Edukative:

Zhvillimi i aftësisë për të zgjidhur probleme kombinuese duke përdorur metodën e numërimit shterues të opsioneve;

Zhvillimi i aftësisë për të zbatuar teorinë matematikore në situata specifike;

Njohja e nxënësve me elementet e shkencave humane që lidhen me matematikën.

Zhvillimi i aftësisë për të zgjedhur në mënyrë të pavarur një metodë zgjidhjeje dhe aftësinë për të justifikuar zgjedhjen;

Zhvillimi i aftësisë për të zgjidhur problemet duke përdorur vetëm arsyetimin logjik;

Zhvillimi i aftësisë për të bërë një zgjedhje të një metode kodimi racional;

Zhvillimi i aftësive komunikuese dhe krijuese të nxënësve.

Nxitja e ndjenjës së përgjegjësisë për cilësinë dhe rezultatet e punës së kryer; Mbjellja e një qëndrimi të ndërgjegjshëm ndaj punës;

Krijo përgjegjësi për rezultatin përfundimtar.

tabela interaktive; fletëpalosje (vija me ngjyra: e bardhë, blu, e kuqe); kartat e detyrave.

Koha e organizimit. Mësimi i materialit të ri. Pjesa praktike. Reflektimi Shënimi Detyrë shtëpie

Koha e organizimit.

Përditësimi i temës dhe motivimi.

50 rubla, 100 rubla, 50 rubla, 100 rubla; 50 rubla, 50 rubla, 100 rubla, 100 rubla (rrëshqitje nr. 2 dhe nr. 3).

Mësimi i materialit të ri .

Kombinatorika është një degë e matematikës që i kushtohet zgjidhjes së problemeve të zgjedhjes dhe renditjes së elementeve të dhëna sipas rregullave të dhëna

Një pyetje e zakonshme në problemet e kombinuara është " Në sa mënyra ...?" ose

« Sa opsione …?»

Flamuri i zgjidhjes

Opsionet BSK, BKS, SBK, SKB, KBS, KSB.

Përgjigje: 6 opsione.

Rezulton se jo vetëm flamuri rus i ka këto tre ngjyra. Ka shtete, flamujt e të cilëve kanë të njëjtat ngjyra.

KBS - Luksemburg,

Holanda.

Francë SKB

Mësues: Le të gjejmë një rregull për zgjidhjen e problemeve të tilla përmes arsyetimit logjik.

Le të shohim shembullin e vijave me ngjyra. Le të marrim një shirit të bardhë - mund të riorganizohet 3 herë, të marrim një shirit blu - mund të riorganizohet vetëm 2 herë, sepse një nga vendet tashmë është zënë nga një shirit i bardhë, merrni një shirit të kuq - mund të vendoset vetëm një herë.

TOTALI: 3 x 2 x 1=6

Rregulli themelor i punës :

Rregulli i shumëzimit: nëse elementi i parë në një kombinim mund të zgjidhet në një mënyrë, pas së cilës elementi i dytë mund të zgjidhet në mënyrat b, atëherë numri i përgjithshëm i kombinimeve do të jetë i barabartë me a x b. . (rrëshqitje nr. 8)

Ushtrime për sytë. (rrëshqitje nr. 9)

Ushtrimi "Forma".

Vizatoni një katror, ​​rreth, trekëndësh, ovale, romb me sytë tuaj në drejtim të akrepave të orës dhe më pas në të kundërt.

Pjesa praktike

Mësues: Tani le të kalojmë te problemet matematikore. (shpërndajmë karta me detyra)

Një musketier mjaft i famshëm ka 3 kapele elegante, 4 mantele të mrekullueshme dhe 2 palë çizme të shkëlqyera në veshjet e tij. Sa opsione kostumesh mund të krijojë ai? (Ne zgjedhim një element nga tre grupe, domethënë bëjmë një "tre", që do të thotë se sipas rregullit të shumëzimit marrim 3 4 2 = 24 opsione kostumesh.)

Në ekipin e futbollit janë 11 persona. Është e nevojshme të zgjidhet një kapiten dhe zëvendësi i tij. Në sa mënyra mund të bëhet kjo? (Janë gjithsej 11 persona, që do të thotë se kapiteni mund të zgjidhet në 11 mënyra, kanë mbetur 10 lojtarë nga të cilët mund të zgjidhet zëvendëskapiteni. Pra, dyshja e kapitenit dhe zëvendësi i tij mund të zgjidhen në 11 10 = 110 mënyra.)

Sa numra të ndryshëm dyshifrorë mund të bëhen duke përdorur numrat 1, 4, 7, nëse numrat përsëriten? (Duhet të merrni një numër dyshifror - vetëm dy pozicione. Në pozicionin e parë mund të vendosni cilindo nga numrat e propozuar - 3 opsione për zgjedhjen, në pozicionin e dytë, duke marrë parasysh mundësinë e përsëritjes së një numri, ka edhe 3 opsione për të zgjedhur. Kjo do të thotë që ne krijojmë një çift numrash në 3 3 = 9 mënyra, d.m.th. ju merrni 9 numra.

Sa numra të ndryshëm treshifrorë mund të bëhen nga shifrat 1, 2, 3, 4, 5, me kusht që asnjë shifër të mos përsëritet? (Numri treshifror: pozicioni i parë - 5 opsione për numrat, pozicioni i dytë, duke marrë parasysh përjashtimin e përsëritjeve të numrave - 4 opsione, pozicioni i tretë - 3 opsione. Marrim 5 4 3 = 60 numra.)

Sa numra të ndryshëm dyshifrorë mund të bëhen nga numrat 0, 1, 2, 3 nëse numrat: a) mund të përsëriten; b) nuk mund të përsëritet? (a) Një numër dyshifror, si çdo numër shumëshifror, nuk mund të fillojë me 0, prandaj, në pozicionin e parë mund të vendosni vetëm 3 nga 4 shifrat e disponueshme, 3 zgjedhje, në pozicionin e dytë, duke marrë parasysh përsëritjen. , mund të vendosni cilindo nga shifrat - 4 opsione për të zgjedhur. Prandaj, rezulton 3 4 = 12 numra; b) Pozicioni i parë – 3 opsione, pozicioni i dytë – 3 opsione, sepse përsëritja është e përjashtuar. Ne marrim 3 3 = 9 numra.)

Kodi i sigurisë përbëhet nga pesë numra të ndryshëm. Sa opsione të ndryshme për të krijuar një shifër? (5 4 3 2 1 = 120 opsione.) Në sa mënyra mund të ulen 6 persona në një tavolinë me 6 takëm? (6 5 4 3 2 1 = 720 mënyra.)

6 pajisje?(6 5 4 3 2 1 = 720 mënyra.)

(8 7 6 5 4 = 6720 opsione.)

(Numrat e përdorur janë 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - gjithsej 10 shifra, duke përjashtuar sipas konventës 0 dhe 9 në fillim të numrit, duke marrë parasysh mundësinë e përsëritje, marrim 8 10 10 10 · 10 · 10 · 10 = 8,000,000 numra.)

Reflektimi

Mësues: Djema, mësimi ynë po përfundon. A mendoni se ia kemi arritur qëllimit tonë sot, pse? Çfarë ishte e vështirë në mësim, si mund ta përballosh? Mendoni dhe jepini vetes një shenjë për punën dhe punën tuaj, vendoseni vetë, asnjë nga djemtë nuk do ta shohë këtë shenjë, përpiquni të jeni të sinqertë me veten tuaj. A keni marrë pjesë plotësisht në mësim? Çfarë duhet bërë për të marrë rezultate më të mira?

Përveç kësaj, nxënësve u kërkohet t'u përgjigjen 3 pyetjeve të shpejta:

Në mësimin e sotëm isha... (e lehtë, zakonisht, e vështirë)

Unë… (mësova dhe mund të aplikoj, mësova dhe e kam të vështirë të aplikoj, nuk mësova)

Vetëvlerësimi im për mësimin...

Ju nuk duhet të nënshkruani përgjigjet e pyetjeve të mësipërme, sepse funksioni i tyre kryesor është të ndihmojnë mësuesin të analizojë mësimin dhe rezultatet e tij

Duke përmbledhur . Shënimi

Mësues: Më vjen shumë mirë që shumë prej jush punuan mirë sot dhe mësuan shumë gjëra të reja, por do të dëshiroja shumë që të gjithë të punoni shumë në shtëpi dhe të mos merrni nota të këqija në mësimin tjetër.

7. Detyrë shtëpie :

1) Krijoni një problem për klasën tuaj

2) Disa vende vendosën të përdorin simbole për flamurin e tyre kombëtar në formën e 3 vijave horizontale me gjerësi të ndryshme, ngjyra të ndryshme - e bardhë, blu, e kuqe. Sa vende mund të përdorin simbole të tilla, me kusht që secili vend të ketë flamurin e vet?

