3.1. Ecuații canonice ale dreptei.

Să fie dată o dreaptă în sistemul de coordonate Oxyz care trece prin punct

(vezi fig. 18) Să notăm prin
un vector paralel cu o dreaptă dată. Vector numit vector de direcție al unei linii drepte. Să luăm un punct pe o linie dreaptă
și luați în considerare vectorul Vectori
sunt coliniare, prin urmare coordonatele lor corespunzătoare sunt proporționale:

(3.3.1 )

Aceste ecuații se numesc ecuații canonice Drept.

Exemplu: Scrieți ecuațiile dreptei care trece prin punctul M(1, 2, –1) paralel cu vectorul

Soluţie: Vector este vectorul de direcție al dreptei dorite. Aplicând formulele (3.1.1), obținem:

Acestea sunt ecuațiile canonice ale dreptei.

Cometariu: Trecerea la zero a unuia dintre numitori înseamnă trecerea la zero a numărătorului corespunzător, adică y – 2 = 0; y = 2. Această dreaptă se află în planul y = 2, paralel cu planul Oxz.

3.2. Ecuații parametrice ale unei linii drepte.

Fie ca linia dreaptă să fie dată de ecuațiile canonice

Să notăm
Apoi
Valoarea t se numește parametru și poate lua orice valoare:
.

Să exprimăm x, y și z în termeni de t:

(3.2.1 )

Ecuațiile rezultate se numesc ecuații parametrice ale unei linii drepte.

Exemplul 1: Alcătuiți ecuații parametrice ale unei drepte care trece prin punctul M (1, 2, –1) paralel cu vectorul

Soluţie: Ecuațiile canonice ale acestei linii sunt obținute în exemplul paragrafului 3.1:

Pentru a găsi ecuațiile parametrice ale unei linii drepte, aplicăm derivarea formulelor (3.2.1):

Asa de,
- ecuaţii parametrice ale unei linii date.

Răspuns:

Exemplul 2. Scrieți ecuații parametrice pentru o dreaptă care trece prin punctul M (–1, 0, 1) paralel cu vectorul
unde A (2, 1, –1), B (–1, 3, 2).

Soluţie: Vector
este vectorul de direcție al dreptei dorite.

Să găsim vectorul
.

= (–3; 2; 3). Folosind formulele (3.2.1), notăm ecuațiile dreptei:

sunt ecuațiile parametrice necesare ale dreptei.

3.3. Ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date.

O singură linie dreaptă trece prin două puncte date în spațiu (vezi Fig. 20). Să se acorde puncte. Vector
poate fi luat ca vector de direcție al acestei linii. Apoi ecuațiile pot fi găsite direct acestea conform formulelor (3.1.1):
).

(3.3.1)

Exemplul 1. Alcătuiți ecuații canonice și parametrice ale unei drepte care trece prin puncte

Soluţie: Aplicam formula (3.3.1)

Am obținut ecuațiile canonice ale dreptei. Pentru a obține ecuații parametrice, aplicăm derivarea formulelor (3.2.1). Primim

sunt ecuații parametrice ale unei linii drepte.

Exemplul 2. Alcătuiți ecuații canonice și parametrice ale unei drepte care trece prin puncte

Soluţie: Folosind formulele (3.3.1) obținem:

Acestea sunt ecuații canonice.

Să trecem la ecuațiile parametrice:

- ecuaţii parametrice.

Linia dreaptă rezultată este paralelă cu axa oz (vezi Fig. 21).

Să fie date două planuri în spațiu

Dacă aceste planuri nu coincid și nu sunt paralele, atunci se intersectează în linie dreaptă:

Acest sistem de două ecuații liniare definește o dreaptă drept linia de intersecție a două plane. Din ecuațiile (3.4.1) se poate trece la ecuații canonice (3.1.1) sau ecuații parametrice (3.2.1). Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți un punct
întins pe o linie dreaptă, iar vectorul direcție Coordonatele punctului
obţinem din sistemul (3.4.1), dând uneia dintre coordonate o valoare arbitrară (de exemplu, z = 0). În spatele vectorului ghid puteți lua produsul vectorial al vectorilor, adică

Exemplul 1. Compuneți ecuațiile canonice ale dreptei

Soluţie: Fie z = 0. Să rezolvăm sistemul

Adăugând aceste ecuații, obținem: 3x + 6 = 0
x = –2. Înlocuiți valoarea găsită x = –2 în prima ecuație a sistemului și obțineți: –2 + y + 1 = 0
y = 1.

