Funksiyalarning hosilalarini olishni o‘rganing. Hosila ushbu funktsiya grafigida yotgan ma'lum bir nuqtada funktsiyaning o'zgarish tezligini tavsiflaydi. Bunday holda, grafik to'g'ri chiziq yoki egri chiziq bo'lishi mumkin. Ya'ni, hosila vaqtning ma'lum bir nuqtasida funktsiyaning o'zgarish tezligini tavsiflaydi. Derivativlar olinadigan umumiy qoidalarni eslang va shundan keyingina keyingi bosqichga o'ting.

• Maqolani o'qing.
• Eng oddiy hosilalarni, masalan, ko'rsatkichli tenglamaning hosilasini qanday olish kerakligi tasvirlangan. Keyingi bosqichlarda keltirilgan hisob-kitoblar u erda tasvirlangan usullarga asoslanadi.

Nishabni funktsiyaning hosilasi bo'yicha hisoblash kerak bo'lgan masalalarni farqlashni o'rganing. Vazifalarda har doim ham funktsiyaning qiyaligini yoki hosilasini topish tavsiya etilmaydi. Masalan, sizdan funksiyaning A(x, y) nuqtadagi o‘zgarish tezligini topish so‘ralishi mumkin. Shuningdek, sizdan A(x, y) nuqtadagi tangensning qiyaligini topish talab qilinishi mumkin. Ikkala holatda ham funktsiyaning hosilasini olish kerak.

Berilgan funksiyaning hosilasini oling. Bu yerda grafik yaratish shart emas - faqat funksiya tenglamasi kerak. Bizning misolimizda funktsiyaning hosilasini oling f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x). Yuqorida aytib o'tilgan maqolada ko'rsatilgan usullarga muvofiq lotinni oling:

Nishabni hisoblash uchun sizga berilgan nuqtaning koordinatalarini topilgan hosilaga almashtiring. Funktsiyaning hosilasi ma'lum bir nuqtadagi nishabga teng. Boshqacha qilib aytganda, f "(x) funksiyaning istalgan nuqtadagi qiyaligi (x, f (x)). Bizning misolimizda:

X mustaqil o'zgaruvchining (argument) o'ziga xos qiymatini berib, y bog'liq o'zgaruvchining tegishli qiymatini hisoblash uchun qulay. Masalan, agar funktsiya y \u003d x 2 berilgan bo'lsa, ya'ni. f (x) \u003d x 2, keyin x \u003d 1 uchun y \u003d 1 2 \u003d 1 ni olamiz; qisqasi, u quyidagicha yoziladi: f (1) \u003d 1. x \u003d 2 uchun f (2) \u003d 2 2 \u003d 4, ya'ni y \u003d 4 ni olamiz; x \u003d - 3 bilan f (- 3) \u003d (- Z) 2 \u003d 9, ya'ni y \u003d 9 va boshqalarni olamiz.

7-sinfda biz y \u003d f (x) tengligida o'ng tomonni, ya'ni ekanligini tushuna boshladik. f(x) ifodasi yuqorida sanab o'tilgan to'rtta holat (C, kx, kx + m, x 2) bilan cheklanmaydi.

Misol uchun, biz allaqachon qismlarga bo'lingan funktsiyalarni uchratdik, ya'ni. funktsiyalari turli oraliqlarda turli formulalar bilan berilgan. Mana shunday funksiyalardan biri: y = f(x), bu yerda

Bunday funktsiyalarni qanday chizish kerakligini eslaysizmi? Avval siz y \u003d x 2 parabolani qurishingiz va uning x dagi qismini olishingiz kerak< 0 (левая ветвь параболы, рис. 1), затем надо построить прямую у = 2х и взять ее часть при х >0 (2-rasm). Va, nihoyat, ikkala tanlangan qism bir shaklda birlashtirilishi kerak, ya'ni bir xil koordinatali tekislikda qurilgan (3-rasmga qarang).

Endi bizning vazifamiz quyidagicha: o'rganilgan funktsiyalar zaxirasini to'ldirish. Haqiqiy hayotda nafaqat biz yuqorida sanab o'tganlar emas, balki y \u003d f (x) shaklidagi turli xil matematik modellar tomonidan tasvirlangan jarayonlar mavjud. Ushbu bo'limda y = kx 2 funktsiyasini ko'rib chiqamiz, bu erda koeffitsienti k - har qanday nolga teng bo'lmagan son.

Aslida, y = kx 2 funksiyasi sizga bir holatda biroz tanish. Qarang: agar k \u003d 1 bo'lsa, biz y \u003d x 2 ni olamiz; siz bu funktsiyani 7-sinfda o'rgangansiz va ehtimol uning grafigi parabola ekanligini eslaysiz (1-rasm). Keling, k koeffitsientining boshqa qiymatlari uchun nima sodir bo'lishini muhokama qilaylik.

Ikki funktsiyani ko'rib chiqing: y \u003d 2x 2 va y \u003d 0,5x 2. Birinchi funktsiya y \u003d 2x 2 uchun qiymatlar jadvalini tuzamiz:

(0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1,5; 4,5), (-1,5; 4,5) nuqtalarni tuzing. koordinata tekisligi(4-rasm); ular qandaydir chiziqni chizadilar, keling, uni chizamiz (5-rasm).

