Ta'rif.Qavariq ko'pburchak deyiladi
agar uning barcha yuzlari bo'lsa, to'g'ri
teng muntazam ko'pburchaklar va
uning har bir uchi bir xil yaqinlashadi
bir xil miqdordagi qovurg'alar. to'g'ri
faqat beshta ko'p yuzli bor: tetraedr,
oltitaedr, oktaedr, dodekaedr, ikosahedr.

Tetraedr
Oktaedr
Tetraedr - eng oddiy ko'pburchak, yuzlar
bu to'rtta uchburchak. Da
tetraedr 4 yuz, 4 cho'qqi va 6 qirrasi. tetraedr, u
ularning barcha yuzlari teng qirrali
uchburchaklar deyiladi
to'g'ri. To'g'ri qiling
tetraedr qirralarning barcha dihedral burchaklari va
Barcha uchburchak cho'qqi burchaklari tengdir.
Oktaedr - 8 ta uchburchak yuzi, 12 qirrasi, 6 tasi bor
cho'qqilar, har bir cho'qqida 4 ta chekka uchrashadi.

Oddiy ko'pburchaklarga misollar:

ikosaedr
Kub
Ikosaedr - muntazam qavariq
ko'pburchak, yigirma qirrali. 20 ning har biri
yuzlar
teng tomonli uchburchak. Kenarlarning soni
30, uchlari soni - 12. Ikosaedr bor
59 yulduz shakllari.
Kub muntazam ko'pburchak, har bir yuz
bu kvadrat. Cho'qqilar -
8, Qirralar - 12, Fasetlar - 6.

Oddiy ko'pburchaklarga misollar:

Dodekaedr
Dodekadr - dan tuzilgan
o'n ikki to'g'ri
unga tegishli beshburchaklar
yuzlar.
Dodekadrning har bir cho'qqisi
uch muntazamning uchi
beshburchaklar. Shunday qilib,
Dodekaedrning 12 ta yuzi bor
(beshburchak), 30 qovurg'a va 20
cho'qqilar (har birida 3 ta qirralar birlashadi).

Xarakteristikalar va formulalar:

Muntazam tetraedrning simmetriya elementlari:
Muntazam tetraedrning markazi yo'q
simmetriya. Ammo uning uchta o'qi bor
simmetriya va oltita tekislik
simmetriya.

Muntazam oktaedrning simmetriya elementlari:

Muntazam oktaedrning markazi bor
simmetriya - uning o'qlarining kesishish nuqtasi
simmetriya. 9 ta samolyotdan uchtasi
tetraedrning simmetriyalari o'tadi
yotadigan oktaedrning har 4 ta uchi
bitta samolyot. oltita samolyot
simmetriyalar ikkita cho'qqidan o'tadi,
bir xil yuzga tegishli emas, va
qarama-qarshi qovurg'alarning o'rta nuqtalari.

Muntazam ikosahedrning simmetriya elementlari:

Muntazam ikosahedrda 15 ta o‘q bor
simmetriyalar, ularning har biri o'tadi
qarama-qarshi tomonning o'rta nuqtalari orqali
parallel qovurg'alar. Kesishish nuqtasi
ikosahedrning barcha simmetriya o'qlari
uning simmetriya markazi. Samolyotlar
simmetriya ham 15. Samolyotlar
simmetriyalar to'rttadan o'tadi
bir tekislikda yotuvchi uchlari, va
qarama-qarshi parallel o'rta nuqtalar
qovurg'alar.

Kub simmetriya elementlari:

Kub bitta simmetriya markaziga ega -
uning diagonallarining kesishish nuqtasi ham
Simmetriya markazidan 9 ta o'q o'tadi
simmetriya. Kubning simmetriya tekisliklari
shuningdek 9 va ular o'tib ketadi
qarama-qarshi qovurg'alar.

