Genel olarak, A 095 (i) hata modeli şu şekilde temsil edilebilir: En fazla 9 5 (?) = En fazla + F(t), burada To SI'nın başlangıç ​​hatasıdır; F(t) elementlerin ve blokların kademeli aşınması ve yaşlanmasından kaynaklanan fiziksel ve kimyasal işlemlerden dolayı, bu tip bir dizi ölçüm cihazı için zamanın rastgele bir fonksiyonudur. Bir işlev için tam ifadeyi alın F(t) Yaşlanma süreçlerinin fiziksel modellerine dayanarak bu pratikte mümkün değildir. Bu nedenle, zaman içindeki hatalardaki değişikliklere ilişkin deneysel çalışmaların verilerine dayanarak, fonksiyon F(t) bir veya başka bir matematiksel bağımlılıkla yaklaşılır.

Hatayı değiştirmenin en basit modeli doğrusaldır:

Nerede v- hata oranı değişimi. Çalışmaların gösterdiği gibi, bu model SI'nın bir ila beş yaş arasındaki yaşlanmasını tatmin edici bir şekilde tanımlamaktadır. Bu formülle belirlenen başarısızlık oranı değerleri ile deneysel değerler arasındaki bariz çelişki nedeniyle diğer zaman aralıklarında kullanılması imkansızdır.

Metrolojik arızalar periyodik olarak meydana gelir. Periyodikliklerinin mekanizması şekil 2'de gösterilmektedir. 4.2, A, düz bir çizginin olduğu yer 1 %95'lik dilimdeki değişim doğrusal bir yasayla gösterilir.

Metrolojik bir arıza durumunda, D 095 (?) hatası D pr \u003d Do + D 3 değerini aşar; burada D, uzun vadeli performansı sağlamak için gerekli normalleştirilmiş hata limitinin marjının değeridir. Mİ. Bu tür her arızada cihaz onarılır ve hatası ilk değerine döner. T? = t ( - - t j _ l başarısızlık tekrar meydana gelir (an sen 2 , t3 vb.), ardından onarım tekrar gerçekleştirilir. Sonuç olarak, MI hatasını değiştirme süreci Şekil 2'de kesikli çizgi 2 ile tanımlanmaktadır. 4.2, A, denklemle temsil edilebilen

Nerede P - SI'daki arızaların (veya onarımların) sayısı. Arıza sayısı bir tamsayı olarak alınırsa, bu denklem düz bir çizgi üzerindeki ayrı noktaları tanımlar. 1

(bkz. şekil 4.2, A). Ancak şartlı olarak varsayılırsa P kesirli değerler de alabilirse formül (4.2) tüm satırı açıklayacaktır 1 arıza olmadığında L 095 hatasındaki değişiklik (()).

Metroloji arıza oranı hız arttıkça artıyor v. Aynı zamanda, cihazın imalatı veya onarımının tamamlanması sırasında ölçüm cihazı D0 hatasının gerçek değeri ile ilişkili olarak normalleştirilmiş hata değeri D3 marjına da güçlü bir şekilde bağlıdır. Değişim hızını etkilemek için pratik fırsatlar V ve hata payı D tamamen farklıdır. Yaşlanma oranı mevcut üretim teknolojisine göre belirlenir. İlk bakım aralığı için hata payı, MI üreticisinin verdiği kararlara göre ve sonraki tüm bakım aralıkları için kullanıcının onarım servisinin kültür düzeyine göre belirlenir.

İşletmenin metrolojik servisi onarım sırasında üretim sırasındaki D 0 hatasına eşit SI hatası sağlıyorsa metrolojik arızaların sıklığı düşük olacaktır. Onarım sırasında yalnızca * (0,9-0,95) D pr'ye kadar koşulun yerine getirilmesi sağlanırsa, hata, MI işleminin önümüzdeki aylarında ve çoğu için izin verilen değerlerin sınırlarının ötesine geçebilir. Kalibrasyon aralığının dışında sınıf doğruluğunu aşan bir hatayla çalıştırılacaktır. Bu nedenle, ölçüm cihazının uzun vadeli metrolojik kullanışlılığını sağlamanın ana pratik yolu, D ave sınırına göre normalize edilmiş, yeterince büyük bir marj D3 sağlamaktır.

Bu stokun kademeli olarak sürekli tüketimi, belirli bir süre boyunca MI'nın metrolojik olarak sağlam bir durumunu sağlar. Önde gelen enstrüman yapım fabrikaları, ortalama yaşlanma oranında D 3 \u003d (0,4-0,5) D pr sağlar V\u003d 0,05 D pr / yıl, T p \u003d revizyon aralığını elde etmenizi sağlar a 3 /i= 8-10 yıl ve başarısızlık oranı co = 1/Gy = 0,1-0,125 yıl -1 .

MI hatasını formül (4.1)'e göre değiştirirken, tüm bakım aralıkları T birbirine eşit olacak ve metrolojik arızaların sıklığı w = 1 /Tömür boyu sabit kalacaktır.

Hızlı dalgalanmalar ε(t), yaklaşık olarak sıfır matematiksel beklentisi olan ergodik bir rastgele süreç tarafından tanımlanan rastgele hatayı belirler. Çoklu gözlemlerle ölçümler yapılırken bu bileşen, t i (i = 1,2,...,p) anlarında alınan εi= ε (t i) değerlerini alan rastgele bir değişken şeklinde kendini gösterir. gözlemler. Rastgele bir hatanın en eksiksiz özelliği dağıtım fonksiyonlarıdır. Bilinen diferansiyel dağılım fonksiyonuna (olasılık yoğunluğu) ρ(ε) göre, rastgele bir hatanın verilen aralıkta kalma olasılığı belirlenebilir.

∆ n'den ∆'ye kadar olan sınırlar:

ε \u003d x - X, burada X doğru olduğundan, x ölçülen miktarın ölçülen değeridir, o zaman Р∆ = P(x -∆ dahili< X < х + ∆ вн } (∆ вн - симметрич­ные границы интервала). Следовательно, вероятность Р∆ соответ­ствует вероятности пребывания истинного значения на интервале от х - ∆ вн до х + ∆ вн. Поскольку общая погрешность ∆ = Θ + ε, то ее плотность вероятности можно определить, сместив график ρ(ε) на Θ. В данном случае нижнюю ∆ н и верхнюю ∆ в границы интервала, в котором с вероятностью Р∆ лежит погрешность, выбирают симмет­рично относительно математического ожидания, поэтому I∆ Н I≠ ∆ e

4.10.4. Hata dağıtım kanunlarına örnekler

Ölçüm sonucunu analiz etmek için, toplam hatanın dağılım yasasını belirlemenin ve hata sınırlarını hesaplama problemini çözmenin mümkün olduğu, hatanın bireysel bileşenlerinin dağılım yasalarını bilmek gerekir. Bazı durumlarda, hata bileşenlerinin dağılım yasalarını deneyden önce, bunların oluşum nedenlerinin analizine dayanarak değerlendirmek mümkündür.

