Работа газа

1. Первый закон термодинамики

Существование двух способов передачи энергии термодинамической системе позво­ляет проанализировать с энергетической точки зрения равновесный процесс перехода системы из какого-либо начального состоя­ния 1 в другое состояние 2 . Изменение внутренней энергии системы

 U 1-2 = U 2 - U 1

в таком процессе равно сумме работы A ’ 1-2 совершаемой над системой внешними силами и теплоты Q 1-2 сообщенной системе:

 U 1-2 = A ’ 1-2 + Q 1-2 (2. 3 )

Работа A ’ 1-2 численно равна и противопо­ложна по знаку работе A 1-2 , совершае­мой самой системой против внешних сил в том же процессе перехода:

A ’ 1-2 = - A 1-2 .

Поэтому выражение (2.6) можно переписать иначе:

Q 1-2 =  U 1-2 + A 1-2 (2. 3 )

Первое начало термодинамики: теплота, сообщаемая системе, расходуется на изменение внутренней энергии системы и на совершение системой работы против внешних сил.

 Q = dU +  A (2. 3 )

dU – внутренняя энергия, является полным дифференциалом.

Q и  A не являются полными дифференциалами.

Q 1-2 =
(2. 3 )

.

Исторически установление первого начала термодинамики было связано с неудачами создания вечного двигателя первого рода (перпетуум мобиле), в котором машина совершала бы работу не получая извне тепла и не затрачивая при этом никакого вида энергии. Первый закон термодинамики говорит о невозможности построения такого двигателя.

Q 1-2 =  U 1-2 + A 1-2

1. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам.

   1. Изобарный процесс.

р = const

A = = p ( V 2 - V 1 ) = p  V ,

где р – давление газа,  V – изменение его объема.

Т.к. PV 1 = RT 1 ; PV 2 = RT 2,

то V 2 - V 1 = (T 2 – T 1 ) и

А = R (T 2 – T 1 ); (2. 3 )

Таким образом, получаем, что универсальная газовая постоян­ная R равна работе, которую совершает моль идеального газа при повышении его температуры на один Кельвин при постоян­ном давлении.

Учитывая выражение (2.10), уравнение первого начала термодинамики (2.8) можно записать следующим образом

 Q = dU + pdV. (2. 3)

1. Изохорный процесс

V = const , следовательно, dV = 0

 А = p  V = 0

 Q =  U .

 Q =  U = R  T (2. 3 )

1. Изотермический процесс

Т = const ,

U = 0 внутренняя энергия идеального газа не изменяется, и

Q =  А

A = =
= RTln (2. 3 )

Для того, чтобы температура газа при расширении не уменьшалась, к газу в течение изотермического процесса необходимо подводить количество теплоты, эквивалентное внешней работе расширения, т.е. А = Q .

Практически, чем медленнее протекает процесс, тем с большей точностью его можно считать изотермическим.

Графически работа при изотермическом процессе численно равна площади заштрихованной проекции на рис.

Сравнивая площади фигур под участками изотермы и изобары можно сделать вывод, что расширение газа от объема V 1 до объема V 2 при одинаковом начальном значении давления газа сопровождается в случае изобарного расширения совершением большей работы.

1. Теплоемкость газов

Теплоемкостью С какого-либо тела называется отношение бесконечно малого количества теплоты d Q , полученного телом, к соответствующему приращению dT его температуры:

C тела = (2. 3 )

Эта величина измеряется в джоулях на кельвин (Дж/К).

Когда масса тела равна единице, теплоемкость называется удельной. Её обозначают малой буквой с. Она измеряется в джо­улях на килограмм . кельвин (Дж/кг . К).Между теплоемкостью моля вещества и удельной теплоем­костью того же вещества существует соотношение

(2. 3 )

Используя формулы (2.12) и (2.15), можно записать

(2. 3 )

Особое значение имеют теплоемкости при постоянном объеме С V и постоянном давлении С р . Если объем остается постоянным, то dV = 0 и согласно первому началу термодинамики (2.12) вся теп­лота идет на приращение внутренней энергии тела

 Q = dU (2. 3 )

Из этого равенства вытекает, что теплоемкость моля идеального газа при постоянном объеме равна

(2. 3 )

Отсюда dU  = C V dT , а внутренняя энергия одного моля идеального газа равна

U  = C V T (2. 3 )

Внутренняя энергия произвольной массы газа т определяется по формуле

(2. 3 )

Учитывая, что для 1 моля идеального газа

U = RT ,

и считая число степеней свободы i неизменным, для молярной теплоемкости при постоянном объеме получаем

C v = = (2. 3 )

Удельная теплоемкость при постоянном объеме

с v = = (2. 3 )

Для произвольной массы газа справедливо соотношение:

 Q = dU = RdT ; (2. 3 )

Если нагревание газа происходит при постоянном давле­нии, то газ будет расширяться, совершая над внешними силами положительную работу. Поэтому теплоемкость при постоянном давлении должна быть больше, чем теплоемкость при постоян­ном объеме.

