Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema pronalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i precizno definirana pravila diferencijacije. . Isak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) bili su prvi koji su radili na polju pronalaženja derivata.

Stoga, u naše vrijeme, da bismo pronašli izvod bilo koje funkcije, nije potrebno izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već je potrebno samo koristiti tablicu izvedenica i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.

Da nađemo derivat, potreban vam je izraz ispod znaka poteza razbiti jednostavne funkcije i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Dalje, izvode elementarnih funkcija nalazimo u tabeli izvoda, a formule za izvode proizvoda, sume i količnika - u pravilima diferencijacije. Tablica derivacija i pravila diferencijacije date su nakon prva dva primjera.

Primjer 1 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.

Iz tabele derivacija saznajemo da je izvod "X" jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i nalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Diferencirati kao derivaciju sume, u kojoj je drugi član sa konstantnim faktorom, može se izvaditi iz predznaka izvoda:

Ako i dalje postoje pitanja odakle nešto dolazi, ona po pravilu postaju jasni nakon čitanja tablice izvedenica i najjednostavnijih pravila diferencijacije. Idemo do njih upravo sada.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek nula. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "x". Uvek jednako jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti
3. Derivat stepena. Kada rješavate probleme, trebate pretvoriti nekvadratne korijene u stepen.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratni korijen
6. Sinusni derivat
7. Kosinusni derivat
8. Tangentni izvod
9. Derivat kotangensa
10. Derivat arcsinusa
11. Derivat arc kosinusa
12. Derivat arc tangente
13. Derivat inverzne tangente
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbira ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. Derivat količnika
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1Ako funkcije

su diferencibilne u nekoj tački , a zatim u istoj točki funkcije

i

one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencibilne funkcije razlikuju za konstantu, onda su njihovi derivati, tj.

Pravilo 2Ako funkcije

su diferencibilni u nekoj tački , onda je njihov proizvod također diferencibilan u istoj točki

i

one. derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbiru proizvoda svake od ovih funkcija i izvoda druge.

Posljedica 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Posljedica 2. Derivat proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbiru proizvoda izvoda svakog od faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3Ako funkcije

diferenciran u nekom trenutku I , onda je u ovom trenutku njihov količnik također diferenciran.u/v , i

one. izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku čiji je brojilac razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat prethodnog brojioca .

Gdje pogledati na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja izvoda proizvoda i količnika u realnim problemima, uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa više primjera o ovim izvodnicama ima u članku."Derivat proizvoda i količnika".

Komentar. Ne treba brkati konstantu (tj. broj) kao pojam u zbiru i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegov izvod je jednak nuli, a u slučaju konstantnog faktora uzet je iz predznaka izvoda. Ovo tipična greška, što se javlja u početnoj fazi proučavanja izvedenica, ali kako je rješenje nekoliko jedno-dvokomponentnih primjera već napravljeno, prosječan student više ne pravi ovu grešku.

I ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i stoga će cijeli član biti jednak nuli (takav slučaj je analiziran u primjeru 10) .

Druga česta greška je mehaničko rješenje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Zbog toga derivat kompleksne funkcije posvećeno posebnom članku. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnike za novi Windows Akcije sa moćima i korijenima I Radnje sa razlomcima .

Ako tražite rješenja za derivate s potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda , zatim slijedi lekcija " Derivat zbira razlomaka sa potencijama i korijenima".

Ako imate zadatak kao , onda ste u lekciji "Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija".

Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat

Primjer 3 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Određujemo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi faktori su zbroji, u drugom od kojih jedan od članova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbroju, drugi član sa predznakom minus. U svakom zbroju vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "x" se pretvara u jedan, a minus 5 - u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće vrijednosti derivata:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

Primjer 4 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za diferenciranje količnika: derivacija količnika dvije funkcije jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika između umnožaka nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. Dobijamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo i da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet sa predznakom minus:

Ako tražite rješenja za takve probleme u kojima morate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i stupnjeva, kao što je npr. onda dobrodosli na cas "Izvod zbira razlomaka sa potencijama i korijenima" .

Ako trebate naučiti više o derivatima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijske funkcije, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda imate lekciju "Derivati ​​jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, sa čijom smo derivacijom upoznali u tabeli derivacija. Prema pravilu diferencijacije proizvoda i tabelarnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:

Primjer 6 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo kvocijent čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Prema pravilu diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo:

Da biste se riješili razlomka u brojiocu, pomnožite brojilac i imenilac sa .

Neka su funkcije i definirane u nekom susjedstvu točke i imaju izvode u točki. Tada njihov proizvod ima izvod u tački, koji je određen formulom:
(1) .

