Klasa: 9

Qëllimet themelore:

1. Përforconi konceptin e një ekuacioni të tërë racional të shkallës së th.
2. Formuloni metodat bazë për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallëve më të larta (n > 3).
3. Mësoni metodat bazë për zgjidhjen e ekuacioneve të rendit më të lartë.
4. Mësoni të përdorni llojin e ekuacionit për të përcaktuar mënyrën më efektive për ta zgjidhur atë.

Format, metodat dhe teknikat pedagogjike të përdorura nga mësuesi në klasë:

• Sistemi i mësimdhënies leksion-seminar (ligjërata - shpjegim i materialit të ri, seminare - zgjidhja e problemeve).
• Teknologjitë e informacionit dhe komunikimit (anketimi ballor, punë me gojë me klasën).
• Të nxënit të diferencuar, forma grupore dhe individuale.
• Përdorimi i një metode kërkimore në mësimdhënie që synon zhvillimin e aparatit matematikor dhe aftësive të të menduarit të çdo studenti individual.
• Materiali i shtypur - një përmbledhje e shkurtër individuale e mësimit (konceptet bazë, formulat, deklaratat, materiali i leksionit të përmbledhur në formën e diagrameve ose tabelave).

Plani i mësimit:

1. Koha e organizimit.
   Qëllimi i fazës: përfshirja e nxënësve në veprimtari edukative, për të përcaktuar përmbajtjen e mësimit.
2. Përditësimi i njohurive të nxënësve.
   Qëllimi i fazës: të përditësojë njohuritë e studentëve për tema të lidhura më parë
3. Studimi i një teme të re (leksion). Qëllimi i fazës: të formulojë metodat themelore për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallëve më të larta (n > 3)
4. Duke përmbledhur.
   Qëllimi i skenës: të theksohen edhe një herë pikat kryesore në materialin e studiuar në mësim.
5. Detyre shtepie.
   Qëllimi i skenës: të formulojë detyrat e shtëpisë për nxënësit.

Përmbledhja e mësimit

1. Momenti organizativ.

Formulimi i temës së mësimit: “Ekuacionet e fuqive më të larta. Metodat për zgjidhjen e tyre.”

2. Përditësimi i njohurive të nxënësve.

Sondazh teorik – bashkëbisedim. Përsëritja e disa informacioneve të studiuara më parë nga teoria. Nxënësit formulojnë përkufizimet bazë dhe formulojnë teoremat e nevojshme. Jepni shembuj për të demonstruar nivelin e njohurive të marra më parë.

• Koncepti i një ekuacioni me një ndryshore.
• Koncepti i rrënjës së një ekuacioni, zgjidhja e një ekuacioni.
• Koncepti i një ekuacioni linear me një ndryshore, koncepti i një ekuacioni kuadratik me një ndryshore.
• Koncepti i ekuivalencës së ekuacioneve, ekuacionet-pasojat (koncepti i rrënjëve të jashtme), kalimi jo si pasojë (rasti i humbjes së rrënjëve).
• Koncepti i një shprehjeje të tërë racionale me një ndryshore.
• Koncepti i një ekuacioni të tërë racional n shkalla e th. Forma standarde e një ekuacioni të tërë racional. Ekuacioni i plotë racional i reduktuar.
• Kalimi në një grup ekuacionesh të shkallëve më të ulëta duke faktorizuar ekuacionin origjinal.
• Koncepti i një polinomi n shkalla e th nga x. Teorema e Bezout. Pasojat nga teorema e Bezout. Teorema rrënjësore ( Z-rrënjët dhe P-rrënjët) të një ekuacioni të tërë racional me koeficientë të plotë (respektivisht të reduktuar dhe të pareduktuar).
• Skema e Hornerit.

3. Studimi i një teme të re.

Ne do të shqyrtojmë të gjithë ekuacionin racional n-fuqia e formës standarde me një ndryshore të panjohur x:Pn(x)= 0, ku P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0– polinom n shkalla e th nga x, a n ≠ 0. Nëse a n = 1 atëherë një ekuacion i tillë quhet ekuacion racional me numër të plotë të reduktuar n shkalla e th. Le të shqyrtojmë ekuacione të tilla për vlera të ndryshme n dhe listoni metodat kryesore për zgjidhjen e tyre.

n= 1 – ekuacion linear.

n= 2 – ekuacioni kuadratik. Formula diskriminuese. Formula për llogaritjen e rrënjëve. Teorema e Vietës. Zgjedhja e një katrori të plotë.

n= 3 – ekuacion kub.

Metoda e grupimit.

Shembull: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x – 4) (x 2– 1) = 0 x 1 = 4 , x 2 = 1,x 3 = -1.

Ekuacioni reciprok kub i formës sëpatë 3 + bx 2 + bx + a= 0. E zgjidhim duke kombinuar terma me koeficientë të njëjtë.

Shembull: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.

Zgjedhja e rrënjëve Z bazuar në teoremën. Skema e Hornerit. Gjatë aplikimit të kësaj metode, është e nevojshme të theksohet se kërkimi në këtë rast është i fundëm, dhe ne zgjedhim rrënjët duke përdorur një algoritëm të caktuar në përputhje me teoremën. Z-rrënjët e të gjithë ekuacionit racional të dhënë me koeficientë të plotë.

Shembull: x 3 – 9x 2 + 23x– 15 = 0. Është dhënë ekuacioni. Le të shkruajmë pjesëtuesit e termit të lirë ( + 1; + 3; + 5; + 15). Le të zbatojmë skemën e Horner:

ne marrim ( x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

Ekuacioni me koeficientët numër të plotë. Zgjedhja e rrënjëve Q bazuar në teoremën. Skema e Hornerit. Gjatë aplikimit të kësaj metode, është e nevojshme të theksohet se kërkimi në këtë rast është i fundëm dhe ne zgjedhim rrënjët duke përdorur një algoritëm të caktuar në përputhje me teoremën rreth P-rrënjët e një ekuacioni racional me numër të plotë të pareduktuar me koeficientë të plotë.