Если 1 молю газа при изобарном процессе сообщается количество теплоты  Q то введя понятие молярной теплоемкости при постоянном давлении С р = можно записать

 Q = C p dT ;

где C p – молярная теплоемкость при постоянном давлении.

Т.к. в соответствии с первым началом термодинамики

 Q =  A + dU = RdT + RdT =

=(R + R)dT = (R + С V )dT,

то

С р == R + С V . (2. 3 )

Это соотношение называется уравнением Майера :

Выражение для С р можно также записать в виде:

С р = R + R =
. (2. 3 )

Удельную теплоемкость при постоянном давлении с p определим, разделив выражения (2.26) на  :

с p =
(2. 3 )

При изобарном сообщении газу массой m количества теплоты  Q его внутренняя энергия возрастает на величину  U = C V  T , а количество теплоты, переданное газу при изобарном процессе,  Q = C p  T .

Обозначив отношение теплоемкостей буквой  , получим

(2. 3 )

Очевидно,   1 и зависит только от сорта газа (числа сте­пеней свободы).

Из формул (2.22) и (2.26) следует, что молярные теплоем­кости определяются лишь числом степеней свободы и не зависят от температуры. Это утверждение справедливо в довольно широ­ком интервале температур лишь для одноатомных газов только с поступательными степенями свободы. У двухатомных газов число степеней свободы, проявляющееся в теплоемкости, зависит от температуры. Молекула двухатомного газа обладает тремя поступательными, степенями свободы: поступательными (3), вращательными (2) и колебатель­ными (2).

Таким образом, суммарное число степеней свободы достигает 7 и для молярной теплоемкости при постоянном объеме мы должны получить: С V = .

Из экспериментальной зависимости молярной теплоемкости водорода следует, что С V зависит от температуры: при низкой температуре ( 50 K ) С V = , при комнатной С V = и очень высокой - С V = .

Расхождение теории и эксперимента объясняется тем, что при вычислении теплоемкости надо учитывать квантование энергии вращения и колебаний молекул (возможны не любые вращательные и колебательные энергии, а лишь определенный дискретный ряд значений энергий). Если энергия теплового движения недоста­точна, например, для возбуждения колебаний, то эти колебания не вносят своего вклада в теплоемкость (соответствующая степень свободы "замораживается" - к ней неприменим закон равномерного распределения энергии). Этим объ­ясняется последовательное (при определенных температурах) возбуждение степеней свободы, поглощающих тепловую энергию, и приведенная на рис. 13 зависимость C V = f ( T ).

При рассмотрении термодинамических процессов механическое перемещение макротел в целом не рассматривается. Понятие работы здесь связывается с изменением объема тела, т.е. перемещением частей макротела друг относительно друга. Процесс этот приводит к изменению расстояния между частицами, а также часто к изменению скоростей их движения, следовательно, к изменению внутренней энергии тела.

Пусть в цилиндре с подвижным поршнем находится газ при температуре T 1 (рис. 1). Будем медленно нагревать газ до температуры T 2 . Газ будет изобарически расширяться, и поршень переместится из положения 1 в положение 2 на расстояние Δl . Сила давления газа при этом совершит работу над внешними телами. Так как p = const, то и сила давления F = pS тоже постоянная. Поэтому работу этой силы можно рассчитать по формуле

\(~A = F \Delta l = pS \Delta l = p \Delta V, \qquad (1)\)

где ΔV - изменение объема газа. Если объем газа не изменяется (изохорный процесс), то работа газа равна нулю.

Сила давления газа выполняет работу только в процессе изменения объема газа .

При расширении (ΔV > 0) газа совершается положительная работа (А > 0); при сжатии (ΔV < 0) газа совершается отрицательная работа (А < 0), положительную работу совершают внешние силы А’ = -А > 0.

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева для двух состояний газа:

\(~pV_1 = \frac mM RT_1 ; pV_2 = \frac mM RT_2 \Rightarrow\) \(~p(V_2 - V_1) = \frac mM R(T_2 - T_1) .\)

Следовательно, при изобарном процессе

\(~A = \frac mM R \Delta T .\)

Если m = М (1 моль идеального газа), то при ΔΤ = 1 К получим R = A . Отсюда вытекает физический смысл универсальной газовой постоянной: она численно равна работе, совершаемой 1 моль идеального газа при его изобарном нагревании на 1 К.

На графике p = f (V ) при изобарном процессе работа равна площади заштрихованного на рисунке 2, а прямоугольника.

