To'g'ri chiziq. To'g'ri chiziq tenglamasi. Chiziqning umumiy tenglamasi

Berilgan nuqtadan ma'lum yo'nalishda o'tadigan chiziq tenglamasi. Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi. Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak. Ikki to'g'ri chiziqning parallellik va perpendikulyarlik sharti. Ikki chiziqning kesishish nuqtasini aniqlash

Yechimlari bilan muammolarga misollar

Ikki nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasini toping: (-1, 2) va (2, 1).

Yechim.

Tenglama bo'yicha.

bunga ishonish x 1 = -1, y 1 = 2, x 2 = 2, y 2 = 1 (qaysi nuqta birinchi va qaysi nuqta ikkinchi deb hisoblanishi muhim emas), biz olamiz

soddalashtirishlardan so'ng biz ko'rinishdagi yakuniy talab qilingan tenglamani olamiz

x + 3y - 5 = 0.

Uchburchakning tomonlari tenglamalar bilan berilgan: (AB ) 2 x + 4 y + 1 = 0, (A.C. ) x - y + 2 = 0, (Miloddan avvalgi ) 3 x + 4 y -12 = 0. Uchburchak uchlari koordinatalarini toping.

Yechim.

Vertex koordinatalari A tomonlar tenglamalaridan tuzilgan sistemani yechish orqali topamiz AB Va A.C.:

Biz elementar algebradan ma'lum bo'lgan usullardan foydalangan holda ikkita noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimini yechamiz va olamiz.

Vertex A koordinatalariga ega

Vertex koordinatalari B tomonlar tenglamalar sistemasini yechish orqali topamiz AB Va Miloddan avvalgi:

qabul qilamiz.

Vertex koordinatalari C tomonlar tenglamalar tizimini yechish orqali olamiz Miloddan avvalgi Va A.C.:

Vertex C koordinatalariga ega.

A (2, 5) 3-chiziqga parallelx - 4 y + 15 = 0.

Yechim.

Ikki chiziq parallel bo'lsa, ularning tenglamalarini har doim shunday tasvirlash mumkinki, ular faqat erkin hadlari bilan farqlanadi. Darhaqiqat, ikkita chiziqning parallellik shartidan kelib chiqadiki.

bilan belgilaymiz t bu munosabatlarning umumiy qiymati. Keyin

va bundan shunday xulosa kelib chiqadi

A 1 = A 2 t, B 1 = B 2 t. (1)

Ikki qator bo'lsa

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 va

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

parallel bo'lsa, shartlar (1) bajariladi va bu tenglamalarning birinchisida almashtiriladi A 1 va B Formulalar (1) bo'yicha 1 ga ega bo'lamiz

A 2 tx + B 2 ty + C 1 = 0,

yoki tenglamaning ikkala tomonini ga bo'lsak, olamiz

Hosil bo‘lgan tenglamani ikkinchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi bilan solishtirish A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, biz bu tenglamalar faqat erkin muddatda farq qilishini ta'kidlaymiz; Shunday qilib, biz nima kerakligini isbotladik. Endi muammoni hal qilishni boshlaylik. Istalgan chiziq tenglamasini shunday yozamizki, u berilgan chiziq tenglamasidan faqat erkin hadi bilan farq qiladi: bu tenglamadan kerakli tenglamaning birinchi ikkita hadini olamiz va uni belgilaymiz. tomonidan bepul muddat C. Keyin kerakli tenglama shaklda yoziladi

3x - 4y + C = 0, (3)

va aniqlanishi kerak C.

(3) tenglamada qiymat berish C barcha mumkin bo'lgan haqiqiy qiymatlar, biz berilganga parallel chiziqlar to'plamini olamiz. Shunday qilib, (3) tenglama bir chiziqning emas, balki berilgan 3-chiziqga parallel bo‘lgan butun qator qatorining tenglamasidir. x - 4y+ 15 = 0. Ushbu qatorlar turkumidan biz nuqtadan o'tuvchini tanlashimiz kerak A(2, 5).

Agar chiziq nuqtadan o'tsa, bu nuqtaning koordinatalari chiziq tenglamasini qondirishi kerak. Va shuning uchun biz aniqlaymiz C, agar (3) da biz joriy koordinatalar o'rniga almashtiramiz x Va y nuqta koordinatalari A, ya'ni. x = 2, y= 5. Biz va ni olamiz C = 14.

Qiymat topildi C(3) ga almashtiring va kerakli tenglama quyidagicha yoziladi:

3x - 4y + 14 = 0.

Xuddi shu muammoni boshqa yo'l bilan hal qilish mumkin. Parallel chiziqlarning burchak koeffitsientlari bir-biriga teng bo'lgani uchun va berilgan chiziq uchun 3 x - 4y+ 15 = 0 qiyalik, keyin kerakli to'g'ri chiziqning qiyaligi ham teng bo'ladi.

