Obrazovni:

Razvijanje sposobnosti rješavanja kombinatornih zadataka metodom iscrpnog nabrajanja opcija;

Razvijanje sposobnosti primjene matematičke teorije u specifičnim situacijama;

Upoznavanje učenika s elementima humanističkih znanosti vezanih uz matematiku.

Razvijanje sposobnosti samostalnog odabira načina rješavanja i sposobnosti obrazloženja izbora;

Razvijanje sposobnosti rješavanja problema samo logičkim zaključivanjem;

Razvijanje sposobnosti izbora racionalne metode kodiranja;

Razvoj komunikacijskih i kreativnih sposobnosti učenika.

Poticati osjećaj odgovornosti za kvalitetu i rezultate obavljenog rada; Usaditi svjestan stav prema radu;

Stvorite odgovornost za konačni rezultat.

interaktivna ploča; brošure (pruge u boji: bijela, plava, crvena); kartice sa zadacima.

Organiziranje vremena. Učenje novog gradiva. Praktični dio. Odraz Obilježava Domaća zadaća

Organiziranje vremena.

Aktualizacija teme i motivacija.

50 rubalja, 100 rubalja, 50 rubalja, 100 rubalja; 50 rubalja, 50 rubalja, 100 rubalja, 100 rubalja (slajd br. 2 i br. 3).

Učenje novog gradiva .

Kombinatorika je grana matematike posvećena rješavanju problema odabira i rasporeda zadanih elemenata prema zadanim pravilima

Uobičajeno pitanje u kombinatornim problemima je " Na koliko načina ...?" ili

« Koliko opcija …?»

Oznaka rješenja

Opcije BSK, BKS, SBK, SKB, KBS, KSB.

Odgovor: 6 opcija.

Ispostavilo se da ne samo ruska zastava ima ove tri boje. Postoje države čije zastave imaju iste boje.

KBS - Luksemburg,

Nizozemska.

Francuska SKB

Učitelj, nastavnik, profesor: Pronađimo pravilo za rješavanje takvih problema logičkim zaključivanjem.

Pogledajmo primjer pruga u boji. Uzmimo bijelu prugu - može se presložiti 3 puta, uzmimo plavu prugu - može se preurediti samo 2 puta, jer jedno od mjesta već je zauzeto bijelom prugom, uzmite crvenu prugu - može se postaviti samo jednom.

UKUPNO: 3 x 2 x 1=6

Osnovno pravilo rada :

Pravilo množenja: ako se prvi element u kombinaciji može izabrati na a načina, nakon čega se drugi element može izabrati na b načina, tada će ukupan broj kombinacija biti jednak a x b . (slajd br. 8)

Vježba za oči. (slajd br. 9)

Vježba "Oblici".

Nacrtajte kvadrat, krug, trokut, oval, romb očima u smjeru kazaljke na satu, a zatim suprotno.

Praktični dio

Učitelj, nastavnik, profesor: Sada prijeđimo na matematičke probleme. (dijelimo kartice sa zadacima)

Jedan prilično poznati mušketir u svom ormaru ima 3 elegantna šešira, 4 prekrasna ogrtača i 2 para odličnih čizama. Koliko opcija kostima može stvoriti? (Odaberemo jedan element iz tri skupa, odnosno napravimo „trojku“, što znači da prema pravilu množenja dobijemo 3 4 2 = 24 opcije kostima.)

U nogometnom timu je 11 ljudi. Potrebno je odabrati kapetana i njegovog zamjenika. Na koliko načina se to može učiniti? (Ukupno je 11 ljudi, što znači da se kapetan može birati na 11 načina, ostalo je 10 igrača među kojima se može birati zamjenik kapetana. Dakle, par kapetan i njegov zamjenik mogu se birati na 11 10 = 110 načine.)

Koliko se različitih dvoznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 4, 7 ako se brojevi ponavljaju? (Trebali biste dobiti dvoznamenkasti broj - samo dvije pozicije. Na prvoj poziciji možete staviti bilo koji od predloženih brojeva - 3 mogućnosti izbora, na drugoj poziciji, uzimajući u obzir mogućnost ponavljanja broja, također postoje 3 mogućnosti izbora.To znači da par brojeva sastavljamo na 3 3 = 9 načina, odnosno dobijete 9 brojeva.

Koliko se različitih troznamenkastih brojeva može sastaviti od znamenki 1, 2, 3, 4, 5 s tim da se nijedna znamenka ne ponavlja? (Troznamenkasti broj: prva pozicija - 5 opcija za brojeve, druga pozicija, uzimajući u obzir isključenje ponavljanja brojeva - 4 opcije, treća pozicija - 3 opcije. Dobivamo 5 4 3 = 60 brojeva.)

Koliko se različitih dvoznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 0, 1, 2, 3 ako se brojevi: a) mogu ponavljati; b) ne može se ponoviti? (a) Dvoznamenkasti broj, kao ni svaki višeznamenkasti broj, ne može započeti s 0, stoga na prvo mjesto možete staviti samo 3 od raspoložive 4 znamenke, 3 izbora, na drugo mjesto, uzimajući u obzir ponavljanje , možete staviti bilo koju od znamenki - 4 opcije za odabir. Prema tome, ispada 3 4 = 12 brojeva; b) Prva pozicija – 3 opcije, druga pozicija – 3 opcije, jer ponavljanje je isključeno. Dobivamo 3 3 = 9 brojeva.)

Sef kod se sastoji od pet različitih brojeva. Koliko različitih opcija za stvaranje šifre? (5 4 3 2 1 = 120 opcija.) Na koliko načina 6 ljudi može sjediti za stolom sa 6 pribora za jelo? (6 5 4 3 2 1 = 720 načina.)

6 uređaja?(6 5 4 3 2 1 = 720 načina.)

(8 7 6 5 4 = 6720 opcija.)

(Brojevi koji se koriste su 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - ukupno 10 znamenki, isključujući prema konvenciji 0 i 9 na početku broja, uzimajući u obzir mogućnost ponavljanja, dobivamo 8 10 10 10 · 10 · 10 · 10 = 8 000 000 brojeva.)

Odraz

Učitelj, nastavnik, profesor: Dečki, naša lekcija se bliži kraju. Mislite li da smo danas postigli cilj, zašto? Što je bilo teško u lekciji, kako se možete nositi s tim? Razmisli i daj sebi ocjenu za svoj rad i rad, stavi je sam, nitko od momaka neće vidjeti ovu ocjenu, pokušaj biti iskren prema sebi. Jeste li u potpunosti sudjelovali u lekciji? Što je potrebno učiniti za bolje rezultate?

Osim toga, od učenika se traži da odgovore na 3 brza pitanja:

U današnjoj lekciji bio sam... (lako, obično, teško)

Ja… (naučio i mogu se prijaviti, naučio i teško mi je prijaviti se, nisam naučio)

Moje samopoštovanje za lekciju...

Ne morate potpisati odgovore na gornja pitanja, jer njihova je glavna funkcija pomoći učitelju u analizi lekcije i njezinih rezultata

Sažimajući . Obilježava

Učitelj, nastavnik, profesor: Jako mi je drago što su mnogi od vas danas dobro radili i naučili puno novih stvari, ali bih jako volio da svi marljivo radite kod kuće i da na sljedećem satu ne dobijete loše ocjene.

7. Domaća zadaća :

1) Napravite problem o svom razredu

2) Nekoliko zemalja odlučilo je koristiti simbole za svoju nacionalnu zastavu u obliku 3 vodoravne pruge različitih širina, različitih boja - bijele, plave, crvene. Koliko država može koristiti takve simbole, s tim da svaka država ima svoju zastavu?

