Integracija po dijelovima. Primjeri rješenja

Bok opet. Danas ćemo u lekciji naučiti kako integrirati po dijelovima. Metoda integracije po dijelovima jedan je od temelja integralnog računa. Tijekom kolokvija ili ispita od studenata se gotovo uvijek traži rješavanje sljedećih vrsta integrala: najjednostavniji integral (vidi članak) ili integral zamjenom varijable (vidi članak) ili je integral samo na metoda integracije po dijelovima.

Kao i uvijek, trebali biste imati pri ruci: Tablica integrala I Tablica izvedenica. Ako ih još uvijek nemate, posjetite skladište moje web stranice: Matematičke formule i tablice. Neću se umoriti ponavljati - bolje je sve isprintati. Pokušat ću prikazati sav materijal dosljedno, jednostavno i jasno; nema posebnih poteškoća u integraciji dijelova.

Koji problem rješava metoda integracije po dijelovima? Metoda integracije po dijelovima rješava vrlo važan problem; omogućuje vam integraciju nekih funkcija koje nisu u tablici, raditi funkcije, au nekim slučajevima čak i kvocijente. Kao što se sjećamo, ne postoji prikladna formula: . Ali postoji ovaj: – formula za integraciju po dijelovima osobno. Znam, znam, ti si jedina - s njom ćemo raditi tijekom cijele lekcije (sada je lakše).

I odmah se lista šalje u studio. Integrali sljedećih vrsta uzimaju se po dijelovima:

1) , , – logaritam, logaritam pomnožen nekim polinomom.

2) ,je eksponencijalna funkcija pomnožena nekim polinomom. Tu spadaju i integrali poput - eksponencijalne funkcije pomnožene s polinomom, ali u praksi je to 97 posto, ispod integrala stoji lijepo slovo “e”. ... članak ispada pomalo lirski, o da ... stiglo je proljeće.

3) , , su trigonometrijske funkcije pomnožene nekim polinomom.

4) , – inverzne trigonometrijske funkcije (“lukovi”), “lukovi” pomnoženi nekim polinomom.

Neki razlomci su također uzeti u dijelovima; također ćemo detaljno razmotriti odgovarajuće primjere.

Integrali logaritama

Primjer 1

klasična. S vremena na vrijeme ovaj se integral može pronaći u tablicama, ali nije preporučljivo koristiti gotov odgovor, jer učitelj ima proljetni nedostatak vitamina i jako će psovati. Budući da razmatrani integral nipošto nije tablični - uzima se u dijelovima. Mi odlučujemo:

Prekidamo rješenje za međuobjašnjenja.

Koristimo formulu integracije po dijelovima:

Formula se primjenjuje s lijeva na desno

Gledamo lijevu stranu: . Očito, u našem primjeru (i u svim ostalim koje ćemo razmotriti) nešto treba označiti kao , a nešto kao .

U integralima razmatranog tipa logaritam se uvijek označava sa.

Tehnički, dizajn rješenja je implementiran na sljedeći način:

To jest, logaritam smo označili kao i preostali dio izraz integranda.

Sljedeća faza: pronađite diferencijal:

Diferencijal je gotovo isto što i izvod; već smo govorili o tome kako ga pronaći u prethodnim lekcijama.

Sada nalazimo funkciju. Kako biste pronašli funkciju koju trebate integrirati desna strana manja jednakost:

Sada otvaramo naše rješenje i konstruiramo desnu stranu formule: .
Usput, evo uzorka konačnog rješenja s nekim napomenama:

Jedina točka u radu je da sam odmah zamijenio i , budući da je uobičajeno pisati faktor prije logaritma.

Kao što vidite, primjena formule integracije po dijelovima u biti je svela naše rješenje na dva jednostavna integrala.

Imajte na umu da u nekim slučajevima odmah nakon primjene formule, pojednostavljenje se nužno provodi pod preostalim integralom - u primjeru koji razmatramo smanjili smo integrand na "x".

Provjerimo. Da biste to učinili, morate uzeti derivat odgovora:

Dobivena je izvorna funkcija integranda, što znači da je integral točno riješen.

Tijekom testa koristili smo pravilo razlikovanja proizvoda: . I to nije slučajnost.