Endi biz tenglamadan foydalanamiz y - y 1 = k(x - x 1) to'g'ri chiziqlar to'plami. Nuqta A(2, 5) to'g'ri chiziq o'tgan bizga ma'lum va shuning uchun to'g'ri chiziqlar qalam tenglamasiga almashtiriladi. y - y 1 = k(x - x 1) qadriyatlar, biz olamiz

yoki soddalashtirilgandan keyin 3 x - 4y+ 14 = 0, ya'ni avvalgidek.

Nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamalarini topingA (3, 4) 2-to'g'ri chiziqqa 60 gradus burchak ostidax + 3 y + 6 = 0.

Yechim.

Muammoni hal qilish uchun I va II chiziqlarning burchak koeffitsientlarini aniqlashimiz kerak (rasmga qarang). Bu koeffitsientlarni mos ravishda quyidagicha belgilaymiz k 1 va k 2 va bu chiziqning burchak koeffitsienti orqali k. Bu aniq.

Ikki chiziq orasidagi burchakning ta'rifiga asoslanib, berilgan chiziq va to'g'ri chiziq orasidagi burchakni aniqlashda men formuladagi kasrning hisoblagichiga amal qilaman.

bu chiziqning qiyaligini olib tashlang, chunki uni nuqta atrofida soat miliga teskari aylantirish kerak C I to'g'ri chiziqqa to'g'ri kelguncha.

Buni hisobga olsak, olamiz

II chiziq va berilgan chiziq orasidagi burchakni aniqlashda bir xil kasrning numeratoridagi II chiziqning burchak koeffitsientini ayirish kerak, ya'ni. k 2, chunki II chiziq nuqta atrofida soat sohasi farqli ravishda aylantirilishi kerak B bu qatorga to'g'ri kelguncha:

Nuqtadan o‘tuvchi chiziq tenglamasini topingA (5, -1) 3-chiziqga perpendikulyarx - 7 y + 14 = 0.

Yechim.

Ikki qator bo'lsa

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

perpendikulyar, keyin tenglik

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0,

yoki bir xil narsa,

A 1 A 2 = -B 1 B 2 ,

va bundan shunday xulosa kelib chiqadi

Bu iboralarning umumiy ma'nosini bilan belgilaymiz t.

Keyin shunday bo'ladi

A 2 = B 1 t, B 2 = -A 1 t.

Ushbu qiymatlarni almashtirish A 2 va B 2 va ikkinchi qatorning tenglamasini olamiz

B 1 tx - A 1 ty + C 2 = 0.

yoki, bo'lish t tenglikning har ikki tomoni ham bo'ladi

Olingan tenglamani birinchi qator tenglamasi bilan solishtirish

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

ularning koeffitsientlari da ekanligini ko'ramiz x Va y o'rin almashgan, birinchi va ikkinchi hadlar orasidagi belgi teskarisiga o'zgargan, lekin erkin atamalar boshqacha.

Endi muammoni hal qilishni boshlaylik. 3-qatorga perpendikulyar chiziq tenglamasini yozmoqchi x - 7y+ 14 = 0, yuqorida qilingan xulosaga asoslanib, biz quyidagicha harakat qilamiz: koeffitsientlarni almashtiramiz. x Va y, va ular orasidagi minus belgisini ortiqcha belgisi bilan almashtiring va erkin atamani harf bilan belgilang C. Biz 7 ni olamiz x + 3y + C= 0. Bu tenglama 3-chiziqga perpendikulyar to'g'rilar turkumining tenglamasidir x - 7y+ 14 = 0. Aniqlang C kerakli chiziq nuqtadan o'tishi shartidan A(5, -1). Ma'lumki, agar chiziq nuqtadan o'tsa, u holda bu nuqtaning koordinatalari chiziq tenglamasini qondirishi kerak. Oxirgi tenglamada o‘rniga 5 ni qo‘yish x va o'rniga -1 y, olamiz

Bu ma'no C Oxirgi tenglamani almashtiring va oling

7x + 3y - 32 = 0.

Keling, xuddi shu masalani boshqa yo'l bilan hal qilaylik, buning uchun to'g'ri chiziqlar qalami tenglamasidan foydalanamiz

y - y 1 = k(x - x 1).

Bu chiziqning qiyaligi 3 ga teng x - 7y + 14 = 0

keyin unga perpendikulyar chiziqning burchak koeffitsienti,

To'g'ri chiziqlar qalam tenglamasiga almashtirish va o'rniga x 1 va y Ushbu nuqtaning 1 koordinatasi A(5, -1), toping yoki 3 y + 3 = -7x+ 35 va nihoyat 7 x + 3y- 32 = 0, ya'ni avvalgidek.

Evklid geometriyasida to'g'ri chiziqning xossalari.

Istalgan nuqta orqali cheksiz ko'p to'g'ri chiziqlar o'tkazish mumkin.

Har qanday ikkita mos kelmaydigan nuqta orqali bitta to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin.

Tekislikdagi ikkita divergent chiziq bitta nuqtada kesishadi yoki bo'ladi

parallel (avvalgisidan keyin).

Uch o'lchovli fazoda ikkita chiziqning nisbiy joylashuvi uchun uchta variant mavjud:

chiziqlar kesishadi;

chiziqlar parallel;

to'g'ri chiziqlar kesishadi.