3) a) Koliko se dvoznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 3, 5, 7, 9?

b) Koliko se dvoznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 3, 5, 7, 9 s tim da se brojevi ne smiju ponavljati

Učitelj, nastavnik, profesor : Dakle, bilo mi je drago što sam te upoznao, zainteresiraj se za matematiku, to će se nesumnjivo pozitivno odraziti na tvoje misli i djela. Lekcija je gotova. Hvala svima. Doviđenja.

Književnost:

E.A. Bunimovich, V.A. Bulychev. Vjerojatnost i statistika u općeobrazovnom školskom kolegiju matematike: predavanja 1-4, 5 – 8. – M.: Pedagoško sveučilište “Prvi rujan”, 2006.

Vilenkin N.Ya. Matematika. 5. razred: udžbenik za općeobraz. institucije / N. Ya. Vilenkin i drugi - M.: Mnemosyna, 2009.

Smykalova E.V. Dodatna poglavlja iz matematike za učenike 5. razreda. SPb: SMIO. Press, 2006. (monografija).

5. razred. "Matematika-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovič, 2004. (monografija).

Zadaci (kartice)

Jedan prilično poznati mušketir u svom ormaru ima 3 elegantna šešira, 4 prekrasna ogrtača i 2 para odličnih čizama. Koliko opcija kostima može stvoriti?

U nogometnom timu je 11 ljudi. Potrebno je odabrati kapetana i njegovog zamjenika. Na koliko načina se to može učiniti?

Koliko se različitih dvoznamenkastih brojeva može sastaviti pomoću brojeva 1, 4, 7, ako se brojevi ponavljaju

Koliko se različitih troznamenkastih brojeva može sastaviti od znamenki 1, 2, 3, 4, 5 s tim da se nijedna znamenka ne ponavlja?

Koliko se različitih dvoznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 0, 1, 2, 3 ako se brojevi: a) mogu ponavljati; b) ne može se ponoviti?

Sef kod se sastoji od pet različitih brojeva. Koliko različitih opcija za stvaranje šifre?

Na koliko se načina može 6 ljudi smjestiti za stol na kojem 6 uređaja?

U petom razredu izučava se 8 predmeta. Koliko se različitih opcija rasporeda može kreirati za ponedjeljak, ako ovaj dan treba imati 5 lekcija i sve su lekcije različite?

1. Koliko se mogućih sedmeroznamenkastih telefonskih brojeva može stvoriti ako se izuzmu brojevi koji počinju s 0 i 9?

Odgovori

Odaberemo jedan element iz tri skupa, odnosno sačinimo “trojku”, što znači da prema pravilu množenja dobijemo 3 4 2 = 24 opcije kostima.

Ukupno ima 11 ljudi, što znači da se kapetan može birati na 11 načina, ostaje 10 igrača među kojima možete izabrati zamjenika kapetana. Dakle, par, kapetan i njegov zamjenik, mogu se izabrati na 11 10 = 110 načina.

Trebali biste dobiti dvoznamenkasti broj - samo dvije pozicije. Na prvom mjestu možete staviti bilo koji od predloženih brojeva - 3 izbora, na drugom mjestu, uzimajući u obzir mogućnost ponavljanja broja, također postoje 3 izbora. To znači da par brojeva sastavljamo na 3 3 = 9 načina, tj. dobijete 9 brojeva.

Troznamenkasti broj: prva pozicija - 5 opcija za brojeve, druga pozicija, uzimajući u obzir isključenje ponavljanja brojeva - 4 opcije, treća pozicija - 3 opcije. Dobivamo 5 4 3 = 60 brojeva.

(a) Dvoznamenkasti broj, kao ni svaki višeznamenkasti broj, ne može započeti s 0, stoga na prvo mjesto možete staviti samo 3 od raspoložive 4 znamenke, 3 izbora, na drugo mjesto, uzimajući u obzir ponavljanje , možete staviti bilo koju od znamenki - 4 opcije za odabir. Prema tome, ispada 3 4 = 12 brojeva; b) Prva pozicija – 3 opcije, druga pozicija – 3 opcije, jer ponavljanje je isključeno. Dobivamo 3 3 = 9 brojeva.

5 4 3 2 1 = 120 opcija.

1. 6 5 4 3 2 1 = 720 načina

2. 8 7 6 5 4 = 6720 opcija

   Brojevi koji se koriste su 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - ukupno 10 znamenki, isključujući prema konvenciji 0 i 9 na početku broja, uzimajući u obzir mogućnost ponavljanja , dobivamo 8 10 10 10 10 10 10 = 8 000 000 brojeva.

Klasa: 5

U ovom ćemo članku pogledati jednu od lekcija matematike u 5. razredu, posvećenu uvođenju kombinatorike.

Ciljevi lekcije.

Edukativni:

Upoznati učenike s novom vrstom problema (kombinatorni zadaci), metodama njihova rješavanja - nabrajanjem mogućih opcija, konstruiranjem stabla mogućih opcija, primjenom pravila množenja;

Uvesti novi pojam - faktorijel, učvrstiti ga pri rješavanju zadataka, primjera, jednadžbi.

Edukativni:

Formiranje poštovanja prema drugovima, sposobnost slušanja i slušanja sugovornika

Formiranje stava prema prijateljstvu kao jednoj od najvažnijih ljudskih vrijednosti.

Razvojni:

Formiranje interesa za predmet;

Formiranje računalnih vještina;

Razvoj logičkog mišljenja;

Razvijanje sposobnosti dokazivanja i potkrepljivanja vlastitog mišljenja.

Tijekom nastave

1. Organizacijski trenutak

Učitelj: Danas imamo neobičan sat. Rješavat ćemo zadatke vezane uz jednu od najzanimljivijih grana matematike – kombinatoriku. U znanosti i stvarnom životu vrlo često moramo rješavati probleme, čije je glavno pitanje pitanje "Na koliko se načina to može učiniti?" Na primjer:

Na koliko načina možete ocijeniti učenika u razredu?

Na koliko načina možete dodijeliti nadzornika razreda?

Na koliko načina možete rasporediti dva razrednika?

Prilikom rješavanja ovakvih zadataka morate napraviti razne kombinacije od konačnog broja elemenata i brojati kombinacije. Takvi se problemi nazivaju kombinatorni problemi, a grana matematike u kojoj se takvi problemi razmatraju naziva se kombinatorika. Kojoj će još temi biti posvećena lekcija saznat ćete kada provjerimo kako ste riješili zadaću.

2. Provjera izvršenja domaće zadaće

(U prethodnoj lekciji domaća zadaća je sastavljena na način da ima točno 6 zadataka. Na primjer, u udžbeniku Vilenkin N.Ya. i dr. to može biti br. 693(a, c), 735(1). ), 765(a,b,V))

Na ploči se nalazi stol i kartice pričvršćene magnetima. Na karticama s jedne strane je odgovor na domaću zadaću, s druge strane je slovo.

Učitelj: Provjerimo vašu zadaću. Otvorite svoje bilježnice i uzmite olovke. Pronađite odgovore na brojeve u zadaći.

Učenici jedan po jedan izlaze na ploču, biraju karticu s odgovorom i pričvršćuju je u ćeliju tablice ispod broja zadatka. Prvo se kartice učvršćuju u ćelijama stola sa stranom na kojoj je napisan odgovor, tako da učenici mogu provjeriti točnost domaće zadaće. Ostali svoje odgovore provjeravaju u svojim bilježnicama.

Mogućnosti odgovora (nalaze se na različitim stranama kartica). Namjerno je prevelik broj karata, tako da su neki odgovori netočni.