Shembull: 9 x 3 + 27x 2 – x– 3 = 0. Ekuacioni është i pareduktuar. Le të shkruajmë pjesëtuesit e termit të lirë ( + 1; + 3). Le të shkruajmë pjesëtuesit e koeficientit në fuqinë më të lartë të së panjohurës. ( + 1; + 3; + 9) Rrjedhimisht, ne do të kërkojmë rrënjë midis vlerave ( + 1; + ; + ; + 3). Le të zbatojmë skemën e Horner:

ne marrim ( x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.

Për lehtësinë e llogaritjes kur zgjidhni Q -rrënjët Mund të jetë e përshtatshme për të bërë një ndryshim të ndryshores, shkoni te ekuacioni i dhënë dhe zgjidhni Z - rrënjët.

Formula Cardano. Ekziston një metodë universale për zgjidhjen e ekuacioneve kubike - kjo është formula Cardano. Kjo formulë lidhet me emrat e matematikanëve italianë Gerolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Tartaglia (1500-1557) dhe Scipione del Ferro (1465-1526). Kjo formulë është përtej qëllimit të kursit tonë.

n= 4 – ekuacioni i shkallës së katërt.

Metoda e grupimit.

Shembull: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x - 6) = 0 (x + 2)(x– 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

Metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm.

• Ekuacioni bikuadratik i formës sëpatë 4 + bx 2 + s = 0 .

Shembull: x 4 + 5x 2 – 36 = 0. Zëvendësim y = x 2. Nga këtu y 1 = 4, y 2 = -9. Kjo është arsyeja pse x 1,2 = + 2 .

Ne e zgjidhim duke kombinuar terma me koeficientë të njëjtë duke zëvendësuar formularin

• Ekuacioni i përgjithësuar përsëritës i shkallës së katërt të formularit sëpatë 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k 2 a = 0.

Shembulli 3 . Zëvendësimi i pamjes së përgjithshme(rrjedh nga lloji i ekuacionit specifik).

n = 3.

Ekuacioni me koeficientët numër të plotë. Përzgjedhja e rrënjëve Q n = 3.

Formula e përgjithshme. Ekziston një metodë universale për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës së katërt. Kjo formulë lidhet me emrin e Ludovico Ferrarit (1522-1565). Kjo formulë është përtej qëllimit të kursit tonë.

n > 5 – ekuacionet e shkallës së pestë dhe më të lartë.

Ekuacioni me koeficientët numër të plotë. Zgjedhja e rrënjëve Z bazuar në teoremën. Skema e Hornerit. Algoritmi është i ngjashëm me atë të diskutuar më sipër për n = 3.

Ekuacioni me koeficientët numër të plotë. Përzgjedhja e rrënjëve Q bazuar në teoremën. Skema e Hornerit. Algoritmi është i ngjashëm me atë të diskutuar më sipër për n = 3.

Ekuacionet simetrike. Çdo ekuacion reciprok i shkallës tek ka një rrënjë x= -1 dhe pasi e faktorizojmë në faktorë gjejmë se një faktor ka formën ( x+ 1), dhe faktori i dytë është një ekuacion reciprok me shkallë çift (shkalla e tij është një më pak se shkalla e ekuacionit origjinal). Çdo ekuacion reciprok me shkallë çift së bashku me një rrënjë të formës x = φ përmban edhe rrënjën e species. Duke përdorur këto pohime, ne e zgjidhim problemin duke ulur shkallën e ekuacionit në studim.

Metoda e zëvendësimit të ndryshueshëm. Përdorimi i homogjenitetit.

Nuk ka asnjë formulë të përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve të tëra të shkallës së pestë (kjo u tregua nga matematikani italian Paolo Ruffini (1765-1822) dhe matematikani norvegjez Niels Henrik Abel (1802-1829)) dhe shkallët më të larta (kjo u tregua nga Matematikani francez Evariste Galois (1811-1832)).

• Le të kujtojmë edhe një herë se në praktikë është e mundur të përdoret kombinime metodat e listuara më sipër. Është i përshtatshëm për të kaluar në një grup ekuacionesh të shkallëve më të ulëta nga faktorizimi i ekuacionit origjinal.
• Jashtë objektit të diskutimit tonë sot janë ato që përdoren gjerësisht në praktikë. metodat grafike zgjidhjen e ekuacioneve dhe metodat e përafërta të zgjidhjes ekuacione të shkallëve më të larta.
• Ka situata kur ekuacioni nuk ka rrënjë R.
Më pas, zgjidhja arrin të tregojë se ekuacioni nuk ka rrënjë. Për ta vërtetuar këtë, ne analizojmë sjelljen e funksioneve në shqyrtim në intervalet e monotonitetit. Shembull: ekuacioni x 8 – x 3 + 1 = 0 nuk ka rrënjë.
• Duke përdorur vetinë e monotonitetit të funksioneve
. Ka situata kur përdorimi i veçorive të ndryshme të funksioneve ju lejon të thjeshtoni detyrën.
Shembulli 1: Ekuacioni x 5 + 3x– 4 = 0 ka një rrënjë x= 1. Për shkak të vetive të monotonitetit të funksioneve të analizuara, nuk ka rrënjë të tjera.
Shembulli 2: Ekuacioni x 4 + (x– 1) 4 = 97 ka rrënjë x 1 = -2 dhe x 2 = 3. Pasi kemi analizuar sjelljen e funksioneve përkatëse në intervalet e monotonitetit, arrijmë në përfundimin se nuk ka rrënjë të tjera.

4. Përmbledhje.

Përmbledhje: Tani kemi zotëruar metodat themelore për zgjidhjen e ekuacioneve të ndryshme të shkallëve më të larta (për n > 3). Detyra jonë është të mësojmë se si të përdorim në mënyrë efektive algoritmet e listuara më sipër. Në varësi të llojit të ekuacionit, do të duhet të mësojmë të përcaktojmë se cila metodë e zgjidhjes në një rast të caktuar është më efektive, si dhe të zbatojmë saktë metodën e zgjedhur.