Eşit hukuk. Bu yasa, sinyalin nicelenmesi ve örneklenmesi sırasında ortaya çıkan hatalara tabidir. Örneğin, DC voltajını ölçerken Ux sabit bir Ust adımıyla adım adım değişen referans voltajıyla karşılaştırılarak ölçüm sonucu, bir elektronik sayaç kullanılarak kaydedilen n adım sayısı ve niceleme hatası ∆U kV: U x = nUst - ∆U ile belirlenir. KB. Ölçülen voltajın değeri bilinmediğinden ve tercih edilen değerlerin aralığını belirtmek imkansız olduğundan nicemleme hatasının 0'dan Ust'ye kadar düzgün dağıldığı kabul edilir. Sistematik hata

Rasgele bir hatanın olasılık yoğunluğunun grafiği ε = ∆U sq - Θ, ρ(U KB) grafiğinin Uct/2 kadar kaydırılmasıyla elde edilir. Limit hatası ∆п = Uct /2 . Rastgele hatanın RMS'si

Sınırları dışında hiçbir şeyin bilinmediği hatalar için tek tip yasa, en büyük ölçüm hatasını verdiği için uygun bir matematiksel modeldir. Örneğin, hariç tutulmayan bir sistematik hatayı analiz ederken, yalnızca ±Θ n sınırlayıcı değerlerini tahmin etmek mümkündür. Hariç tutulmayan sistematik hatanın dağılım yasası, standart sapmalı tek tip bir yasa ile modellenmiştir. σ = Θ/√12. GOST 8.009-84'e göre, + N / 2s RMS σ içindeki okumaların değişmesi nedeniyle hatanın eşit şekilde dağıldığı kabul edilir. =H√ 12, burada H \u003d IC b -C m I.

Örneğin, zaman aralığını dijital olarak ölçerken, ölçülen aralığın başlangıcı sayma darbeleri dizisiyle senkronize değilse, ölçüm sonucu T x =nT 0 -∆t H +∆t k =nT 0 -∆t d olur; burada ∆t n ve ∆t K T x aralığının başında ve sonunda ayrıklaştırma hataları, ∆t d toplam ayrıklaştırma hatası. ∆t n ve ∆t K hataları, 0 ve sınır değerlerine sahip tek tip bir yasaya tabidir. T 0 . T x aralığı ölçülmezse, rastgele hatalar bağımsızdır ve toplam ayrıklaştırma hatası ∆t d'nin dağıtım yasası, ±T 0 sınır değerlerine sahip üçgen şeklindedir.

Ölçümlerin yapıldığı ortamın özelliklerine ölçüm koşulları denir. Bunlar iklim koşulları (sıcaklık, bağıl hava nemi, atmosferik basınç), elektrik ve manyetik alanlar, mekanik ve akustik faktörler (titreşimler, şok yükler, şoklar), iyonlaştırıcı radyasyon, atmosferin gaz bileşimi vb.'dir. Ölçümlerin sonucunu etkilediklerinden, düzenleyici ve teknik belgelerdeki ölçüm cihazları için metrolojik özelliklerinin normalleştirildiği koşullar her zaman belirtilir.

Ölçüm cihazlarının metrolojik özellikleri normal kullanım ve çalışma koşulları için ayrı ayrı normalleştirilir.

4.12. Ölçüm deneyinin organizasyonu

Sonucun ve istenen doğruluğun en basit araçlarla ve en basit stratejiye uygun olarak elde edilmesi durumunda ölçüm en iyi şekilde gerçekleştirilir.

Hazırlık, ölçüm görevinin spesifikasyonunu, ölçüm deneyinin planlanmasını, gerekli yöntemlerin ve teknik araçların seçimini (güç kaynakları, ölçülen ortama bağlantı, arayüz araçları, gerekirse soğutucu besleme araçları vb.) dahil olmak üzere içerir; mekanik kalibrasyon ve optik aletlerin ayarlanması, elektronik araçların kalibrasyonu.

Ölçüm hatalarını açıklayan modeller için gereklilikler

Ölçüm hataları modelleri

Gereksinimler:

1.Ölçüm cihazının veya ölçüm prosedürünün temel metrolojik özelliklerini yansıtmalı,

2. Ölçüm sonuçlarını kullanan pratik problemlere çözümler sunabilecek;

3. Hatanın niceliksel değerlendirmesi;

5. Ölçüm cihazının okumalarını düzeltin ve hataları azaltmak için ölçüm sonuçlarında düzeltmeler yapın;

6. Ölçüm cihazının belirli bir süre boyunca hatasız çalışma olasılığını belirlemek;

7. Metrolojik özelliklerin değerleri için üretim ve işletme toleranslarını dikkate almalıdır.

Modele ne kadar sıkı gereksinimler getirilirse, ölçüm sonuçlarından o kadar ayrıntılı sonuçlar çıkarılmalı, hata modelinin yapısı o kadar karmaşık olmalıdır.

Hataların matematiksel modelinin türü aşağıdakilere göre seçilir:

Yöntemlerin ve ölçüm araçlarının teorik veya deneysel incelenmesi;

Ölçüm koşullarını dikkate alarak, sonuçları etkileyen niceliklere ilişkin istatistiksel verilerin analizi.

Pratik metrolojik problemleri çözerken, ölçüm sonuçlarını ve hatalarını hem tanımlamak hem de değerlendirmek için tek ve aynı model kullanılabilir.

Hataları açıklayan en yaygın kullanılan modeller şunlardır:

Ölçüm hatası zamanın bir fonksiyonudur. Hatadaki monotonik bir değişiklikle, değişikliğin doğasının en basit açıklaması, hatanın monotonik bir zaman fonksiyonuyla yaklaşıklaştırılmasıdır.

Zamanın monoton, rastgele olmayan bir fonksiyonu nerede;

Z- rastgele değer.