“5” - ako je sve točno

“4” - ako postoji jedna greška

“3” - 2-3 pogreške

“2” - više od 3 pogreške

Učitelj: Okrenimo karte, koju ste riječ dobili? (PRIJATELJSTVO). Doista, danas u lekciji nećemo samo rješavati matematičke probleme, poboljšati računalne vještine, već ćemo razgovarati i o prijateljstvu.

3. Novi materijal.

Učitelj: Dakle, već smo rekli da ćemo danas naučiti rješavati probleme, čije je glavno pitanje pitanje "Na koliko načina...".

Postoje tri riječi "PRIJATELJSTVO", "POSAO", "LJUBAVI" (izrežite papiriće s tim riječima - 7 kartica za svaku riječ). Na koliko se načina ove riječi mogu upotrijebiti za oblikovanje rečenice?

Učenici nude opcije, koje su napisane na ploči.

Odgovor: 6 načina.

Učitelj: Koja je opcija po vašem mišljenju točna sa stajališta ruskog jezika? (Prijateljstvo voli posao). Kako shvaćate ovu izjavu?

Učitelj: Ovdje je bio kompletan popis svih mogućih opcija, ili, kako se obično kaže, svih mogućih kombinacija. Dakle, ovo je kombinatorni problem. Razmislimo kako možemo zapisati i formalizirati rješenje ovog problema.

1 način. Označimo predložene riječi velikim slovima:

PRIJATELJSTVO – D

VOLI – L

DELO – E (uzmimo drugo slovo ove riječi)

Tada se sve metode koje ste imenovali mogu jednostavno navesti: DLE, DEL, LDE, ICE, EDL, ELD.

Ispada da se rješenje može formulirati u obliku modela koji se naziva stablo mogućih opcija. Prvo, jasno je, kao i svaka slika, i, drugo, omogućuje vam da sve uzmete u obzir, a da ništa ne propustite,

Učenici pod vodstvom nastavnika izrađuju dijagram:

Metoda 3 (obrazloženje)

Prva može biti jedna od tri riječi: PRIJATELJSTVO, LJUBAVI, POSAO. Ako je odabrana prva riječ, onda drugo mjesto može biti jedna od dvije preostale riječi, a treće mjesto može imati samo jednu preostalu riječ. Dakle, ukupne opcije su: .

Imajte na umu da je zadnja tehnika tzv pravilo množenja.

Svaka od ove tri metode ima svoje prednosti i nedostatke (raspravite) Izbor rješenja je na vama! Napomenimo, međutim, da nam pravilo množenja omogućuje rješavanje velikog broja problema u jednom koraku.

Anya ima 3 prijateljice i svakoj je kupila čokoladicu i želi im je pokloniti za praznik. Na koliko načina ona to može učiniti?

Rješenje: Učenici izvode rješenje na ploči (rješavanje se izvodi na 3 načina)

U društvu prijatelja je 6 ljudi: Andrey, Boris, Vitya, Grisha, Dima, Egor. U školskoj kantini za stolom je 6 stolica. Prijatelji su odlučili svaki dan dok doručkuju sjediti na ovih 6 stolica drugačije. Koliko puta to mogu učiniti bez ponavljanja?

Učitelj: Koju metodu ćemo izabrati? (Učenici pod vodstvom učitelja trebaju doći do zaključka da je to treći način – pravilo množenja).

Učenik crta rješenje na ploči.

Radi lakšeg zaključivanja, pretpostavit ćemo da prijatelji sjednu za stol jedan po jedan. Pretpostavit ćemo da je Andrej prvi sjeo za stol. Ima 6 opcija stolice. Drugi sjeda Boris i samostalno bira stolicu od 5 preostalih. Vitya bira treće i imat će 4 stolca za odabir. Grisha će imati 3 opcije, Dima će imati 2, a Egor će imati 1. Koristeći pravilo množenja, dobivamo:

Odgovor je 720 dana ili skoro 2 godine.

Učitelj: Kao što vidimo, uvjeti problema su različiti, ali su rješenja u biti ista. Stoga je zgodno uvesti istu oznaku za ove odgovore.

Definicija: umnožak svih prirodnih brojeva od 1 do uključivo n naziva se n - faktorijel i označava se simbolom n!

Znak P! glasi “En factorial”, što doslovno prevedeno s engleskog znači “koji se sastoji od P množitelji." Zabilježimo važnu značajku ove vrijednosti - njen brzi rast.

Izračunati:

a) 1!; b) 2!; u 3!; d) 4!; e) 5!; e) 10!

Oni misle da je 0! =1 (piši)

Zadatak 5.

Učitelj: PRIJATELJSTVO je jedno od najvažnijih bogatstava koje čovjek može imati. Nisu uzalud pjesme i pjesme o prijateljstvu, napisane poslovice i izreke. Koje poslovice i izreke o prijateljstvu znaš?

Prijatelj u nevolji je pravi prijatelj.
Nemoj imati stotinu rubalja, ali imaj stotinu prijatelja.
Sigurnost je u brojevima.
Umri sam, ali pomozi svom drugu.
Stari prijatelj je bolji od dva nova.
Život je težak bez prijatelja.

Dobro napravljeno! Vrlo je važno da svaki čovjek ima dobre, prave prijatelje. Riješimo nekoliko primjera koristeći novi koncept - faktorijel i naučimo novu poslovicu o prijateljstvu.

Kartice s odgovorima popunjavaju se s rezervom (postoje kartice s brojevima koji nisu odgovori).

Tablica nakon popunjavanja:

Zadatak 6.

4 prijatelja su došla u posjet Vasji i idu gledati novi film. Vasya ima stolicu u svojoj sobi, a donio je i 4 stolice iz kuhinje. On će nesumnjivo sam zauzeti stolicu, a na stolice posjesti svoje prijatelje. Vasja je izračunao da svoje prijatelje može posjesti na 24 načina.

Učitelj: Je li Vasya točno izračunao? (Da, s matematičke točke gledišta)

Je li dobro prošao? (Raspravlja se o moralnom aspektu problema)

4. Trenutak tjelesnog odgoja.

Učitelj: Sada se malo odmorimo, a za to ćemo napraviti tjelesnu vježbu na minutu. Ako sam dobro pročitao izraz, tada ustanete i podignete ruke, a ako netočno, sjednite s rukama pored sebe.

Ustali smo. Počnimo, budi oprezan.

6. Samostalni rad.

Učitelj: Pa, sad kad smo se dobro odmorili, provjerimo što smo naučili raditi danas na satu. Da bismo to učinili, mi ćemo sami raditi.

7. Domaća zadaća.

Osmislite, zapišite uvjete i rješenja 2 kombinatorna problema na temu “Obitelj”. Crtajte na A4 listovima, možete napraviti crteže za zadatke.

8. Sažetak lekcije.

Sažmimo lekciju.

Što ste novo naučili? (Dobili smo pravilo množenja, ispitali njegov geometrijski model - stablo opcija, uveli novi koncept - faktorijel)

Sto volis?

Čega se sjećaš?

Ocjene lekcija.

Književnost:

1. E.A. Bunimovich, V.A. Bulychev. Vjerojatnost i statistika u općeobrazovnom školskom kolegiju matematike: predavanja 1-4, 5 – 8. – M.: Pedagoško sveučilište “Prvi rujan”, 2006.
2. Vilenkin N.Ya. Matematika. 5. razred: udžbenik za općeobraz. institucije / N. Ya. Vilenkin i drugi - M.: Mnemosyna, 2009.
3. Smykalova E.V. Dodatna poglavlja iz matematike za učenike 5. razreda. SPb: SMIO. Press, 2006. (monografija).
4. Mordkovich A.G. Događaji. Vjerojatnosti. Statistička obrada podataka: Dodatno. Odlomci za tečaj algebre 7-9 razreda. obrazovne ustanove / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. – M.: Mnemosyne, 2006.