3) a) Sa numra dyshifrorë mund të bëhen nga numrat 1, 3, 5, 7, 9?

b) Sa numra dyshifrorë mund të bëhen nga numrat 1, 3, 5, 7, 9, me kusht që numrat të mos përsëriten

Mësues : Pra, u gëzova që ju njoha, interesohuni për matematikën, padyshim që do të reflektohet në një mënyrë pozitive në mendimet dhe veprimet tuaja. Mësimi ka mbaruar. Faleminderit të gjithëve. Mirupafshim.

Literatura:

E.A. Bunimovich, V.A. Bulychev. Probabiliteti dhe statistika në lëndën e matematikës shkollore të arsimit të përgjithshëm: leksione 1-4, 5 – 8. – M.: Universiteti Pedagogjik “Shtatori i Parë”, 2006.

Vilenkin N.Ya. Matematika. Klasa e V-të: Libër mësuesi për arsimin e përgjithshëm. institucionet / N.Ya. Vilenkin dhe të tjerët - M.: Mnemosyna, 2009.

Smykalova E.V. Kapituj shtesë për matematikën për nxënësit e klasave të 5-ta. SPb: SMIO. Shtypi, 2006.

klasa e 5-të. "Matematika-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich, 2004.

Detyrat (kartat)

Një musketier mjaft i famshëm ka 3 kapele elegante, 4 mantele të mrekullueshme dhe 2 palë çizme të shkëlqyera në veshjet e tij. Sa opsione kostumesh mund të krijojë ai?

Në ekipin e futbollit janë 11 persona. Është e nevojshme të zgjidhet një kapiten dhe zëvendësi i tij. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

Sa numra të ndryshëm dyshifrorë mund të bëhen duke përdorur numrat 1, 4, 7, nëse numrat përsëriten

Sa numra të ndryshëm treshifrorë mund të bëhen nga shifrat 1, 2, 3, 4, 5, me kusht që asnjë shifër të mos përsëritet?

Sa numra të ndryshëm dyshifrorë mund të bëhen nga numrat 0, 1, 2, 3 nëse numrat: a) mund të përsëriten; b) nuk mund të përsëritet?

Kodi i sigurisë përbëhet nga pesë numra të ndryshëm. Sa opsione të ndryshme për të krijuar një shifër?

Në sa mënyra mund të ulen 6 persona në një tavolinë në të cilën 6 pajisje?

Në klasën e pestë studiohen 8 lëndë. Sa opsione të ndryshme të orarit mund të krijohen për të hënën, nëse duhet të ketë 5 mësime në këtë ditë dhe të gjitha mësimet janë të ndryshme?

1. Sa numra telefoni të mundshëm me shtatë shifra mund të krijohen nëse përjashtoni numrat që fillojnë me 0 dhe 9?

Përgjigjet

Ne zgjedhim një element nga tre grupe, domethënë krijojmë një "tre", që do të thotë se sipas rregullit të shumëzimit marrim 3 4 2 = 24 opsione kostumesh.

Janë gjithsej 11 persona, që do të thotë se kapiteni mund të zgjidhet në 11 mënyra, duke lënë 10 lojtarë nga të cilët mund të zgjidhni një zëvendëskapiten. Pra, një çift, kapiteni dhe zëvendësi i tij, mund të zgjidhen në 11 10 = 110 mënyra.

Ju duhet të merrni një numër dyshifror - vetëm dy pozicione. Në pozicionin e parë mund të vendosni cilindo nga numrat e propozuar - 3 zgjedhje, në pozicionin e dytë, duke marrë parasysh mundësinë e përsëritjes së numrit, ka edhe 3 zgjedhje. Kjo do të thotë që ne krijojmë një çift numrash në 3 3 = 9 mënyra, d.m.th. ju merrni 9 numra.

Numri treshifror: pozicioni i parë - 5 opsione për numrat, pozicioni i dytë, duke marrë parasysh përjashtimin e përsëritjeve të numrave - 4 opsione, pozicioni i tretë - 3 opsione. Marrim 5 4 3 = 60 numra.

(a) Një numër dyshifror, si çdo numër shumëshifror, nuk mund të fillojë me 0, prandaj, në pozicionin e parë mund të vendosni vetëm 3 nga 4 shifrat e disponueshme, 3 zgjedhje, në pozicionin e dytë, duke marrë parasysh përsëritjen. , mund të vendosni cilindo nga shifrat - 4 opsione për të zgjedhur. Prandaj, rezulton 3 4 = 12 numra; b) Pozicioni i parë – 3 opsione, pozicioni i dytë – 3 opsione, sepse përsëritja është e përjashtuar. Marrim 3 3 = 9 numra.

5 4 3 2 1 = 120 opsione.

1. 6 5 4 3 2 1 = 720 mënyra

2. 8 7 6 5 4 = 6720 opsione

   Numrat e përdorur janë 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - gjithsej 10 shifra, duke përjashtuar sipas konventës 0 dhe 9 në fillim të numrit, duke marrë parasysh mundësinë e përsëritjes , marrim 8 10 10 10 10 10 10 = 8 000 000 numra.

Klasa: 5

Në këtë artikull do të shikojmë një nga mësimet e lëndës së matematikës në klasën e 5-të, kushtuar prezantimit të kombinatorikës.

Objektivat e mësimit.

arsimore:

Prezantoni nxënësit me një lloj problemi të ri (probleme kombinuese), metodat për zgjidhjen e tyre - numërimi i opsioneve të mundshme, ndërtimi i pemës së opsioneve të mundshme, zbatimi i rregullit të shumëzimit;

Prezantoni një koncept të ri - faktorial, konsolidoni atë kur zgjidhni probleme, shembuj, ekuacione.

arsimore:

Formimi i respektit për shokët, aftësia për të dëgjuar dhe dëgjuar bashkëbiseduesin

Formimi i një qëndrimi ndaj miqësisë si një nga vlerat më të rëndësishme njerëzore.

Zhvillimore:

Formimi i interesit për lëndën;

Formimi i aftësive kompjuterike;

Zhvillimi i të menduarit logjik;

Zhvillimi i aftësisë për të provuar dhe vërtetuar mendimin e dikujt.

Gjatë orëve të mësimit

1. Momenti organizativ

Mësuesi: Sot kemi një mësim të pazakontë. Ne do të zgjidhim probleme që lidhen me një nga degët më interesante të matematikës - kombinatorikë. Në shkencë dhe në jetën reale, shumë shpesh duhet të zgjidhim probleme, pyetja kryesore e së cilës është pyetja "Në sa mënyra mund të bëhet kjo?" Për shembull:

Në sa mënyra mund të vlerësoni një student në klasë?

Në sa mënyra mund të caktoni një monitor të klasës?

Në sa mënyra mund të caktoni dy shoqërues në klasë?

Kur zgjidhni probleme të tilla, duhet të bëni kombinime të ndryshme nga një numër i kufizuar elementesh dhe të numëroni numrin e kombinimeve. Probleme të tilla quhen probleme kombinatorike, dhe dega e matematikës në të cilën trajtohen probleme të tilla quhet kombinatorikë. Çfarë teme tjetër do t'i kushtohet mësimi do të zbuloni kur të kontrollojmë se si i keni bërë detyrat e shtëpisë.

2. Kontrollimi i kryerjes së detyrave të shtëpisë

(Në mësimin e mëparshëm, detyrat e shtëpisë janë përpiluar në atë mënyrë që të ketë saktësisht 6 detyra. Për shembull, në tekstin shkollor nga Vilenkin N.Ya. et al. kjo mund të jetë Nr. 693(a, c), 735(1 ), 765(a,b, V))

Në tabelë ka një tryezë dhe karta të bashkangjitura me magnet. Në kartat në njërën anë është përgjigja e detyrës së shtëpisë, në anën tjetër është letra.

Mësuesja: Le të kontrollojmë detyrat e shtëpisë. Hapni fletoret tuaja dhe merrni lapsat. Gjeni përgjigje për numrat e detyrave të shtëpisë.

Nxënësit shkojnë në tabelë një nga një, zgjedhin një kartë me përgjigjen dhe e lidhin në qelizën e tabelës nën numrin e detyrës. Fillimisht, kartat fiksohen në qelizat e tabelës me anën në të cilën është shkruar përgjigja, në mënyrë që nxënësit të kontrollojnë saktësinë e detyrave të tyre të shtëpisë. Të tjerët kontrollojnë përgjigjet e tyre në fletoret e tyre.

Opsionet e përgjigjeve (të vendosura në anët e ndryshme të kartave). Ka një numër qëllimisht të tepërt të kartave, kështu që disa nga përgjigjet janë të pasakta.

"5" - nëse gjithçka është e saktë

"4" - nëse një gabim

"3" - 2-3 gabime

"2" - më shumë se 3 gabime

Mësuesja: Le t'i kthejmë letrat, çfarë fjale morët? (MIQËSIA). Në të vërtetë, sot në mësim nuk do të zgjidhim vetëm probleme matematikore, do të përmirësojmë aftësitë e llogaritjes, por do të flasim edhe për miqësinë.

