«Он жил в эпоху, когда ещё не было уверенности в существовании некоторой общей закономерности для всех явлений природы...

Какой глубокой была у него вера в такую закономерность, если, работая в одиночестве, никем не поддерживаемый и не понятый, он на протяжении многих десятков лет черпал в ней силы для трудного и кропотливого эмпирического исследования движения планет и математических законов этого движения!

Астрономы приложили огромные усилия, поскольку законы Кеплера были единогласно приняты, чтобы определить астрономическое единство, которое составляет около 870 км. Помимо больших открытий Кеплера, которые открыли дверь в новую астрономию, более поздние результаты Ньютона были необходимы для полного определения орбит планет.

Никто не навязывал их, но вселенная, по-видимому, управляется законами, которые ученые пытались обнаружить на протяжении всей истории. Кеплер основывал свои законы на планетарных данных, собранных датским астрономом Тихо Браге, из которых он был помощником. Их предложения сломались со старой верой веков, что планеты двигались по круговым орбитам.

Сегодня, когда этот научный акт уже совершился, никто не может оценить полностью, сколько изобретательности, сколько тяжёлого труда и терпения понадобилось, чтобы открыть эти законы и столь точно их выразить» (Альберт Эйнштейн о Кеплере).

Иоганн Кеплер первым открыл закон движения планет Солнечной системы. Но сделал это он на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге. Поэтому поговорим сначала о нем.

Первый закон: планеты вращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, в которых Солнце занимает одно из фокусов эллипса. Второй закон: области, охваченные сегментом, соединяющим Солнце с планетой, пропорциональны временам их описания. Как следствие этого закона, чем ближе планета к Солнцу, тем быстрее она движется.

Третий закон: квадраты сидерических периодов вращения планет вокруг Солнца пропорциональны центрам основных полуосей их эллиптических орбит. Это позволяет сделать вывод о том, что планеты более отдалены орбите Солнца с меньшей скоростью, чем близкие; говорит, что период обращения зависит от расстояния до Солнца.

Тихо Браге (1546-1601)

Тихо Браге - датский астроном, астролог и алхимик эпохи Возрождения. Первым в Европе начал проводить систематические и высокоточные астрономические наблюдения, на основании которых Кеплер вывел законы движения планет.

Гравитация - свойство взаимного притяжения, которым обладают все объекты, состоящие из материи. Иногда это используется как термин «гравитация», хотя это относится только к гравитационной силе, действующей на Землю. Гравитация - одна из четырех основных сил, которые контролируют взаимодействие материи. До сих пор у них не было попыток обнаружить гравитационные волны, которые, согласно теории относительности, можно было наблюдать, когда гравитационное поле объекта большой массы нарушено.

Изменение длины волны света, электромагнитного излучения и звука тел сообщает о его движении. Когда автомобиль приближается, мы слышим его двигатель острее, чем когда он уходит. Аналогично, когда приближается звезда или галактика, ее спектр движется к синему и, если они уходят, к красному.

Астрономией увлекся еще в детстве, вел самостоятельные наблюдения, создал некоторые астрономические инструменты. Однажды (11 ноября 1572 года), возвращаясь домой из химической лаборатории, он заметил в созвездии Кассиопеи необычайно яркую звезду, которой раньше не было. Он сразу понял, что это не планета, и бросился измерять её координаты. Звезда сияла на небе ещё 17 месяцев; вначале она была видна даже днём, но постепенно её блеск тускнел. Это была первая за 500 лет вспышка сверхновой в нашей Галактике. Событие это взбудоражило всю Европу, было множество истолкований этого «небесного знамения» - предсказывали катастрофы, войны, эпидемии и даже конец света. Появились и учёные трактаты, содержащие ошибочные утверждения о том, что это комета или атмосферное явление. В 1573 г. вышла первая его книга «О новой звезде». В ней Браге сообщал, что никакого параллакса (изменения видимого положения объекта относительно удалённого фона в зависимости от положения наблюдателя) у этого объекта не обнаружено, и это убедительно доказывает, что новое светило - звезда, и находится она не вблизи Земли, а по крайней мере на планетном расстоянии. С появлением этой книги Тихо Браге был признан первым астрономом Дании. В 1576 г. указом датско-норвежского короля Фредерика II Тихо Браге был пожалован в пожизненное пользование остров Вен (Hven ), расположенный в 20 км от Копенгагена, а также выделены значительные суммы на постройку обсерватории и её содержание. Это было первое в Европе здание, специально построенное для астрономических наблюдений. Тихо Браге назвал свою обсерваторию «Ураниборг» в честь музы астрономии Урании (это название иногда переводят как «Небесный замок»). Проект здания составил сам Тихо Браге. В 1584 г. рядом с Ураниборгом был построен ещё один замок-обсерватория: Стьернеборг (в переводе с датского «Звёздный замок»). В скором времени Ураниборг стал лучшим в мире астрономическим центром, сочетавшим наблюдения, обучение студентов и издание научных трудов. Но в дальнейшем, в связи со сменой короля. Тихо Браге лишился финансовой поддержки, а затем последовало запрещение заниматься на острове астрономией и алхимией. Астроном покинул Данию и остановился в Праге.