Deci, punct
se află pe linia dorită.

Pentru a găsi vectorul de direcție al unei drepte, notăm vectorii normali ai planelor: și găsim produsul vectorial al acestora:

Găsim ecuațiile dreptei folosind formulele (3.1.1):

Răspuns:
.

Altă cale: Ecuațiile canonice și parametrice ale dreptei (3.4.1) pot fi obținute cu ușurință prin găsirea a două puncte diferite pe dreapta din sistem (3.4.1), apoi aplicând formulele (3.3.1) și derivarea formulelor (3.2). .1).

Exemplul 2. Alcătuiți ecuații canonice și parametrice ale dreptei

Soluţie: Fie y = 0. Atunci sistemul va lua forma:

Adunând ecuațiile, obținem: 2x + 4 = 0; x = –2. Înlocuiți x = –2 în a doua ecuație a sistemului și obțineți: –2 –z +1 = 0
z = –1. Deci, am găsit ideea

Pentru a găsi al doilea punct, să stabilim x = 0. Vom avea:

Acesta este

Am obținut ecuațiile canonice ale dreptei.

Să compunem ecuațiile parametrice ale dreptei:

Răspuns:
;
.

3.5. Poziția relativă a două linii în spațiu.

Lasă drept
sunt date de ecuațiile:

:
;
:

.

Unghiul dintre aceste linii este înțeles ca unghiul dintre vectorii lor de direcție (vezi Fig. 22). Acest unghi găsim folosind o formulă din algebră vectorială:
sau

(3.5.1)

Dacă drept
perpendicular (
),Acea
Prin urmare,

Aceasta este condiția perpendicularității a două drepte în spațiu.

Dacă drept
paralel (
), atunci vectorii lor de direcție sunt coliniari (
), acesta este

(3.5.3 )

Aceasta este condiția paralelismului a două drepte în spațiu.

Exemplul 1. Găsiți unghiul dintre liniile drepte:

A).
Și

b).
Și

Soluţie: A). Să notăm vectorul direcție al dreptei
Să găsim vectorul direcție
avioane incluse în sistem.Atunci găsim produsul lor vectorial:

(vezi exemplul 1 din clauza 3.4).

Folosind formula (3.5.1) obținem:

Prin urmare,

b). Să notăm vectorii de direcție ai acestor drepte: Vectori
sunt coliniare deoarece coordonatele lor corespunzătoare sunt proporționale:

Deci e drept
paralel (
), acesta este

Răspuns: A).
b).

Exemplul 2. Demonstrați perpendicularitatea dreptelor:

Și

Soluţie: Să notăm vectorul direcție al primei drepte

Să găsim vectorul direcție a doua linie dreaptă. Pentru a face acest lucru, găsim vectori normali
avioane incluse în sistem: Să calculăm produsul lor vectorial:

(A se vedea exemplul 1 al paragrafului 3.4).

Să aplicăm condiția de perpendicularitate a dreptelor (3.5.2):

Condiția este îndeplinită; prin urmare, liniile sunt perpendiculare (
).

Cum se scrie ecuațiile unei linii drepte în spațiu?

Ecuațiile unei linii drepte în spațiu

Similar cu o linie „plată”, există mai multe moduri prin care putem defini o linie în spațiu. Să începem cu canoanele - punctul și vectorul de direcție al dreptei:

Dacă un anumit punct din spațiu aparținând unei linii și vectorul de direcție al acestei linii sunt cunoscute, atunci ecuațiile canonice ale acestei drepte sunt exprimate prin formulele:

Notația de mai sus presupune că coordonatele vectorului de direcție nu este egal cu zero. Ne vom uita la ce să facem dacă una sau două coordonate sunt zero puțin mai târziu.

