Sa luam in considerare sistem de ecuații algebrice liniare(SLAU) relativ n necunoscut X 1 , X 2 , ..., X n :

Acest sistem într-o formă „restrânsă” poate fi scris după cum urmează:

S n i=1 A ij X j = b i , i=1,2, ..., n.

În conformitate cu regula înmulțirii matricei, sistemul de ecuații liniare considerat poate fi scris în formă matriceală Ax=b, Unde

Matrice A, ale căror coloane sunt coeficienții pentru necunoscutele corespunzătoare, iar rândurile sunt coeficienții pentru necunoscutele din ecuația corespunzătoare se numește matricea sistemului. Matricea coloanei b, ale cărui elemente sunt părțile din dreapta ale ecuațiilor sistemului, se numește matrice din partea dreaptă sau pur și simplu partea dreaptă a sistemului. Matricea coloanei X , ale cărui elemente sunt necunoscutele necunoscute, se numește soluție de sistem.

Un sistem de ecuații algebrice liniare scrise sub forma Ax=b, este ecuația matriceală.

Dacă matricea sistemului nedegenerat, atunci are o matrice inversă și atunci soluția sistemului este Ax=b este dat de formula:

x=A -1 b.

Exemplu Rezolvați sistemul metoda matricei.

Soluţie să găsim matricea inversă pentru matricea coeficienților sistemului

Să calculăm determinantul prin extinderea de-a lungul primei linii:

Deoarece Δ ≠ 0 , Acea A -1 există.

Matricea inversă a fost găsită corect.

Să găsim o soluție la sistem

Prin urmare, X 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Examinare:

7. Teorema Kronecker-Capelli privind compatibilitatea unui sistem de ecuații algebrice liniare.

Sistem de ecuații liniare are forma:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Aici sunt date a i j și b i (i = ; j = ), iar x j sunt numere reale necunoscute. Folosind conceptul de produs al matricelor, putem rescrie sistemul (5.1) sub forma:

unde A = (a i j) este o matrice formată din coeficienți pentru necunoscutele sistemului (5.1), care se numește matricea sistemului, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T sunt vectori coloană alcătuiți respectiv din necunoscute x j și termeni liberi b i .

Colectare comandată n numerele reale (c 1, c 2,..., c n) se numesc soluție de sistem(5.1), dacă în urma înlocuirii acestor numere în locul variabilelor corespunzătoare x 1, x 2,..., x n, fiecare ecuație a sistemului se transformă într-o identitate aritmetică; cu alte cuvinte, dacă există un vector C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T astfel încât AC  B.

Sistemul (5.1) este numit comun, sau rezolvabil, daca are cel putin o solutie. Sistemul este numit incompatibil, sau de nerezolvat, daca nu are solutii.

,

format prin atribuirea unei coloane de termeni liberi în partea dreaptă a matricei A se numește matricea extinsă a sistemului.

Problema compatibilității sistemului (5.1) se rezolvă prin următoarea teoremă.

Teorema Kronecker-Capelli . Un sistem de ecuații liniare este consistent dacă și numai dacă rândurile matricelor A șiA coincid, adică. r(A) = r(A) = r.

Pentru mulțimea M de soluții ale sistemului (5.1) există trei posibilități:

1) M =  (în acest caz sistemul este inconsecvent);

2) M constă dintr-un element, adică sistemul are o soluție unică (în acest caz sistemul este numit anumit);

3) M este format din mai mult de un element (atunci sistemul este numit incert). În al treilea caz, sistemul (5.1) are un număr infinit de soluții.

Sistemul are o soluție unică numai dacă r(A) = n. În acest caz, numărul de ecuații nu este mai mic decât numărul de necunoscute (mn); dacă m>n, atunci m-n ecuații sunt consecințe ale celorlalte. Daca 0

Pentru a rezolva un sistem arbitrar de ecuații liniare, trebuie să fiți capabil să rezolvați sisteme în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute - așa-numitele Sisteme de tip Cramer:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Sistemele (5.3) se rezolvă în una din următoarele moduri: 1) metoda Gauss, sau metoda eliminării necunoscutelor; 2) după formulele lui Cramer; 3) metoda matricei.