Streyt chiziq— birinchi tartibli algebraik egri chiziq: Dekart koordinata tizimidagi to‘g‘ri chiziq

tekislikda birinchi darajali tenglama (chiziqli tenglama) bilan beriladi.

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi.

Ta'rif. Tekislikdagi har qanday to'g'ri chiziq birinchi tartibli tenglama bilan aniqlanishi mumkin

Ax + Wu + C = 0,

va doimiy A, B bir vaqtning o'zida nolga teng emas. Bu birinchi tartibli tenglama deyiladi umumiy

to'g'ri chiziq tenglamasi. Konstantalarning qiymatlariga qarab A, B Va BILAN Quyidagi maxsus holatlar mumkin:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- to'g'ri chiziq koordinatali nuqtadan o'tadi

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- o'qqa parallel to'g'ri chiziq Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- o'qqa parallel to'g'ri chiziq OU

. B = C = 0, A ≠0- to'g'ri chiziq o'qga to'g'ri keladi OU

. A = C = 0, B ≠0- to'g'ri chiziq o'qga to'g'ri keladi Oh

To'g'ri chiziq tenglamasi har qanday berilganga qarab turli shakllarda taqdim etilishi mumkin

boshlang'ich sharoitlar.

Nuqtadan to'g'ri chiziq va normal vektor tenglamasi.

Ta'rif. Dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimida komponentlar (A, B) bo'lgan vektor.

tenglama bilan berilgan chiziqqa perpendikulyar

Ax + Wu + C = 0.

Misol. Nuqtadan o‘tuvchi chiziq tenglamasini toping A(1, 2) vektorga perpendikulyar (3, -1).

Yechim. A = 3 va B = -1 bilan to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz: 3x - y + C = 0. C koeffitsientini topish uchun

Hosil bo'lgan ifodaga berilgan A nuqtaning koordinatalarini qo'yamiz: 3 - 2 + C = 0, demak.

C = -1. Jami: kerakli tenglama: 3x - y - 1 = 0.

Ikki nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi.

Kosmosda ikkita nuqta berilgan bo'lsin M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Va M2 (x 2, y 2, z 2), Keyin chiziq tenglamasi,

Ushbu nuqtalardan o'tish:

Agar maxrajlardan birortasi nolga teng bo'lsa, mos keladigan numerator nolga teng bo'lishi kerak. Yoniq

tekislikda, yuqorida yozilgan to'g'ri chiziq tenglamasi soddalashtirilgan:

Agar x 1 ≠ x 2 Va x = x 1, Agar x 1 = x 2 .

Fraksiya = k chaqirdi qiyalik Streyt.

Misol. A(1, 2) va B(3, 4) nuqtalardan o`tuvchi chiziq tenglamasini toping.

Yechim. Yuqorida yozilgan formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

To'g'ri chiziqning nuqta va qiyalik yordamida tenglamasi.

Agar chiziqning umumiy tenglamasi Ax + Wu + C = 0 olib kelishi:

va belgilang , keyin hosil bo'lgan tenglama chaqiriladi

qiyaligi k bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamasi.

Nuqtadan to'g'ri chiziq va yo'nalish vektori tenglamasi.

Oddiy vektor orqali to'g'ri chiziq tenglamasini ko'rib chiqadigan nuqtaga o'xshatib, siz vazifani kiritishingiz mumkin

nuqtadan o'tadigan to'g'ri chiziq va to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori.

Ta'rif. Har bir nolga teng bo'lmagan vektor (a 1 , a 2), uning tarkibiy qismlari shartni qanoatlantiradi

Aa 1 + Ba 2 = 0 chaqirdi to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori.

Ax + Wu + C = 0.

Misol. Yo‘nalish vektori (1, -1) bo‘lgan va A(1, 2) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini toping.

Yechim. Biz kerakli chiziq tenglamasini quyidagi shaklda qidiramiz: Ax + By + C = 0. Ta'rifga ko'ra,

koeffitsientlar quyidagi shartlarga javob berishi kerak:

1 * A + (-1) * B = 0, ya'ni. A = B.

Keyin to'g'ri chiziq tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi: Ax + Ay + C = 0, yoki x + y + C / A = 0.

da x = 1, y = 2 olamiz C/A = -3, ya'ni. zarur tenglama:

x + y - 3 = 0

To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi.

Agar to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasida Ax + Vu + S = 0 S≠0 bo'lsa, -S ga bo'linib, biz quyidagilarni olamiz:

yoki qayerda

Koeffitsientlarning geometrik ma'nosi shundaki, a koeffitsienti kesishish nuqtasining koordinatasi hisoblanadi

eksa bilan to'g'ri Oh, A b- chiziqning o'q bilan kesishish nuqtasining koordinatasi OU.

Misol. To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan x - y + 1 = 0. Bu chiziqning segmentlardagi tenglamasini toping.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Oddiy chiziq tenglamasi.