Если процесс не изобарный (рис. 2, б), то кривую p = f (V ) можно представить как ломаную, состоящую из большого количества изохор и изобар. Работа на изохорных участках равна нулю, а суммарная работа на всех изобарных участках будет

\(~A = \lim_{\Delta V \to 0} \sum^n_{i=1} p_i \Delta V_i\), или \(~A = \int p(V) dV,\)

т.е. будет равна площади заштрихованной фигуры. При изотермическом процессе (Т = const) работа равна площади заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке 2, в.

Определить работу, используя последнюю формулу, можно только в том случае, если известно, как изменяется давление газа при изменении его объема, т.е. известен вид функции p (V ).

Таким образом, газ при расширении совершает работу. Приборы и агрегаты, действия которых основаны на свойстве газа в процессе расширения совершать работу, называются пневматическими . На этом принципе действуют пневматические молотки, механизмы для закрывания и открывания дверей на транспорте и др.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - C. 155-156.

Основные формулы термодинамики и молекулярной физики, которые вам пригодятся. Еще один отличный день для практических занятий по физике. Сегодня мы соберем вместе формулы, которые чаще всего используются при решении задач в термодинамике и молекулярной физике.

Итак, поехали. Попытаемся изложить законы и формулы термодинамики кратко.

Идеальный газ

Идеальный газ – это идеализация, как и материальная точка. Молекулы такого газа являются материальными точками, а соударения молекул – абсолютно упругие. Взаимодействием же молекул на расстоянии пренебрегаем. В задачах по термодинамике реальные газы часто принимаются за идеальные. Так гораздо легче жить, и не нужно иметь дела с массой новых членов в уравнениях.

Итак, что происходит с молекулами идеального газа? Да, они движутся! И резонно спросить, с какой скоростью? Конечно, помимо скорости молекул нас интересует еще и общее состояние нашего газа. Какое давление P он оказывает на стенки сосуда, какой объем V занимает, какая у него температура T.

Для того, чтобы узнать все это, есть уравнение состояния идеального газа, или уравнение Клапейрона-Менделеева

Здесь m – масса газа, M – его молекулярная масса (находим по таблице Менделеева), R – универсальная газовая постоянная, равная 8,3144598(48) Дж/(моль*кг).

Универсальная газовая постоянная может быть выражена через другие константы (постоянная Больцмана и число Авогадро )

Масс у , в свою очередь, можно вычислить, как произведение плотности и объема .

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории (МКТ)

Как мы уже говорили, молекулы газа движутся, причем, чем выше температура – тем быстрее. Существует связь между давлением газа и средней кинетической энергией E его частиц. Эта связь называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории и имеет вид:

Здесь n – концентрация молекул (отношение их количества к объему), E – средняя кинетическая энергия. Найти их, а также среднюю квадратичную скорость молекул можно, соответственно, по формулам:

Подставим энергию в первое уравнение, и получим еще один вид основного уравнения МКТ

Первое начало термодинамики. Формулы для изопроцессов

Напомним Вам, что первый закон термодинамики гласит: количество теплоты, переданное газу, идёт на изменение внутренней энергии газа U и на совершение газом работы A. Формула первого закона термодинамики записывается так:

Как известно, с газом что-то происходит, мы можем сжать его, можем нагреть. В данном случае нас интересуют такие процессы, которые протекают при одном постоянном параметре. Рассмотрим, как выглядит первое начало термодинамики в каждом из них.

Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы .

Изотермический процесс протекает при постоянной температуре. Тут работает закон Бойля-Мариотта: в изотермическом процессе давление газа обратно пропорционально его объёму. В изотермическом процессе:

протекает при постоянном объеме. Для этого процесса характерен закон Шарля: При постоянном объеме давление прямо пропорционально температуре. В изохорном процессе все тепло, подведенное к газу, идет на изменение его внутренней энергии.

идет при постоянном давлении. Закон Гей-Люссака гласит, что при постоянном давлении газа его объём прямо пропорционален температуре. При изобарном процессе тепло идет как на изменение внутренней энергии, так и на совершение газом работы.

. Адиабатный процесс – это такой процесс, который проходит без теплообмена с окружающей средой. Это значит, что формула первого закона термодинамики для адиабатного процесса выглядит так:

Внутренняя энергия одноатомного и двухатомного идеального газа

Теплоемкость

Удельная теплоемкость равна количеству теплоты, которое необходимо для нагревания одного килограмма вещества на один градус Цельсия.

Помимо удельной теплоемкости, есть молярная теплоемкость (количество теплоты, необходимое для нагревания одного моля вещества на один градус) при постоянном объеме, и молярная теплоемкость при постоянном давлении. В формулах ниже, i – число степеней свободы молекул газа. Для одноатомного газа i=3, для двухатомного – 5.

Тепловые машины. Формула КПД в термодинамике

Тепловая машина , в простейшем случае, состоит из нагревателя, холодильника и рабочего тела. Нагреватель сообщает тепло рабочему телу, оно совершает работу, затем охлаждается холодильником, и все повторяется вно вь. Типичным примером тепловой машины является двигатель внутреннего сгорания.

