Secțiuni: Matematică

Clasă: 10

Scopul lecției. Generalizarea, sistematizarea și aprofundarea cunoștințelor pe tema „Semnificația geometrică a derivatelor”.

Obiectivele lecției.

  • Dezvoltați capacitatea de a aplica cunoștințele teoretice atunci când rezolvați sarcini de complexitate diferită.
  • Pregătirea pentru examenul de stat unificat
  • Dezvoltați capacitatea de a gestiona timpul de lecție și de a vă evalua activitățile de învățare.

Echipament: Tablă interactivă, prezentare, instrumente de desen, cretă, manuale, caiete. Toată lumea are un puzzle de cuvinte încrucișate pe birou.

Tipul de lecție. O lecție de sistematizare și aprofundare a cunoștințelor pe această temă (pregătirea pentru Examenul Unificat de Stat.).

În timpul orelor

1. Repetarea materialului teoretic. Soluție de cuvinte încrucișate (Diapozitiv - 3)

2. Repetați algoritmul pentru alcătuirea ecuației tangentei. (Diapozitiv - 6.7)

Pentru a crea o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y=f(x) în punctul x 0, trebuie să găsiți

2) y"(x0) =f"(x 0)

3) y(x0) =f(x 0)

4) Înlocuiți numerele găsite în formulă

3. Rezolvarea exemplelor. Evaluare inter pares. Autotestare. Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției y=f(x) în punctul x 0.

a), x 0 =1 (Diapozitiv - 7,8)

b) y=-x 2 +4, x 0 =-1 (Diapozitiv - 9,10)

c)y = x 3, x 0 = 1 (Diapozitiv - 12-15)

d) x 0 =4 (Diapozitiv - 16,17)

e) y = tgx în punctul x 0 =0 (Diapozitiv - 20-22)

4. Rezolvarea problemelor complexe.

Al doilea tip de ecuație tangentă. (Diapozitiv - 23)

  • Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y=f(x0), dacă tangenta este paralelă cu dreapta y= kx+b.

Algoritm de găsire.

1. Să găsim derivata funcției.

2. Întrucât coeficientul unghiular al tangentei la graficul funcției y= f(x0) este egal cu valoarea derivatei funcției, i.e. k=f "(x0), atunci găsim abscisa punctului de tangență prin rezolvarea ecuației f "(x0) = k.

3. Aflați valoarea funcției în punctul x0.

4. Înlocuind valorile găsite în formulă, obținem ecuația tangentei.

Al treilea tip de ecuație tangentă. (Diapozitiv - 27)

Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y=f(x), dacă se știe că această tangentă trece prin punctul A(x 0 ,y 0).

Algoritm de rezolvare.

  • Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y=f(x), dacă se știe că această tangentă trece prin punctul A(x 0 ,y 0).

Y=(x-2)2-1; A(3;-1) (Diapozitiv - 28-30)

Al patrulea tip de ecuație tangentă. (Diapozitiv - 31)

  • Scrieți o ecuație pentru tangenta comună la graficele funcțiilor y= f(X) și y = g (x).

Algoritm de rezolvare.

  1. Să introducem punctele presupuse de tangență x1 - pentru funcția y= f(x) și x2 - pentru funcția y= g(x).
  2. Să găsim derivatele acestor funcții.
  3. Să găsim valorile derivatelor în aceste puncte f „(x1) și g” (x2).
  4. Să găsim valorile funcțiilor în aceste puncte y = f(x1) și y = g(x2).
  5. Să compunem ecuații tangente pentru fiecare funcție respectiv.
  6. Să notăm coeficienții unghiulari k1, k2 și b1, b2.
    Deoarece tangenta este comună, coeficienții unghiulari sunt egali, iar valorile lui b sunt egale. k1 = k2 și b1= b2
  7. Să creăm un sistem de ecuații și să-l rezolvăm, să găsim valorile lui x1 și x2
  8. Înlocuim valorile găsite în ecuațiile tangente generale.
  9. Ecuațiile s-au dovedit a fi aceleași. Am obținut ecuația tangentei comune la grafice
  • Scrieți o ecuație pentru tangenta comună la graficele funcțiilor y=f(x) și y= g(x).
    Y-(x-+2) 2 - 3 și y=x 2 (Diapozitiv - 32-36)

