Quvvat formulalari murakkab ifodalarni qisqartirish va soddalashtirish jarayonida, tenglama va tengsizliklarni yechishda foydalaniladi.

Raqam c hisoblanadi n-sonning darajasi a Qachon:

Darajalar bilan operatsiyalar.

1. Darajalar bir xil asosga ko'paytirilsa, ularning ko'rsatkichlari yig'iladi:

a ma n = a m + n.

2. Bir xil asosli darajalarni bo'lishda ularning ko'rsatkichlari ayiriladi:

3. 2 yoki undan ortiq omillarning ko'paytmasi darajasi ushbu omillarning darajalari ko'paytmasiga teng:

(abc…) n = a n b n c n…

4. Kasrning darajasi dividend va bo'luvchi darajalarining nisbatiga teng:

(a/b) n = a n/b n.

5. Kuchni bir darajaga ko'tarib, ko'rsatkichlar ko'paytiriladi:

(am) n = a m n.

Yuqoridagi har bir formula chapdan o'ngga va aksincha yo'nalishda to'g'ri.

Masalan. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Ildizlar bilan operatsiyalar.

1. Bir necha omillar hosilasining ildizi ushbu omillarning ildizlari mahsulotiga teng:

2. Nisbatning ildizi dividend va ildizlarning bo‘luvchi nisbatiga teng:

3. Ildizni bir darajaga ko'tarishda ildiz raqamini shu darajaga ko'tarish kifoya:

4. In ildizining darajasini oshirsak n bir marta va bir vaqtning o'zida ko'taring n th quvvat ildiz raqami bo'lsa, u holda ildizning qiymati o'zgarmaydi:

5. In ildizining darajasini kamaytirsak n bir vaqtning o'zida ildiz n radikal sondan th daraja, keyin ildizning qiymati o'zgarmaydi:

Salbiy ko'rsatkichli daraja. Ijobiy bo'lmagan (butun) ko'rsatkichli sonning darajasi musbat bo'lmagan ko'rsatkichning mutlaq qiymatiga teng ko'rsatkichga ega bo'lgan bir xil sonning darajasiga bo'lingan daraja sifatida aniqlanadi:

Formula a m:a n = a m - n uchungina emas, balki foydalanish mumkin m> n, lekin ayni paytda m< n.

Masalan. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Formulaga a m:a n = a m - n da adolatli bo'ldi m=n, sizga nol daraja mavjudligi kerak.

Nol ko'rsatkichli daraja. Nol ko'rsatkichli har qanday nolga teng bo'lmagan sonning kuchi birga teng.

Masalan. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kasr ko'rsatkichli daraja. Haqiqiy raqamni oshirish uchun A darajaga qadar m/n, siz ildizni chiqarib olishingiz kerak n ning darajasi m bu raqamning kuchi A.

Diplom nima?

Daraja bir nechta bir xil omillarning mahsuloti deb ataladi. Masalan:

2×2×2

Bu ifodaning qiymati 8 ga teng

2 x 2 x 2 = 8

Ushbu tenglamaning chap tomonini qisqartirish mumkin - avval takrorlanuvchi omilni yozing va uning ustiga necha marta takrorlanishini ko'rsating. Bu holda takrorlanuvchi ko'paytma 2. U uch marta takrorlanadi. Shuning uchun, ikkilik ustiga biz uchlikni yozamiz:

2 3 = 8

Ushbu ibora quyidagicha o'qiydi: ikkidan uchinchi daraja sakkizga teng yoki " 2 ning uchinchi darajasi 8 ga teng.

Bir xil omillarni ko'paytirishni yozishning qisqa shakli ko'proq qo'llaniladi. Shuning uchun, agar biron bir raqamga boshqa raqam yozilgan bo'lsa, bu bir nechta bir xil omillarning ko'payishi ekanligini yodda tutishimiz kerak.

Misol uchun, agar 5 3 ifodasi berilgan bo'lsa, unda bu ifoda 5 × 5 × 5 yozishga teng ekanligini yodda tutish kerak.

Qayta takrorlanadigan raqam chaqiriladi daraja asosi. 5 3 ifodasida darajaning asosi 5 raqamidir.

Va 5 raqamining ustiga yozilgan raqam chaqiriladi ko'rsatkich. 5 3 ifodasida ko'rsatkich 3 raqami bo'ladi. Ko'rsatkich daraja asosining necha marta takrorlanishini ko'rsatadi. Bizning holatda, 5-bazasi uch marta takrorlanadi.

Bir xil omillarni ko'paytirish operatsiyasi deyiladi eksponentsiya.

Misol uchun, agar siz har biri 2 ga teng bo'lgan to'rtta bir xil omilning mahsulotini topishingiz kerak bo'lsa, ular 2 raqamini aytishadi. to'rtinchi kuchga ko'tarildi:

Biz 2 raqamidan to'rtinchi darajaga qadar 16 raqami ekanligini ko'ramiz.

E'tibor bering, ushbu darsda biz ko'rib chiqamiz tabiiy ko'rsatkich bilan darajalar. Bu darajaning bir turi bo'lib, uning ko'rsatkichi natural sondir. Eslatib o'tamiz, natural sonlar noldan katta bo'lgan butun sonlardir. Masalan, 1, 2, 3 va boshqalar.

Umuman olganda, tabiiy ko'rsatkichli darajaning ta'rifi quyidagicha:

Darajasi a tabiiy ko'rsatkich bilan n shaklning ifodasidir a n, bu mahsulotga teng n ko'paytirgichlar, ularning har biri teng a

Misollar:

Raqamni bir darajaga ko'tarishda ehtiyot bo'ling. Ko'pincha, e'tiborsizlik tufayli odam daraja asosini eksponentga ko'paytiradi.

Masalan, ikkinchi darajali 5 soni har biri 5 ga teng bo'lgan ikkita omilning mahsulotidir. Bu ko'paytma 25 ga teng.

Endi tasavvur qiling-a, biz beixtiyor 5 asosni 2 ko‘rsatkichga ko‘paytirdik

Xatolik yuz berdi, chunki ikkinchi darajali 5 soni 10 ga teng emas.

Bundan tashqari, shuni ta'kidlash kerakki, ko'rsatkichi 1 bo'lgan raqamning kuchi bu raqamning o'zi:

Masalan, birinchi darajali 5 raqami 5 raqamining o'zi.

Shunga ko'ra, agar raqam ko'rsatkichga ega bo'lmasa, unda biz ko'rsatkichni birga teng deb hisoblashimiz kerak.

Masalan, 1, 2, 3 sonlar darajasiz berilgan, shuning uchun ularning darajalari bittaga teng bo'ladi. Bu raqamlarning har biri 1 ko'rsatkichi bilan yozilishi mumkin

Va agar siz 0 ni istalgan darajaga ko'tarsangiz, siz 0 ni olasiz. Darhaqiqat, hech narsa o'z-o'zidan necha marta ko'paytirilmasin, hech narsa chiqmaydi. Misollar:

Va 0 0 ifodasi hech qanday ma'noga ega emas. Ammo matematikaning ba'zi sohalarida, xususan, tahlil va to'plamlar nazariyasida 0 0 ifodasi mantiqiy bo'lishi mumkin.

Trening uchun biz raqamlarni kuchga ko'tarishning bir nechta misollarini hal qilamiz.

1-misol 3 raqamini ikkinchi darajaga ko'taring.

Ikkinchi darajali 3 soni har biri 3 ga teng bo'lgan ikkita omilning mahsulotidir

3 2 = 3 × 3 = 9

2-misol 2 raqamini to'rtinchi darajaga ko'taring.

2 dan to'rtinchi darajagacha har biri 2 ga teng bo'lgan to'rtta omilning mahsulotidir

2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

3-misol 2 raqamini uchinchi darajaga ko'taring.

Uchinchi darajali 2 soni uchta omilning mahsulotidir, ularning har biri 2 ga teng

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

10 sonining ko'rsatkichi

10 raqamini bir darajaga ko'tarish uchun birlikdan keyin ko'rsatkichga teng nol sonini qo'shish kifoya.

Masalan, 10 raqamini ikkinchi darajaga ko'taramiz. Birinchidan, biz 10 raqamining o'zini yozamiz va ko'rsatkich sifatida 2 raqamini ko'rsatamiz

10 2

Endi biz teng belgi qo'yamiz, bittasini yozamiz va undan keyin ikkita nol yozamiz, chunki nollar soni ko'rsatkichga teng bo'lishi kerak.

10 2 = 100

Demak, ikkinchi darajali 10 soni 100 raqamidir. Buning sababi, ikkinchi darajali 10 sonining har biri 10 ga teng bo'lgan ikkita omilning ko'paytmasi.

10 2 = 10 × 10 = 100

2-misol. Keling, 10 raqamini uchinchi darajaga ko'taraylik.

Bunday holda, bittadan keyin uchta nol bo'ladi:

10 3 = 1000

3-misol. Keling, 10 raqamini to'rtinchi darajaga ko'taraylik.

Bunday holda, bittadan keyin to'rtta nol bo'ladi:

10 4 = 10000

4-misol. Keling, 10 raqamini birinchi darajaga ko'taraylik.

Bunday holda, birdan keyin bitta nol bo'ladi:

10 1 = 10

10, 100, 1000 raqamlarini 10 ta asosli daraja sifatida ifodalash

10, 100, 1000 va 10000 sonlarini daraja sifatida 10 asos bilan ifodalash uchun 10 asosini yozish va ko‘rsatkich sifatida asl sondagi nollar soniga teng sonni ko‘rsatish kerak.

