Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku u zadanom smjeru. Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke. Kut između dviju ravnih linija. Uvjet paralelnosti i okomitosti dviju ravnih linija. Određivanje točke presjeka dviju linija

Primjeri problema s rješenjima

Nađite jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije točke: (-1, 2) i (2, 1).

Riješenje.

Prema jednadžbi

vjerujući u to x 1 = -1, g 1 = 2, x 2 = 2, g 2 = 1 (nije bitno koja se točka smatra prvom, a koja drugom), dobivamo

nakon pojednostavljenja dobivamo konačnu traženu jednadžbu u obliku

x + 3g - 5 = 0.

Stranice trokuta dane su jednadžbama: (AB ) 2 x + 4 g + 1 = 0, (A.C. ) x - g + 2 = 0, (prije Krista ) 3 x + 4 g -12 = 0. Odredi koordinate vrhova trokuta.

Riješenje.

Koordinate vrhova A nalazimo rješavanjem sustava sastavljenog od jednadžbi strana AB I A.C.:

Metodama poznatim iz elementarne algebre rješavamo sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice i dobivamo

Vertex A ima koordinate

Koordinate vrhova B naći ćemo rješavanjem sustava jednadžbi stranica AB I prije Krista:

primamo .

Koordinate vrhova C dobivamo rješavanjem sustava jednadžbi stranica prije Krista I A.C.:

Vertex C ima koordinate.

A (2, 5) paralelno s pravcem 3x - 4 g + 15 = 0.

Riješenje.

Dokažimo da ako su dva pravca paralelna, onda se njihove jednadžbe uvijek mogu prikazati na takav način da se razlikuju samo u svojim slobodnim članovima. Doista, iz uvjeta paralelnosti dvaju pravaca slijedi da.

Označimo sa t ukupnu vrijednost tih odnosa. Zatim

a iz ovoga slijedi da

A 1 = A 2 t, B 1 = B 2 t. (1)

Ako dva retka

A 1 x + B 1 g + C 1 = 0 i

A 2 x + B 2 g + C 2 = 0

su paralelni, uvjeti (1) su zadovoljeni, i, zamjenjujući u prvoj od ovih jednadžbi A 1 i B 1 prema formulama (1), imat ćemo

A 2 tx + B 2 ty + C 1 = 0,

ili, dijeleći obje strane jednadžbe s , dobivamo

Uspoređujući dobivenu jednadžbu s jednadžbom drugog pravca A 2 x + B 2 g + C 2 = 0, napominjemo da se ove jednadžbe razlikuju samo u slobodnom članu; Time smo dokazali ono što se traži. Sada počnimo rješavati problem. Jednadžbu traženog pravca ćemo napisati tako da će se od jednadžbe zadanog pravca razlikovati samo slobodnim članom: prva dva člana u traženoj jednadžbi uzet ćemo iz te jednadžbe, a označit ćemo njegov slobodan termin po C. Tada će se tražena jednadžba napisati u obliku

3x - 4g + C = 0, (3)

i da se odredi C.

Dajući u jednadžbi (3) vrijednost C sve moguće realne vrijednosti, dobivamo skup pravaca paralelnih sa zadanom. Prema tome, jednadžba (3) nije jednadžba jedne linije, već cijele obitelji linija paralelnih s danom linijom 3 x - 4g+ 15 = 0. Iz ove obitelji pravaca treba izabrati onaj koji prolazi točkom A(2, 5).

Ako pravac prolazi kroz točku, tada koordinate te točke moraju zadovoljiti jednadžbu pravca. I stoga ćemo odrediti C, ako u (3) umjesto trenutnih koordinata zamijenimo x I g koordinate točke A, tj. x = 2, g= 5. Dobivamo i C = 14.

Pronađena vrijednost C zamijeniti u (3), a tražena jednadžba će biti zapisana na sljedeći način:

3x - 4g + 14 = 0.

Isti problem može se riješiti i na drugi način. Budući da su kutni koeficijenti paralelnih pravaca međusobno jednaki, a za dani pravac 3 x - 4g+ 15 = 0 nagib, tada je nagib željene ravne crte također jednak.