Ikkinchi funktsiya y \u003d 0,5x 2 uchun qiymatlar jadvalini tuzamiz:

(0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), C nuqtalarni qurish; 4.5), (-3; 4.5) koordinata tekisligida (6-rasm); ular qandaydir chiziqni chizadilar, keling, chizamiz (7-rasm)

.

Shaklda ko'rsatilgan nuqtalar. 4 va 6 ba'zan mos keladigan funktsiya grafigi uchun nazorat nuqtalari deb ataladi.

1, 5 va 7 raqamlarni solishtiring. Chizilgan chiziqlar o'xshash emasmi? Ularning har biri parabola deb ataladi; bunda (0; 0) nuqta parabolaning cho'qqisi, y o'qi esa parabolaning simmetriya o'qi deyiladi. K koeffitsientining qiymati parabola shoxlarining yuqoriga qarab "intilish tezligini" yoki ular aytganidek, parabolaning "tiklik darajasini" belgilaydi. Bu rasmda aniq ko'rinadi. 8, bu erda yuqorida tuzilgan uchta parabola bir xil koordinata tekisligida joylashgan.

Vaziyat y \u003d kx 2 ko'rinishidagi boshqa har qanday funktsiya bilan aynan bir xil, bu erda k\u003e 0. Uning grafigi boshida tepasi bo'lgan paraboladir. koordinatalar, parabolaning shoxlari yuqoriga yo'naltiriladi va qanchalik tik bo'lsa, k koeffitsienti shunchalik katta bo'ladi. Y o'qi - parabolaning simmetriya o'qi. Aytgancha, qisqalik uchun matematiklar ko'pincha "y \u003d kx 2 funktsiyasining grafigi sifatida xizmat qiluvchi parabola" uzun iborasi o'rniga "parabola y \u003d kx 2" atamasi o'rniga "parabola y \u003d kx 2" deyishadi. parabola simmetriya o'qi, ular "parabola o'qi" atamasini ishlatadilar.

y = kx funktsiyasi bilan o'xshashlik borligini sezdingizmi? Agar k > 0 bo'lsa, u holda y \u003d kx funktsiyasining grafigi koordinata boshidan o'tuvchi to'g'ri chiziqdir (esda tuting, biz qisqacha aytdik: y \u003d kx to'g'ri chiziq) va bu erda to'g'ri chiziqning "tikligi" ga bog'liq. k koeffitsientining qiymati. Bu rasmda aniq ko'rinadi. 9, bu erda bitta koordinata tizimida ko'rsatilgan grafikalar koeffitsientning uchta qiymati uchun chiziqli funktsiyalar y = kx

y \u003d kx 2 funktsiyasiga qaytaylik. Keling, manfiy koeffitsient ft bo'lgan taqdirda narsalar qanday turishini bilib olaylik. Masalan, funksiya grafigini tuzamiz

y \u003d - x 2 (bu erda k \u003d - 1). Keling, qiymatlar jadvalini tuzamiz:

(0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3) nuqtalariga e'tibor bering; - 9) koordinata tekisligida (10-rasm); ular qandaydir chiziqni chizadilar, keling, uni chizamiz (11-rasm). Bu (0; 0) nuqtada cho'qqisi bo'lgan parabola, y o'qi simmetriya o'qidir, lekin k> 0 bo'lgan holatdan farqli o'laroq, bu safar parabola shoxlari pastga yo'naltirilgan. Vaziyat k koeffitsientining boshqa salbiy qiymatlari uchun ham xuddi shunday.

Demak, funksiya grafigi koordinata boshida cho‘qqisi bo‘lgan parabola; y o'qi - parabolaning o'qi; parabolaning shoxlari k>0 u uchun yuqoriga, k uchun pastga yo’nalgan<0.

Shuningdek, y \u003d kx 2 parabola x o'qiga (0; 0) nuqtada tegishiga e'tibor qaratamiz, ya'ni parabolaning bir novdasi x o'qiga yopishgandek silliq ravishda ikkinchisiga o'tadi.

Agar siz bitta koordinata tizimida qursangiz funksiya grafiklari y \u003d x 2 va y \u003d - x2 bo'lsa, unda bu parabolalar x o'qi bo'yicha bir-biriga simmetrik ekanligini ko'rish oson, bu rasmda aniq ko'rinadi. 12. Xuddi shu tarzda, y \u003d 2x 2 va y \u003d - 2x 2 parabolalari x o'qi bo'yicha bir-biriga simmetrikdir (dangasa bo'lmang, bularni tuzing.
bir xil koordinatalar tizimidagi ikkita parabola va qilingan bayonotning to'g'riligini tekshiring).

Umuman olganda, y \u003d - f (x) funktsiyasining grafigi x o'qi haqida y \u003d f (x) funktsiyasining grafigiga simmetrikdir.

k > 0 uchun y \u003d kx 2 funksiyasining xossalari

Bu funksiyaning xossalarini tavsiflab, uning geometrik modeli - parabolaga tayanamiz (13-rasm).