Bu model aynı tipteki ölçüm araçlarının hatalarını tahmin etmek için kullanılıyorsa, o zaman

Rastgele bileşen, her bir ölçüm cihazı için hata farklarının ve çeşitli koşulların etkisi altında hataların yayılmasının dikkate alınmasını mümkün kılar.

Model aynı ölçüm cihazının hatalarını tanımlamak için kullanılıyorsa, rastgele bileşen, hataların, etkileyen faktörlerin farklı kombinasyonları için farklı değerler aldığını hesaba katmayı mümkün kılar.

Hataların tanımlanmasına izin veren en uygun monotonik rastgele işlevler şunlardır:

DOĞRUSAL!!!

Doğrusal-üniform;

Ve doğrusal fan fonksiyonları (Şek. 30).

Formun doğrusal düzgün fonksiyonları rastgele bir parça ekleyin, yani miktarın bireysel uygulamaları A ve monoton, rastgele olmayan bir bileşen.

Doğrusal fan işlevlerinde büyüklük A rastgele değildir ve terim, rastgele bileşenin ayrı bir gerçekleşmesidir.

Doğrusal fonksiyon biçimindeki genelleştirilmiş hata modeli şu ifade olabilir: , hangisinde A hatanın başlangıç ​​değeridir; İÇİNDE hata değişim oranıdır.

Modelin bileşenleri rastgele, genellikle birbiriyle ilişkisiz niceliklerdir.

DOĞRUSAL OLMAYAN!!!

Ayrıca, monoton temel rastgele fonksiyonlar, zamanın doğrusal olmayan yelpaze şeklindeki rastgele fonksiyonlarıdır (Şekil 31), örneğin üstel veya güç fonksiyonları. Şekil 31'de, A Hatanın zaman içindeki değişim oranındaki azalmayı ve pratikte değişmeyen bazı değerlere kademeli yaklaşımını dikkate alan bir hata modeli sunulmaktadır. Şekil 31'de, B Hatanın değişim oranının arttığı ve sabit bir değere yöneldiği durumlarda kullanılan model verilmektedir.

Bu tür modeller, örneğin hatanın iki zıt etkileyici faktörden kaynaklandığı ve bunlardan birinin sınırlı bir süre için geçerli olduğu durumlarda kullanılabilir. Dinamik teknolojik, fiziksel ve mekanik özelliklerdeki (aşınma yoğunluğu, yaşlanma, dış faktörlerdeki değişiklikler) farklılık nedeniyle, aynı tip cihazlar için hatadaki sabit bir değişim oranında bile, model bir dizi uygulama ile temsil edilmektedir. .

Yukarıdaki modellerde argüman yalnızca zaman değil aynı zamanda monoton olarak değişen diğer parametreler de olabilir.

Hata modelindeki monotonik bileşen aşağıdakileri dikkate alabilir:

Cihazın ölçüm devresini besleyen güç kaynağının parametrelerinin değiştirilmesi;

Ölçme devresi elemanlarının eskimesi;

Zamanla monoton değişen dış etki faktörleri;

Ölçüm cihazının elemanlarının kademeli olarak aşınması vb.

Ölçüm cihazlarının ve ölçüm bilgi sistemlerinin değişken sistematik hatalarının bilgi düzeltmesi

İnceleyen: Tuz Yu.M.
NII AEI Direktörü, Teknik Bilimler Doktoru, Profesör, bilim ve teknoloji alanında Ukrayna Devlet Ödülü sahibi

giriiş

Ölçüm cihazlarının doğruluğu, doğruluğu ve yakınsamasına yönelik gereksinimler sürekli artmaktadır. Gereksinimlerdeki artış genellikle, daha yüksek kalitede ölçümler sağlayan, eski fiziksel ölçüm prensibinden yeni bir fiziksel ölçüm prensibine geçilmesiyle gerçekleştirildi. Aynı zamanda, ölçüm yöntemleri ve teknikleri geliştirildi ve ölçüm sürecine eşlik eden karmaşık normal (standart) koşullar için gereksinimler daha sıkı hale geldi.

Herhangi bir ölçüm cihazı, sistem, kanal yalnızca ölçülen değere değil aynı zamanda dış ortama da "yanıt verir" çünkü kaçınılmaz olarak onunla ilişkilidir.

Bu teorik tezin iyi bir örneği, yer kabuğunda Ay'ın neden olduğu gelgit dalgalarının, Avrupa Nükleer Araştırma Merkezi'ndeki büyük halka hızlandırıcıda elde edilen yüklü parçacıkların enerjisindeki değişim üzerindeki etkisi olabilir. Gelgit dalgası 27 kilometrelik (2,7·10 mm) hızlandırıcı halkayı deforme eder ve halka boyunca parçacıkların yol uzunluğunu yaklaşık 1 mm (!) değiştirir. Bu, hızlandırılan parçacığın enerjisinde neredeyse on milyon elektron voltluk bir değişikliğe yol açar. Bu değişiklikler çok küçüktür ancak olası ölçüm hatasını yaklaşık on kat aşar ve bozon kütlesinin ölçümünde zaten ciddi bir hataya yol açmıştır.

Sorunun formülasyonu

Radyoelektronik ölçümlerin metrolojik sağlanması aşağıdaki tipik problemlerle karakterize edilebilir. Çevresel faktörlerin ölçüm cihazlarının hataları üzerindeki etkisini analiz etmek için teorik yöntemlerin kullanılması zordur. Etkinin doğası karmaşıktır, istikrarsızdır ve bir uzman tarafından mantıksal ve profesyonel analiz açısından yorumlanması zordur; aynı tip ölçüm cihazının örneğinden örneğine geçerken değiştirilebilir.

Bilinmeyen bir türün çeşitli değişkenlere bağımlılığını elde etmenin metodolojik karmaşıklığına ve "... hatanın çevresel faktörlere bağımlılığını inceleme olasılıklarının, özellikle kombine olarak çok sınırlı ve çok güvenilir olmadığı belirtilmektedir. Faktörlerin etkileri ve değerlerindeki dinamik değişiklikler".

Yukarıdaki nedenlerin ve bunların tezahürlerinin önemli çeşitliliğinin bir sonucu olarak, aynı tipteki bir ölçüm cihazı grubu için, ölçüm cihazlarının çevresel faktörlerden kaynaklanan hatalarının en yeterli tanımının bir alan olarak tanınması gerektiği sonucuna varılmıştır. sınırları örneklere aşırı bağımlılıklar tarafından belirlenen belirsizlik.