Keling, 10 raqamini 10 asosli daraja sifatida ko'rsatamiz. Biz uning bitta nolga ega ekanligini ko'ramiz. Shunday qilib, 10 soni 10 asosli kuch sifatida 10 1 sifatida ifodalanadi

10 = 10 1

2-misol. Keling, 100 raqamini 10 asosli daraja sifatida ko'rsatamiz. 100 soni ikkita noldan iborat ekanligini ko'ramiz. Shunday qilib, 10 asosi bo'lgan daraja ko'rinishidagi 100 raqami 10 2 sifatida ifodalanadi.

100 = 10 2

3-misol. Keling, 1000 raqamini 10 asosli daraja sifatida ko'rsatamiz.

1 000 = 10 3

4-misol. Keling, 10 000 sonini 10 asosli daraja sifatida ko'rsatamiz.

10 000 = 10 4

Salbiy sonning darajaga ko'tarilishi

Salbiy sonni darajaga ko'targanda, u qavs ichiga olinishi kerak.

Misol uchun, −2 manfiy sonini ikkinchi darajaga ko'taraylik. Ikkinchi darajaga -2 soni har biri (-2) ga teng bo'lgan ikkita omilning mahsulotidir.

(−2) 2 = (−2) × (−2) = 4

Agar biz -2 raqamini qavs ichmagan bo'lsak, unda -2 2 ifodasini hisoblaganimiz ma'lum bo'ladi. teng emas 4 . -2² ifodasi -4 ga teng bo'ladi. Buning sababini tushunish uchun ba'zi fikrlarga to'xtalib o'tamiz.

Ijobiy raqam oldiga minus qo'yganimizda, biz shunday qilamiz qarama-qarshi qiymatni olish operatsiyasi.

Aytaylik, 2 raqami berilgan va siz uning qarama-qarshi sonini topishingiz kerak. Biz bilamizki, 2 ning teskarisi -2. Boshqacha aytganda, 2 ga qarama-qarshi sonni topish uchun bu raqam oldiga minus qo'yish kifoya. Raqam oldiga minus qo'yish allaqachon matematikada to'liq huquqli operatsiya hisoblanadi. Bu operatsiya, yuqorida aytib o'tilganidek, qarama-qarshi qiymatni olish operatsiyasi deb ataladi.

-2 2 ifodasi bo'lsa, ikkita amal sodir bo'ladi: qarama-qarshi qiymatni olish va darajaga ko'tarish amali. Quvvatni oshirish qarama-qarshi qiymatni olishdan ko'ra yuqoriroq ustuvor operatsiya hisoblanadi.

Shuning uchun −2 2 ifoda ikki bosqichda hisoblanadi. Birinchidan, eksponentatsiya operatsiyasi bajariladi. Bunday holda, ijobiy raqam 2 ikkinchi darajaga ko'tarildi.

Keyin qarama-qarshi qiymat qabul qilindi. Bu qarama-qarshi qiymat 4 qiymati uchun topildi. 4 uchun esa qarama-qarshi qiymat -4

−2 2 = −4

Qavslar eng yuqori bajarilish ustunligiga ega. Shuning uchun (−2) 2 ifodasini hisoblashda avvaliga qarama-qarshi qiymat olinadi, so'ngra manfiy raqam -2 ikkinchi darajaga ko'tariladi. Natijada ijobiy javob 4, chunki manfiy sonlarning ko'paytmasi ijobiy sondir.

2-misol. -2 raqamini uchinchi darajaga ko'taring.

Uchinchi darajali −2 soni har biri (−2) ga teng bo'lgan uchta omilning mahsulotidir.

(−2) 3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8

3-misol. -2 raqamini to'rtinchi darajaga ko'taring.

−2 dan toʻrtinchi darajagacha boʻlgan son har biri (−2) ga teng boʻlgan toʻrtta omilning mahsulotidir.

(−2) 4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16

Salbiy raqamni kuchga ko'tarishda ijobiy yoki salbiy javobni olish mumkinligini ko'rish oson. Javobning belgisi boshlang'ich daraja ko'rsatkichiga bog'liq.

Agar ko'rsatkich juft bo'lsa, javob ha. Agar ko'rsatkich toq bo'lsa, javob salbiy bo'ladi. Buni −3 raqami misolida ko'rsatamiz

Birinchi va uchinchi hollarda ko'rsatkich bo'lgan g'alati raqam, shuning uchun javob bo'ldi salbiy.

Ikkinchi va to'rtinchi holatlarda ko'rsatkich edi hatto raqam, shuning uchun javob bo'ldi ijobiy.

7-misol-5 raqamini uchinchi darajaga ko'taring.

Uchinchi darajaga -5 soni uchta omilning mahsulotidir, ularning har biri -5 ga teng. Ko'rsatkich 3 - toq son, shuning uchun javob salbiy bo'lishini oldindan aytishimiz mumkin:

(−5) 3 = (−5) × (−5) × (−5) = −125

8-misol-4 raqamini to'rtinchi darajaga ko'taring.

-4 dan to'rtinchi darajagacha bo'lgan raqam to'rt omilning mahsulotidir, ularning har biri -4 ga teng. Bunday holda, 4 ko'rsatkichi teng, shuning uchun javob ijobiy bo'lishini oldindan aytishimiz mumkin:

(−4) 4 = (−4) × (−4) × (−4) × (−4) = 256

Ifoda qiymatlarini topish

Qavslarni o'z ichiga olmagan ifoda qiymatlarini topishda birinchi navbatda darajaga ko'tarish, keyin ularning tartibida ko'paytirish va bo'lish, keyin esa ularning tartibida qo'shish va ayirish amalga oshiriladi.

1-misol. 2 + 5 2 ifoda qiymatini toping

Birinchidan, eksponentatsiya amalga oshiriladi. Bunday holda, 5 raqami ikkinchi darajaga ko'tariladi - 25 chiqadi. Keyin bu natija 2 raqamiga qo'shiladi.

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

10-misol. −6 2 × (−12) ifoda qiymatini toping.

Birinchidan, eksponentatsiya amalga oshiriladi. E'tibor bering, −6 raqami qavs ichida emas, shuning uchun 6 raqami ikkinchi darajaga ko'tariladi, keyin natija oldiga minus qo'yiladi:

−6 2 × (−12) = −36 × (−12)

Misolni −36 ga (−12) ko‘paytirish orqali yakunlaymiz.

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

11-misol. −3 × 2 2 ifoda qiymatini toping

Birinchidan, eksponentatsiya amalga oshiriladi. Keyin natija −3 soniga ko'paytiriladi

−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12

Agar ifoda qavslarni o'z ichiga olgan bo'lsa, unda siz avval ushbu qavs ichida amallarni bajarishingiz kerak, keyin darajaga ko'tarish, keyin ko'paytirish va bo'lish, keyin esa qo'shish va ayirish.

12-misol. (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5 ifoda qiymatini toping

Keling, avval qavslarni bajaramiz. Qavslar ichida biz ilgari o'rganilgan qoidalarni qo'llaymiz, ya'ni birinchi navbatda 3 raqamini ikkinchi darajaga ko'taramiz, keyin 1 × 3 ko'paytirishni bajaramiz, so'ngra 3 raqamini kuchga ko'tarish va 1 × 3 ni ko'paytirish natijalarini qo'shamiz. Keyin ayirish va qo'shish ular paydo bo'lgan tartibda amalga oshiriladi. Keling, asl ifodada amalni bajarishning quyidagi tartibini tuzamiz:

(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2

13-misol. 2 × 5 3 + 5 × 2 3 ifodaning qiymatini toping

Birinchidan, biz raqamlarni bir darajaga ko'taramiz, keyin ko'paytirishni amalga oshiramiz va natijalarni qo'shamiz:

2 x 5 3 + 5 x 2 3 = 2 x 125 + 5 x 8 = 250 + 40 = 290

Hokimiyatning o'ziga xos o'zgarishlari

Quvvatlarda turli xil o'zgarishlar amalga oshirilishi mumkin, bu ularni soddalashtiradi.

Faraz qilaylik, (2 3) 2 ifodasini hisoblash kerak edi. Ushbu misolda ikkitadan uchinchi darajaga ikkinchi darajaga ko'tariladi. Boshqacha qilib aytganda, daraja boshqa darajaga ko'tariladi.

(2 3) 2 - har biri 2 3 ga teng bo'lgan ikkita darajaning ko'paytmasi

Bundan tashqari, bu kuchlarning har biri uchta omilning mahsulotidir, ularning har biri 2 ga teng

Biz 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 mahsulotini oldik, bu 64 ga teng. Demak, (2 3) 2 ifoda qiymati yoki 64 ga teng.

Ushbu misolni juda soddalashtirish mumkin. Buning uchun (2 3) 2 ifoda ko'rsatkichlarini ko'paytirish mumkin va bu ko'paytmani 2 asosiga yozish mumkin.

26 ball oldim. Ikkidan oltinchi daraja olti omilning ko'paytmasi bo'lib, ularning har biri 2 ga teng. Bu ko'paytma 64 ga teng.