1. X ning har qanday qiymati uchun y \u003d kx 2 formulasi bo'yicha siz y ning mos keladigan qiymatini hisoblashingiz mumkin bo'lganligi sababli, funktsiya har qanday x nuqtasida (x argumentining istalgan qiymati uchun) aniqlanadi. Qisqacha aytganda, bu quyidagicha yoziladi: funktsiya sohasi (-oo, +oo), ya'ni butun koordinata chizig'i.

2. x \u003d 0 uchun y \u003d 0; y > O da. Buni funktsiya grafigidan ham ko'rish mumkin (ularning barchasi x o'qi ustida joylashgan), lekin uni grafik yordamisiz oqlash mumkin: agar

U holda kx 2 > O ikkita musbat k va x 2 sonlarning ko‘paytmasi sifatida.

3. y = kx 2 uzluksiz funksiya. Eslatib o'tamiz, biz ushbu atamani "funktsiya grafigi - qalamni qog'ozdan ko'tarmasdan chizish mumkin bo'lgan qattiq chiziq" jumlasining sinonimi sifatida ko'rib chiqamiz. Yuqori sinflarda funksiya uzluksizligi tushunchasining geometrik illyustratsiya asosida emas, balki aniqroq matematik talqini beriladi.

4.y/ naim = 0 (x = 0 da erishilgan); nai6 mavjud emas.

Eslatib o'tamiz, (/naim funksiyaning eng kichik qiymati, Unib. funksiyaning berilgan oraliqdagi eng katta qiymati; agar oraliq belgilanmagan bo'lsa, u holda mos ravishda unaim- va y naib eng kichik va eng katta qiymatlardir. ta'rif sohasidagi funksiya.

5. y \u003d kx 2 funktsiyasi x\u003e O uchun ortadi va x uchun kamayadi< 0.

Eslatib o'tamiz, 7-sinf algebra kursida biz ko'rib chiqilayotgan oraliqdagi grafigi chapdan o'ngga o'tadigan funktsiyani "tepaga", ortib boruvchi va "tepaga" deb atashga kelishib oldik. funktsiyasi, uning grafigi ko'rib chiqilayotgan intervalda chapdan o'ngga, go'yo "pastga" - pasaymoqda. Aniqrog'i, biz buni aytishimiz mumkin: y \u003d f (x) funktsiyasi X oralig'ida ortib borayotgan deb ataladi, agar bu oraliqda argumentning kattaroq qiymati funktsiyaning kattaroq qiymatiga to'g'ri kelsa; y = f (x) funksiya X oraliqda kamayuvchi deyiladi, agar bu oraliqda argumentning katta qiymati funksiyaning kichik qiymatiga mos kelsa.

Biz “Algebra-7” darsligida funktsiya xossalarini sanab berish jarayonini grafikni o‘qish deb atagan edik. Grafikni o'qish jarayoni biz uchun asta-sekin boy va qiziqarli bo'ladi - biz funktsiyalarning yangi xususiyatlarini o'rganamiz. Yuqorida sanab o'tilgan beshta xususiyatni biz 7-sinfda u erda o'rganilgan funktsiyalar uchun muhokama qildik. Keling, bitta yangi xususiyatni qo'shamiz.

Agar funktsiyaning barcha qiymatlari ma'lum bir raqamdan katta bo'lsa, y = f (x) funktsiyasi pastdan cheklangan deb ataladi. Geometrik jihatdan bu funksiya grafigi ba'zilaridan yuqorida joylashganligini bildiradi Streyt, x o'qiga parallel.

Endi qarang: y \u003d kx 2 funktsiyasining grafigi y \u003d - 1 (yoki y \u003d - 2, muhim emas) to'g'ri chiziq ustida joylashgan - u rasmda chizilgan. 13. Demak, y - kx2 (k > 0) quyida chegaralangan funksiyadir.

Pastdan chegaralangan funksiyalar bilan bir qatorda yuqoridan chegaralangan funksiyalar ham hisobga olinadi. Agar funktsiyaning barcha qiymatlari ma'lum sondan kichik bo'lsa, y - f(x) funktsiyasi yuqoridan cheklangan deb ataladi. Geometrik jihatdan bu funksiya grafigi x o'qiga parallel bo'lgan qandaydir to'g'ri chiziq ostida joylashganligini bildiradi.
y = kx 2 parabola uchun shunday chiziq bormi, bu erda k > 0? Yo'q. Bu funksiya yuqoridan chegaralanmaganligini bildiradi.

Shunday qilib, bizda yana bitta mulk bor, keling, uni yuqorida sanab o'tilgan beshtasiga qo'shamiz.

6. y = kx 2 (k > 0) funksiya pastdan chegaralangan va yuqoridan chegaralanmagan.

k uchun y \u003d kx 2 funksiyasining xossalari< 0

Ushbu funktsiyaning xususiyatlarini tavsiflashda biz uning geometrik xususiyatlariga tayanamiz model- parabola (14-rasm).

1. Funktsiyani aniqlash sohasi - (-oo, +oo).

2. x \u003d 0 uchun y \u003d 0; da< 0 при .

Z.y \u003d kx 2 - uzluksiz funktsiya.
4. y nau6 = 0 (x = 0 da erishilgan), unaim mavjud emas.