La fel ca in articol Ecuația plană, pentru simplitate vom presupune că în toate problemele lecției, acțiunile se desfășoară într-o bază ortonormală de spațiu.

Exemplul 1

Alcătuiți ecuații canonice ale unei drepte date un punct și un vector de direcție

Soluţie: Compunem ecuațiile canonice ale dreptei folosind formula:

Răspuns:

Și nu este o idee... deși, nu, nu este deloc o idee.

Ce ar trebui să rețineți despre acest exemplu foarte simplu? În primul rând, ecuațiile rezultate NU trebuie reduse cu una: . Pentru a fi mai precis, este posibil să o scurtați, dar doare neobișnuit de ochi și creează neplăceri la rezolvarea problemelor.

Și în al doilea rând, în geometria analitică două lucruri sunt inevitabile - verificarea și testarea:

Pentru orice eventualitate, ne uităm la numitorii ecuațiilor și verificăm - este corect acolo sunt scrise coordonatele vectorului de direcție. Nu, nu te gândi la asta, nu avem o lecție la grădinița Brake. Acest sfat este foarte important deoarece vă permite să eliminați complet greșelile accidentale. Nimeni nu este asigurat, ce se întâmplă dacă l-au copiat incorect? Va fi distins cu Premiul Darwin pentru Geometrie.

Se obțin egalitățile corecte, ceea ce înseamnă că coordonatele punctului satisfac ecuațiile noastre, iar punctul în sine aparține cu adevărat acestei drepte.

Testul este foarte ușor (și rapid!) de efectuat pe cale orală.

Într-un număr de probleme este necesar să se găsească un alt punct aparținând unei linii date. Cum să o facă?

Luăm ecuațiile rezultate iar mental „ciupiți”, de exemplu, piesa din stânga: . Acum să echivalăm această piesă la orice număr(amintiți-vă că era deja un zero), de exemplu, la unu: . Deoarece , atunci și celelalte două „piese” ar trebui să fie egale cu una. În esență, trebuie să rezolvați sistemul:

Să verificăm dacă punctul găsit satisface ecuațiile :

Se obțin egalitățile corecte, ceea ce înseamnă că punctul se află într-adevăr pe linia dată.

Să facem desenul într-un sistem de coordonate dreptunghiular. În același timp, să ne amintim cum să trasăm corect punctele în spațiu:

Să construim un punct:
– de la originea coordonatelor în direcția negativă a axei trasăm un segment al primei coordonate (linie punctată verde);
– a doua coordonată este zero, deci nu ne „înclinăm” din axă nici la stânga, nici la dreapta;
– în conformitate cu a treia coordonată, măsurați trei unități în sus (linia punctată violetă).

Construiește un punct: măsoară două unități „spre tine” (linie punctată galbenă), o unitate la dreapta (linie punctată albastră) și două unități în jos (linie punctată maro). Linia punctată maro și punctul însuși sunt suprapuse pe axa de coordonate, rețineți că ele se află în semi-spațiul inferior și ÎN FAȚA axei.

Linia dreaptă în sine trece deasupra axei și, dacă ochiul nu mă cade, deasupra axei. Nu eșuează, m-am convins analitic. Dacă linia dreaptă trecea ÎN SPATELE axei, atunci ar trebui să ștergeți cu o gumă o bucată din linie deasupra și sub punctul de trecere.

O linie dreaptă are un număr infinit de vectori de direcție, de exemplu:
(sageata rosie)

Rezultatul a fost exact vectorul original, dar acesta a fost pur și simplu un accident, așa am ales punctul. Toți vectorii de direcție ai unei linii drepte sunt coliniari, iar coordonatele lor corespunzătoare sunt proporționale (pentru mai multe detalii, vezi Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorilor). Deci, vectori vor fi, de asemenea, vectori de direcție ai acestei linii.

Informații suplimentare despre crearea desenelor tridimensionale pe hârtie în carouri pot fi găsite la începutul manualului Grafice și proprietăți ale funcțiilor. Într-un caiet, căile punctate multicolore către puncte (vezi desenul) sunt de obicei desenate subțiri cu un simplu creion folosind aceeași linie punctată.