Bu xususiyat ishlaydi, chunki 2 3 2 × 2 × 2 ko'paytmasi bo'lib, u o'z navbatida ikki marta takrorlanadi. Keyin 2 ta asos olti marta takrorlanganligi ma'lum bo'ldi. Bu erdan biz 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 2 6 ekanligini yozishimiz mumkin.

Umuman olganda, har qanday sababga ko'ra a ko'rsatkichlar bilan m Va n, quyidagi tenglik amal qiladi:

(a n)m = a n × m

Bu bir xil transformatsiya deyiladi eksponentsiya. Buni shunday o'qish mumkin: "Quvvatni kuchga ko'tarishda asos o'zgarishsiz qoladi va ko'rsatkichlar ko'paytiriladi" .

Ko'rsatkichlarni ko'paytirgandan so'ng, siz yana bir daraja olasiz, uning qiymatini topish mumkin.

2-misol. (3 2) 2 ifodaning qiymatini toping

Ushbu misolda asos 3 ga teng, 2 va 2 raqamlari esa ko'rsatkichdir. Keling, darajani ko'tarish qoidasidan foydalanamiz. Biz bazani o'zgarishsiz qoldiramiz va ko'rsatkichlarni ko'paytiramiz:

3 4 oldim. To'rtinchi darajaga qadar 3 raqami esa 81 ga teng

Keling, qolgan o'zgarishlarni ko'rib chiqaylik.

Quvvatni ko'paytirish

Darajalarni ko'paytirish uchun siz har bir darajani alohida hisoblashingiz va natijalarni ko'paytirishingiz kerak.

Masalan, 2 2 ni 3 3 ga ko'paytiramiz.

2 2 - 4 raqami va 3 3 - 27 raqami. Biz 4 va 27 raqamlarini ko'paytiramiz, biz 108 ni olamiz

2 2 x 3 3 = 4 x 27 = 108

Ushbu misolda vakolatlarning asoslari boshqacha edi. Agar asoslar bir xil bo'lsa, unda bitta asos yozish mumkin va indikator sifatida boshlang'ich darajalar ko'rsatkichlari yig'indisini yozing.

Masalan, 2 2 ni 2 3 ga ko'paytiring

Ushbu misolda ko'rsatkichlar bir xil asosga ega. Bunda bitta asos 2 ni yozib, ko‘rsatkich sifatida 2 2 va 2 3 ko‘rsatkichlari yig‘indisini yozish mumkin. Boshqacha qilib aytganda, asosni o'zgarishsiz qoldiring va asl darajalarning ko'rsatkichlarini qo'shing. Bu shunday ko'rinadi:

25 ball oldim. 2 dan beshinchi darajagacha bo'lgan raqam 32 ga teng

Bu xususiyat ishlaydi, chunki 2 2 2 × 2 ko'paytmasi va 2 3 2 × 2 × 2 ko'paytmasi. Keyin har biri 2 ga teng bo'lgan beshta bir xil omillarning mahsuloti olinadi. Ushbu mahsulotni 2 5 sifatida ifodalash mumkin

Umuman olganda, har qanday uchun a va ko'rsatkichlar m Va n quyidagi tenglik amal qiladi:

Bu bir xil transformatsiya deyiladi darajaning asosiy xususiyati. Buni shunday o'qish mumkin: PBir xil asosga ega bo'lgan darajalarni ko'paytirishda asos o'zgarishsiz qoladi va darajalar qo'shiladi. .

Shuni esda tutingki, bu o'zgartirish har qanday darajaga qo'llanilishi mumkin. Asosiysi, asos bir xil.

Masalan, 2 1 × 2 2 × 2 3 ifodaning qiymatini topamiz. Fond 2

Ba'zi masalalarda yakuniy darajani hisoblamasdan, tegishli o'zgartirishni amalga oshirish etarli bo'lishi mumkin. Bu, albatta, juda qulay, chunki katta quvvatlarni hisoblash unchalik oson emas.

1-misol. 5 8 × 25 ifodani kuch sifatida ifodalang

Ushbu muammoda siz 5 8 × 25 ifodasi o'rniga bitta daraja olinadigan qilib qilishingiz kerak.

25 raqamini 5 2 sifatida ifodalash mumkin. Keyin quyidagi ifodani olamiz:

Ushbu ifodada siz darajaning asosiy xususiyatini qo'llashingiz mumkin - 5-bazani o'zgarishsiz qoldiring va 8 va 2 ko'rsatkichlarni qo'shing:

Keling, yechimni qisqacha yozamiz:

2-misol. 2 9 × 32 ifodani kuch sifatida ifodalang

32 raqamini 2 5 sifatida ifodalash mumkin. Keyin 2 9 × 2 5 ifodasini olamiz. Keyinchalik, darajaning asosiy xususiyatini qo'llashingiz mumkin - 2-bazani o'zgarishsiz qoldiring va 9 va 5 ko'rsatkichlarini qo'shing. Bu quyidagi yechimga olib keladi:

3-misol. Asosiy quvvat xususiyatidan foydalanib, 3 × 3 mahsulotni hisoblang.

Har bir inson uch karra uch to'qqizga teng ekanligini yaxshi biladi, ammo vazifa hal qilish jarayonida darajaning asosiy xususiyatidan foydalanishni talab qiladi. Buni qanday qilish kerak?

Eslatib o'tamiz, agar raqam indikatorsiz berilgan bo'lsa, unda ko'rsatkich birga teng deb hisoblanishi kerak. Demak, 3 va 3 omillarni 3 1 va 3 1 deb yozish mumkin

3 1 × 3 1

Endi biz darajaning asosiy xususiyatidan foydalanamiz. Biz 3-bazani o'zgarishsiz qoldiramiz va 1 va 1 ko'rsatkichlarni qo'shamiz:

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

4-misol. Asosiy quvvat xususiyatidan foydalanib, 2 × 2 × 3 2 × 3 3 mahsulotini hisoblang.

Biz 2 × 2 mahsulotini 2 1 × 2 1, keyin 2 1 + 1, keyin esa 2 2 bilan almashtiramiz. 3 2 × 3 3 ko'paytmasi 3 2 + 3 ga, keyin esa 3 5 ga almashtiriladi

5-misol. Ko'paytirishni bajaring x × x

Bu ko'rsatkichlar bilan ikkita bir xil alifbo omili 1. Aniqlik uchun biz ushbu ko'rsatkichlarni yozamiz. Qo'shimcha baza x uni o'zgarishsiz qoldiring va ko'rsatkichlarni qo'shing:

Doskada turib, bir xil asoslarga ega bo'lgan kuchlarning ko'payishini bu erda bajarilgandek batafsil yozmaslik kerak. Bunday hisob-kitoblar ongda amalga oshirilishi kerak. Batafsil yozuv, ehtimol, o'qituvchini bezovta qiladi va u buning uchun bahoni pasaytiradi. Bu erda materialni tushunish uchun imkon qadar qulay bo'lishi uchun batafsil yozuv berilgan.

Ushbu misolning yechimi quyidagicha yozilishi kerak:

6-misol. Ko'paytirishni bajaring x 2 × x

Ikkinchi omil indeksi birga teng. Keling, aniqlik uchun yozaylik. Keyinchalik, bazani o'zgarishsiz qoldiramiz va ko'rsatkichlarni qo'shamiz:

7-misol. Ko'paytirishni bajaring y 3 y 2 y

Uchinchi omil indeksi birga teng. Keling, aniqlik uchun yozaylik. Keyinchalik, bazani o'zgarishsiz qoldiramiz va ko'rsatkichlarni qo'shamiz:

8-misol. Ko'paytirishni bajaring aa 3 a 2 a 5

Birinchi omilning indeksi birga teng. Keling, aniqlik uchun yozaylik. Keyinchalik, bazani o'zgarishsiz qoldiramiz va ko'rsatkichlarni qo'shamiz:

9-misol. 3 8 ning kuchini bir xil asosga ega bo'lgan kuchlarning ko'paytmasi sifatida ifodalang.

Bu masalada asoslari 3 ga, ko'rsatkichlari yig'indisi 8 ga teng bo'lgan darajalar ko'paytmasini yasash kerak. Siz har qanday ko'rsatkichlardan foydalanishingiz mumkin. Biz 3 8 darajani 3 5 va 3 3 kuchlarining mahsuloti sifatida ifodalaymiz

Ushbu misolda biz yana darajaning asosiy xususiyatiga tayandik. Axir, 3 5 × 3 3 ifodasini 3 5 + 3 sifatida yozish mumkin, bu erdan 3 8 .

Albatta, 3 8 kuchini boshqa kuchlarning mahsuli sifatida ifodalash mumkin edi. Masalan, 3 7 × 3 1 shaklida, chunki bu mahsulot ham 3 8 ga teng

Darajani bir xil asosga ega bo'lgan kuchlar mahsuloti sifatida ifodalash asosan ijodiy ishdir. Shuning uchun tajriba qilishdan qo'rqmang.

10-misol. Darajani topshirish x 12 tayanchlar bilan quvvatlarning har xil mahsuloti sifatida x .

Keling, darajaning asosiy xususiyatidan foydalanamiz. Tasavvur qiling x 12 asosli mahsulotlar sifatida x, va ko'rsatkichlari yig'indisi 12 ga teng

Aniqlik uchun ko'rsatkichlar yig'indisi bilan tuzilmalar qayd etildi. Ko'pincha ularni o'tkazib yuborish mumkin. Keyin biz ixcham yechimga ega bo'lamiz:

Mahsulotning eksponentatsiyasi

Mahsulotni quvvatga ko'tarish uchun ushbu mahsulotning har bir omilini ko'rsatilgan quvvatga ko'tarish va natijalarni ko'paytirish kerak.