Muntazam dodekaedrning simmetriya elementlari:

Muntazam dodekaedr markazga ega
simmetriya va 15 simmetriya o'qi. Har biri
o'qlardan o'rtadan o'tadi
qarama-qarshi parallel qirralar.
Dodekaedrda 15 ta samolyot bor
simmetriya. Har qanday samolyot
simmetriya har bir yuzda ishlaydi
yuqori va o'rta orqali
qarama-qarshi qovurg'a.

Barcha ma'lumotlar quyidagilardan olingan:

http://licey102.k26.ru/
http://math4school.ru
wikipedia.org
Geometriyadan 10-11-sinflar uchun darslik

Muntazam ko'p yuzlilarga eng qadimgi havolalardan biri Platonning (miloddan avvalgi) "Timaus" risolasida keltirilgan. Shuning uchun muntazam ko'pburchaklar Platonik qattiq jismlar deb ham ataladi (garchi ular Platondan ancha oldin ma'lum bo'lsa ham). Oddiy ko'pburchaklarning har biri va jami beshtasi bor. Platon to'rtta "yer" elementi bilan bog'liq: er (kub), suv (ikosahedr), olov (tetraedr), havo (oktaedr), shuningdek, "yersiz" element - osmon (dodekaedr).

Muntazam ko'pburchak yoki Platonik qattiq jism eng katta simmetriyaga ega bo'lgan qavariq ko'pburchakdir. Ko'pburchak muntazam deyiladi, agar: uning barcha yuzlari qavariq bo'lsa, uning har bir uchida bir xil muntazam ko'pburchaklar bo'lsa, yuzlar soni bir xil bo'lsa, uning barcha ikkiburchak burchaklari teng bo'lsa.

Biz oltitali (kub) va oktaedr bilan bog'liq qiziqarli faktni qayd etamiz. Kubning 6 ta yuzi, 12 ta qirrasi va 8 ta choʻqqisi boʻlsa, oktaedrning 8 ta yuzi, 12 ta tomoni va 6 ta choʻqqisi bor. Ya'ni, bir ko'pburchakning yuzlari soni ikkinchisining uchlari soniga teng va aksincha. Kub va olti burchakli bir-biriga ikkilik deyiladi. Bu, shuningdek, agar siz kubni olib, uning yuzlarining markazlarida uchlari bo'lgan ko'pburchak qursangiz, osongina ko'rib turganingizdek, siz oktaedrga ega bo'lishingizda namoyon bo'ladi. Buning teskarisi ham to'g'ri - oktaedr yuzlarining markazlari kubning uchlari bo'lib xizmat qiladi. Bu aynan oktaedr va kubning dualligi (rasm). Oddiy tetraedr yuzlarining markazlarini oladigan bo'lsak, yana oddiy tetraedrni olishimizni tushunish oson (rasm). Shunday qilib, tetraedr o'zi uchun dualdir.

Mashhur matematik va astronom Kepler muntazam ravishda yozilgan va tavsiflangan muntazam ko'pburchaklar va sharlar qatori sifatida quyosh tizimining modelini yaratdi. Kepler tomonidan olingan (muntazam ko'pburchaklar "talablari" ga muvofiq) sayyoralarni joylashtirish tartibi qanday? Saturn orbitasi sferasiga kub, Yupiter orbitasi sferasi esa unda yozilgan; tetraedr bu sferaga mos keladi, unga - Mars orbitasi sferasi; keyingi: dodekadr - Yer orbitasining sferasi - ikosahedr - Venera orbitasining sferasi - oktaedr - Merkuriy orbitasining sferasi.

Orqaga oldinga

Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot olish uchun mo'ljallangan va taqdimotning to'liq hajmini ko'rsatmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.

Dars maqsadlari:

• talabalarni muntazam ko'pburchak tushunchasi va muntazam ko'pburchaklarning besh turi bilan tanishtirish;
• yangi materialni o'rganishda kompyuter texnologiyalaridan foydalanish ko'nikmalarini shakllantirishga yordam berish
• mustaqil faoliyatni, taqqoslash, umumlashtirish qobiliyatini rivojlantirishga yordam berish.