Коэффициент полезного действия тепловой машины вычисляется по формуле

Вот мы и собрали основные формулы термодинамики, которые пригодятся в решении задач. Конечно, это не все все формулы из темы термодинамика, но их знание действительно может сослужить хорошую службу. А если возникнут вопросы – помните о студенческом сервисе , специалисты которого готовы в любой момент прийти на выручку.

Работа в термодинамике

В термодинамике, в отличие от механики, рассматривается не движение тела как целого, а лишь относительное изменение частей термодинамической системы, в результате которого меняется ее объем.

Рассмотрим работу газа при изобарическом расширении.

Вычислим работу, совершаемую газом при его действии на поршень с силой ${F"}↖{→}$, равной по величине и противоположной по направлению силе ${F"}↖{→}$, действующей на газ со стороны поршня: ${F"}↖{→}=-{F"}↖{→}$ (согласно третьему закону Ньютона), $F"=pS$, где $p$ — давление газа, а $S$ — площадь поверхности поршня. Если перемещение поршня $∆h$ в результате расширения мало, то давление газа можно считать постоянным и работа газа равна:

$A"=F"∆h=pS∆h=p∆V$

Если газ расширяется, он совершает положительную работу, та к как перемещение поршня совпадает по направлению с силой ${F"}↖{→}$. Если газ сжимается, то работа газа отрицательна, поскольку перемещение поршня противоположно силе ${F"}↖{→}$. В формуле $A"=F"∆h=pS∆h=p∆V$ появится знак «минус»: $∆V

Работа внешних сил $А$, наоборот, положительна при сжатии газа и отрицательна при расширении:

Совершая над газом положительную работу, внешние тела передают ему часть своей энергии. При расширении газа внешние тела отбирают у газа часть его энергии — работа внешних сил отрицательна.

На графике зависимости давления от объема $р(V)$ работа определяется как площадь, ограниченная кривой $р(V)$, осью $V$ и отрезками $ab$ и $cd$, равными давлениям $р_1$ в начальном ($V_1$) и $р_2$ в конечном ($V_2$) состояниях, как для изобарного, так и для изотермического процессов.

Первый закон термодинамики

Первое начало (первый закон) термодинамики — это закон сохранения и превращения энергии для термодинамической системы.

Согласно первому началу термодинамики, работа может совершаться только за счет теплоты или какой-либо другой формы энергии. Следовательно, работу и количество теплоты измеряют в одних единицах — джоулях (как и энергию).

Первое начало термодинамики было сформулировано немецким ученым Ю. Л. Майером в 1842 г. и подтверждено экспериментально английским ученым Дж. Джоулем в 1843 г.

Первый закон термодинамики формулируется так:

Изменение внутренней энергии системы при переходе ее из одного состояния в другое равно сумме работы внешних сил и количества теплоты, переданного системе:

где $∆U$ — изменение внутренней энергии, $А$ — работа внешних сил, $Q$ — количество теплоты, переданной системе.

Из $∆U=A+Q$ следует закон сохранения внутренней энергии. Если систему изолировать от внешних воздействий, $A=0$ и $Q=0$,а следовательно, $∆U=0$.

При любых процессах, происходящих в изолированной системе, ее внутренняя энергия остается постоянной.

Если работу совершает система, а не внешние силы, то уравнение ($∆U=A+Q$) записывается в виде:

где $А"$ - работа, совершаемая системой ($А"=-А$).

Количество теплоты, переданное системе, идет на изменение ее внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами.

Первое начало термодинамики может быть сформулировано как невозможность существования вечного двигателя первого рода, который совершал бы работу, не черпая энергию из какого-либо источника, т. е. только за счет внутренней энергии.

Действительно, если к телу не поступает теплота ($Q=0$), то работа $А"$, согласно уравнению $Q=∆U+A"$, совершается только за счет убыли внутренней энергии $A"=-∆U$. После того, как запас энергии окажется исчерпанным, двигатель перестает работать.

Следует помнить, что как работа, так и количество теплоты являются характеристиками процесса изменения внутренней энергии, поэтому нельзя говорить, что в системе содержится определенное количество теплоты или работы. Система в любом состоянии обладает лишь определенной внутренней энергией.

Применение первого закона термодинамики к различным процессам

Рассмотрим применение первого закона термодинамики к различным термодинамическим процессам.

Изохорный процесс. Зависимость $р(Т)$ на термодинамической диаграмме изображается изохорой.

Изохорный (изохорический) процесс — термодинмический процесс, происходящий в системе при постоянном объеме.

Изохорный процесс можно осуществить в газах и жидкостях, заключенных в сосуд с постоянным объемом.

При изохорном процессе объем газа не меняется ($∆V=0$), и, согласно первому началу термодинамики $Q=∆U+A"$,

т. е. изменение внутренней энергии равно количеству переданного тепла, т. к. работа ($A=p∆V=0$) газом не совершается.

