U predmetu matematika 7. razreda prvi put se susrećemo jednadžbe s dvije varijable, ali se proučavaju samo u kontekstu sustava jednadžbi s dvije nepoznanice. Zato iz vida pada čitav niz problema u kojima se na koeficijente jednadžbe uvode određeni uvjeti koji ih ograničavaju. Osim toga, zanemaruju se i metode za rješavanje zadataka poput "Riješi jednadžbu u prirodnim ili cijelim brojevima", iako se problemi ove vrste sve češće nalaze u materijalima Jedinstvenog državnog ispita i na prijemnim ispitima.

Koju ćemo jednadžbu nazvati jednadžbom s dvije varijable?

Tako su, na primjer, jednadžbe 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 ili xy = 12 jednadžbe u dvije varijable.

Razmotrimo jednadžbu 2x – y = 1. Ona postaje istinita kada su x = 2 i y = 3, tako da je ovaj par vrijednosti varijable rješenje dotične jednadžbe.

Dakle, rješenje bilo koje jednadžbe s dvije varijable je skup uređenih parova (x; y), vrijednosti varijabli koje ovu jednadžbu pretvaraju u pravu numeričku jednakost.

Jednadžba s dvije nepoznanice može:

A) imati jedno rješenje. Na primjer, jednadžba x 2 + 5y 2 = 0 ima jedinstveno rješenje (0; 0);

b) imati više rješenja. Na primjer, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ima 4 rješenja: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) nemaju rješenja. Na primjer, jednadžba x 2 + y 2 + 1 = 0 nema rješenja;

G) imaju beskonačno mnogo rješenja. Na primjer, x + y = 3. Rješenja ove jednadžbe bit će brojevi čiji je zbroj jednak 3. Skup rješenja ove jednadžbe može se napisati u obliku (k; 3 – k), gdje je k bilo koji realni broj.

Glavne metode za rješavanje jednadžbi s dvije varijable su metode koje se temelje na rastavljanju izraza na faktore, izdvajanju potpunog kvadrata, korištenju svojstava kvadratne jednadžbe, ograničenim izrazima i metodama procjene. Jednadžba se obično transformira u oblik iz kojeg se može dobiti sustav za pronalaženje nepoznanica.

Faktorizacija

Primjer 1.

Riješite jednadžbu: xy – 2 = 2x – y.

Riješenje.

Grupiramo članove u svrhu faktorizacije:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Iz svake zagrade izdvajamo zajednički faktor:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Imamo:

y = 2, x – bilo koji realni broj ili x = -1, y – bilo koji realni broj.

Tako, odgovor su svi parovi oblika (x; 2), x € R i (-1; y), y € R.

Jednakost nenegativnih brojeva nuli

Primjer 2.

Riješite jednadžbu: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Riješenje.

Grupiranje:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Sada se svaka zagrada može presavinuti pomoću formule kvadrata razlike.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Zbroj dvaju nenegativnih izraza je nula samo ako je 3x – 2 = 0 i 2y – 3 = 0.

To znači x = 2/3 i y = 3/2.

Odgovor: (2/3; 3/2).

Metoda procjene

Primjer 3.

Riješite jednadžbu: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Riješenje.

U svakoj zagradi odabiremo cijeli kvadrat:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Procijenimo značenje izraza u zagradama.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 i (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, tada je lijeva strana jednadžbe uvijek najmanje 2. Jednakost je moguća ako:

(x + 1) 2 + 1 = 1 i (y – 2) 2 + 2 = 2, što znači x = -1, y = 2.

Odgovor: (-1; 2).

Upoznajmo se s još jednom metodom rješavanja jednadžbi s dvije varijable drugog stupnja. Ova metoda se sastoji od tretiranja jednadžbe kao kvadrat s obzirom na neku varijablu.

Primjer 4.

Riješite jednadžbu: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Riješenje.

Riješimo jednadžbu kao kvadratnu jednadžbu za x. Nađimo diskriminantu:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Jednadžba će imati rješenje samo kada je D = 0, odnosno ako je y = 4. Zamijenimo vrijednost y u izvornu jednadžbu i nalazimo da je x = 3.

Odgovor: (3; 4).

Često u jednadžbama s dvije nepoznanice označavaju ograničenja varijabli.

Primjer 5.

Riješite jednadžbu u cijelim brojevima: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Riješenje.

Prepišimo jednadžbu u obliku x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Desna strana dobivene jednadžbe kada se podijeli s 5 daje ostatak od 2. Stoga x 2 nije djeljiv s 5. Ali kvadrat od a broj nedjeljiv s 5 daje ostatak 1 ili 4. Dakle, jednakost je nemoguća i nema rješenja.

Odgovor: nema korijena.

Primjer 6.

Riješite jednadžbu: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Riješenje.

Istaknimo kompletne kvadrate u svakoj zagradi:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Lijeva strana jednadžbe uvijek je veća ili jednaka 3. Jednakost je moguća pod uvjetom da je |x| – 2 = 0 i y + 3 = 0. Dakle, x = ± 2, y = -3.

Odgovor: (2; -3) i (-2; -3).

Primjer 7.

Za svaki par negativnih cijelih brojeva (x;y) koji zadovoljavaju jednadžbu
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, izračunaj zbroj (x + y). Molimo vas da u odgovoru navedete najmanji iznos.

Riješenje.

Odaberimo kompletne kvadrate:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Budući da su x i y cijeli brojevi, njihovi kvadrati su također cijeli brojevi. Zbroj kvadrata dva cijela broja jednak 37 dobivamo ako zbrojimo 1 + 36. Dakle:

(x – y) 2 = 36 i (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 i (y + 2) 2 = 36.

Rješavajući ove sustave i uzimajući u obzir da su x i y negativni, nalazimo rješenja: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odgovor: -17.

Ne očajavajte ako imate poteškoća s rješavanjem jednadžbi s dvije nepoznanice. Uz malo vježbe, možete se nositi sa svakom jednadžbom.

Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako riješiti jednadžbe u dvije varijable?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

Heinrich G.N. FMS br. 146, dopušteno

54 ≡ 6 × 5 ≡ 2 (mod 7),

55 ≡ 2 × 5 ≡ 3 (mod 7), 56 ≡ 3 × 5 ≡ 1 (mod 7).

Podižući k na potenciju, dobivamo 56k ≡ 1(mod 7) za bilo koji prirodni k. Stoga je 5555 =56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7).

(Geometrijski, ova jednakost znači da po krugu idemo, počevši od 5, devedeset i dva ciklusa i još tri broja). Dakle, broj 222555 ostavlja ostatak od 6 kada se podijeli sa 7.

Rješavanje jednadžbi u cijelim brojevima.

Bez sumnje, jedna od zanimljivih tema u matematici je rješavanje Diofantovih jednadžbi. Ova tema se obrađuje u 8., a zatim u 10. i 11. razredu.

Svaka jednadžba koju je potrebno riješiti u cijelim brojevima naziva se Diofantova jednadžba. Najjednostavnija od njih je jednadžba oblika ax+bu=c, gdje su a, b i cÎ Z. Za rješavanje ove jednadžbe koristi se sljedeći teorem.

Teorema. Linearna Diofantova jednadžba ax+bu=c, gdje a, b i sO Z ima rješenje ako i samo ako je c djeljiv s gcd brojeva a i b. Ako je d=NOT (a, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d i (x0, y0) rješenje jednadžbe akh+bu=s, tada su sva rješenja dana formulama x=x0 +b1 t, y=y0 –a1 t, gdje je t proizvoljan cijeli broj.

1. Riješite jednadžbe u cijelim brojevima:

2. Razmotrio sam sljedeće probleme s maturantima u pripremi za jedinstveni državni ispit iz matematike na ovu temu.

1). Riješite jednadžbu u cijelim brojevima: xy+3y+2x+6=13. Riješenje:

Faktorizirajmo lijevu stranu jednadžbe. Dobivamo:

Kako je x,uO Z, dobivamo skup sustava jednadžbi:

Heinrich G.N.

FMS br. 146, dopušteno

Odgovor: (–2;11), (10; –1), (–4; –15), (–15, –3)

2). Riješite jednadžbu u prirodnim brojevima: 3x +4y =5z.

9). Odredite sve parove prirodnih brojeva m i n za koje vrijedi jednakost 3m +7=2n.

10). Odredite sve trojke prirodnih brojeva k, m i n za koje vrijedi jednakost: 2∙k!=m! –2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)

jedanaest). Svi članovi konačnog niza su prirodni brojevi. Svaki član ovog niza, počevši od drugog, je ili 14 puta veći ili 14 puta manji od prethodnog. Zbroj svih članova niza je 4321.

c) Koji najveći broj članova može imati niz? Riješenje:

a) Neka je a1 =x, tada je a2 = 14x ili a1 =14x, tada je a2 =x. Tada je prema uvjetu a1 + a2 = 4321. Dobivamo: x + 14x = 4321, 15x = 4321, ali 4321 nije višekratnik broja 15, što znači da u nizu ne mogu biti dva člana.

b) Neka je a1 =x, tada je a2 = 14x, a3 =x, ili 14x+x+14x=4321, ili x+14x+x=4321. 29x=4321, zatim x=149, 14x=2086. To znači da niz može imati tri člana. U drugom slučaju je 16x=4321, ali tada x nije prirodan broj.

Nema odgovora; b) da; c) 577.

12). Svi članovi konačnog niza su prirodni brojevi. Svaki član ovog niza, počevši od drugog, ili na 10; puta više, odnosno 10 puta manje od prethodnog. Zbroj svih članova niza je 1860.

a) Može li niz imati dva člana? b) Može li niz imati tri člana?

c) Koji najveći broj članova može imati niz?

Očito, možemo govoriti o djeljivosti cijelih brojeva i razmatrati probleme na ovu temu beskonačno. Nastojao sam ovu temu razmotriti na način da što više zainteresiram učenike, da im pokažem ljepotu matematike s tog gledišta.