Dars jihozlari:

• Multimedia proyektori, ekrani, kompyuterlari
• "Doimiy ko'p yuzli" taqdimoti
• Muntazam ko'p yuzli modellar
• Kartochkalar - "Yakunlangan chizmalar bo'yicha vazifalar" vazifalari - 1-ilova
• "Oddiy ko'pburchaklar" jadvali
• Tarqatma "Krossvord" - 2-ilova

Darslar davomida

1. Tashkiliy moment(5 daqiqa.)

Darsning maqsadini belgilash (mavzu xabari, darsning maqsadi va ish tartibi)
Muntazam ko'pburchaklar bo'limi tavsiflovchi xususiyatga ega, uni o'rganish uchun bitta dars ajratilgan. Muntazam ko'pburchaklar haqidagi material "Polyhedra" bo'limini sezilarli darajada to'ldiradi va mantiqiy ravishda to'ldiradi. Aslida, ko'p yuzlilarning tasnifi bu erda davom etadi; muntazamlar qavariq ko'pburchaklardan ajralib turadi.

2. Yangi materialni o'rganish(15 daqiqa.)

O‘qituvchi ishni shunday tashkil qilishi kerakki, yangi “muntazam ko‘pburchak” tushunchasi o‘quvchilarning muntazam prizmalar, piramidalar va muntazam ko‘pburchaklar haqidagi allaqachon shakllangan g‘oyalari asosida shakllantirilsin.
Faqat besh turdagi muntazam ko'p yuzlilarning mavjudligi dalilsiz xabar qilinadi. Bu teoremaning isboti tegishli fakultativ kursning darslarida ko'rib chiqilishi mumkin.

"Doimiy ko'p yuzli" taqdimoti

Taqdimot umumta’lim maktablarining 10-11-sinf o‘quvchilari va kasb-hunar ta’limi muassasalari o‘quvchilari uchun “Muntazam ko‘pburchaklar” mavzusida tayyorlandi. Materialda muntazam ko'pburchaklar, ularning xususiyatlari, xususiyatlari haqida tarixiy ma'lumotlar mavjud. Ko'pburchaklar mavjud bo'lgan atrofdagi dunyodan misollar keltirilgan. Taqdimotdan geometriya darslarida, tanlov kurslarida, shuningdek, matematikadan sinfdan tashqari ishlarda foydalanish mumkin.

Darsda taqdimotdan foydalanish vaqtni tejash, materialni o'rganishni yanada qiziqarli, rang-barang va g'ayrioddiy qilish imkonini beradi.

Slaydlar 2, 3- Muntazam ko'pburchakning ta'rifi kiritiladi va o'quvchilar ta'rifni o'zlashtirishni o'z-o'zini nazorat qiladi.
"Doimiy ko'pburchaklar juda kam, - L.Kerroll bir marta yozgan edi: - ammo soni juda kamtar bo'lgan bu otryad turli fanlarning chuqurligiga kirishga muvaffaq bo'ldi.

Slaydlar 4-9- Muntazam ko'pburchaklarning faqat beshta turi mavjudligi haqida xabar berilgan va har bir ko'pburchak uchun uning chizmasi, uch o'lchovli tasviri, sirt rivojlanishi va asosiy xususiyatlari keltirilgan.
Qadim zamonlardan beri ko'pburchaklar o'zining go'zalligi, mukammalligi va uyg'unligi bilan odamlarning e'tiborini tortdi.

Slayd 10- Tarixiy ma'lumotnoma - Platon va muntazam polihedralar tarixidan ma'lumot.

slayd 11– Muntazam ko‘pburchaklar elementlari, elementlar orasidagi bog‘liqlik. Eyler teoremasi.

15-slayd- Leonhard Eyler

Muntazam ko'pburchaklarga alohida qiziqish ularning shakllarining go'zalligi va mukammalligi bilan bog'liq. Ular tabiatda juda keng tarqalgan.

Slaydlar 12, 13– Tabiatda, xususan, kristallografiyada muntazam ko‘pburchaklar.