Exemplul 2.12. Explorează sistemul de ecuații și rezolvă-l dacă este consecvent:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Soluţie. Scriem matricea extinsă a sistemului:

 .

Să calculăm rangul matricei principale a sistemului. Este evident că, de exemplu, minorul de ordinul doi din colțul din stânga sus = 7  0; minorii de ordinul trei care îl conțin sunt egali cu zero:

În consecință, rangul matricei principale a sistemului este 2, adică. r(A) = 2. Pentru a calcula rangul matricei extinse A, se consideră minorul limită

aceasta înseamnă că rangul matricei extinse r(A) = 3. Deoarece r(A)  r(A), sistemul este inconsecvent.

În prima parte, am analizat ceva material teoretic, metoda substituției, precum și metoda adunării termen cu termen a ecuațiilor de sistem. Recomand tuturor celor care au accesat site-ul prin această pagină să citească prima parte. Poate că unii vizitatori vor găsi materialul prea simplu, dar în procesul de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare, am făcut o serie de comentarii și concluzii foarte importante cu privire la rezolvarea problemelor matematice în general.

Acum vom analiza regula lui Cramer, precum și rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind o matrice inversă (metoda matricei). Toate materialele sunt prezentate simplu, detaliat și clar; aproape toți cititorii vor putea învăța cum să rezolve sisteme folosind metodele de mai sus.

În primul rând, vom arunca o privire mai atentă la regula lui Cramer pentru un sistem de două ecuații liniare în două necunoscute. Pentru ce? – La urma urmei, cel mai simplu sistem poate fi rezolvat folosind metoda școlii, metoda adunării trimestriale!

Faptul este că, deși uneori, apare o astfel de sarcină - pentru a rezolva un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute folosind formulele lui Cramer. În al doilea rând, un exemplu mai simplu vă va ajuta să înțelegeți cum să utilizați regula lui Cramer pentru un caz mai complex - un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute.

În plus, există sisteme de ecuații liniare cu două variabile, care este recomandabil să le rezolve folosind regula lui Cramer!

Luați în considerare sistemul de ecuații

La primul pas, calculăm determinantul, se numește determinant principal al sistemului.

metoda Gauss.

Dacă , atunci sistemul are o soluție unică, iar pentru a găsi rădăcinile trebuie să calculăm încă doi determinanți:
Și

În practică, calificativele de mai sus pot fi notate și printr-o literă latină.

Găsim rădăcinile ecuației folosind formulele:
,

Exemplul 7

Rezolvați un sistem de ecuații liniare

Soluţie: Vedem că coeficienții ecuației sunt destul de mari; în partea dreaptă sunt fracții zecimale cu virgulă. Virgula este un invitat destul de rar în sarcinile practice la matematică; am luat acest sistem dintr-o problemă econometrică.

Cum se rezolvă un astfel de sistem? Puteți încerca să exprimați o variabilă în termenii alteia, dar în acest caz veți ajunge probabil cu fracții fanteziste teribile, cu care sunt extrem de incomod de lucrat, iar designul soluției va arăta pur și simplu groaznic. Puteți înmulți a doua ecuație cu 6 și scădeți termen cu termen, dar aceleași fracții vor apărea și aici.

Ce să fac? În astfel de cazuri, formulele lui Cramer vin în ajutor.

;

;

Răspuns: ,

Ambele rădăcini au cozi infinite și se găsesc aproximativ, ceea ce este destul de acceptabil (și chiar banal) pentru problemele de econometrie.

Comentariile nu sunt necesare aici, deoarece sarcina este rezolvată folosind formule gata făcute, cu toate acestea, există o avertizare. Când utilizați această metodă, obligatoriu Un fragment al designului sarcinii este următorul fragment: „Aceasta înseamnă că sistemul are o soluție unică”. În caz contrar, recenzentul vă poate pedepsi pentru lipsa de respect față de teorema lui Cramer.