Misol uchun, mahsulot 2 × 3 ni ikkinchi darajaga ko'taramiz. Biz ushbu mahsulotni qavs ichida olamiz va indikator sifatida 2 ni ko'rsatamiz

Endi 2 × 3 mahsulotning har bir omilini ikkinchi darajaga ko'taramiz va natijalarni ko'paytiramiz:

Ushbu qoidaning ishlash printsipi eng boshida berilgan daraja ta'rifiga asoslanadi.

2 × 3 mahsulotini ikkinchi quvvatga ko'tarish bu mahsulotni ikki marta takrorlashni anglatadi. Va agar siz buni ikki marta takrorlasangiz, quyidagilarni olishingiz mumkin:

2×3×2×3

Faktorlar joylarini almashtirishdan mahsulot o'zgarmaydi. Bu sizga bir xil ko'paytiruvchilarni guruhlash imkonini beradi:

2×2×3×3

Takroriy ko'paytirgichlar qisqa yozuvlar bilan almashtirilishi mumkin - ko'rsatkichli asoslar. 2 × 2 mahsulot 2 2 ga, 3 × 3 mahsulot esa 3 2 ga almashtirilishi mumkin. Keyin 2 × 2 × 3 × 3 ifodasi 2 2 × 3 2 ifodasiga aylanadi.

Mayli ab original ish. Ushbu mahsulotni kuchga ko'tarish uchun n, omillarni alohida ko'tarish kerak a Va b belgilangan darajada n

Bu xususiyat har qanday omillar uchun amal qiladi. Quyidagi iboralar ham amal qiladi:

2-misol. (2 × 3 × 4) 2 ifoda qiymatini toping

Ushbu misolda siz 2 × 3 × 4 mahsulotni ikkinchi quvvatga ko'tarishingiz kerak. Buning uchun siz ushbu mahsulotning har bir omilini ikkinchi darajaga ko'tarishingiz va natijalarni ko'paytirishingiz kerak:

3-misol. Mahsulotni uchinchi kuchga ko'taring a×b×c

Biz ushbu mahsulotni qavs ichiga olamiz va ko'rsatkich sifatida 3 raqamini ko'rsatamiz

4-misol. Mahsulotni uchinchi darajaga ko'taring 3 xyz

Biz ushbu mahsulotni qavs ichiga olamiz va indikator sifatida 3 ni ko'rsatamiz

(3xyz) 3

Keling, ushbu mahsulotning har bir omilini uchinchi darajaga ko'taraylik:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3

Uchinchi darajali 3 soni 27 raqamiga teng. Qolganlarini o'zgarishsiz qoldiramiz:

(3xyz) 3 = 3 3 x 3 y 3 z 3 = 27x 3 y 3 z 3

Ba'zi misollarda darajalari bir xil bo'lgan darajalarni ko'paytirishni bir xil darajali asoslar ko'paytmasi bilan almashtirish mumkin.

Masalan, 5 2 × 3 2 ifoda qiymatini hisoblaymiz. Har bir raqamni ikkinchi darajaga ko'taring va natijalarni ko'paytiring:

5 2 x 3 2 = 25 x 9 = 225

Ammo har bir darajani alohida hisoblab bo'lmaydi. Buning o'rniga, bu kuchlar mahsuloti bir ko'rsatkichli (5 × 3) 2 mahsulot bilan almashtirilishi mumkin. Keyin, qavs ichidagi qiymatni hisoblang va natijani ikkinchi darajaga ko'taring:

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

Bunday holda, mahsulotning ko'rsatkichi qoidasi yana qo'llanildi. Axir, agar (a x b)n = a n × b n , Bu a n × b n = (a × b) n. Ya'ni, tenglamaning chap va o'ng tomonlari teskari.

Ko'rsatkichlar

Biz darajalarning bir xil o'zgarishlarining mohiyatini tushunishga harakat qilganimizda, biz ushbu transformatsiyani misol sifatida ko'rib chiqdik.

Quvvatni bir darajaga ko'tarishda asos o'zgarishsiz qoladi va ko'rsatkichlar ko'paytiriladi:

(a n)m = a n × m

Masalan, (2 3) 2 iborasi kuchni bir darajaga ko'taradi - ikkitadan uchinchi darajaga ikkinchi darajaga ko'tariladi. Ushbu ifodaning qiymatini topish uchun asosni o'zgarishsiz qoldirish va ko'rsatkichlarni ko'paytirish mumkin:

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

Bu qoida oldingi qoidalarga asoslanadi: mahsulotning eksponentatsiyasi va darajaning asosiy xususiyati.

(2 3) 2 ifodasiga qaytaylik. Qavs ichidagi 2 3 ifoda har biri 2 ga teng bo'lgan uchta bir xil ko'rsatkichlarning ko'paytmasidir. Keyin (2 3) 2 ifodasida qavs ichidagi quvvatni 2 × 2 × 2 ko'paytmasiga almashtirish mumkin.

(2×2×2) 2

Va bu biz ilgari o'rgangan mahsulotning eksponentatsiyasi. Eslatib o'tamiz, mahsulotni quvvatga ko'tarish uchun siz ushbu mahsulotning har bir omilini belgilangan quvvatga oshirishingiz va natijalarni ko'paytirishingiz kerak:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2

Endi biz darajaning asosiy xususiyati bilan shug'ullanamiz. Biz bazani o'zgarishsiz qoldiramiz va ko'rsatkichlarni qo'shamiz:

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

Avvalgidek, biz 26 ni oldik. Ushbu darajaning qiymati 64 ga teng

(2 x 2 x 2) 2 = 2 2 x 2 2 x 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

Faktorlari ham kuch bo'lgan mahsulot ham kuchga ko'tarilishi mumkin.

Masalan, (2 2 × 3 2) 3 ifoda qiymatini topamiz. Bu erda har bir multiplikatorning ko'rsatkichlari umumiy ko'rsatkich 3 ga ko'paytirilishi kerak. Keyin, har bir daraja qiymatini toping va mahsulotni hisoblang:

(2 2 x 3 2) 3 = 2 2 x 3 x 3 2 x 3 = 2 6 x 3 6 = 64 x 729 = 46656

Taxminan xuddi shunday narsa mahsulotning kuchini oshirishda sodir bo'ladi. Biz mahsulotni quvvatga ko'tarishda ushbu mahsulotning har bir omili ko'rsatilgan quvvatga ko'tarilishini aytdik.

Masalan, 2 × 4 ko'paytmasini uchinchi darajaga ko'tarish uchun siz quyidagi ifodani yozishingiz kerak:

Ammo avvalroq, agar raqam indikatorsiz berilgan bo'lsa, unda ko'rsatkichni birga teng deb hisoblash kerakligi aytilgan edi. Ma'lum bo'lishicha, 2 × 4 mahsulotining omillari dastlab 1 ga teng ko'rsatkichlarga ega. Bu 2 1 × 4 1 ​​ifodasi uchinchi darajaga ko'tarilganligini anglatadi. Va bu darajani kuchga ko'tarishdir.

Ko‘rsatkichlar qoidasidan foydalanib yechimni qayta yozamiz. Biz bir xil natijani olishimiz kerak:

2-misol. (3 3) 2 ifodaning qiymatini toping

Biz bazani o'zgarishsiz qoldiramiz va ko'rsatkichlarni ko'paytiramiz:

36 ball oldim. Oltinchi darajaga qadar 3 raqami 729 raqamidir

3-misolxy)³

4-misol. Ifodada ko'rsatkichni bajaring ( abc)⁵

Keling, mahsulotning har bir omilini beshinchi darajaga ko'taramiz:

5-misolbolta) 3

Keling, mahsulotning har bir omilini uchinchi darajaga ko'taramiz:

Salbiy raqam -2 uchinchi darajaga ko'tarilganligi sababli, u qavs ichida olingan.

6-misol. Ifodada ko'rsatkichni bajaring (10 xy) 2

7-misol. (−5.) ifodada darajani bajaring x) 3

8-misol. (−3.) ifodadagi darajani bajaring y) 4

9-misol. (−2.) ifodada darajani bajaring abx)⁴

10-misol. Ifodani soddalashtiring x 5×( x 2) 3

Daraja x 5 hozircha o'zgarishsiz qoladi va ifodada ( x 2) 3 kuchga ko'rsatkichni bajaring:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6

Endi ko'paytirishni bajaramiz x 5 × x 6. Buning uchun biz darajaning asosiy xususiyatidan foydalanamiz - tayanch x uni o'zgarishsiz qoldiring va ko'rsatkichlarni qo'shing:

x 5 × (x 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = x 5 + 6 = x 11

9-misol. Darajaning asosiy xususiyatidan foydalanib 4 3 × 2 2 ifoda qiymatini toping.

Darajaning asosiy xususiyati, agar boshlang'ich darajalarning asoslari bir xil bo'lsa, ishlatilishi mumkin. Ushbu misolda asoslar boshqacha, shuning uchun boshlang'ich ifodani biroz o'zgartirish kerak, ya'ni darajalar asoslarini bir xil qilish uchun.