Ölçme aletlerinin hatalarını azaltma sorununu çözmedeki bu zorluklar, bu aletlerin sistem özelliklerinin bir sonucudur: ortaya çıkma, bütünlük, belirsizlik, karmaşıklık, stokastiklik vb. Söz konusu durumlarda nomografik bilimler düzeyinde teorik bir açıklama yapma girişimleri çoğu zaman etkisizdir. Deneysel-istatistiksel bir yaklaşıma ihtiyaç vardır çünkü bu yaklaşım, belirli fenomenlerin kalıplarının ayrıntılı zaman ve mekan koşullarında idiyografik bir açıklamasına izin verir.

Hem radyoelektronik ölçümlerde hem de kantitatif kimyasal analiz sonuçlarının değerlendirilmesinin doğruluğunun sağlanmasında, hataların önemli bir özelliği not edilir: çoğu ölçüm cihazı için sonucun sistematik hataları, rastgeleyi aşmaları anlamında önemlidir ve hata Faktör uzayındaki her noktada bir ölçüm cihazının belirli bir örneği belirlenir ve temel olarak sabittir.

Ölçümlerin kalitesini daha da artırmak için yalnızca fiziksel - tasarım, teknolojik, operasyonel - yeteneklerin değil aynı zamanda bilgilendirici yeteneklerin de kullanılması gerekir. Her türlü hata hakkında bilgi edinmede sistematik bir yaklaşımın uygulanmasından oluşur: araçsal, metodolojik, ek, sistematik, aşamalı (sürüklenme), model ve muhtemelen diğerleri.Bu tür bilgilere çok faktörlü bir matematiksel model biçiminde sahip olmak ve bilmek Proses ölçümlerine eşlik eden faktörlerin (koşulların) değerleri, verilen hatalar hakkında bilgi edinmek ve dolayısıyla ölçülen değeri daha doğru bilmek mümkündür.

Ölçme aletlerinin sistematik hatalarının matematiksel modelleme metodolojisi için gereklilikler

Düzenli olarak değişen sistematik hataların çok faktörlü matematiksel modellenmesi için aşağıdaki gereklilikler dikkate alınarak bir metodoloji geliştirilmesi gerekmektedir.

1. Bir ölçüm aracının kalitesi için birçok faktörü ve gerekirse birçok kriteri dikkate alan sistematik hataların tanımlanmasına yönelik sistematik bir yaklaşım.
2. Yapıları araştırmacı tarafından bilinmediğinde matematiksel modellerin elde edilmesinde uygulanan düzey.
3. Kaynak verilerden yararlı bilgiler elde etmenin ve bunu matematiksel modellere yansıtmanın (istatistiksel anlamda) verimliliği.
4. Elde edilen modellerin konu alanında erişilebilir ve kullanışlı anlamlı yorumlanma imkanı.
5. Konu alanındaki matematiksel modellerin kullanımının etkinliği, bunları elde etmek için gereken kaynakların maliyetiyle karşılaştırıldığında.

Matematiksel model elde etmenin ana aşamaları

Yukarıdaki gereksinimleri karşılayan çok faktörlü matematiksel modellerin elde edilmesinin ana aşamalarını ele alalım.

Ortaya çıkan matematiksel modellerin gerekli özelliklerini sağlayan çok faktörlü bir deney için bir plan seçmek

Devam eden deneysel çalışmaların dikkate alınan (metrolojik) sınıfında, tam ve kesirli bir faktöriyel deney kullanmak mümkündür. Tanımlanan matematiksel model kapsamında, parametrelere göre doğrusal ve genel durumda faktörlere göre doğrusal olmayan, keyfi olarak yüksek ancak sonlu karmaşıklığa sahip bir modeli kastediyoruz. Tam faktöriyel deneyin genişletilmiş etki matrisi, yapay bir faktör sütunu içerecektir X 0 = 1, tüm ana etkiler ve olası tüm ana etki etkileşimleri için sütunlar. Faktörlerin etkileri ve faktörlerin etkileşimleri dik normalleştirilmiş kontrastlar sistemi olarak ifade edilirse, varyans-kovaryans matrisi şu formu alacaktır:

Nerede X – tam faktöriyel deneyin etkilerinin matrisi;
σ y 2 deney sonuçlarının tekrarlanabilirliğinin dağılımıdır;
N- deney planındaki deney sayısı;
e kimlik matrisidir.

Tam faktöriyel deney şemasıyla elde edilen matematiksel model birçok dikkate değer özelliğe karşılık gelir: modelin katsayıları birbirine diktir ve istatistiksel olarak bağımsızdır; en kararlı ( şart= 1); her katsayı, karşılık gelen etkinin modellenen kalite kriteri üzerindeki etkisi hakkında anlamsal bilgi taşır; deneysel tasarım kriterleri karşılıyor D-, A-, e-, G-optimalliğin yanı sıra faktör seviyelerinin frekanslarının orantılılık kriteri; Matematiksel model, yanıt yüzeyinin yaklaşım noktalarında yeterlidir. Böyle bir modelin doğru ve “en iyi” olduğunu düşüneceğiz.

Deney sayısının çokluğu nedeniyle tam faktöriyel deneyin kullanılmasının mümkün olmadığı durumlarda, çok faktörlü düzenli (tercihen tekdüze) deney tasarımlarının kullanılması önerilmelidir. Gerekli deney sayısının doğru seçilmesiyle bunların özellikleri, tam faktöriyel deneyin verilen özelliklerine mümkün olduğu kadar yakındır.

Çok faktörlü bir matematiksel modelin yapısının elde edilmesi

Ortaya çıkan çok faktörlü matematiksel modelin, genellikle araştırmacı tarafından bilinmeyen yapısı, tam bir faktöriyel deney şemasının etki kümesine karşılık gelen olası etki kümesine dayanarak belirlenmelidir. Şu ifadeyle verilir:

Nerede X 1 ,..., X k - istenen matematiksel modelin faktörleri;

S 1 ,..., S k faktör seviyelerinin sayısıdır X 1 ,..., X k;

k toplam faktör sayısıdır;

N n, şemasının yapısal elemanlarının sayısına eşit, tam faktöriyel bir deneyin deney sayısıdır.

İstenilen model için ortogonal kontrastlar biçiminde gerekli etkilerin (ana ve etkileşimler) araştırılması, etkilerin istatistiksel önemine ilişkin hipotezlerin çoklu istatistiksel testi olarak gerçekleştirilir. İstatistiksel olarak anlamlı etkiler modele dahil edilmiştir.