3. Material i ri.

Mësuesi: Pra, ne kemi thënë tashmë se sot do të mësojmë të zgjidhim problemet, pyetja kryesore e së cilës është pyetja "Në sa mënyra ...".

Ka tre fjalë "MIQËSI", "BIZNES", "DASHURI" (prerë copa letre me këto fjalë - 7 karta për secilën fjalë). Në sa mënyra mund të përdoren këto fjalë për të formuar një fjali?

Nxënësit ofrojnë opsione, këto opsione shkruhen në tabelë.

Përgjigje: 6 mënyra.

Mësuesi: Cili opsion mendoni se është i saktë nga pikëpamja e gjuhës ruse? (Miqësia e do biznesin). Si e kuptoni këtë deklaratë?

Mësuesi: Këtu ishte një numërim i plotë i të gjitha opsioneve të mundshme, ose, siç thonë zakonisht, të gjitha kombinimet e mundshme. Prandaj, ky është një problem i kombinuar. Le të mendojmë se si mund të shkruajmë dhe të zyrtarizojmë zgjidhjen e këtij problemi.

1 mënyrë. Le t'i shënojmë fjalët e propozuara me shkronja të mëdha:

MIKËSIA – D

DASHURON - L

DELO - E (le të marrim shkronjën e dytë të kësaj fjale)

Atëherë të gjitha metodat që keni emërtuar thjesht mund të renditen: DLE, DEL, LDE, ICE, EDL, ELD.

Rezulton se zgjidhja mund të formulohet në formën e një modeli të quajtur një pemë e opsioneve të mundshme. Së pari, është e qartë, si çdo foto, dhe, së dyti, ju lejon të merrni parasysh gjithçka pa humbur asgjë,

Nxënësit, nën drejtimin e mësuesit, hartojnë një diagram:

Metoda 3 (arsyetimi)

Një nga tre fjalët mund të vijë e para: MIKËSI, DASHURI, BIZNES. Nëse zgjidhet fjala e parë, atëherë vendi i dytë mund të jetë një nga dy fjalët e mbetura, dhe vendi i tretë mund të ketë vetëm një fjalë të mbetur. Pra, opsionet totale janë: .

Vini re se teknika e fundit quhet rregulli i shumëzimit.

Secila nga këto tre metoda ka avantazhet dhe disavantazhet e veta (diskutoni) Zgjedhja e zgjidhjes është e juaja! Megjithatë, le të vërejmë se rregulli i shumëzimit na lejon të zgjidhim një shumëllojshmëri të gjerë problemesh në një hap.

Anya ka 3 shoqe dhe i bleu secilit nga një çokollatë dhe dëshiron t'u japë atyre për festën. Në sa mënyra mund ta bëjë ajo këtë?

Zgjidhja: Nxënësit kryejnë zgjidhjen në tabelë (zgjidhja kryhet në 3 mënyra)

Në shoqërinë e miqve janë 6 persona: Andrey, Boris, Vitya, Grisha, Dima, Egor. Në mensën e shkollës ka 6 karrige në tavolinë. Miqtë vendosën të ulen në këto 6 karrige ndryshe çdo ditë teksa hanë mëngjes. Sa herë mund ta bëjnë këtë pa përsëritje?

Mësuesi: Cila metodë do të zgjedhim? (Nxënësit, nën drejtimin e mësuesit, duhet të arrijnë në përfundimin se kjo është mënyra e tretë - rregulli i shumëzimit).

Nxënësi harton zgjidhjen në tabelë.

Për lehtësi arsyetimi, do të supozojmë se miqtë ulen në tryezë një nga një. Ne do të supozojmë se Andrey është i pari që ulet në tryezë. Ai ka 6 opsione karrige. Boris është i dyti që ulet dhe zgjedh në mënyrë të pavarur një karrige nga 5 karriget e mbetura. Vitya e bën zgjedhjen e tij të tretën dhe ai do të ketë 4 karrige për të zgjedhur. Grisha do të ketë 3 opsione, Dima do të ketë 2 dhe Egor do të ketë 1. Duke përdorur rregullin e shumëzimit, marrim:

Përgjigja është 720 ditë ose gati 2 vjet.

Mësuesja: Siç e shohim, kushtet e problemeve janë të ndryshme, por zgjidhjet janë në thelb të njëjta. Prandaj, është e përshtatshme të futet i njëjti shënim për këto përgjigje.

Përkufizimi: prodhimi i të gjithë numrave natyrorë nga 1 deri në n përfshirës quhet n - faktorial dhe shënohet me simbolin n!

Shenjë P! lexohet “En factorial”, që fjalë për fjalë nga anglishtja do të thotë “që përbëhet nga P shumëzues.” Le të vërejmë një veçori të rëndësishme të kësaj vlere - rritjen e saj të shpejtë.

Llogaritni:

a) 1!; b) 2!; në 3!; d) 4!; e) 5!; e) 10!

Ata mendojnë se është 0! =1 (shkruaj)

Detyra 5.

Mësuesja: MIKËSIA është një nga pasuritë më të rëndësishme që një person mund të ketë. Jo më kot kompozohen poezi dhe këngë për miqësinë, shkruhen fjalë të urta dhe thënie. Cilat fjalë të urta dhe thënie për miqësinë dini?

Nje mik ne nevoje eshte nje mik i vertete.
Mos ki njëqind rubla, por ki njëqind miq.
Ka siguri në numra.
Vdis vetë, por ndihmo shokun tënd.
Një mik i vjetër është më i mirë se dy të rinj.
Jeta është e vështirë pa një mik.

Te lumte! Është shumë e rëndësishme që çdo person të ketë miq të mirë dhe të vërtetë. Le të zgjidhim disa shembuj duke përdorur një koncept të ri - faktorial dhe të mësojmë një proverb të ri për miqësinë.

Kartat me përgjigje plotësohen me rezervë (ka karta me numra që nuk janë përgjigje).

Tabela pas mbushjes:

Detyra 6.

4 miq erdhën për të vizituar Vasya, dhe ata do të shikojnë një film të ri. Vasya ka një karrige në dhomën e tij dhe gjithashtu solli 4 karrige nga kuzhina. Ai padyshim që do ta marrë vetë karrigen dhe do t'i ulë miqtë e tij në karrige. Vasya llogariti se ai mund t'i ulte miqtë e tij në 24 mënyra.

mësuesi: A e llogariti saktë Vasya? (Po, nga pikëpamja matematikore)

A e bëri mirë? (Diskutohet aspekti moral i problemit)

4. Momenti i edukimit fizik.

Mësuesja: Tani le të pushojmë pak dhe për këtë do të bëjmë një ushtrim fizik për një minutë. Nëse e lexova saktë shprehjen, atëherë ngriheni dhe ngrini duart lart, dhe nëse është gabim, uluni me duart tuaja anash.

U ngritëm. Le të fillojmë, kini kujdes.

6. Punë e pavarur.

Mësuesi: Epo, tani që kemi pasur një pushim të mirë, le të kontrollojmë se çfarë kemi mësuar të bëjmë sot në klasë. Për ta bërë këtë, ne do të bëjmë punën tonë.

7. Detyrë shtëpie.

Dilni, shkruani kushtet dhe zgjidhjet e 2 problemeve kombinuese me temën "Familja". Vizatoni në fletë A4, mund të bëni vizatime për detyrat.

8. Përmbledhja e mësimit.

Le të përmbledhim mësimin.

Çfarë të re mësuat? (Ne morëm rregullin e shumëzimit, shqyrtuam modelin e tij gjeometrik - një pemë opsionesh, prezantuam një koncept të ri - faktorial)

Çfarë ju pëlqeu?

Çfarë mbani mend?

Notat e mësimit.

Literatura:

1. E.A. Bunimovich, V.A. Bulychev. Probabiliteti dhe statistika në lëndën e matematikës shkollore të arsimit të përgjithshëm: leksione 1-4, 5 – 8. – M.: Universiteti Pedagogjik “Shtatori i Parë”, 2006.
2. Vilenkin N.Ya. Matematika. Klasa e V-të: Libër mësuesi për arsimin e përgjithshëm. institucionet / N.Ya. Vilenkin dhe të tjerët - M.: Mnemosyna, 2009.
3. Smykalova E.V. Kapituj shtesë për matematikën për nxënësit e klasave të 5-ta. SPb: SMIO. Shtypi, 2006.
4. Mordkovich A.G. Ngjarjet. Probabilitetet. Përpunimi statistikor i të dhënave: Shtesë. Paragrafë për lëndën e algjebrës 7-9 klasa. institucionet arsimore / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - M.: Mnemosyne, 2006.