Если газ нагревается, то $Q > 0$ и $∆U > 0$, его внутренняя энергия увеличивается. При охлаждении газа $Q

Изотермический процесс графически изображается изотермой.

Изотермический процесс — это термодинамический процесс, происходящий в системе при постоянной температуре.

Поскольку при изотермическом процессе внутренняя энергия газа не меняется ($T=const$), то все переданное газу количество теплоты идет на совершение работы:

При получении газом теплоты ($Q > 0$) он совершает положительную работу ($А" > 0$). Если газ отдает тепло окружающей среде, $Q

Изобарный процесс на термодинамической диаграмме изображается изобарой .

Изобарный (изобарический) процесс — термодинамический процесс, происходящий в системе с постоянным давлением $p$.

Примером изобарного процесса является расширение газа в цилиндре со свободно ходящим нагруженным поршнем.

При изобарном процессе согласно формуле $Q=∆U+A"$ передаваемое газу количество теплоты идет на изменение его внутренней энергии $∆U$ и на совершение им работы $A"$ при постоянном давлении:

Работа идеального газа определяется по графику зависимости $p(V)$ для изобарного процесса ($A"=p∆V$).

Для идеального газа при изобарном процессе объем пропорционален температуре, в реальных газах часть теплоты расходуется на изменение средней энергии взаимодействия частиц.

Адиабатический процесс

Адиабатический процесс (адиабатный процесс) — это термодинамический процесс, происходящий в системе без теплообмена с окружающей средой ($Q=0$).

Адиабатическая изоляция системы приближенно достигается в сосудах Дьюара, в так называемых адиабатных оболочках. На адиабатически изолированную систему не оказывает влияния изменение температуры окружающих тел. Ее внутренняя энергия и может меняться только за счет работы, совершаемой внешними телами над системой, или самой системой.

Согласно первому началу термодинамики ($∆U=A+Q$), в адиабатной системе

где $А$ - работа внешних сил.

При адиабатном расширении газа $А

Следовательно,

$∆U={i}/{2}·{m}/{M}R∆T

что означает уменьшение температуры при адиабатном расширении. Оно приводит к тому, что давление газа уменьшается более резко, чем при изотермическом процессе.

На рисунке адиабата $1—2$, проходящая между двумя изотермами, наглядно иллюстрирует сказанное. Площадь под адиабатой численно равна работе, совершаемой газом при его адиабатическом расширении от объема $V_1$ до $V_2$.

Адиабатное сжатие приводит к повышению температуры газа, т. к. в результате упругих соударений молекул газа с поршнем их средняя кинетическая энергия возрастает, в отличие от расширения, когда она уменьшается (в первом случае скорости молекул газа увеличиваются, во втором — уменьшаются).

Резкое нагревание воздуха при адиабатическом сжатии используется в двигателях Дизеля.

Принцип действия тепловых двигателей

Тепловой двигатель — это устройство, преобразующее внутреннюю энергию топлива в механическую энергию.

Согласно второму началу термодинамики, тепловой двигатель может непрерывно совершать периодически повторяющуюся механическую работу за счет охлаждения окружающих тел, если он не только получает теплоту от более горячего тела (нагревателя), но при этом отдает теплоту менее нагретому телу (холодильнику). Следовательно, на совершение работы идет не все количество теплоты, полученное от нагревателя, а только часть ее.

Таким образом, основными элементами любого теплового двигателя являются:

1. рабочее тело (газ или пар), совершающее работу;
2. нагреватель, сообщающий энергию рабочему телу;
3. холодильник, поглощающий часть энергии от рабочего тела.

Коэффициент полезного действия теплового двигателя

Согласно закону сохранения энергии, работа, совершаемая двигателем, равна:

$A"=|Q_1|-|Q_2|$

где $Q_1$ — количество теплоты, полученное от нагревателя, $Q_2$ — количество теплоты, отданное холодильнику.

Коэффициентом полезного действия (КПД) теплового двигателя называется отношение работы $А"$, совершаемой двигателем, к количеству теплоты, полученному от нагревателя:

$η={A"}/{|Q_1|}={|Q_1|-|Q_2|}/{|Q_1|}=1-{|Q_2|}/{|Q_1|}$

Так как у всех двигателей некоторое количество теплоты передается холодильнику, то $η

КПД теплового двигателя пропорционален разности температур нагревателя и холодильника. При $T_1 - T_2=0$ двигатель не может работать.

Цикл Карно

Цикл Карно — это круговой обратимый процесс, состоящий из двух изотермических и двух адиабатических процессов.

Впервые этот процесс был рассмотрен французским инженером и ученым Н. Л. С. Карно в 1824 г. в книге «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу».

Целью исследований Карно было выяснение причин несовершенства тепловых машин того времени (они имели КПД $< 5%$)и поиски путей их усовершенствования.