Sada koristimo jednadžbu g - g 1 = k(x - x 1) hrpa ravnih linija. Točka A(2, 5) kroz koji prolazi pravac nam je poznat, pa stoga, zamjenom u jednadžbu olovke ravnih linija g - g 1 = k(x - x 1) vrijednosti, dobivamo

ili nakon pojednostavljenja 3 x - 4g+ 14 = 0, tj. isto kao i prije.

Nađite jednadžbe pravaca koji prolaze kroz točkuA (3, 4) pod kutom od 60 stupnjeva u odnosu na ravnu liniju 2x + 3 g + 6 = 0.

Riješenje.

Da bismo riješili problem, potrebno je odrediti kutne koeficijente pravaca I i II (vidi sliku). Označimo ove koeficijente redom sa k 1 i k 2, a kutni koeficijent ove linije je kroz k. Očito je da .

Na temelju definicije kuta između dva pravca, pri određivanju kuta između zadanog pravca i pravca, I slijedi u brojniku razlomka u formuli

oduzmite nagib ove linije, budući da je treba rotirati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko točke C dok se ne poklopi s pravom I.

S obzirom na to, dobivamo

Pri određivanju kuta između pravca II i zadanog pravca treba od brojnika istog razlomka oduzeti kutni koeficijent pravca II, tj. k 2, jer liniju II treba rotirati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu oko točke B dok se ne poklopi s ovom linijom:

Pronađite jednadžbu pravca koji prolazi točkomA (5, -1) okomito na pravac 3x - 7 g + 14 = 0.

Riješenje.

Ako dva retka

A 1 x + B 1 g + C 1 = 0, A 2 x + B 2 g + C 2 = 0

su okomiti, onda je jednakost

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0,

ili, što je isto,

A 1 A 2 = -B 1 B 2 ,

a iz ovoga slijedi da

Općenito značenje ovih izraza označavamo sa t.

Zatim slijedi da

A 2 = B 1 t, B 2 = -A 1 t.

Zamjenom ovih vrijednosti A 2 i B 2 i jednadžbu drugog retka, dobivamo

B 1 tx - A 1 ty + C 2 = 0.

ili, dijeljenjem sa t obje strane jednakosti, imat ćemo

Uspoređujući dobivenu jednadžbu s jednadžbom prvog retka

A 1 x + B 1 g + C 1 = 0,

primjećujemo da su njihovi koeficijenti pri x I g zamijenili su mjesta, a predznak između prvog i drugog člana promijenio se u suprotan, ali su slobodni članovi različiti.

Počnimo sada rješavati problem. Želeći napisati jednadžbu pravca okomitog na pravac 3 x - 7g+ 14 = 0, na temelju gornjeg zaključka, postupit ćemo na sljedeći način: zamijenit ćemo koeficijente za x I g, a znak minus između njih zamijenite znakom plus, a slobodni pojam označite slovom C. Dobivamo 7 x + 3g + C= 0. Ova jednadžba je jednadžba obitelji pravaca okomitih na pravac 3 x - 7g+ 14 = 0. Definirajte C iz uvjeta da željeni pravac prolazi točkom A(5, -1). Poznato je da ako pravac prolazi kroz točku, tada koordinate te točke moraju zadovoljiti jednadžbu pravca. Zamjenom 5 u posljednju jednadžbu umjesto x i -1 umjesto toga g, dobivamo

Ovo je smisao C Zamijenite u posljednju jednadžbu i dobijete

7x + 3g - 32 = 0.

Riješimo isti problem na drugačiji način, koristeći za to jednadžbu olovke ravnih linija

g - g 1 = k(x - x 1).

Nagib ove linije je 3 x - 7g + 14 = 0

zatim kutni koeficijent pravca okomitog na njega,

Zamjena u jednadžbu olovke ravnih linija , i umjesto toga x 1 i g 1 koordinate ove točke A(5, -1), pronađi ili 3 g + 3 = -7x+ 35 i na kraju 7 x + 3g- 32 = 0, tj. isto kao i prije.

Svojstva pravca u euklidskoj geometriji.

Kroz bilo koju točku može se povući beskonačan broj ravnih linija.

Kroz bilo koje dvije točke koje se ne podudaraju može se povući jedna ravna crta.