5. Detyrë shtëpie.

: paragrafi 7, faqet 164–174, nr.33–36, 39–44, 46.47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Temat e mundshme për raporte ose përmbledhje mbi këtë temë:

• Formula Cardano
• Metoda grafike për zgjidhjen e ekuacioneve. Shembuj zgjidhjesh.
• Metodat për zgjidhjen e përafërt të ekuacioneve.

Analiza e të nxënit të studentëve dhe interesi për temën:

Përvoja tregon se interesimi i studentëve ngjallet kryesisht nga mundësia e përzgjedhjes Z-rrënjët dhe P-rrënjët e ekuacioneve duke përdorur një algoritëm mjaft të thjeshtë duke përdorur skemën e Hornerit. Studentët janë gjithashtu të interesuar për lloje të ndryshme standarde të zëvendësimit të variablave, të cilat mund të thjeshtojnë ndjeshëm llojin e problemit. Metodat e zgjidhjes grafike janë zakonisht me interes të veçantë. Në këtë rast, ju mund të analizoni gjithashtu problemet duke përdorur një metodë grafike për zgjidhjen e ekuacioneve; diskutoni formën e përgjithshme të grafikut për një polinom të shkallës 3, 4, 5; analizoni se si numri i rrënjëve të ekuacioneve 3, 4, 5 gradë është i lidhur me pamjen e grafikut përkatës. Më poshtë është një listë e librave ku mund të gjeni informacione shtesë për këtë temë.

Bibliografi:

1. Vilenkin N.Ya. dhe të tjera.“Algjebra. Libër mësuesi për nxënësit e klasës së 9-të me studim të thelluar të matematikës” - M., Prosveshchenie, 2007 - 367 f.
2. Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F.“Pas faqeve të një teksti matematike. Aritmetike. Algjebër. 10-11 klasa” – M., Arsimi, 2008 – 192 f.
3. Vygodsky M.Ya.“Doracak i Matematikës” – M., AST, 2010 – 1055 f.
4. Galitsky M.L.“Mbledhja e problemave në algjebër. Libër mësuesi për klasat 8-9 me studim të thelluar të matematikës” - M., Prosveshchenie, 2008 - 301 f.
5. Zvavich L.I. e të tjera.“Algjebra dhe fillimet e analizës. Klasat 8-11 Manual për shkollat ​​dhe klasat me studim të avancuar të matematikës” - M., Drofa, 1999 - 352 f.
6. Zvavich L.I., Averyanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N."Detyrat e matematikës për përgatitjen për provimin me shkrim në klasën e 9-të" - M., Prosveshchenie, 2007 - 112 f.
7. Ivanov A.A., Ivanov A.P.“Teste tematike për sistemimin e njohurive në matematikë” pjesa 1 – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 f.
8. Ivanov A.A., Ivanov A.P.“Teste tematike për sistemimin e njohurive në matematikë” pjesa 2 – M., Fizmatkniga, 2006 – 176 f.
9. Ivanov A.P.“Teste dhe teste në matematikë. Tutorial". – M., Fizmatkniga, 2008 – 304 f.
10. Leibson K.L.“Përmbledhje detyrash praktike në matematikë. Pjesa 2–9 klasat” – M., MTSNM, 2009 – 184 f.
11. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G."Algjebra. Kapituj plotësues për tekstin e shkollës 9-vjeçare. Një libër shkollor për nxënësit në shkolla dhe klasa me studim të thelluar të matematikës.” – M., Arsimi, 2006 – 224 f.
12. Mordkovich A.G."Algjebra. Studim i thelluar. klasën e 8-të. Libër mësuesi” – M., Mnemosyne, 2006 – 296 f.
13. Savin A.P."Fjalori Enciklopedik i një Matematikani të Ri" - M., Pedagogji, 1985 - 352 f.
14. Survillo G.S., Simonov A.S."Materiale didaktike mbi algjebër për klasën 9 me studim të thelluar të matematikës" - M., Prosveshchenie, 2006 - 95 f.
15. Chulkov P.V.“Ekuacionet dhe pabarazitë në lëndën e matematikës shkollore. Leksione 1–4” – M., 1 shtator 2006 – 88 f.
16. Chulkov P.V.“Ekuacionet dhe pabarazitë në lëndën e matematikës shkollore. Leksione 5–8” – M., 1 shtator 2009 – 84 f.

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e ekuacioneve me një ndryshore të shkallës më të lartë se e dyta.

Shkalla e ekuacionit P(x) = 0 është shkalla e polinomit P(x), d.m.th. më i madhi i fuqive të termave të tij me një koeficient jo të barabartë me zero.

Kështu, për shembull, ekuacioni (x 3 – 1) 2 + x 5 = x 6 – 2 ka shkallën e pestë, sepse pas veprimeve të hapjes së kllapave dhe sjelljes së të ngjashmeve, fitojmë ekuacionin ekuivalent x 5 – 2x 3 + 3 = 0 të shkallës së pestë.

Le të kujtojmë rregullat që do të nevojiten për të zgjidhur ekuacionet e shkallës më të lartë se dy.

Deklarata për rrënjët e një polinomi dhe pjesëtuesit e tij:

1. Një polinom i shkallës së n-të ka një numër rrënjësh që nuk i kalon n, dhe rrënjët me shumësi m ndodhin saktësisht m herë.

2. Një polinom me shkallë tek ka të paktën një rrënjë reale.

3. Nëse α është rrënja e P(x), atëherë P n (x) = (x – α) · Q n – 1 (x), ku Q n – 1 (x) është një polinom i shkallës (n – 1) .

4.

5. Polinomi i reduktuar me koeficientë të plotë nuk mund të ketë rrënjë racionale thyesore.

6. Për një polinom të shkallës së tretë

P 3 (x) = sëpatë 3 + bx 2 + cx + d një nga dy gjërat është e mundur: ose zbërthehet në produktin e tre binomeve

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), ose zbërthehet në produktin e një binomi dhe një trinomi katror Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ).