I kushtohet zgjidhjes së problemeve të përzgjedhjes dhe renditjes së elementeve të një grupi të caktuar, zakonisht të fundëm, në përputhje me rregullat e dhëna. Për shembull, sa mënyra mund të zgjidhni 6 letra nga një kuvertë me 36 letra, ose sa mënyra mund të bëni një radhë të përbërë nga 10 persona, etj. Çdo rregull në kombinatorikë përcakton një mënyrë për të ndërtuar një ndërtim të caktuar të përbërë nga elementë të grupit origjinal dhe të quajtur kombinim. Qëllimi kryesor i kombinatorikës është të numërojë numrin e kombinimeve që mund të bëhen nga elementët e grupit origjinal në përputhje me një rregull të caktuar. Shembujt më të thjeshtë të konstruksioneve kombinuese janë permutacionet, vendosjet dhe kombinimet.

Lindja e kombinatorikës lidhur me punën B. Pascal dhe P. Fermat mbi lojërat e fatit, kontribute të mëdha u dhanë nga Leibniz, Bernoulli dhe Euler. Aktualisht, interesi për kombinatorikë është i lidhur me zhvillimin e kompjuterëve. Në kombinatorikë, do të na interesojë mundësia e përcaktimit të nënbashkësive sasiore të ndryshme të bashkësive të fundme për llogaritjen e probabilitetit në mënyrën klasike.

Për të përcaktuar kardinalitetin e grupit që korrespondon me një ngjarje të veçantë, është e dobishme të kuptohen dy rregulla të kombinatorikës: rregulli i prodhimit dhe rregulli i shumës (ndonjëherë i quajtur parimet e shumëzimit dhe mbledhjes, respektivisht).

Rregulli i produktit: le nga disa grupe të fundme

Mund të zgjidhet objekti i parë k 1 mënyra,

objekti i dytë - k 2 mënyra

n- objekti i - k n mënyrat. (1.1)

Pastaj një grup arbitrar të listuara n objektet nga ky grup mund të zgjidhen k 1 , k 2 , …, k n mënyrat.

Shembulli 1. Sa numra treshifrorë ka me shifra të ndryshme?

Zgjidhje. Në sistemin dhjetor ka dhjetë shifra: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Vendi i parë mund të jetë cilido nga nëntë shifrat (përveç zeros). Në vendin e dytë është ndonjë nga 9 shifrat e mbetura, përveç asaj të zgjedhur. Vendi i fundit është ndonjë nga 8 shifrat e mbetura.

Sipas rregullit të prodhimit, 9·9·8 = 648 numra treshifrorë kanë shifra të ndryshme.

Shembulli 2. Nga pika Ka 3 rrugë që të çojnë në një pikë dhe 4 rrugë nga pika në pikë. Nga sa mënyra mund të udhëtoni në përmes ?

Zgjidhje. Në pikë ka 3 mënyra për të zgjedhur rrugën për në pikën, dhe në pikën ka 4 mënyra për të arritur në pikën. Sipas parimit të shumëzimit, ekzistojnë 3x4 = 12 mënyra për të marrë nga një pikë për të treguar .

Rregulli i shumës: nëse plotësohen kushtet (1.1), mund të zgjidhet ndonjë nga objektet k 1 +k 2 +…+k n mënyrat.

Shembulli 3. Sa mënyra ka për të zgjedhur një laps nga një kuti që përmban 5 lapsa të kuq, 7 blu dhe 3 jeshil?

Zgjidhje. Një laps, sipas rregullit të shumës, mund të zgjidhet në 5+7+3 = 15 mënyra.

Shembulli 4. Lëreni të dalë nga qyteti Qyteti mund të arrihet me një rrugë ajrore, dy linja treni dhe tre linja autobusësh. Sa mënyra mund të merrni nga qyteti? në qytet ?

Zgjidhje. Këtu plotësohen të gjitha kushtet e parimit të mbledhjes, prandaj, në përputhje me këtë parim, marrim 1+2+3 = 6 mënyra.

Le të shqyrtojmë një shembull që ilustron ndryshimin midis parimeve të shumëzimit dhe mbledhjes.

Shembulli 5. Një dyqan elektronik shet tre marka televizorë dhe dy lloje VCR. Blerësi ka mundësinë të blejë një TV ose një VCR. Në sa mënyra mund të bëjë një blerje? Sa komplete të ndryshme që përmbajnë një televizor dhe një magnetofon mund të blihen në këtë dyqan nëse blerësi do të blejë një TV dhe një VCR në çifte?

Zgjidhje. Një televizor mund të zgjidhet në tre mënyra dhe një magnetofon në dy mënyrat e tjera. Më pas mund të blihet një televizor ose magnetofon në 3+2=5 mënyra.

Në rastin e dytë, një TV mund të zgjidhet në tre mënyra, pas së cilës VCR mund të zgjidhet në dy mënyra. Prandaj, për shkak të parimit të shumëzimit, mund të blini një TV dhe VCR në 3 × 2 = 6 mënyra.

Le të shqyrtojmë tani shembuj në të cilët zbatohen të dy rregullat e kombinatorikës: si parimi i shumëzimit ashtu edhe parimi i mbledhjes.

Shembulli 6. Në një shportë ka 12 mollë dhe 10 portokall. Vanya zgjedh ose një mollë ose një portokall. Pas së cilës Nadya zgjedh një mollë dhe një portokall nga frutat e mbetura. Sa zgjedhje të tilla janë të mundshme?

Zgjidhje. Vanya mund të zgjedhë një mollë në 12 mënyra, një portokall në 10 mënyra. Nëse Vanya zgjedh një mollë, atëherë Nadya mund të zgjedhë një mollë në 11 mënyra dhe një portokall në 10 mënyra. Nëse Vanya zgjedh një portokall, atëherë Nadya mund të zgjedhë një mollë në 12 mënyra dhe një portokall në 9 mënyra. Kështu, Vanya dhe Nadya mund të bëjnë zgjedhjen e tyre në mënyra.

Shembulli 7. Janë 3 letra, secila prej të cilave mund të dërgohet në 6 adresa. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

Zgjidhje. Në këtë problem duhet të kemi parasysh tre raste:

a) të gjitha letrat dërgohen në adresa të ndryshme;

b) të gjitha letrat dërgohen në një adresë;

c) në një adresë dërgohen vetëm dy letra.

Nëse të gjitha letrat dërgohen në adresa të ndryshme, atëherë numri i metodave të tilla gjendet lehtësisht nga parimi i shumëzimit: n 1 = 6×5×4 = 120 mënyra. Nëse të gjitha letrat dërgohen në një adresë, atëherë do të ketë metoda të tilla n 2 = 6. Kështu, mbetet të shqyrtohet vetëm rasti i tretë, kur në një adresë dërgohen vetëm 2 letra. Ne mund të zgjedhim një letër në 3 mënyra dhe mund ta dërgojmë në çdo adresë të zgjedhur në 6 mënyra. Dy letrat e mbetura mund t'i dërgojmë në adresat e mbetura në 5 mënyra. Prandaj, ne mund të dërgojmë vetëm dy letra në një adresë n 3 =3×6×5=90 mënyra. Kështu, ju mund të dërgoni 3 letra në 6 adresa në përputhje me parimin e shtimit

mënyrat.

Në mënyrë tipike, kombinatorika konsideron një eksperiment të idealizuar të përzgjedhjes së rastësishme. k elementet nga n. Në këtë rast, elementët: a) nuk kthehen mbrapsht (skema e përzgjedhjes pa kthime); b) kthim prapa (skema e përzgjedhjes me kthim).

1. Skema e përzgjedhjes pa kthime

Akomodimi nga n elementet nga kështë ndonjë grup i porositur i k elementet që i përkasin n- grup elementar. Marrëveshjet e ndryshme ndryshojnë nga njëra-tjetra ose në rendin e elementeve ose në përbërje.

Numri i vendosjeve nga n elementet nga k shënohet dhe llogaritet me formulë

(1.2)

Ku n! = 1×2×3×…× n, 1! = 1, 0! = 1.

Shembulli 8. Në konkurs marrin pjesë 10 persona, tre prej tyre do të zënë vendin e parë, të dytë, të tretë. Sa opsione të ndryshme ka?

Zgjidhje. Në këtë rast, renditja në të cilën janë shpërndarë vendet është e rëndësishme. Numri i opsioneve të ndryshme është i barabartë

Rirregullimi nga n elementet quhen vendosje e n elementet nga n. Numri i permutacioneve nga n elementet qëndrojnë për Pn dhe llogaritet duke përdorur formulën

(1.3)

Shembulli 9. Sa mënyra ka për të rregulluar 10 libra në një raft?

Zgjidhje. Numri i përgjithshëm i metodave të rregullimit përcaktohet si numri i permutacioneve (1.3) prej 10 elementësh dhe është i barabartë me R 10 = 10! = 3628 800.

2. Skema e përzgjedhjes me kthime

Nëse gjatë zgjedhjes k elementet nga n, elementet kthehen dhe porositen, pastaj thone se kjo vendosjet me përsëritje .

Numri i vendosjeve me përsëritje:

Shembulli 11. Hoteli ka 10 dhoma, secila prej të cilave mund të strehojë katër persona. Sa opsione akomodimi ka për katër të ftuar që vijnë?