Dvije divergentne linije u ravnini se sijeku u jednoj točki ili se

paralelno (slijedi iz prethodnog).

U trodimenzionalnom prostoru postoje tri opcije za relativni položaj dviju linija:

• linije se sijeku;

• linije su paralelne;

• ravne linije se sijeku.

Ravno crta— algebarska krivulja prvog reda: ravna crta u Kartezijevom koordinatnom sustavu

dana je na ravnini jednadžbom prvog stupnja (linearna jednadžba).

Opća jednadžba pravca.

Definicija. Bilo koja ravna crta na ravnini može se odrediti jednadžbom prvog reda

Ax + Wu + C = 0,

i konstantan A, B nisu u isto vrijeme jednaki nuli. Ova jednadžba prvog reda zove se Općenito

jednadžba ravne linije. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B I S Mogući su sljedeći posebni slučajevi:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- ravna linija prolazi kroz ishodište

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- ravna linija paralelna s osi Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ravna linija paralelna s osi OU

. B = C = 0, A ≠0- ravna linija se poklapa s osi OU

. A = C = 0, B ≠0- ravna linija se poklapa s osi Oh

Jednadžba ravne crte može se prikazati u različitim oblicima ovisno o bilo kojoj danosti

početni uvjeti.

Jednadžba pravca iz točke i normalnog vektora.

Definicija. U kartezijevom pravokutnom koordinatnom sustavu vektor s komponentama (A, B)

okomito na pravac zadan jednadžbom

Ax + Wu + C = 0.

Primjer. Pronađite jednadžbu pravca koji prolazi točkom A(1, 2) okomito na vektor (3, -1).

Riješenje. Uz A = 3 i B = -1, sastavimo jednadžbu ravne linije: 3x - y + C = 0. Da bismo pronašli koeficijent C

Zamijenimo u dobiveni izraz koordinate zadane točke A. Dobivamo: 3 - 2 + C = 0, dakle

C = -1. Ukupno: tražena jednadžba: 3x - y - 1 = 0.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke.

Neka su u prostoru zadane dvije točke M 1 (x 1, y 1, z 1) I M2 (x 2, y 2, z 2), Zatim jednadžba pravca,

prolazeći kroz ove točke:

Ako je bilo koji od nazivnika nula, odgovarajući brojnik treba postaviti na nulu. Na

ravnine, gore napisana jednadžba ravne linije je pojednostavljena:

Ako x 1 ≠ x 2 I x = x 1, Ako x 1 = x 2 .

Frakcija = k nazvao nagib ravno.

Primjer. Nađite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke A(1, 2) i B(3, 4).

Riješenje. Primjenom gore napisane formule dobivamo:

Jednadžba pravca pomoću točke i nagiba.

Ako je opća jednadžba pravca Ax + Wu + C = 0 dovesti do:

i odrediti , tada se rezultirajuća jednadžba naziva

jednadžba pravca s nagibom k.

Jednadžba pravca iz točke i vektora smjera.

Analogno s točkom koja razmatra jednadžbu pravca kroz normalni vektor, možete unijeti zadatak

pravac kroz točku i smjerni vektor pravca.

Definicija. Svaki vektor različit od nule (α 1, α 2), čije komponente zadovoljavaju uvjet

Aα 1 + Bα 2 = 0 nazvao vektor usmjeravanja pravca.

Ax + Wu + C = 0.

Primjer. Nađite jednadžbu pravca s vektorom smjera (1, -1) koji prolazi točkom A(1, 2).

Riješenje. Jednadžbu željenog pravca tražit ćemo u obliku: Ax + By + C = 0. Prema definiciji,

koeficijenti moraju zadovoljiti sljedeće uvjete:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Tada jednadžba pravca ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C / A = 0.

na x = 1, y = 2 dobivamo C/A = -3, tj. potrebna jednadžba:

x + y - 3 = 0

Jednadžba pravca u segmentima.

Ako je u općoj jednadžbi ravne linije Ah + Vu + S = 0 S≠0, tada, dijeljenjem s -S, dobivamo:

ili gdje

Geometrijsko značenje koeficijenata je da je koeficijent a koordinata presječne točke

ravno s osi Oh, A b- koordinata sjecišta pravca s osi OU.