Bibliografija:

1. A. Ya. Kannel-Belov, A. K. Kovaldzhi. Kako riješiti nestandardne probleme Moskva ICSME 2001

2. A.V. Spivak. Dodatak časopisu Kvant br. 4/2000 Matematički praznik, Moskva 2000.

3. A.V. Spivak. Matematički kružok, “Sjetva” 2003

4. St. Petersburg gradska palača kreativnosti mladih. Matematički krug. Zadatnica za prvu i drugu godinu studija. Sankt Peterburg. 1993. godine

5. Algebra za 8. razred. Udžbenik za učenike škola i razreda s produbljenim učenjem matematike. Uredio N. Ya. Vilenkin. Moskva, 1995

6. M.L. Galitsky, A.M. Goldman, L.I. Zvavich. Zbirka zadataka iz algebre za 8-9 razreda. Udžbenik za učenike škola i razreda s produbljenim učenjem matematike. Moskva, Prosvjetljenje. 1994. godine

7. Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov. Algebra 8. razred. Udžbenik za škole i razrede s produbljenim učenjem matematike. Moskva, 2001

8. M.I.Shabunin, A.A.Prokofiev UMK MATEMATIKA Algebra. Počeci matematičke analize. Razina profila. Udžbenik za 11. razred. Moskva Binom. Laboratorij znanja 2009

9. M. I. Šabunjin, A. A. Prokofjev, T. A. Olejnik, T. V. Sokolova. UMK MATEMATIKA Algebra. Počeci matematičke analize. Profilna razina Zadatnica za 11. razred. Moskva Binom. Laboratorij znanja 2009

10. A.G. Klovo, D.A. Maltsev, L.I. Abzelilova Matematika. Zbirka testova prema planu jedinstvenog državnog ispita 2010

11. Jedinstveni državni ispit-2010. "Legija-M". Rostov na Donu 2009

12. Jedinstveni državni ispit UMK “Matematika. Priprema za Jedinstveni državni ispit." Uredili F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhov. Priprema za Jedinstveni državni ispit 2011. "Legija-M". Rostov na Donu 2010

13. UMK „Matematika. Jedinstveni državni ispit 2010. Uredili F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhov. MATEMATIKA Priprema za jedinstveni državni ispit-2010. Testovi obrazovanja i osposobljavanja. "Legija-M". Rostov na Donu 2009

14. Jedinstveni državni ispit FIPI. Univerzalni materijali za pripremu učenika MATEMATIKA 2010"Intelekt-Centar" 2010

15. A.Zh.Zhafyarov. Matematika. Jedinstveni državni ispit-2010 Ekspresne konzultacije. Izdavačka kuća Sibirskog sveučilišta, 2010

Rješavanje jednadžbi u cijelim brojevima.

Nesigurne jednadžbe su jednadžbe koje sadrže više od jedne nepoznanice. Pod jednim rješenjem neodređene jednadžbe podrazumijevamo skup vrijednosti nepoznanica koji danu jednadžbu pretvara u pravu jednakost.

Za rješavanje u cijelim brojevima jednadžbe oblika ah + po = c , Gdje A, b , c - cijeli brojevi različiti od nule, predstavljamo niz teorijskih odredbi koje će nam omogućiti uspostavljanje pravila odlučivanja. I te se odredbe temelje na već poznatim činjenicama teorije djeljivosti.

Teorem 1.Ako gcd (A, b ) = d , onda ima takvih cijelih brojeva x I na, da jednakost vrijedi ah + b y = d . (Ova se jednakost naziva linearna kombinacija ili linearna reprezentacija najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju brojeva u smislu samih brojeva.)

Dokaz teorema temelji se na korištenju jednakosti Euklidovog algoritma za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju brojeva (najveći zajednički djelitelj izražen je kroz parcijalne kvocijente i ostatke, počevši od posljednje jednakosti u Euklidskom algoritmu).

Primjer.

Odredite linearni prikaz najvećeg zajedničkog djelitelja brojeva 1232 i 1672.

Riješenje.

1. Kreirajmo jednakosti Euklidskog algoritma:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, tj. (1672.352) = 88.

2) Izrazimo 88 sekvencijalno kroz nepotpune kvocijente i ostatke, koristeći gore dobivene jednakosti, počevši od kraja:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, tj. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Teorem 2. Ako jednadžba ah + b y = 1 , ako gcd (A, b ) = 1 , dovoljno je zamisliti broj 1 kao linearna kombinacija brojeva a i b.

Valjanost ovog teorema slijedi iz teorema 1. Dakle, da bi se pronašlo jedno cjelobrojno rješenje jednadžbe ah + b y = 1, ako je gcd (a, b) = 1, dovoljno je broj 1 prikazati kao linearnu kombinaciju brojeva A I V .

Primjer.

Pronađite cjelobrojno rješenje jednadžbe 15x + 37y = 1.

Riješenje.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

Teorem 3. Ako je u jednadžbi ah + b y = c gcd(a, b ) = d >1 I S nije djeljiv sa d , tada jednadžba nema cjelobrojnih rješenja.

Za dokaz teorema dovoljno je pretpostaviti suprotno.

Primjer.

Pronađite cjelobrojno rješenje jednadžbe 16x - 34y = 7.

Riješenje.

(16.34)=2; 7 nije djeljiv s 2, jednadžba nema cjelobrojnih rješenja

Teorem 4. Ako je u jednadžbi ah + b y = c gcd(a, b ) = d >1 i c d , onda je

Pri dokazivanju teorema treba pokazati da je proizvoljno cjelobrojno rješenje prve jednadžbe ujedno i rješenje druge jednadžbe i obrnuto.

Teorem 5. Ako je u jednadžbi ah + b y = c gcd(a, b ) = 1, tada su sva cjelobrojna rješenja ove jednadžbe sadržana u formulama:

t – bilo koji cijeli broj.

Pri dokazivanju teorema treba pokazati, prvo, da gornje formule stvarno daju rješenja ove jednadžbe i, drugo, da je proizvoljno cjelobrojno rješenje te jednadžbe sadržano u gornjim formulama.

Gornji teoremi omogućuju nam uspostavljanje sljedećeg pravila za rješavanje jednadžbe u cijelim brojevima ah+ b y = c gcd(a, b ) = 1:

1) Nađeno je cjelobrojno rješenje jednadžbe ah + b y = 1 predstavljanjem 1 kao linearne kombinacije brojeva A Ib (postoje i drugi načini za pronalaženje cjelokupnih rješenja ove jednadžbe, na primjer korištenjem nastavljenih razlomaka);

Davanje t određene cjelobrojne vrijednosti, možete dobiti djelomična rješenja ove jednadžbe: najmanju apsolutnu vrijednost, najmanju pozitivnu (ako je moguće), itd.

Primjer.

Pronađite cjelobrojna rješenja jednadžbe 407x - 2816y = 33.

Riješenje.

1. Pojednostavit ćemo ovu jednadžbu, dovodeći je u oblik 37x - 256y = 3.

2. Riješite jednadžbu 37x - 256y = 1.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. Opći prikaz svih cjelobrojnih rješenja ove jednadžbe:

x = -83∙3 - 256 t = -249 - 256 t,

y = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t.

Metoda iscrpnog nabrajanja svih mogućih vrijednosti varijabli,

uključeni u jednadžbu.

Odredite skup svih parova prirodnih brojeva koji su rješenja jednadžbe 49x + 51y = 602.

Riješenje:

Izrazimo varijablu x iz jednadžbe kroz y x =, budući da su x i y prirodni brojevi, tada je x =602 - 51u ≥ 49, 51u≤553, 1≤u≤10.

Potpuna pretraga opcija pokazuje da su prirodna rješenja jednadžbe x=5, y=7.

Odgovor: (5;7).

Rješavanje jednadžbi metodom faktorizacije.

Diofant je uz linearne jednadžbe razmatrao kvadratne i kubne neodređene jednadžbe. Njihovo rješavanje obično je teško.

Razmotrimo slučaj u kojem se na jednadžbe može primijeniti formula razlike kvadrata ili druga metoda faktorizacije.

Riješite jednadžbu u cijelim brojevima: x 2 + 23 = y 2

Riješenje:

Prepišimo jednadžbu u obliku: y 2 - x 2 = 23, (y - x)(y + x) = 23

Budući da su x i y cijeli brojevi, a 23 prost broj, mogući su sljedeći slučajevi:

Rješavanjem dobivenih sustava nalazimo:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

Izražavanje jedne varijable kroz drugu i izdvajanje cijelog dijela razlomka.

Riješite jednadžbu u cijelim brojevima: x 2 + xy – y – 2 = 0.

Riješenje:

Izrazimo y kroz x iz ove jednadžbe:

y(x - 1) = 2 - x 2,

Nelinearne jednadžbe s dvije nepoznanice

Definicija 1. Neka A bude nešto skup parova brojeva (x; g) . Kažu da je skup A dan numerička funkcija z iz dvije varijable x i y , ako je zadano pravilo uz pomoć kojeg se svakom paru brojeva iz skupa A pridružuje određeni broj.

Određivanje numeričke funkcije z dviju varijabli x i y često je označiti Tako:

Gdje f (x , g) – bilo koja funkcija osim funkcije

f (x , g) = sjekira+po+c ,

gdje su a, b, c dani brojevi.

Definicija 3. Rješavanje jednadžbe (2) nazovi par brojeva ( x; g) , za koju je formula (2) prava jednakost.

Primjer 1. Riješite jednadžbu

Budući da je kvadrat bilo kojeg broja nenegativan, iz formule (4) slijedi da nepoznanice x i y zadovoljavaju sustav jednadžbi

čije je rješenje par brojeva (6; 3).

Odgovor: (6; 3)

Primjer 2. Riješite jednadžbu

Stoga je rješenje jednadžbe (6). beskonačan broj parova brojeva ljubazan

(1 + g ; g) ,

gdje je y bilo koji broj.

linearni

Definicija 4. Rješavanje sustava jednadžbi

nazovi par brojeva ( x; g) , kada ih zamijenite u svaku od jednadžbi ovog sustava, dobiva se točna jednakost.