Posvećen rješavanju problema odabira i rasporeda elemenata određenog, najčešće konačnog, skupa u skladu sa zadanim pravilima. Na primjer, na koliko načina možete odabrati 6 karata iz špila od 36 karata, ili na koliko načina možete napraviti red od 10 ljudi, itd. Svako pravilo u kombinatorici određuje način konstruiranja određene konstrukcije sastavljene od elemenata izvornog skupa i tzv. kombinacija. Glavni cilj kombinatorike je brojanje kombinacija koje se mogu napraviti od elemenata izvornog skupa u skladu sa zadanim pravilom. Najjednostavniji primjeri kombinatornih konstrukcija su permutacije, postavljanja i kombinacije.

Rođenje kombinatorike vezano za posao B. Pascal i P. Fermat o kockanju, veliki doprinos dali su Leibniz, Bernoulli i Euler. Trenutno je interes za kombinatoriku povezan s razvojem računala. U kombinatorici će nas zanimati mogućnost definiranja kvantitativno različitih podskupova konačnih skupova za izračunavanje vjerojatnosti na klasičan način.

Za određivanje kardinalnosti skupa koji odgovara određenom događaju, korisno je razumjeti dva pravila kombinatorike: pravilo umnoška i pravilo zbroja (ponekad se nazivaju načelima množenja i zbrajanja).

Pravilo proizvoda: neka iz nekog konačnog skupa

1. objekt se može odabrati k 1 način,

2. objekt - k 2 načina

n-ti objekt - k n načine. (1.1)

Zatim proizvoljan skup navedenih n mogu se odabrati objekti iz ovog skupa k 1 , k 2 , …, k n načine.

Primjer 1. Koliko ima troznamenkastih brojeva s različitim znamenkama?

Riješenje. U decimalnom sustavu postoji deset znamenki: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Prvo mjesto može biti bilo koja od devet znamenki (osim nule). Na drugom mjestu je bilo koja od preostalih 9 znamenki, osim odabrane. Zadnje mjesto je bilo koja od preostalih 8 znamenki.

Prema pravilu umnoška 9·9·8 = 648 troznamenkastih brojeva ima različite znamenke.

Primjer 2. Od točke Postoje 3 ceste koje vode do jedne točke i 4 ceste od točke do točke. Na koliko načina možete putovati iz kroz ?

Riješenje. U točki postoje 3 načina za odabir puta do točke, a na točki postoje 4 načina za doći do točke. Prema principu množenja, postoji 3x4 = 12 načina za dobivanje iz točke poentirati .

Pravilo zbroja: ako su ispunjeni uvjeti (1.1), može se odabrati bilo koji od objekata k 1 +k 2 +…+k n načine.

Primjer 3. Na koliko načina se može odabrati jedna olovka iz kutije koja sadrži 5 crvenih, 7 plavih i 3 zelene olovke?

Riješenje. Jedna olovka, prema pravilu zbroja, može se izabrati na 5+7+3 = 15 načina.

Primjer 4. Pustite ga iz grada Do grada se može doći jednom zračnom linijom, dvije željezničke i tri autobusne linije. Na koliko načina možete doći iz grada? u gradu ?

Riješenje. Ovdje su zadovoljeni svi uvjeti principa zbrajanja, dakle, u skladu s tim principom, dobivamo 1+2+3 = 6 načina.

Razmotrimo primjer koji ilustrira razliku između principa množenja i zbrajanja.

Primjer 5. Trgovina elektronike prodaje tri marke televizora i dvije vrste videorekordera. Kupac ima mogućnost kupnje televizora ili videorekordera. Na koliko načina može obaviti jednu kupnju? Koliko se različitih kompleta koji sadrže TV i magnetofon može kupiti u ovoj trgovini ako će kupac kupiti i TV i videorekorder u paru?

Riješenje. Jedan televizor moguće je odabrati na tri načina, a magnetofon na druga dva načina. Tada se televizor ili magnetofon mogu kupiti na 3+2=5 načina.

U drugom slučaju, jedan TV se može odabrati na tri načina, nakon čega se videorekorder može odabrati na dva načina. Dakle, zbog principa množenja, televizor i videorekorder možete kupiti na 3 × 2 = 6 načina.

Razmotrimo sada primjere u kojima se primjenjuju oba pravila kombinatorike: i princip množenja i princip zbrajanja.

Primjer 6. U košari je 12 jabuka i 10 naranči. Vanja bira ili jabuku ili naranču. Nakon toga Nadya od preostalog voća odabire jabuku i naranču. Koliko je takvih izbora moguće?

Riješenje. Vanja može izabrati jabuku na 12 načina, naranču na 10 načina. Ako Vanja izabere jabuku, onda Nađa može izabrati jabuku na 11 načina, a naranču na 10 načina. Ako Vanja odabere naranču, Nađa može izabrati jabuku na 12 načina, a naranču na 9 načina. Dakle, Vanya i Nadya mogu napraviti svoj izbor na različite načine.

Primjer 7. Postoje 3 pisma, od kojih se svako može poslati na 6 adresa. Na koliko načina se to može učiniti?

Riješenje. U ovom problemu moramo razmotriti tri slučaja:

a) sva pisma šalju se na različite adrese;

b) sva pisma se šalju na jednu adresu;

c) samo dva pisma se šalju na jednu adresu.

Ako se sva pisma šalju na različite adrese, tada se broj takvih metoda lako pronalazi iz načela množenja: n 1 = 6×5×4 = 120 načina. Ako se sva pisma šalju na jednu adresu, tada će postojati takve metode n 2 = 6. Dakle, ostaje razmotriti samo treći slučaj, kada su samo 2 pisma poslana na jednu adresu. Pismo možemo odabrati na 3 načina, a možemo ga poslati na bilo koju odabranu adresu na 6 načina. Preostala dva pisma možemo poslati na preostale adrese na 5 načina. Dakle, možemo poslati samo dva pisma na jednu adresu n 3 =3×6×5=90 načina. Dakle, možete poslati 3 pisma na 6 adresa u skladu s principom dodavanja

načine.

Tipično, kombinatorika razmatra idealizirani eksperiment slučajnog odabira. k elementi iz n. U ovom slučaju, elementi: a) se ne vraćaju natrag (selekcija bez povrata); b) povratak natrag (shema izbora s povratkom).

1. Shema odabira bez povrata

Smještaj iz n elementi po k je bilo koji uređeni skup k elementi koji pripadaju n- elementarni skup. Različiti rasporedi međusobno se razlikuju ili po redoslijedu elemenata ili po sastavu.

Broj plasmana od n elementi po k označava i izračunava formulom

(1.2)

Gdje n! = 1×2×3×…× n, 1! = 1, 0! = 1.

Primjer 8. U natjecanju sudjeluje 10 osoba, od kojih će tri zauzeti 1., 2., 3. mjesto. Koliko različitih opcija postoji?

Riješenje. U ovom slučaju bitan je redoslijed raspodjele mjesta. Broj različitih opcija je jednak

Preuređenje iz n elementi se nazivaju postavljanjem n elementi po n. Broj permutacija iz n elementi stoje za P n i izračunava se pomoću formule

(1.3)

Primjer 9. Na koliko načina možete rasporediti 10 knjiga na policu?

Riješenje. Ukupan broj metoda rasporeda definiran je kao broj permutacija (1.3) od 10 elemenata i jednak je R 10 = 10! = 3628 800.

2. Shema odabira s povratima

Ako pri odabiru k elementi iz n, elementi se vraćaju natrag i naručuju, onda kažu da ovo plasmani s ponavljanjima .

Broj plasmana s ponavljanjima:

Primjer 11. Hotel ima 10 soba od kojih svaka može primiti četiri osobe. Koliko je opcija smještaja za četiri gosta koji dolaze?