Agar tenglamaning ikkala tomoni bo'lsa Ax + Wu + C = 0 raqamga bo'linadi qaysi deyiladi

normallashtiruvchi omil, keyin olamiz

xcosph + ysinph - p = 0 -chiziqning normal tenglamasi.

Normallashtiruvchi omilning ± belgisi shunday tanlanishi kerak m*C< 0.

R- boshdan to'g'ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar uzunligi;

A φ - o'qning musbat yo'nalishi bilan bu perpendikulyar tomonidan hosil qilingan burchak Oh.

Misol. Chiziqning umumiy tenglamasi berilgan 12x - 5y - 65 = 0. Har xil turdagi tenglamalarni yozish uchun talab qilinadi

bu to'g'ri chiziq.

Ushbu chiziqning segmentlardagi tenglamasi:

Bu chiziqning qiyalik bilan tenglamasi: (5 ga bo'linadi)

Chiziq tenglamasi:

cos ph = 12/13; sin ph= -5/13; p = 5.

Shuni ta'kidlash kerakki, har bir to'g'ri chiziqni segmentlarda tenglama bilan ifodalash mumkin emas, masalan, to'g'ri chiziqlar,

o'qlarga parallel yoki boshlang'ichdan o'tuvchi.

Tekislikdagi to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak.

Ta'rif. Ikki qator berilgan bo'lsa y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, keyin bu chiziqlar orasidagi o'tkir burchak

sifatida belgilanadi

Ikki chiziq parallel bo'lsa k 1 = k 2. Ikki chiziq perpendikulyar

Agar k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

To'g'ridan-to'g'ri Ax + Wu + C = 0 Va A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 koeffitsientlar proportsional bo'lganda parallel

A 1 = lA, B 1 = lB. Agar ham S 1 = l, keyin chiziqlar mos keladi. Ikki chiziqning kesishish nuqtasining koordinatalari

bu chiziqlar tenglamalar sistemasi yechimi sifatida topiladi.

Berilgan chiziqqa perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi.

Ta'rif. Nuqtadan o'tuvchi chiziq M 1 (x 1, y 1) va chiziqqa perpendikulyar y = kx + b

tenglama bilan ifodalanadi:

Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.

Teorema. Agar ball berilsa M(x 0, y 0), keyin to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa Ax + Wu + C = 0 quyidagicha aniqlanadi:

Isbot. Nuqtaga ruxsat bering M 1 (x 1, y 1)- nuqtadan tushgan perpendikulyarning asosi M berilgan uchun

bevosita. Keyin nuqtalar orasidagi masofa M Va M 1:

(1)

Koordinatalar x 1 Va 1 da tenglamalar sistemasiga yechim sifatida topish mumkin:

Tizimning ikkinchi tenglamasi berilgan M 0 nuqtadan perpendikulyar oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasidir.

to'g'ri chiziq berilgan. Agar tizimning birinchi tenglamasini quyidagi shaklga aylantirsak:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 ga + C = 0,

keyin hal qilib, biz quyidagilarni olamiz:

Ushbu ifodalarni (1) tenglamaga almashtirib, biz quyidagilarni topamiz:

Teorema isbotlangan.

Tenglamalar juda ko'p egri chiziqlar mavjud Iqtisodiy adabiyotlarni o'qiyotganda.Ushbu egri chiziqlardan ba'zilarini ko'rsatamiz.

Befarqlik egri chizig'i - iste'molchi uchun bir xil qiymatga yoki foydalilikka ega bo'lgan ikkita mahsulotning turli kombinatsiyalarini ko'rsatadigan egri chiziq.

Iste'molchi byudjetining egri chizig'i - iste'molchi o'z pul daromadining ma'lum darajasida sotib olishi mumkin bo'lgan ikkita tovar miqdorining turli kombinatsiyalarini ko'rsatadigan egri chiziq.

Ishlab chiqarish imkoniyati egri chizig'i - doimiy resurslar va doimiy texnologiyaga ega bo'lgan iqtisodiyotda to'liq bandlik va to'liq ishlab chiqarish sharoitida ishlab chiqarilishi mumkin bo'lgan ikkita tovar yoki xizmatlarning turli kombinatsiyalarini ko'rsatadigan egri chiziq.

Investitsion talab egri chizig'i - foiz stavkasi dinamikasini va turli foiz stavkalari bo'yicha investitsiyalar hajmini ko'rsatadigan egri chiziq.

Phillips egri chizig'i- ishsizlik darajasi va inflyatsiya darajasi o'rtasida barqaror bog'liqlik mavjudligini ko'rsatadigan egri chiziq.

Laffer egri chizig'i- soliq stavkalari va soliq tushumlari o'rtasidagi bog'liqlikni ko'rsatadigan, soliq tushumlari maksimal darajaga etgan soliq stavkasini aniqlaydigan egri chiziq.