Zgjidhje. Secili i ftuar pasues nga 4 mund të vendoset në cilëndo nga 10 dhomat, pasi është duke u konsideruar një përvojë e idealizuar, kështu që numri i përgjithshëm i vendosjeve, sipas formulës së vendosjes me përsëritje (1.5), është i barabartë me

.

Nëse gjatë zgjedhjes k elementet nga n elementet kthehen pa renditje të mëtejshme, atëherë thuhet se është kështu kombinime me përsëritje. Numri i kombinimeve me përsëritje nga n elementet nga k përcaktuar:

Shembulli 12. Dyqani shet 10 lloje tortash. Një tjetër blerës rrëzoi një çek për tre ëmbëlsira. Duke supozuar se çdo grup mallrash është po aq i mundshëm, përcaktoni numrin e porosive të mundshme.

Zgjidhje. Numri i porosive po aq të mundshme sipas formulës (1.6) është i barabartë me

.

Kombinatorika është një degë e matematikës. Konceptet dhe formulat bazë të kombinatorikës si shkencë zbatohen në të gjitha sferat e jetës.

Nuk është për t'u habitur që është përfshirë në programin e klasës së 11-të, si dhe në provimet pranuese në shumë universitete në Federatën Ruse. Themelet e saj qëndrojnë në artet e aplikuara të shumë sferave të veprimtarisë njerëzore.

Historia e saj shkon më shumë se 6 shekuj. Problemet e para kombinuese u shfaqën në veprat e filozofëve dhe matematikanëve të Mesjetës.

Përfaqësuesit e asaj bote shkencore u përpoqën të gjenin metoda për zgjidhjen e problemeve të tilla, rregullat dhe konceptet e tyre themelore dhe të vendosnin formula dhe ekuacione unike për ata që nuk i kishin hasur ende. Një informacion i tillë në kohën tonë quhet informacion "për dummies".

Le të përpiqemi të kuptojmë aspektet e kësaj fushe të shkencës: cilat janë elementet, vetitë, rregullat, metodat dhe zbatimi kryesor i saj në jetën tonë? Sigurisht, është e pamundur të mbulohet e gjithë zona në një artikull. Prandaj, të gjitha gjërat më themelore do të paraqiten më poshtë.

Çfarë është kombinatorika në matematikë

Thelbi i këtij termi jepet nga librat e viteve të kaluara: kjo degë e matematikës që merret me veprime në shumë elementë.

Në internet ka tekste për shkenca kompjuterike dhe matematikë për fëmijë dhe nxënës, koleksione materialesh dhe problemesh për fillestarët, ku kombinatorika "argëtuese" shpjegohet në një mënyrë të arritshme. Ne duhet të kuptojmë me vendosmëri se si t'i zgjidhim probleme të tilla.

Në klasat fillore, problemet për këtë temë zgjidhen në klube shtesë, dhe në shkolla me studim të thelluar të matematikës - në mësimet kryesore. Përveç kësaj, problemet e kombinatorikës përfshihen në olimpiada në të gjitha nivelet.

Konceptet Bazë

Ka disa prej tyre:

1. Elementi– çdo objekt ose fenomen i përfshirë në grupin e dëshiruar.
2. Kombinimi– nënbashkësi të vendosura në një rend arbitrar në grupin origjinal.
3. Rirregullimi- elementet në një grup janë në një rend të përcaktuar rreptësisht.
4. Akomodimi– nënbashkësi të renditura në grupin origjinal.

Rregulli i produktit

Është një nga rregullat bazë kur zgjidhen probleme të tilla dhe tingëllon si kjo:

Kur zgjidhni elementin A nganmetodat dhe përzgjedhja e elementit B ngamNë disa mënyra është e vërtetë që është e mundur të zgjedhësh një çift A dhe B në të njëjtën kohën* mmënyrat.

Le të shohim shembuj specifikë.

Detyra nr. 1.

Kutia përmban 2 topa dhe 6 litarë kërcimi. Sa mënyra ka për të marrë 1 top dhe 1 litar kërcimi?

Përgjigja është e thjeshtë: 2 * 6 = 12.

Detyra nr. 2.

Ka 1 kub, 2 topa, 3 lule dhe 4 karamele. Në sa mënyra mund të vizatoni një kub, një top, një lule dhe një karamele?

Zgjidhja është e ngjashme: 1 * 2 * 3 * 4 = 24.

Për më tepër, ana e majtë mund të shkruhet shumë më thjeshtë: 4!

! në këtë rast nuk është një shenjë pikësimi, por një faktorial. Duke e përdorur atë, ju mund të llogaritni opsione më komplekse dhe të zgjidhni probleme të vështira (ka formula të ndryshme, por më shumë për këtë më vonë).

Detyra nr. 3.

Sa numra dyshifrorë mund të bëhen nga 2 shifra?

Përgjigje: 2! = 2.

Detyra nr 4.

Sa numra dhjetëshifrorë mund të bëhen nga 10 shifra?

Rregulli i shumës

Ky është gjithashtu një rregull bazë i kombinatorikës.

Nëse A mund të zgjidhetnherë, dhe B -mherë, atëherë A ose B mund të zgjidhet (n+ m) një herë.

Detyra nr 5.

Kutia përmban 5 lapsa të kuq, 3 të verdhë, 7 jeshil, 9 të zinj. Sa mënyra ka për të nxjerrë çdo 1 laps?

Përgjigje: 5 + 3 + 7 + 9 = 24.

Kombinime me dhe pa përsëritje

Ky term i referohet kombinimeve në çdo rend nga një grup prej n nga m elemente.

Numri i kombinimeve është i barabartë me numrin e kombinimeve të tilla.

Detyra nr. 6.

Kutia përmban 4 fruta të ndryshme. Në sa mënyra mund të merrni 2 fruta të ndryshme në të njëjtën kohë?

Zgjidhja është e thjeshtë:

Ku është 4! - një kombinim i 4 elementeve.

Me përsëritje pak më e ndërlikuar, kombinimet llogariten duke përdorur formulën e mëposhtme:

Detyra nr 7.

Le të marrim të njëjtin rast, por me kusht që një frut të kthehet në kuti.

Në këtë rast:

Vendosjet me dhe pa përsëritje

Ky përkufizim nënkupton një grup m elementësh nga një grup prej n elementësh.

Detyra nr 8.

Nga 3 shifra, ju duhet të zgjidhni 2 për të marrë numra të ndryshëm dyshifrorë. Sa opsione?

Përgjigja është e thjeshtë:

Por çfarë lidhje me me përsëritje? Këtu, çdo element mund të vendoset disa herë! Në këtë rast, formula e përgjithshme do të duket si kjo:

Detyra nr. 9.

Nga 12 shkronja të alfabetit latin dhe 10 shifra të serisë natyrore, ju duhet të gjeni të gjitha opsionet për hartimin e kodit të rajonit të automobilave.

Permutacione me dhe pa përsëritje

Ky term i referohet të gjitha kombinimeve të mundshme të një grupi n elementesh.

Detyra nr 10.

Sa numra të mundshëm 5 shifror mund të bëhen nga 5 shifra? Po gjashtë shifra nga 6 shifra? Shtatë shifra nga 7 shifra?

Zgjidhjet, sipas formulës së mësipërme, janë si më poshtë:

Por çfarë lidhje me me përsëritje? Nëse në një grup të tillë ka elementë me rëndësi të njëjtë, atëherë do të ketë më pak ndërrime!

Detyra nr. 11.

Kutia përmban 3 lapsa identikë dhe një stilolaps. Sa permutacione mund të bëni?

Përgjigja është e thjeshtë: 4! / (3! * 1!) = 4.

Probleme kombinuese me zgjidhje

Shembuj të të gjitha llojeve të mundshme të problemeve me zgjidhje janë dhënë më lart. Këtu do të përpiqemi të trajtojmë raste më komplekse të hasura në jetën tonë.

konkluzioni

Ia vlen të studiohet kjo shkencë, pasi në epokën e modernizimit të shpejtë të teknologjisë do të kërkohen specialistë që mund të japin zgjidhje të ndryshme për disa probleme praktike.

Duhet të theksohet se kombinatorika është një degë e pavarur e matematikës së lartë (dhe jo pjesë e terverit) dhe për këtë disiplinë janë shkruar tekste me peshë, përmbajtja e të cilave, nganjëherë, nuk është më e lehtë se sa algjebra abstrakte. Sidoqoftë, një pjesë e vogël e njohurive teorike do të na mjaftojë dhe në këtë artikull do të përpiqem të analizoj në një formë të arritshme bazat e temës me probleme tipike kombinuese. Dhe shumë prej jush do të më ndihmoni ;-)

Çfarë do të shkojmë për të bërë? Në një kuptim të ngushtë, kombinatorika është llogaritja e kombinimeve të ndryshme që mund të bëhen nga një grup i caktuar diskrete objektet. Objekte kuptohen si çdo objekt ose qenie e gjallë e izoluar - njerëz, kafshë, kërpudha, bimë, insekte, etj. Në të njëjtën kohë, kombinatorikës nuk i intereson aspak që grupi përbëhet nga një pjatë qull bollguri, një saldim dhe një bretkosë kënetore. Është thelbësisht e rëndësishme që këto objekte të mund të numërohen - ka tre prej tyre (diskrete) dhe e rëndësishme është që asnjëra prej tyre nuk është identike.