Riješenje. Svaki sljedeći gost od 4 može biti smješten u bilo koju od 10 soba, budući da se radi o idealiziranom doživljaju, pa je ukupan broj smještaja, prema formuli smještaja s ponavljanjima (1,5), jednak

.

Ako pri odabiru k elementi iz n elementi se vraćaju natrag bez daljnjeg naručivanja, onda se to kaže kombinacije s ponavljanjima. Broj kombinacija s ponavljanjima od n elementi po k definirano:

Primjer 12. U radnji se prodaje 10 vrsta kolača. Drugi je kupac izbacio ček za tri kolača. Uz pretpostavku da je bilo koji skup dobara jednako moguć, odredite broj mogućih narudžbi.

Riješenje. Broj jednako mogućih naloga prema formuli (1.6) jednak je

.

Kombinatorika je grana matematike. Osnovni pojmovi i formule kombinatorike kao znanosti primjenjuju se u svim sferama života.

Nije iznenađujuće da je uključen u program 11. razreda, kao iu prijemne ispite na mnogim sveučilištima u Ruskoj Federaciji. Njegovi temelji leže u primijenjenoj umjetnosti mnogih sfera ljudske djelatnosti.

Njegova povijest seže više od 6 stoljeća unatrag. Prvi kombinatorni problemi pojavili su se u djelima filozofa i matematičara srednjeg vijeka.

Predstavnici tog znanstvenog svijeta pokušavali su pronaći metode za rješavanje takvih problema, njihova temeljna pravila i koncepte, te uspostaviti jedinstvene formule i jednadžbe za one koji se s njima još nisu susreli. Takve se informacije u naše vrijeme nazivaju informacijama "za lutke".

Pokušajmo razumjeti aspekte ovog područja znanosti: koji su elementi, svojstva, pravila, metode i njegova glavna primjena u našim životima? Naravno, nemoguće je obuhvatiti cijelo područje u jednom članku. Stoga će sve najosnovnije stvari biti predstavljene u nastavku.

Što je kombinatorika u matematici

Bit ovog izraza daju knjige prošlih godina: ovo grana matematike koja se bavi operacijama nad mnogim elementima.

Na internetu postoje udžbenici iz informatike i matematike za djecu i školarce, zbirke materijala i zadataka za početnike, gdje je na pristupačan način objašnjena “zabavna” kombinatorika. Moramo čvrsto smisliti kako riješiti takve probleme.

U osnovnim razredima problemi na ovu temu rješavaju se u dodatnim klubovima, au školama s produbljenim učenjem matematike - na glavnim satovima. Osim toga, zadaci kombinatorike uključeni su u olimpijade na svim razinama.

Osnovni koncepti

Ima ih nekoliko:

1. Element– bilo koji predmet ili pojava uključena u željeni skup.
2. Kombinacija– podskupovi smješteni proizvoljnim redoslijedom u izvornom skupu.
3. Preuređenje– elementi u skupu su u strogo definiranom redoslijedu.
4. Smještaj– uređeni podskupovi u izvornom skupu.

Pravilo proizvoda

Jedno je od osnovnih pravila kod rješavanja ovakvih problema i zvuči ovako:

Prilikom odabira elementa A iznmetode i izbor elementa B izmNa neki način istina je da je moguće odabrati par A i B u isto vrijemen* mnačine.

Pogledajmo konkretne primjere.

Zadatak br. 1.

Kutija sadrži 2 lopte i 6 užadi za skakanje. Na koliko načina možete dobiti 1 loptu i 1 uže za skakanje?

Odgovor je jednostavan: 2 * 6 = 12.

Zadatak br. 2.

Ima 1 kocku, 2 kuglice, 3 cvijeta i 4 bombona. Na koliko načina se može nacrtati kocka, lopta, cvijet i bombon?

Rješenje je slično: 1 * 2 * 3 * 4 = 24.

Štoviše, lijeva strana se može napisati mnogo jednostavnije: 4!

! u ovom slučaju to nije interpunkcijski znak, već faktorijel. Pomoću njega možete izračunati složenije opcije i riješiti teške probleme (postoje različite formule, ali više o tome kasnije).

Zadatak br. 3.

Koliko se dvoznamenkastih brojeva može sastaviti od 2 znamenke?

Odgovor: 2! = 2.

Zadatak br. 4.

Koliko se deseteroznamenkastih brojeva može sastaviti od 10 znamenki?

Pravilo zbroja

Ovo je ujedno i osnovno pravilo kombinatorike.

Ako se A može izabratinputa, a B -mputa, tada se može odabrati A ili B (n+ m) jednom.

Zadatak br. 5.

U kutiji se nalazi 5 crvenih, 3 žute, 7 zelenih i 9 crnih olovaka. Na koliko načina možete izvući bilo koju olovku?

Odgovor: 5 + 3 + 7 + 9 = 24.

Kombinacije sa i bez ponavljanja

Ovaj izraz se odnosi na kombinacije bilo kojim redoslijedom iz skupa od n x m elemenata.

Broj kombinacija jednak je broju takvih kombinacija.

Zadatak br. 6.

Kutija sadrži 4 različita voća. Na koliko načina možete dobiti 2 različita voća u isto vrijeme?

Rješenje je jednostavno:

Gdje je 4! – kombinacija 4 elementa.

S ponavljanjima malo kompliciranije, kombinacije se izračunavaju pomoću sljedeće formule:

Zadatak br. 7.

Uzmimo isti slučaj, ali pod uvjetom da se jedan plod vrati u kutiju.

U ovom slučaju:

Plasmani sa i bez ponavljanja

Ova definicija označava skup od m elemenata iz skupa od n elemenata.

Zadatak br. 8.

Od 3 znamenke, trebate odabrati 2 da biste dobili različite dvoznamenkaste brojeve. Koliko opcija?

Odgovor je jednostavan:

Ali što s tim? s ponavljanjima? Ovdje se svaki element može postaviti nekoliko puta! U ovom slučaju, opća formula će izgledati ovako:

Zadatak br. 9.

Od 12 slova latinične abecede i 10 znamenki prirodnog niza trebate pronaći sve mogućnosti za sastavljanje koda automobilske regije.

Permutacije sa i bez ponavljanja

Ovaj izraz se odnosi na sve moguće kombinacije skupa n elemenata.

Zadatak br. 10.

Koliko se mogućih 5-znamenkastih brojeva može sastaviti od 5 znamenki? Što je sa šest znamenki od 6 znamenki? Sedam znamenki od 7 znamenki?

Rješenja, prema gornjoj formuli, su sljedeća:

Ali što s tim? s ponavljanjima? Ako u takvom skupu postoje elementi jednake važnosti, tada će biti manje permutacija!

Zadatak br. 11.

U kutiji se nalaze 3 iste olovke i jedna olovka. Koliko permutacija možete napraviti?

Odgovor je jednostavan: 4! / (3! * 1!) = 4.

Kombinatorni zadaci s rješenjima

Gore su navedeni primjeri svih mogućih vrsta problema s rješenjima. Ovdje ćemo se pokušati pozabaviti složenijim slučajevima s kojima se susrećemo u životu.

Zaključak

Vrijedno je proučavati ovu znanost, jer će u doba brze modernizacije tehnologije biti potrebni stručnjaci koji mogu ponuditi različita rješenja za određene praktične probleme.