Allaqachon atamalarning oddiy ro‘yxati iqtisodchilar uchun to‘g‘ri chiziqlar va ikkinchi tartibli egri chiziqlar – aylana, ellips, giperbola, parabola kabi egri chiziqlar tenglamalarini tahlil qilish va grafiklar tuzish qanchalik muhimligini ko‘rsatadi. Bundan tashqari, masalalarning katta sinfini yechishda, tenglamalari berilgan ba'zi egri chiziqlar bilan chegaralangan tekislikdagi maydonni tanlash kerak.Ko'pincha bu masalalar quyidagicha tuziladi: berilgan resurslar uchun eng yaxshi ishlab chiqarish rejasini toping. Resurslarni taqsimlash odatda tengsizliklar shaklini oladi, ularning tenglamalari berilgan. Shuning uchun biz tengsizliklar tizimining tenglamalari bilan belgilangan mintaqada ma'lum bir funktsiya tomonidan qabul qilingan eng katta yoki eng kichik qiymatlarni izlashimiz kerak.

Analitik geometriyada samolyotdagi chiziq koordinatalari tenglamani qanoatlantiradigan nuqtalar to'plami sifatida aniqlanadi F(x,y)=0. Bunday holda, F funktsiyasiga cheklovlar qo'yilishi kerak, shunda bir tomondan, bu tenglama cheksiz echimlar to'plamiga ega bo'lsa, ikkinchi tomondan, bu yechimlar to'plami "tekislikning bir qismini to'ldirmaydi". ”. F(x,y) funksiyasi ikki o‘zgaruvchida ko‘phad bo‘lgan chiziqlarning muhim sinfi bo‘lib, bu holda F(x,y)=0 tenglama bilan aniqlangan chiziq deyiladi. algebraik. Birinchi darajali tenglama bilan aniqlangan algebraik chiziqlar to'g'ri chiziqlardir. Cheksiz ko'p yechimga ega bo'lgan ikkinchi darajali tenglama ikki to'g'ri chiziqqa bo'linadigan ellips, giperbola, parabola yoki chiziqni belgilaydi.

To'g'ri to'rtburchak Dekart koordinata tizimi tekislikda ko'rsatilsin. Tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamalardan biri bilan aniqlanishi mumkin:

10 . Chiziqning umumiy tenglamasi

Ax + By + C = 0. (2.1)

Vektor n(A,B) chiziqqa ortogonal, A va B raqamlari bir vaqtda nolga teng emas.

20 . Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasi

y - y o = k (x - x o), (2.2)

Bu erda k - chiziqning qiyaligi, ya'ni k = tg a , bu erda a - Ox o'qi bilan to'g'ri chiziq hosil qilgan burchakning kattaligi, M (x o, y o) - to'g'ri chiziqqa tegishli biron bir nuqta.

(2.2) tenglama y = kx + b ko'rinishini oladi, agar M (0, b) to'g'ri chiziqning Oy o'qi bilan kesishgan nuqtasi bo'lsa.

o'ttiz. Segmentlardagi chiziq tenglamasi

x/a + y/b = 1, (2.3)

Bu erda a va b - koordinata o'qlarida to'g'ri chiziq bilan kesilgan segmentlarning qiymatlari.

4 0 . Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi chiziq tenglamasi A(x 1, y 1) va B(x 2, y 2):

. (2.4)

50 . Berilgan vektorga parallel berilgan A(x 1, y 1) nuqtadan o‘tuvchi chiziq tenglamasi. a(m, n)

. (2.5)

6 0 . Oddiy chiziq tenglamasi

rn o - p = 0, (2,6)

Qayerda r- bu chiziqning ixtiyoriy M(x, y) nuqtasining radiusi, n o - bu chiziqqa ortogonal va koordinata boshidan chiziqqa yo'naltirilgan birlik vektor; p - boshlang'ich nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa.

Koordinata ko'rinishidagi norma quyidagi shaklga ega:

x cos a + y sin a - p = 0,

qayerda a - Ox o'qi bilan to'g'ri chiziq hosil qilgan burchakning kattaligi.

Markazi A(x 1, y 1) nuqtada bo'lgan chiziqlar qalamining tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

y-y 1 = l (x-x 1),

qayerda l - nur parametri. Agar nur A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 kesishgan ikkita to'g'ri chiziq bilan aniqlansa, uning tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

qaerda l va m - bir vaqtning o'zida 0 ga aylanmaydigan nur parametrlari.

y = kx + b va y = k 1 x + b 1 chiziqlar orasidagi burchak quyidagi formula bilan aniqlanadi:

tg j =.

1 + k 1 k = 0 tengligi chiziqlar perpendikulyarligi uchun zarur va etarli shartdir.

Ikki tenglama uchun

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2.7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2.8)

bir xil to'g'ri chiziq berilganda, ularning koeffitsientlari mutanosib bo'lishi zarur va etarli:

A 1 /A 2 = B 1 /B 2 = C 1 /C 2.

(2.7), (2.8) tenglamalar A 1 /A 2 = B 1 /B 2 va B 1 /B 2 bo'lsa, ikki xil parallel chiziqlarni aniqlaydi.¹ C1/C2; chiziqlar kesishadi, agar A 1 /A 2 bo'lsa¹B 1 /B 2 .