Jemi marrë shumë, tani për kombinimet. Llojet më të zakonshme të kombinimeve janë permutacionet e objekteve, përzgjedhja e tyre nga një grup (kombinimi) dhe shpërndarja (vendosja). Le të shohim se si ndodh kjo tani:

Permutacione, kombinime dhe vendosje pa përsëritje

Mos kini frikë nga termat e paqartë, veçanërisht pasi disa prej tyre nuk janë vërtet shumë të mira. Le të fillojmë me bishtin e titullit - çfarë do të thotë " pa përsëritje"? Kjo do të thotë se në këtë seksion do të shqyrtojmë grupe që përbëhen nga të ndryshme objektet. Për shembull, ... jo, nuk do të ofroj qull me saldator dhe një bretkocë, më mirë të kesh diçka më të shijshme =) Imagjinoni që një mollë, një dardhë dhe një banane të jenë materializuar në tryezën para jush ( nëse i keni, situata mund të simulohet në realitet). Ne shtrojmë frutat nga e majta në të djathtë në rendin e mëposhtëm:

mollë / dardhë / banane

Pyetja e parë: Në sa mënyra mund të riorganizohen?

Një kombinim tashmë është shkruar më lart dhe nuk ka probleme me pjesën tjetër:

mollë / banane / dardhë
dardhë / mollë / banane
dardhë / banane / mollë
banane / mollë / dardhë
banane / dardhë / mollë

Total: 6 kombinime ose 6 permutacionet.

Mirë, nuk ishte e vështirë të rendisje të gjitha rastet e mundshme, por po sikur të kishte më shumë objekte? Me vetëm katër fruta të ndryshme, numri i kombinimeve do të rritet ndjeshëm!

Ju lutemi hapni materialin e referencës (është i përshtatshëm për të printuar manualin) dhe në pikën nr.2 gjeni formulën për numrin e permutacioneve.

Asnjë sherr - 3 objekte mund të riorganizohen në mënyra të ndryshme.

Pyetja dy: Në sa mënyra mund të zgjidhni a) një frut, b) dy fruta, c) tre fruta, d) të paktën një frut?

Pse të zgjidhni? Kështu që ne kemi krijuar një oreks në pikën e mëparshme - për të ngrënë! =)

a) Një frut mund të zgjidhet, natyrisht, në tre mënyra - merrni ose një mollë, një dardhë ose një banane. Llogaritja formale kryhet sipas formula për numrin e kombinimeve:

Hyrja në këtë rast duhet të kuptohet si më poshtë: "në sa mënyra mund të zgjidhni 1 frut nga tre?"

b) Le të rendisim të gjitha kombinimet e mundshme të dy frutave:

mollë dhe dardhë;
mollë dhe banane;
dardhë dhe banane.

Numri i kombinimeve mund të kontrollohet lehtësisht duke përdorur të njëjtën formulë:

Hyrja kuptohet në mënyrë të ngjashme: "në sa mënyra mund të zgjidhni 2 fruta nga tre?"

c) Dhe së fundi, ekziston vetëm një mënyrë për të zgjedhur tre fruta:

Nga rruga, formula për numrin e kombinimeve mbetet kuptimplotë për një kampion bosh:
Në këtë mënyrë, ju nuk mund të zgjidhni asnjë frut të vetëm - në fakt, mos merrni asgjë dhe kjo është ajo.

d) Në sa mënyra mund të merrni të paktën një fruta? Kushti "të paktën një" nënkupton që ne jemi të kënaqur me 1 frut (ndonjë) ose çdo 2 fruta ose të tre frutat:
duke përdorur këto metoda mund të zgjidhni të paktën një frut.

Lexuesit që kanë studiuar me kujdes mësimin hyrës mbi teoria e probabilitetit, tashmë kemi hamendësuar diçka. Por më shumë për kuptimin e shenjës plus më vonë.

Për t'iu përgjigjur pyetjes tjetër më duhen dy vullnetarë... ...Epo, meqë askush nuk dëshiron, atëherë do t'ju thërras në bord =)

Pyetja e tretë: Në sa mënyra mund t'i shpërndani nga një frut Dashës dhe Natashës?

Për të shpërndarë dy fruta, së pari duhet t'i zgjidhni ato. Sipas paragrafit "be" të pyetjes së mëparshme, kjo mund të bëhet në mënyra, unë do t'i rishkruaj ato:

mollë dhe dardhë;
mollë dhe banane;
dardhë dhe banane.

Por tani do të ketë dy herë më shumë kombinime. Konsideroni, për shembull, çiftin e parë të frutave:
Ju mund ta trajtoni Dasha me një mollë, dhe Natasha me një dardhë;
ose anasjelltas - Dasha do të marrë dardhën, dhe Natasha do të marrë mollën.

Dhe një ndërrim i tillë është i mundur për çdo palë frutash.

Merrni parasysh të njëjtin grup studentësh që shkoi në vallëzim. Në sa mënyra mund të çiftohen një djalë dhe një vajzë?

Në mënyra që ju mund të zgjidhni 1 të ri;
mënyra se si mund të zgjidhni 1 vajzë.

Kështu, një i ri Dhe Ju mund të zgjidhni një vajzë: mënyrat.

Kur zgjidhet 1 objekt nga çdo grup, parimi i mëposhtëm për numërimin e kombinimeve është i vlefshëm: " çdo një objekt nga një grup mund të formojë një çift me çdo objekt i një grupi tjetër”.

Kjo do të thotë, Oleg mund të ftojë ndonjë nga 13 vajzat për të kërcyer, Evgeny gjithashtu mund të ftojë ndonjë nga trembëdhjetë, dhe pjesa tjetër e të rinjve kanë një zgjedhje të ngjashme. Gjithsej: çifte të mundshme.

Duhet të theksohet se në këtë shembull, "historia" e formimit të çiftit nuk ka rëndësi; megjithatë, nëse marrim parasysh iniciativën, numri i kombinimeve duhet të dyfishohet, pasi secila nga 13 vajzat mund të ftojë edhe çdo djalë për të kërcyer. E gjitha varet nga kushtet e një detyre të veçantë!

Një parim i ngjashëm vlen për kombinime më komplekse, për shembull: në sa mënyra mund të zgjidhni dy të rinj? Dhe dy vajza për të marrë pjesë në një skemë të KVN?

Bashkimi DHE lë të kuptohet qartë se kombinimet duhet të shumëzohen:

Grupe të mundshme artistësh.

Me fjale te tjera, secili një palë djemsh (45 çifte unike) mund të performojnë me ndonjë një palë vajzash (78 çifte unike). Dhe nëse marrim parasysh shpërndarjen e roleve midis pjesëmarrësve, do të ketë edhe më shumë kombinime. ...Dua shumë, por prapë do të përmbahem nga vazhdimi për të mos ju rrënjosur një neveri ndaj jetës studentore =).

Rregulli për shumëzimin e kombinimeve vlen edhe për një numër më të madh shumëzuesish:

Problemi 8

Sa numra treshifrorë janë të plotpjesëtueshëm me 5?

Zgjidhje: për qartësi, le ta shënojmë këtë numër me tre yje: ***

NË qindra vend Mund të shkruani cilindo nga numrat (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ose 9). Zero nuk është i përshtatshëm, pasi në këtë rast numri pushon së qeni treshifror.

Por në dhjetra vend(“në mes”) mund të zgjidhni cilindo nga 10 shifrat: .

Sipas kushtit, numri duhet të plotpjesëtohet me 5. Një numër pjesëtohet me 5 nëse mbaron me 5 ose 0. Kështu, mjaftohemi me 2 shifra në shifrën më pak të rëndësishme.

Në total, ka: numra treshifrorë që pjesëtohen me 5.

Në këtë rast, vepra deshifrohet si më poshtë: “9 mënyra me të cilat mund të zgjidhni një numër qindra vend Dhe 10 mënyra për të zgjedhur një numër në dhjetra vend Dhe 2 mënyra për të hyrë shifra e njësive»

Ose edhe më e thjeshtë: " secili nga 9 shifra në qindra vend kombinon me secilin prej 10 shifrash dhjetra vend dhe me secilin nga dy shifra në shifra e njësive».

Përgjigju: 180

Dhe tani…

Po, pothuajse harrova komentin e premtuar për problemin nr. 5, në të cilin Bor, Dima dhe Volodya mund t'i shpërndahen nga një kartë secilit në mënyra të ndryshme. Shumëzimi këtu ka të njëjtin kuptim: mënyra për të hequr 3 letra nga kuverta DHE në secilin mostra i riorganizoni ato në mënyra.