Să ne ocupăm de cazuri speciale când una sau două coordonate ale vectorului direcție sunt zero. Totodată, continuăm pregătirea vederii spațiale, care a început la începutul lecției. Ecuația plană. Și din nou vă voi spune povestea regelui gol - voi desena un sistem de coordonate gol și vă voi convinge că există linii spațiale acolo =)

Este mai ușor să enumerați toate cele șase cazuri:

1) Pentru un punct și un vector de direcție, ecuațiile canonice ale dreptei se împart în trei individual ecuații: .

Sau pe scurt:

Exemplul 2: să creăm ecuații ale unei linii drepte folosind un punct și un vector de direcție:

Ce fel de linie este aceasta? Vectorul direcție al dreptei este coliniar cu vectorul unitar, ceea ce înseamnă că această linie dreaptă va fi paralelă cu axa. Ecuațiile canonice trebuie înțelese după cum urmează:
a) – „y” și „z” permanent, sunt egale numere specifice;
b) variabila „x” poate lua orice valoare: (în practică, această ecuație de obicei nu este scrisă).

În special, ecuațiile definesc axa în sine. Într-adevăr, „x” capătă orice valoare, iar „y” și „z” sunt întotdeauna egale cu zero.

Ecuațiile luate în considerare pot fi interpretate în alt mod: să ne uităm, de exemplu, la notația analitică a axei absciselor: . La urma urmei, acestea sunt ecuații a două plane! Ecuația specifică planul de coordonate, iar ecuația specifică planul de coordonate. Gândești corect - aceste planuri de coordonate se intersectează de-a lungul axei. Vom lua în considerare metoda când o linie dreaptă în spațiu este definită de intersecția a două plane chiar la sfârșitul lecției.

Doua cazuri similare:

2) Ecuațiile canonice ale unei drepte care trece printr-un punct paralel cu vectorul sunt exprimate prin formule.

Astfel de linii drepte vor fi paralele cu axa de coordonate. În special, ecuațiile specifică însăși axa de coordonate.

3) Ecuațiile canonice ale unei drepte care trece printr-un punct paralel cu vectorul sunt exprimate prin formule.

Aceste linii drepte sunt paralele cu axa de coordonate, iar ecuațiile definesc axa aplicată în sine.

Să-i punem pe al doilea trei în taraba:

4) Pentru un punct și un vector de direcție, ecuațiile canonice ale dreptei se descompun în proporție și ecuația plană .

Exemplul 3: să compunem ecuațiile unei drepte folosind un punct și un vector de direcție.

Lăsa l- o linie dreaptă a spațiului. Ca și în planimetrie, orice vector

A =/= 0, linie coliniară l, numit vector ghid această linie dreaptă.

Poziția dreptei în spațiu este complet determinată prin specificarea vectorului de direcție și a punctului care aparține dreptei.

Să fie drept l cu vector ghid A trece prin punctul M 0, iar M este un punct arbitrar în spațiu. Evident, punctul M (Fig. 197) aparține dreptei l dacă și numai dacă vectorul \(\overrightarrow(M_0 M)\) este coliniar cu vectorul A , adică

\(\overrightarrow(M_0 M)\) = t A , t\(\în\) R. (1)

Dacă punctele M și M 0 sunt specificate de vectorii lor cu rază r Și r 0 (Fig. 198) relativ la un punct O din spațiu, apoi \(\overrightarrow(M_0 M)\) = r - r 0 , iar ecuația (1) ia forma

r = r 0 + t A , t\(\în\) R. (2)

Se numesc ecuațiile (1) și (2). ecuații vector-parametrice ale unei linii drepte. Variabil tîn ecuaţiile vector-parametrice linia dreaptă se numeşte parametru.

Fie punctul M 0 o dreaptă l iar vectorul de direcție a este dat de coordonatele lor:

M 0 ( X 0 ; la 0 , z 0), A = (A 1 ; A 2 ; A 3).