Formula za integraciju po dijelovima i formula – to su dva međusobno obrnuta pravila.

Primjer 2

Nađi neodređeni integral.

Integrand je proizvod logaritma i polinoma.
Odlučimo se.

U nastavku ću još jednom detaljno opisati postupak primjene pravila, primjeri će biti ukratko prikazani, a ako imate poteškoća u samostalnom rješavanju, trebate se vratiti na prva dva primjera lekcije. .

Kao što je već spomenuto, potrebno je označiti logaritam (to što je potencija nije bitno). Označavamo sa preostali dio izraz integranda.

U rubrici pišemo:

Prvo nalazimo diferencijal:

Ovdje koristimo pravilo za razlikovanje složene funkcije . Nije slučajno da već na prvoj lekciji teme Neodređeni integral. Primjeri rješenja Usredotočio sam se na činjenicu da se, kako biste svladali integrale, morate "uhvatiti" za izvodnice. S izvedenicama ćete se morati nositi više puta.

Sada nalazimo funkciju, za ovo integriramo desna strana manja jednakost:

Za integraciju smo koristili najjednostavniju tabelarnu formulu

Sada je sve spremno za primjenu formule . Otvorite zvjezdicom i "konstruirajte" rješenje u skladu s desnom stranom:

Pod integralom opet imamo polinom za logaritam! Stoga se ponovno prekida rješenje i drugi put se primjenjuje pravilo integracije po dijelovima. Ne zaboravite da se u sličnim situacijama uvijek označava logaritam.

Bilo bi dobro da do sada znaš usmeno pronaći najjednostavnije integrale i derivacije.

(1) Neka vas znakovi ne zbune! Vrlo često se ovdje gubi minus, također imajte na umu da se minus odnosi na svima zagrada , a te zagrade moraju biti pravilno proširene.

(2) Otvorite zagrade. Pojednostavit ćemo zadnji integral.

(3) Uzimamo posljednji integral.

(4) “Češljanje” odgovora.

Potreba da se pravilo integracije po dijelovima primijeni dva puta (pa čak i tri puta) ne pojavljuje se vrlo rijetko.

A sada nekoliko primjera za vlastito rješenje:

Primjer 3

Nađi neodređeni integral.

Ovaj primjer je riješen promjenom varijable (ili njenom zamjenom ispod predznaka razlike)! Zašto ne - možete pokušati uzimati u dijelovima, ispast će smiješna stvar.

Primjer 4

Nađi neodređeni integral.

Ali ovaj integral je integriran po dijelovima (obećani razlomak).

Ovo su primjeri koje sami rješavate, rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Čini se da su u primjerima 3 i 4 integrandi slični, ali su metode rješenja različite! To je glavna poteškoća u svladavanju integrala - ako odaberete pogrešnu metodu za rješavanje integrala, možete se s njim petljati satima, kao s pravom zagonetkom. Dakle, što više rješavate raznih integrala, to bolje, lakši će vam biti test i ispit. Osim toga, na drugoj godini bit će diferencijalne jednadžbe, a bez iskustva u rješavanju integrala i derivacija tu nema što raditi.

U smislu logaritma, ovo je vjerojatno više nego dovoljno. Na stranu, također se mogu sjetiti da studenti strojarstva koriste logaritme za nazivanje ženskih grudi =). Usput, korisno je znati napamet grafove glavnih elementarnih funkcija: sinusa, kosinusa, arktangensa, eksponenta, polinoma trećeg, četvrtog stupnja itd. Ne, naravno, kondom na kugli zemaljskoj
Neću razvlačiti, ali sada ćete se sjetiti mnogo toga iz odjeljka Grafikoni i funkcije =).

Integrali eksponencijala pomnoženog polinomom

Opće pravilo:

Primjer 5

Nađi neodređeni integral.

Koristeći poznati algoritam, integriramo po dijelovima:

Ako imate poteškoća s integralom, trebali biste se vratiti na članak Metoda promjene varijable u neodređenom integralu.

Jedina druga stvar koju možete učiniti je prilagoditi odgovor:

Ali ako vaša tehnika izračuna nije baš dobra, onda je najprofitabilnija opcija da to ostavite kao odgovor ili čak

Odnosno, primjer se smatra riješenim kada se uzme posljednji integral. Neće biti pogreška; druga je stvar što bi vas učitelj mogao zamoliti da pojednostavite odgovor.