Slayd 14- Xulosa va uy vazifasi
Yangi materialni o'rganib chiqqandan so'ng, materialning o'zlashtirilishi ko'pburchakning simli ramka va planar modellari va "Doimiy ko'pburchaklar" jadvali yordamida tekshiriladi. Shundan so`ng o`quvchilar tayyor chizmalarga ko`ra masalalar yecha boshlaydilar.

3. Muammoni hal qilish(17 daqiqa) - 1-ilova

№1. Chegi 10 sm bo'lgan muntazam tetraedrning balandligini toping.

Berilgan: ABCD oddiy tetraedr,
AB = 10 sm

Toping: tetraedrning balandligi

Yechim.

1) AF o'rtacha DAAB, shuning uchun BF = ______

2) DABF dan _______ teoremasiga asosan AF ni topamiz

AF 2 = AB 2 - BF 2

3) O AF segmentini 2: 1 nisbatda ajratadi, shuning uchun AO \u003d _____________________

4) Pifagor teoremasi bo‘yicha DADO dan DO ni topamiz

DO2 = ____________
DO = ____________

Javob: ______sm

№ 2. Yechim rejasi yordamida muammoni hal qiling

Kristal oktaedr shakliga ega bo'lib, umumiy asosli ikkita oddiy piramidadan iborat, piramida asosining cheti 6 sm. Oktaedrning balandligi 14 sm. Kristalning lateral sirtini toping. .

Yechim.

1) Sside = 2 Spir = p ∙ SK (bu yerda SK - apotema, p - ABCD yarim perimetri)

2) OK ni toping _________________________

3) SO ni toping ____________________________
______________________________________

4) SK ni toping ____________________________
______________________________________

5) Tomonni hisoblang ______________________
______________________________________

№3. Kubning qarama-qarshi yuzlarining ikkita parallel bo'lmagan diagonallarining uchlari tetraedrning uchlari ekanligini isbotlang.

4. Qo'shimcha vazifa.

Krossvord (juftlikda ishlash) 2-ilova
Sinf yoki talabalar guruhining tayyorgarlik darajasiga qarab siz ularni taklif qilishingiz mumkin qo'shimcha vazifa krossvord shaklida. Agar sinf yoki guruhning matematik qobiliyatlari past bo'lsa, keyingi darsda avval o'rganilgan materialni takrorlash sifatida hal qilish uchun krossvord taklif qilinishi mumkin.

5. Darsning xulosasi(5 daqiqa.)

Darsning natijasi dars oxirida talabalar bilan nafaqat belgilangan maqsadlarni amalga oshirish muvaffaqiyati, balki ularga nima yoqdi (yoqmadi) va nima uchun shaxsan unga nima foydali bo'lganligi haqida muhokama qilishni nazarda tutadi. u nimani takrorlashni xohlaydi, kelajakdagi ishda nimani o'zgartirish kerak.

6. Uyga vazifa(3 min.)

Muntazam ko'pburchaklar (muntazam tetraedr, kub, oktaedr) yuzalarini skanerlash.
Savollarga javob bering № 30, 31 243-bet, Pogorelov A. V. "Geometriya 10-11"
57-son 249-bet, 70-son 248-bet masalalarni yeching

Uy vazifasi muammolarni hal qilish va oddiy ko'pburchaklar va modellarni qurishni o'z ichiga oladi. Talabalarning o'zlari ko'rib chiqilayotgan ko'pburchaklardan qaysi birini bajarishlarini o'zlari tanlaydilar (siz sinf yoki guruhni oddiy ko'pburchaklar turlari soniga ko'ra beshta guruhga "bo'lishingiz" mumkin va har bir guruhga oddiy ko'pburchaklardan faqat bittasini qilishni taklif qilishingiz mumkin).

slayd 2

Kirish. Tarixiy ma'lumotnoma. Tetraedr. Kub (olti burchakli). Oktaedr. Dodekaedr. Ikosaedr. O'zingizni tekshiring. Manbalar.

slayd 3

Kirish.