Dhe tani një problem për t'u zgjidhur vetë ... tani do të dal me diçka më interesante ... le të jetë për të njëjtin version rus të blackjack:

Problemi 9

Sa kombinime fituese të 2 letrave ka kur luani "pikë"?

Për ata që nuk e dinë: kombinimi fitues është 10 + ACE (11 pikë) = 21 pikë dhe, le të shqyrtojmë kombinimin fitues të dy aceve.

(rendi i letrave në asnjë çift nuk ka rëndësi)

Një zgjidhje dhe përgjigje e shkurtër në fund të mësimit.

Nga rruga, mos e konsideroni shembullin primitiv. Blackjack është pothuajse e vetmja lojë për të cilën ekziston një algoritëm i bazuar matematikisht që ju lejon të mundni kazinonë. Të interesuarit mund të gjejnë lehtësisht një mori informacionesh në lidhje me strategjinë dhe taktikat optimale. Vërtetë, mjeshtra të tillë mjaft shpejt përfundojnë në listën e zezë të të gjitha institucioneve =)

Është koha për të konsoliduar materialin e mbuluar me disa detyra të forta:

Problemi 10

Vasya ka 4 mace në shtëpi.

a) në sa mënyra mund të ulen macet në qoshet e dhomës?
b) në sa mënyra mund t'i lini macet të shkojnë për shëtitje?
c) në sa mënyra mund të marrë Vasya dy mace (njëra në të majtë, tjetra në të djathtë)?

Le të vendosim: së pari, duhet t'i kushtoni përsëri vëmendje faktit se problemi merret me të ndryshme objekte (edhe nëse macet janë binjakë identikë). Ky është një kusht shumë i rëndësishëm!

a) Heshtja e maceve. Subjekt i këtij ekzekutimi të gjitha macet menjëherë
+ vendndodhja e tyre është e rëndësishme, kështu që këtu ka ndërrime:
duke përdorur këto metoda mund të vendosni macet në qoshet e dhomës.

E përsëris se kur ndryshoni, vetëm numri i objekteve të ndryshme dhe pozicionet e tyre relative kanë rëndësi. Në varësi të gjendjes shpirtërore të Vasya, ajo mund t'i vendosë kafshët në një gjysmërreth në divan, në një rresht në dritare, etj. – në të gjitha rastet do të ketë 24 ndërrime.Për lehtësi, të interesuarit mund të imagjinojnë që macet janë shumëngjyrëshe (për shembull, të bardha, të zeza, të kuqe dhe tabby) dhe të listojnë të gjitha kombinimet e mundshme.

b) Në sa mënyra mund t'i lini macet të shkojnë për shëtitje?

Supozohet se macet shkojnë për shëtitje vetëm nëpër derë, dhe pyetja nënkupton indiferencë në lidhje me numrin e kafshëve - 1, 2, 3 ose të 4 macet mund të shkojnë për një shëtitje.

Ne numërojmë të gjitha kombinimet e mundshme:

Në mënyra që ju mund të lini një mace (një nga katër) të shkojë për shëtitje;
mënyra se si mund t'i lini dy mace të shkojnë për shëtitje (listoni vetë opsionet);
në mënyra që mund të lini tre mace të shkojnë për shëtitje (njëra nga katër ulet në shtëpi);
Në këtë mënyrë ju mund të lironi të gjitha macet.

Ju ndoshta keni marrë me mend se vlerat që rezultojnë duhet të përmblidhen:
mënyra se si mund t'i lini macet të shkojnë për shëtitje.

Për entuziastët, unë ofroj një version të komplikuar të problemit - kur çdo mace në çdo mostër mund të dalë rastësisht jashtë, si përmes derës ashtu edhe përmes dritares në katin e 10-të. Do të ketë një rritje të dukshme të kombinimeve!

c) Në sa mënyra mund të marrë Vasya dy mace?

Situata përfshin jo vetëm zgjedhjen e 2 kafshëve, por edhe vendosjen e tyre në secilën dorë:
Në këto mënyra mund të kapni 2 mace.

Zgjidhja e dytë: mund të zgjidhni dy mace duke përdorur metoda Dhe mënyra për të mbjellë çdo një çift në dorë:

Përgjigju: a) 24, b) 15, c) 12

Epo, për të pastruar ndërgjegjen tuaj, diçka më specifike në lidhje me shumëzimin e kombinimeve... Lëreni Vasya të ketë 5 mace shtesë =) Në sa mënyra mund t'i lini 2 mace të shkojnë për shëtitje? Dhe 1 mace?

Kjo është, me secili nja dy mace mund të lirohen çdo Mace.

Një fizarmonikë tjetër me butona për zgjidhje të pavarur:

Problemi 11

Tre pasagjerë hipën në ashensorin e një pallati 12-katëshe. Të gjithë, pavarësisht nga të tjerët, mund të dalin në çdo kat (duke filluar nga kati i dytë) me probabilitet të barabartë. Në sa mënyra:

1) pasagjerët mund të zbresin në të njëjtin kat (rendi i daljes nuk ka rëndësi);
2) dy persona mund të zbresin në një kat, dhe një i tretë në tjetrin;
3) njerëzit mund të dalin në kate të ndryshme;
4) a mund të dalin pasagjerët nga ashensori?

Dhe këtu shpesh pyesin përsëri, sqaroj: nëse në të njëjtin kat dalin 2 ose 3 persona, atëherë rendi i daljes nuk ka rëndësi. MENDO, përdor formula dhe rregulla për shtimin/shumëzimin e kombinimeve. Në rast vështirësish, është e dobishme që pasagjerët të japin emra dhe të spekulojnë se në çfarë kombinimesh mund të dalin nga ashensori. Nuk ka nevojë të mërzitesh nëse diçka nuk funksionon, për shembull, pika nr. 2 është mjaft tinëzare, megjithatë, një nga lexuesit gjeti një zgjidhje të thjeshtë dhe unë shpreh edhe një herë mirënjohjen time për letrat tuaja!

Zgjidhje e plotë me komente të detajuara në fund të mësimit.

Paragrafi i fundit i kushtohet kombinimeve që ndodhin gjithashtu mjaft shpesh - sipas vlerësimit tim subjektiv, në afërsisht 20-30% të problemeve kombinuese:

Permutacione, kombinime dhe vendosje me përsëritje

Llojet e listuara të kombinimeve janë përshkruar në paragrafin nr. 5 të materialit referues Formulat bazë të kombinatorikës, megjithatë, disa prej tyre mund të mos jenë shumë të qarta me leximin e parë. Në këtë rast, së pari këshillohet të njiheni me shembuj praktikë dhe vetëm atëherë të kuptoni formulimin e përgjithshëm. Shko:

Permutacione me përsëritje

Në ndërrime me përsëritje, si në permutacionet "të zakonshme", të gjitha objektet e shumta në të njëjtën kohë, por ka një gjë: në këtë grup përsëriten një ose më shumë elementë (objekte). Plotësoni standardin vijues:

Problemi 12

Sa kombinime të ndryshme shkronjash mund të fitohen duke riorganizuar letrat me shkronjat e mëposhtme: K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K?

Zgjidhje: në rast se të gjitha shkronjat ishin të ndryshme, atëherë do të duhej të zbatohej një formulë e parëndësishme, por është plotësisht e qartë se për grupin e propozuar të kartave disa manipulime do të funksionojnë "boshe", për shembull, nëse ndërroni çdo dy karta me shkronjat "K" " në çdo fjalë, ju merrni të njëjtën fjalë. Për më tepër, fizikisht kartat mund të jenë shumë të ndryshme: njëra mund të jetë e rrumbullakët me shkronjën "K" të shtypur në të, tjetra mund të jetë katrore me shkronjën "K" të vizatuar mbi të. Por sipas kuptimit të detyrës, edhe karta të tilla konsiderohen të njëjta, pasi kushti pyet për kombinimet e shkronjave.

Gjithçka është jashtëzakonisht e thjeshtë - vetëm 11 karta, duke përfshirë letrën:

K - përsëritet 3 herë;
O - përsëritet 3 herë;
L - përsëritet 2 herë;
b – përsëritet 1 herë;
H - përsëritet 1 herë;
Dhe - përsëritet 1 herë.

Kontrollo: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, që është ajo që duhet të kontrollohet.

Sipas formulës numri i permutacioneve me përsëritje:
mund të merren kombinime të ndryshme shkronjash. Më shumë se gjysmë milioni!

Për të llogaritur shpejt një vlerë të madhe faktoriale, është e përshtatshme të përdorni funksionin standard Excel: futeni në çdo qelizë =FAKT(11) dhe shtypni Hyni.

Në praktikë, është mjaft e pranueshme të mos shkruhet formula e përgjithshme dhe, përveç kësaj, të hiqen faktorët e njësisë:

Por kërkohen komente paraprake për letrat e përsëritura!