В настоящий момент все наблюдаемые галактики движутся к красному, то есть отходят отсюда. Законы Кеплера описывают кинематику движения планет вокруг Солнца. Планеты описывают эллиптические орбиты с Солнцем в одном из своих очагов. Эллипс представляет собой геометрическую фигуру, которая имеет следующие характеристики.

Векторное положение любой планеты относительно Солнца, равномерно распределяет равные площади эллипса. Закон областей эквивалентен постоянству момента количества движения, т.е. когда планета находится дальше от Солнца, его скорость меньше, чем когда она ближе к Солнцу.

Вскоре Ураниборг и все связанные с ним постройки были полностью разрушены (в наше время они частично восстановлены).

В это напряжённое время Браге пришёл к выводу, что ему нужен молодой талантливый помощник-математик для обработки накопленных за 20 лет данных. Узнав о гонениях на Иоганна Кеплера, незаурядные математические способности которого он уже успел оценить из их переписки, Тихо пригласил его к себе. Перед учеными стояла задача: вывести из наблюдений новую систему мира, которая должна прийти на смену как птолемеевской, так и коперниковой. Он поручил Кеплеру ключевую планету: Марс, движение которого решительно не укладывалось не только в схему Птолемея, но и в собственные модели Браге (по его расчётам, орбиты Марса и Солнца пересекались).

Как мы видим, период планет зависит только от большой оси эллипса. Три планеты анимации имеют одну и ту же большую ось 2а = 6 единиц, поэтому они имеют одинаковый период. Для меня и, вероятно, для некоторых читателей, из-за неправильного толкования чтений, сделанных в некоторых дидактических книгах и научного раскрытия, казалось несомненным историческим фактом, что английский физик и математик сэр Исаак Ньютон продемонстрировал законы Кеплера, используя новый математический метод, метод потока, который он сам создал.

Однако это не так, как мы покажем в этой записи. Скорее, мы сделаем исторический обзор этих Законов. Гелиоцентрическая модель Копроника имела последователей и противников, среди которых датский астроном Тихо Браге. Наблюдая, что планеты вращаются вокруг Солнца и, тем не менее, не наблюдая звездных параллаксов, указывая на неподвижность Земли, Тихо Браге сформулировал свою собственную модель, согласно которой планеты вращаются вокруг Солнца и это, вместе с луной и небесным неподвижными звездами, вращалось вокруг неподвижной земли.

В 1601 г. Тихо Браге и Кеплер начали работу над новыми, уточнёнными астрономическими таблицами, которые в честь императора получили название «Рудольфовых»; они были закончены в 1627 г. и служили астрономам и морякам вплоть до начала XIX века. Но Тихо Браге успел только дать таблицам название. В октябре он неожиданно заболел и умер от неизвестной болезни.

Используя модель Коперника с Солнцем в его центре, Кеплер помещал в пространства между сферами, содержащими шесть планет, таким образом, известным пяти совершенных платоновых твердых тел, каждый из которых был установлен в следующем. Таким образом, упорядочивая твердые тела в правильном порядке, диаметры сфер будут иметь почти те же пропорции, что и орбиты планет.