5. Funktsiya x da ortadi< 0, убывает при х > 0.

6. Funktsiya yuqoridan cheklangan va pastdan cheklanmagan.

Oxirgi xossani tushuntirib beraylik: x o'qiga parallel chiziq bor (masalan, y = 1, u 14-rasmda chizilgan), shundayki, butun parabola shu chiziq ostida yotadi; bu funksiya yuqoridan chegaralanganligini bildiradi. Boshqa tomondan, butun parabola shu chiziq ustida joylashgan bo'lishi uchun x o'qiga parallel chiziq chizish mumkin emas; bu funksiya quyida chegaralanmaganligini bildiradi.

Funktsiya xususiyatlarini sanab o'tishda yuqorida qo'llaniladigan harakatlar tartibi, agar u xronologik jihatdan xuddi shunday rivojlangan bo'lsa, qonun emas.

Biz harakatlarning ozmi-koʻpmi aniq tartibini asta-sekin ishlab chiqamiz va uni 9-sinf algebra kursida birlashtiramiz.

1-misol Segmentdagi y \u003d 2x 2 funktsiyasining eng kichik va eng katta qiymatlarini toping: a) ; b) [- 2, - 1]; c) [- 1, 1,5].

a) y \u003d 2x 2 funksiya grafigini tuzamiz va uning segmentdagi qismini tanlaymiz (15-rasm). Biz 1/naim ekanligini payqayapmiz. = 0 (x = 0 da erishilgan) va y max = 8 (x = 2 da erishilgan).

b) y \u003d 2x 2 funksiya grafigini tuzamiz va uning [- 2, - 1] segmentidagi qismini tanlaymiz (16-rasm). 2/naim = 2 (x = - 1 da erishilgan) va y max = 8 (x = - 2 da erishilgan) ekanligini unutmang.

c) y \u003d 2x 2 funksiya grafigini tuzamiz va uning [- 1, 1.5] segmentidagi qismini tanlaymiz (17-rasm). Shuni ta'kidlaymizki, unanm = 0 (x = 0 da erishilgan), y esa x = 1,5 nuqtada erishiladi; bu qiymatni hisoblab chiqamiz: (1,5) = 2-1,5 2 = 2-2,25 = 4,5. Shunday qilib, y max = 4,5.

2-misol Tenglamani yeching - x 2 \u003d 2x - 3.

Yechim. “Algebra-7” darsligida biz ishlab chiqdik algoritm tenglamalarning grafik yechimi, uni eslang.

f (x) = g (x) tenglamasini grafik tarzda yechish uchun sizga kerak bo'ladi:

1) ikkita funktsiyani ko'rib chiqing y \u003d -x 2 va y \u003d 2x -3;
2) i/ = / (x) funksiyaning grafigini tuzing;
3) y \u003d g (x) funktsiyasining grafigini qurish;
4) tuzilgan grafiklarning kesishish nuqtalarini topish; abscissa
Bu nuqtalarning yig’indisi f(x) = g(x) tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

Keling, ushbu algoritmni berilgan tenglamaga qo'llaymiz.
1) Ikki funktsiyani ko'rib chiqing: y \u003d - x2 va y \u003d 2x - 3.
2) Parabola - y \u003d - x 2 funktsiyasining grafigini quramiz (18-rasm).

3) y \u003d 2x - 3 funksiyasining grafigini tuzamiz. Bu to'g'ri chiziq, uni qurish uchun grafikning istalgan ikkita nuqtasini topish kifoya. Agar x \u003d 0 bo'lsa, u holda y \u003d - 3; agar x = 1 bo'lsa, u holda y = -1. Shunday qilib, biz ikkita nuqta topdik (0; -3) va (1; -1). Ushbu ikkita nuqtadan o'tadigan to'g'ri chiziq (y \u003d 2x - 3 funktsiyasining grafigi) xuddi shu rasmda ko'rsatilgan (18-rasmga qarang).

4) Chizmaga ko'ra, to'g'ri chiziq va parabola A (1; -1) va B (-3; -9) ikkita nuqtada kesishganini topamiz. Demak, bu tenglama ikkita ildizga ega: 1 va - 3 A va B nuqtalarning abssissalari.

Javob: 1, -3.

Izoh. Albatta, siz grafik rasmlarga ko'r-ko'rona ishonishingiz mumkin emas. Balki bizga shunchaki A nuqtaning koordinatalari (1; - 1) bordek tuyuladi, lekin aslida ular boshqacha, masalan (0,98; - 1,01)?

Shuning uchun har doim o'zingizni tekshirish yaxshidir. Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan misolda siz A (1; -1) nuqtasi y \u003d - x 2 parabolasiga tegishli ekanligiga ishonch hosil qilishingiz kerak (bu oson - y \ formulasida A nuqtaning koordinatalarini almashtiring. u003d - x 2; biz - 1 \u003d - 1 2 - to'g'ri raqamli tenglikni olamiz) va to'g'ri chiziq y \u003d 2x - 3 (va bu oson - shunchaki A nuqtaning koordinatalarini y \u003d 2x formulasiga almashtiring - 3; biz olamiz - 1 \u003d 2-3 - to'g'ri raqamli tenglik). 8-band uchun ham xuddi shunday qilish kerak. Ushbu tekshirish ko'rib chiqilgan tenglamada grafik kuzatuvlar to'g'ri natijaga olib kelganligini ko'rsatadi.