Qavariq ko'pburchak muntazam deyiladi, agar uning yuzlari bir xil miqdordagi tomonlari bo'lgan muntazam ko'pburchaklar bo'lsa va ko'pburchakning har bir cho'qqisida bir xil miqdordagi qirralari yaqinlashsa. Muntazam qavariq koʻp yuzlilarning besh turi mavjud: tetraedr, kub, oktaedr, dodekaedr, ikosahedr.

slayd 4

TARIXIY MA'LUMOT.

Ko'p yuzlilarning barcha turlari qadimgi Yunonistonda ma'lum bo'lgan. Evklid elementlarining XIII kitobi bu go'zal jismlarga bag'ishlangan. Ularni Platonning qattiq jismlari ham deyiladi. Ular dunyoning idealistik rasmida muhim o'rin egalladi. Ulardan to'rttasi undagi to'rtta "mohiyat" yoki "element" ni ifodalaydi: tetraedr - olov, ikosahedr - suv, kub - yer, oktaedr - havo. Dodekaedr "mavjud hamma narsani" o'zida mujassam etgan, butun dunyoqarashni ramziy qilgan va eng muhimi sifatida hurmatga sazovor bo'lgan.

slayd 5

TETRAHEDRON.

"Tetraedr" yunon tilidan so'zma-so'z tarjimada "tetraedr" degan ma'noni anglatadi. Muntazam tetraedrning yuzlari bor - muntazam uchburchaklar; har bir tepada uchta qirrasi birlashadi. Tetraedr - barcha qirralari teng bo'lgan uchburchak piramida.

slayd 6

GEKSAHEDR.

"Heksahedr" yunoncha "olti yuzli" degan ma'noni anglatadi. Kubda barcha yuzlar kvadratdir; har bir tepada uchta qirrasi birlashadi. Kub teng qirrali to'rtburchaklar parallelepipeddir.

Slayd 7

OKTAEDRON.

"Oktaedr" yunoncha "oktaedr" degan ma'noni anglatadi. Oktaedr yuzlari muntazam uchburchaklardir, lekin tetraedrdan farqli o'laroq, uning har bir uchida to'rtta qirrasi birlashadi.

Slayd 8

DODEKAEDRON.

"Dodekaedr" yunoncha "dodekaedr" degan ma'noni anglatadi. Dodekaedrning yuzlari muntazam beshburchaklardir. Har bir tepada uchta qirra birlashadi.

Slayd 9

ICOSAHEDRON.

"Ikosaedr" yunoncha "yigirma qirrali" degan ma'noni anglatadi. Ikosaedr yuzlari muntazam uchburchaklardir, lekin tetraedr va oktaedrdan farqli o'laroq, har bir tepada beshta qirrasi birlashadi.

slayd 1

slayd 2

FOSOSDA SIMMETRIYA “Simmetriya – insonning tartib, go‘zallik va mukammallikni anglash va yaratishga harakat qilgan g‘oyasi” (G.Vayl) Simmetriya (“mutanosiblik”) har qanday transformatsiyalar jarayonida namoyon bo‘ladigan moslik, o‘zgarmaslik (o‘zgarmaslik)dir. Demak, masalan, jismning sferik simmetriyasi, agar u bir nuqtani joyida ushlab, ixtiyoriy burchaklar orqali fazoda aylantirilsa, jismning ko‘rinishi o‘zgarmasligini bildiradi. Lenardo Da Vinchining "Vitruviya odami" (1490, Venetsiya)

slayd 3

FOSOSDA SIMMETRIYA A va A1 nuqtalar O nuqtaga (simmetriya markazi) nisbatan simmetrik deyiladi, agar O AA1 segmentining o'rta nuqtasi bo'lsa. O nuqtasi o'ziga simmetrik hisoblanadi. A A1

slayd 4

FAOSDA SIMMETRIYA A va A1 nuqtalar to'g'ri chiziqqa (simmetriya o'qi) nisbatan simmetrik deyiladi, agar to'g'ri chiziq AA1 segmentining o'rtasidan o'tib, shu segmentga perpendikulyar bo'lsa. a chiziqning har bir nuqtasi o'ziga simmetrik hisoblanadi. A1

slayd 5

FOSOSDA SIMMETRIYA A va A1 nuqtalar tekislikka (simmetriya tekisligiga) nisbatan simmetrik deyiladi, agar bu tekislik AA1 segmentining o'rtasidan o'tib, shu segmentga perpendikulyar bo'lsa. Tekislikning har bir nuqtasi o'ziga simmetrik hisoblanadi.