Përgjigju: 554400

Një shembull tjetër tipik i permutacioneve me përsëritje ndodh në problemin e vendosjes së pjesës së shahut, i cili mund të gjendet në magazinë zgjidhje të gatshme në pdf-në përkatëse. Dhe për një zgjidhje të pavarur, unë dola me një detyrë më pak formula:

Problemi 13

Alexey shkon për sport, dhe 4 ditë në javë - atletikë, 2 ditë - ushtrime forcash dhe 1 ditë pushim. Në sa mënyra mund të krijojë një orar javor për vete?

Formula nuk funksionon këtu sepse merr parasysh shkëmbimet e rastësishme (për shembull, ndërrimi i ushtrimeve të forcës të së mërkurës me ushtrimet e forcës të së enjtes). Dhe përsëri - në fakt, të njëjtat 2 seanca të stërvitjes së forcës mund të jenë shumë të ndryshme nga njëra-tjetra, por në kontekstin e detyrës (nga pikëpamja e orarit) ato konsiderohen të njëjtat elementë.

Zgjidhje me dy rreshta dhe përgjigje në fund të orës së mësimit.

Kombinime me përsëritje

Një tipar karakteristik i këtij lloji të kombinimit është se mostra është nxjerrë nga disa grupe, secila prej të cilave përbëhet nga objekte identike.

Të gjithë kanë punuar shumë sot, ndaj është koha për të rifreskuar veten:

Problemi 14

Mensa e studentëve shet salsiçe në brumë, djathë dhe donuts. Në sa mënyra mund të blini pesë byrekë?

Zgjidhje: kushtojini vëmendje menjëherë kriterit tipik për kombinime me përsëritje - sipas kushtit nuk është një grup objektesh si i tillë që ofrohet për zgjedhje, por lloje te ndryshme objekte; supozohet se ka të paktën pesë hot dog, 5 cheesecakes dhe 5 donuts në shitje. Byrekët në secilin grup janë, natyrisht, të ndryshëm - sepse donutët absolutisht identikë mund të simulohen vetëm në një kompjuter =) Megjithatë, karakteristikat fizike të byrekut nuk janë të rëndësishme për qëllimin e problemit, dhe hot-dog / cheesecakes / donutët në grupet e tyre konsiderohen të njëjta.

Çfarë mund të jetë në mostër? Fillimisht duhet theksuar se në mostër do të ketë patjetër pite identike (pasi zgjedhim 5 copa, dhe ka 3 lloje për të zgjedhur). Këtu ka opsione për çdo shije: 5 hot dog, 5 cheesecakes, 5 donuts, 3 hot dogs + 2 cheesecakes, 1 hot dog + 2 cheesecakes + 2 donuts, etj.

Ashtu si me kombinimet "të rregullta", rendi i përzgjedhjes dhe vendosjes së byrekut në përzgjedhje nuk ka rëndësi - ju thjesht zgjodhët 5 pjesë dhe kjo është ajo.

Ne përdorim formulën numri i kombinimeve me përsëritje:
Me këtë metodë mund të blini 5 byrekë.

Ju bëftë mirë!

Përgjigju: 21

Çfarë përfundimi mund të nxirret nga shumë probleme kombinuese?

Ndonjëherë gjëja më e vështirë është të kuptosh gjendjen.

Një shembull i ngjashëm për një zgjidhje të pavarur:

Problemi 15

Portofoli përmban një numër mjaft të madh monedhash 1, 2, 5 dhe 10 rubla. Në sa mënyra mund të hiqen tre monedha nga një portofol?

Për qëllime të vetëkontrollit, përgjigjuni disa pyetjeve të thjeshta:

1) A mund të jenë të ndryshme të gjitha monedhat në mostër?
2) Emërtoni kombinimin "më të lirë" dhe "më të shtrenjtë" të monedhave.

Zgjidhja dhe përgjigjet në fund të orës së mësimit.

Nga përvoja ime personale, mund të them se kombinimet me përsëritje janë mysafiri më i rrallë në praktikë, gjë që nuk mund të thuhet për llojin e mëposhtëm të kombinimeve:

Vendosjet me përsëritje

Nga një grup i përbërë nga elementë, zgjidhen elementë dhe renditja e elementeve në secilën përzgjedhje është e rëndësishme. Dhe gjithçka do të ishte mirë, por një shaka mjaft e papritur është se ne mund të zgjedhim çdo objekt të grupit origjinal sa herë të duam. Në mënyrë figurative, «turma nuk do të pakësohet».

Kur ndodh kjo? Një shembull tipik është një bllokim i kombinuar me disa disqe, por për shkak të zhvillimeve teknologjike, është më e rëndësishme të merret parasysh pasardhësi i tij dixhital:

Problemi 16

Sa kode PIN me katër shifra ka?

Zgjidhje: në fakt, për të zgjidhur problemin mjafton njohja e rregullave të kombinatorikës: në mënyra mund të zgjidhni shifrën e parë të kodit PIN. Dhe mënyra - shifra e dytë e kodit PIN Dhe në po aq mënyra - e treta Dhe i njëjti numër - i katërti. Kështu, sipas rregullit të shumëzimit të kombinimeve, një kod pin katërshifror mund të kompozohet në: mënyra.

Dhe tani duke përdorur formulën. Sipas kushtit, na ofrohet një grup numrash, nga të cilët zgjidhen dhe renditen numrat në një rend të caktuar, ndërsa numrat në mostër mund të përsëriten (d.m.th. çdo shifër e grupit origjinal mund të përdoret një numër arbitrar herë). Sipas formulës për numrin e vendosjeve me përsëritje:

Përgjigju: 10000

Çfarë të vjen ndërmend këtu... ...nëse ATM-ja "e ha" kartën pas përpjekjes së tretë të pasuksesshme për të futur kodin PIN, atëherë shanset për ta marrë atë në mënyrë të rastësishme janë shumë të pakta.

Dhe kush tha që kombinatorika nuk ka kuptim praktik? Një detyrë njohëse për të gjithë lexuesit e faqes:

Problemi 17

Sipas standardit shtetëror, targa e makinës përbëhet nga 3 numra dhe 3 shkronja. Në këtë rast, një numër me tre zero është i papranueshëm dhe shkronjat zgjidhen nga grupi A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X. (përdoren vetëm ato shkronja cirilike, drejtshkrimi i të cilave përkon me shkronjat latine).

Sa targa të ndryshme mund të krijohen për një rajon?

Meqë ra fjala, jo shumë prej tyre. Në rajone të mëdha nuk ka një sasi të tillë të mjaftueshme, dhe për këtë arsye për ta ka disa kode për mbishkrimin RUS.

Zgjidhja dhe përgjigja janë në fund të mësimit. Mos harroni të përdorni rregullat e kombinatorikës ;-) ...Doja të tregoja atë që ishte ekskluzive, por doli të mos ishte ekskluzive =) Shikova Wikipedia - ka llogaritje atje, megjithëse pa komente. Edhe pse për qëllime edukative, me siguri, pak njerëz e zgjidhën atë.

Mësimi ynë emocionues ka marrë fund dhe më në fund dua të them se nuk e keni humbur kohën tuaj - për arsye se formulat e kombinatorikës gjejnë një aplikim tjetër praktik jetësor: ato gjenden në probleme të ndryshme në teoria e probabilitetit,
dhe ne problemet që përfshijnë përcaktimin klasik të probabilitetit- veçanërisht shpesh =)

Faleminderit të gjithëve për pjesëmarrjen tuaj aktive dhe shihemi së shpejti!

Zgjidhje dhe përgjigje:

Detyra 2: Zgjidhje: gjeni numrin e të gjitha ndërrimeve të mundshme të 4 kartave:

Kur një kartë me zero vendoset në vendin e parë, numri bëhet treshifror, kështu që këto kombinime duhet të përjashtohen. Le të jetë zero në vendin e parë, atëherë 3 shifrat e mbetura në shifrat e poshtme mund të riorganizohen në mënyra të ndryshme.

shënim : sepse Meqenëse ka vetëm disa karta, është e lehtë të renditësh të gjitha opsionet këtu:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Kështu, nga grupi i propozuar mund të bëjmë:
24 – 6 = 18 numra katërshifrorë
Përgjigju : 18

Detyra 4: Zgjidhje: në mënyra që ju mund të zgjidhni 3 letra nga 36. Dhe
2) Seti "më i lirë" përmban 3 monedha rubla, dhe më "i shtrenjtë" - 3 monedha dhjetë rubla.

Problemi 17: Zgjidhje: duke përdorur këto metoda, mund të krijoni një kombinim dixhital të një numri makine, ndërsa një prej tyre (000) duhet të përjashtohet: .
duke përdorur këto metoda mund të krijoni një kombinim shkronjash të një numri targash.
Sipas rregullit të shumëzimit të kombinimeve, totali mund të bëhet:
targa
(secili Kombinimi dixhital është i kombinuar me secilin kombinim shkronjash).
Përgjigju : 1726272