Rezolvarea sarcinilor în formatul Unified State Exam (Slide - 37-40)

Planul de lecție pentru clasa a X-a

„Ecuația unei tangente la graficul unei funcții”

Tip de lecție: O lecție de prezentare inițială a noilor cunoștințe și formarea abilităților inițiale de subiect, stăpânirea abilităților de subiect.

Obiectivul didactic al lecției: Asigurarea conștientizării și asimilarii conceptelor, regulilor, algoritmilor; formarea deprinderilor în aplicarea principiilor teoretice în contextul rezolvării problemelor educaţionale.

Obiectivele lecției: retrage ecuația unei tangente la un grafic al unei funcții, învață cum să construiești o ecuație a unei tangente pentru o funcție dată la un punct dat.

Rezultate planificate:

ZUN-uri. Elevii trebuie

cunoașteți: ecuația tangentei la graficul unei funcții în punctul x 0 ;

să poată: alcătui o ecuație pentru o tangentă la graficul unei funcții date într-un punct dat.

dezvoltarea deprinderii de a întocmi o ecuație pentru o tangentă la graficul unei funcții date la un punct dat.

Echipament: tabla, calculator, proiector, ecran, manuale, caiete elevilor, materiale de scris.

Profesor: Nesterova Svetlana Yurievna

Buna baieti! Toată lumea este pregătită pentru curs? Te poți așeza.

1 tobogan. „Tangentă la graficul unei funcții”

Lucrare orală care vizează pregătirea elevilor pentru a percepe o temă nouă (repetarea materialului studiat anterior)

10.01 – 10.03

Frontal

Lucrări orale

Pentru a înțelege temeinic subiectul lecției de astăzi, trebuie să ne amintim ceea ce am studiat anterior.

Răspunde la următoarele întrebări.

2 tobogan.

    Graficul a cărei funcție este o dreaptă?(liniar)

    Ce ecuație definește o funcție liniară?(y = k x + b )

    Care este numele numărului de dinainte de "X »? ( panta directa)

Într-un mod diferit, ecuațiay = k x + b numită ecuația unei drepte cu coeficient unghiular.

3 slide.

    Care este panta dreptei?(tangenta unghiului de înclinare a dreptei pe care o formează această dreaptă cu direcția pozitivă a axei Ox).

    Formulați definiția unei tangente:(linie dreaptă care trece prin punctul (x O ; f (X O )), cu segmentul căruia graficul se îmbină practic diferentiabila in punctul x O funcții f pentru valorile lui x apropiate de x O ).

4 slide.

Dacă în punctul x o există derivat , Acea există tangentă (non-vertical) la graficul funcției în punct X o .

5 slide.

Dacă f ’ ( X 0 ) nu există, atunci tangenta este fie

    nu există (cum ar fi funcția y = |x|),

    sau verticală (cum ar fi graficul y = 3 √x).

6 slide.

Să ne amintim care poate fi poziția relativă a tangentei cu axa absciselor?

Creștere directă => pantăk >0, tg> 0 => unghi ascuțit.

Linie dreaptă // Axa OX => pantăk=0, tg= 0 => unghi = 0 0

Linie descendentă => pantăk <0, tg < 0 =>unghi obtuz.

Slide 7

Semnificația geometrică a derivatei:

Panta tangentei este egală cu valoarea derivatei funcției în punctul în care este trasată tangentei k = f `( X o ).

Bine, bine făcut, repetiția s-a terminat.

Subiectul lecției. Stabilirea unui obiectiv de lecție

10.03-10.05

Discuție, conversație

Finalizați următoarea sarcină:

Dată o funcție y = x 3 . Scrie ecuația tangentei la graficul acestei funcții în punctul x 0 = 1.

