cramerovog teorema.

Ne bi bilo suvišno provjeriti, što se može prikladno provesti na kalkulatoru: zamijenimo približne vrijednosti u lijevu stranu svake jednadžbe sustava. Kao rezultat toga, s malom greškom, trebali biste dobiti brojeve koji su na desnim stranama.

Primjer 8

Odgovor predstavite običnim nepravim razlomcima. Provjerite.

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (primjer konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije).

Prijeđimo na razmatranje Cramerovog pravila za sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice:

Nalazimo glavnu odrednicu sustava:

Ako je , tada sustav ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan (nema rješenja). U ovom slučaju Cramerovo pravilo neće pomoći, morate koristiti Gaussovu metodu.

Ako , tada sustav ima jedinstveno rješenje i da bismo pronašli korijene moramo izračunati još tri determinante:
, ,

I na kraju, odgovor se izračunava pomoću formula:

Kao što vidite, slučaj "tri po tri" u osnovi se ne razlikuje od slučaja "dva po dva"; stupac slobodnih pojmova uzastopno "šeta" slijeva nadesno duž stupaca glavne determinante.

Primjer 9

Riješite sustav pomoću Cramerovih formula.

Riješenje: Riješimo sustav pomoću Cramerovih formula.

, što znači da sustav ima jedinstveno rješenje.

Odgovor: .

Zapravo, ovdje se opet nema što posebno komentirati, budući da rješenje slijedi gotove formule. Ali ima par komentara.

Događa se da se kao rezultat izračuna dobiju "loši" nesvodljivi razlomci, na primjer: .
Preporučujem sljedeći algoritam "liječenja". Ako nemate računalo pri ruci, učinite ovo:

1) Možda postoji greška u izračunima. Čim naiđete na "loš" razlomak, odmah morate provjeriti Je li uvjet ispravno prepisan?. Ako je uvjet prepisan bez grešaka, tada trebate ponovno izračunati determinante koristeći proširenje u drugom retku (stupcu).

2) Ako se kao rezultat provjere ne otkriju greške, najvjerojatnije je došlo do tipfelera u uvjetima zadatka. U tom slučaju smireno i PAŽLJIVO odradite zadatak do kraja, a zatim svakako provjerite a mi ga nakon odluke sastavljamo na čistom listu. Naravno, provjera razlomka je neugodan zadatak, ali će biti razoružavajući argument za nastavnika koji jako voli dati minus za svako sranje poput . Kako postupati s razlomcima detaljno je opisano u odgovoru na primjer 8.

Ako imate računalo pri ruci, upotrijebite automatizirani program za provjeru, koji možete besplatno preuzeti na samom početku lekcije. Usput, najisplativije je koristiti program odmah (čak i prije pokretanja rješenja), odmah ćete vidjeti međukorak u kojem ste pogriješili! Isti kalkulator automatski izračunava rješenje sustava matričnom metodom.

Druga primjedba. S vremena na vrijeme postoje sustavi u kojima neke varijable nedostaju, na primjer:

Ovdje u prvoj jednadžbi nema varijable, u drugoj nema varijable. U takvim slučajevima vrlo je važno pravilno i PAŽLJIVO zapisati glavnu odrednicu:
– nule se stavljaju na mjesto varijabli koje nedostaju.
Inače, racionalno je otvarati determinante s nulama prema retku (stupcu) u kojem se nalazi nula, jer je primjetno manje izračuna.

Primjer 10

Riješite sustav pomoću Cramerovih formula.

Ovo je primjer za samostalno rješenje (uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije).

Za slučaj sustava od 4 jednadžbe s 4 nepoznanice, Cramerove formule su napisane prema sličnim principima. Živi primjer možete vidjeti u lekciji Svojstva determinanti. Smanjenje reda determinante – pet determinanti 4. reda je sasvim rješivo. Iako zadatak već jako podsjeća na profesorovu cipelu na prsima sretnog studenta.

Rješavanje sustava pomoću inverzne matrice

Metoda inverzne matrice je u biti poseban slučaj matrična jednadžba(Vidi primjer br. 3 navedene lekcije).