Dokaz

Hajde da uvedemo notaciju:
;
.
Ovdje i su funkcije varijabli i . Ali radi lakšeg označavanja, izostavićemo zapis njihovih argumenata.

Dalje, to primjećujemo
;
.
Po uvjetu, funkcije i imaju derivacije u točki , koje su sljedeće granice:
;
.
Iz postojanja derivata slijedi da su funkcije i kontinuirane u točki . Zbog toga
;
.

Razmotrimo funkciju y varijable x, koja je proizvod funkcija i:
.
Uzmite u obzir povećanje ove funkcije u tački:



.
Sada nalazimo derivat:


.

dakle,
.
Pravilo je dokazano.

Umjesto varijable, možete koristiti bilo koju drugu varijablu. Označimo ga kao x. Tada ako postoje derivacije i , tada se derivacija proizvoda dvije funkcije određuje formulom:
.
Ili kraće rečeno
(1) .

Posljedica

Neka su funkcije nezavisne varijable x . Onda
;
;
itd....

Dokažimo prvu formulu. Prvo primjenjujemo formulu za derivaciju proizvoda (1) za funkcije i , a zatim za funkcije i :

.

Druge slične formule dokazane su slično.

Primjeri

Primjer 1

Pronađite izvod
.

Rješenje

Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda dvije funkcije
(1) .
.

Iz tabele derivata nalazimo:
;
.
Onda
.

Konačno imamo:
.

Odgovori

Primjer 2

Naći izvod funkcije varijable x
.

Rješenje

Primjenjujemo formulu za derivaciju proizvoda dvije funkcije:
(1) .
.

Primjenjujemo formulu za sumu izvoda i razliku funkcija:
.
.

Primjenjujemo pravila za razlikovanje konstanti:
;
.
;
.

Odluči se fizički zadaci ili primjera iz matematike potpuno je nemoguće bez poznavanja derivacije i metoda za njeno izračunavanje. Izvod je jedan od najvažnijih koncepata matematičke analize. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Šta je derivat, šta je njegov fizički i geometrijsko značenje kako izračunati derivaciju funkcije? Sva ova pitanja mogu se spojiti u jedno: kako razumjeti derivat?

Geometrijsko i fizičko značenje izvedenice

Neka postoji funkcija f(x) , dato u nekom intervalu (a,b) . Točke x i x0 pripadaju ovom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika njegovih vrijednosti x-x0 . Ova razlika je zapisana kao delta x i naziva se povećanje argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija izvedenice:

Derivat funkcije u tački je granica omjera prirasta funkcije u datoj tački i priraštaja argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha u pronalaženju takve granice? ali koji:

derivacija funkcije u tački jednaka je tangenti ugla između ose OX i tangente na graf funkcije u datoj tački.

fizičko značenje derivat: vremenski izvod puta jednak je brzini pravolinijskog kretanja.

Zaista, još od školskih dana svi znaju da je brzina privatan put. x=f(t) i vrijeme t . prosječna brzina za neko vreme:

Da biste saznali brzinu kretanja u datom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: izbacite konstantu

Konstanta se može izvaditi iz predznaka derivacije. Štaviše, to se mora uraditi. Prilikom rješavanja primjera iz matematike uzmite po pravilu - ako možete pojednostaviti izraz, budite sigurni da ste ga pojednostavili .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbira funkcija

Derivat zbira dviju funkcija jednak je zbroju izvoda ovih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo dati dokaz ove teoreme, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite derivaciju funkcije:

Treće pravilo: derivacija proizvoda funkcija

Derivat proizvoda dvije diferencijabilne funkcije izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite derivaciju funkcije:

Rješenje:

Ovdje je važno reći o izračunavanju izvoda složenih funkcija. Derivat složena funkcija jednak je proizvodu izvoda ove funkcije u odnosu na međuargument na derivaciju međuargumenata u odnosu na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na peti stepen. Da bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo razmatramo derivaciju eksterne funkcije u odnosu na međuargument, a zatim množimo derivacijom samog međuargumena u odnosu na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: Derivat količnika dvije funkcije

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dvije funkcije:

Pokušali smo da pričamo o derivatima za lutke od nule. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam da riješite najtežu kontrolu i da se nosite sa zadacima, čak i ako se nikada prije niste bavili proračunom izvedenica.