3-misol Tizimni hal qiling

Yechim. Tizimning birinchi tenglamasini y \u003d - x 2 ko'rinishiga aylantiramiz. Ushbu funktsiyaning grafigi rasmda ko'rsatilgan paraboladir. 18.

Biz tizimning ikkinchi tenglamasini y \u003d 2x - 3 ko'rinishiga aylantiramiz. Ushbu funktsiyaning grafigi shaklda ko'rsatilgan to'g'ri chiziqdir. 18.

Parabola va toʻgʻri chiziq A (1; -1) va B (- 3; - 9) nuqtalarda kesishadi. Bu nuqtalarning koordinatalari berilgan tenglamalar sistemasining yechimi sifatida xizmat qiladi.

Javob: (1; -1), (-3; -9).

4-misol. y - f (x) funksiya berilgan, bu yerda

Majburiy:

a) f(-4), f(-2), f(0), f(1,5), f(2), f(3) ni hisoblang;

b) funksiya grafigini qurish;

v) grafik yordamida funksiyaning xossalarini sanab bering.

a) x = - 4 qiymati - shartni qanoatlantiradi, shuning uchun funktsiya ta'rifining birinchi qatoridan f (-4) ni hisoblash kerak.Bizda f (x) = - 0,5x2 bor, bu f (-4) ni bildiradi. = -0,5 . (-4) 2 = -8.

Xuddi shunday, biz topamiz:

f(-2) = -0,5 . (-2) 2 =-2;
f(0) = -0,5 . 0 2 = 0.

Qiymat shartni qondiradi, shuning uchun uni funktsiya ta'rifining ikkinchi qatoridan hisoblash kerak. Bizda f(x) = x + 1 bor, shuning uchun X = 1,5 qiymati 1-shartni qanoatlantiradi< х < 2, т. е. f(1,5) надо вычислять по третьей строке задания функции. Имеем f (х) = 2х 2 , значит, f(1,5) = 2-1,5 2 = 4,5.
Xuddi shunday, f(2)= 2 ni olamiz . 2 2 =8.

X = 3 qiymati funktsiyani ko'rsatish uchun uchta shartning hech birini qanoatlantirmaydi va shuning uchun f(3) ni bu holda hisoblash mumkin emas, x = 3 nuqta funktsiya sohasiga tegishli emas. f(3) ni hisoblash topshirig'i noto'g'ri.

b) Biz "bo'lak-bo'lak" grafigini qurishimiz mumkin. Birinchidan, y = -0,5x 2 parabolani tuzamiz va uning qismini [-4, 0] segmentida tanlaymiz (19-rasm). Keyin y \u003d x + 1 u to'g'ri chiziqni quramiz. uning qismini yarim oraliqda (0, 1] tanlaymiz (20-rasm).Keyin y = 2x 2 parabolani tuzamiz va uning yarmini (1, 2) yarim oraliqdagi qismini tanlaymiz (21-rasm).

Nihoyat, barcha uchta "bo'lak" bir xil koordinatalar tizimida tasvirlanadi; y \u003d f (x) funktsiyasining grafigini olamiz (22-rasm).

v) funksiyaning xossalarini sanab o‘tamiz yoki aytishga kelishib olganimizdek, grafikni o‘qib chiqamiz.

1. Funksiya doirasi [-4, 2] segmentidir.

2. x \u003d 0 uchun y \u003d 0; 0 da y > 0<х<2;у<0 при - 4 < х < 0.

3. Funksiya x = 0 da uzilishga uchraydi.

4. Funksiya [-4, 2] segmentida ortadi.

5. Funktsiya pastdan ham, yuqoridan ham cheklangan.

6. y naim = -8 (x = -4 da erishiladi); y nai6. = 8 (x = 2 da erishilgan).

5-misol y \u003d f (x) funktsiyasi berilgan, bu erda f (x) \u003d Zx 2. Toping.

m = 0 y = kx ga aylanganda chiziqli funktsiya y = kx + m. Bunday holda siz buni ko'rishingiz mumkin:

1. Agar x = 0 bo'lsa, u holda y = 0. Demak, y = kx chiziqli funktsiyaning grafigi k ning qiymatidan qat'iy nazar, bosh nuqtadan o'tadi.
2. Agar x = 1 bo'lsa, u holda y = k.

k ning turli qiymatlarini va bu y qanday o'zgarishini ko'rib chiqing.

Agar k musbat (k > 0) boʻlsa, u holda koordinatalarning koordinatalarining I va III choraklarida koordinatalarning koordinatalaridan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq (funksiya grafigi) yotadi. Axir, musbat k uchun, x musbat bo'lsa, y ham ijobiy bo'ladi. X manfiy bo'lsa, y ham manfiy bo'ladi. Masalan, y = 2x funktsiya uchun, agar x = 0,5 bo'lsa, u holda y = 1; agar x = –0,5 bo’lsa, u holda y = –1.