Atunci dacă ( X; y; z) - coordonatele unui punct arbitrar M al unei drepte l, Acea

\(\overrightarrow(M_0 M) \) = ( x - x 0 ; y - y 0 ; Z Z 0)

iar ecuația vectorială (1) este echivalentă cu următoarele trei ecuații:

x - x 0 = tа 1 , y - y 0 = tа 2 , Z Z 0 = tа 3

$$ \begin(cases) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end(cases) (3)$$

Ecuațiile (3) se numesc ecuații parametrice ale dreptei in spatiu.

Sarcina 1. Scrieți ecuații parametrice pentru o dreaptă care trece printr-un punct

M0 (-3; 2; 4) şi având un vector de direcţie A = (2; -5; 3).

În acest caz X 0 = -3, la 0 = 2, z 0 = 4; A 1 = 2; A 2 = -5; A 3 = 3. Înlocuind aceste valori în formulele (3), obținem ecuațiile parametrice ale acestei linii

$$ \begin(cases) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, ​​​​\;\;t\in R\end(cases) $$

Să excludem parametrul t din ecuațiile (3). Acest lucru se poate face pentru că A =/= 0 și, prin urmare, una dintre coordonatele vectoriale A este evident diferit de zero.

Să fie mai întâi toate coordonatele diferite de zero. Apoi

$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$

prin urmare

$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$

Aceste ecuații se numesc ecuații canonice ale dreptei .

Rețineți că ecuațiile (4) formează un sistem de două ecuații cu trei variabile X yȘi z.

Dacă în ecuaţiile (3) una dintre coordonatele vectoriale A , De exemplu A 1 este egal cu zero, apoi prin eliminarea parametrului t, obținem din nou un sistem de două ecuații cu trei variabile X yȘi z:

\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Aceste ecuații sunt numite și ecuații de linii canonice. Pentru uniformitate, ele sunt scrise convențional și sub forma (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

presupunând că dacă numitorul este zero, atunci și numărătorul corespunzător este zero. Aceste ecuații sunt ecuațiile unei drepte care trece prin punctul M 0 ( X 0 ; la 0 , z 0) paralel cu planul de coordonate yOz, deoarece vectorul său de direcție (0; A 2 ; A 3).

În fine, dacă în ecuațiile (3) există două coordonate vectoriale A , De exemplu A 1 și A 2 sunt egale cu zero, atunci aceste ecuații iau forma

X = X 0 , y = la 0 , z = z 0 + t A 3 , t\(\în\) R.

Acestea sunt ecuațiile unei drepte care trece prin punctul M 0 ( X 0 ; la 0 ; z 0) paralel cu axa Oz. Pentru o astfel de linie dreaptă X = X 0 , y = la 0, a z- orice număr. Și în acest caz, pentru uniformitate, ecuația dreptei se poate scrie (cu aceeași rezervă) sub forma (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

Astfel, pentru orice linie din spațiu se pot scrie ecuații canonice (4) și, invers, orice ecuație de forma (4) cu condiția ca cel puțin unul dintre coeficienți A 1 , A 2 , A 3 nu este egal cu zero, definește o linie dreaptă în spațiu.

Sarcina 2. Scrieți ecuațiile canonice ale unei drepte care trece prin punctul M 0 (- 1; 1, 7) paralel cu vectorul A = (1; 2; 3).

Ecuațiile (4) în acest caz sunt scrise după cum urmează:

\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)

Să derivăm ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte date M 1 ( X 1 ; la 1 ; z 1) și

M2( X 2 ; la 2 ; z 2). Evident, putem lua vectorul A = (X 2 - X 1 ; la 2 - la 1 ; z 2 - z 1), și dincolo de punctul M 0 prin care trece o dreaptă, de exemplu, punctul M 1. Atunci ecuațiile (4) se vor scrie după cum urmează:

\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)

Acestea sunt ecuațiile unei drepte care trece prin două puncte M 1 ( X 1 ; la 1 ; z 1) și

M2( X 2 ; la 2 ;z 2).

Sarcina 3. Scrieți ecuațiile unei drepte care trece prin punctele M 1 (-4; 1; -3) și M 2 (-5; 0; 3).