Nu ar fi de prisos să verificăm, ceea ce poate fi efectuat în mod convenabil pe un calculator: înlocuim valorile aproximative în partea stângă a fiecărei ecuații a sistemului. Ca rezultat, cu o mică eroare, ar trebui să obțineți numere care sunt în partea dreaptă.

Exemplul 8

Prezentați răspunsul în fracții improprii obișnuite. Faceți o verificare.

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (un exemplu de design final și răspunsul de la sfârșitul lecției).

Să trecem la considerarea lui Cramer pentru un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:

Găsim principalul determinant al sistemului:

Dacă , atunci sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent (nu are soluții). În acest caz, regula lui Cramer nu va ajuta; trebuie să utilizați metoda Gauss.

Dacă , atunci sistemul are o soluție unică și pentru a găsi rădăcinile trebuie să calculăm încă trei determinanți:
, ,

Și în sfârșit, răspunsul este calculat folosind formulele:

După cum puteți vedea, cazul „trei câte trei” nu este în mod fundamental diferit de cazul „două câte doi”; coloana de termeni liberi „se plimbă” secvenţial de la stânga la dreapta de-a lungul coloanelor determinantului principal.

Exemplul 9

Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer.

Soluţie: Să rezolvăm sistemul folosind formulele lui Cramer.

, ceea ce înseamnă că sistemul are o soluție unică.

Răspuns: .

De fapt, iar aici nu este nimic special de comentat, din cauza faptului că soluția urmează formule gata făcute. Dar există câteva comentarii.

Se întâmplă ca în urma calculelor să se obțină fracții ireductibile „rele”, de exemplu: .
Recomand următorul algoritm de „tratament”. Dacă nu aveți un computer la îndemână, procedați astfel:

1) Poate exista o eroare în calcule. De îndată ce întâlniți o fracțiune „rea”, trebuie să verificați imediat Condiția este rescrisă corect?. Dacă condiția este rescrisă fără erori, atunci trebuie să recalculați determinanții folosind expansiunea într-un alt rând (coloană).

2) Dacă nu sunt identificate erori ca urmare a verificării, atunci cel mai probabil a existat o greșeală de tipar în condițiile sarcinii. În acest caz, lucrați cu calm și CU ATENȚIE la sarcina până la capăt și apoi asigurați-vă că verificațiși o întocmim pe o foaie curată după decizie. Desigur, verificarea unui răspuns fracționat este o sarcină neplăcută, dar va fi un argument dezarmant pentru profesor, căruia îi place foarte mult să dea un minus pentru orice prostie de genul . Modul de manipulare a fracțiilor este descris în detaliu în răspunsul la Exemplul 8.

Dacă aveți un computer la îndemână, atunci utilizați un program automat pentru a verifica, care poate fi descărcat gratuit chiar la începutul lecției. Apropo, cel mai profitabil este să utilizați programul imediat (chiar înainte de a începe soluția); veți vedea imediat pasul intermediar în care ați greșit! Același calculator calculează automat soluția sistemului folosind metoda matricei.

A doua remarcă. Din când în când există sisteme din ecuațiile cărora lipsesc unele variabile, de exemplu:

Aici în prima ecuație nu există variabilă, în a doua nu există variabilă. În astfel de cazuri, este foarte important să scrieți corect și CU ATENȚIE principalul determinant:
– zerourile sunt plasate în locul variabilelor lipsă.
Apropo, este rațional să deschideți determinanții cu zerouri în funcție de rândul (coloana) în care se află zero, deoarece există considerabil mai puține calcule.

Exemplul 10

Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (o mostră din proiectul final și răspunsul de la sfârșitul lecției).

Pentru cazul unui sistem de 4 ecuații cu 4 necunoscute, formulele lui Cramer sunt scrise după principii similare. Puteți vedea un exemplu viu în lecția Proprietățile determinanților. Reducerea ordinului determinantului - cinci determinanți de ordinul 4 sunt destul de rezolvabili. Deși sarcina amintește deja foarte mult de pantoful unui profesor pe pieptul unui student norocos.

Rezolvarea sistemului folosind o matrice inversă

Metoda matricei inverse este în esență un caz special ecuația matriceală(Vezi Exemplul nr. 3 al lecției specificate).