Keling, 4 3 ning kuchini diqqat bilan ko'rib chiqaylik. Ushbu darajaning asosi 4 raqami bo'lib, u 2 2 sifatida ifodalanishi mumkin. Keyin asl ifoda (2 2) 3 × 2 2 ko'rinishini oladi. (2 2) 3 ifodadagi darajani darajaga ko‘tarib, 2 6 ni olamiz. Keyin asl ifoda 2 6 × 2 2 ko'rinishini oladi, uni darajaning asosiy xususiyatidan foydalanib hisoblash mumkin.

Keling, ushbu misolning yechimini yozamiz:

Vakolatlarni taqsimlash

Quvvatni taqsimlashni amalga oshirish uchun siz har bir quvvatning qiymatini topishingiz kerak, keyin oddiy raqamlarning bo'linishini bajarishingiz kerak.

Masalan, 4 3 ni 2 2 ga ajratamiz.

4 3 ni hisoblang, biz 64 ni olamiz. Biz 2 2 ni hisoblaymiz, biz 4 olamiz. Endi biz 64 ni 4 ga bo'lamiz, biz 16 ni olamiz

Agar asosning darajalarini bo'lishda ular bir xil bo'lib chiqsa, unda asos o'zgarishsiz qoldirilishi mumkin va bo'linuvchining ko'rsatkichini dividend darajasidan ayirish mumkin.

Masalan, 2 3: 2 2 ifoda qiymatini topamiz

Biz 2 asosni o'zgarishsiz qoldiramiz va dividend ko'rsatkichidan bo'luvchining ko'rsatkichini ayiramiz:

Demak, 2 3: 2 2 ifodaning qiymati 2 ga teng.

Bu xossa bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarni ko'paytirishga yoki biz aytganimizdek, darajaning asosiy xususiyatiga asoslanadi.

Oldingi misolga qaytaylik 2 3: 2 2 . Bu erda dividend 2 3 va bo'luvchi 2 2 ga teng.

Bitta raqamni boshqasiga bo'lish deganda, bo'luvchiga ko'paytirilganda dividend beradigan sonni topish kerak.

Bizning holatda, 2 3 ni 2 2 ga bo'lish, bo'luvchi 2 2 ga ko'paytirilsa, 2 3 ga olib keladigan darajani topishni anglatadi. 2 3 ni olish uchun qanday quvvatni 2 2 ga ko'paytirish mumkin? Shubhasiz, faqat 2 1 daraja. Darajaning asosiy xususiyatidan biz:

2 3: 2 2 ifoda qiymatini bevosita 2 3: 2 2 ifodasini baholash orqali 2 1 ga teng ekanligini tekshirishingiz mumkin. Buning uchun avvalo 2 3 daraja qiymatini topamiz, 8 ni olamiz. Keyin 2 2 daraja qiymatini topamiz, biz 4 ni olamiz. 8 ni 4 ga bo'ling, biz 2 yoki 2 1 ni olamiz, chunki 2 = 2 1 .

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

Shunday qilib, vakolatlarni bir xil asosga bo'lishda quyidagi tenglik amal qiladi:

Bundan tashqari, nafaqat asoslar, balki ko'rsatkichlar ham bir xil bo'lishi mumkin. Bunday holda, javob bitta bo'ladi.

Masalan, 2 2: 2 2 ifoda qiymatini topamiz. Keling, har bir darajaning qiymatini hisoblab chiqamiz va olingan sonlarni bo'linishini bajaramiz:

2 2: 2 2 misolini yechishda siz bir xil asoslar bilan darajalarni bo'lish qoidasini ham qo'llashingiz mumkin. Natijada 2 2 va 2 2 ko'rsatkichlari o'rtasidagi farq nolga teng bo'lgani uchun nol darajaga teng sondir:

Nima uchun 2 raqami nol darajaga teng, biz yuqorida bilib oldik. Agar siz 2 2: 2 2 ni odatdagi tarzda, darajalarni bo'lish qoidasidan foydalanmasdan hisoblasangiz, siz bitta olasiz.

2-misol. 4 12: 4 10 ifoda qiymatini toping

Biz 4 ni o'zgarishsiz qoldiramiz va dividend ko'rsatkichidan bo'luvchining ko'rsatkichini ayiramiz:

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

3-misol. Shaxsiy xabarni yuboring x 3: x bazaga ega daraja sifatida x

Keling, darajalarni bo'lish qoidasidan foydalanamiz. Baza x uni o'zgarishsiz qoldiring va dividend darajasidan bo'luvchining ko'rsatkichini ayiring. Bo'luvchi ko'rsatkich birga teng. Aniqlik uchun uni yozamiz:

4-misol. Shaxsiy xabarni yuboring x 3: x 2 tayanch bilan quvvat sifatida x

Keling, darajalarni bo'lish qoidasidan foydalanamiz. Baza x

Darajalar bo'linishi kasr sifatida yozilishi mumkin. Shunday qilib, oldingi misolni quyidagicha yozish mumkin:

Kasrning son va maxraji kengaytirilgan shaklda, ya'ni bir xil ko'paytmalar ko'paytmasi shaklida yozilishi mumkin. Daraja x 3 kabi yozilishi mumkin x × x × x, va daraja x 2 kabi x × x. Keyin qurilish x 3 - 2 ni o'tkazib yuborish va kasrni kamaytirishdan foydalanish mumkin. Numeratorda va maxrajda har birida ikkita omilni kamaytirish mumkin bo'ladi x. Natijada bitta multiplikator bo'ladi x

Yoki undan ham qisqaroq:

Bundan tashqari, vakolatlardan tashkil topgan kasrlarni tezda qisqartirish foydalidir. Masalan, kasrni ga qisqartirish mumkin x 2. Kasrni kamaytirish uchun x 2 ga kasrning pay va maxrajini bo'lish kerak x 2

Darajalar bo'linishini batafsil tasvirlab bo'lmaydi. Yuqoridagi qisqartmani qisqartirish mumkin:

Yoki undan ham qisqaroq:

5-misol. Bo'linishni amalga oshirish x 12 : x 3

Keling, darajalarni bo'lish qoidasidan foydalanamiz. Baza x uni o'zgarishsiz qoldiring va dividend darajasidan bo'luvchining ko'rsatkichini ayiring:

Yechimni kasrni qisqartirish yordamida yozamiz. Darajalar bo'limi x 12 : x 3 kabi yoziladi. Keyinchalik, biz bu kasrni kamaytiramiz x 3 .

6-misol. Ifodaning qiymatini toping

Numeratorda biz bir xil asoslar bilan kuchlarni ko'paytirishni bajaramiz:

Endi biz bir xil asoslar bilan kuchlarni bo'lish qoidasini qo'llaymiz. Biz 7 asosni o'zgarishsiz qoldiramiz va dividend ko'rsatkichidan bo'luvchining ko'rsatkichini ayiramiz:

Biz 7 2 kuchini hisoblash orqali misolni yakunlaymiz

7-misol. Ifodaning qiymatini toping

Numeratorda darajani bajaramiz. Buni (2 3) 4 ifodasi bilan bajarishingiz kerak

Endi hisoblagichda bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarni ko'paytirishni bajaramiz.

Agar ma'lum bir raqamni kuchga ko'tarish kerak bo'lsa, dan foydalanishingiz mumkin. Endi biz batafsilroq ko'rib chiqamiz darajalarning xossalari.

Eksponensial sonlar katta imkoniyatlar ochadi, ular bizga ko'paytirishni qo'shimchaga aylantirish imkonini beradi va qo'shish ko'paytirishdan ko'ra ancha osondir.

Misol uchun, 16 ni 64 ga ko'paytirishimiz kerak. Bu ikki raqamni ko'paytirish mahsuloti 1024. Lekin 16 4x4, 64 esa 4x4x4. Demak, 16 marta 64=4x4x4x4x4, bu ham 1024 ga teng.

16 raqamini 2x2x2x2 va 64 raqamini 2x2x2x2x2x2 sifatida ham ko'rsatish mumkin, agar ko'paytirsak, yana 1024 ni olamiz.

Endi qoidadan foydalanamiz. 16=4 2, yoki 2 4, 64=4 3 yoki 2 6, 1024=6 4 =4 5 yoki 2 10.

Demak, bizning masalamiz boshqacha tarzda yozilishi mumkin: 4 2 x4 3 =4 5 yoki 2 4 x2 6 =2 10 va har safar biz 1024 ni olamiz.

Biz shunga o'xshash bir qator misollarni hal qilishimiz mumkin va raqamlarning kuchlar bilan ko'paytirilishi ga kamayganini ko'rishimiz mumkin ko‘rsatkichlarni qo‘shish, yoki ko'rsatkich, albatta, omillarning asoslari teng bo'lishi sharti bilan.

Shunday qilib, biz ko'paytirmasdan darhol aytishimiz mumkin: 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.

Bu qoida raqamlarni kuchlar bilan bo'lishda ham to'g'ri keladi, lekin bu holda, e bo'linuvchining ko'rsatkichi dividendning darajasidan ayiriladi. Shunday qilib, oddiy sonlarda 32:8=4 ga teng bo'lgan 2 5:2 3 =2 2, ya'ni 2 2 . Keling, xulosa qilaylik:

a m x a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, bu erda m va n butun sonlardir.