În acest caz X 1 = -4, la 1 = 1, z 1 = -3, X 2 = -5, la 2 = 0, z 2 = 3. Înlocuind aceste valori în formulele (5), obținem

\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)

Sarcina 4. Scrieți ecuațiile dreptei care trece prin punctele M 1 (3; -2; 1) și

M2 (5; -2; 1/2).

După înlocuirea coordonatelor punctelor M 1 și M 2 în ecuațiile (5), obținem

\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)

Ecuații canonice ale dreptei

Formularea problemei. Găsiți ecuațiile canonice ale unei drepte date ca linie de intersecție a două plane (ecuații generale)

Plan de rezolvare. Ecuații canonice ale unei drepte cu un vector de direcție trecând printr-un punct dat , au forma

. (1)

Prin urmare, pentru a scrie ecuațiile canonice ale unei linii, este necesar să găsim vectorul de direcție al acesteia și un punct de pe linie.

1. Deoarece linia dreaptă aparține ambelor plane simultan, vectorul ei de direcție este ortogonal cu vectorii normali ai ambelor plane, adică. conform definiției unui produs vectorial, avem

. (2)

2. Selectați un punct de pe linie. Deoarece vectorul de direcție al dreptei nu este paralel cu cel puțin unul dintre planurile de coordonate, linia dreaptă intersectează acest plan de coordonate. În consecință, punctul de intersecție cu acest plan de coordonate poate fi luat ca punct pe o dreaptă.

3. Înlocuiți coordonatele găsite ale vectorului de ghidare și punctați în ecuațiile canonice ale dreptei (1).

Cometariu. Dacă produsul vectorial (2) este egal cu zero, atunci planurile nu se intersectează (paralele) și nu se pot scrie ecuațiile canonice ale dreptei.

Problema 12. Scrieți ecuațiile canonice ale dreptei.

Ecuații canonice ale dreptei:

,

Unde - coordonatele oricărui punct de pe o dreaptă, este vectorul său de direcție.

Să găsim un punct pe linie. Să fie atunci

Prin urmare, – coordonatele unui punct aparținând unei drepte.

Să ne uităm la soluția exemplu.

Exemplu.

Găsiți coordonatele oricărui punct pe o dreaptă definită în spațiu prin ecuațiile a două plane care se intersectează .

Soluţie.

Să rescriem sistemul de ecuații în forma următoare

Ca bază minoră a matricei principale a sistemului, luăm un minor non-zero de ordinul doi , adică z este o variabilă necunoscută liberă. Să mutăm termenii care conțin z în partea dreaptă a ecuațiilor: .

Să acceptăm , unde este un număr real arbitrar, atunci .

Să rezolvăm sistemul de ecuații rezultat:

Astfel, soluția generală a sistemului de ecuații are forma , unde .

Dacă luăm o anumită valoare a parametrului , atunci obținem o anumită soluție a sistemului de ecuații, care ne oferă coordonatele dorite ale unui punct situat pe o dreaptă dată. Să o luăm atunci , prin urmare, este punctul dorit al dreptei.

Puteți verifica coordonatele găsite ale unui punct substituindu-le în ecuațiile originale ale două plane care se intersectează:

Răspuns:

Vectorul direcție al dreptei de-a lungul căreia două plane se intersectează.

Într-un sistem de coordonate dreptunghiulare, vectorul de direcție al dreptei este inseparabil de o linie dreaptă. Când linia dreaptă a într-un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiul tridimensional este dată de ecuațiile a două plane care se intersectează și , atunci coordonatele vectorului de direcție al dreptei nu sunt vizibile. Acum vom arăta cum să le determinăm.

Știm că o dreaptă este perpendiculară pe un plan atunci când este perpendiculară pe orice dreaptă situată în acel plan. Atunci vectorul normal al unui plan este perpendicular pe orice vector diferit de zero situat în acest plan. Vom folosi aceste fapte pentru a găsi vectorul direcție al dreptei.

Linia dreaptă a se află atât în ​​plan, cât și în plan. Prin urmare, vectorul direcție al dreptei a este perpendicular pe vectorul normal plan și vector normal avion Astfel, vectorul direcție al dreptei a este Și :

Mulțimea tuturor vectorilor de direcție ai unei linii drepte și o putem defini ca , unde este un parametru care poate lua orice valoare reală, alta decât zero.