Pentru a studia această secțiune, trebuie să fiți capabil să extindeți determinanții, să găsiți inversul unei matrice și să efectuați înmulțirea matricei. Link-urile relevante vor fi furnizate pe măsură ce explicațiile progresează.

Exemplul 11

Rezolvați sistemul folosind metoda matricei

Soluţie: Să scriem sistemul sub formă de matrice:
, Unde

Vă rugăm să priviți sistemul de ecuații și matrice. Cred că toată lumea înțelege principiul prin care scriem elementele în matrice. Singurul comentariu: dacă unele variabile ar lipsi din ecuații, atunci ar trebui plasate zerouri în locurile corespunzătoare din matrice.

Găsim matricea inversă folosind formula:
, unde este matricea transpusă a complementelor algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

Mai întâi, să ne uităm la determinant:

Aici determinantul este extins pe prima linie.

Atenţie! Dacă , atunci matricea inversă nu există și este imposibil să se rezolve sistemul folosind metoda matricei. În acest caz, sistemul se rezolvă prin metoda eliminării necunoscutelor (metoda Gauss).

Acum trebuie să calculăm 9 minori și să le scriem în matricea minorilor

Referinţă: Este util să cunoaștem semnificația indicelor duble în algebra liniară. Prima cifră este numărul liniei în care se află elementul. A doua cifră este numărul coloanei în care se află elementul:

Adică, un indice dublu indică faptul că elementul este în primul rând, a treia coloană și, de exemplu, elementul este în 3 rânduri, 2 coloană

Să ni se dea un sistem de ecuații liniare cu necunoscut:

Vom presupune că matricea principală nedegenerat. Apoi, prin teorema 3.1, există o matrice inversă
Înmulțirea ecuației matriceale
la matrice
în stânga, folosind definiția 3.2, precum și afirmația 8) din teorema 1.1, obținem formula pe care se bazează metoda matriceală de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare:

Cometariu. Rețineți că metoda matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, spre deosebire de metoda Gauss, are o aplicație limitată: această metodă poate rezolva numai sisteme de ecuații liniare în care, în primul rând, numărul de necunoscute este egal cu numărul de ecuații și în al doilea rând, matricea principală este nesingulară.

Exemplu. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda matricei.

Este dat un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute
Unde

Matricea principală a sistemului de ecuații este nesingulară, deoarece determinantul său este diferit de zero:

Matrice inversă
Să compunem folosind una dintre metodele descrise în paragraful 3.

Folosind formula metodei matriceale pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, obținem

5.3. Metoda Cramer

Această metodă, ca și metoda matricei, este aplicabilă numai pentru sistemele de ecuații liniare în care numărul de necunoscute coincide cu numărul de ecuații. Metoda lui Cramer se bazează pe teorema cu același nume:

Teorema 5.2. Sistem ecuații liniare cu necunoscut

a cărei matrice principală este nesingulară, are o soluție unică care poate fi obținută folosind formulele

Unde
determinant al unei matrice derivate din matricea de bază sistem de ecuații prin înlocuirea acestuia
a-a coloană cu o coloană de membri liberi.

Exemplu. Să găsim soluția sistemului de ecuații liniare considerat în exemplul anterior folosind metoda lui Cramer. Matricea principală a sistemului de ecuații este nedegenerată, deoarece
Să calculăm determinanții

Folosind formulele prezentate în teorema 5.2, calculăm valorile necunoscutelor:

6. Studiul sistemelor de ecuaţii liniare.

Soluție de bază

A studia un sistem de ecuații liniare înseamnă a determina dacă acest sistem este compatibil sau incompatibil și dacă este compatibil, a afla dacă acest sistem este definit sau nedefinit.

Condiția de compatibilitate pentru un sistem de ecuații liniare este dată de următoarea teoremă

Teorema 6.1 (Kronecker–Capelli).

Un sistem de ecuații liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei principale a sistemului este egal cu rangul matricei sale extinse:

Pentru un sistem simultan de ecuații liniare, problema definiției sau incertitudinii sale este rezolvată folosind următoarele teoreme.