Da biste proučavali ovaj odjeljak, morate biti sposobni proširiti determinante, pronaći inverz matrice i izvesti množenje matrice. Relevantne poveznice bit će davane kako objašnjenja budu napredovala.

Primjer 11

Riješite sustav matričnom metodom

Riješenje: Zapišimo sustav u matričnom obliku:
, Gdje

Molimo pogledajte sustav jednadžbi i matrica. Mislim da svi razumiju princip po kojem zapisujemo elemente u matrice. Jedini komentar: ako neke varijable nedostaju u jednadžbama, onda bi se nule morale staviti na odgovarajuća mjesta u matrici.

Inverznu matricu nalazimo pomoću formule:
, gdje je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice.

Prvo, pogledajmo determinantu:

Ovdje je determinanta proširena na prvi red.

Pažnja! Ako je , tada inverzna matrica ne postoji i sustav je nemoguće riješiti matričnom metodom. U ovom slučaju sustav se rješava metodom eliminacije nepoznanica (Gaussova metoda).

Sada trebamo izračunati 9 minora i upisati ih u matricu minora

Referenca: Korisno je znati značenje dvostrukih indeksa u linearnoj algebri. Prva znamenka je broj linije u kojoj se element nalazi. Druga znamenka je broj kolone u kojoj se element nalazi:

To jest, dvostruki indeks označava da je element u prvom retku, trećem stupcu i, na primjer, element je u 3 retku, 2 stupcu

Neka nam je dan sustav linearnih jednadžbi s nepoznato:

Pretpostavit ćemo da glavna matrica nedegeneriran. Tada, prema teoremu 3.1, postoji inverzna matrica
Množenje matrične jednadžbe
na matricu
s lijeve strane, korištenjem definicije 3.2, kao i tvrdnje 8) teorema 1.1, dobivamo formulu na kojoj se temelji matrična metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi:

Komentar. Imajte na umu da matrična metoda za rješavanje sustava linearnih jednadžbi, za razliku od Gaussove metode, ima ograničenu primjenu: ovom se metodom mogu rješavati samo sustavi linearnih jednadžbi u kojima je, prvo, broj nepoznanica jednak broju jednadžbi, a drugo, glavna matrica je nesingularna.

Primjer. Riješite sustav linearnih jednadžbi matričnom metodom.

Zadan je sustav od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice
Gdje

Glavna matrica sustava jednadžbi je nesingularna, jer je njena determinanta različita od nule:

Inverzna matrica
Sastavimo pomoću jedne od metoda opisanih u paragrafu 3.

Koristeći formulu matrične metode za rješavanje sustava linearnih jednadžbi, dobivamo

5.3. Cramer metoda

Ova metoda, kao i matrična metoda, primjenjiva je samo za sustave linearnih jednadžbi u kojima se broj nepoznanica podudara s brojem jednadžbi. Cramerova metoda temelji se na istoimenom teoremu:

Teorem 5.2. Sustav linearne jednadžbe sa nepoznato

čija je glavna matrica nesingularna, ima jedinstveno rješenje koje se može dobiti korištenjem formula

Gdje
determinanta matrice izvedena iz osnovne matrice sustav jednadžbi zamjenom
stupac s stupcem slobodnih članova.

Primjer. Pronađimo rješenje sustava linearnih jednadžbi razmatranog u prethodnom primjeru pomoću Cramerove metode. Glavna matrica sustava jednadžbi je nedegenerirana, jer
Izračunajmo determinante

Koristeći formule predstavljene u teoremu 5.2, izračunavamo vrijednosti nepoznanica:

6. Proučavanje sustava linearnih jednadžbi.

Osnovno rješenje

Proučiti sustav linearnih jednadžbi znači utvrditi je li taj sustav kompatibilan ili nekompatibilan, a ako je kompatibilan, utvrditi je li taj sustav određen ili neodređen.

Uvjet kompatibilnosti za sustav linearnih jednadžbi dan je sljedećim teoremom

Teorem 6.1 (Kronecker–Capelli).