Kesirli faktöriyel deney için gerekli deney sayısını seçme

Genellikle araştırmacı, faktörlerin modellenen kalite kriteri üzerindeki etkisinin beklenen karmaşıklığı hakkında (yaklaşık olarak) bilgi sahibi olur. Her faktör için, bu faktör tarafından yanıt yüzeyinin yeterli bir şekilde tanımlanması için gerekli olan polinomun maksimum derecesinden 1 fazla olması gereken varyasyon düzeylerinin sayısı seçilir. Gerekli deney sayısı şöyle olacaktır:

Nerede S i faktör seviyelerinin sayısıdır X Ben ; 1 ≤ Ben ≤ k.

Gerekli deney sayısının önemli olduğu (50...64 veya daha fazla) durum için 1,5'lik bir katsayı seçilir. Daha az sayıda gerekli deney için 2 faktörü seçilmelidir.

Çok Faktörlü Matematiksel Modelin Yapısını Seçmek

Ortaya çıkan matematiksel modelin yapısını seçmek için geliştirilen algoritmanın kullanılması gerekmektedir. Algoritma, planlanan çok faktörlü bir deneyin sonuçlarına göre gerekli yapıyı seçmek için sıralı bir şema uygular.

Deney sonuçlarının işlenmesi

Deney sonuçlarının karmaşık bir şekilde işlenmesi ve konu alanındaki sonuçların yorumlanması için gerekli bilgilerin elde edilmesi için "Modellerin planlanması, regresyonu ve analizi" (PS PRIAM) yazılım aracı geliştirilmiştir. Geliştirici, Ukrayna Ulusal Teknik Üniversitesi "Kiev Politeknik Enstitüsü" Makine Mühendisliği Teknolojisi Bölümü'nün Deneysel ve İstatistiksel Yöntemler Laboratuvarıdır. Ortaya çıkan matematiksel modellerin kalitesinin değerlendirilmesi aşağıdaki kriterleri içerir:

• arzu edilen çok faktörlü matematiksel modelin yapısı olarak benimsenecek faktörlerin ana etkileri ve etkileşimlerine ilişkin bilgilendirici bir alt kümenin elde edilmesi;
• kaynak verilerden yararlı bilgilerin çıkarılmasında mümkün olan en yüksek teorik verimliliğin (%100'e kadar) sağlanması;
• potansiyel bir matematiksel modelin istatistiksel anlamlılığının test edilmesi;
• çoklu regresyon analizinin çeşitli varsayımlarının test edilmesi;
• ortaya çıkan modelin yeterliliğinin doğrulanması;
• bilgilendirici olup olmadığının kontrol edilmesi, yani yararlı bilgilerin matematiksel modelindeki varlığı ve istatistiksel önemi;
• matematiksel modelin katsayılarının kararlılığının kontrol edilmesi;
• kaynak verilerden yararlı bilgilerin çıkarılmasının gerçek verimliliğinin doğrulanması;
• matematiksel modelin elde edilen katsayılarına göre anlamsallığın (bilginin) değerlendirilmesi;
• kalıntıların özelliklerinin kontrol edilmesi;
• elde edilen matematiksel modelin özelliklerinin genel bir değerlendirmesi ve hedefe ulaşmak için kullanılma olasılığı.

Sonuçların yorumlanması

Hem elde edilen modellerdeki biçimsel sonuçları hem de modellerin kullanılması gereken uygulamalı hedefleri iyi anlayan bir uzman (veya uzmanlar) tarafından gerçekleştirilir.

Fiziksel bir niceliği ölçme sürecine eşlik eden sistematik hatalar hakkında yararlı bilgiler elde etmeye yönelik matematiksel bir yöntem ve bir ölçme aracı, aralarında etkileşim (aksi halde ortaya çıkma) olan bir üst sistem oluşturur. Etkileşimin etkisi - ölçülen değerin daha yüksek doğruluğu - prensipte yalnızca bireysel alt sistemlerin pahasına elde edilemez. Bu matematiksel modelin yapısından kaynaklanmaktadır. Ŷ (ŷ 1 ,..., ŷ p) = F j (SI, MM) deney 2 2 //4 için (bir alt sistemin yokluğu “–1” ile ayarlanır ve “1”in varlığı) belirtilen alt sistemler:

Nerede Ŷ (ŷ 1 ,..., ŷ p) ölçüm cihazının verimlilik vektörüdür, 1 ≤ J ≤ P;

1 - sonucun ortalama değerinin sembolü (koşullu referans noktası);

SI - yalnızca ölçüm cihazından elde edilen ölçüm sonucu;

MM - kendi koşullarına göre iç ve dış ölçüm koşulları bilgisi ile birlikte, kullanılan ölçüm cihazının sistematik hataları hakkında çok faktörlü bir matematiksel modelle elde edilen bilgiler;

SI · MM - birlikte kullanılmaları şartıyla, ölçüm aracı ile matematiksel modelin etkileşiminin (ortaya çıkmasının) etkisi.

Ölçüm doğruluğunun arttırılması, ölçüm koşulları ve ölçüm cihazının iç ve dış çevre ile etkileşim halindeki özellikleri hakkında daha fazla bilgi elde edilmesiyle sağlanır.

Fiziksel ve bilgi ilkelerinin pratikte birleştirilmesi, bilinen sistemlerin entelektüelleştirilmesi, özellikle akıllı ölçüm cihazlarının oluşturulması anlamına gelir. Fiziksel ve bilgisel ilkeleri tek bir entegre sistemde birleştirmek, eski sorunları temelde yeni bir şekilde çözmeyi mümkün kılar.

Dijital terazilerin ölçüm doğruluğunu artırmaya bir örnek

0...100 kgf tartım aralığına sahip dijital terazilerin doğruluğunun arttırılması örneğinde önerilen yaklaşımın olanaklarını ele alalım. Taşınabilir bir voltaj kaynağından kendi kendine beslenen kapasitif tip tartım sensörü. Teraziler ortam sıcaklığı (hava) 0...60 °C aralığında çalıştırılmak üzere tasarlanmıştır. Terazinin çalışması sırasında otonom bir voltaj kaynağından gelen voltaj, hesaplanan (nominal) 12 V değerinde 12,3 ... 11,7 V aralığında değişebilir.