Выбор двух изотермических и двух адиабатических процессов был обусловлен тем, что работа газа при изотермическом расширении совершается за счет внутренней энергии нагревателя, а при адиабатном процессе — за счет внутренней энергии расширяющегося газа. В этом цикле исключен контакт тел с разной температурой, следовательно, исключена теплопередача без совершения работы.

Цикл Карно — самый эффективный из всех возможных. Его КПД максимален.

На рисунке изображены термодинамические процессы цикла. В процессе изотермического расширения ($1-2$) при температуре $Т_1$ работа совершается за счет изменения внутренней энергии нагревателя, т. е. за счет подведения к газу количества теплоты $Q_1$:

$A_{12}=Q_1.$ Охлаждение газа перед сжатием ($3-4$) происходит при адиабатном расширении ($2-3$). Изменение внутренней энергии $∆U_{23}$ при адиабатном процессе ($Q=0$) полностью преобразуется в механическую работу:

$A_{23}=-∆U_{23}$

Температура газа в результате адиабатического расширения ($2-3$) понижается до температуры холодильника $Т_2

Цикл завершается процессом адиабатического сжатия ($4—1$), при котором газ нагревается до температуры $Т_1$.

Максимальное значение КПД тепловых двигателей, работающих на идеальном газе, по циклу Карно:

$η={T_1-T_2}/{T_1}=1-{T_2}/{T_1}$

Суть формулы $η={T_1-T_2}/{T_1}=1-{T_2}/{T_1}$ выражена в доказанной С. Карно теореме о том, что КПД любого теплового двигателя не может превышать КПД цикла Карно, осуществляемого при той же температуре нагревателя и холодильника.

··· Орловский выпуск ···

Г.А.БЕЛУХА ,
школа № 4, г. Ливны, Орловская обл.

Работа газа в термодинамике

При изучении работы газа в термодинамике учащиеся неизбежно сталкиваются с трудностями, обусловленными слабыми навыками вычисления работы переменной силы. Поэтому к восприятию этой темы необходимо готовиться, начиная уже с изучения работы в механике и решая с этой целью задачи на работу переменной силы путём суммирования элементарных работ на всём пути с помощью интегрирования.

Например, при вычислениях работы силы Архимеда, силы упругости, силы всемирного тяготения и т.п. надо учиться суммировать элементарные величины с помощью простейших дифференциальных соотношений типа dA = Fds . Опыт показывает, что старшеклассники легко справляются с этой задачей, – дугу траектории, на которой сила увеличивается или уменьшается, нужно разбить на такие промежутки ds , на которых силу F можно считать постоянной величиной, а затем, зная зависимость F = F (s ), подставить её под знак интеграла. Например,

Работа этих сил вычисляется с помощью простейшего табличного интеграла

Такая методика облегчает адаптацию будущих студентов к восприятию курса физики в вузе и устраняет методические сложности, связанные с умением находить работу переменной силы в термодинамике и др.

После того как учащиеся усвоили, что такое внутренняя энергия и как найти её изменение, целесообразно дать обобщающую схему:

Усвоив, что работа – это один из способов изменения внутренней энергии, десятиклассники легко рассчитывают работу газа в изобарном процессе. На данном этапе необходимо подчеркнуть, что сила давления газа на всём пути не меняется, и по третьему закону Ньютона |F 2 | = |F 1 |, знак работы находим из формулы A = Fs cos. Если = 0°, то A > 0, если = 180°, то A < 0. На графике зависимости р (V ) работа численно равна площади под графиком.

Пусть газ расширяется или сжимается изотермически. Например, газ сжимается под поршнем, давление изменяется, и в любой момент времени

При бесконечно малом перемещении поршня на dl мы получим бесконечно малое изменение объёма dV , а давление р можно считать постоянным. По аналогии с нахождением механической работы переменной силы, составим простейшее дифференциальное соотношение dA = pdV , тогда и, зная зависимость р (V ), запишем Это табличный интеграл типа Работа газа в этом случае отрицательна, т.к. = 180°:

т.к. V 2 < V 1 .

Полученную формулу можно переписать, используя соотношение

Для закрепления решим задачи.

1. Газ переходит из состояния 1 (объём V 1 , давление р 1) в состояние 2 (объём V 2 , давление р 2) в процессе, при котором его давление зависит от объёма линейно. Найдите работу газа.

Решение. Построим примерный график зависимости p от V . Работа равна площади под графиком, т.е. площади трапеции:

2. Один моль воздуха, находящийся при нормальных условиях, расширяется от объёма V 0 до 2V 0 двумя способами – изотермически и изобарно. Сравните работу, совершённую воздухом в этих процессах.

Решение

При изобарном процессе A p = р 0 V , но р 0 = RT 0 /V 0 , V = V 0 , следовательно, A p = RT 0 .