Valja napomenuti da je kombinatorika samostalna grana više matematike (a ne dio tervera) i da su o ovoj disciplini napisani značajni udžbenici, čiji sadržaj ponekad nije lakši od apstraktne algebre. No, mali dio teorijskog znanja bit će nam dovoljan, au ovom ću članku pokušati u pristupačnom obliku analizirati osnove teme s tipičnim kombinatornim problemima. I mnogi od vas će mi pomoći ;-)

Što ćemo učiniti? U užem smislu, kombinatorika je izračunavanje različitih kombinacija koje se mogu napraviti iz određenog skupa diskretna objekti. Pod objektima se podrazumijevaju bilo koji izolirani objekti ili živa bića - ljudi, životinje, gljive, biljke, insekti itd. Pritom kombinatoriku uopće nije briga što se komplet sastoji od tanjura griz kaše, lemilice i močvarne žabe. Temeljno je važno da se ti objekti mogu nabrojati - tri su (diskretnost) a važno je da nijedan od njih nije identičan.

Bavili smo se puno toga, sada o kombinacijama. Najčešći tipovi kombinacija su permutacije objekata, njihov izbor iz skupa (kombinacija) i distribucija (postavljanje). Pogledajmo kako se to sada događa:

Permutacije, kombinacije i postavljanja bez ponavljanja

Nemojte se bojati opskurnih izraza, pogotovo jer neki od njih stvarno nisu dobri. Počnimo s repom naslova - što znači “ bez ponavljanja"? To znači da ćemo u ovom dijelu razmatrati skupove koji se sastoje od razne objekti. Na primjer, ... ne, neću ponuditi kašu s lemilicom i žabom, bolje je imati nešto ukusnije =) Zamislite da su se jabuka, kruška i banana materijalizirale na stolu ispred vas ( ako ih imate, situacija se može simulirati u stvarnosti). Voće slažemo s lijeva na desno sljedećim redoslijedom:

jabuka / kruška / banana

Pitanje jedno: Na koliko se načina mogu preurediti?

Jedna kombinacija je već napisana gore, a s ostalima nema problema:

jabuka / banana / kruška
kruška / jabuka / banana
kruška / banana / jabuka
banana / jabuka / kruška
banana / kruška / jabuka

Ukupno: 6 kombinacija ili 6 permutacije.

Dobro, nije bilo teško nabrojati sve moguće slučajeve, ali što ako ima više objekata? Uz samo četiri različita voća, broj kombinacija će se značajno povećati!

Molimo otvorite referentni materijal (praktično je ispisati priručnik) au točki broj 2 pronaći formulu za broj permutacija.

Nema problema - 3 predmeta mogu se preurediti na različite načine.

Drugo pitanje: Na koliko načina možete izabrati a) jednu voćku, b) dvije voćke, c) tri voćke, d) barem jednu voćku?

Zašto izabrati? Pa smo u prethodnoj točki razradili apetit – da bismo jeli! =)

a) Jedno voće se može odabrati, očito, na tri načina - uzmite ili jabuku, krušku ili bananu. Formalni obračun se provodi prema formula za broj kombinacija:

Unos u ovom slučaju treba shvatiti na sljedeći način: "na koliko načina možete odabrati 1 voće od tri?"

b) Nabrojimo sve moguće kombinacije dva voća:

jabuka i kruška;
jabuka i banana;
kruška i banana.

Broj kombinacija može se lako provjeriti pomoću iste formule:

Unos se shvaća na sličan način: "na koliko načina možete odabrati 2 voća od tri?"

c) I na kraju, postoji samo jedan način da odaberete tri voća:

Usput, formula za broj kombinacija ostaje smislena za prazan uzorak:
Na ovaj način ne možete odabrati niti jednu voćku – zapravo, ne uzeti ništa i to je to.

d) Na koliko načina možete uzeti najmanje jedan voće? Uvjet “barem jedna” podrazumijeva da smo zadovoljni s 1 voćkom (bilo kojom) ili bilo koje 2 voćke ili sve 3 voćke:
pomoću ovih metoda možete odabrati barem jedno voće.

Čitatelji koji su pažljivo proučili uvodnu lekciju o teorija vjerojatnosti, već smo nešto pogodili. Ali više o značenju znaka plus kasnije.

Za odgovor na sljedeće pitanje trebaju mi ​​dva volontera... ...Pa pošto nitko ne želi, onda ću te pozvati na ploču =)

Pitanje tri: Na koliko načina možete podijeliti po jednu voćku Daši i Nataši?

Kako biste podijelili dva voća, prvo ih morate odabrati. Prema odlomku "be" prethodnog pitanja, to se može učiniti na načine koje ću prepisati:

jabuka i kruška;
jabuka i banana;
kruška i banana.

Ali sada će biti dvostruko više kombinacija. Razmotrimo, na primjer, prvi par plodova:
Dašu možete počastiti jabukom, a Natašu kruškom;
ili obrnuto - Daša će dobiti krušku, a Nataša jabuku.

A takva je permutacija moguća za svaki par plodova.

Razmotrite istu grupu studenata koja je otišla na ples. Na koliko se načina mogu spojiti dječak i djevojčica?

Na načine na koje možete odabrati 1 mladića;
načina na koje možete odabrati 1 djevojku.

Dakle, jedan mladić I Možete odabrati jednu djevojku: načine.

Kada je odabran 1 objekt iz svakog skupa, vrijedi sljedeće načelo brojanja kombinacija: “ svaki predmet iz jednog skupa može činiti par sa svakim objekt drugog skupa."

Odnosno, Oleg može pozvati bilo koju od 13 djevojaka na ples, Evgeny također može pozvati bilo koju od trinaest, a sličan izbor imaju i ostali mladi. Ukupno: mogući parovi.

Treba napomenuti da u ovom primjeru "povijest" formiranja para nije bitna; no ako uzmemo u obzir inicijativu, broj kombinacija mora biti udvostručen, budući da svaka od 13 djevojaka može pozvati i bilo kojeg dečka na ples. Sve ovisi o uvjetima pojedinog zadatka!

Sličan princip vrijedi i za složenije kombinacije, primjerice: na koliko načina možete izabrati dva mladića? I dvije djevojke za sudjelovanje u KVN skeču?

Unija I jasno nagovještava da se kombinacije moraju umnožiti:

Moguće grupe umjetnika.

Drugim riječima, svaki može nastupiti par dječaka (45 jedinstvenih parova) sa bilo koji par djevojaka (78 unikatnih parova). A ako uzmemo u obzir raspodjelu uloga između sudionika, kombinacija će biti još više. ...jako želim, ali ću se ipak suzdržati od nastavka da vam ne usadim averziju prema studentskom životu =).

Pravilo množenja kombinacija vrijedi i za veći broj množitelja:

Problem 8

Koliko ima troznamenkastih brojeva djeljivih s 5?

Riješenje: radi jasnoće, označimo ovaj broj s tri zvjezdice: ***

U stotine mjesta Možete napisati bilo koji od brojeva (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ili 9). Nula nije prikladna, jer u ovom slučaju broj prestaje biti troznamenkasti.

Ali u mjesto desetica(“u sredini”) možete odabrati bilo koju od 10 znamenki: .

Prema uvjetu, broj mora biti djeljiv s 5. Broj je djeljiv s 5 ako završava s 5 ili 0. Dakle, zadovoljavamo se s 2 znamenke u najmanjoj znamenki.

Ukupno ima: troznamenkasti brojevi djeljivi s 5.

U ovom slučaju, rad se dešifrira na sljedeći način: „9 načina na koje možete odabrati broj stotine mjesta I 10 načina za odabir broja u mjesto desetica I 2 ulaza znamenka jedinica»

Ili još jednostavnije: “ svaki od 9 znamenki do stotine mjesta kombinira sa svakim od 10 znamenki mjesto desetica i sa svakim od dvije znamenke do znamenka jedinica».

Odgovor: 180

A sada…

Da, skoro sam zaboravio na obećani komentar problema br. 5, u kojem se Boru, Dimi i Volodji može podijeliti po jedna karta na različite načine. Množenje ovdje ima isto značenje: načini uklanjanja 3 karte iz špila I u svakom uzorak preuredite ih na različite načine.