Sustav linearnih jednadžbi je konzistentan ako i samo ako je rang glavne matrice sustava jednak rangu njegove proširene matrice:

Za simultani sustav linearnih jednadžbi, pitanje njegove određenosti ili nesigurnosti rješava se pomoću sljedećih teorema.

Teorem 6.2. Ako je rang glavne matrice zajedničkog sustava jednak broju nepoznanica, tada je sustav određen

Teorem 6.3. Ako je rang glavne matrice zajedničkog sustava manji od broja nepoznanica, tada je sustav nesiguran.

Dakle, iz formuliranih teorema slijedi metoda proučavanja sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Neka n– broj nepoznanica,

Zatim:

Definicija 6.1. Osnovno rješenje neodređenog sustava linearnih jednadžbi je rješenje u kojem su sve slobodne nepoznanice jednake nuli.

Primjer. Istražite sustav linearnih jednadžbi. Ako je sustav nesiguran, pronađite njegovo osnovno rješenje.

Izračunajmo rangove glavnih i proširene matrice ovog sustava jednadžbi, za koji proširenu (i ujedno glavnu) matricu sustava dovodimo u stupnjevit oblik:

Dodajte drugi red matrice njenom prvom retku, pomnožen s treći red - s prvim redom pomnoženim s
i četvrti redak - s prvim, pomnožen s dobijemo matricu

Trećem retku ove matrice dodamo drugi red pomnožen s
i do četvrtog retka – prvi, pomnožen sa
Kao rezultat toga, dobivamo matricu

uklanjanjem trećeg i četvrtog retka iz kojih dobivamo matricu koraka

Tako,

Prema tome, ovaj sustav linearnih jednadžbi je konzistentan, a budući da je vrijednost ranga manja od broja nepoznanica, sustav je nesiguran. Matrica koraka dobivena kao rezultat elementarnih transformacija odgovara sustavu jednadžbi

Nepoznato I su glavni, a nepoznati I
besplatno. Dodjeljujući nulte vrijednosti slobodnim nepoznanicama, dobivamo osnovno rješenje ovog sustava linearnih jednadžbi.

Neka postoji kvadratna matrica n-tog reda

Matrica A -1 se zove inverzna matrica u odnosu na matricu A, ako je A*A -1 = E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda.

Matrica identiteta- takva kvadratna matrica u kojoj su svi elementi duž glavne dijagonale, koja prolazi od gornjeg lijevog kuta do donjeg desnog kuta, jedinice, a ostali su nule, na primjer:

inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice oni. za one matrice u kojima se broj redaka i stupaca podudara.

Teorem za uvjet postojanja inverzne matrice

Da bi matrica imala inverznu matricu, potrebno je i dovoljno da ona bude nesingularna.

Matrica A = (A1, A2,...A n) se zove nedegeneriran, ako su vektori stupaca linearno neovisni. Broj linearno nezavisnih vektora stupaca matrice naziva se rang matrice. Dakle, možemo reći da je za postojanje inverzne matrice neophodno i dovoljno da rang matrice bude jednak njenoj dimenziji, tj. r = n.

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice

1. Upišite matricu A u tablicu za rješavanje sustava jednadžbi Gaussovom metodom i pripišite joj matricu E s desne strane (mjesto desnih strana jednadžbi).
2. Koristeći Jordanove transformacije, reducirajte matricu A na matricu koja se sastoji od jediničnih stupaca; u ovom slučaju potrebno je istovremeno transformirati matricu E.
3. Ako je potrebno, preuredite retke (jednadžbe) posljednje tablice tako da ispod matrice A originalne tablice dobijete matricu identiteta E.
4. Zapišite inverznu matricu A -1 koja se nalazi u posljednjoj tablici ispod matrice E izvorne tablice.

Za matricu A pronađite inverznu matricu A -1

Rješenje: Napišemo matricu A, a desnoj strani pridružujemo matricu identiteta E. Jordanovim transformacijama reduciramo matricu A na matricu identiteta E. Izračuni su dati u tablici 31.1.

Provjerimo ispravnost izračuna množenjem izvorne matrice A i inverzne matrice A -1.