Bir qarashda shunday tuyulishi mumkin sonlarni kuch bilan ko'paytirish va bo'lish unchalik qulay emas, chunki avval raqamni eksponensial shaklda ifodalash kerak. 8 va 16 raqamlarini bu shaklda ifodalash qiyin emas, ya'ni 2 3 va 2 4, lekin buni 7 va 17 raqamlari bilan qanday qilish kerak? Yoki raqam eksponensial shaklda ifodalanishi mumkin bo'lgan hollarda nima qilish kerak, lekin raqamlarning eksponensial ifodalari asoslari juda boshqacha. Masalan, 8×9 2 3 x 3 2 ga teng, bu holda ko‘rsatkichlarni yig‘a olmaymiz. 2 5 ham, 3 5 ham javob emas, ikkalasi orasidagi javob ham emas.

Keyin bu usul bilan umuman bezovtalanishga arziydimi? Albatta bunga arziydi. Bu, ayniqsa, murakkab va ko'p vaqt talab qiladigan hisob-kitoblar uchun katta afzalliklarni beradi.

Oldinroq biz sonning kuchi nima ekanligi haqida gapirgan edik. U muammolarni hal qilishda foydali bo'lgan ma'lum xususiyatlarga ega: biz ushbu maqolada tahlil qiladigan ular va barcha mumkin bo'lgan ko'rsatkichlar. Ularni qanday isbotlash va amalda to'g'ri qo'llash mumkinligini misollar bilan ham ko'rsatamiz.

Oldinroq shakllantirilgan tabiiy ko'rsatkichli daraja tushunchasini eslaylik: bu har biri a ga teng bo'lgan n-sonli omillarning mahsulotidir. Haqiqiy raqamlarni qanday qilib to'g'ri ko'paytirishni ham eslashimiz kerak. Bularning barchasi tabiiy ko'rsatkichli daraja uchun quyidagi xususiyatlarni shakllantirishga yordam beradi:

Ta'rif 1

1. Darajaning asosiy xossasi: a m a n = a m + n

Quyidagilarga umumlashtirish mumkin: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. Asoslari bir xil bo‘lgan darajalar uchun qism xossasi: a m: a n = a m − n.

3. Mahsulot darajasi xossasi: (a b) n = a n b n

Tenglikni quyidagicha kengaytirish mumkin: (a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

4. Natural daraja xossasi: (a: b) n = a n: b n

5. Biz quvvatni kuchga ko'taramiz: (a m) n = a m n,

Quyidagilarga umumlashtirish mumkin: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 n 2 … n k

6. Darajani nol bilan solishtiring:

• agar a > 0 bo'lsa, har qanday natural n uchun a n noldan katta bo'ladi;
• 0 ga teng bo'lsa, a n ham nolga teng bo'ladi;
• a uchun< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• a uchun< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Tenglik a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. a m > a n tengsizlik m va n natural sonlar, m n dan katta va a noldan katta va birdan kam bo‘lmagan holda to‘g‘ri bo‘ladi.

Natijada biz bir nechta tenglikni oldik; agar siz yuqorida ko'rsatilgan barcha shartlarga javob bersangiz, ular bir xil bo'ladi. Tenglikning har biri uchun, masalan, asosiy xususiyat uchun siz o'ng va chap qismlarni almashtirishingiz mumkin: a m · a n = a m + n - m + n = a m · a n bilan bir xil. Ushbu shaklda u ko'pincha iboralarni soddalashtirganda ishlatiladi.

1. Darajaning asosiy xossasidan boshlaylik: a m · a n = a m + n tengligi har qanday natural m va n va real a uchun to‘g‘ri bo‘ladi. Ushbu bayonotni qanday isbotlash mumkin?

Tabiiy ko'rsatkichli kuchlarning asosiy ta'rifi bizga tenglikni omillar mahsulotiga aylantirish imkonini beradi. Biz shunday yozuvni olamiz:

Buni qisqartirish mumkin (ko'paytirishning asosiy xususiyatlarini eslang). Natijada m+n natural ko‘rsatkichli a sonining darajasiga ega bo‘ldik. Shunday qilib, a m + n , ya'ni darajaning asosiy xossasi isbotlangan.

Buni isbotlash uchun aniq bir misol keltiramiz.

1-misol

Shunday qilib, bizda 2 ta asosli ikkita kuch bor. Ularning tabiiy ko'rsatkichlari mos ravishda 2 va 3 ni tashkil qiladi. Biz tenglikni oldik: 2 2 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Keling, ushbu tenglikning to'g'riligini tekshirish uchun qiymatlarni hisoblaylik.

Kerakli matematik amallarni bajaramiz: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 va 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

Natijada, biz oldik: 2 2 2 3 = 2 5 . Mulk isbotlangan.

Ko'paytirishning xususiyatlaridan kelib chiqqan holda, biz xossani uch yoki undan ortiq daraja shaklida shakllantirish orqali umumlashtirishimiz mumkin, ular uchun ko'rsatkichlar natural sonlar, asoslari esa bir xil. Agar n 1, n 2 va hokazo natural sonlar sonini k harfi bilan belgilasak, to‘g‘ri tenglikni olamiz:

a n 1 a n 2 … a n k = a n 1 + n 2 + … + n k.

2-misol

2. Keyinchalik, bo'linish xususiyati deb ataladigan va bir xil asoslarga ega bo'lgan darajalarga xos bo'lgan quyidagi xususiyatni isbotlashimiz kerak: bu a m tengligi: a n = a m - n, har qanday natural m va n (va m) uchun amal qiladi. n)) va har qanday nolga teng bo'lmagan real a dan katta.

Boshlash uchun, keling, formulada aytib o'tilgan shartlarning ma'nosi nima ekanligini tushuntirib beraylik. Agar biz nolga teng bo'lsak, oxirida biz nolga bo'linishni olamiz, buni amalga oshirish mumkin emas (oxir-oqibat, 0 n = 0). Natural ko‘rsatkichlar ichida qolishimiz uchun m soni n dan katta bo‘lishi sharti zarur: m dan n ni ayirish orqali natural sonni olamiz. Agar shart bajarilmasa, biz salbiy son yoki nolga ega bo'lamiz va yana tabiiy ko'rsatkichlar bilan darajalarni o'rganishdan tashqariga chiqamiz.

Endi biz dalillarga o'tishimiz mumkin. Oldin o'rganilgan narsalardan biz kasrlarning asosiy xususiyatlarini eslaymiz va tenglikni quyidagicha shakllantiramiz:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m

Undan shunday xulosa chiqarishimiz mumkin: a m - n a n = a m

Bo'lish va ko'paytirish o'rtasidagi bog'liqlikni eslang. Bundan kelib chiqadiki, a m − n a m va a n darajalar qismidir. Bu ikkinchi darajali mulkning isbotidir.

3-misol

Ko'rsatkichlarda aniqlik uchun maxsus raqamlarni almashtiring va p daraja asosini belgilang: p 5: p 2 = p 5 - 3 = p 3

3. Keyinchalik, mahsulot darajasining xususiyatini tahlil qilamiz: (a · b) n = a n · b n har qanday haqiqiy a va b va natural n uchun.

Tabiiy ko'rsatkichli darajaning asosiy ta'rifiga ko'ra, biz tenglikni quyidagicha qayta shakllantirishimiz mumkin:

Ko'paytirishning xususiyatlarini eslab, biz yozamiz: . Bu n · b n bilan bir xil ma'noni anglatadi.

4-misol

2 3 - 4 2 5 4 = 2 3 4 - 4 2 5 4

Agar bizda uchta yoki undan ko'p omillar mavjud bo'lsa, unda bu xususiyat bu holatga ham tegishli. Biz omillar soni uchun k belgisini kiritamiz va yozamiz:

(a 1 a 2 … a k) n = a 1 n a 2 n … a k n

5-misol

Muayyan raqamlar bilan biz quyidagi to'g'ri tenglikni olamiz: (2 (- 2 , 3) ​​a) 7 = 2 7 (- 2 , 3) ​​7 a

4. Shundan so'ng, biz qism xossasini isbotlashga harakat qilamiz: (a: b) n = a n: b n har qanday haqiqiy a va b, agar b 0 ga teng bo'lmasa va n natural son bo'lsa.

Isbot uchun biz oldingi daraja xususiyatidan foydalanishimiz mumkin. Agar (a: b) n b n = ((a: b) b) n = a n va (a: b) n b n = a n bo‘lsa, u holda (a: b) n a n ni b n ga bo‘lish qismidir, degan xulosa kelib chiqadi.

6-misol

Misolni hisoblaymiz: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

7-misol

Darhol misol bilan boshlaylik: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Va endi biz tenglikning to'g'riligini isbotlaydigan tengliklar zanjirini shakllantiramiz:

Agar bizda misolda darajalar bo'lsa, bu xususiyat ular uchun ham to'g'ri keladi. Agar bizda p, q, r, s natural sonlari bo'lsa, u to'g'ri bo'ladi:

a p q y s = a p q y s

8-misol

Xususiyatlarni qo'shamiz: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 2 5 = (5 , 2) 30

6. Biz isbotlashimiz kerak bo'lgan tabiiy ko'rsatkichli darajalarning yana bir xossasi taqqoslash xususiyatidir.

Birinchidan, ko'rsatkichni nol bilan solishtiramiz. Nima uchun a 0 dan katta bo'lsa, a n > 0?