Dijital teraziler üzerinde yapılan bir ön çalışma, ortam sıcaklığı ve besleme voltajındaki yukarıdaki aralıklardaki değişikliklerin, kapasitif sensörün okumaları ve dolayısıyla tartım sonuçları üzerinde nispeten az etkiye sahip olduğunu gösterdi. Ancak terazinin sabit (laboratuvar) koşullarda değil, hareketli bir gemide çalıştırılması gerektiğinden, bu dış ve iç koşulları gerekli doğrulukta stabilize etmek ve terazinin çalışması sırasında bunları korumak mümkün olmadı. nesne.

Sıcaklık ve besleme voltajındaki değişikliklerin etkisi dikkate alınmadan ölçeklerin doğruluğu üzerine yapılan bir çalışma, ortalama mutlak yaklaşım hatasının% 0,16 olduğunu ve geri kalanın ortalama karekök hatasının (ölçüm birimlerinde) olduğunu gösterdi. Tartım çıkış değeri) 53,92'dir.

Çok faktörlü bir matematiksel model elde etmek için, aşağıdaki faktör tanımları ve düzeylerinin değerleri benimsenmiştir.

X 1 - histerezis. Seviyeler: 0 (yük); 1 (boşaltma). Kalite faktörü.

X 2 – ortam sıcaklığı. Seviyeler: 0; 22; 60°C.

X 4 - ölçülen ağırlık. Seviyeler: 0; 20; 40; 60; 80; 100 kg.

Kabul edilen faktör değişimi seviyeleri ve nispeten ucuz test miktarı dikkate alınarak, tam bir faktöriyel deney yapılmasına karar verildi; 2 3 2 6//108. İlk test verileri prof tarafından sağlandı. P.V. Novitsky. Her deney yalnızca bir kez tekrarlandı ve bu iyi bir çözüm olarak kabul edilemez. Her deneyin iki kez tekrarlanması tavsiye edilir. İlk verilerin ön analizi, bunların önemli olasılıkla büyük hatalar içerdiğini gösterdi. Bu deneyler tekrarlandı ve sonuçları düzeltildi.

Faktör değişimi seviyelerinin doğal değerleri dik kontrastlara, aksi takdirde dik Chebyshev polinomları sistemine dönüştürüldü.

Dik kontrastlardan oluşan bir sistem kullanıldığında, tam bir faktöriyel deneyinin yapısı şöyle görünecektir:

(1 + x 1) (1 + x 2 + z 2) (1 + x 3 + z 3) (1 + x 4 + z 4 + u 4 + v 4 + ω 4) → N 108

Nerede X 1 ,..., X 4 ; z 2 ,..., z 4 ; sen 4 , v 4 , ω 4 - sırasıyla doğrusal, ikinci dereceden, kübik, dördüncü ve beşinci derece kontrast faktörleri X 1 ,..., X 4 ;
N 108, tam bir faktöriyel deneyin şeması için yapısal elemanların sayısıdır.

Tüm etkiler (temel ve etkileşimler) normalleştirildi

burada x iu (p) değerdir P ortogonal kontrast Ben Planlama matrisinin u'uncu satırı için -'inci faktör, 1 ≤ sen ≤ 108, 1 ≤ P ≤ S ben - 1; 1 ≤ Ben ≤ 4.

Matematiksel modelin bir ön hesaplaması, (yaklaşık olarak) 20,1 değerinin tekrar üretilebilirlik varyansının bir tahmini olarak seçilebileceğini gösterdi.

Kabul edilen serbestlik derecesi sayısı (şartlı olarak) V 2 = 108.

Varyans, regresyon denklemi katsayılarının standart hatasını belirlemek için kullanıldı.

Matematiksel modelin hesaplanması ve tüm kalite kriterleri PS PRIAM kullanılarak gerçekleştirildi. Ortaya çıkan matematiksel model şu şekle sahiptir:

X 1 = 2 (X 1 – 0,5);

X 2 = 0,0306122 (X 2 – 27,3333);

z 2 = 1,96006 (X 2 2 – 0,237337X 2 – 0,575594);

X 3 = 3.33333 (X 3 – 12);

z 3 = 1,5 (X 2 3 – 0,666667);

X 4 = 0,02 (X 4 – 50);

z 4 = 1,875 (X 2 4 – 0,466667);

sen 4 = 3,72024 (X 3 4 – 0,808X 4);

v 4 = 7,59549 (X 4 4 – 1,08571X 2 4 + 0,1296).

tablo 1

Elde edilen matematiksel modelin kalitesine ilişkin kriterler

Tablo 2

Regresyon katsayılarının istatistiksel özellikleri

B 0 = 28968,9
için önem düzeyi T-kriter - 0,05
Serbestlik dereceleri için V 1 = 108. Tablo değeri T-kriter - 1,9821

Masada. Şekil 1, elde edilen çok faktörlü matematiksel model için kalite kriterlerinin çıktısını göstermektedir. Model yeterlidir. Modelin açıkladığı dağılım oranı çok yüksektir, çünkü model son derece doğrudur, yanıt fonksiyonunun değişkenliği büyüktür ve rastgele değişkenliği nispeten küçüktür. Çoklu korelasyon katsayısı R 1'e çok yakındır ve kararlıdır, çünkü serbestlik derecesine göre ayarlandığında pratikte değişmez. İstatistiksel anlamlılık Rçok büyüktür, yani model oldukça bilgilendiricidir. Modelin yüksek bilgi içeriği Box ve Wetz kriterlerinin değeriyle de doğrulanmaktadır. Modelin katsayıları maksimum kararlıdır: durum numarası şart= 1. Ortaya çıkan model, tüm katsayıları ortonormal olduğundan, bilgi anlamında anlamsaldır: istatistiksel olarak bağımsızdırlar ve birbirleriyle mutlak değerde karşılaştırılabilirler. Katsayının işareti etkinin doğasını ve mutlak değerini - etkinin gücünü - gösterir. Ortaya çıkan model, konu alanında yorumlama için en uygun modeldir.

Elde edilen matematiksel modelin anlamsal özellikleri ve model etkilerinin her birinin, modelin açıkladığı toplam dağılım payına katılım payı dikkate alındığında, ölçüm sonucunun oluşumuna ilişkin anlamlı bir bilgi analizi gerçekleştirmek mümkündür. dijital ağırlıklar üzerinde çalıştı.