Kao rezultat množenja matrica, dobivena je matrica identiteta. Stoga su izračuni napravljeni ispravno.

Odgovor:

Rješavanje matričnih jednadžbi

Matrične jednadžbe mogu izgledati ovako:

AX = B, HA = B, AXB = C,

gdje su A, B, C navedene matrice, X je željena matrica.

Matrične jednadžbe rješavaju se množenjem jednadžbe inverznim matricama.

Na primjer, da biste pronašli matricu iz jednadžbe, morate ovu jednadžbu pomnožiti s lijevo.

Stoga, da biste pronašli rješenje jednadžbe, morate pronaći inverznu matricu i pomnožiti je s matricom na desnoj strani jednadžbe.

Slično se rješavaju i ostale jednadžbe.

Riješite jednadžbu AX = B ako

Riješenje: Budući da je inverzna matrica jednaka (vidi primjer 1)

Matrična metoda u ekonomskoj analizi

Uz ostale koriste se i oni matrične metode. Ove se metode temelje na linearnoj i vektorsko-matričnoj algebri. Takve se metode koriste za potrebe analize složenih i višedimenzionalnih ekonomskih pojava. Najčešće se ove metode koriste kada je potrebno napraviti usporednu procjenu funkcioniranja organizacija i njihovih strukturnih odjela.

U procesu primjene metoda matrične analize može se razlikovati nekoliko faza.

U prvoj fazi formira se sustav ekonomskih pokazatelja i na temelju njega se sastavlja matrica početnih podataka, koja je tablica u kojoj su u pojedinim redovima prikazani brojevi sustava (i = 1,2,....,n), au okomitim stupcima - brojevi pokazatelja (j = 1,2,....,m).

U drugoj fazi Za svaki okomiti stupac identificira se najveća od dostupnih vrijednosti indikatora, koja se uzima kao jedna.

Nakon toga se svi iznosi prikazani u ovom stupcu dijele s najvećom vrijednošću i formira se matrica standardiziranih koeficijenata.

U trećoj fazi sve komponente matrice su kvadrirane. Ako imaju različit značaj, tada se svakom pokazatelju matrice dodjeljuje određeni težinski koeficijent k. Vrijednost potonjeg utvrđuje se vještačenjem.

Na posljednjem, četvrta faza pronađene vrijednosti ocjene R j grupirani su prema njihovom rastu ili smanjenju.

Navedene matrične metode treba koristiti, primjerice, u komparativnoj analizi različitih investicijskih projekata, kao iu procjeni drugih ekonomskih pokazatelja aktivnosti organizacija.

Metoda inverzne matrice nije teško ako poznajete opća načela rada s matričnim jednadžbama i, naravno, znate izvoditi elementarne algebarske operacije.

Rješavanje sustava jednadžbi metodom inverzne matrice. Primjer.

Najprikladniji način za razumijevanje metode inverzne matrice je na jasnom primjeru. Uzmimo sustav jednadžbi:

Prvi korak u rješavanju ovog sustava jednadžbi je pronaći determinantu. Stoga transformirajmo naš sustav jednadžbi u sljedeću matricu:

I nalazimo potrebnu odrednicu:

Formula koja se koristi za rješavanje matričnih jednadžbi je sljedeća:

Dakle, da bismo izračunali X, moramo odrediti vrijednost matrice A-1 i pomnožiti je s b. U tome će nam pomoći još jedna formula:

At u ovom slučaju će biti transponirana matrica- to jest, isti izvornik, ali napisan ne u redovima, već u stupcima.

Ne treba to zaboraviti metoda inverzne matrice, kao i Cramerova metoda, prikladna je samo za sustave u kojima je determinanta veća ili manja od nule. Ako je determinanta jednaka nuli, trebate koristiti Gaussovu metodu.

Sljedeći korak je sastaviti matricu minora, koja je sljedeća shema:

Kao rezultat dobili smo tri matrice - minore, algebarske dodatke i transponiranu matricu algebarskih dodataka. Sada možete nastaviti sa stvarnim sastavljanjem inverzne matrice. Već znamo formulu. Za naš primjer to će izgledati ovako.