Endi, musbat k sharti ostida, uch xil chiziqli tenglamani ko'rib chiqing. Bu shunday bo'lsin: y = 0,5x va y = 2x va y = 3x . Xuddi shu x bilan y qiymati qanday o'zgaradi? Shubhasiz, u k bilan ortadi: qanchalik ko'p bo'lsa, y ham shuncha ko'p bo'ladi. Va bu shuni anglatadiki, k qiymati kattaroq bo'lgan to'g'ri chiziq (funktsiya grafigi) x o'qi (abtsissa o'qi) va funktsiya grafigi o'rtasida kattaroq burchakka ega bo'ladi. Shunday qilib, u to'g'ri o'qning x qaysi burchakda kesishishiga bog'liq va shuning uchun k haqida gapiriladi. chiziqli funksiyaning qiyaligi.

Endi vaziyatni o'rganamiz k x musbat, u holda y manfiy bo'ladi; va aksincha: agar x y > 0 bo'lsa. Shunday qilib, k bo'lganda y = kx funksiyaning grafigi.

Aytaylik, chiziqli tenglamalar mavjud y = –0,5x, y = –2x, y = –3x. X = 1 uchun y = –0,5, y = –2, y = –3 ni olamiz. X = 2 uchun y = –1, y = –2, y = –6 ni olamiz. Shunday qilib, k qanchalik katta bo'lsa, x musbat bo'lsa, y katta bo'ladi.

Biroq, agar x = –1 bo'lsa, u holda y = 0,5, y = 2, y = 3. x = –2 da, biz y = 1, y = 4, y = 6 ni olamiz. Bu erda, k ning qiymati kamayishi bilan, y x da ortadi

k uchun funksiya grafigi

y = kx + m kabi funksiyalar grafiklari y = km grafiklaridan faqat parallel siljish bilan farq qiladi.

Sinf: 8

Dars uchun taqdimot

Orqaga oldinga

Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot olish uchun mo'ljallangan va taqdimotning to'liq hajmini ko'rsatmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.

Dars turi: yangi bilimlarni kashf qilish darsi.

Asosiy maqsadlar:

• funksiya haqida tasavvur hosil qiling y = kx 2 , uning xossalari va grafikasi;
• takrorlash va mahkamlash: xususiyat tafsilotlari y = x 2 , funksiyaning 7-sinf kursida ma'lum bo'lgan xossalari.

Namoyish materiallari:

1) funksiya grafigini tuzish algoritmi:

2) k koeffitsientiga qarab grafikning joylashishini aniqlash qoidasi:

3) mustaqil ish: Shaklda. y \u003d kx funktsiyalarining grafiklari ko'rsatilgan 2 .

Har bir grafik uchun koeffitsientning tegishli qiymatini ko'rsating Kimga.

4) mustaqil ishni o'z-o'zini tekshirish uchun namuna.

Tarqatma:

1) karta:

1, 2 guruh:

Syujet funktsiyalari y= 2X 2 , y = 4X

3, 4 guruh:

Syujet funktsiyalari y=– 2X 2 , y = - 4X 2 va bu funksiyalarning grafiklari qaysi koordinata choraklarida joylashganligini aniqlang. k koeffitsienti haqida xulosa chiqaring.

2) aks ettirish kartasi:

Darslar davomida

1. O'quv faoliyati uchun motivatsiya

Maqsadlar:

• o'quv faoliyati tomonidan talabaga qo'yiladigan talablarni dolzarblashtirishni tashkil etish;
• tematik asosni o'rnatish uchun talabalarning faoliyatini tashkil etish: biz funktsiyalar bilan ishlashni davom ettiramiz;
• o'quvchining o'quv faoliyatiga qo'shilish uchun ichki ehtiyojining paydo bo'lishi uchun sharoit yaratish.

1-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

- Salom! Oldingi darslarda qanday qiziqarli narsalarni bilib oldingiz? (Biz y = | x | funksiyasini, bu funksiyaning grafigini va uning xossalarini o‘rgandik.)
- Bugun siz yangi xususiyatlar bilan tanishishni davom ettirasiz.
- Bugun qanday ishlaysiz? (Yaxshi kayfiyat bilan).
- Sizga muvaffaqiyatlar tilayman!

2. Bilimlarni dolzarblashtirish va individual faoliyatdagi qiyinchiliklarni aniqlash

Maqsadlar:

• yangi materialni idrok etish uchun zarur va yetarli bo‘lgan ta’lim mazmunini yangilash.
• nutq va belgilarda yangilangan harakat usullarini o'rnatish;
• yangilangan harakat usullari sintezini tashkil etish;
• individual vazifani bajarishga undash;
• yangi bilim uchun individual topshiriqni mustaqil bajarishni tashkil etish;
• talabalar tomonidan individual topshiriqni bajarishda yoki uni asoslashda individual qiyinchiliklarni aniqlashni tashkil etish.

2-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

Bir nechta 2-5 slaydlarni tahlil qiling va savolga javob bering:

Bugun qanday jadval bilan ishlaysiz? (Parabola bilan).

– Parabola qaysi funktsiya grafigi ekanligini tanlang da = X + 2, da = 2/X, y = x 2 ?(y=x 2 . Biz bu funktsiyani 7-sinfda o'rganganmiz).

- Funksiyaning son koeffitsientini ayting y = x 2 . (1 ga teng)

- Funksiya grafigi qaysi koordinata choraklarida yotadi? y = x 2 , bu funksiyaning ta'rif sohasi va diapazoni, o'sish va pasayish intervallari qanday? (y = x funksiyaning grafigi 2 1 va 2 koordinatali choraklarda yoki yuqori yarim tekislikda yotadi, ta'rif sohasi butun son chizig'i, qiymatlar diapazoni y \u003d x funktsiyasidir 2 manfiy bo'lmagan qiymatlarni oladi; x da ortadi > 0, x da kamayadi < 0.)