Получив эту книгу из рук Кеплера, Тихо Браге поразило его математическое содержание, хотя он не согласился с представленной там гелиоцентрической моделью. Тем не менее, он пригласил его работать с ним в Праге, где он жил. Анализируя наблюдения Тихо на этой планете, он подумал, что через короткое время он найдет форму марсианской орбиты. Однако на это потребовались годы напряженной работы, чтобы найти его, как мы увидим ниже, и чьи подробности можно найти в нескольких текстах, таких как: Артур Кестлер, Человек и Вселенная; Роналду Рожедо де Фрейтас Муран, Кеплер: открытие законов планетарного движения; Стивен Хокинг, «Гении науки: на плечах гигантов»; Марсело Глейзер, «Гармония мира».

Тщательно изучив данные Тихо Браге, Кеплер открыл законы движения планет.

Законы движения планет Кеплера

Первоначально Кеплер планировал стать протестантским священником, но благодаря незаурядным математическим способностям был приглашён в 1594 г. читать лекции по математике в университете города Граца (сейчас это Австрия). В Граце Кеплер провёл 6 лет. Здесь в 1596 г. вышла в свет его первая книга «Тайна мира». В ней Кеплер попытался найти тайную гармонию Вселенной, для чего сопоставил орбитам пяти известных тогда планет (сферу Земли он выделял особо) различные «платоновы тела» (правильные многогранники). Орбиту Сатурна он представил как круг (ещё не эллипс) на поверхности шара, описанного вокруг куба. В куб в свою очередь был вписан шар, который должен был представлять орбиту Юпитера. В этот шар был вписан тетраэдр, описанный вокруг шара, представлявшего орбиту Марса и т. д. Эта работа после дальнейших открытий Кеплера утратила своё первоначальное значение (хотя бы потому, что орбиты планет оказались не круговыми); тем не менее, в наличие скрытой математической гармонии Вселенной Кеплер верил до конца жизни, и в 1621 г. переиздал «Тайну мира», внеся в нее многочисленные изменения и дополнения.

Ввиду этого и с некоторым трудом Кеплер получил от наследников Тычо драгоценные данные, которые он собрал в планетной системе, сначала в Ураниборгской обсерватории, на острове Хесен в Дании, а затем в Праге. Закон областей: радиус вектора, соединяющий планету с Солнцем, описывает равные площади в равные времена.

Ввиду этого Кеплер первоначально попытался выполнить ряд комбинаций кругов для марсианской орбиты. Но поскольку он нашел восьмиминутную разницу в носу и подумал, что его мастер Тихо не допустил бы такой ошибки, он продолжал испытывать овальные орбиты, после безуспешного рассмотрения того, что каждая сфера, характерная для планеты, была на самом деле сферической оболочкой толщины достаточно, чтобы объяснить орбитальный эксцентриситет.

Будучи великолепным наблюдателем, Тихо Браге за много лет составил объёмный труд по наблюдению планет и сотен звёзд, причём точность его измерений была существенно выше, чем у всех предшественников. Для повышения точности Браге применял как технические усовершенствования, так и специальную методику нейтрализации погрешностей наблюдения. Особо ценной была систематичность измерений.

Сделав семьдесят попыток скорректировать данные Браге на модель Копирова и собственный Браге, Кеплер наконец достиг орбиты эллиптического типа. Закон орбит: планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, а Солнце является одним из фокусов. Открыв законы, регулирующие движения планет, Кеплер ушел, чтобы определить связь между расстояниями и периодами того же самого.

Отныне мы будем иметь дело с Ньютоном. Однако в Королевской школе Грантхэма он был странным мальчиком, поскольку его наибольший интерес был в механических инструментах, которые он сам строил. Однако, готовясь защищать Учителя, он должен был покинуть Кембридж в течение двух лет и вернуться в Вульфстоп, из-за бубонной чумы, которая тогда бушевала в Лондоне.

На протяжении нескольких лет Кеплер внимательно изучает данные Браге и в результате тщательного анализа приходит к выводу, что траектория движения Марса представляет собой не круг, а эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце - положение, известное сегодня как первый закон Кеплера .