Teorema 6.2. Dacă rangul matricei principale a unui sistem comun este egal cu numărul de necunoscute, atunci sistemul este definit

Teorema 6.3. Dacă rangul matricei principale a unui sistem comun este mai mic decât numărul de necunoscute, atunci sistemul este incert.

Astfel, din teoremele formulate rezultă o metodă de studiere a sistemelor de ecuații algebrice liniare. Lăsa n– numărul de necunoscute,

Apoi:

Definiție 6.1. Soluția de bază a unui sistem nedefinit de ecuații liniare este o soluție în care toate necunoscutele libere sunt egale cu zero.

Exemplu. Explorează un sistem de ecuații liniare. Dacă sistemul este incert, găsiți soluția de bază.

Să calculăm rangurile principale și matrici extinse a acestui sistem de ecuații, pentru care aducem matricea extinsă (și în același timp principală) a sistemului într-o formă treptat:

Adăugați al doilea rând al matricei la primul său rând, înmulțit cu a treia linie - cu prima linie înmulțită cu
iar a patra linie - cu prima, înmulțită cu obținem o matrice

La al treilea rând al acestei matrice adăugăm al doilea rând înmulțit cu
iar la a patra linie – prima, înmulțită cu
Ca rezultat, obținem matricea

eliminând al treilea și al patrulea rând din care obținem o matrice de pași

Prin urmare,

In consecinta, acest sistem de ecuatii liniare este consistent, iar din moment ce valoarea rangului este mai mica decat numarul de necunoscute, sistemul este incert.Matricea pasilor obtinuta ca urmare a transformarilor elementare corespunde sistemului de ecuatii.

Necunoscut Și sunt principalele, iar necunoscutele Și
gratuit. Atribuind valori zero necunoscutelor libere, obținem o soluție de bază a acestui sistem de ecuații liniare.

Să fie o matrice pătrată de ordinul al n-lea

Se numește matricea A -1 matrice inversăîn raport cu matricea A, dacă A*A -1 = E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea.

Matrice de identitate- o astfel de matrice pătrată în care toate elementele de-a lungul diagonalei principale, care trec din colțul din stânga sus în colțul din dreapta jos, sunt unul, iar restul sunt zerouri, de exemplu:

matrice inversă poate exista numai pentru matrice pătrată acestea. pentru acele matrici în care numărul de rânduri și coloane coincide.

Teorema pentru condiția de existență a unei matrici inverse

Pentru ca o matrice să aibă o matrice inversă, este necesar și suficient ca aceasta să fie nesingulară.

Se numește matricea A = (A1, A2,...A n). nedegenerat, dacă vectorii coloanei sunt liniar independenți. Numărul de vectori coloană liniar independenți ai unei matrice se numește rangul matricei. Prin urmare, putem spune că pentru ca o matrice inversă să existe, este necesar și suficient ca rangul matricei să fie egal cu dimensiunea acesteia, adică. r = n.

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Scrieți matricea A în tabelul pentru rezolvarea sistemelor de ecuații folosind metoda Gaussiană și atribuiți-i matricea E din dreapta (în loc de părțile din dreapta ale ecuațiilor).
2. Folosind transformările Jordan, reduceți matricea A la o matrice formată din coloane de unitate; în acest caz, este necesară transformarea simultană a matricei E.
3. Dacă este necesar, rearanjați rândurile (ecuațiile) ultimului tabel astfel încât sub matricea A a tabelului original să obțineți matricea de identitate E.
4. Notați matricea inversă A -1, care se află în ultimul tabel sub matricea E a tabelului original.

Pentru matricea A, găsiți matricea inversă A -1

Rezolvare: Scriem matricea A si atribuim in dreapta matricei de identitate E. Folosind transformarile Jordan, reducem matricea A la matricea de identitate E. Calculele sunt date in Tabelul 31.1.

Să verificăm corectitudinea calculelor înmulțind matricea originală A și matricea inversă A -1.

Ca rezultat al înmulțirii matricei s-a obținut matricea de identitate. Prin urmare, calculele au fost făcute corect.