Ako slijedimo definiciju, tada je derivacija funkcije u tački granica omjera prirasta funkcije Δ y na prirast argumenta Δ x:

Čini se da je sve jasno. Ali pokušajte izračunati po ovoj formuli, recimo, derivaciju funkcije f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grijeh x. Ako sve radite po definiciji, onda ćete nakon nekoliko stranica proračuna jednostavno zaspati. Stoga postoje jednostavniji i efikasniji načini.

Za početak, napominjemo da se takozvane elementarne funkcije mogu razlikovati od čitavog niza funkcija. Radi se o relativno jednostavnim izrazima čiji su derivati ​​odavno izračunati i uneseni u tabelu. Takve funkcije je dovoljno lako zapamtiti, zajedno sa njihovim derivatima.

Derivati ​​elementarnih funkcija

Elementarne funkcije su sve navedene u nastavku. Izvodi ovih funkcija moraju se znati napamet. Štaviše, nije ih teško zapamtiti - zato su elementarni.

Dakle, derivati ​​elementarnih funkcija:

Ako se elementarna funkcija pomnoži sa proizvoljnom konstantom, onda se derivacija nove funkcije također lako izračunava:

(C · f)’ = C · f ’.

Generalno, konstante se mogu izvući iz predznaka izvoda. Na primjer:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očigledno, elementarne funkcije se mogu dodavati jedna drugoj, množiti, dijeliti i još mnogo toga. Tako će se pojaviti nove funkcije, više ne baš elementarne, ali i diferencirane po određenim pravilima. Ova pravila su razmotrena u nastavku.

Derivat zbira i razlike

Neka funkcije f(x) I g(x), čiji su nam derivati ​​poznati. Na primjer, možete uzeti elementarne funkcije o kojima smo gore govorili. Tada možete pronaći derivaciju zbira i razlike ovih funkcija:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Dakle, derivacija zbira (razlike) dvije funkcije jednaka je zbiru (razlici) izvoda. Možda ima više termina. Na primjer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strogo govoreći, u algebri ne postoji koncept "oduzimanja". Postoji koncept "negativnog elementa". Dakle, razlika f − g može se prepisati kao zbir f+ (−1) g, a onda ostaje samo jedna formula - derivacija sume.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) je zbir dvije elementarne funkcije, dakle:

f ’(x) = (x 2+ sin x)’ = (x 2)' + (grijeh x)’ = 2x+ cosx;

Slično tvrdimo i za funkciju g(x). Samo što već postoje tri pojma (sa stanovišta algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

odgovor:
f ’(x) = 2x+ cosx;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat proizvoda

Matematika je logička nauka, tako da mnogi ljudi vjeruju da ako je derivacija sume jednaka zbroju izvoda, onda je derivacija proizvoda štrajk"\u003e jednako umnošku derivata. Ali fige vama! Izvod proizvoda se izračunava po potpuno drugoj formuli. Naime:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je jednostavna, ali se često zaboravlja. I to ne samo školarci, već i studenti. Rezultat su pogrešno riješeni problemi.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija: f(x) = x 3 cosx; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) je proizvod dvije elementarne funkcije, tako da je sve jednostavno:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x grijeh x)

Funkcija g(x) prvi množitelj je malo složeniji, ali opća shema se ne mijenja od ovoga. Očigledno, prvi množitelj funkcije g(x) je polinom, a njegov izvod je izvod zbira. Imamo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

odgovor:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x grijeh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Imajte na umu da je u posljednjem koraku izvod faktoriziran. Formalno, to nije neophodno, ali većina derivata se ne izračunavaju samostalno, već radi istraživanja funkcije. To znači da će se dalje derivacija izjednačiti sa nulom, saznati će se njeni predznaci i tako dalje. Za takav slučaj, bolje je imati izraz razložen na faktore.

Ako postoje dvije funkcije f(x) I g(x), i g(x) ≠ 0 na skupu koji nas zanima, možemo definirati novu funkciju h(x) = f(x)/g(x). Za takvu funkciju možete pronaći i izvod:

Nije slabo, zar ne? Odakle minus? Zašto g 2? I ovako! Ovo je jedna od najsloženijih formula - ne možete je shvatiti bez boce. Stoga ga je bolje proučavati na konkretnim primjerima.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija:

U brojniku i nazivniku svakog razlomka postoje elementarne funkcije, tako da sve što nam treba je formula za izvod količnika:

Po tradiciji, brojilac činimo u faktore - to će uvelike pojednostaviti odgovor:

Složena funkcija nije nužno formula duga pola kilometra. Na primjer, dovoljno je uzeti funkciju f(x) = grijeh x i zamijenite varijablu x, recimo, na x 2+ln x. Ispostavilo se f(x) = grijeh ( x 2+ln x) je složena funkcija. Ona također ima derivat, ali neće uspjeti pronaći ga prema gore navedenim pravilima.