Sustavi dviju jednadžbi, od kojih je jedna linearna, imaju oblik

g(x , g)

Primjer 4. Riješite sustav jednadžbi

Riješenje . Izrazimo nepoznanicu y iz prve jednadžbe sustava (7) preko nepoznanice x i zamijenimo dobiveni izraz u drugu jednadžbu sustava:

Rješavanje jednadžbe

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Stoga,

g 1 = 8 - x 1 = 9 ,
g 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Sustavi dviju jednadžbi od kojih je jedna homogena

Sustavi dviju jednadžbi od kojih je jedna homogena imaju oblik

gdje su a, b, c dani brojevi i g(x , g) – funkcija dviju varijabli x i y.

Primjer 6. Riješite sustav jednadžbi

Riješenje . Riješimo homogenu jednadžbu

3x 2 + 2xy - g 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10g 2 = 0 ,

tretirajući ga kao kvadratnu jednadžbu s obzirom na nepoznatu x:

.

U slučaju x = - 5g, iz druge jednadžbe sustava (11) dobivamo jednadžbu

5g 2 = - 20 ,

koja nema korijena.

U slučaju

iz druge jednadžbe sustava (11) dobivamo jednadžbu

,

čiji su korijeni brojevi g 1 = 3 , g 2 = - 3 . Pronalaženjem za svaku od ovih vrijednosti y odgovarajuću vrijednost x, dobivamo dva rješenja sustava: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Odgovor: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Primjeri rješavanja sustava jednadžbi drugih vrsta

Primjer 8. Riješite sustav jednadžbi (MIPT)

Riješenje . Uvedimo nove nepoznanice u i v, koje se izražavaju kroz x i y prema formulama:

Kako bismo prepisali sustav (12) u terminima novih nepoznanica, prvo izrazimo nepoznanice x i y u terminima u i v. Iz sustava (13) slijedi da

Riješimo linearni sustav (14) tako da eliminiramo varijablu x iz druge jednadžbe tog sustava. U tu svrhu provodimo sljedeće transformacije na sustavu (14).

S ruba šume u šikaru vode mnoge staze. Oni su vijugavi, konvergiraju, opet se razilaze i opet međusobno križaju. U hodu možete samo primijetiti obilje tih staza, prošetati nekima od njih i pratiti im smjer u dubinu šume. Da biste ozbiljno proučavali šumu, morate pratiti staze dok se uopće ne vide među suhim borovim iglicama i grmljem.

Stoga sam želio napisati projekt koji se može smatrati opisom jednog od mogućih hoda po rubu moderne matematike.

Okolni svijet, potrebe nacionalnog gospodarstva, a često i svakodnevne brige postavljaju pred čovjeka sve više novih zadataka čije rješenje nije uvijek očito. Ponekad određeno pitanje ima mnogo mogućih odgovora, što otežava rješavanje problema. Kako odabrati pravu i optimalnu opciju?

Rješavanje nesigurnih jednadžbi izravno je povezano s ovom problematikom. Takve jednadžbe, koje sadrže dvije ili više varijabli, za koje je potrebno pronaći sva cjelobrojna ili prirodna rješenja, razmatrane su od davnina. Na primjer, grčki matematičar Pitagora (IV. st. pr. Kr.). aleksandrijski matematičar Diofant (II-III st. n. e.) i najbolji matematičari nama bližeg doba - P. Fermat (XVII st.), L. Euler (XVIII st.), J. L. Lagrange (XVIII st.) i drugi.

Sudjelujući u ruskom dopisnom natjecanju > u Obninsku, Međunarodnom natjecanju u igri > i Olimpijadi Uralskog saveznog okruga, često se susrećem s takvim zadacima. To je zbog činjenice da je njihovo rješenje kreativno. Problemi koji se javljaju pri rješavanju jednadžbi u cijelim brojevima uzrokovani su kako složenošću tako i činjenicom da im se u školi posvećuje malo vremena.

Diofant predstavlja jednu od najtežih misterija u povijesti znanosti. Nije nam poznato vrijeme kada je on živio, kao ni njegovi prethodnici koji bi radili na istom polju. Njegova su djela poput iskričave vatre usred neprobojne tame.

Razdoblje u kojem je Diofant mogao živjeti je pola tisućljeća! Donja granica se određuje bez poteškoća: Diofant u svojoj knjizi o poligonalnim brojevima više puta spominje matematičara Hipsika iz Aleksandrije, koji je živio sredinom 2. stoljeća. PRIJE KRISTA e.

S druge strane, u komentarima Teona iz Aleksandrije slavnom astronomu Ptolemeju postoji izvadak iz Diofantovog djela. Theon je živio sredinom 4. stoljeća. n. e. Ovo određuje gornju granicu ovog intervala. Dakle, 500 godina!

Francuski povjesničar znanosti Paul Tannry, urednik najcjelovitijeg Diofantovog teksta, pokušao je smanjiti taj jaz. U knjižnici Escurial pronašao je izvatke iz pisma Mihaela Pselusa, bizantskog učenjaka iz 11. stoljeća. , gdje se kaže da je najučeniji Anatolij, nakon što je sabrao najbitnije dijelove ove nauke, govorimo o uvođenju stupnjeva nepoznatih i njihovo (označavanje), posvetio ih svom prijatelju Diofantu. Anatolij Aleksandrijski zapravo je komponirao >, čiji se odlomci citiraju u postojećim djelima Jambliha i Euzenija. Ali Anatolij je živio u Aleksandriji sredinom 111. stoljeća pr. e i još točnije - do 270. godine, kada postaje biskupom Laodacije. To znači da se njegovo prijateljstvo s Diofantom, kojeg svi zovu Aleksandrija, moralo dogoditi prije toga. Dakle, ako su slavni aleksandrijski matematičar i Anatolijev prijatelj po imenu Diofant jedna osoba, onda je vrijeme Diofantovog života sredina 111. stoljeća nove ere.

Ali mjesto Diofantovog prebivališta dobro je poznato - Aleksandrija, središte znanstvene misli i helenističkog svijeta.

Jedan od epigrama Palatinske antologije sačuvan je do danas:

Diofantov pepeo počiva u grobu: čudite se njemu – i kamenu

Starost pokojnika govorit će kroz njegovu mudru umjetnost.

Voljom bogova proživio je šestinu života kao dijete.

I dočekala sam pola šest s paperjem na obrazima.

Bio je tek sedmi dan kada se zaručio sa svojom djevojkom.

Nakon pet godina provedenih s njom, mudrac je čekao svog sina.

Očev voljeni sin proživio je samo pola života.

Od oca ga je rani grob uzeo.

Dva puta po dvije godine roditelj je oplakivao tešku tugu.

Ovdje sam vidio granicu svog tužnog života.

Koristeći suvremene metode rješavanja jednadžbi, moguće je izračunati koliko je godina Diofant živio.

Neka Diofant živi x godina. Kreirajmo i riješimo jednadžbu:

Pomnožimo jednadžbu s 84 da se riješimo razlomaka:

Dakle, Diofant je živio 84 godine.

Najtajanstvenije je Diofantovo djelo. Šest od trinaest knjiga koje su objedinjene u > dospjelo je do nas; stil i sadržaj tih knjiga oštro se razlikuju od klasičnih antičkih djela o teoriji brojeva i algebri, primjere za koje znamo iz > Euklida, njegovih >, lema iz djela Arhimeda i Apolonija. > je nedvojbeno rezultat brojnih istraživanja koja su ostala potpuno nepoznata.

Možemo samo nagađati o njegovim korijenima i diviti se bogatstvu i ljepoti njegovih metoda i rezultata.

> Diophanta je zbirka problema (ukupno 189), od kojih svaki ima rješenje. Problemi u njoj pomno su odabrani i služe za ilustraciju vrlo specifičnih, strogo promišljenih metoda. Kao što je bilo uobičajeno u davnim vremenima, metode nisu formulirane u općem obliku, već se ponavljaju za rješavanje sličnih problema.

Pouzdano je poznata jedinstvena Diofantova biografija, koja je, prema legendi, bila uklesana na njegovom nadgrobnom spomeniku i predstavljala zagonetku:

Ova zagonetka služi kao primjer problema koje je Diofant riješio. Specijalizirao se za rješavanje problema u cijelim brojevima. Takvi problemi su trenutno poznati kao Diofantovi problemi.

Proučavanje Diofantovih jednadžbi obično je povezano s velikim poteškoćama.

Godine 1900. na Svjetskom kongresu matematičara u Parizu jedan od vodećih svjetskih matematičara David Hilbert identificirao je 23 problema iz različitih područja matematike. Jedan od tih problema bio je problem rješavanja Diofantovih jednadžbi. Problem je bio sljedeći: je li moguće jednadžbu s proizvoljnim brojem nepoznanica i cjelobrojnim koeficijentima riješiti na određeni način – pomoću algoritma. Zadatak je sljedeći: za danu jednadžbu trebate pronaći sve cijele ili prirodne vrijednosti varijabli uključenih u jednadžbu, pri čemu se ona pretvara u pravu jednakost. Diofant je došao do mnogo različitih rješenja za takve jednadžbe. Zbog beskrajne raznolikosti Diofantovih jednadžbi ne postoji opći algoritam za njihovo rješavanje, a za gotovo svaku jednadžbu treba izmisliti pojedinačnu tehniku.

Diofantova jednadžba 1. stupnja ili linearna Diofantova jednadžba s dvije nepoznanice je jednadžba oblika: ax+by=c, gdje su a,b,c cijeli brojevi, GCD(a,b)=1.

Dat ću formulacije teorema na temelju kojih se može sastaviti algoritam za rješavanje neodređenih jednadžbi prvog stupnja dviju varijabli u cijelim brojevima.

Teorem 1. Ako je u jednadžbi, onda jednadžba ima barem jedno rješenje.