Primjer. Dana je opća jednadžba pravca x - y + 1 = 0. Pronađite jednadžbu ovog pravca u segmentima.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalna jednadžba pravca.

Ako obje strane jednadžbe Ax + Wu + C = 0 podijeliti brojem koji se zove

faktor normalizacije, onda dobivamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalna jednadžba pravca.

Predznak ± faktora normalizacije mora biti odabran tako da μ*C< 0.

R- duljina okomice spuštene iz ishodišta na ravnu crtu,

A φ - kut koji čini ova okomica s pozitivnim smjerom osi Oh.

Primjer. Dana je opća jednadžba pravca 12x - 5y - 65 = 0. Potrebno je napisati različite vrste jednadžbi

ovu ravnu liniju.

Jednadžba ovog pravca u segmentima:

Jednadžba ove linije s nagibom: (podijeli s 5)

Jednadžba pravca:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Treba napomenuti da se svaka ravna linija ne može prikazati jednadžbom u segmentima, na primjer, ravne linije,

paralelno s osi ili prolazeći kroz ishodište.

Kut između ravnih linija u ravnini.

Definicija. Ako su zadane dvije crte y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, zatim oštri kut između ovih linija

definirat će se kao

Dva pravca su paralelna ako k 1 = k 2. Dvije linije su okomite

Ako k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

Direktno Ax + Wu + C = 0 I A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralelno kada su koeficijenti proporcionalni

A 1 = λA, B 1 = λB. Ako također S 1 = λS, onda se linije podudaraju. Koordinate točke presjeka dviju linija

nalaze se kao rješenje sustava jednadžbi ovih pravaca.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani pravac.

Definicija. Pravac koji prolazi točkom M 1 (x 1, y 1) a okomito na pravac y = kx + b

predstavljena jednadžbom:

Udaljenost od točke do pravca.

Teorema. Ako se da bod M(x 0, y 0), zatim udaljenost do pravca Ax + Wu + C = 0 definirano kao:

Dokaz. Neka točka M 1 (x 1, y 1)- osnovica okomice spuštene s točke M za dano

direktno. Zatim udaljenost između točaka M I M 1:

(1)

Koordinate x 1 I u 1 može se pronaći kao rješenje sustava jednadžbi:

Druga jednadžba sustava je jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku M 0 okomito

dana ravna linija. Ako prvu jednadžbu sustava transformiramo u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada rješavanjem dobivamo:

Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (1), nalazimo:

Teorem je dokazan.

Jednadžbe ima puno krivinačitajući ekonomsku literaturu.Naznačimo neke od tih krivulja.

Krivulja indiferencije - krivulja koja prikazuje različite kombinacije dvaju proizvoda koji imaju istu vrijednost ili korisnost za potrošača.

Krivulja potrošačkog proračuna - krivulja koja prikazuje različite kombinacije količina dvaju dobara koje potrošač može kupiti pri određenoj razini svog novčanog dohotka.

Krivulja mogućnosti proizvodnje - krivulja koja prikazuje različite kombinacije dviju roba ili usluga koje se mogu proizvesti u uvjetima pune zaposlenosti i punog outputa u gospodarstvu sa stalnim zalihama resursa i stalnom tehnologijom.

Krivulja investicijske potražnje - krivulja koja prikazuje dinamiku kamatne stope i obujam ulaganja po različitim kamatnim stopama.

Phillipsova krivulja- krivulja koja pokazuje postojanje stabilnog odnosa između stope nezaposlenosti i stope inflacije.

Lafferova krivulja- krivulja koja pokazuje odnos između poreznih stopa i poreznih prihoda, identificirajući poreznu stopu pri kojoj porezni prihodi dosežu maksimum.