7. Çdo polinom i shkallës së katërt mund të zgjerohet në prodhimin e dy trinomeve katrore.

8. Një polinom f(x) është i pjesëtueshëm me një polinom g(x) pa mbetje nëse ka një polinom q(x) të tillë që f(x) = g(x) · q(x). Për të ndarë polinomet, përdoret rregulli i "pjestimit të këndit".

9. Që polinomi P(x) të jetë i pjesëtueshëm me një binom (x – c), është e nevojshme dhe e mjaftueshme që numri c të jetë rrënja e P(x) (Përfundimi i teoremës së Bezout).

10. Teorema e Vietës: Nëse x 1, x 2, ..., x n janë rrënjë reale të polinomit

P(x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, atëherë vlejnë barazitë e mëposhtme:

x 1 + x 2 + … + x n = -a 1 /a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + … + x n – 1 x n = a 2 /a 0,

x 1 x 2 x 3 + … + x n – 2 x n – 1 x n = -a 3 / a 0,

x 1 · x 2 · x 3 · x n = (-1) n a n / a 0 .

Zgjidhja e shembujve

Shembulli 1.

Gjeni pjesën e mbetur të pjesëtimit P(x) = x 3 + 2/3 x 2 – 1/9 nga (x – 1/3).

Zgjidhje.

Si pasojë e teoremës së Bezout: "Pjesa e mbetur e një polinomi të ndarë me një binom (x - c) është e barabartë me vlerën e polinomit të c." Le të gjejmë P(1/3) = 0. Prandaj, mbetja është 0 dhe numri 1/3 është rrënja e polinomit.

Përgjigje: R = 0.

Shembulli 2.

Ndani me një "qoshe" 2x 3 + 3x 2 – 2x + 3 me (x + 2). Gjeni herësin e mbetur dhe jo të plotë.

Zgjidhja:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4 x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Përgjigje: R = 3; herësi: 2x 2 – x.

Metodat bazë për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës më të lartë

1. Prezantimi i një ndryshoreje të re

Metoda e prezantimit të një ndryshoreje të re është tashmë e njohur nga shembulli i ekuacioneve bikuadratike. Ai konsiston në faktin se për të zgjidhur ekuacionin f(x) = 0, futet një ndryshore e re (zëvendësim) t = x n ose t = g(x) dhe f(x) shprehet përmes t, duke marrë një ekuacion të ri r. (t). Pastaj duke zgjidhur ekuacionin r(t), gjenden rrënjët:

(t 1, t 2, ..., t n). Pas kësaj, fitohet një grup prej n ekuacionesh q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n, nga të cilat gjenden rrënjët e ekuacionit origjinal.

Shembulli 1.

(x 2 + x + 1) 2 – 3x 2 – 3x – 1 = 0.

Zgjidhja:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Zëvendësimi (x 2 + x + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Zëvendësimi i kundërt:

x 2 + x + 1 = 2 ose x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 ose x 2 + x = 0;

Përgjigje: Nga ekuacioni i parë: x 1, 2 = (-1 ± √5)/2, nga i dyti: 0 dhe -1.

2. Faktorizimi me grupim dhe formula të shkurtuara të shumëzimit

Baza e kësaj metode gjithashtu nuk është e re dhe konsiston në grupimin e termave në atë mënyrë që secili grup të përmbajë një faktor të përbashkët. Për ta bërë këtë, ndonjëherë është e nevojshme të përdoren disa teknika artificiale.

Shembulli 1.

x 4 – 3x 2 + 4x – 3 = 0.

Zgjidhje.

Le të imagjinojmë - 3x 2 = -2x 2 – x 2 dhe grupi:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4x + 3 + 1 – 1) = 0.

(x 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(x 2 – 1 – x + 2) (x 2 – 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 – x + 1 = 0 ose x 2 + x – 3 = 0.

Përgjigje: Nuk ka rrënjë në ekuacionin e parë, nga i dyti: x 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Faktorizimi me metodën e koeficientëve të pacaktuar

Thelbi i metodës është se polinomi origjinal faktorizohet me koeficientë të panjohur. Duke përdorur vetinë që polinomet janë të barabartë nëse koeficientët e tyre janë të barabartë me të njëjtat fuqi, gjenden koeficientët e panjohur të zgjerimit.

Shembulli 1.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Zgjidhje.

Një polinom i shkallës 3 mund të zgjerohet në prodhimin e faktorëve linearë dhe kuadratikë.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x – a)(x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 +bx 2 + cx – sëpatë 2 – abx – ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + (b – a)x 2 + (cx – ab)x – ac.

Pasi të keni zgjidhur sistemin:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac = 2,

(a = -1,
(b = 3,
(c = 2, d.m.th.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Rrënjët e ekuacionit (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 janë të lehta për t'u gjetur.

Përgjigje: -1; -2.

4. Metoda e zgjedhjes së rrënjës duke përdorur koeficientin më të lartë dhe të lirë

Metoda bazohet në zbatimin e teoremave:

1) Çdo rrënjë numër i plotë i një polinomi me koeficientë të plotë është pjesëtues i termit të lirë.

2) Në mënyrë që thyesa e pakalueshme p/q (p është një numër i plotë, q është një numër natyror) të jetë rrënja e një ekuacioni me koeficientë të plotë, është e nevojshme që numri p të jetë një pjesëtues i plotë i termit të lirë a 0, dhe q të jetë pjesëtues natyror i koeficientit kryesor.

Shembulli 1.

6x 3 + 7x 2 – 9x + 2 = 0.

Zgjidhja:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Prandaj, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Pasi të kemi gjetur një rrënjë, për shembull - 2, do të gjejmë rrënjë të tjera duke përdorur ndarjen e këndit, metodën e koeficientëve të pacaktuar ose skemën e Horner.

Përgjigje: -2; 1/2; 1/3.