Dokaz:

Možemo pretpostaviti da je a >0. Nakon što smo riješili jednadžbu za x, dobivamo: x = c-vua. Dokazat ću ako u ovoj formuli umjesto y zamijenimo sve prirodne brojeve manje od a i 0, tj. brojeve 0;1;2;3;. ;a-1, i svaki put kada izvodite dijeljenje, tada će svi ostaci a biti drugačiji. Zaista, umjesto y zamijenit ću brojeve m1 i m2, manje od a. Kao rezultat, dobit ću dvije frakcije: c-bm1a i c-bm2a. Nakon što sam izvršio dijeljenje i označio nepotpune kvocijente s q1 i q2, a ostatke s r1 i r2, naći ću s-vm1a=q1+ r1a, s-vm2a= q2+ r2a.

Pretpostavit ću da su ostaci r1 i r2 jednaki. Tada, oduzimajući drugu od prve jednakosti, dobivam: c-bm1a- c-bm2a = q1-q2, odnosno b(m1 - m2)a = q1-q2.

Budući da je q1-q2 cijeli broj, onda lijeva strana mora biti cijeli broj. Dakle, bm1 - m2 mora biti djeljivo s a, tj. razlika dvaju prirodnih brojeva od kojih je svaki manji od a mora biti djeljiva s a, što je nemoguće. To znači da su ostaci r1 i r2 jednaki. Odnosno, svi su ostaci različiti.

Da. Primio sam a različitih stanja manje od a. Ali različita a od prirodnih brojeva koji ne prelaze a su brojevi 0;1;2;3;. ;a-1. Prema tome, među ostacima će sigurno biti jedan i samo jedan jednak nuli. Vrijednost y, čija zamjena u izraz (c-vu)a daje ostatak 0 i pretvara x=(c-vu)a u cijeli broj. Q.E.D.

Teorem 2. Ako u jednadžbi i c nije djeljiv sa, onda jednadžba nema cjelobrojnih rješenja.

Dokaz:

Neka je d=NOT(a;b), tako da je a=md, b=nd, gdje su m i n cijeli brojevi. Tada će jednadžba poprimiti oblik: mdh+ ndu=s, odnosno d(mh+ nu)=s.

Pod pretpostavkom da postoje cijeli brojevi x i y koji zadovoljavaju jednadžbu, nalazim da je koeficijent c djeljiv s d. Rezultirajuća kontradikcija dokazuje teorem.

Teorem 3. Ako je u jednadžbi, i, onda je ekvivalentna jednadžbi u kojoj.

Teorem 4. Ako je u jednadžbi, tada su sva cjelobrojna rješenja te jednadžbe sadržana u formulama:

gdje je x0, y0 cjelobrojno rješenje jednadžbe, bilo koji cijeli broj.

Formulirani teoremi omogućuju konstruiranje sljedećeg algoritma za rješavanje jednadžbe oblika u cijelim brojevima.

1. Nađite najveći zajednički djelitelj brojeva a i b, ako c nije djeljiv sa, onda jednadžba nema cjelobrojnih rješenja; ako i tada

2. Podijelite jednadžbu član po član, dobivajući jednadžbu u kojoj.

3. Pronađite cjelobrojno rješenje (x0, y0) jednadžbe predstavljanjem 1 kao linearne kombinacije brojeva i;

4. Napravite opću formulu za cjelobrojna rješenja ove jednadžbe, gdje je x0, y0 cjelobrojno rješenje jednadžbe, a svaki cijeli broj.

2. 1 METODA SILAZANJA

Mnogi > se temelje na metodama za rješavanje nesigurnih jednadžbi. Na primjer, trik koji uključuje pogađanje datuma rođenja.

Pozovite svog prijatelja da pogodi svoj rođendan zbrojem brojeva koji je jednak umnošku njegovog datuma rođenja s 12 i broja mjeseca rođenja s 31.

Da biste pogodili rođendan svog prijatelja trebate riješiti jednadžbu: 12x + 31y = A.

Neka vam je dan broj 380, tj. imamo jednadžbu 12x + 31y = 380. Da biste pronašli x i y, možete zaključiti ovako: broj 12x + 24y je djeljiv s 12, dakle, prema svojstvima djeljivosti (teorem 4.4), brojevi 7y i 380 moraju imati isti ostatak kada se dijele s 12. Broj 380 kada se dijeli s 12 daje ostatak od 8, stoga 7y kada se dijeli s 12 također mora ostaviti ostatak od 8, a budući da y je broj mjeseca, zatim 1

Jednadžba koju smo riješili je Diofantova jednadžba 1. stupnja s dvije nepoznanice. Za rješavanje takvih jednadžbi može se koristiti tzv. metoda silaska. Razmotrit ću algoritam ove metode koristeći specifičnu jednadžbu 5x + 8y = 39.

1. Odabrat ću nepoznanicu koja ima najmanji koeficijent (u našem slučaju to je x), i izraziti je kroz drugu nepoznanicu:. Istaknut ću cijeli dio: Očito, x će biti cijeli broj ako se ispostavi da je izraz cijeli broj, što će pak biti slučaj kada je broj 4 - 3y djeljiv s 5 bez ostatka.

2. Uvest ću dodatnu cjelobrojnu varijablu z na sljedeći način: 4 - 3y = 5z. Kao rezultat, dobit ću jednadžbu istog tipa kao i izvorna, ali s manjim koeficijentima. Riješit ću to s obzirom na varijablu y:. Odabirom cijelog dijela dobivam:

Rezonirajući slično prethodnom, uvodim novu varijablu u: 3u = 1 - 2z.

3. Nepoznanicu ću izraziti najmanjim koeficijentom, u ovom slučaju varijablu z: =. Zahtijevajući da to bude cijeli broj, dobivam: 1 - u = 2v, odakle je u = 1 - 2v. Nema više razlomaka, silazak je završen.

4. Sada trebate >. Izrazit ću kroz varijablu v prvo z, zatim y pa x: z = = = 3v - 1; = 3 - 5v.

5. Formule x = 3+8v i y = 3 - 5v, gdje je v proizvoljan cijeli broj, predstavljaju opće rješenje izvorne jednadžbe u cijelim brojevima.

Komentar. Dakle, metoda pada uključuje prvo sekvencijalno izražavanje jedne varijable u terminima druge sve dok ne preostane nijedan razlomak u reprezentaciji varijable, a zatim sekvencijalno duž lanca jednakosti kako bi se dobilo opće rješenje jednadžbe.

2. 2 METODA ANKETIRANJA

Kunići i fazani sjede u kavezu, imaju ukupno 18 nogu. Saznati koliko je oboje u ćeliji?

Dopustite mi da napravim jednadžbu s dvije nepoznanice, u kojoj je x broj zečeva, a y broj fazana:

4x + 2y = 18, ili 2x + y = 9.

Odgovor. 1) 1 zec i 7 fazana; 2) 2 zeca i 5 fazana; 3) 3 zeca i 3 fazana; 4) 4 zeca i 1 fazan.

1. PRAKTIČNI DIO

3.1 Rješavanje linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice

1. Riješite jednadžbu 407x - 2816y = 33 u cijelim brojevima.

Koristit ću sastavljeni algoritam.

1. Euklidskim algoritmom pronaći ću najveći zajednički djelitelj brojeva 407 i 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Prema tome (407,2816) = 11, s 33 djeljivo s 11.

2. Podijelimo obje strane izvorne jednadžbe s 11, dobivamo jednadžbu 37x - 256y = 3, i (37, 256) = 1

3. Koristeći Euklidov algoritam, naći ću linearni prikaz broja 1 kroz brojeve 37 i 256.

256 = 37 6 + 34;

Izrazit ću 1 iz zadnje jednakosti, zatim idući sukcesivno uz jednakosti izrazit ću 3; 34 i zamijenite dobivene izraze u izraz za 1.

1 = 34 - 3 11 = 34 - (37 - 34 1) 11 = 34 12 - 37 11 = (256 - 37 6) 12 - 37 11 =

83 37 - 256 (- 12)

Dakle, 37·(- 83) - 256·(- 12) = 1, stoga je par brojeva x0 = - 83 i y0 = - 12 rješenje jednadžbe 37x - 256y = 3.

4. Zapisat ću opću formulu za rješenja izvorne jednadžbe gdje je t bilo koji cijeli broj.

Odgovor. (-83c+bt; -12c-at), t ê Z.

Komentar. Može se dokazati da ako je par (x1,y1) cjelobrojno rješenje jednadžbe gdje se sva cjelobrojna rješenja ove jednadžbe nalaze pomoću formula: x=x1+bty=y1-at

2. Riješite jednadžbu 14x - 33y=32 u cijelim brojevima.

Rješenje: x = (32 + 33y) : 14

(14 [. ] 2+ 5)y + (14 [. ] 2 + 4) = 14 [. ] 2y + 5y + 14[. ] 2 + 4 = 14(2y + 2) + 5y + 4; 2y + 2 = p; p ê Z

Traži od 1 do 13

Kada je y = 2; (5 [. ] 2 + 4): 14

Dopustite da zamijenim y = 2 u izvornu jednadžbu

14x = 32 +33 [. ] 2

14x = 32 + 66 x = 98: 14 = 7

Iz pronađenog količnika pronaći ću sva cjelobrojna rješenja:

14(x - 7) + 98 - 33 (y -2) - 66 = 32

14(x - 7) - 33(y - 2)=0

14(x - 7) = 33(y - 2) -> 14(x - 7) : 33 -> (x - 7): 33 -> x = 33k + 7; k ê Z

Dopustite mi da zamijenim u izvornu jednadžbu:

14(33k + 7) - 33y = 32

14. 33k + 98 - 33y = 32 y = 14k + 2; x = 33k + 7, gdje je k ê Z. Ove formule specificiraju opće rješenje izvorne jednadžbe.

Odgovor. (33k + 7; 14k + 2), k ê Z.

3. Riješite jednadžbu x - 3y = 15 u cijelim brojevima.

Pronaći ću GCD(1,3)=1

Odredit ću određeno rješenje: x=(15+3y):1 koristeći metodu nabrajanja, pronalazim vrijednost y=0 zatim x=(15+3 [. ] 0) =15

(15; 0) - privatno rješenje.