Već jednostavno nabrajanje pojmova pokazuje koliko je za ekonomiste važno znati graditi grafove i analizirati jednadžbe krivulja, kao što su ravne linije i krivulje drugog reda - krug, elipsa, hiperbola, parabola. Osim toga, kada se rješava velika klasa problema, potrebno je odabrati područje na ravnini omeđeno nekim krivuljama čije su jednadžbe zadane. Najčešće se ti problemi formuliraju na sljedeći način: pronaći najbolji plan proizvodnje za zadane resurse. Dodjela resursa obično ima oblik nejednakosti čije su jednadžbe dane. Stoga moramo tražiti najveće ili najmanje vrijednosti koje uzima određena funkcija u području određenom jednadžbama sustava nejednakosti.

U analitičkoj geometriji linija na ravnini je definiran kao skup točaka čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu F(x,y)=0. U tom slučaju se moraju nametnuti ograničenja na funkciju F tako da, s jedne strane, ova jednadžba ima beskonačan skup rješenja, a s druge strane, tako da taj skup rješenja ne ispunjava „komad ravnine .” Važna klasa linija su one za koje je funkcija F(x,y) polinom u dvije varijable, u kojem slučaju se linija definirana jednadžbom F(x,y)=0 naziva algebarski. Algebarske linije definirane jednadžbom prvog stupnja su ravne linije. Jednadžba drugog stupnja, koja ima beskonačan broj rješenja, definira elipsu, hiperbolu, parabolu ili pravac koji se dijeli na dvije ravne crte.

Neka je na ravnini zadan pravokutni Kartezijev koordinatni sustav. Pravac na ravnini može se odrediti pomoću jedne od jednadžbi:

10. Opća jednadžba pravca

Ax + By + C = 0. (2.1)

Vektor n(A,B) je okomit na pravac, brojevi A i B nisu istovremeno jednaki nuli.

20 . Jednadžba pravca s nagibom

y - y o = k (x - x o), (2.2)

gdje je k nagib linije, odnosno k = tg a , gdje je a - veličina kuta koji pravac tvori s osi Ox, M (x o, y o) - neka točka koja pripada pravoj liniji.

Jednadžba (2.2) ima oblik y = kx + b ako je M (0, b) točka presjeka pravca s osi Oy.

trideset . Jednadžba pravca u segmentima

x/a + y/b = 1, (2.3)

gdje su a i b vrijednosti segmenata odsječenih ravnom linijom na koordinatnim osima.

4 0 . Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke je A(x 1, y 1) i B(x 2, y 2):

. (2.4)

50 . Jednadžba pravca koji prolazi kroz danu točku A(x 1, y 1) paralelno sa danim vektorom a(m, n)

. (2.5)

6 0 . Normalna jednadžba pravca

rn o - p = 0, (2.6)

Gdje r- radijus proizvoljne točke M(x, y) ovog pravca, n o je jedinični vektor okomit na ovaj pravac i usmjeren iz ishodišta na pravac; p udaljenost od ishodišta do pravca.

Normala u koordinatnom obliku ima oblik:

x cos a + y sin a - p = 0,

gdje - veličina kuta koji ravna crta tvori s osi Ox.

Jednadžba niza linija sa središtem u točki A(x 1, y 1) ima oblik:

y-y 1 = l (x-x 1),

gdje l - parametar grede. Ako je greda određena dvjema ravnima koje se sijeku A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, tada njezina jednadžba ima oblik:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

gdje su l i m - parametri snopa koji se ne okreću na 0 u isto vrijeme.

Kut između pravaca y = kx + b i y = k 1 x + b 1 dan je formulom:

tg j = .

Jednakost 1 + k 1 k = 0 nužan je i dovoljan uvjet za okomitost pravaca.

Da bi dvije jednadžbe

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

s obzirom na istu ravnu liniju potrebno je i dovoljno da njihovi koeficijenti budu proporcionalni:

A 1 /A 2 = B 1 /B 2 = C 1 /C 2.

Jednadžbe (2.7), (2.8) definiraju dva različita paralelna pravca ako je A 1 /A 2 = B 1 /B 2 i B 1 /B 2¹ C1/C2; pravci se sijeku ako je A 1 /A 2¹B 1 /B 2 .

Udaljenost d od točke M o (x o, y o) do pravca je duljina okomice povučene iz točke M o na pravac. Ako je ravna crta dana normalnom jednadžbom, tada je d =ê r O n o - r ê , Gdje r o - radijus vektor točke M o ili, u koordinatnom obliku, d =ê x o cos a + y o sin a - r ê .