Exemplu.

Găsiți coordonatele oricărui vector de direcție al unei linii drepte, care este specificat în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiul tridimensional prin ecuațiile a două plane care se intersectează .

Soluţie.

Vectorii normali ai planelor sunt vectorii Și respectiv. Vectorul de direcție al unei drepte, care este intersecția a două plane date, este produsul vectorial al vectorilor normali:

Răspuns:

Trecerea la ecuațiile parametrice și canonice ale unei linii drepte în spațiu.

Există cazuri în care utilizarea ecuațiilor a două plane care se intersectează pentru a descrie o dreaptă nu este complet convenabilă. Unele probleme sunt mai ușor de rezolvat dacă sunt cunoscute ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu: sau ecuații parametrice ale unei linii în spațiul formei , unde x 1 , y 1 , z 1 sunt coordonatele unui anumit punct de pe linie, a x , a y , a z sunt coordonatele vectorului de direcție al dreptei și este un parametru care ia valori reale arbitrare. Să descriem procesul de tranziție de la ecuațiile liniare de forma la ecuațiile canonice și parametrice ale unei linii drepte în spațiu.

În paragrafele anterioare, am învățat să găsim coordonatele unui anumit punct pe o dreaptă, precum și coordonatele unui anumit vector de direcție al unei linii, care este dat de ecuațiile a două plane care se intersectează. Aceste date sunt suficiente pentru a scrie atât ecuațiile canonice, cât și cele parametrice ale acestei linii într-un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu.

Să luăm în considerare soluția exemplului, iar după aceea vom arăta o altă modalitate de a găsi ecuațiile canonice și parametrice ale unei linii în spațiu.

Exemplu.

Soluţie.

Să calculăm mai întâi coordonatele vectorului de direcție al dreptei. Pentru a face acest lucru, găsim produsul vectorial al vectorilor normali Și avioane Și :

Acesta este, .

Acum să determinăm coordonatele unui anumit punct pe o dreaptă dată. Pentru a face acest lucru, vom găsi una dintre soluțiile sistemului de ecuații .

Determinant este diferit de zero, să-l luăm ca bază minoră a matricei principale a sistemului. Atunci variabila z este liberă, transferăm termenii cu ea în partea dreaptă a ecuațiilor și dăm variabilei z o valoare arbitrară:

Rezolvăm sistemul de ecuații rezultat folosind metoda Cramer:

Prin urmare,

Acceptăm și obținem coordonatele punctului de pe linie: .

Acum putem scrie ecuațiile canonice și parametrice necesare ale liniei originale în spațiu:

Răspuns:

Și

Iată a doua modalitate de a rezolva această problemă.

Când găsim coordonatele unui anumit punct pe o dreaptă, rezolvăm sistemul de ecuații . În general, soluțiile sale pot fi scrise sub formă .

Și acestea sunt exact ecuațiile parametrice necesare ale unei linii drepte în spațiu. Dacă fiecare dintre ecuațiile rezultate este rezolvată în raport cu un parametru și apoi părțile din dreapta ale egalităților sunt egalate, atunci obținem ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu

Să arătăm soluția la problema anterioară folosind această metodă.

Exemplu.

O linie dreaptă în spațiul tridimensional este definită de ecuațiile a două plane care se intersectează . Scrieți ecuații canonice și parametrice pentru această dreaptă.

Soluţie.

Rezolvăm acest sistem de două ecuații cu trei necunoscute (soluția este dată în exemplul anterior, nu o vom repeta). În acest caz obținem . Acestea sunt ecuațiile parametrice dorite ale unei linii drepte în spațiu.

Rămâne să obținem ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu:

Ecuațiile rezultate din linii drepte sunt diferite din exterior de ecuațiile obținute în exemplul anterior, dar sunt echivalente, deoarece definesc același set de puncte în spațiul tridimensional (și deci aceeași linie dreaptă).

Răspuns:

Și

Bibliografie.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematică superioară. Volumul unu: elemente de algebră liniară și geometrie analitică.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometrie analitică.