Răspuns:

Rezolvarea ecuațiilor matriceale

Ecuațiile matriceale pot arăta astfel:

AX = B, HA = B, AXB = C,

unde A, B, C sunt matricele specificate, X este matricea dorită.

Ecuațiile matriceale se rezolvă prin înmulțirea ecuației cu matrici inverse.

De exemplu, pentru a găsi matricea din ecuație, trebuie să înmulțiți această ecuație cu din stânga.

Prin urmare, pentru a găsi o soluție la ecuație, trebuie să găsiți matricea inversă și să o înmulțiți cu matricea din partea dreaptă a ecuației.

Alte ecuații se rezolvă în mod similar.

Rezolvați ecuația AX = B dacă

Soluţie: Deoarece matricea inversă este egală cu (vezi exemplul 1)

Metoda matriceală în analiza economică

Alături de altele, sunt și ele folosite metode matriceale. Aceste metode se bazează pe algebră liniară și vector-matrice. Astfel de metode sunt utilizate în scopul analizării fenomenelor economice complexe și multidimensionale. Cel mai adesea, aceste metode sunt utilizate atunci când este necesar să se facă o evaluare comparativă a funcționării organizațiilor și a diviziunilor lor structurale.

În procesul de aplicare a metodelor de analiză matriceală se pot distinge mai multe etape.

La prima etapă se formează un sistem de indicatori economici și pe baza acestuia este compilată o matrice de date inițiale, care este un tabel în care numerele sistemului sunt afișate în rândurile sale individuale (i = 1,2,....,n), iar în coloane verticale - numere de indicatori (j = 1,2,....,m).

La a doua etapă Pentru fiecare coloană verticală, este identificată cea mai mare dintre valorile indicatorului disponibile, care este luată ca una.

După aceasta, toate sumele reflectate în această coloană sunt împărțite la cea mai mare valoare și se formează o matrice de coeficienți standardizați.

La a treia etapă toate componentele matricei sunt la pătrat. Dacă au semnificații diferite, atunci fiecărui indicator matrice i se atribuie un anumit coeficient de greutate k. Valoarea acestuia din urmă este determinată de opinia expertului.

Pe ultimul, a patra etapă au găsit valori de rating R j sunt grupate în ordinea creșterii sau scăderii lor.

Metodele matricei prezentate ar trebui utilizate, de exemplu, într-o analiză comparativă a diferitelor proiecte de investiții, precum și în evaluarea altor indicatori economici ai activităților organizațiilor.

Metoda matricei inverse nu este dificil dacă cunoașteți principiile generale de lucru cu ecuații matriceale și, desigur, știți să efectuați operații algebrice elementare.

Rezolvarea unui sistem de ecuații folosind metoda matricei inverse. Exemplu.

Cel mai convenabil mod de a înțelege metoda matricei inverse este cu un exemplu clar. Să luăm un sistem de ecuații:

Primul pas pentru a rezolva acest sistem de ecuații este găsirea determinantului. Prin urmare, să transformăm sistemul nostru de ecuații în următoarea matrice:

Și găsim determinantul necesar:

Formula utilizată pentru rezolvarea ecuațiilor matriceale este următoarea:

Astfel, pentru a calcula X, trebuie să determinăm valoarea matricei A-1 și să o înmulțim cu b. O altă formulă ne va ajuta cu asta:

La în acest caz va fi matrice transpusă- adică același original, dar scris nu pe rânduri, ci pe coloane.

Nu ar trebui să uităm asta metoda matricei inverse, ca și metoda lui Cramer, este potrivită numai pentru sistemele în care determinantul este mai mare sau mai mic decât zero. Dacă determinantul este egal cu zero, trebuie să utilizați metoda Gaussiană.

Următorul pas este alcătuirea unei matrice de minori, care este următoarea schemă:

Ca rezultat, am primit trei matrice - minore, adunări algebrice și o matrice transpusă de adunări algebrice. Acum puteți trece la compilarea efectivă a matricei inverse. Cunoaștem deja formula. Pentru exemplul nostru, va arăta așa.