Keling, koeffitsientning boshqa qiymatlarida nima sodir bo'lishini muhokama qilaylik.

- Dars mavzusini shakllantirish. (funktsiya y = kx 2 , uning xossalari va grafigi).

1) Doskada stol tayyorlanadi. Tegishli funktsiya qiymatlarini toping:

- Jadvalni to'ldiring. Doskaga ketma-ket 4 nafar talaba chaqiriladi.

2) Funksiya grafigi y = kx 2 A(2;8) nuqtadan o'tadi. Koeffitsientning qiymatini aniqlang. Funktsiyani yozing. (k = 2, y = 2x 2 ).

3) Funksiya grafiklarini odatda qaysi reja asosida tuzasiz? Slayd 7.

(kerakli -
1. Qiymatlar jadvalini to'ldiring
2. Koordinata tekisligida nuqtalar yasang
3. Tuzilgan nuqtalarni silliq chiziq bilan ulang
4. Funksiya nomini belgilang.)

- Nimani takrorladingiz?

- Va endi siz takrorlagan va o'rgangan hamma narsadan foydalanib, sizga quyidagi vazifani bajarishni taklif qilaman:
Syujet funktsiyalari y= 2X 2 , y = - 4X 2 va bu funksiyalarning grafiklari qaysi koordinata choraklarida joylashganligini aniqlang. Grafik k koeffitsientiga qarab qanday joylashganligi haqida xulosa chiqaring.

Talabalar grafik qog'ozda ishlaydi.

Kim natijalarga erishmaydi?
Nima qila olmadingiz? (Bajarolmadim__________________)
- Qurilishni kim tugatganini ko'rsating.
To'g'ri ish qilganingizni qanday isbotlay olasiz? (Men majburman___________)
Dalil uchun nimadan foydalanasiz? (___________.)
Nima qila olmadingiz?
Qurilishda qanday qoidadan foydalandingiz?
- Siz qila olmaysizmi?

3. Qiyinchilikning sabablarini aniqlash

Maqsadlar:

• o'z harakatlarining foydalaniladigan standartlar (algoritm, kontseptsiya va boshqalar) bilan bog'liqligini tashkil qilish;
• Shu asosda tashqi nutqda qiyinchilikning sababini aniqlash va aniqlashni tashkil qiling - asl muammoni hal qilish uchun etishmayotgan aniq bilim va ko'nikmalar.

3-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

Qanday vazifani bajarishingiz kerak edi?
Vazifani bajarish uchun nimadan foydalandingiz?
- Muammo qayerda paydo bo'ldi?
- Qiyinchilikning sababi nimada? (K koeffitsientiga qarab y \u003d kx2 funktsiyasining grafigi qanday joylashganligini aniqlashning iloji yo'q.)

4. Yangi bilimlarni muammoli tushuntirish

Maqsadlar:

• darsning maqsadini belgilashni tashkil etish;
• dars mavzusiga oydinlik kiritish va kelishishni tashkil etish;
• yangi bilimlarni muammoli joriy etish bo'yicha etakchi yoki rag'batlantiruvchi suhbatni tashkil etish;
• modellar, sxemalar, xususiyatlar va boshqalar bilan sub'ekt harakatlaridan foydalanishni tashkil etish;
• nutqda yangi harakat uslubini belgilashni tashkil qilish;
• belgilarda yangi harakat rejimini belgilashni tashkil etish;
• yangi bilimlarning darslik, ma'lumotnoma, lug'at va boshqalardagi qoida bilan bog'liqligi.
• qiyinchiliklarni bartaraf etishni tashkil etish.

4-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

- Faoliyatingizdan maqsadni ayting. (y \u003d kx funktsiyasining grafigi qanday joylashganligini aniqlash usulini toping 2 k koeffitsientiga qarab.)

- Dars mavzusini belgilang. (funktsiya y = kx 2 , uning xossalari va grafigi). slayd 6.

- Endi siz guruhlarda ishlaysiz: 8-slayd.

1, 2 guruh:

Syujet funktsiyalari y= 2X 2 , y = 4X 2 va bu funksiyalarning grafiklari qaysi koordinata choraklarida joylashganligini aniqlang. k koeffitsienti haqida xulosa chiqaring.

3, 4 guruh:

Syujet funktsiyalari y = - 2X 2 ,y = - 4X 2 va bu funksiyalarning grafiklari qaysi koordinata choraklarida joylashganligini aniqlang. k koeffitsienti haqida xulosa chiqaring.

Har bir guruhga karta beriladi. (Talabalar qiyinchilik tug'dirsa, darslik yoki ma'lumotnomadan foydalanishlari mumkin.)

- Algoritmning o'z versiyasini taqdim eting.