Simülasyon sonuçlarındaki 0,999557'ye eşit olan hakim pay, doğrusal bir ana etki tarafından yaratılmıştır. X 4 (katsayılı B 1 = -3715.13), yani. ölçülen ağırlık (Tablo 2). Doğrusal olmama z 4 (katsayılı B 5 = –19,07) nispeten küçüktür (3,16 10 –5) ve modele dahil edilmesi ölçüm doğruluğunu artırır. Çizgi efekti X 4 nispeten zayıf (3,19 10 -6) ikinci dereceden etkiyle etkileşime giriyor z 2 ortam sıcaklığı: etkileşim z 2 X 4 (B 8 = -9,27). Bu nedenle matematiksel model yalnızca ölçülen ağırlık faktörüne bağlıdır. X 4 aynı zamanda ortam sıcaklığının etkisini de içermelidir

ŷ 1 = 28968,90 – 3715,13X 4 – 19,07z 4 – 9,27z 2 X 4 ,

kimin faktörü X 2 yönetilemez.

Besleme voltajı tartım sonuçlarını doğrusal bir etki olarak değiştirir X 3 (B 2 = 45,21) ve ikinci dereceden etki z 3 (B 6 = -19,66). Toplam katılım payları 2,41·10 -4'tür.

Ortam sıcaklığı ikinci dereceden etki gösterir z 2 (B 3 = -37,52) ve doğrusal X 2 (B 4 \u003d 23,17) toplam katılım payı 1,60 10 -4 olan etkiler.

Ortam sıcaklığı ve besleme voltajı bir çift etkileşim oluşturur X 2 z 3 (B 7 \u003d -9,01) katılım payı 3,63 10 -6 ile.

Son iki etkinin istatistiksel önemine dair kanıt X 1 X 2 ve z 2 X 3, etkilerden önemli ölçüde daha az olduğu için kanıtlanamaz X 2 z 3 ve z 2 X 4 ve maalesef sunulan ilk verilerde tekrarlanan deneylerin sonuçlarına dayalı olarak tekrarlanabilirliğin dağılımı için makul bir değer yoktu.

Masada. Şekil 2, regresyon katsayılarının istatistiksel özelliklerini göstermektedir. Regresyon katsayılarının değerlerinin, verilen ortogonal kontrast formüllerine dahil edilmeyen ortogonal kontrastların normalleştirme katsayılarına bölündüğünü unutmayın. Bu, regresyon katsayılarının değerlerini standart hatalarına bölerken elde edilen değerlerin T-kriterler, bu kriterin Tabloda verilen doğru hesaplanmış değerlerinden farklıdır. 2.

Pirinç. 1. Artıkların Histogramı

Şek. 1, artıkların histogramını gösterir . Normal dağılım yasasına nispeten yakındır. Masada. Şekil 3'te artıkların sayısal değerleri ve sapma yüzdeleri gösterilmektedir. Artıkların zaman grafiği (Şekil 2), deneylerin zamanından (sırasından) artıklarda meydana gelen değişimin rastgele doğasını gösterir. Modelin doğruluğunun daha fazla arttırılması mümkün değildir. Artıkların bağımlılığının analizi ŷ (hesaplanan değer), en büyük artık dağılımın gözlemlendiğini gösterir. X 4 = 0 kgf ( sen= 32581...32730) ve X 4 = 100 kgf ( sen= 25124...25309). En küçük yayılma X 4 = 40 kgf. Ancak böyle bir sonucun istatistiksel anlamlılığı, tekrarlanabilirlik varyansının makul değerinin bilinmesini gerektirir.

Pirinç. 2. Kalıntı zaman çizelgesi

Matematik modelinde çeşitli sistematik hataların, doğrusal olmamaların, kontrol edilemeyen faktörlerin etkileşimlerinin hesaba katılması, ölçüm cihazının doğruluğunun ortalama mutlak yaklaşım hatası kriteri ile% 0,012'ye kadar - 13,3 kata kadar ve kritere göre arttırılmasını mümkün kılmıştır. kök-ortalama-kare yaklaşım hatasının 4,80'e kadar (Tablo 1) - 11,2 katı.

% cinsinden ortalama mutlak yaklaşım hatası için deney planı 2 2 //4 ve yalnızca ölçüm cihazları ve sistematik hataların matematiksel modeli olan ölçüm cihazları kullanılarak elde edilen sonuçlar Tablo'da sunulmaktadır. 4.

Deney 2 2 //4 ile elde edilen, modelin (1) yapısı ve ölçüm cihazının matematiksel model olmadan ve kullanımıyla işleyişinin sonuçları ile elde edilen ortalama mutlak yaklaşım hatası için matematiksel model, aşağıdakilere sahiptir: biçim

ŷ = 0,043 + 0,043X 1 ...0,037X 2 ...0,037X 1 X 2

Nerede X 1 - ortogonal kontrast faktörü X 1 (SI) - ölçüm cihazı;

x 2 - ortogonal kontrast faktörü X 2 (MM) - kullanılan ölçüm cihazının sistematik hatalarının matematiksel modeli;

X 1 X 2 - faktörlerin etkileşimi X 1 (SI) ve X 2 (MM).

Tablo 3

Artıklar ve bunların yüzdesel sapmaları

1 – Deneyim numarası; 2 – Deneye yanıt; 3 – Model yanıtı; 4 - Kalan;
5 – Sapma yüzdesi; 6 – Deneyim numarası; 7 – Deneye yanıt;
8 – Model yanıtı; 9 - Kalan; 10 – Sapma yüzdesi

Tablo 4

Deney planı 2 2 //4

Modelin katsayılarının analizi, X 2 (MM) faktörünün sistematik hatayı yalnızca x 2 ana etkisi (katsayı b 2 \u003d -0,037) biçiminde değil, aynı zamanda etkileşim (ortaya çıkma) nedeniyle de azalttığını göstermektedir. faktörlerin sayısı X 1 (SI) X 2 ( MM) (katsayı b 12 = -0,037).

Benzer bir model, karekök ortalama yaklaşım hatası kriteri için de elde edilebilir.

Elde edilen modelin (2) fiili uygulaması için, ortam sıcaklığı ve besleme gerilimine ilişkin bilgilerin sensörler kullanılarak ölçülüp kullanılması ve sonucun bir mikroişlemci kullanılarak hesaplanması gerekmektedir.

Altı bileşenli tensometrik ölçüm sistemlerinin matematiksel modellemesinin sonuçları

Altı bileşenli tensometrik ölçüm sistemlerinin matematiksel modellemesi ele alınmaktadır. Önerilen yöntem, Kiev Mekanik Fabrikasında (şu anda O.K. Antonov'un adını taşıyan Havacılık Bilimsel ve Teknik Kompleksi) tanıtıldı. Benzer ölçümlerin yapılması uygulamasında ilk kez, bu yöntem büyük ölçüde, kanallar arasındaki etkileşim şeklinde kendini gösteren ölçüm sistemlerinin fiziksel kusurlarının sonuçlarını, diğer kanalların üzerindeki etkisini dışlamayı mümkün kıldı. incelenen kanal, doğrusal olmayan durumlar ve çeşitli kanalların yapısal ilişkilerinin incelenmesi.