Opća jednadžba krivulje drugog reda ima oblik

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y + a = 0.

Pretpostavlja se da među koeficijentima jednadžbe a 11, a 12, a 22 ima onih različitih od nule.

Jednadžba kružnice sa središtem u točki C(a, b) i polumjerom jednakim R:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 . (2.9)

Elipsaje geometrijsko mjesto točaka čiji je zbroj udaljenosti od dvije zadane točke F 1 i F 2 (žarišta) konstantna vrijednost jednaka 2a.

Kanonska (najjednostavnija) jednadžba elipse

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

Elipsa dana jednadžbom (2.10) je simetrična u odnosu na koordinatne osi. Mogućnosti a I b se zovu osovinske osovine elipsa.

Neka je a>b, tada su fokusi F 1 i F 2 udaljeni na osi Ox
c= od ishodišta. Omjer c/a = e < 1 называется ekscentričnost elipsa. Udaljenosti od točke M(x, y) elipse do njezinih žarišta (fokalni radijus vektori) određuju se formulama:

r 1 = a - e x, r 2 = a + e x.

Ako a< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 = b + e x, r 2 = b - e x.

Ako je a = b, tada je elipsa krug sa središtem u ishodištu polumjera a.

Hiperbolaje geometrijsko mjesto točaka čija je razlika udaljenosti od dvije zadane točke F 1 i F 2 (žarišta) po apsolutnoj vrijednosti jednaka zadanom broju 2a.

Jednadžba kanonske hiperbole

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

Hiperbola dana jednadžbom (2.11) je simetrična u odnosu na koordinatne osi. Ona siječe os Ox u točkama A (a,0) i A (-a,0) - vrhovima hiperbole i ne siječe os Oy. Parametar a nazvao prava poluos, b -zamišljena poluos. Parametar c= je udaljenost od fokusa do ishodišta. Omjer c/a = e >1 se zove ekscentričnost hiperbola. Pravci čije su jednadžbe y =± b/a x nazivaju se asimptote hiperbola. Udaljenosti od točke M(x,y) hiperbole do njezinih žarišta (fokalni radijus vektori) određuju se formulama:

r 1 = ê e x-a ê, r 2 = ê e x + a ê.

Hiperbola za koju je a = b naziva se jednakostraničan, njegova jednadžba x 2 - y 2 = a 2 i jednadžba asimptota y =± x. Hiperbole x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 i
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 nazivaju se konjugiran.

Parabolaje geometrijsko mjesto točaka jednako udaljenih od dane točke (fokusa) i danog pravca (direktrise).

Kanonska jednadžba parabole ima dva oblika:

1) y 2 = 2rx - parabola je simetrična u odnosu na os Ox.

2) x 2 = 2ry - parabola je simetrična u odnosu na os Oy.

U oba slučaja je p>0 i vrh parabole, odnosno točka koja leži na osi simetrije, nalazi se u ishodištu.

Parabola čija jednadžba y 2 = 2rx ima fokus F(r/2,0) i direktrisu x = - r/2, žarišni radijus vektor točke M(x,y) na njoj je r = x+ r/ 2.

Parabola čija jednadžba x 2 =2ry ima fokus F(0, r/2) i direktrisu y = - r/2; žarišni radijus vektor točke M(x,y) parabole jednak je r = y + p/2.

Jednadžba F(x, y) = 0 definira liniju koja dijeli ravninu na dva ili više dijelova. U nekim od ovih dijelova vrijedi nejednakost F(x, y).<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Drugim riječima linija
F(x, y)=0 odvaja dio ravnine, gdje je F(x, y)>0, od dijela ravnine, gdje je F(x, y)<0.

Pravac čija je jednadžba Ax+By+C = 0 dijeli ravninu na dvije poluravnine. U praksi, da saznamo u kojoj poluravnini imamo Ax+By+C<0, а в какой Ax+By+C>0, koristi se metoda kontrolne točke. Da biste to učinili, uzmite kontrolnu točku (naravno, koja ne leži na ravnoj liniji čija je jednadžba Ax+By+C = 0) i provjerite koji predznak ima izraz Ax+By+C u toj točki. Isti znak ima naznačeni izraz kroz cijelu poluravninu u kojoj se nalazi kontrolna točka. U drugoj poluravnini Ax+By+C ima suprotan predznak.