Ende keni pyetje? Nuk dini si të zgjidhni ekuacionet?
Për të marrë ndihmë nga një mësues, regjistrohu.
Mësimi i parë është falas!

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Në shekullin e 16-të, matematikanët gjetën numra komplekse pothuajse rastësisht (shih Kapitullin 11). Nga shekulli i 18-të, numrat kompleksë konsideroheshin si një shtrirje e fushës së numrave realë, por puna me ta ende çoi në gabime barazie, pasi puna e madhe e Leonard E. në teorinë e numrave, Hetimet Aritmetike (1801), shmangi përdorimin e të ashtuquajturit "numra imagjinarë". Më duket se pjesa më e rëndësishme e kësaj pune është prova e parë e teoremës themelore të algjebrës. Gauss e kuptoi se sa e rëndësishme ishte kjo teoremë, duke prodhuar disa prova shtesë gjatë viteve në vijim. Në 1849, ai ripunoi versionin e parë, këtë herë duke përdorur numra kompleksë. Në terma moderne, mund të themi se për çdo ekuacion polinomial të fundëm me koeficientë realë ose kompleksë, të gjitha rrënjët e tij do të jenë numra realë ose kompleksë. Kështu, marrim një përgjigje negative për pyetjen e kahershme nëse zgjidhja e ekuacioneve polinomiale të rendit të lartë kërkon gjenerimin e numrave të rendit më të lartë se ato komplekse.

Një nga problemet më të mprehta në algjebër të asaj kohe ishte pyetja nëse polinomi i rendit të pestë, kuintiku, mund të zgjidhej me metoda algjebrike, domethënë duke përdorur një numër të kufizuar hapash algjebrikë. Në ditët e sotme në shkollë ata mësojnë formulën e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike dhe që nga shekulli i 16-të janë njohur metoda të ngjashme për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës së tretë dhe të katërt (Kapitulli 11). Por asnjë metodë e vetme nuk u gjet për kuintikët. Teorema themelore e algjebrës mund të duket se mban perspektivën e një përgjigjeje pozitive, por në fakt ajo thjesht garanton që zgjidhjet ekzistojnë, nuk thotë asgjë për ekzistencën e formulave që japin zgjidhje të sakta (metodat e përafërta numerike dhe grafike tashmë ekzistonin deri atëherë ). Dhe pastaj u shfaqën dy gjeni matematikorë me një fat tragjik.

Niels Henrik Abel (1802–1829) lindi në një familje të madhe dhe të varfër që jetonte në një fshat të vogël në Norvegji, një vend i shkatërruar nga vitet e gjata të luftës me Anglinë dhe Suedinë. Mësuesi, i sjellshëm me djalin, i dha mësime private, por pas vdekjes së të atit, në moshën tetëmbëdhjetë vjeç, me gjithë moshën e re dhe shëndetin e brishtë, Abeli ​​u detyrua të mbante familjen. Në 1824, ai botoi një artikull shkencor në të cilin ai deklaroi se kuintiku nuk është i zgjidhshëm me mjete algjebrike, siç është, në të vërtetë, çdo polinom i rendit më të lartë. Abeli ​​besonte se ky artikull do të shërbente si bileta e tij për në botën shkencore, dhe e dërgoi atë në Gauss në Universitetin e Göttingen. Fatkeqësisht, Gauss-it nuk i priti kurrë faqet me thikë (çdo lexues duhej ta bënte këtë në ato ditë) dhe nuk e lexoi artikullin. Në 1826, qeveria norvegjeze më në fund siguroi fonde për Abelin për të udhëtuar nëpër Evropë. Nga frika se komunikimi personal me Gausin nuk do t'i sillte shumë gëzim, matematikani vendosi të mos vizitonte Göttingen dhe në vend të kësaj shkoi në Berlin. Atje ai u miqësua me August Leopold Krelle (1780-1855), një matematikan, arkitekt dhe inxhinier që këshilloi Ministrinë e Arsimit prusian për çështjet e matematikës. Krell synonte të themelonte Revistën e Matematikës së Pastër dhe të Aplikuar. Kështu Abeli ​​mori mundësinë për të shpërndarë punën e tij dhe botoi shumë, veçanërisht në numrat e hershëm të Revistës, e cila menjëherë filloi të konsiderohet një botim shkencor shumë prestigjioz dhe autoritar. Norvegjezi botoi atje një version të zgjeruar të provës së tij se kuintiku është i pavendosur me metoda algjebrike. Dhe më pas u nis për në Paris. Ky udhëtim e mërziti shumë Abelin, sepse ai praktikisht nuk mori mbështetjen që i nevojitej nga matematikanët francezë. Ai u bë i afërt me Augustin Louis Cauchy (1789–1857), i cili në atë kohë ishte iluminari kryesor i analizës matematikore, por kishte një karakter shumë kompleks. Siç tha vetë Abel, "Cauchy është i çmendur dhe asgjë nuk mund të bëhet për këtë, megjithëse aktualisht ai është i vetmi që është i aftë për çdo gjë në matematikë". Nëse përpiqemi të justifikojmë manifestimet e mosrespektimit dhe neglizhencës që burojnë nga Gauss dhe Cauchy, mund të themi se kuintiku arriti një famë të caktuar dhe tërhoqi vëmendjen e matematikanëve të respektuar dhe origjinalistëve. Abeli ​​u kthye në Norvegji, ku vuante gjithnjë e më shumë nga tuberkulozi. Ai vazhdoi të dërgonte punën e tij në Crelle, por vdiq në 1829, pa e ditur se sa shumë ishte krijuar reputacioni i tij në botën shkencore. Dy ditë pas vdekjes së tij, Abeli ​​mori një ofertë për të marrë një pozicion shkencor në Berlin.