Sva ostala rješenja nalaze se pomoću formula: x=3k + 15, k ê Z y=1k+0=k, k ê Z za k=0, dobivam posebno rješenje (15;0)

Odgovor: (3k+15; k), k ê Z.

4. Riješite jednadžbu 7x - y = 3 u cijelim brojevima.

Pronaći ću GCD(7, -1)=1

Definirat ću posebno rješenje: x = (3+y):7

Koristeći metodu grube sile, nalazimo vrijednost y ê y = 4, x = 1

To znači da je (1;4) posebno rješenje.

Sva ostala rješenja pronalazim pomoću formula: x = 1k + 1, k ê Z y = 7k + 4, k ê Z

Odgovor: (k+1;7k+4); k ê Z.

5. Riješite jednadžbu 15x+11 y = 14 cijelih brojeva.

Pronaći ću GCD(15, -14)=1

Definirat ću posebno rješenje: x = (14 - 11y):15

Koristeći metodu grube sile, nalazim vrijednost y ê y = 4, x = -2

(-2;4) je posebno rješenje.

Sva ostala rješenja nalazim pomoću formula: x = -11k - 2, k ê Z y =15k + 4, k ê Z

Odgovor: (-11k-2; 15k+4); k ê Z.

6. Riješite jednadžbu 3x - 2y = 12 cijelih brojeva.

Pronaći ću GCD(3; 2)=1

Definirat ću posebno rješenje: x = (12+2y):3

Koristeći metodu grube sile, pronalazim vrijednost y ê y = 0, x = 4

(4;0) je posebno rješenje.

Sva ostala rješenja pronalazim pomoću formula: x = 2k + 4, k ê Z y = 3k, k ê Z

Odgovor: (2k+4; 3k); k ê Z.

7. Riješite jednadžbu xy = x + y u cijelim brojevima.

Imam xy - x - y + 1 = 1 ili (x - 1)(y - 1) = 1

Stoga je x - 1 = 1, y - 1 = 1, odakle je x = 2, y = 2 ili x - 1 = - 1, y - 1 = - 1, odakle je x = 0, y = 0 ostala rješenja u cijelim brojevima zadana jednadžba nema.

Odgovor. 0;0;(2;2).

8. Jednadžbu 60x - 77y = 1 riješite cijelim brojevima.

Dopustite mi da riješim ovu jednadžbu za x: x = (77y + 1) / 60 = (60y + (17y +1)) / 60 = y + (17y + 1) / 60.

Neka je (17y + 1) / 60 = z, tada je y = (60z - 1) / 17 = 3z + (9z - 1) / 17. Ako (9z - 1) / 17 označimo s t, tada je z = (17t + 1) / 9 = 2t + (- t + 1) / 9. Konačno, neka je (- t + 1) / 9 = n, tada je t = 1- 9n. Budući da nalazim samo cjelobrojna rješenja jednadžbe, z, t, n moraju biti cijeli brojevi.

Dakle, z = 2 - 18n + 2 = 2 - 17n, pa je prema tome y = 6 - 51n + 1 - 9n = 7 - 60n, x = 2 - 17n +7 - 60n = 9 - 77n. Dakle, ako su x i y cjelobrojna rješenja dane jednadžbe, tada postoji cijeli broj n takav da je x = 9 - 77n, y = 7 - 60n. Obrnuto, ako je y = 9 - 77n, x = 7 - 60n, tada su, očito, x, y cijeli brojevi. Provjera pokazuje da zadovoljavaju izvornu jednadžbu.

Odgovor. (9 - 77n; 7 - 60n)); n ê Z.

9. Riješite jednadžbu 2x+11y =24 u cijelim brojevima.

Pronaći ću GCD(2; 11)=1

Definirat ću posebno rješenje: x = (24-11y):2

Koristeći metodu grube sile, pronalazim vrijednost y ê y = 0, x = 12

(12;0) je posebno rješenje.

Sva ostala rješenja pronalazim pomoću formula: x = -11k + 12, k ê Z y = 2k + 0=2k, k ê Z

Odgovor:(-11k+12; 2k); k ê Z.

10. Jednadžbu 19x - 7y = 100 riješite cijelim brojevima.

Pronaći ću GCD(19, -7)=1

Definirat ću posebno rješenje: x = (100+7y):19

Koristeći metodu grube sile, pronalazim vrijednost y ê y = 2, x = 6

(6;2) je posebno rješenje.

Sva ostala rješenja pronalazim pomoću formula: x = 7k + 6, k ê Z y = 19k + 2, k ê Z

Odgovor:(7k+6; 19k+2); kê Z.

11. Riješite jednadžbu 24x - 6y = 144 u cijelim brojevima

Pronaći ću GCD(24, 6)=3.

Jednadžba nema rješenja jer je GCD(24, 6)!=1.

Odgovor. Nema rješenja.

12. Riješite jednadžbu u cijelim brojevima.

Transformiram omjer koeficijenata za nepoznanice.

Prije svega, istaknut ću cijeli dio nepravog razlomka;

Zamijenit ću pravi razlomak jednakim razlomkom.

Onda ću ja to uzeti.

Napravit ću iste transformacije s nepravim razlomkom dobivenim u nazivniku.

Sada će izvorni razlomak imati oblik:

Ponavljajući isto razmišljanje za razlomak, dobivam.

Izdvajajući cijeli dio nepravog razlomka, dolazim do konačnog rezultata:

Dobio sam izraz koji se zove konačni razlomak ili produljeni razlomak. Nakon što sam odbacio posljednju kariku ovog nastavljenog razlomka - jednu petinu, transformirat ću rezultirajući novi nastavljeni razlomak u jednostavni i oduzeti ga od izvornog razlomka.

Dobiveni izraz ću svesti na zajednički nazivnik i onda ga odbaciti

Iz usporedbe dobivene jednakosti s jednadžbom proizlazi da će, biti rješenje ove jednadžbe i, prema teoremu, sva će njena rješenja biti sadržana u,.

Odgovor. (9+52t; 22+127t), t ê Z.

Dobiveni rezultat sugerira da je u općem slučaju, kako bi se pronašlo rješenje jednadžbe, potrebno proširiti omjer koeficijenata nepoznanica u neprekinuti razlomak, odbaciti njegovu posljednju vezu i provesti izračune slične onima koji su provedeni gore.

13. Riješite jednadžbu 3xy + 2x + 3y = 0 u cijelim brojevima.

3xy + 2x + 3y = 3y + 2x + 3y + 2 - 2 = 3y(x + 1) + 2(x + 1) - 2 =

=(x + 1)(3y + 2) - 2,

(x + 1)(3y + 2) = 2,

3y + 2 = 1 ili 3y + 1 = 2 ili 3y + 1 = -1 ili 3y + 1 = -2 x + 1 = 2, x + 1 =1, x + 1 = -2, x + 1 = -1 ; x = 2 ili x = 0 ili x = -3 ili x = -2 y cent z, y = 0, y = -1, y cent z.

Odgovor: (0;0);(-3;-1).

14. Riješi jednadžbu y - x - xy = 2 u cijelim brojevima.

Rješenje: y - xy - x + 1 = 3, (y + 1)(1 - x) = 3,

3 = 1·3 = 3·1 = (-1)·(-3) = (-3)·(-1).

y + 1 = 1 ili y + 1 = 3 ili y + 1 = -1 ili y + 1 = -3

1 - x =3, 1 - x =1, 1 - x = -3, 1 - x = -1.

y = 0 ili y = 2 ili y = -2 ili y = -4 x = -2, x = 0, x = 4, x = 2

Odgovor: (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2).

15. Riješite jednadžbu y + 4x + 2xy = 0 u cijelim brojevima.

Rješenje: y + 4x + 2xy + 2 - 2 = 0, (2x + 1)(2 + y) = 2,

2 = 1∙2 = 2∙1 = (-2)∙(-1) = (-1)∙(-2).

2x + 1= 1 ili 2x + 1= 2 ili 2x + 1= -1 ili 2x + 1= -2

2 + y = 2, 2 + y = 1, 2 + y = -2, 2 + y = -1; y = 0 ili y = -1 ili y = -4 ili y = -3 x = 0, x cent Z, x = -1, x cent Z.

Odgovor: (-1;-4);(0;0).

16. Jednadžbu 5x + 10y = 21 riješite cijelim brojevima.

5(x + 2y) = 21, budući da je 21 != 5n, tada nema korijena.

Odgovor. Nema korijena.

17. Riješi jednadžbu 3x + 9y = 51 prirodnim brojevima.

3(x + 3y) = 3∙17, x = 17 - 3y, y = 1, x = 14; y = 2, x = 11; y = 3, x = 8; y = 4, x = 5; y = 5, x = 2; y = 6, x = -1, -1 cent N.

Odgovor:(2;5);(5;4);(8;3);(11;2; (14:1).

18. Jednadžbu 7x+5y=232 riješite cijelim brojevima.

Riješit ću ovu jednadžbu s obzirom na nepoznanicu kod koje se nalazi najmanji (modulo) koeficijent, odnosno u ovom slučaju s obzirom na y: y = 232-7x5.

Dopustite mi da zamijenim brojeve umjesto x u ovaj izraz: 0;1;2;3;4. Dobivam: x=0, y=2325=4625, x=1, y=232-75=45, x=2, y=232-145=43.6, x=3, y=232-215=42, 2 , x=4, y=232-285=40.8

Odgovor. (1;45).

19. Riješite jednadžbu 3x + 4y + 5xy = 6 u cijelim brojevima.

Imam 3∙4 + 5∙6 = 42 = mn

Djelitelji 42: - +- (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42).

x = m - 45, y = n - 35 Nalazim da su s m = -1, -6, 14, -21 n = -42, -7, 3, -2 rješenja: x = -1, -2 , 2, -5 y = -9, -2, 0, -1.

Dakle, ova jednadžba ima 4 rješenja u cijelim brojevima i nijedno u prirodnim brojevima.

Odgovor. -1;-9;-2;-2;2;0;(-5;-1).