Nelinearne nejednadžbe s dvije nepoznanice rješavaju se na isti način.

Na primjer, riješimo nejednadžbu x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Može se prepisati kao (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

Jednadžba (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 definira kružnicu sa središtem u točki C(2,-3) i polumjerom 5. Kružnica dijeli ravninu na dva dijela - unutarnji i vanjski. Da bismo saznali koja od njih vrijedi ova nejednakost, uzmimo kontrolnu točku u unutarnjem području, na primjer, središte C(2,-3) naše kružnice. Zamjenom koordinata točke C u lijevu stranu nejednadžbe dobivamo negativan broj -25. To znači da u svim točkama koje leže unutar kruga postoji nejednakost
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Primjer 1.5.Napišite jednadžbe pravaca koji prolaze točkom A(3,1) i nagnuti su prema pravcu 2x+3y-1 = 0 pod kutom od 45o.

Riješenje.Tražit ćemo u obliku y=kx+b. Budući da pravac prolazi točkom A, njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbu pravca, tj. 1=3k+b,Þ b=1-3k. Veličina kuta između ravnih linija
y= k 1 x+b 1 i y= kx+b određuje se formulom tg j = . Budući da je kutni koeficijent k 1 izvorne ravne linije 2x+3y-1=0 jednak - 2/3, a kut j = 45 o, tada imamo jednadžbu za određivanje k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 ili (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Imamo dvije vrijednosti k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Pronalaženjem odgovarajućih vrijednosti b pomoću formule b=1-3k, dobivamo dvije željene ravne linije, čije su jednadžbe: x - 5y + 2 = 0 i
5x + y - 16 = 0.

Primjer 1.6. Na kojoj vrijednosti parametra t jesu li pravci čije su jednadžbe 3tx-8y+1 = 0 i (1+t)x-2ty = 0 paralelni?

Riješenje.Pravci definirani općim jednadžbama su paralelni ako su koeficijenti x I g su proporcionalne, tj. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Rješavajući dobivenu jednadžbu, nalazimo t: t 1 = 2, t 2 = -2/3.

Primjer 1.7. Nađite jednadžbu zajedničke tetive dviju kružnica:
x 2 +y 2 =10 i x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

Riješenje.Pronađimo sjecišta kružnica; da bismo to učinili, riješimo sustav jednadžbi:

.

Rješavanjem prve jednadžbe nalazimo vrijednosti x 1 = 3, x 2 = 1. Iz druge jednadžbe - odgovarajuće vrijednosti g: y 1 = 1, y 2 = 3. Sada dobivamo jednadžbu opće tetive, znajući dvije točke A(3,1) i B(1,3) koje pripadaju ovom pravcu: (y-1)/(3 -1) = (x-3)/(1-3), ili y+ x - 4 = 0.

Primjer 1.8. Kako se na ravnini nalaze točke čije koordinate zadovoljavaju uvjete (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >y?

Riješenje.Prva nejednadžba sustava određuje unutrašnjost kruga, ne uključujući rub, tj. kružnica sa središtem u točki (3,3) i polumjerom . Druga nejednadžba definira poluravninu definiranu pravcem čija je jednadžba x = y, a budući da je nejednakost stroga, točke samog pravca ne pripadaju poluravnini, a sve točke ispod tog pravca pripadaju poluravnina. Budući da tražimo točke koje zadovoljavaju obje nejednakosti, područje koje tražimo je unutrašnjost polukruga.

Primjer 1.9.Izračunajte duljinu stranice kvadrata upisanog u elipsu čija je jednadžba x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

Riješenje.Neka M(s, s)- vrh kvadrata koji leži u prvoj četvrtini. Tada će stranica kvadrata biti jednaka 2 S. Jer točka M pripada elipsi, njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbu elipse c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, odakle
c = ab/; To znači da je stranica kvadrata 2ab/.

Primjer 1.10.Poznavajući jednadžbu asimptota hiperbole y =± 0,5 x i jedna njena točka M(12, 3), sastavite jednadžbu hiperbole.