Kako biti? U takvim slučajevima pomaže zamjena varijable i formula za izvod složene funkcije:

f ’(x) = f ’(t) · t', Ako x je zamijenjen sa t(x).

Po pravilu, situacija sa razumijevanjem ove formule je još tužnija nego s derivacijom količnika. Stoga je bolje i to objasniti konkretnim primjerima, uz detaljan opis svakog koraka.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grijeh ( x 2+ln x)

Imajte na umu da ako je u funkciji f(x) umjesto izraza 2 x+ 3 će biti lako x, onda će raditi elementarna funkcija f(x) = e x. Stoga, vršimo zamjenu: neka je 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Tražimo izvod kompleksne funkcije po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A sada - pažnja! Izvođenje obrnute zamjene: t = 2x+ 3. Dobijamo:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Pogledajmo sada funkciju g(x). Očigledno treba zamijeniti. x 2+ln x = t. Imamo:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (grijeh t)’ · t' = cos t · t ’

Obrnuta zamjena: t = x 2+ln x. onda:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

To je sve! Kao što se vidi iz posljednjeg izraza, cijeli problem je sveden na izračunavanje derivacije sume.

odgovor:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos( x 2+ln x).

Vrlo često na svojim časovima umjesto izraza „derivat“ koristim riječ „moždani udar“. Na primjer, udarac iz zbroja jednak je zbiru moždani udari. Je li to jasnije? Pa, to je dobro.

Dakle, izračunavanje derivata se svodi na oslobađanje od ovih poteza prema gore navedenim pravilima. Kao konačni primjer, vratimo se na derivirani stepen s racionalnim eksponentom:

(x n)’ = n · x n − 1

Malo ko to zna u ulozi n može biti razlomak. Na primjer, korijen je x 0,5 . Ali šta ako postoji nešto nezgodno ispod korena? Opet, ispostavit će se složena funkcija - oni vole davati takve konstrukcije kontrolni rad i ispite.

Zadatak. Pronađite derivaciju funkcije:

Prvo, prepišimo korijen kao stepen s racionalnim eksponentom:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sada vršimo zamjenu: neka x 2 + 8x − 7 = t. Izvod nalazimo po formuli:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Vršimo obrnutu zamjenu: t = x 2 + 8x− 7. Imamo:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x− 7) −0,5 ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Konačno, povratak korijenima:

WITH lektorski materijali na temu "derivacija". Nivo osnovne škole.
Teorijske informacije za studente, nastavnike i nastavnike matematike. Da pomognem sa lekcijama.

definicija: derivacija funkcije u tački naziva se granica omjera prirasta funkcije i priraštaja varijable, tj.

Tabela derivacija osnovnih matematičkih funkcija:

Pravila za obračun derivata

Derivat sume bilo koja dva izraza jednaka je zbiru izvoda ovih izraza (izvod zbira je jednak zbiru izvoda)

Izvod razlike bilo koja dva izraza jednaka je razlici izvoda ovih pojmova (izvod razlike je jednak razlici izvoda).

Derivat proizvoda dva faktora jednaka je proizvodu izvoda prvog faktora sa drugim plus proizvodom prvog faktora izvodom drugog (zbir izvoda faktora uzetih redom).
Komentar nastavnika matematike: kada učenika u kratkim frazama podsjetim na pravilo za izračunavanje derivacije proizvoda, kažem ovo: derivacija prvog faktora po drugom plusu razmjena moždanog udara!

Derivat količnika dva izraza jednak je količniku razlike naizmjenično uzetih izvoda faktora i kvadrata nazivnika.

Derivat proizvoda broja i funkcije. Da biste pronašli derivaciju proizvoda broja i literalnog izraza (funkcije), trebate ovaj broj pomnožiti s izvodom ovog literalnog izraza.

Derivat kompleksne funkcije:

Da biste izračunali derivaciju složene funkcije, morate pronaći derivaciju vanjske funkcije i pomnožiti je s derivacijom unutrašnje funkcije.

Vaši komentari i povratne informacije na stranici sa izvedenicama:
Aleksandar S.
Stvarno mi je trebao sto. Jedan od najpopularnijih na internetu. Hvala puno na objasnjenjima i pravilima. Još barem jedan primjer njima i općenito bi bilo super. Hvala još jednom.

Kolpakov A.N., nastavnik matematike: ok, pokušat ću uskoro ažurirati stranicu primjerima.

Virtuelni matematički priručnik.
Kolpakov Aleksandar Nikolajevič, nastavnik matematike.