Primjer 6

Nađi neodređeni integral.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Ovaj integral se integrira dva puta po dijelovima. Posebnu pozornost treba obratiti na znakove - lako se zbuniti u njima, također se sjećamo da je ovo složena funkcija.

O izlagaču se više nema što reći. Mogu samo dodati da su eksponencijal i prirodni logaritam međusobno inverzne funkcije, ovo sam ja na temi zabavnih grafova više matematike =) Stani, stani, ne brini, predavač je trijezan.

Integrali trigonometrijskih funkcija pomnoženi polinomom

Opće pravilo: jer uvijek označava polinom

Primjer 7

Nađi neodređeni integral.

Integrirajmo po dijelovima:

Hmmm, ...i nema se što komentirati.

Primjer 8

Nađi neodređeni integral

Ovo je primjer za vas da sami riješite

Primjer 9

Nađi neodređeni integral

Još jedan primjer s razlomkom. Kao u prethodna dva primjera, for označava polinom.

Integrirajmo po dijelovima:

Ako imate bilo kakvih poteškoća ili nesporazuma s pronalaženjem integrala, preporučam pohađanje lekcije Integrali trigonometrijskih funkcija.

Primjer 10

Nađi neodređeni integral

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti.

Savjet: Prije korištenja metode integracije po dijelovima, trebali biste primijeniti neku trigonometrijsku formulu koja umnožak dviju trigonometrijskih funkcija pretvara u jednu funkciju. Formula se može koristiti i pri primjeni metode integracije po dijelovima, što vam više odgovara.

To je vjerojatno sve u ovom odlomku. Iz nekog razloga sam se sjetio stiha iz fizikalno-matematičke himne “I sinusni graf teče val za valom duž apscisne osi”….

Integrali inverznih trigonometrijskih funkcija.
Integrali inverznih trigonometrijskih funkcija pomnoženi polinomom

Opće pravilo: uvijek označava inverznu trigonometrijsku funkciju.

Dopustite mi da vas podsjetim da inverzne trigonometrijske funkcije uključuju arksinus, arkosinus, arktangens i arkotangens. Zbog kratkoće zapisa nazvat ću ih "lukovi"

Detaljno su razmotreni primjeri rješenja integrala po dijelovima čiji integrand sadrži logaritam, arksinus, arktangens, kao i logaritam na cjelobrojnu potenciju i logaritam polinoma.

Vidi također: Metoda integracije po dijelovima
Tablica neodređenih integrala
Metode izračunavanja neodređenih integrala
Osnovne elementarne funkcije i njihova svojstva

Formula za integraciju po dijelovima

U nastavku se pri rješavanju primjera koristi formula integracije po dijelovima:
;
.

Primjeri integrala koji sadrže logaritme i inverzne trigonometrijske funkcije

Evo primjera integrala koji su integrirani po dijelovima:
, , , , , , .

Kod integriranja se onaj dio integranda koji sadrži logaritam ili inverzne trigonometrijske funkcije označava s u, ostatak s dv.

Ispod su primjeri s detaljnim rješenjima ovih integrala.

Jednostavan primjer s logaritmom

Izračunajmo integral koji sadrži umnožak polinoma i logaritma:

Ovdje integrand sadrži logaritam. Izrada zamjena
u = u x, dv = x 2 dx . Zatim
,
.

Integrirajmo po dijelovima.
.

.
Zatim
.
Na kraju izračuna dodajte konstantu C.

Primjer logaritma na potenciju 2

Razmotrimo primjer u kojem integrand uključuje logaritam na cjelobrojnu potenciju. Takvi se integrali mogu integrirati i po dijelovima.

Izrada zamjena
u = (ln x) 2, dv = x dx . Zatim
,
.

Izračunavamo i preostali integral po dijelovima:
.
Zamijenimo
.

Primjer u kojem je argument logaritma polinom

Integrali se mogu izračunati po dijelovima, čiji integrand uključuje logaritam čiji je argument polinomska, racionalna ili iracionalna funkcija. Kao primjer, izračunajmo integral s logaritmom čiji je argument polinom.
.