20. Riješi jednadžbu 8x+65y=81 prirodnim brojevima.

81⋮GCD(8;65)=>

8x=81-65y x=81-65y8=16+65-65y8=2+65(1-y)8.

Neka je 1-y8=t, t Ê Z. x=2+65t>0y=1-8t>0

65t>-2-8t>-1 t>-265 t t=0.

Pri t=0 x=2y=1

Odgovor. (2;1).

21. Nađite cjelobrojna nenegativna rješenja jednadžbe 3x+7y=250.

250⋮GCD(3;7) =>jednadžba se može riješiti u cijelim brojevima.

x=250-7y3=243+7-7y3=81+7(1-y)3.

Neka je 1-y3=t, t Ê Z.

x=81+7t>=0y=1-3t>=0

7t>=-81-3t>=-1 t>=-817t=-1147t t=-11;-10;. ;0.

x=81+7tu=1-3t t=-11 ​​​​x=4y=34 t=-10 x=11y=31 t=-9 x=18y=28 t=-8 x=25y=25 t=- 7 x =32y=22 t=-6 x=39y=19 t=-5 x=46y=16 t=-4 x=53y=13 t=-3 x=60y=10 t=-2 x=67y= 7 t =-1 x=74y=4 t=0 x=81y=1

Odgovor. 11;31;18;28;25;25;32;22;39;19;46;16;53;13;60;10;67;7;74;4;81;1.

22. Riješite jednadžbu xy+x+y3=1988 u cijelim brojevima.

Pomnožimo obje strane jednadžbe s 3. Dobivamo:

3x+3xy+y=5964

3x+3xy+y+1=5965

(3h+1)+(3h+u)=5965

(3x+1) + y(3x+1)=5965

(3x+1)(y+1)=5965

5965=1∙5965 ili 5965=5965∙1 ili 5965=-1∙(-5965) ili 5965=-5965∙(-1) ili 5965=5∙1193 ili 5965=1193∙1 ili 5965=-5∙( -1193) ili 5965=-1193∙(-5)

1) 3x+1=1y+1=5965 2) 3x+1=5965y+1=1 x=0y=5964 x=1988y=0

3) 3x+1=5y+1=1193 4) 3x+1=1193y+1=5 rješenja u cijelim brojevima nema rješenja u cijelim brojevima ne

5) 3x+1=-1y+1=-5965 6) 3x+1=-5965y+1=-1 nema rješenja u cijelim brojevima Nema rješenja u cijelim brojevima

7) 3x+1=-5y+1=-1193 8) 3x+1=-1193y+1=-5 x=-2y=1194 x=-398y=-6

Odgovor. 0;5964;1988;0;-2;-1194;(-398;-6).

3. 2 RJEŠAVANJE PROBLEMA

Postoji više vrsta zadataka, najčešće su to zadaci olimpijadnog karaktera koji se svode na rješavanje Diofantovih jednadžbi. Na primjer: a) Zadaci o razmjeni novčane svote određenog apoena.

b) Problemi koji uključuju transfuziju i dijeljenje predmeta.

1. Kupili smo 390 olovaka u boji u kutijama od 7 i 12 olovaka. Koliko ste ovih i drugih kutija kupili?

Označit ću: x kutija od 7 olovaka, y kutija od 12 olovaka.

Dopustite mi da napravim jednadžbu: 7x + 12y = 390

Pronaći ću GCD(7, 12)=1

Definirat ću posebno rješenje: x = (390 - 12y):7

Koristeći metodu grube sile, nalazim vrijednost y ê y = 1, x = 54

(54;1) je posebno rješenje.

Sva ostala rješenja pronalazim pomoću formula: x = -12k + 54, k ê Z y = 7k + 1, k ê Z

Našao sam mnogo rješenja jednadžbe. Uzimajući u obzir uvjete problema, odredit ću mogući broj obje kutije.

Odgovor. Možete kupiti: 54 kutije od 7 olovaka i 1 kutiju od 12 olovaka, ili 42 kutije od 7 olovaka i 8 kutija od 12 olovaka, ili 30 kutija od 7 olovaka i 15 kutija od 12 olovaka, ili 28 kutija od 7 olovaka i 22 kutija od 12 olovaka, ili 6 kutija od 7 olovaka i 29 kutija od 12 olovaka.

2. Jedna kateta pravokutnog trokuta veća je od druge za 7 cm, a opseg trokuta je 30 cm.Nađi sve stranice trokuta.

Označit ću: x cm - jedna kateta, (x+7) cm - druga kateta, y cm - hipotenuza

Sastavit ću i riješiti Diofantsku jednadžbu: x+(x+7)+y=30

Pronaći ću GCD(2; 1)=1

Definirat ću posebno rješenje: x = (23 - y):2

Koristeći metodu grube sile, nalazim vrijednost y =1 y = 1, x = 11

(11;1) je posebno rješenje.

Sva ostala rješenja jednadžbe nalazim pomoću formula: x = -k + 11, k ê Z y = 2k + 1, k ê Z k

Uzimajući u obzir da je bilo koja stranica trokuta manja od zbroja druge dvije stranice, dolazimo do zaključka da postoje tri trokuta sa stranicama 7, 9 i 14; 6, 11 i 13; 5, 13 i 12. Prema uvjetima zadatka zadan je pravokutni trokut. Ovo je trokut sa stranicama 5, 13 i 12 (vrijedi Pitagorin poučak).

Odgovor: Jedna kateta je 5 cm, druga 12 cm, hipotenuza je 13 cm.

3. Nekoliko djece je bralo jabuke. Svaki dječak skupio je 21 kg, a djevojčica 15 kg. Ukupno su skupili 174 kg. Koliko je dječaka, a koliko djevojčica bralo jabuke?

Neka ima x dječaka i y djevojčica, pri čemu su x i y prirodni brojevi. Dopustite mi da napravim jednadžbu:

Izbornom metodom rješavam: x

6 Samo pri x = 4 druga nepoznanica dobiva vrijednost pozitivnog cijelog broja (y = 6). Za bilo koju drugu vrijednost x, y će biti ili razlomak ili negativan. Dakle, problem ima jedno jedinstveno rješenje.

Odgovor. 4 dječaka i 6 djevojčica.

4. Je li moguće napraviti set olovaka u vrijednosti od 3 rublje i olovaka u vrijednosti od 6 rubalja u vrijednosti od 20 rubalja?

Neka je broj olovaka u kompletu x, a broj olovaka y.

Dopustite mi da napravim jednadžbu:

Za sve cijele brojeve x i y, lijeva strana jednadžbe mora biti djeljiva s 3; desna strana nije djeljiva s 3. To znači da ne postoje cijeli brojevi x i y koji bi zadovoljili našu jednadžbu. Ova se jednadžba ne može riješiti u cijelim brojevima. Nemoguće je stvoriti takav skup.

Odgovor. Nema rješenja.

5. Nađi prirodni broj kojemu pri dijeljenju s 3 ostaje ostatak 2, a pri dijeljenju s 5 ostaje ostatak 3.

Traženi broj označit ću s x. Ako kvocijent x sa 3 označim sa y, a količnik dijeljenja sa 5 sa z, tada dobivam: x=3y+2x=5z+3

Prema smislu zadatka, x, y i z moraju biti prirodni brojevi. To znači da trebamo riješiti neodređeni sustav jednadžbi u cijelim brojevima.

Za svaki cijeli broj y i z, x će također biti cijeli broj. Oduzimam prvu od druge jednadžbe i dobivam:

5z - 3y + 1 = 0.

Nakon što sam pronašao sve pozitivne cijele brojeve y i z, odmah ću dobiti sve pozitivne cijele vrijednosti x.

Iz ove jednadžbe nalazim:

Jedno je rješenje očito: za z = 1 dobivamo y = 2, a x i y su cijeli brojevi. Njima odgovara rješenje x = 8.

Naći ću druga rješenja. Da bih to učinio, uvest ću pomoćnu nepoznatu u, postavljajući z = 1 + u. Dobit ću:

5(1 + u) - 3y + 1 = 0, tj. 5u = 3y - 6 ili 5u = 3(y - 2).

Desna strana posljednje jednadžbe djeljiva je s 3 za bilo koji cijeli broj y. To znači da lijeva strana također mora biti djeljiva s 3. Ali broj 5 je istoprost s brojem 3; stoga u mora biti djeljiv s 3, tj. imati oblik 3n, gdje je n cijeli broj. U ovom slučaju, y će biti jednako

15n/3 + 2 = 5n + 2, tj. također cijeli broj. Dakle, z = 1 + u = 1 + 3n, odakle je x = 5z + 3 = 8 + 15n.

Rezultat nije jedan, već beskonačan skup vrijednosti za x: x = 8 + 15n, gdje je n cijeli broj (pozitivan ili nula):

Odgovor. x=8+15n; n ê 0;1;2;.

6. Podanici su šahu na dar donijeli 300 dragih kamenja: u malim kutijama po 15 komada iu velikim kutijama - 40 komada. Koliko je bilo ovih i drugih kutija, ako se zna da je malih bilo manje nego velikih?

Označit ću s x broj malih kutija, a s y broj velikih.

15x+40y=300. Smanjit ću za 5.

3x+8y=60 x=60-8y3 x=60-6y-2y3

X=20-2y-2y3

Da bi vrijednost razlomka bila cijeli broj, 2y mora biti višekratnik broja 3, tj. 2y = 3c.

Izrazit ću varijablu y i odabrati cijeli dio:

Z mora biti višekratnik 2, tj. z=2u.

Dopustite mi da izrazim varijable x i y u smislu u:

X=20-2y-2y3

H=20-2∙3u-2∙3u3

Sastavit ću i riješiti sustav nejednadžbi:

Zapisat ću cijela rješenja: 1; 2. Sada ću pronaći vrijednosti x i y za u=1; 2.

1) x1=20-8∙1=20-8=12 y1=3∙1=3

2) x2=20-8∙2=20-16=4 y2=3∙2=6

Odgovor. 4 male kutije; 6 velikih kutija.