Guruhlarning har biri o'z versiyasini taqdim etadi, qolganlari to'ldiradi, aniqlaydi. Kelishuvdan so'ng qoida doskaga joylashtiriladi:

O'qituvchi qo'shimcha qiladi:

- Siz chizgan har bir chiziq parabola deb ataladi. Bunda (0;0) nuqta parabolaning uchi va o'qi deyiladi da parabolaning simmetriya o'qidir.
Parabola shoxlarining yuqoriga (pastga) "aspiratsiya tezligi", parabolaning "tiklik darajasi" k koeffitsientining qiymatiga bog'liq.
Endi nimani kashf qildingiz?
- Endi nima qilish kerak?

5. Tashqi nutqda birlamchi konsolidatsiya

Maqsad: bolalarning tashqi nutqda talaffuzi bilan yangi harakat uslubini o'zlashtirishni tashkil qilish.

5-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

- funksiyalar grafiklari qaysi koordinata choraklarida joylashgan da = 1/5X 2 , da = X 2 /2, da = – X 2 /2, da = 3X 2 ?

Topshiriq juftlikda bajariladi, bitta juftlik doskada ishlaydi.

6. Namuna bo'yicha o'z-o'zini tekshirish bilan mustaqil ish

Maqsadlar:

• yangi harakat uslubi uchun namunaviy topshiriqlarni talabalar tomonidan mustaqil bajarishni tashkil etish;
• mustaqil ish natijalariga ko'ra, xatolarni aniqlash va tuzatishni tashkil etish;
• mustaqil ish natijalariga asoslanib, muvaffaqiyat holatini yaratish.

6-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

Mustaqil ish uchun kartadagi vazifa taklif etiladi. slayd 9.

Shaklda. funksiyalarning grafiklari ko'rsatilgan da = kx 2 .

Har bir grafik uchun unga mos keladigan k koeffitsientining qiymatini ko'rsating.

Ishni bajarib bo'lgach, o'quvchilar uni namuna bo'yicha tekshiradilar: 10-slayd.

Topshiriqni bajarish uchun qanday qoidalardan foydalandingiz?
- Kimda qiyinchilik bor - koeffitsientning belgisini qanday aniqlash mumkin?
- k koeffitsientining qiymatini aniqlashda kim qiynaldi?
Kim to'g'ri ish qildi?

7. Bilimlar tizimiga kiritish va takrorlash

Maqsadlar:

• ilgari o'rganilgan material bilan birgalikda yangi mazmundan foydalanish ko'nikmalarini o'rgatish;
• Quyidagi darslarda talab qilinadigan o'quv mazmunini ko'rib chiqing:

7-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

GIA-9 dan topshiriq doskada bajariladi. Slaydlar 11-16.

- Bugun darsda ko‘p marta takrorlangan atamani aniqlang.(Grafik)

1. Bu funksiyalardan qaysi birining grafigi pastki yarim tekislikda joylashgan parabola?

3. y \u003d - 5x2 funksiya diapazonini toping

A) da = –15X 2 b) da = – 9X 2 V) da = – X 2 G) da = – 5X 2

c uh f va

5. y \u003d - 5x 2 funktsiyasini oshirish oraliqlarini ko'rsating

a) da X > 0 b) qachon X < 0 c) da X< 0 d) da X > 0

h O Va T

6. y \u003d - 5x 2 funksiyasining eng kichik qiymatini belgilang

a) 0 b) mavjud emas 5 da d) 5

s Kimga d V.

Fizika vazifalari: slayd 17.

Erkin tushishning birinchi t sekundida tananing bosib o'tgan yo'li quyidagi formula bilan hisoblanadi: H = gt 2/2, qaerda g\u003d 9,8 m / s 2. Grafikdan H ning bog'liqligini toping t:

A) yiqilgan toshning dastlabki 6 soniyada uchadigan masofasi;
B) tosh birinchi 250 m masofani uchib o'tish vaqti?

8. Darsda faoliyatni aks ettirish

Maqsadlar:

• darsda o'rganilayotgan yangi mazmunni mustahkamlashni tashkil etish;
• belgilangan maqsad va faoliyat natijalariga muvofiqlik darajasini aniqlashni tashkil etish;
• maqsadga erishish uchun qadamlarni og'zaki belgilashni tashkil qilish;
• darsdagi ishni tahlil qilish natijalariga ko'ra, kelgusi faoliyat uchun yo'nalishlarni belgilashni tashkil etish;
• darsda o'quvchilarning o'z-o'zini baholashini tashkil etish;
• muhokamani tashkil qilish va uy vazifasini yozib olish.

8-bosqichda o'quv jarayonini tashkil etish:

- Bugun nimani o'rgandingiz?
- Darsda qanday yangi narsalarni o'rgandingiz?
- O'z oldingizga qanday maqsadlarni qo'ydingiz?
- Maqsadlaringizga erishdingizmi?
- Qiyinchiliklarni engishga nima yordam berdi?
- Sinfdagi ishingizni ko'rib chiqing.

Talabalar aks ettirish kartalari bilan ishlaydilar (P).

Uy vazifasi: slayd 18.

• o'qilgan darslikning P.17-bandi
• №17.2,
• №17.3,
• №17.11.

Adabiyotlar ro'yxati:

1. A.G. Mordkovich. Algebra, 8-sinf. Ikki qismdan iborat. Ta'lim muassasalari talabalari uchun darslik. M.: Mnemozina. 2011 yil.
2. Internet resurslari.