Riješenje.Napišimo kanonsku jednadžbu hiperbole: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Asimptote hiperbole dane su jednadžbama y =± 0,5 x, što znači b/a = 1/2, odakle je a=2b. Jer M je točka hiperbole, tada njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbu hiperbole, tj. 144/a 2 - 27/b 2 = 1. S obzirom da je a = 2b, nalazimo b: b 2 =9Þ b=3 i a=6. Tada je jednadžba hiperbole x 2 /36 - y 2 /9 = 1.

Primjer 1.11.Izračunaj duljinu stranice pravilnog trokuta ABC upisanog paraboli s parametrom R, uz pretpostavku da se točka A poklapa s vrhom parabole.

Riješenje.Kanonska jednadžba parabole s parametrom R ima oblik y 2 = 2rx, vrh joj se poklapa s ishodištem, a parabola je simetrična u odnosu na apscisnu os. Kako pravac AB s osi Ox zatvara kut od 30o, jednadžba pravca ima oblik: y = x. veliki broj grafova

Dakle, koordinate točke B možemo pronaći rješavanjem sustava jednadžbi y 2 = 2rx, y = x, odakle je x = 6r, y = 2r. To znači da je udaljenost između točaka A(0,0) i B(6r,2r) jednaka 4r.

Pravac koji prolazi točkom K(x 0 ; y 0) i paralelan je s pravcem y = kx + a nalazi se po formuli:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Gdje je k nagib linije.

Alternativna formula:
Pravac koji prolazi točkom M 1 (x 1 ; y 1) i paralelan je s pravcem Ax+By+C=0 predstavljen je jednadžbom

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0. (2)

Primjer br. 1. Napišite jednadžbu za ravnu liniju koja prolazi kroz točku M 0 (-2,1) i istovremeno:
a) paralelna s pravcem 2x+3y -7 = 0;
b) okomito na pravac 2x+3y -7 = 0.
Riješenje . Zamislimo jednadžbu s nagibom u obliku y = kx + a. Da biste to učinili, pomaknite sve vrijednosti osim y na desnu stranu: 3y = -2x + 7 . Zatim podijelite desnu stranu s faktorom 3. Dobivamo: y = -2/3x + 7/3
Nađimo jednadžbu NK koja prolazi točkom K(-2;1), paralelno s ravnom linijom y = -2 / 3 x + 7 / 3
Zamjenom x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 dobivamo:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
ili
y = -2 / 3 x - 1 / 3 ili 3y + 2x +1 = 0

Primjer br. 2. Napišite jednadžbu pravca paralelnog s pravcem 2x + 5y = 0 koji zajedno s koordinatnim osima tvori trokut čija je površina 5.
Riješenje . Budući da su linije paralelne, jednadžba željene linije je 2x + 5y + C = 0. Površina pravokutnog trokuta, gdje su a i b njegove noge. Nađimo sjecišne točke željene linije s koordinatnim osima:
;
.
Dakle, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Zamijenimo ga u formulu za površinu: . Dobivamo dva rješenja: 2x + 5y + 10 = 0 i 2x + 5y – 10 = 0.

Primjer br. 3. Napišite jednadžbu za pravac koji prolazi točkom (-2; 5) i paralelan je s pravcem 5x-7y-4=0.
Riješenje. Ova se ravna crta može prikazati jednadžbom y = 5 / 7 x – 4 / 7 (ovdje a = 5 / 7). Jednadžba željenog pravca je y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), tj. 7(y-5)=5(x+2) ili 5x-7y+45=0 .

Primjer br. 4. Nakon što smo riješili primjer 3 (A=5, B=-7) pomoću formule (2), nalazimo 5(x+2)-7(y-5)=0.

Primjer br. 5. Napišite jednadžbu za pravac koji prolazi točkom (-2;5) i paralelan je s pravcem 7x+10=0.
Riješenje. Ovdje A=7, B=0. Formula (2) daje 7(x+2)=0, tj. x+2=0. Formula (1) nije primjenjiva jer se ova jednadžba ne može riješiti u odnosu na y (ova ravna linija je paralelna s ordinatnom osi).