7. Dodijeljena su dva automobila Ural 5557, automobili su poslani na let Krasnoturinsk - Perm - Krasnoturinsk. Ukupno je za ovaj let bilo potrebno 4 tone dizel goriva i 2 vozača. Potrebno je utvrditi troškove prijevoza, odnosno trošak 1 tone dizelskog goriva i plaće vozača koji obavljaju ovaj let, ako se zna da je potrošeno ukupno 76 000 rubalja.

Neka je x rubalja cijena 1 tone dizelskog goriva, a neka je x rubalja plaća vozača. Tada je (4x + 2y) rubalja potrošeno na let. A prema uvjetima problema potrošeno je 76.000 rubalja.

Shvaćam jednadžbu:

Za rješavanje ove jednadžbe, metoda grube sile bit će radno intenzivan proces. Stoga ću koristiti > metodu.

Izrazit ću varijablu y kroz x:, odabrati cijeli dio i dobiti: (1).

Da bi vrijednost razlomka bila cijeli broj, 2x mora biti višekratnik broja 4. To jest, 2x = 4z, gdje je z cijeli broj. Odavde:

Zamijenit ću vrijednost x u izraz (1):

Budući da su x, y 0, zatim 19000 z 0, dakle, dajući z cjelobrojne vrijednosti od 0 do 19000, dobivam sljedeće vrijednosti x i y: z

Iz stvarnih podataka o troškovima prijevoza poznato je da 1 tona dizelskog goriva (x) košta 18 000 rubalja. , a plaćanje za vozače koji obavljaju let (y) iznosi 10.000 rubalja. (podaci uzeti okvirno). Iz tablice nalazimo da vrijednost x jednaka 18000 i vrijednost y jednaka 10000 odgovaraju z vrijednosti jednakoj 9000, doista: ;.

8. Na koliko načina možete prikupiti iznos od 27 rubalja? , imajući dosta kovanica od dvije rublje i pet rubalja?

Dopustite mi da označim: x kovanice od dvije rublje i y kovanice od pet rubalja

Napravit ću jednadžbu, uzimajući u obzir uvjet zadatka 2x + 5y = 27.

Pronaći ću GCD(2;5)=1

Definirat ću posebno rješenje: x = (27-5y):2

Koristeći metodu grube sile, pronalazim vrijednost y ê y = 1, x = 11

(11;1) je posebno rješenje.

Sva ostala rješenja nalaze se pomoću formula: x = -5k + 11, k ê Z y = 2k + 1, k ê Z

Ova jednadžba ima mnogo rješenja. Pronađimo sve načine na koje možete prikupiti iznos od 27 rubalja s ponuđenim novčićima. k

Odgovor. Postoje tri načina na koje možete prikupiti ovaj iznos ako imate puno kovanica od dvije rublje i pet rubalja.

9. Recimo da u akvariju žive hobotnice i morske zvijezde. Hobotnice imaju 8 nogu, a morske zvijezde 5. Udova ima ukupno 39. Koliko životinja ima u akvariju?

Neka je x broj morskih zvijezda, y broj hobotnica. Tada sve hobotnice imaju 8 nogu, a sve zvijezde imaju 5 nogu.

Dopustite mi da napravim jednadžbu: 5x + 8y = 39.

Imajte na umu da se broj životinja ne može izraziti necijelim ili negativnim brojevima. Stoga, ako je x nenegativan cijeli broj, tada y = (39 - 5x)/8 također mora biti cijeli broj i nenegativan, pa je stoga potrebno da izraz 39 - 5x bude djeljiv s 8 bez a Ostatak. Jednostavno pretraživanje opcija pokazuje da je to moguće samo kada je x = 3, tada y = 3.

Odgovor: (3; 3).

10. Tvornica namještaja proizvodi stolice s tri i četiri noge. Majstor je napravio 18 nogu. Koliko se stolica može napraviti da se mogu koristiti sve noge?

Neka je x broj tronožnih stolica, a y broj četveronožnih. Zatim, 3x + 4y = 18.

Imam, 4y =18 - 3x; y = 3(6 - x):4.

Dobivam: x = 2; y = 3 ili x = 6; y = 0.

Nema drugih rješenja jer je x 6.

Odgovor. 2;3;(6;0).

11. Da li je moguće smjestiti 718 osoba u kabine sa 4 i 8 ležaja, da u kabinama nema slobodnih mjesta?

Neka su 4-krevetne kabine x, a 8-krevetne y, tada:

2(x + 2y) = 309

Odgovor. Zabranjeno je.

12. Dokažite da na pravcu 124x + 216y = 515 ne postoji niti jedna točka s cjelobrojnim koordinatama.

GCD(124,216) = 4, 515 != 4n, što znači da nema cjelobrojnih rješenja.

Odgovor. Nema rješenja.

13. Trošak robe je 23 rublja, kupac ima samo 2 rublja, a blagajnik ima 5 rublja. Je li moguće obaviti kupnju bez prethodne razmjene novca?

Neka je x broj kovanica od 2 rublje, y broj kovanica od 5 rublja, tada je 2x - 5y = 23, gdje je x,y ê N.

Dobivam: 2x = 23 + 5y, odakle će x =23 + 5y2 =11 + 2y + (1 + y)2 x biti cijeli broj ako je 1 + y2 cijeli broj.

1 + y2 = t, gdje je t euro Z, tada je y = 2t - 1.

x = 11 + 2y + 1 + y2 = 11 + 4t - 2 + 1 + 2t-12 = 5t + 9.

T. o. x = 5t + 9, i y = 2t - 1, gdje je t ê z.

Zadatak ima mnogo cjelobrojnih rješenja. Najjednostavniji od njih je za t = 1, x = 14, y = 1, tj. kupac će dati četrnaest kovanica od 2 rublje i dobiti jedan novčić od 5 rubalja u sitnišu.

Odgovor. Limenka.

14. Tijekom revizije trgovačkih knjiga trgovine, pokazalo se da je jedan od unosa prekriven tintom i izgledao je ovako:

> Bilo je nemoguće dokučiti broj prodanih brojila, ali nema sumnje da to nije kusur; u prihodu je bilo moguće razaznati samo zadnje tri znamenke, a bilo je moguće utvrditi i da su ispred njih stajale još tri znamenke. Je li moguće vratiti zapis pomoću ovih podataka?

Neka je broj metara x, tada je cijena robe u kopejkama 4936x. Ukupno tri popunjene znamenke označavamo kao y, to je broj u tisućama kopejki, a cijeli iznos u kopejkama bit će izražen na sljedeći način (1000y + 728).

Dobijem jednadžbu 4936x = 1000y + 728, podijelim je s 8.

617x - 125y = 91, gdje je x,y ê z, x,y

125y = 617x - 91 y = 5x - 1 +34 - 8x125 = 5x - 1 + 2 17 - 4x125 =

5x - 1 + 2t, gdje je t = 17 - 4x125, t Euro Z.

Iz jednadžbe t = (17 - 4x)/125 dobivam x = 4 - 31t + 1 - t4 =

4 - 31t + t1, gdje je t1 = 1 - t4, dakle t = 1 - 4t1, a x = 125t1 - 27, y = 617t1 - 134.

Po stanju znam da 100

100 = 234/617 i t1

To znači da je 98 metara prodano za iznos od 4837,28 rubalja. Snimka je vraćena.

Odgovor. Pušteno 98 metara.

15. Potrebno je kupiti 40 poštanskih maraka za jednu rublju - kopejku, 4 kopejke i 12 kopejki. Koliko maraka svakog apoena možete kupiti?

Možete napraviti dvije jednadžbe: x + 4y + 12z = 100 i x + y + z = 40, gdje je x broj peni maraka, y broj maraka od 4 kopejke, z je broj maraka od 12 kopejki . Oduzimam drugu od prve jednadžbe i dobivam:

3y + 11z = 60, y = 60 - 11z3 = 20 - 11· z3.

Neka je z3 = t, z = 3t, gdje je t euro Z. Tada dobivam ako je x + y + z = 40 i z = 3t, i y = 20 - 11t, x = 20 + 8t.

Budući da je x >= 0, y >= 0, z >= 0, tada je 0

Tada prema tome dobivam: t = 0, x = 20, y = 20, z = 0; t = 1, x = 28, y = 9, z = 3.

Dakle, otkup maraka može se izvršiti samo na dva načina, a ako je uvjet da se otkupi najmanje jedna marka svakog apoena, onda samo na jedan način.

Odgovor. 28 maraka od 1 kopejke, 9 maraka od 4 kopejke i 3 marke od 12 kopejki.

16. Učenik je dobio zadatak od 20 zadataka. Za svako točno riješeno pitanje dobiva 8 bodova, a za svako neriješeno pitanje oduzima mu se 5 bodova. Za zadatak koji nije preuzeo - 0 bodova. Učenik je ukupno osvojio 13 bodova. Koliko se problema odlučio riješiti?

Neka su točno riješeni zadaci x, netočno riješeni zadaci y, a nerazmotreni zadaci z.

Tada je x + y + z = 20, i 8x - 5y = 13.

y = 8x - 135= x - 2 +3(x - 1)5 = x - 2 + 3t, ​​​​gdje je t = x - 15, i x = 5t + 1.

Po uvjetu x + y

Odgovor: učenik je riješio 13 zadataka, riješio 6, a pao 7.

17. Budala Ivanuška bori se sa Zmijom Gorynychom, koja ima 2001 glavu. Zamahnuvši mačem ulijevo, Ivan odsiječe 10 glava, a zauzvrat mu izraste 16. Zamahnuvši mačem udesno, odsiječe ih 15, a izraste 6. Ako se odsjeku sve glave, ne rastu nove. Možete zamahnuti bilo kojim redoslijedom, ali ako ima manje od 15 golova, onda samo ulijevo, a ako ih je manje od 10, onda nikako. Može li Ivanuška Budala pobijediti Zmiju Gorynych?

Da preformuliram problem: je li moguće posjeći 1986 glava? Tada će Ivan jednim udarcem udesno sasjeći preostalih 15 i neće izrasti novi.