Izrada zamjena
u = ln( x 2 - 1), dv = x dx .
Zatim
,
.

Izračunavamo preostali integral:
.
Ovdje ne pišemo znak modula u | x 2 - 1|, budući da je integrand definiran na x 2 - 1 > 0 . Zamijenimo
.

Primjer arkusina

Razmotrimo primjer integrala čiji integrand uključuje arcsin.
.

Izrada zamjena
u = arcsin x,
.
Zatim
,
.

Dalje, primjećujemo da je integrand definiran za |x|< 1 . Proširimo predznak modula ispod logaritma, uzimajući u obzir da 1 - x > 0 I 1 + x > 0.

Primjer arc tangente

Riješimo primjer s arktangentom:
.

Integrirajmo po dijelovima.
.
Odaberimo cijeli dio razlomka:
x 8 = x 8 + x 6 - x 6 - x 4 + x 4 + x 2 - x 2 - 1 + 1 = (x 2 + 1) (x 6 - x 4 + x 2 - 1) + 1;
.
Integrirajmo:
.
Napokon imamo.

Integrali logaritama

Integracija po dijelovima. Primjeri rješenja

Riješenje.

Npr.

Izračunajte integral:

Koristeći svojstva integrala (linearnost), ᴛ.ᴇ. , reduciramo ga na tablični integral, dobivamo to

Bok opet. Danas ćemo u lekciji naučiti kako integrirati po dijelovima. Metoda integracije po dijelovima jedan je od temelja integralnog proračuna. Tijekom kolokvija ili ispita od studenata se gotovo uvijek traži rješavanje integrala sljedećih vrsta: najjednostavniji integral (vidi članakNeodređeni integral. Primjeri rješenja ) ili integral zamjenom varijable (vidi članakMetoda promjene varijable u neodređenom integralu ) ili je integral samo na metoda integracije po dijelovima.

Kao i uvijek, trebali biste imati pri ruci: Tablica integrala I Tablica izvedenica. Ako ih još uvijek nemate, posjetite skladište moje web stranice: Matematičke formule i tablice. Neću se umoriti ponavljati - bolje je sve isprintati. Pokušat ću prikazati sav materijal dosljedno, jednostavno i jasno; nema posebnih poteškoća u integraciji dijelova.

Koji problem rješava metoda integracije po dijelovima? Metoda integracije po dijelovima rješava vrlo važan problem; omogućuje vam integraciju nekih funkcija koje nisu u tablici, raditi funkcije, au nekim slučajevima čak i kvocijente. Kao što se sjećamo, ne postoji prikladna formula: . Ali postoji ovo: - formula za integraciju po dijelovima osobno. Znam, znam, ti si jedina - s njom ćemo raditi tijekom cijele lekcije (sada je lakše).

I odmah se lista šalje u studio. Integrali sljedećih vrsta uzimaju se po dijelovima:

1) , – logaritam, logaritam pomnožen nekim polinomom.

2) , je eksponencijalna funkcija pomnožena nekim polinomom. Tu spadaju i integrali poput - eksponencijalne funkcije pomnožene s polinomom, ali to je u praksi 97 posto, ispod integrala stoji lijepo slovo ʼʼeʼʼ. ... članak ispada pomalo lirski, o da ... stiglo je proljeće.

3) , – trigonometrijske funkcije pomnožene nekim polinomom.

4) - inverzne trigonometrijske funkcije ("lukovi"), "lukovi", pomnoženi nekim polinomom.

Neki razlomci su također uzeti u dijelovima; također ćemo detaljno razmotriti odgovarajuće primjere.

Primjer 1

Nađi neodređeni integral.

klasična. S vremena na vrijeme ovaj se integral može pronaći u tablicama, ali nije preporučljivo koristiti gotov odgovor, jer učitelj ima proljetni nedostatak vitamina i jako će psovati. Budući da razmatrani integral nipošto nije tablični - uzima se u dijelovima. Mi odlučujemo:

Prekidamo rješenje za međuobjašnjenja.

Koristimo formulu integracije po dijelovima:

Integrali logaritama - pojam i vrste. Klasifikacija i značajke kategorije "Integrali logaritama" 2017., 2018.