A sada problem koji ćete sami riješiti... sad ću smisliti nešto zanimljivije... neka bude o istoj ruskoj verziji blackjacka:

Problem 9

Koliko je dobitnih kombinacija od 2 karte kada se igra "bod"?

Za one koji ne znaju: dobitna kombinacija je 10 + KEC (11 bodova) = 21 bod i, uzmimo u obzir dobitnu kombinaciju od dva asa.

(redoslijed karata u bilo kojem paru nije bitan)

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Usput, nemojte smatrati primjer primitivnim. Blackjack je gotovo jedina igra za koju postoji matematički utemeljen algoritam koji vam omogućuje da pobijedite kasino. Zainteresirani mogu lako pronaći mnoštvo informacija o optimalnoj strategiji i taktici. Istina, takvi majstori vrlo brzo završe na crnoj listi svih ustanova =)

Vrijeme je da učvrstimo pređeno gradivo s nekoliko solidnih zadataka:

Problem 10

Vasya ima 4 mačke kod kuće.

a) Na koliko se načina mačke mogu smjestiti u kutove sobe?
b) na koliko načina možete pustiti mačke u šetnju?
c) na koliko načina Vasja može pokupiti dvije mačke (jednu s lijeve strane, drugu s desne)?

Odlučimo se: prvo, trebali biste ponovno obratiti pozornost na činjenicu o čemu se radi problem drugačiji predmete (čak i ako su mačke jednojajčane blizanke). Ovo je vrlo važan uvjet!

a) Šutnja mačaka. Podložno ovoj ovrsi sve mačke odjednom
+ njihov položaj je važan, tako da ovdje postoje permutacije:
pomoću ovih metoda možete postaviti mačke u kutove sobe.

Ponavljam da je kod permutiranja važan samo broj različitih objekata i njihov relativni položaj. Ovisno o Vasjinom raspoloženju, može smjestiti životinje u polukrug na kauč, u red na prozorsku dasku itd. – u svim slučajevima postojat će 24 permutacije.Radi praktičnosti, zainteresirani mogu zamisliti da su mačke višebojne (na primjer, bijele, crne, crvene i tabby) i navesti sve moguće kombinacije.

b) Na koliko načina možete pustiti mačke u šetnju?

Pretpostavlja se da mačke idu u šetnju samo kroz vrata, a pitanje implicira ravnodušnost prema broju životinja - u šetnju mogu ići 1, 2, 3 ili sve 4 mačke.

Brojimo sve moguće kombinacije:

Na načine na koje možete pustiti jednu mačku (bilo koju od četiri) u šetnju;
načine na koje možete pustiti dvije mačke u šetnju (mogućnosti navedite sami);
na koji način možete pustiti tri mačke u šetnju (jedna od četiri sjedi kod kuće);
Na ovaj način možete osloboditi sve mačke.

Vjerojatno ste pogodili da se dobivene vrijednosti trebaju zbrojiti:
načina na koje možete pustiti mačke u šetnju.

Za entuzijaste nudim kompliciranu verziju problema - kada bilo koja mačka u bilo kojem uzorku može nasumično izaći van, kroz vrata i kroz prozor na 10. katu. Bit će zamjetan porast kombinacija!

c) Na koliko načina Vasja može pokupiti dvije mačke?

Situacija uključuje ne samo odabir 2 životinje, već i njihovo stavljanje u svaku ruku:
Na ove načine možete pokupiti 2 mačke.

Drugo rješenje: možete odabrati dvije mačke pomoću metoda I načina sadnje svaki par pri ruci:

Odgovor: a) 24, b) 15, c) 12

Pa za čistu savjest nešto konkretnije o množenju kombinacija... Neka Vasya ima 5 dodatnih mačaka =) Na koliko načina možete pustiti 2 mačke u šetnju? I 1 mačka?

Odnosno sa svaki može se pustiti par mačaka svaki mačka.

Još jedna harmonika s gumbima za samostalno rješenje:

Problem 11

Troje putnika ušlo je u lift zgrade od 12 katova. Svatko, bez obzira na druge, s jednakom vjerojatnošću može izaći na bilo koji (počevši od 2.) kata. Na koliko načina:

1) putnici mogu izaći na istom katu (redoslijed izlaza nije bitan);
2) dvije osobe mogu sići na jednoj etaži, a treća na drugoj;
3) ljudi mogu izaći na različitim katovima;
4) mogu li putnici izaći iz dizala?

I ovdje često ponovno pitaju, pojašnjavam: ako 2 ili 3 osobe izlaze na istom katu, tada redoslijed izlaska nije bitan. RAZMIŠLJAJ, koristi formule i pravila za zbrajanje/množenje kombinacija. U slučaju poteškoća, korisno je da putnici daju imena i nagađaju u kojim kombinacijama mogu izaći iz dizala. Nema potrebe da se uzrujavate ako nešto ne uspije, na primjer, točka br. 2 je prilično podmukla, međutim, jedan od čitatelja je pronašao jednostavno rješenje, i još jednom izražavam svoju zahvalnost za vaša pisma!

Potpuno rješenje s detaljnim komentarima na kraju lekcije.

Posljednji odlomak posvećen je kombinacijama koje se također pojavljuju prilično često - prema mojoj subjektivnoj procjeni, u otprilike 20-30% kombinatornih problema:

Permutacije, kombinacije i postavljanja s ponavljanjima

Navedene vrste kombinacija navedene su u odlomku br. 5 referentnog materijala Osnovne formule kombinatorike, međutim, neke od njih možda neće biti vrlo jasne nakon prvog čitanja. U ovom slučaju, prvo je preporučljivo upoznati se s praktičnim primjerima, a tek onda shvatiti opću formulaciju. Ići:

Permutacije s ponavljanjima

U permutacijama s ponavljanjima, kao u "običnim" permutacijama, sve mnogo objekata odjednom, ali postoji jedna stvar: u ovom se skupu jedan ili više elemenata (objekata) ponavlja. Ispunite sljedeći standard:

Problem 12

Koliko se različitih kombinacija slova može dobiti preslagivanjem karata sa sljedećim slovima: K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K?

Riješenje: u slučaju da su sva slova različita, tada bi se morala primijeniti trivijalna formula, ali potpuno je jasno da će za predloženi set karata neke manipulacije raditi “bezposleno”, npr. ako zamijenite bilo koje dvije karte sa slovima “K” " u bilo kojoj riječi, dobit ćete istu riječ. Štoviše, fizički karte mogu biti vrlo različite: jedna može biti okrugla s otisnutim slovom "K", druga može biti četvrtasta s nacrtanim slovom "K". Ali prema značenju zadatka čak i takve karte smatraju se istima, budući da uvjet pita o kombinacijama slova.

Sve je vrlo jednostavno - samo 11 kartica, uključujući pismo:

K – ponovljeno 3 puta;
O – ponovljeno 3 puta;
L – ponovljeno 2 puta;
b – ponovljeno 1 put;
H – ponovljeno 1 put;
I - ponovljeno 1 put.

Provjera: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, što je trebalo provjeriti.

Prema formuli broj permutacija s ponavljanjima:
mogu se dobiti različite kombinacije slova. Više od pola milijuna!

Za brzo izračunavanje velike faktorijelne vrijednosti prikladno je koristiti standardnu ​​Excel funkciju: unesite u bilo koju ćeliju =ČINJENICA(11) i pritisnite Unesi.

U praksi je sasvim prihvatljivo ne pisati opću formulu i, osim toga, izostaviti jedinične faktorijele:

Ali potrebni su preliminarni komentari o ponovljenim slovima!