Neka je x broj poteza udesno, a y broj poteza ulijevo, tada je 1986 - 9x + 6y = 0.

Podijelim cijelu jednadžbu sa 6, dobijem

3x - 2y = 662.

y = 3x - 6622 = x - 331 + x2.

Neka je x2 = t, zatim x = 2t i y = 3t - 331.

Budući da je x >= 0, y >= 0, tada je t >= 111, stoga je t = 111, x = 222, y = 2.

Dobivam: udarcem udesno 220 puta Ivan odsiječe 1980 glava, a Zmiji ostaje 21 glava; zatim 2 udarca ulijevo i Zmiji izraste 12 glava, što ukupno čini 33; sljedeća 2 udarca udesno oduzimaju Zmiji 18 glava a Ivan zadnjim udarcem udesno odsijeca preostalih 15 i ne rastu nove glave.

Odgovor: 220 udaraca udesno, 2 udarca ulijevo i još 3 udarca udesno.

18. Stranice kocke su numerirane - 1, 2, 3, 4, 5, 6. Od 5 takvih kocki sagradili su toranj i prebrojali zbroj bodova na svim vidljivim stranama, nakon uklanjanja gornje kocke, zbroj smanjio za 19, koji se broj pokazao kao gornji rub gornje kocke?

Zbroj bodova jedne kocke je 21.

Neka je x broj točaka na donjem rubu gornje kocke, a y broj točaka na gornjem rubu sljedeće kocke. Kada uklonite gornju kocku, nestaju točke 5 stranica gornje kocke, čiji je zbroj točaka (21 - x), a lice na kojem se pojavljuju točke, što znači da je zbroj točaka smanjio za (21 - x) - y, a prema uvjetu je 19, dakle:

(21 - x) - y = 19, x + y = 2.

Stoga je y = 2 - x, a prema uvjetu 1

19. Netko je kupio 30 ptica za 30 novčića istog apoena. Za svaka 3 vrapca plaćate 1 novčić, za 2 bunjišta - 1 novčić, za 1 goluba - 2 novčića. Koliko je bilo ptica svake vrste?

Neka bude x vrabaca, y bjelica i z golubova. Tada je prema uvjetu x + y + z = 30 i 13x + 12y + 2z = 30.

Dobivam x + y + z = 30 i 2x + 3y + 12z = 180, ili y + 10z = 120, y = 120 - 10z, gdje je prema uvjetu x

Stoga slijede sljedeće opcije (0;20;10); (9;10;11); (18;0;12).

Odgovor: vrapci - 0, bullfinches - 20, golubovi - 10; vrapci - 9, bullfinches - 10, golubovi - 11; vrapci - 18, bullfinches - 0, golubovi - 12.

20. Nađi sve dvoznamenkaste brojeve od kojih je svaki, smanjen za 2, jednak peterostrukom umnošku svojih znamenki.

Neka su xy traženi dvoznamenkasti brojevi.

Za jednadžbu xy - 2 = 5xy, odnosno (10x + y) - 5xy = 2 S = 0 i naći ću sva prirodna rješenja iz skupa (x; 2).

Budući da je x prva znamenka dvoznamenkastih brojeva, može imati samo 9 vrijednosti.

Da. , traženi brojevi će biti: 12, 22, 32,. , 92.

Odgovor. 12; 22, 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92.

21. Komad žice duljine 102 cm potrebno je razrezati na komade duljine 15 cm i 12 cm tako da se iskoristi sva žica. Kako to učiniti?

Neka je x broj dijelova žice duljine 15 cm, y broj dijelova žice duljine 12 cm. Napravit ću jednadžbu:

15x+12y=102 /:3

4x+3y=34 x=34-4y5=6+4-4y5=6+4(1-y)5.

Neka je 1-y5=t x=6+4t>0y=1-5t>0=> 4t>-6-5t>-1 => t>-1,5t t=0;-1.

Ako je t=0, onda je x=6y=1

Ako je t=-1, onda je x=2y=6

Odgovor. Problem ima dva rješenja:

1) 102=15∙6+12∙1; 2) 102=15∙2+12∙6.

22. Petya je 1987. godine imao koliko i zbroj znamenki godine njegova rođenja. Koje je godine rođen?

Neka se Petja rodi 1919. Tada je 1987. imao 1987-19xy, ili (1+9+x+y) godina. Imamo jednadžbu:

87-(10x+y)=10+x+y

77-11x=2y y=77-11x2=38-11x-12.

S obzirom da su x i y znamenke decimalnog brojevnog sustava, odabirom nalazimo: x=3, y=1.

Odgovor. Petja je rođena 1970.

23. Netko kupi u trgovini predmet vrijedan 19 rubalja. On ima samo 15 novčanica od tri rublje, dok blagajnik ima samo 20 novčanica od pet rubalja. Mogu li platiti i kako?

Problem se svodi na rješavanje Diofantove jednadžbe u cijelim pozitivnim brojevima: 3x - 5y = 19, gdje je x

Zbog činjenice da je x>0 i y > 0 i uzimajući u obzir uvjete problema, lako je ustanoviti da je 0

To dovodi do 2 moguće vrijednosti: x

Odgovor. 1) 19=3∙8-1∙5 2) 19=3∙13-4∙5.

24. Je li moguće na šaličnoj vagi izvagati 28 g neke tvari, a da imamo samo 4 utega od 3 g i 7 utega od 5 g?

Da biste to učinili, morate riješiti jednadžbu:

x = 9 - 2 (3y1 - 1) + y1 = 11-5y1.

Dakle, x = 11 - 5 y1 y = 3 y1 - 1.

Iz uvjeta zadatka proizlazi da y1 ne može dobiti negativne vrijednosti. Sljedeći bi trebao biti y1

Odgovor. 1 uteg u 3 g i 5 utega u 5 g.

25. Kupac je kupio u trgovini za 21 rublju. roba. Ali on ima samo novčanice od 5 rubalja, dok blagajnik ima 3 rublje. Želite li znati možete li platiti na blagajni ako imate novca i kako točno?

Neka x bude broj 5 - rubalja, y - 3 - rubalja.

Prema uvjetu, x > 0, y > 0, to znači.

Također, t je paran, inače ni x ni y neće biti cijeli brojevi.

Pri t = 4, 6, 8,. imamo: t

Odgovor. 6;3;8;8;12;13;15;18;18;23;21;28;24;33;27;38;(30;43).

26. Ima 110 listova papira. Potrebno je sašiti bilježnice od 8 listova i 10 listova. Koliko ih trebate sašiti?

Neka je x broj bilježnica od 8 listova, a y broj bilježnica od 10 listova.

Dakle, t = 0 ili t = - 1

Odgovor. 5;7;(10;3).

27. Mnoge drevne metode pogađanja brojeva i datuma rođenja temelje se na rješavanju Diofantovih jednadžbi. Na primjer, da biste pogodili datum rođenja (mjesec i dan) vašeg sugovornika, dovoljno je da ga pitate za zbroj koji se dobije zbrajanjem dva umnoška: broja datuma (x) s 12 i broja mjeseca (y) s 31. .

Neka zbroj dotičnih umnožaka bude jednak 330. Odredite datum rođenja.

Riješimo neodređenu jednadžbu: y = 2y1 + y2 = 2(2y2 + y3) + y2 = 5y2 + 2y3 = 5(2y3 - 6) + 2y3 = 12y3 - 30 x = 27 - 3(12y3 - 30) + 2y2 + y3 = 27 - 36y3 + 90 + 2(2y3 - 6) + y3 =

27 - 36y3 + 90 + 5y3 - 12 = 105 - 31y3 x = 12y3 - 30, y = 105 - 31y3

Dakle, datum rođenja: 12. dan 6. mjeseca.

28. Je li moguće prikupiti iznos od 51 rublja kovanicama od dvije i pet rubalja? Ako je moguće, koliko načina postoji?

Neka bude x kovanica od dvije rublje i kovanica od pet rubalja.

Neka je tada 1+y2=z

=> z = 1, 2, 3, 4, 5

Odgovor: 5 načina.

29. Može li se dvjesto jaja staviti u kutije od 10 i 12 komada? Ako je moguće, pronađite sve takve načine.

Neka ima x kutija od po 10 komada i neka kutije imaju po 12 komada. Dopustite mi da napravim jednadžbu: z = 1, 2, 3

Odgovor: 14;5;8;10;(2;15)

30. Zamislite broj 257 kao zbroj dva prirodna člana: a) od kojih je jedan višekratnik broja 3, a drugi višekratnik broja 4; b) od kojih je jedan višekratnik broja 5, a drugi višekratnik broja 8.

Odgovor: 1) 249 i 8; 2) 225 i 32.

U problemima koji uključuju neodređene jednadžbe, susreo sam se s raznim slučajevima: problem može biti potpuno nerješiv (problem 4), može imati beskonačan broj rješenja (problem 2), može imati nekoliko definitivnih rješenja; konkretno, može imati jedno jedinstveno rješenje (problem 1).

ZAKLJUČAK

Cilj koji sam sebi postavio je ostvaren. Rad na projektu me zainteresirao i oduševio. Taj rad je od mene zahtijevao ne samo određeno matematičko znanje i ustrajnost, već mi je dao i priliku da osjetim veliku radost samostalnog otkrivanja.

Diofantske jednadžbe nalaze se u zadacima olimpijade, pa razvijaju logičko mišljenje, podižu razinu matematičke kulture i usađuju vještine samostalnog istraživačkog rada u matematici.

Pri rješavanju jednadžbi i zadataka koji se svode na Diofantove jednadžbe koriste se svojstva prostih brojeva, metoda rastavljanja polinoma na faktore, metoda nabrajanja, metoda silaska i Euklidov algoritam. Po mom mišljenju, metoda spuštanja je najteža. Ali brute force metoda mi se pokazala ljepšom.

U radu sam riješio 54 problema.

Ovaj rad pridonio je dubljem razumijevanju školskog programa i proširio moje horizonte.

Ovaj materijal će biti koristan učenicima koje zanima matematika. Može se koristiti u nekim satovima i izvannastavnim aktivnostima.