Abeli ​​tregoi se çdo polinom mbi rendin e katërt nuk mund të zgjidhet duke përdorur radikale të tilla si rrënjët katrore, rrënjët kubike ose ato të rendit më të lartë. Megjithatë, kushtet e qarta në të cilat, në raste të veçanta, mund të zgjidheshin këto polinome dhe metoda për zgjidhjen e tyre, u formuluan nga Galois. Évariste Galois (1811–1832) jetoi një jetë të shkurtër dhe plot ngjarje. Ai ishte një matematikan jashtëzakonisht i talentuar. Galois ishte i pafalshëm ndaj atyre që i konsideronte më pak të talentuar se ai, dhe në të njëjtën kohë urrente padrejtësitë sociale. Ai nuk tregoi asnjë aftësi për matematikën derisa lexoi Elementet e Gjeometrisë së Lezhandrit (botuar në 1794, ky libër ishte libri kryesor shkollor për njëqind vitet e ardhshme). Pastaj ai fjalë për fjalë përpiu pjesën tjetër të veprave të Lezhandrit dhe, më vonë, Abelit. Entuziazmi, vetëbesimi dhe intoleranca e tij çuan në pasoja vërtet të tmerrshme në marrëdhëniet e tij me mësuesit dhe ekzaminuesit. Galois mori pjesë në një konkurs për të hyrë në Ecole Polytechnique, djepi i matematikës franceze, por dështoi në provim për shkak të mungesës së përgatitjes. Për ca kohë pasi takoi një mësues të ri që e njohu talentin e tij, ai arriti të mbante nën kontroll durimin. Në mars 1829, Galois botoi letrën e tij të parë mbi fraksionet e vazhdueshme, të cilat ai e konsideroi punën e tij më domethënëse. Ai dërgoi një mesazh për zbulimet e tij në Akademinë e Shkencave dhe Cauchy premtoi t'i paraqiste ato, por i harroi. Për më tepër, ai thjesht humbi dorëshkrimin.

Dështimi i dytë i Galois për të hyrë në Ecole Polytechnique është bërë pjesë e folklorit matematikor. Ai ishte mësuar të mbante vazhdimisht ide komplekse matematikore në kokën e tij, saqë u tërbua nga bezdisjet e vogla të ekzaminuesve. Meqenëse ekzaminuesit e kishin të vështirë të kuptonin shpjegimet e tij, ai hodhi një leckë të thatë fshirjeje nga tabela në fytyrë njërit prej tyre. Menjëherë pas kësaj, babai i tij vdiq, duke kryer vetëvrasje si pasojë e intrigave të kishës. Praktikisht shpërtheu një trazirë në funeralin e tij. Në shkurt 1830, Galois shkroi tre letrat e mëposhtme, duke i dërguar ato në Akademinë e Shkencave për Çmimin e Madh në Matematikë. Joseph Fourier, atëherë sekretar i akademisë, vdiq pa i lexuar ato dhe pas vdekjes së tij artikujt nuk u gjetën në letrat e tij. Një përrua i tillë zhgënjimi do të kishte pushtuar këdo. Galois u rebelua kundër atyre që ishin në pushtet, sepse mendoi se ata nuk i njihnin meritat e tij dhe shkatërruan të atin. Ai u zhyt me kokë në politikë, duke u bërë një republikan i flaktë - jo vendimi më i mençur në Francë në 1830. Në një përpjekje të fundit, ai i dërgoi një punim shkencor fizikanit dhe matematikanit të famshëm francez Simeon Denis Poisson (1781–1840), i cili u përgjigj duke kërkuar prova të mëtejshme.

Kjo ishte pika e fundit. Në 1831, Galois u arrestua dy herë - së pari për gjoja thirrje për vrasjen e mbretit Louis Philippe, dhe më pas për ta mbrojtur atë - autoritetet kishin frikë nga një rebelim republikan! Kësaj radhe ai u dënua me gjashtë muaj burg për akuzat e sajuara se kishte veshur në mënyrë të paligjshme uniformën e batalionit të shpërbërë të artilerisë në të cilin ishte bashkuar. I liruar me kusht, ai mori përsipër një detyrë që e pështiri atë si çdo gjë tjetër në jetë. Në letrat e tij drejtuar mikut të tij të përkushtuar Chevalier, ndjehet zhgënjimi i tij. Më 29 maj 1832, ai pranoi një sfidë për një duel, arsyet e të cilit nuk kuptohen plotësisht. “Rashë viktimë e një kokete të pandershme. Jeta ime është shuar në një grindje të mjerë,” shkruan ai në “Letër për të gjithë republikanët”. Vepra më e famshme e Galois është skicuar një natë para duelit fatal. Të shpërndara në margjina janë ankesat: “Nuk kam më kohë, nuk kam më kohë”. Ai u detyrua t'ua linte të tjerëve ekspozimin e detajuar të hapave të ndërmjetëm që nuk ishin thelbësorë për të kuptuar idenë kryesore. Ai duhej të vinte në letër bazën e zbulimeve të tij - origjinën e asaj që tani quhet teorema e Galois. Ai e përfundoi testamentin e tij duke i kërkuar Chevalier-it që "t'i bënte thirrje Jacobi dhe Gauss për të dhënë opinionin e tyre publik, jo për korrektësinë, por për rëndësinë e këtyre teoremave". Herët në mëngjes, Galois shkoi të takonte rivalin e tij. Ata duhej të gjuanin nga një distancë prej 25 hapash. Galois u plagos dhe vdiq në spital të nesërmen në mëngjes. Ai ishte vetëm njëzet vjeç.