slayd 6

FOSOLDA SIMMETRIYA Nuqta (chiziq, tekislik) figuraning har bir nuqtasi unga nisbatan bir xil figuraning qaysidir nuqtasiga simmetrik bo`lsa, figuraning simmetriya markazi (o`qi, tekisligi) deyiladi. Agar figuraning simmetriya markazi (o'qi, tekisligi) bo'lsa, unda ular markaziy (eksenel, oyna) simmetriyaga ega deb aytishadi.

Slayd 7

Tekislik figuralari simmetriyasiga misollar Paralelogramma faqat markaziy simmetriyaga ega. Uning simmetriya markazi diagonallarning kesishish nuqtasidir.Teng yon tomonli trapetsiya faqat eksenel simmetriyaga ega. Uning simmetriya o'qi trapetsiya asoslarining o'rta nuqtalari orqali o'tkaziladigan perpendikulyardir.Romb markaziy va eksenel simmetriyaga ega. Uning simmetriya o'qi diagonallarining har qandayidir; simmetriya markazi - ularning kesishish nuqtasi

Slayd 8

Muntazam ko'pburchaklar - 5 ta PLATON JASASI Hatto eng uzoq galaktikaning aholisi ham bizga noma'lum bo'lgan muntazam qavariq ko'pburchak shakliga ega bo'lgan zarlarni o'ynay olmaydi. M. Gardner Qavariq ko'pburchak, agar uning barcha yuzlari teng muntazam ko'pburchaklar bo'lsa va uning har bir uchida bir xil miqdordagi qirralari yaqinlashsa, muntazam deyiladi. Bundan tashqari, oddiy ko'pburchakning barcha qirralari, umumiy qirrali ikkita yuzni o'z ichiga olgan barcha ikki burchakli burchaklar tengdir. n > yoki = 6 uchun yuzlari n-gon bo'lgan muntazam ko'pburchak yo'q!

Slayd 9

REGULAR TETRAEDER To'rtta teng tomonli uchburchakdan tashkil topgan. Uning har bir cho'qqisi uchta uchburchakning cho'qqisidir. Har bir cho'qqidagi tekislik burchaklarining yig'indisi aniq 180 ° ga teng. Simmetriya elementlari: tetraedrning simmetriya markazi yo'q, lekin 3 simmetriya o'qi va 6 simmetriya tekisligiga ega. S umumiy ovoz balandligi cho'qqilari - 4 ta yuz - 6 ta chekka - 4

slayd 10

CUBE Olti kvadratdan iborat. Kubning har bir tepasi uchta kvadratning cho'qqisidir. Har bir cho'qqidagi tekislik burchaklarining yig'indisi aniq 270 ° ga teng. 6 ta yuz, 8 ta cho'qqi va 12 qirra Simmetriya elementlari: Kub simmetriya markaziga ega - kub markazi, 9 o'qi va simmetriya tekisliklari R opis. env. S to'liq r mos env

slayd 11

Muntazam OKTAEDR Sakkizta teng yonli uchburchakdan tashkil topgan. Oktaedrning har bir cho'qqisi to'rtta uchburchakning cho'qqisidir. Har bir cho'qqidagi tekislik burchaklarining yig'indisi 240 ° ga teng. Simmetriya elementlari: Oktaedr simmetriya markaziga ega - oktaedrning markazi, 9 simmetriya o'qi va 9 simmetriya tekisligi 8 yuzi 6 ta cho'qqisi 12 qirralari