M o (x o, y o) nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan d masofa M o nuqtadan to'g'ri chiziqqa o'tkazilgan perpendikulyar uzunligiga teng. Agar to'g'ri chiziq normal tenglama bilan berilgan bo'lsa, u holda d =ê r O n o - r ê , Qayerda r o - M o nuqtaning radius vektori yoki koordinata shaklida d =ê x o cos a + y o sin a - r ê.

Ikkinchi tartibli egri chiziqning umumiy tenglamasi shaklga ega

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y +a = 0.

Tenglama koeffitsientlari orasida a 11, a 12, a 22 nolga teng bo'lmagan koeffitsientlar mavjud deb taxmin qilinadi.

Markazi C(a, b) nuqtada va radiusi R ga teng aylana tenglamasi:

(x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 . (2.9)

Ellips- berilgan ikkita F 1 va F 2 nuqtalardan (fokuslar) masofalar yig'indisi 2a ga teng doimiy qiymat bo'lgan nuqtalarning joylashuvi.

Ellipsning kanonik (eng oddiy) tenglamasi

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

(2.10) tenglama bilan berilgan ellips koordinata o'qlariga nisbatan simmetrikdir. Variantlar a Va b chaqiriladi aks vallari ellips.

a>b bo'lsin, u holda F 1 va F 2 fokuslari Ox o'qida masofada joylashgan
c = kelib chiqishidan. Nisbati c/a = e < 1 называется ekssentriklik ellips. Ellipsning M(x, y) nuqtasidan uning fokuslarigacha bo'lgan masofalar (fokal radius vektorlari) quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

r 1 = a - e x, r 2 = a + e x.

Agar a< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 = b + e x, r 2 = b - e x.

Agar a = b bo'lsa, u holda ellips radiusning boshida joylashgan doiradir a.

Giperbola- berilgan ikkita F 1 va F 2 nuqtalardan (fokuslar) masofalar farqi mutlaq qiymatida berilgan 2a soniga teng bo'lgan nuqtalarning joylashuvi.

Kanonik giperbola tenglamasi

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

(2.11) tenglama bilan berilgan giperbola koordinata o'qlariga nisbatan simmetrikdir. U Ox o'qini A (a,0) va A (-a,0) nuqtalarda - giperbolaning uchlarida kesib o'tadi va Oy o'qini kesib o'tmaydi. Parametr a chaqirdi haqiqiy yarim o'q, b -xayoliy yarim o'q. Parametr c= - bu fokusdan boshlang'ichgacha bo'lgan masofa. Nisbati c/a = e >1 chaqiriladi ekssentriklik giperbola. Tenglamalari y = bo'lgan chiziqlar± b/a x deyiladi asimptotlar giperbola. Giperbolaning M(x,y) nuqtasidan uning o`choqlari (fokal radius vektorlari)gacha bo`lgan masofalar quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

r 1 = ê e x - a ê, r 2 = ê e x + a ê.

a = b deb ataladigan giperbola teng qirrali, uning tenglamasi x 2 - y 2 = a 2 va asimptotalar tenglamasi y =± x. Giperbolalar x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 va
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 deyiladi konjugatsiyalangan.

Parabolaberilgan nuqta (fokus) va berilgan chiziqdan (direktrix) teng masofada joylashgan nuqtalarning joylashuvi.

Parabolaning kanonik tenglamasi ikki shaklga ega:

1) y 2 = 2rx - parabola Ox o'qiga nisbatan simmetrikdir.

2) x 2 = 2ry - parabola Oy o'qiga nisbatan simmetrikdir.

Ikkala holatda ham p>0 va parabolaning tepasi, ya'ni simmetriya o'qida yotgan nuqta koordinata boshida joylashgan.

y 2 = 2rx tenglamasi fokusi F(r/2,0) va direktrisasi x = - r/2 bo'lgan parabola, undagi M(x,y) nuqtaning fokus radiusi vektori r = x+ r/. 2.

x 2 =2ry tenglamasi fokusi F(0, r/2) va direktrisasi y = - r/2 bo'lgan parabola; parabolaning M(x,y) nuqtasining fokus radiusi vektori r = y + p/2 ga teng.

F(x, y) = 0 tenglamasi tekislikni ikki yoki undan ortiq qismlarga ajratuvchi chiziqni belgilaydi. Bu qismlarning ba'zilarida F(x, y) tengsizlik o'rinli<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Boshqacha aytganda, chiziq
F(x, y)=0 tekislikning F(x, y)>0 bo‘lgan qismini tekislikning F(x, y) qismidan ajratib turadi.<0.

Tenglamasi Ax+By+C = 0 bo'lgan to'g'ri chiziq tekislikni ikkita yarim tekislikka ajratadi. Amalda, qaysi yarim tekislikda Ax+By+C ekanligini aniqlash uchun<0, а в какой Ax+By+C>0, nazorat nuqtasi usuli qo'llaniladi. Buning uchun nazorat nuqtasini oling (albatta, tenglamasi Ax+By+C = 0 bo'lgan to'g'ri chiziqda yotmang) va bu nuqtada Ax+By+C ifodasi qanday belgiga ega ekanligini tekshiring. Xuddi shu belgi boshqaruv nuqtasi joylashgan butun yarim tekislikda ko'rsatilgan ifodaga ega. Ikkinchi yarim tekislikda Ax+By+C qarama-qarshi belgiga ega.