İşletmenin gerçek koşullarında matematiksel modelleme yönteminin kullanılması, deney süresinin 10...15 kat azaldığını gösterdi; ölçüm bilgilerinin işlenmesinin verimliliğini önemli ölçüde (60 kata kadar) artırır; Ölçüm deneylerine katılan sanatçıların sayısı 2...3 kat azalır.

Yukarıdaki yaklaşımı kullanmanın tavsiye edilebilirliğine ilişkin nihai sonuç, aşağıdaki karşılaştırılan seçeneklerin ekonomik verimliliğine bağlıdır.

Yüksek hassasiyetli bir ölçüm cihazıdır ve bu nedenle daha pahalıdır, oluşturulması ve bakımı gereken normalleştirilmiş (standart) koşullarda kullanılır.

Elde edilen matematiksel model kullanılarak standartlaştırılmamış (standart dışı) koşullarda kullanılan, daha az yüksek doğrulukta ölçüm araçları.

Ana sonuçlar

1) Ölçüm cihazının matematiksel modellemesinde başarılı bir şekilde uygulanan sistematik yaklaşım, dış faktörlerin (ortam sıcaklığı) ve iç ortamın (besleme voltajı) etkisinin dikkate alınmasını mümkün kılmıştır. Orijinal verilerden faydalı bilgilerin çıkarılmasının verimliliği %100 idi.

2) Ortaya çıkan ve yapısı araştırmacı tarafından önceden bilinmeyen çok faktörlü matematiksel modelde, ölçüm aracının doğrusal olmaması ve dış ve iç çevredeki faktörlerin (ortaya çıkışı) sistemik etkisi bir formda açıklanmaktadır. Konu alanında yorumlamaya uygundur. Gerçek çalışma koşullarında bu faktörlerin gerekli doğrulukta stabilizasyonu mümkün değildir.

3) Sistematik hataların matematiksel modelinin dikkate alınması, ölçümlerin doğruluğunun ortalama mutlak hata kriteri ile 13,3 kat ve kök-ortalama-kare hatası kriteri ile 11,2 kat arttırılmasını mümkün kılmıştır.

Bizim tekliflerimiz

Deneysel İstatistiksel Yöntemler ve Araştırma Laboratuvarı, çok faktörlü matematiksel modellerin elde edilmesi, analiz edilmesi ve yorumlanması için algoritmik yazılım sağlamaya ve belirli endüstriyel ve bilimsel problemlerin çözümünde kullanılmak üzere birikmiş deneyimi aktarmaya hazırdır.

Bu ve daha birçok alanda, yılların yarattığı algoritmaları, yazılımları, bilgi birikimini kullanarak sorunlarınızı çözmeye hazırız; uzmanlarınıza eğitim ve deneyim aktarımı.

Edebiyat:

1. Rybakov I.N. Radyoelektronik ölçümlerin doğruluğu ve metrolojik desteğinin temelleri. - M .: Standartların yayınevi, 1990. - 180 s.
2. Radchenko S.G. Makine mühendisliğinde teknolojik süreçlerin matematiksel modellenmesi - K.: CJSC "Ukrspetsmontazhproekt", 1998. - 274 s.
3. Alimov Yu.I., Shaevich A.B. Kantitatif kimyasal analiz sonuçlarının değerlendirilmesinin metodolojik özellikleri // Analitik Kimya Dergisi. - 1988. - Sayı. 10. - T.XLIII. - S. 1893 ... 1916.
4. PRIAM modellerinin (PRIAM) planlanması, regresyonu ve analizi. SCMC-90; 325, 660, 668 // Katalog. Ukrayna'nın yazılım ürünleri. Katalog. Ukrayna Yazılımı. - K.: JV "Teknor". - 1993. - C. 24 ... 27.
5. Zinchenko Başkan Yardımcısı, Radchenko S.G. Çok bileşenli tensometrik ölçüm sistemlerinin modellenmesi için yöntem. - K.: 1993. - 17 s. (Hazırlık / Ukrayna Bilimler Akademisi. V.M. Glushkov'un adını taşıyan Sibernetik Enstitüsü; 93 ... 31).

Üretim hataları olasılıksal (teorik) ve istatistiksel (deneysel) yöntemlerle tanımlanan rastgele değişkenler olarak değerlendirilebilir. Hatanın rastgele bir değişken olarak kapsamlı bir özelliği, karşılık gelen parametrelerin belirli değerlerine sahip dağıtım yasasıdır. Üretim hatalarının dağılımlarının açıklaması, aşağıdaki formülle hesaplanan olasılık yoğunluğuyla Gauss yasasıyla en tutarlıdır:

Nerede T ve σ – matematiksel beklenti ve standart sapma.

Gauss dağılımı, ±3σ aralığına karşılık gelen değer aralığındaki deneysel verilerle defalarca doğrulanmıştır. Bu dağılıma göre belirli bir noktadaki hizalama hatası εх yöne X aşağıdaki özelliklere sahip, normal yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişken olarak algılanır:

(3.16)

Nerede rx– yönünde komşu tek bölümlerin yer değiştirme değerleri arasındaki korelasyon katsayısı X; C2X- kombinasyon sayısı X 2'ye kadar, ifadeden hesaplanır

(3.15) ve (3.16) bağıntılarından, büyüklüklerin dağılımının olasılık yoğunluğunun analitik bir kaydı türetilir:

Hizalama hatalarının bir eksen boyunca noktaların koordinatlarına bağımlılığının, ilişkiden (3.18) takip eden grafikleri, Şekil 2'de gösterilmektedir. 3.59.

Pirinç. 3.59. Yöndeki katman hizalama hatalarının şeması X

İstatistiksel verilerin varlığında, uzunluktaki bir kesit için dağılımın (3.18) sayısal özellikleri bulunabilir. Lızgara aralıklı H. İlişkilerden bulunurlar:

(3.19)

Nerede Makine öğrenimi, σ L sırasıyla uzunluklu bir parçanın deformasyonunun matematiksel beklentisi ve varyansıdır. L; - kombinasyon sayısı L/ H 2'ye kadar.