Odgovor: 554400

Još jedan tipičan primjer permutacija s ponavljanjem javlja se u problemu postavljanja šahovskih figura, koji se može pronaći u skladištu gotova rješenja u pripadajućem pdf-u. A za neovisno rješenje smislio sam manje formuliran zadatak:

Problem 13

Aleksej se bavi sportom, a 4 dana u tjednu - atletikom, 2 dana - vježbama snage i 1 dan se odmara. Na koliko načina može sam sebi kreirati tjedni raspored?

Formula ovdje ne radi jer uzima u obzir slučajne zamjene (na primjer, zamjena vježbi snage u srijedu s vježbama snage u četvrtak). I opet - zapravo, ista 2 treninga snage mogu se jako razlikovati jedan od drugog, ali u kontekstu zadatka (s gledišta rasporeda) smatraju se istim elementima.

Rješenje u dva retka i odgovor na kraju lekcije.

Kombinacije s ponavljanjima

Karakteristična značajka ove vrste kombinacije je da se uzorak izvlači iz nekoliko skupina, od kojih se svaka sastoji od identičnih objekata.

Danas su svi vrijedno radili pa je vrijeme da se okrijepite:

Problem 14

U studentskoj menzi prodaju se kobasice u tijestu, sirnice i krafne. Na koliko načina možete kupiti pet pita?

Riješenje: odmah obratite pozornost na tipični kriterij za kombinacije s ponavljanjima - prema uvjetu, nije skup predmeta kao takav koji se nudi na izbor, već različite vrste objekti; pretpostavlja se da je na akciji najmanje pet hrenovki, 5 kolača sa sirom i 5 krafni. Pite u svakoj skupini su, naravno, različite - jer potpuno identične krafne mogu se simulirati samo na računalu =) Međutim, fizičke karakteristike pita nisu značajne za svrhu problema, a hrenovke / sirnice / krafne u svojim skupinama smatraju se istima.

Što bi moglo biti u uzorku? Prije svega treba napomenuti da će u uzorku sigurno biti identične pite (budući da biramo 5 komada, a na izbor su 3 vrste). Ovdje ima opcija za svačiji ukus: 5 hrenovki, 5 torti sa sirom, 5 krofni, 3 hrenovke + 2 torte sa sirom, 1 hrenovke + 2 torte sa sirom + 2 krafne itd.

Kao i kod “običnih” kombinacija, redoslijed izbora i raspored pita u izboru nije bitan – samo odaberete 5 komada i to je to.

Koristimo formulu broj kombinacija s ponavljanjima:
Ovom metodom možete kupiti 5 pita.

Dobar tek!

Odgovor: 21

Koji se zaključak može izvući iz mnogih kombinatornih problema?

Ponekad je najteže razumjeti stanje.

Sličan primjer za neovisno rješenje:

Problem 15

Novčanik sadrži prilično velik broj kovanica od 1, 2, 5 i 10 rubalja. Na koliko se načina mogu izvaditi tri novčića iz novčanika?

U svrhu samokontrole, odgovorite na nekoliko jednostavnih pitanja:

1) Mogu li se svi novčići u uzorku razlikovati?
2) Navedite "najjeftiniju" i "najskuplju" kombinaciju kovanica.

Rješenje i odgovori na kraju lekcije.

Iz osobnog iskustva mogu reći da su kombinacije s ponavljanjima najrjeđi gost u praksi, što se ne može reći za sljedeće vrste kombinacija:

Plasmani s ponavljanjima

Iz skupa koji se sastoji od elemenata biraju se elementi, a bitan je redoslijed elemenata u svakom odabiru. I sve bi bilo u redu, ali prilično neočekivana šala je da možemo odabrati bilo koji predmet originalnog skupa koliko god puta želimo. Slikovito govoreći, “mnoštvo se neće smanjiti”.

Kada se to događa? Tipičan primjer je šifrirana brava s nekoliko diskova, no zbog tehnološkog razvoja relevantnije je uzeti u obzir njezinog digitalnog potomka:

Problem 16

Koliko ima četveroznamenkastih PIN kodova?

Riješenje: zapravo, za rješavanje problema dovoljno je poznavanje pravila kombinatorike: na neki način možete odabrati prvu znamenku PIN koda I načina - druga znamenka PIN koda I na isto toliko načina – treće I isti broj - četvrti. Dakle, prema pravilu množenja kombinacija, četveroznamenkasti pin kod može se sastaviti na: načine.

A sada pomoću formule. Sukladno uvjetu nudi nam se skup brojeva iz kojeg se biraju i slažu brojevi određenim redoslijedom, dok se brojevi u uzorku mogu ponavljati (tj. bilo koja znamenka izvornog skupa može se koristiti proizvoljan broj puta). Prema formuli za broj plasmana s ponavljanjima:

Odgovor: 10000

Što vam pada na pamet... ...ako bankomat “pojede” karticu nakon trećeg neuspješnog pokušaja unosa PIN koda, onda su šanse da će ga nasumično pokupiti vrlo male.

A tko je rekao da kombinatorika nema praktičnog značenja? Kognitivni zadatak za sve čitatelje stranice:

Problem 17

Prema državnom standardu, registarska pločica automobila sastoji se od 3 brojke i 3 slova. U ovom slučaju, broj s tri nule je neprihvatljiv, a slova se biraju iz skupa A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X (koriste se samo ona ćirilična slova čiji se način pisanja podudara s latiničnim slovima).

Koliko se različitih registarskih pločica može izraditi za regiju?

Usput, ne tako mnogo njih. U velikim regijama nema dovoljno takve količine, pa za njih postoji nekoliko kodova za natpis RUS.

Rješenje i odgovor su na kraju lekcije. Ne zaboravite koristiti pravila kombinatorike ;-) ... Htio sam pokazati što je ekskluzivno, ali se pokazalo da nije ekskluzivno =) Pogledao sam Wikipediju - tamo ima izračuna, ali bez komentara. Iako je u obrazovne svrhe, vjerojatno, malo ljudi to riješilo.

Naša je uzbudljiva lekcija došla kraju i na kraju želim reći da niste uzalud gubili vrijeme - iz razloga što kombinatoričke formule nalaze još jednu vitalnu praktičnu primjenu: nalaze se u raznim problemima u teorija vjerojatnosti,
i u problemi koji uključuju klasično određivanje vjerojatnosti– posebno često =)

Hvala svima na aktivnom sudjelovanju i vidimo se uskoro!

Rješenja i odgovori:

Zadatak 2: Riješenje: pronađite broj svih mogućih permutacija 4 karte:

Kada se karta s nulom stavi na 1. mjesto, broj postaje troznamenkasti, pa te kombinacije treba isključiti. Neka je nula na prvom mjestu, tada se preostale 3 znamenke u nižim znamenkama mogu preurediti na različite načine.

Bilješka : jer Budući da postoji samo nekoliko kartica, ovdje je lako navesti sve opcije:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Dakle, iz predloženog skupa možemo napraviti:
24 – 6 = 18 četveroznamenkastih brojeva
Odgovor : 18

Zadatak 4: Riješenje: na načine na koje možete odabrati 3 karte od 36. I
2) "Najjeftiniji" set sadrži 3 kovanice rublje, a "najskuplji" - 3 kovanice od deset rubalja.

Problem 17: Riješenje: pomoću ovih metoda možete stvoriti digitalnu kombinaciju broja automobila, a jedan od njih (000) treba isključiti: .
pomoću ovih metoda možete stvoriti kombinaciju slova broja registarske pločice.
Prema pravilu množenja kombinacija, zbroj se može napraviti:
registarske pločice
(svaki digitalna kombinacija je kombinirana sa svakim kombinacija slova).
Odgovor : 1726272