Agar bitta ijobiy sonni boshqasiga ko'paytirsak, biz ham ijobiy sonni olamiz. Bu haqiqatni bilib, bu omillar soniga bog'liq emasligini aytishimiz mumkin - har qanday miqdordagi ijobiy sonlarni ko'paytirish natijasi ijobiy sondir. Va raqamlarni ko'paytirish natijasi bo'lmasa, daraja nima? U holda musbat asos va tabiiy ko'rsatkichga ega bo'lgan har qanday a n daraja uchun bu to'g'ri bo'ladi.

9-misol

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 va 34 9 13 51 > 0

Bundan tashqari, asosi nolga teng bo'lgan kuchning o'zi nolga teng ekanligi aniq. Qaysi kuchga biz nol ko'tarsak, u nol bo'lib qoladi.

10-misol

0 3 = 0 va 0 762 = 0

Agar daraja asosi manfiy raqam bo'lsa, unda isbotlash biroz murakkabroq bo'ladi, chunki juft/toq ko'rsatkich tushunchasi muhim bo'ladi. Keling, ko'rsatkich juft bo'lgan holatdan boshlaymiz va uni 2 · m bilan belgilaymiz, bu erda m - natural son.

Salbiy raqamlarni qanday qilib to'g'ri ko'paytirishni eslaylik: a · a mahsuloti modullarning mahsulotiga teng va shuning uchun u ijobiy son bo'ladi. Keyin a 2 · m darajasi ham ijobiydir.

11-misol

Masalan, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 va - 2 9 6 > 0

Agar manfiy asosli ko'rsatkich toq son bo'lsa-chi? Uni 2 · m − 1 deb belgilaymiz.

Keyin

Ko'paytirish xossalariga ko'ra barcha a · a ko'paytmalari musbat bo'lib, ularning hosilasi ham ijobiydir. Ammo agar biz uni qolgan yagona a soniga ko'paytirsak, yakuniy natija salbiy bo'ladi.

Keyin biz olamiz: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Buni qanday isbotlash mumkin?

a n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

12-misol

Masalan, tengsizliklar to'g'ri: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Oxirgi xossani isbotlash biz uchun qoladi: agar bizda asoslari bir xil va musbat bo‘lgan ikki daraja bo‘lsa va ko‘rsatkichlari natural sonlar bo‘lsa, unda ulardan biri katta, ko‘rsatkichi kichik bo‘ladi; tabiiy ko'rsatkichlari va bir xil asoslari birdan katta bo'lgan ikki darajaning ko'rsatkichi katta bo'lgan daraja katta bo'ladi.

Keling, bu da'volarni isbotlaylik.

Avvalo, biz ishonch hosil qilishimiz kerak a m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Qavslar ichidan n ni olamiz, shundan so'ng bizning farqimiz a n · (am - n - 1) ko'rinishini oladi. Uning natijasi salbiy bo'ladi (chunki musbat sonni manfiyga ko'paytirish natijasi salbiy). Haqiqatan ham, dastlabki shartlarga ko'ra, m - n > 0, keyin a m - n - 1 salbiy va birinchi omil ijobiy asosga ega bo'lgan har qanday tabiiy kuch kabi ijobiydir.

Ma'lum bo'lishicha, a m − a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Yuqorida ifodalangan gapning ikkinchi qismini isbotlash qoladi: a m > a m > n va a > 1 uchun to‘g‘ri. Farqni ko'rsatamiz va qavs ichidan n ni olamiz: (a m - n - 1) .Birdan katta bo'lgan n ning kuchi ijobiy natija beradi; va farqning o'zi ham boshlang'ich shartlar tufayli ijobiy bo'lib chiqadi va a > 1 uchun m - n darajasi birdan katta. Ma’lum bo‘lishicha, a m − a n > 0 va a m > a n ni isbotlashimiz kerak edi.

13-misol

Muayyan raqamlarga misol: 3 7 > 3 2

Butun darajali darajalarning asosiy xossalari

Musbat butun ko'rsatkichli darajalar uchun xossalar o'xshash bo'ladi, chunki musbat butun sonlar natural sonlardir, ya'ni yuqorida isbotlangan barcha tengliklar ular uchun ham amal qiladi. Ular ko'rsatkichlar manfiy yoki nolga teng bo'lgan holatlar uchun ham mos keladi (agar daraja asosining o'zi nolga teng bo'lmasa).

Shunday qilib, darajalarning xossalari har qanday a va b asoslar (agar bu sonlar haqiqiy va 0 ga teng bo'lmasa) va har qanday ko'rsatkichlar m va n (agar ular butun son bo'lsa) uchun bir xil bo'ladi. Biz ularni qisqacha formulalar shaklida yozamiz:

Ta'rif 2

1. a m a n = a m + n

2. a m: a n = a m - n

3. (a b) n = a n b n

4. (a: b) n = a n: b n

5. (am) n = a m n

6. a n< b n и a − n >b - n musbat butun sonli n , musbat a va b , a< b

7. a m< a n , при условии целых m и n , m >n va 0< a < 1 , при a >1 a m > a n.

Agar daraja asosi nolga teng bo'lsa, u holda a m va n yozuvlari faqat tabiiy va musbat m va n holatlarida ma'noga ega bo'ladi. Natijada, yuqoridagi formulalar, agar boshqa barcha shartlar bajarilsa, nol asosga ega bo'lgan holatlar uchun ham mos kelishini aniqlaymiz.

Bu holda bu xususiyatlarning dalillari oddiy. Tabiiy va butun ko'rsatkichli daraja nima ekanligini, shuningdek, haqiqiy sonlar bilan harakatlarning xususiyatlarini eslab qolishimiz kerak.

Darajada daraja xossasini tahlil qilib, uning musbat butun sonlar uchun ham, nomusbat sonlar uchun ham to‘g‘ri ekanligini isbotlaylik. Biz (a p) q = a p q , (a − p) q = a (− p) q , (a p) − q = a p (− q) va (a − p) − q = a (−) tengliklarini isbotlashdan boshlaymiz. p) (−q)

Shartlar: p = 0 yoki natural son; q - xuddi shunday.

Agar p va q qiymatlari 0 dan katta bo'lsa, biz (a p) q = a p · q ni olamiz. Biz allaqachon shunga o'xshash tenglikni isbotlaganmiz. Agar p = 0 bo'lsa, unda:

(a 0) q = 1 q = 1 a 0 q = a 0 = 1

Demak, (a 0) q = a 0 q

q = 0 uchun hamma narsa bir xil:

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

Natija: (a p) 0 = a p 0 .

Agar ikkala ko'rsatkich ham nolga teng bo'lsa, u holda (a 0) 0 = 1 0 = 1 va a 0 0 = a 0 = 1, keyin (a 0) 0 = a 0 0 .

Yuqorida isbotlangan kuchdagi qismning xususiyatini eslang va yozing:

1 a p q = 1 q a p q

Agar 1 p = 1 1 … 1 = 1 va a p q = a p q bo‘lsa, u holda 1 q a p q = 1 a p q bo‘ladi.

Biz bu belgini ko'paytirishning asosiy qoidalariga ko'ra a (− p) · q ga o'zgartirishimiz mumkin.

Shuningdek: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p q = a - (p q) = a p (- q) .

VA (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Darajaning qolgan xossalari xuddi shunday tarzda mavjud tengsizliklarni o'zgartirish orqali isbotlanishi mumkin. Biz bu haqda batafsil to'xtalmaymiz, faqat qiyin nuqtalarni ko'rsatamiz.

Oxirgidan oldingi xususiyatning isboti: esda tutingki, a - n > b - n har qanday manfiy butun son qiymatlari n va har qanday musbat a va b uchun to'g'ri bo'ladi, agar a b dan kichik bo'lsa.

Keyin tengsizlikni quyidagicha o'zgartirish mumkin:

1 a n > 1 b n

Biz o'ng va chap qismlarni farq sifatida yozamiz va kerakli o'zgarishlarni bajaramiz:

1 a n - 1 b n = b n - a n a n b n

Eslatib o'tamiz, a shartida b dan kichik bo'lsa, u holda tabiiy ko'rsatkichli daraja ta'rifiga ko'ra: - a n.< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n ijobiy son bo'lib tugaydi, chunki uning omillari ijobiydir. Natijada, bizda b n - a n a n · b n kasr mavjud bo'lib, u ham oxirida ijobiy natija beradi. Demak, 1 a n > 1 b n bu yerdan a - n > b - n, biz buni isbotlashimiz kerak edi.

Butun darajali darajalarning oxirgi xossasi tabiiy darajali darajalarning xossasi kabi isbotlangan.

Ratsional darajali darajalarning asosiy xossalari

Oldingi maqolalarda biz ratsional (kasr) ko'rsatkichli daraja nima ekanligini muhokama qildik. Ularning xossalari butun darajali darajalar bilan bir xil. Keling, yozamiz:

Ta'rif 3

1. a m 1 n 1 a m 2 n 2 = a > 0 uchun a m 1 n 1 + m 2 n 2 va agar m 1 n 1 > 0 va m 2 n 2 > 0 bo‘lsa, u holda a ≥ 0 uchun (mahsulot xossalari vakolatlari) xuddi shu asos bilan).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, agar a > 0 bo‘lsa (bo‘lim xossasi).

3. a > 0 va b > 0 uchun a b m n = a m n b m n, va agar m 1 n 1 > 0 va m 2 n 2 > 0 bo‘lsa, a ≥ 0 va (yoki) b ≥ 0 uchun (kasr darajasidagi mahsulot xossasi).