Ikki noma’lumli chiziqli bo‘lmagan tengsizliklar ham xuddi shunday yechiladi.

Masalan, x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0 tengsizlikni yechamiz.Uni (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0 shaklida qayta yozish mumkin.

(x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 tenglama markazi C(2,-3) nuqtada va radiusi 5 ga teng bo'lgan doirani aniqlaydi. Doira tekislikni ikki qismga ajratadi - ichki va tashqi. Bu tengsizlik ularning qaysi biriga mos kelishini bilish uchun ichki mintaqadagi nazorat nuqtasini oling, masalan, bizning doiramizning markazi C(2,-3). C nuqtaning koordinatalarini tengsizlikning chap tomoniga qo'yib, salbiy -25 sonini olamiz. Bu aylana ichida joylashgan barcha nuqtalarda tengsizlikni bildiradi
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

1.5-misol.A(3,1) nuqtadan o'tuvchi va 2x+3y-1 = 0 to'g'ri chiziqqa 45 o burchak ostida qiya bo'lgan to'g'ri chiziq tenglamalarini yozing.

Yechim.y=kx+b ko‘rinishida qidiramiz. Chiziq A nuqtadan o'tganligi sababli, uning koordinatalari chiziq tenglamasini qanoatlantiradi, ya'ni. 1=3k+b,Þ b=1-3k. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakning o'lchami
y= k 1 x+b 1 va y= kx+b tg formula bilan aniqlanadi j = . Dastlabki 2x+3y-1=0 to'g'ri chiziqning burchak koeffitsienti k 1 bo'lgani uchun - 2/3 ga teng, burchak esa j = 45 o, u holda k ni aniqlash uchun tenglamamiz bor:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 yoki (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Bizda k ning ikkita qiymati bor: k 1 = 1/5, k 2 = -5. b = 1-3k formulasidan foydalanib, b ning mos keladigan qiymatlarini topib, biz ikkita kerakli to'g'ri chiziqni olamiz, ularning tenglamalari: x - 5y + 2 = 0 va
5x + y - 16 = 0.

1.6-misol. Qaysi parametr qiymatida t 3tx-8y+1 = 0 va (1+t)x-2ty = 0 tenglamalari parallel bo'lgan chiziqlar?

Yechim.Umumiy tenglamalar bilan aniqlangan chiziqlar, agar koeffitsientlari parallel bo'lsa x Va y proportsionaldir, ya'ni. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Olingan tenglamani yechib, topamiz t: t 1 = 2, t 2 = -2/3.

1.7-misol. Ikki doira umumiy akkord tenglamasini toping:
x 2 +y 2 =10 va x 2 +y 2 -10x-10y+30=0.

Yechim.Doiralarning kesishish nuqtalarini topamiz, buning uchun tenglamalar tizimini yeching:

Birinchi tenglamani yechishda biz x 1 = 3, x 2 = 1 qiymatlarini topamiz. Ikkinchi tenglamadan - mos keladigan qiymatlar y: y 1 = 1, y 2 = 3. Endi bu chiziqqa tegishli ikkita A(3,1) va B(1,3) nuqtalarni bilib, umumiy akkord tenglamasini olamiz: (y-1)/(3) -1) = (x-3)/(1-3), yoki y+ x - 4 = 0.

1.8-misol. Koordinatalari (x-3) 2 + (y-3) 2 shartlarni qanoatlantiradigan nuqtalar tekislikda qanday joylashgan?< 8, x >y?

Yechim.Tizimning birinchi tengsizligi doiraning ichki qismini belgilaydi, chegarani o'z ichiga olmaydi, ya'ni. markazi (3,3) nuqtada va radiusda bo'lgan doira. Ikkinchi tengsizlik tenglamasi x = y bo'lgan chiziq bilan aniqlangan yarim tekislikni belgilaydi va tengsizlik qat'iy bo'lgani uchun, chiziqning o'zi nuqtalari yarim tekislikka tegishli emas va bu chiziq ostidagi barcha nuqtalar yarim tekislik. Biz ikkala tengsizlikni qanoatlantiradigan nuqtalarni qidirayotganimiz uchun biz izlayotgan maydon yarim doira ichki qismidir.

1.9-misol.Tenglamasi x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 bo'lgan ellipsga chizilgan kvadratning yon uzunligini hisoblang.

Yechim.Mayli M(s, s)- birinchi chorakda yotgan kvadratning tepasi. Keyin kvadratning tomoni 2 ga teng bo'ladi Bilan. Chunki nuqta M ellipsga tegishli, uning koordinatalari ellipsning c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1 tenglamasini qanoatlantiradi, bu erdan
c = ab/ ; Bu kvadratning tomoni 2ab/ ekanligini bildiradi.