Первый закон Кеплера (закон эллипсов)

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Эти первые расчеты, сделанные Ньютоном, позволили ему подумать о гипотезе универсального закона, регулирующего движение планет вокруг Солнца. Однако было сделано много работы, чтобы сделать эту гипотезу реальностью. Таким образом, для группы физиков англичане Иеремия Хоррокс, Роберт Гук, сэр Кристофер Рен, Эдмунд Галлей и голландский христианин Гюйгенс, среди проблем, которые они обсуждали, один из них был довольно интригующим: - Какая сила заставляет планету для описания эллиптической орбиты вокруг Солнца?

Хотя Кеплер предположил, что магнитная и обратнолинейная сила, исходящая от Солнца, ответственна за движение планет, эта гипотеза не была принята упомянутыми выше физиками. Гук зашел так далеко, что сказал, что он уже это рассмотрел и продемонстрировал вместе с ним все законы небесного движения. Ввиду этого сэр Рен предложил приз для Гука, Галлея или любого другого физика написать книгу по такой интересной теме.

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением , где - расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), - большая полуось. Величина называется эксцентриситетом эллипса. При , и, следовательно , эллипс превращается в окружность.

Когда его спросили о кривой, описываемой планетами под действием обратного типа квадрата расстояния, он получил от Ньютона немедленный ответ, что это был эллипс, поскольку он уже показал это, найти такую ​​демонстрацию, но пообещал отправить ее позже Галлею.

Воодушевленный визитом Галлея, Ньютон возобновил расчеты, которые он сделал до орбит планет, почти 20 лет. В этой небольшой девятистраничной работе Ньютон показал, что сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния, подразумевает техническую орбиту для скоростей ниже определенного предела.

Дальнейший анализ приводит ко второму закону. Радиус-вектор, соединяющий планету и Солнце, в равное время описывает равные площади. Это означало, что чем дальше планета от Солнца, тем медленнее она движется.

Второй закон Кеплера (закон площадей)

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.

В этом есть демонстрация важного результата для его Теории всеобщей гравитации, а именно, что действие однородной сферы на внешнюю частицу такое же, как если бы вся масса этой сферы была сосредоточена в ее центре. Таким образом, для Ньютона все частицы обширной Земли объединились, чтобы привлечь как маи, расположенные на несколько футов над его поверхностью, так и Луну. Из этого наблюдения ему пришло в голову, что сила земной гравитации не была ограничена определенным расстоянием от Земли, но она должна простираться далеко за пределы того, что она обычно считает и, возможно, даже Луны.

С этим законом связаны два понятия: перигелий - ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий - наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

В заключение этой статьи мы представим некоторые комментарии к геометрическим демонстрациям Ньютона законов Кеплера. В демонстрации Закона об аресте Ньютон считал, что движение планеты вокруг Солнца является результатом конкуренции между тенденцией того же следовать по прямой, с равномерным движением, как будто на нее не действуют никакие силы, и Таким образом, с помощью некоторых теорем плоской геометрии, особенно относящихся к сходствам и зонам треугольников, пришли к этой демонстрации.

С другой стороны, демонстрация Закона орбит была реализована Ньютоном в несколько этапов, используя некоторые геометрические свойства технических разделов. Первоначально было показано, что когда тело движется по эллиптической орбите под действием центростремительной силы, направленной в центр этой техники, эта сила изменяется с обратным квадратом расстояния. Тогда было доказано, что если указанное тело движется в гиперболическом или параболическом под действием центростремительной силы, направленной на фокус рассматриваемой техники, оно также меняется с обратным к квадрату расстояния.

Третий закон Кеплера (гармонический закон)

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.

Наконец, была продемонстрирована обратная теорема, а именно: если тело движется под действием центростремительной силы, изменяющейся с обратным к квадрату расстояния, траектория тела должна быть методом: эллипсом, параболой или гиперболой. Важно отметить, что гипотеза о том, что центростремительная сила менялась с обратным квадратом расстояния, используемого Ньютоном для демонстрации закона орбит, как мы видели выше, была предложена ему, заметив, что Закон Периодов очень хорошо подошел частный случай круговых орбит.