При изотермическом процессе:

Сравним:

Изучив первый закон термодинамики и его применение к изопроцессам и закрепив решением задач тему о работе в термодинамике, учащиеся подготовились к восприятию наиболее сложной части термодинамики «Работа циклов и КПД тепловых машин». Этот материал я излагаю в следующей последовательности: работа циклов – цикл Карно – КПД тепловых машин – круговые процессы.

Круговым процессом (или циклом) называется термодинамический процесс, в результате которого тело, пройдя ряд состояний, возвращается в исходное состояние. Если все процессы в цикле равновесные, то цикл считается равновесным. Его можно изобразить графически в виде замкнутой кривой.

На рисунке показан график зависимости давления p от объёма V (диаграмма p , V ) для некоторого цикла 1–2–3–4–1. На участках 1–2 и 4–1 газ расширяется и совершает положительную работу А 1 , численно равную площади фигуры V 1 412V 2 . На участке 2–3–4 газ сжимается и совершает работу А 2 , модуль которой равен площади фигуры V 2 234V 1 . Полная работа газ за цикл А = А 1 + А 2 , т.е. положительна и равна площади фигуры 12341 .

Если равновесный цикл изображается замкнутой кривой на р , V -диаграмме, которая обходится по часовой стрелке, то работа тела положительна, а цикл накзывается прямым. Если замкнутая кривая на р , V -диаграмме обходится против часовой стрелки, то газ совершает отрицательную работу за цикл, а цикл называется обратным. В любом случае модуль работы газа за цикл равен площади фигуры, ограниченной графиком цикла на р , V -диаграмме.

В круговом процессе рабочее тело возвращается в исходное состояние, т.е. в состояние с первоначальной внутренней энергией. Это значит, что изменение внутренней энергии за цикл равно нулю: U = 0. Так как, по первому закону термодинамики, для всего цикла Q = U + A , то Q = A . Итак, алгебраическая сумма всех количеств теплоты, полученных за цикл, равна работе тела за цикл: A ц = Q н + Q х = Q н – |Q х |.

Рассмотрим один из круговых процессов – цикл Карно. Он состоит из двух изотермических и двух адиабатических процессов. Пусть рабочим телом является идеальный газ. Тогда на участке 1–2 изотермического расширения, согласно первому закону термодинамики, всё получаемое газом тепло идёт на совершение положительной работы: Q 12 = A 12 . То есть нет никаких потерь тепла в окружающее пространство и никакого изменения внутренней энергии: U = 0, т.к. T 12 = const (потому что газ – идеальный).

На участке 2–3 адиабатного расширения газ совершает положительную работу за счёт изменения внутренней энергии, т.к. Q ад = 0 = U 23 + A г23 A г23 = –U 23 . Здесь также нет потерь тепла, по определению адиабатного процесса.

На участке 3–4 над газом совершается положительная работа внешней силой, но он не нагревается (изотермический процесс). Благодаря достаточно медленно протекающему процессу и хорошему контакту с холодильником газ успевает отдавать получаемую за счёт работы энергию в виде тепла холодильнику. Сам же газ совершает при этом отрицательную работу: Q 34 = A г34 < 0.

На участке 4–1 газ адиабатно (без теплообмена) сжимается до исходного состояния. При этом он совершает отрицательную работу, а внешние силы – положительную: 0 = U 41 + A г41 A г41 = –U 41 .

Таким образом, за цикл газ получает тепло только на участке 1–2 , изотермически расширяясь:

Холодильнику тепло отдаётся только при изотермическом сжатии газа на участке 3–4 :

Согласно первому закону термодинамики

A ц = Q н – |Q x |;

КПД машины, работающей по циклу Карно, найдём по формуле

Согласно закону Бойля–Мариотта для процессов 1–2 и 3–4 , а также уравнению Пуассона для процессов 2–3 и 4–1 , легко доказать, что

После сокращений получим формулу КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно:

Работу тепловых машин, работающих по обратному циклу, методически правильно, как показывает опыт, изучать на примере работы обратного цикла Карно, т.к. он обратим и его можно провести в обратном направлении: расширять газ при понижении температуры от T н до T x (процесс 1–4 ) и при низкой температуре T x (процесс 4–3 ), а затем сжимать (процессы 3–2 и 2–1 ). Теперь двигатель совершает работу, чтобы привести в действие холодильную машину. Рабочее тело отнимает количество теплоты Q x у продуктов внутри при низкой температуре T х, а отдаёт количество теплоты Q н окружающим телам, за пределами холодильника, при более высокой температуре T н. Таким образом, машина, работающая по обратному циклу Карно, уже не тепловая, а идеальная холодильная. Роль нагревателя (отдающего тепло) выполняет тело с более низкой температурой. Но, сохранив названия элементов, как в тепловой машине, работающей по прямому циклу, мы можем представить блок-схему холодильника в следующем виде:

Обратим внимание, что тепло от холодного тела переходит в холодильной машине к телу с более высокой температурой не самопроизвольно, а за счёт работы внешней силы.