Galois ndërtoi punën e Lagranzhit dhe Cauchy, por ai zhvilloi një metodë më të përgjithshme. Kjo ishte një arritje jashtëzakonisht e rëndësishme në fushën e zgjidhjes së kuintikëve. Shkencëtari i kushtoi më pak vëmendje ekuacioneve origjinale ose interpretimit grafik dhe mendoi më shumë për natyrën e vetë rrënjëve. Për ta thjeshtuar, Galois mori në konsideratë vetëm të ashtuquajturat kuintikë të pareduktueshëm, domethënë ato që nuk mund të faktorizoheshin në formën e polinomeve të rendit më të ulët (siç thamë, për çdo ekuacion polinomial deri në rendin e katërt ka formula për gjetjen e tyre rrënjët). Në përgjithësi, një polinom i pakalueshëm me koeficientë racionalë është një polinom që nuk mund të zbërthehet në polinome më të thjeshtë që kanë koeficientë racionalë. Për shembull, (x 5 - 1) mund të faktorizohet (x-1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1), kurse (x 5 - 2) E pareduktueshme. Qëllimi i Galois ishte të përcaktonte kushtet në të cilat të gjitha zgjidhjet e një ekuacioni polinomial të përgjithshëm të pareduktueshëm mund të gjenden në terma të radikalëve.

Çelësi i zgjidhjes është se rrënjët e çdo ekuacioni algjebrik të pakalueshëm nuk janë të pavarura, ato mund të shprehen njëra përmes tjetrës. Këto marrëdhënie u formalizuan në një grup të të gjitha permutacioneve të mundshme, i ashtuquajturi grupi i simetrisë së rrënjëve - për një kuintik, ky grup përmban 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 elemente. Algoritmet matematikore të teorisë Galois janë shumë komplekse dhe, ka shumë të ngjarë, pjesërisht si rezultat i kësaj, ato fillimisht ishin të vështira për t'u kuptuar. Por sapo niveli i abstraksionit e lejoi atë të kalonte nga zgjidhjet algjebrike të ekuacioneve në strukturën algjebrike të grupeve të tyre të lidhura, Galois ishte në gjendje të parashikonte zgjidhshmërinë e një ekuacioni bazuar në vetitë e grupeve të tilla. Për më tepër, teoria e tij siguroi gjithashtu një metodë me të cilën mund të gjendeshin vetë këto rrënjë. Sa i përket kuintikëve, matematikani Joseph Liouville (1809-1882), i cili në 1846 botoi shumicën e punës së Galois në Journal of Pure and Applied Mathematics, vuri në dukje se shkencëtari i ri kishte provuar një "teoremë të bukur" dhe në mënyrë që "të Nëse një ekuacion i pakalueshëm i shkallës fillestare është i zgjidhshëm në terma të radikalëve, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të gjitha rrënjët e tij të jenë funksione racionale të çdo dy prej tyre. Meqenëse kjo është e pamundur për një kuintik, nuk mund të zgjidhet duke përdorur radikale.

Në tre vjet, bota matematikore ka humbur dy nga yjet e saj më të ndritshëm. Pasuan akuza të ndërsjella dhe kërkime shpirtërore, dhe Abeli ​​dhe Galois arritën njohjen e merituar, por vetëm pas vdekjes. Në 1829, Carl Jacobi, përmes Lezhandrit, mësoi për dorëshkrimin "të humbur" të Abelit dhe në 1830 shpërtheu një skandal diplomatik kur konsulli norvegjez në Paris kërkoi që të gjendej artikulli i bashkatdhetarit të tij. Cauchy përfundimisht e gjeti artikullin, por e humbi përsëri nga redaktorët e akademisë! Në të njëjtin vit, Abelit iu dha Grand Prix në Matematikë (të përbashkët me Jacobi) - por ai tashmë kishte vdekur. Më 1841 u botua biografia e tij. Në 1846, Liouville redaktoi disa nga dorëshkrimet e Galois për botim dhe në hyrje shprehu keqardhjen që akademia fillimisht e kishte refuzuar punën e Galois për shkak të kompleksitetit të saj - "qartësia e prezantimit është me të vërtetë e nevojshme kur autori e çon lexuesin nga rruga e rrahur në një egërsi të paeksploruar. territore”. Ai vazhdon: “Galois nuk është më! Të mos biem në kritika të kota. Le të lëmë mënjanë mangësitë dhe të shohim avantazhet!”. Frytet e jetës së shkurtër të Galois përshtaten në vetëm gjashtëdhjetë faqe. Redaktori i një reviste matematikore për kandidatët në École Normale dhe École Polytechnique komentoi rastin Galois si më poshtë: “Një kandidat me inteligjencë të lartë u eliminua nga një ekzaminues me një nivel më të ulët të të menduarit. Barbarus hic ego sum, quia non intelligor illis.”

Para së gjithash, faqja e dytë e kësaj vepre nuk është e ngarkuar me emra, mbiemra, përshkrime të statusit shoqëror, tituj dhe elegji për nder të një princi koprrac, portofolin e të cilit do t'i hapet me ndihmën e këtyre temjanit - me kërcënimin e mbylljes. kur mbaron lavdërimi. Ju nuk do të shihni këtu lavdërime nderuese, të shkruara me shkronja tre herë më të mëdha se vetë teksti, drejtuar atyre me pozita të larta në shkencë, ndonjë mbrojtësi të mençur - diçka e detyrueshme (do të thosha e pashmangshme) për dikë në moshën njëzet vjeçare që dëshiron. për të shkruar diçka. Nuk po i them askujt këtu se i detyrohem këshillat dhe mbështetjen e tyre për të gjitha të mirat që dalin nga puna ime. Nuk e them këtë sepse do të ishte gënjeshtër. Nëse do të përmendja ndonjë nga të mëdhenjtë e shoqërisë apo shkencës (dallimi midis këtyre dy klasave të njerëzve është pothuajse i padukshëm në kohën e tanishme), betohem se nuk do të ishte një shenjë mirënjohjeje. Unë u detyrohem atyre që botova të parën nga këta dy artikuj kaq vonë dhe që të gjitha këto i shkrova në burg - një vend që vështirë se mund të konsiderohet i përshtatshëm për reflektim shkencor dhe shpesh habitem me përmbajtjen dhe aftësinë time për të mbajtur ma mbyll gojen.keshtjelle ne raport me zoiles budallenj e te lige. Unë mendoj se mund ta përdor fjalën "zoiles" pa frikë se do të akuzohem për pahijshmëri, pasi kështu i quaj kundërshtarët e mi. Nuk do të shkruaj këtu se si dhe pse më dërguan në burg, por duhet të them se dorëshkrimet e mia më shpesh humbën në dosjet e zotërinjve anëtarë të akademisë, megjithëse, në të vërtetë, nuk mund ta imagjinoj një gjë të tillë. mospërfillje nga ana e njerëzve që janë përgjegjës për vdekjen e Abelit. Sipas mendimit tim, çdokush do të donte të krahasohej me këtë matematikan të shkëlqyer. Mjafton të thuhet se artikulli im mbi teorinë e ekuacioneve u dërgua në Akademinë e Shkencave në shkurt 1830, se ekstrakte prej saj u dërguan në shkurt 1829, por asnjë nga këto nuk u shtyp, madje edhe dorëshkrimi doli të ishte i pamundur të kthimi.