Гудштейном в книге под названием «Забытый плач Фейнмана: движение планет вокруг Солнца». Эта книга была дана мне бразильским физиком Хосе Акасио де Барросом, а его копия была предложена бразильским физиком Витором Фачана Серра. Для них моя вечная благодарность. Законы Кеплера, которые могут попасть на физический тест Энема, связаны с научными исследованиями. Эти законы, применимые к любой солнечной системе, имеют краткую историю. Немецкий астроном Иоганн Кеплер работал с Тихо Браге. Со смертью Браге Кеплер получил астрономические данные, полученные Браге, и, таким образом, смог прояснить планетарное движение.

Где и - периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а и - длины больших полуосей их орбит.

Ньютон позднее установил, что третий закон Кеплера не совсем точен - в него входит и масса планеты: , где - масса Солнца, а и - массы планет.

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

Значение открытий Кеплера в астрономии

Открытые Кеплером три закона движения планет полностью и точно объяснили видимую неравномерность этих движений. Вместо многочисленных надуманных эпициклов модель Кеплера включает только одну кривую - эллипс. Второй закон установил, как меняется скорость планеты при удалении или приближении к Солнцу, а третий позволяет рассчитать эту скорость и период обращения вокруг Солнца.

Хотя исторически кеплеровская система мира основана на модели Коперника, фактически у них очень мало общего (только суточное вращение Земли). Исчезли круговые движения сфер, несущих на себе планеты, появилось понятие планетной орбиты. В системе Коперника Земля всё ещё занимала несколько особое положение, поскольку только у неё не было эпициклов. У Кеплера Земля - рядовая планета, движение которой подчинено общим трём законам. Все орбиты небесных тел - эллипсы, общим фокусом орбит является Солнце.

Кеплер вывел также «уравнение Кеплера», используемое в астрономии для определения положения небесных тел.

Законы, открытые Кеплером, послужили позже Ньютону основой для создания теории тяготения. Ньютон математически доказал, что все законы Кеплера являются следствиями закона тяготения.

Но в бесконечность Вселенной Кеплер не верил и в качестве аргумента предложил фотометрический парадокс (это название возникло позже): если число звёзд бесконечно, то в любом направлении взгляд наткнулся бы на звезду, и на небе не существовало бы тёмных участков. Кеплер, как и пифагорейцы, считал мир реализацией некоторой числовой гармонии, одновременно геометрической и музыкальной; раскрытие структуры этой гармонии дало бы ответы на самые глубокие вопросы.

Другие достижения Кеплера

В математике он нашёл способ определения объёмов разнообразных тел вращения, предложил первые элементы интегрального исчисления, подробно проанализировал симметрию снежинок, работы Кеплера в области симметрии нашли позже применение в кристаллографии и теории кодирования. Он составил одну из первых таблиц логарифмов, впервые ввёл важнейшее понятие бесконечно удалённой точки, ввёл понятие фокуса конического сечения и рассмотрел проективные преобразования конических сечений, в том числе меняющие их тип.

В физике ввёл термин инерция как прирождённое свойство тел сопротивляться приложенной внешней силе, вплотную подошёл к открытию закона тяготения, хотя и не пытался выразить его математически, первый, почти на сто лет раньше Ньютона, выдвинул гипотезу о том, что причиной приливов является воздействие Луны на верхние слои океанов.

В оптике : с его трудов начинается оптика как наука. Он описывает преломление света, рефракцию и понятие оптического изображения, общую теорию линз и их систем. Кеплер выяснил роль хрусталика, верно описал причины близорукости и дальнозоркости.

К астрологии у Кеплера было отношение двойственное. Приводят по этому поводу два его высказывания. Первое: «Конечно, эта астрология - глупая дочка, но, Боже мой, куда бы делась её мать, высокомудрая астрономия, если бы у неё не было глупенькой дочки! Свет ведь ещё гораздо глупее и так глуп, что для пользы этой старой разумной матери глупая дочка должна болтать и лгать. И жалованье математиков так ничтожно, что мать, наверное бы, голодала, если бы дочь ничего не зарабатывала ». И второе: «Люди ошибаются, думая, что от небесных светил зависят земные дела ». Но, тем не менее, Кеплер составлял гороскопы для себя и своих близких.

Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Закон открыт Ньютоном также в XVII веке (понятно, что на основе законов Кеплера). Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса. В отличие от двух первых, третий закон Кеплера применим только к эллиптическим орбитам. Немецкий астроном И. Кеплер в начале XVII века на основе системы Коперника сформулировал три эмпирических закона движения планет Солнечной системы.