Важнейшей характеристикой холодильника является холодильный коэффициент , определяющий эффективность работы холодильника и равный отношению количества теплоты, отнятого от холодильной камеры Q х к затраченной энергии внешнего источника

За один обратный цикл рабочее тело получает от холодильника количество теплоты Q х и отдаёт в окружающее пространство количество теплоты Q н, что больше Q х на работу A дв, совершаемую электродвигателем над газом за цикл: |Q н | = |Q х | + А дв.

Энергия, затраченная двигателем (электроэнергия в случае компрессорных электрических холодильников), идёт на полезную работу над газом, а также на потери при нагревании обмоток двигателя электрическим током Q R и на трение в схеме А тр.

Если пренебречь потерями на трение и джоулево тепло в обмотках двигателя, то холодильный коэффициент

Учитывая, что в прямом цикле

после несложных преобразований получим:

Последнее соотношение между холодильным коэффициентом и КПД тепловой машины, которая может работать и по обратному циклу, показывает, что холодильный коэффициент может быть больше единицы. В этом случае тепла отнимается от холодильной камеры и возвращается в комнату больше, чем для этого используется энергии двигателем.

В случае идеальной тепловой машины, работающей по обратному циклу Карно (идеального холодильника), холодильный коэффициент имеет максимальное значение:

В реальных холодильниках т.к. не вся получаемая двигателем энергия идёт на работу над рабочим телом, о чём написано выше.

Решим задачу:

Оцените стоимость изготовления 1 кг льда в домашнем холодильнике, если температура испарения фреона –t х °С, температура радиатора t н °С. Стоимость одного киловатт-часа электроэнергии равна Ц. Температура в комнате t .

Дано :

m , c , t , t н, t х, , Ц.
____________
Д – ?

Решение

Стоимость Д изготовления льда равна произведению работы электродвигателя на тариф Ц: Д = ЦА.

Для превращения воды в лёд с температурой 0 °С необходимо отвести от неё количество теплоты Q = m (ct + ). Считаем приближённо, что над фреоном совершается обратный цикл Карно с изотермами при температурах T н и T х. Используем формулы для холодильного коэффициента: по определению, = Q /A и для идеального холодильника ид = T х /(T н – T х). Из условия следует, что ид.

Решаем совместно три последних уравнения:

Разбирая с учащимися эту задачу, необходимо обратить внимание на то, что основная работа холодильного устройства идёт не на охлаждение продуктов, а на поддержание температуры внутри холодильного шкафа путём периодической откачки тепла, проникающего сквозь стенки холодильника.

Для закрепления темы можно решить задачу:

КПД тепловой машины, работающей по циклу, состоящему из изотермического процесса 1–2 , изохорического 2–3 и адиабатического 3–1 , равен , а разность максимальной и минимальной температур газа в цикле равна T . Найдите работу, совершённую моль одноатомного идеального газа в изотермическом процессе.

Решение

При решении задач, в которых фигурирует КПД цикла, полезно предварительно проанализировать все участки цикла, используя первый закон термодинамики, и выявить участки, где тело получает и отдаёт тепло. Проведём мысленно ряд изотерм на р , V -диаграмме. Тогда станет ясно, что максимальная температура в цикле на изотерме, а минимальная – в т. 3 . Обозначим их через T 1 и T 3 соответственно.

На участке 1–2 изменение внутренней энергии идеального газа U 2 – U 1 = 0. По первому закону термодинамики, Q 12 = (U 2 – U 1) + А 12 . Так как на участке 1–2 газ расширялся, то работа газа А 12 > 0. Значит, и подведённое к газу количество теплоты на этом участке Q 12 > 0, причём Q 12 = А 12 .

На участке 2–3 работа газа равна нулю. Поэтому Q 23 = U 3 – U 2 .

Воспользовавшись выражениями U 2 = c V T 1 и тем, что T 1 – T 3 = T , получим Q 23 = –c V T < 0. Это означает, что на участке 2–3 газ получает отрицательное количество теплоты, т.е. отдаёт тепло.

На участке 3–1 теплообмена нет, т.е. Q 31 = 0 и, по первому закону термодинамики, 0 = (U 1 – U 3) + A 31 . Тогда работа газа
A 31 = U 3 – U 1 = c V (T 3 –T 1) = –c V T .

Итак, за цикл газ совершил работу A 12 + А 31 = А 12 – c V T и получил тепло только на участке 1–2 . КПД цикла

Так как то работа газа на изотерме равна

Геннадий Антонович Белуха – заслуженный учитель РФ, педагогический стаж 20 лет, ежегодно его ученики занимают призовые места на различных этапах всероссийской олимпиады по физике. Хобби – компьютерная техника.