4. a: b m n \u003d a m n: a > 0 va b > 0 uchun b m n, va agar m n > 0 bo'lsa, u holda a ≥ 0 va b > 0 uchun (bo'limning kasr darajasiga xosligi).

5. a > 0 uchun a m 1 n 1 m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 m 2 n 2 va agar m 1 n 1 > 0 va m 2 n 2 > 0 bo‘lsa, u holda a ≥ 0 uchun (darajali xususiyat daraja).

6.ap< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0; agar p< 0 - a p >b p (darajalarni teng ratsional ko'rsatkichlar bilan taqqoslash xususiyati).

7.ap< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q 0 da< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Ushbu qoidalarni isbotlash uchun kasr ko'rsatkichli daraja nima ekanligini, n-darajali arifmetik ildizning xususiyatlari qanday ekanligini va butun ko'rsatkichli daraja qanday xususiyatlarga ega ekanligini eslashimiz kerak. Keling, har bir mulkni ko'rib chiqaylik.

Kasr ko'rsatkichli daraja qancha bo'lishiga qarab, biz quyidagilarni olamiz:

a m 1 n 1 \u003d am 1 n 1 va a m 2 n 2 \u003d am 2 n 2, shuning uchun a m 1 n 1 a m 2 n 2 \u003d am 1 n 1 a m 2 n 2

Ildizning xususiyatlari bizga tengliklarni olish imkonini beradi:

a m 1 m 2 n 1 n 2 a m 2 m 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

Bundan kelib chiqadiki: a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2.

Keling, aylantiramiz:

a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2

Ko'rsatkichni quyidagicha yozish mumkin:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

Bu dalil. Ikkinchi xossa aynan shu tarzda isbotlangan. Keling, tenglik zanjirini yozamiz:

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

Qolgan tengliklarning dalillari:

a b m n = (a b) m n = a m b m n = a m n b m n = a m n b m n; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = = a m 1 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

Keyingi xususiyat: a va b ning 0 dan katta har qanday qiymatlari uchun a, b dan kichik bo‘lsa, a p bajarilishini isbotlaylik.< b p , а для p больше 0 - a p >bp

Ratsional p sonni m n sifatida ifodalaymiz. Bunda m butun son, n natural son. Keyin shartlar p< 0 и p >0 m gacha uzaytiriladi< 0 и m >0 . m > 0 va a uchun< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Biz ildizlarning xossasidan foydalanamiz va hosil qilamiz: a m n< b m n

a va b qiymatlarining ijobiyligini hisobga olib, biz tengsizlikni a m n sifatida qayta yozamiz.< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

Xuddi shu tarzda, m uchun< 0 имеем a a m >b m, biz a m n > b m n ni olamiz, shuning uchun a m n > b m n va a p > b p.

Biz uchun oxirgi mulkni isbotlash qoladi. 0 da p va q ratsional sonlar uchun p > q ekanligini isbotlaylik< a < 1 a p < a q , а при a >0 a p > a q to'g'ri bo'ladi.

Ratsional p va q sonlarni umumiy maxrajga keltirish va m 1 n va m 2 n kasrlarni olish mumkin.

Bu yerda m 1 va m 2 butun sonlar, n esa natural sondir. Agar p > q bo'lsa, u holda m 1 > m 2 (kasrlarni solishtirish qoidasini hisobga olgan holda). Keyin 0 da< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – tengsizlik a 1 m > a 2 m .

Ular quyidagi shaklda qayta yozilishi mumkin:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Keyin o'zgarishlarni amalga oshirishingiz va natijada olishingiz mumkin:

a m 1 n< a m 2 n a m 1 n >a m 2 n

Xulosa qilish uchun: p > q va 0 uchun< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Irratsional darajali darajalarning asosiy xossalari

Ratsional darajali daraja ega bo'lgan yuqorida tavsiflangan barcha xususiyatlarni shunday darajaga oshirish mumkin. Bu biz oldingi maqolalardan birida bergan uning ta'rifidan kelib chiqadi. Keling, bu xususiyatlarni qisqacha shakllantiramiz (shartlar: a > 0 , b > 0 , ko'rsatkichlar p va q irratsional sonlar):

Ta'rif 4

1. a p a q = a p + q

2. a p: a q = a p - q

3. (a b) p = a p b p

4. (a: b) p = a p: b p

5. (a p) q = a p q

6.ap< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >bp

7.ap< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, keyin a p > a q.

Shunday qilib, ko'rsatkichlari p va q haqiqiy sonlar bo'lgan barcha darajalar, a > 0 bo'lsa, bir xil xususiyatlarga ega bo'ladi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Ushbu darsda biz tushunganimizni eslatamiz daraja xususiyatlari tabiiy ko'rsatkichlar va nolga teng. Ratsional ko'rsatkichli darajalar va ularning xususiyatlari 8-sinf uchun darslarda muhokama qilinadi.

Tabiiy ko'rsatkichli ko'rsatkich bir qancha muhim xususiyatlarga ega bo'lib, ular ko'rsatkich misollarida hisoblarni soddalashtirishga imkon beradi.

№1 mulk
Kuchlar mahsuloti

Eslab qoling!

Bir xil asosga ega bo'lgan darajalarni ko'paytirishda asos o'zgarishsiz qoladi va ko'rsatkichlar qo'shiladi.

a m a n \u003d a m + n, bu erda "a" - har qanday raqam va "m", "n" - har qanday natural sonlar.

Vakolatlarning bu xususiyati ham uch yoki undan ortiq vakolatlarning mahsulotiga ta'sir qiladi.

• Ifodani soddalashtiring.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Diplom sifatida taqdim eting.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Diplom sifatida taqdim eting.
  (0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Muhim!

E'tibor bering, ko'rsatilgan mulkda bu faqat kuchlarni ko'paytirish haqida edi bir xil asoslar . Bu ularning qo'shilishiga taalluqli emas.

Siz yig'indini (3 3 + 3 2) 3 5 bilan almashtira olmaysiz. Bu tushunarli, agar
hisoblang (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 va 3 5 = 243

№2 mulk
Xususiy darajalar

Eslab qoling!

Bir xil asosga ega bo'lgan darajalarni bo'lishda asos o'zgarishsiz qoladi va bo'linuvchining ko'rsatkichi dividendning ko'rsatkichidan chiqariladi.

No1 va 2-sonli xususiyatlardan foydalanib, siz ifodalarni osongina soddalashtirishingiz va hisob-kitoblarni bajarishingiz mumkin.

• Misol. Ifodani soddalashtiring.
  4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5
• Misol. Daraja xossalari yordamida ifoda qiymatini toping.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Muhim!

  E'tibor bering, 2-mulk faqat bir xil asoslar bilan vakolatlarni taqsimlash bilan bog'liq.

  Farqni (4 3 −4 2) 4 1 bilan almashtira olmaysiz. Buni hisobga olsak tushunarli (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , va 4 1 = 4

  Diqqatli bo'ling!

  №3 mulk
  Ko'rsatkichlar

  Eslab qoling!

  Quvvatni kuchga ko'tarishda quvvatning asosi o'zgarishsiz qoladi va ko'rsatkichlar ko'paytiriladi.

  (a n) m \u003d a n m, bu erda "a" har qanday raqam va "m", "n" - har qanday natural sonlar.

  
  

  Xususiyatlari 4
  Mahsulot darajasi

  Eslab qoling!

  Mahsulotni quvvatga ko'tarishda omillarning har biri kuchga ko'tariladi. Keyin natijalar ko'paytiriladi.

  (a b) n \u003d a n b n, bu erda "a", "b" har qanday ratsional sonlar; "n" - har qanday natural son.

  • 1-misol
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2
    
  • 2-misol
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Muhim!

  E'tibor bering, 4-sonli mulk, darajalarning boshqa xususiyatlari kabi, teskari tartibda ham qo'llaniladi.

  (a n b n)= (a b) n

  Ya'ni, darajalarni bir xil ko'rsatkichlar bilan ko'paytirish uchun siz asoslarni ko'paytirishingiz va ko'rsatkichni o'zgarishsiz qoldirishingiz mumkin.

  • Misol. Hisoblash.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Misol. Hisoblash.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  Murakkab misollarda, ko'paytirish va bo'lish turli asoslar va turli darajali darajalarda bajarilishi kerak bo'lgan holatlar bo'lishi mumkin. Bunday holda, biz sizga quyidagilarni qilishni maslahat beramiz.

  Masalan, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  O'nli kasrni darajaga ko'tarishga misol.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Xususiyatlari 5
  Bo'limning kuchi (kasrlar)

  Eslab qoling!

  Ko'rsatkichni bir darajaga ko'tarish uchun siz dividend va bo'luvchini ushbu darajaga alohida ko'tarishingiz va birinchi natijani ikkinchisiga bo'lishingiz mumkin.

  (a: b) n \u003d a n: b n, bu erda "a", "b" har qanday ratsional sonlar, b ≠ 0, n - har qanday natural son.

  • Misol. Ifodani qisman kuch sifatida ifodalang.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Sizga shuni eslatib o'tamizki, qism kasr sifatida ifodalanishi mumkin. Shuning uchun biz keyingi sahifada kasrni kuchga ko'tarish mavzusiga batafsil to'xtalib o'tamiz.