В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом → 0, где, - массы планеты и Солнца соответственно. Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетомe и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

3.1. Движение в гравитационном поле

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Другая формулировка этого закона: секториальная скорость планеты постоянна. Современная формулировка первого закона дополнена так: в невозмущенном движении орбита движущегося тела есть кривая второго порядка – эллипс, парабола или гипербола.

Несмотря на то, что законы Кеплера явились важнейшим этапом в понимании движения планет, они все же оставались только эмпирическими правилами, полученными из астрономических наблюдений.


Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что T2 ~ R3, где Т – период обращения, R – радиус орбиты. В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной. При E = E1 rmax. В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).


Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. Установлены Иоганном Кеплером в начале XVII века как обобщение данных наблюдений Тихо Браге. Причем особенно внимательно Кеплер изучал движение Марса. Рассмотрим законы подробнее.

При с=0 и е=0 эллипс превращается в окуржность. Этот закон, равно как и первые два, применим не только к движению планет, но и к движению как их естественных, так и искуственных спутников. Кеплера не дана, так как в этом не было необходимости. Кеплера сформулирован Ньютоном так: квадраты сидерических периодов планет, умноженные на сумму масс Солнца и планеты, относятся как кубы больших полуосей орбит планет.

17 в. И. Кеплером (1571-1630) на основе многолетних наблюдений Т. Браге (1546-1601). Закон площадей.) 3. Квадраты периодов любых двух планет соотносятся как кубы их средних расстояний от Солнца. Наконец, он предположил, что орбита Марса эллиптическая, и увидел, что эта кривая хорошо описывает наблюдения, если Солнце поместить в один из фокусов эллипса. Затем Кеплер предположил (хотя и не мог точно доказать этого), что все планеты движутся по эллипсам, в фокусе которых находится Солнце.

КЕПЛЕРОВСКИЙ ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ. 1 й закон: каждая планета движется по эллиптич. Когда камень падает на Землю, он подчиняется закону всемирного тяготения. Эта сила прилагается к одному из взаимодействующих тел и направлена в сторону другого. К такому заключению, в частности, пришел И. Ньютон в своем мысленном бросании камней с высокой горы.Итак, Солнце искривляет движение планет, не давая им разлететься во все стороны.


Кеплер на основе результатов кропотливых и многолетних наблюдений Тихо Браге за планетой Марс смог определить форму его орбиты. Действие на Луну Земли и Солнца делают совершенно непригодными для расчетов ее орбиты законы Кеплера.

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением, где - расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), - большая полуось. Таким образом можно утверждать, что, а следовательно и пропорциональная ей скорость заметания площади - константа. Солнца, а и - длины больших полуосей их орбит. Утверждение справедливо также для спутников.

Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. При этом взаимодействие между телами M1 и M2 не учитывается. Различие будет только в линейных размерах орбит (если тела разной массы). В мире атомов и элементарных частиц гравитационные силы пренебрежимо малы по сравнению с другими видами силового взаимодействия между частицами.

Глава 3. Основы небесной механики

Гравитация управляет движением планет Солнечной системы. Без нее планеты, составляющие Солнечную систему, разбежались бы в разные стороны и потерялись в безбрежных просторах мирового пространства. С точки зрения земного наблюдателя планеты движутся по весьма сложным траекториям (рис. 1.24.1). Геоцентрическая система Птолемея продержалась более 14 столетий и только в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой Коперника.


На рис. 1.24.2 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Почти все планеты Солнечной системы (кроме Плутона) движутся по орбитам, близким к круговым. Круговая и эллиптическая орбиты.

Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. В частности, уже говорилось, что сила тяжести, действующая на тела вблизи поверхности Земли, имеет гравитационную природу. Потенциальная энергия тела массы m, находящегося на расстоянии r от неподвижного тела массы M, равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность.

В пределе при Δri → 0 эта сумма переходит в интеграл. Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела (рис. 1.24.6). Если скорость космического корабля равна υ1 = 7.9·103 м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей.

Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона. 3. Наконец, Кеплер отметился еще и третьим законом планетных движений. Солнца, а и - массы планет. Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удаленная точка орбиты.