1.10-misol.Giperbolaning y = asimptotalari tenglamasini bilish± 0,5 x va uning nuqtalaridan biri M(12, 3), giperbolaning tenglamasini tuzing.

Yechim.Giperbolaning kanonik tenglamasini yozamiz: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Giperbolaning asimptotalari y = tenglamalar bilan berilgan.± 0,5 x, bu b/a = 1/2 degan ma'noni anglatadi, bundan a=2b. Chunki M giperbola nuqtasi bo'lsa, u holda uning koordinatalari giperbola tenglamasini qanoatlantiradi, ya'ni. 144/a 2 - 27/b 2 = 1. a = 2b ekanligini hisobga olsak, b ni topamiz: b 2 =9Þ b=3 va a=6. U holda giperbolaning tenglamasi x 2 /36 - y 2 /9 = 1 bo'ladi.

1.11-misol.Parabola ichiga chizilgan ABC muntazam uchburchakning parametr bilan yon uzunligini hisoblang R, A nuqta parabola cho'qqisiga to'g'ri keladi deb faraz qilsak.

Yechim.Parabolaning parametrli kanonik tenglamasi R y 2 = 2rx ko'rinishga ega, uning cho'qqisi koordinatali nuqtaga to'g'ri keladi va parabola abscissa o'qiga nisbatan simmetrikdir. AB to'g'ri chiziq Ox o'qi bilan 30 o burchak hosil qilganligi uchun to'g'ri chiziq tenglamasi y = x ko'rinishga ega. ko'p sonli grafikalar

Demak, y 2 = 2rx, y = x tenglamalar tizimini yechish orqali B nuqtaning koordinatalarini topishimiz mumkin, undan x = 6r, y = 2r. Demak, A(0,0) va B(6r,2r) nuqtalar orasidagi masofa 4r ga teng.

K(x 0 ; y 0) nuqtadan o‘tuvchi va y = kx + a to‘g‘riga parallel bo‘lgan chiziq quyidagi formula bo‘yicha topiladi:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Bu erda k - chiziqning qiyaligi.

Muqobil formula:
M 1 (x 1 ; y 1) nuqtadan o‘tuvchi va Ax+By+C=0 to‘g‘riga parallel bo‘lgan chiziq tenglama bilan ifodalanadi.

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Misol № 1. M 0 (-2,1) nuqtadan o‘tuvchi va bir vaqtning o‘zida to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing:
a) 2x+3y to'g'ri chiziqqa parallel -7 = 0;
b) 2x+3y to'g'ri chiziqqa perpendikulyar -7 = 0.
Yechim . Nishab bilan tenglamani y = kx + a ko'rinishda tasavvur qilaylik. Buning uchun y dan tashqari barcha qiymatlarni o'ng tomonga siljiting: 3y = -2x + 7 . Keyin o'ng tomonni 3 ga bo'ling. Biz olamiz: y = -2/3x + 7/3
y = -2 / 3 x + 7 / 3 to'g'ri chiziqqa parallel bo'lgan K(-2;1) nuqtadan o'tuvchi NK tenglama topilsin.
x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 ni almashtirsak, biz quyidagilarga erishamiz:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
yoki
y = -2/3 x - 1/3 yoki 3y + 2x +1 = 0

Misol № 2. 2x + 5y = 0 chiziqqa parallel bo'lgan chiziq tenglamasini yozing va koordinata o'qlari bilan birgalikda maydoni 5 bo'lgan uchburchak hosil qiling.
Yechim . Chiziqlar parallel bo'lgani uchun, kerakli chiziqning tenglamasi 2x + 5y + C = 0. To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni, bu erda a va b - uning oyoqlari. Kerakli chiziqning koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini topamiz:
;
.
Demak, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Uni maydon formulasiga almashtiramiz: . Biz ikkita yechim olamiz: 2x + 5y + 10 = 0 va 2x + 5y - 10 = 0.

Misol № 3. (-2; 5) nuqtadan o‘tuvchi va 5x-7y-4=0 to‘g‘riga parallel bo‘lgan chiziq tenglamasini yozing.
Yechim. Bu to'g'ri chiziq y = 5 / 7 x – 4 / 7 (bu erda a = 5 / 7) tenglama bilan ifodalanishi mumkin. Kerakli chiziqning tenglamasi y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), ya'ni. 7(y-5)=5(x+2) yoki 5x-7y+45=0 .

Misol № 4. 3-misolni (A=5, B=-7) (2) formuladan foydalanib yechib, 5(x+2)-7(y-5)=0 ni topamiz.

Misol № 5. (-2;5) nuqtadan o‘tuvchi va 7x+10=0 to‘g‘riga parallel bo‘lgan chiziq tenglamasini yozing.
Yechim. Bu yerda A=7, B=0. Formula (2) 7(x+2)=0 ni beradi, ya'ni. x+2=0. Formula (1) qo'llanilmaydi, chunki bu tenglamani y ga nisbatan yechish mumkin emas (bu to'g'ri chiziq ordinata o'qiga parallel).