Shkoni në kanalin youtube të faqes sonë të internetit për të qëndruar të përditësuar me të gjitha mësimet e reja video.

Së pari, le të kujtojmë formulat bazë të fuqive dhe vetitë e tyre.

Produkti i një numri a ndodh në vetvete n herë, këtë shprehje mund ta shkruajmë si a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = një nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Ekuacionet e fuqisë ose eksponenciale– këto janë ekuacione në të cilat ndryshoret janë në fuqi (ose eksponentë), dhe baza është një numër.

Shembuj të ekuacioneve eksponenciale:

Në këtë shembull, numri 6 është baza; është gjithmonë në fund dhe ndryshorja x shkallë ose tregues.

Le të japim më shumë shembuj të ekuacioneve eksponenciale.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

Tani le të shohim se si zgjidhen ekuacionet eksponenciale?

Le të marrim një ekuacion të thjeshtë:

2 x = 2 3

Ky shembull mund të zgjidhet edhe në kokën tuaj. Mund të shihet se x=3. Në fund të fundit, në mënyrë që anët e majta dhe të djathta të jenë të barabarta, duhet të vendosni numrin 3 në vend të x.
Tani le të shohim se si ta zyrtarizojmë këtë vendim:

2 x = 2 3
x = 3

Për të zgjidhur një ekuacion të tillë, ne hoqëm baza identike(dmth dyshe) dhe shkruani atë që kishte mbetur, këto janë gradë. Morëm përgjigjen që kërkonim.

Tani le të përmbledhim vendimin tonë.

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacionit eksponencial:
1. Duhet të kontrolloni e njëjta nëse ekuacioni ka baza djathtas dhe majtas. Nëse arsyet nuk janë të njëjta, ne po kërkojmë opsione për të zgjidhur këtë shembull.
2. Pasi bazat bëhen të njëjta, barazoj gradë dhe zgjidhni ekuacionin e ri që rezulton.

Tani le të shohim disa shembuj:

Le të fillojmë me diçka të thjeshtë.

Bazat në anën e majtë dhe të djathtë janë të barabarta me numrin 2, që do të thotë se mund të hedhim poshtë bazën dhe të barazojmë fuqitë e tyre.

x+2=4 Përftohet ekuacioni më i thjeshtë.
x=4 – 2
x=2
Përgjigje: x=2

Në shembullin e mëposhtëm mund të shihni se bazat janë të ndryshme: 3 dhe 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Së pari, zhvendosni nëntë në anën e djathtë, marrim:

Tani ju duhet të bëni të njëjtat baza. Ne e dimë se 9=3 2. Le të përdorim formulën e fuqisë (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Marrim 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Tani është e qartë se në anën e majtë dhe të djathtë bazat janë të njëjta dhe të barabarta me tre, që do të thotë se mund t'i hedhim dhe të barazojmë shkallët.

3x=2x+16 marrim ekuacionin më të thjeshtë
3x - 2x=16
x=16
Përgjigje: x=16.

Le të shohim shembullin e mëposhtëm:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Para së gjithash, ne shikojmë bazat, bazat dy dhe katër. Dhe ne kemi nevojë që ata të jenë të njëjtë. Ne i transformojmë katër duke përdorur formulën (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Dhe ne përdorim gjithashtu një formulë a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Shtoni në ekuacion:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Ne dhamë një shembull për të njëjtat arsye. Por na shqetësojnë numrat e tjerë 10 dhe 24. Çfarë të bëjmë me ta? Nëse shikoni nga afër, mund të shihni se në anën e majtë kemi 2 2x të përsëritura, këtu është përgjigja - mund të vendosim 2 2x jashtë kllapave:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Le të llogarisim shprehjen në kllapa:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Të gjithë ekuacionin e ndajmë me 6:

Le të imagjinojmë 4=2 2:

2 2x = 2 2 bazat janë të njëjta, i hedhim dhe i barazojmë shkallët.
2x = 2 është ekuacioni më i thjeshtë. E ndajmë me 2 dhe marrim
x = 1
Përgjigje: x = 1.

Le të zgjidhim ekuacionin:

9 x – 12*3 x +27= 0

Le të transformojmë:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Ne marrim ekuacionin:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bazat tona janë të njëjta, të barabarta me tre. Në këtë shembull, ju mund të shihni se treja e parë ka një shkallë dy herë (2x) se e dyta (vetëm x). Në këtë rast, ju mund të zgjidhni metoda e zëvendësimit. Ne e zëvendësojmë numrin me shkallën më të vogël:

Pastaj 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Ne i zëvendësojmë të gjitha fuqitë x në ekuacion me t:

t 2 - 12t+27 = 0
Ne marrim një ekuacion kuadratik. Duke zgjidhur përmes diskriminuesit, marrim:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Kthimi te ndryshorja x.

Merrni t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Kjo eshte,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

U gjet një rrënjë. Ne jemi duke kërkuar për të dytin nga t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Përgjigje: x 1 = 2; x 2 = 1.

Në faqen e internetit mund të bëni çdo pyetje që mund të keni në seksionin NDIHMË PËR VENDOSJE, ne patjetër do t'ju përgjigjemi.

Bashkohu me grupin