PROBLEMĂ? Da. Cum să o rezolv? Care sunt opțiunile tale? Unde puteți găsi ajutor cu această problemă? În ce surse? Dar este problema rezolvabilă? Deci, care crezi că va fi subiectul lecției noastre?

Subiectul lecției de astăzi„Ecuația tangentă” .

Ei bine, acum formulează obiectivele lecției noastre (COPII):

1. Deduceți ecuații pentru tangenta la graficul funcției în punctulX O .

2. Învață să scrii o ecuație tangentă pentru o funcție dată.

Deschidem caietele, notăm numărul, „lucrarea clasei” și subiectul lecției în margine.

Percepția primară și asimilarea noului material educațional teoretic

10.06- 10.12

Frontal

Căutare și cercetare

8 slide.

Să rezolvăm această problemă practică. Scriu pe tablă - te uiți și raționezi cu mine.

Dată o funcție y = x 3 . Este necesar să scrieți ecuația tangentei la graficul acestei funcții în punctul x 0 = 1.

Să raționăm: ecuația unei drepte cu un coeficient de unghi are forma:y = k x + b .

Pentru a o scrie, trebuie să cunoaștem sensulk Și b .

Vom găsi k (din sensul geometric al derivatului):

k = f `( X o ) = f `(1) = 3 * 1 2 = 3, adică k = 3 .

Ecuația noastră ia forma: y= 3x + b .

Amintiți-vă: dacă o dreaptă trece printr-un punct dat, atunci când înlocuiți coordonatele acestui punct în ecuația dreptei, ar trebui să se obțină egalitatea corectă. Aceasta înseamnă că trebuie să găsim ordonata punctului - valoarea funcției în punctul x 0 = 1: f (1) =1 3 =1. Punctul tangent are coordonatele (1; 1).

Inlocuim valorile gasite in ecuatia liniei drepte, obtinem:

1 = 3 . 1+ b ; Mijloace b = - 2 .

Să înlocuim valorile găsitek = 3 Și b = - 2 în ecuația unei linii drepte:y = 3x - 2.

Problema este rezolvată.

Slide 9

Acum să rezolvăm aceeași problemă în formă generală.

Dată o funcție y = f ( X ), este necesar să scriem ecuația tangentei la graficul acestei funcții în punctul x 0 .

Raționăm după aceeași schemă: ecuația unei drepte cu coeficient de unghi are forma:y = k x + b .

Din sensul geometric al derivatului: k = f `( X o )=> y = f `( X o ) * x + b .

Valoarea funcției în punctul x 0 da f ( X o ), aceasta înseamnă că tangenta trece prin punctul cu coordonate( X 0 ; f ( X o ))=> f ( X o )= f `( X o ) * X o + b .

Să ne exprimăm din această înregistrare b : b = f ( X o ) - f `( X o ) * X o .

Să substituim toate expresiile în ecuația dreptei:

y = f `( X o ) * x + b = f `( X o ) * x + f ( X o ) - f `( X o ) * X o = f `( X o ) * ( X - X o )+ f ( X o ).

COMPARAȚI CU MANUALUL (pag. 131)

Vă rugăm să găsiți intrarea pentru ecuația tangentei în textul manualului și să o comparați cu ceea ce am obținut.

Înregistrarea este puțin diferită (prin ce?), dar este corectă.

Se obișnuiește să scrieți ecuația tangentei în următoarea formă:

y = f ( X o ) + f `( X o )( X - X o )

Scrie această formulă în caiet și evidențiază-o - trebuie să o știi!

Slide 9

Acum să creăm un algoritm pentru găsirea ecuației tangente. Toate „sfaturile” sunt în formula noastră.

    Găsiți valoarea unei funcții într-un punctX O

    Calculați derivata unei funcții

    Aflați valoarea derivatei unei funcții într-un punctX O

    Înlocuiți numerele rezultate în formulă

y = f ( X o ) + f `( X o )( X – X o )

    Reduceți ecuația la forma standard

Exersarea deprinderilor primare

10.12-10.14

Frontal

Discuție scrisă + comună

Cum funcționează această formulă? Să ne uităm la un exemplu. Scrie exemplul în caiet.

Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției f (X) = x 3 – 2x 2 + 1 în punctul cu abscisa 2.

Efectuăm derivarea ecuației cu scris pe tablă și în caiete.

Răspuns: y = 4x – 7.

Lucrul cu o sursă de informații

10.14-10.15

Individual

Lectură text, discuție

Uită-te la manualul de la p. 131, exemplu 2. Citiți până la paragraful 3. Despre ce este acest exemplu? (puteți crea o ecuație pentru o funcție dată în formă generală și apoi găsiți ecuația tangentă pentru orice valoare a lui x 0 , și puteți găsi, de asemenea, punctul de intersecție al tangentei la parabola standard cu axa Ox

Pauza dinamica

10.15-10.16

Odihnă

Un moment de odihnă.

Slide – exercițiu pentru corp, exercițiu pentru ochi.

Aplicarea principiilor teoretice in conditiile realizarii exercitiilor si rezolvarii problemelor

10.16- 10.30

Frontal, individual

Scris (tabliță + caiet)

Ei bine, acum să trecem la lucrări practice, al căror scop este de a dezvolta abilitățile de a elabora o ecuație tangentă.

Notează numerele 255(a, b), 256(a, b) pe tablă.rezerva 257 (a, b),* .

* – o sarcină de nivelul următor de dificultate pentru elevii cei mai pregătiți: Pe o parabolă y = 3x 2 - 4x + 6 găsiți punctul în care tangentei la ea // linia y = 2x + 4 și scrieți ecuația tangentei la parabolă în acest punct.

Elevii sunt invitați să lucreze la consiliu (unul câte unul).

Raspunsuri:

№255

a) y = - 3x – 6, y = - 3x + 6 b) y = 2x, y = - 2x +4

№256

a) y = 3, y = - 3x + 3π b) y = 2x + 1 – π/ 2, y = 4x + √3 - 4 π/ 3

№257 (rezervă)

a) x = 1, y = 1, în t. (1; 1) tangentă // Ox

b) x = - 2, y = - 24, în t. (-2; -24) tangentă // Oh

Temă *răspunsuri:

A (1; 5), ecuația tangentei y = 2x + 3.

Utilizarea independentă a abilităților

10.30-10.35

Grup, individual, independent

Scris (caiet), discuție de lucru în perechi

Deci ce am făcut? Cine a inteles materialul? Cine are întrebări? Vom efectua o auto-monitorizare a înțelegerii noastre a subiectului lecției.

Veți lucra în perechi - aveți cărți cu sarcini pe mese. Citiți cu atenție sarcina; se acordă 4-5 minute pentru finalizarea lucrării.

Sarcina: Scrieți o ecuație pentru tangenta la funcția datăf(X) într-un punct cu o abscisă dată.

eu: f( X) = x 2 – 2х – 8, în punctul cu abscisă -1. Răspuns: y = -4x – 9.

II: f( X) = 2x 2 – 4x + 12, la abscisa 2. Răspuns: y = 4x + 4.

III: f( X) = 3x 2 – x – 9, în punctul cu abscisa 1. Răspuns: y = 5x –12.

IV: f( X) = 4x 2 + 2x + 3, în punctul cu abscisă -0,5. Răspuns: y = -2x + 2.

Verificarea finalizării lucrărilor independente

10.35-10.37

Frontal, grup

Implementarea autocontrolului după model, discuție

Răspunsuri pe tablă (rotate). Elevii se autocontrolează.

Cine a primit aceleași răspunsuri?

Cine nu a avut aceleași răspunsuri?

Unde ai gresit?

Întrebări pentru elevi pentru a consolida semnificația geometrică a derivatei:

    Numiți liniile care intersectează axa Ox la un unghi ascuțit.

    Numiți liniile drepte care // sunt axele Ox.

    Numiți liniile drepte care formează un unghi cu axa Ox a căror tangentă este un număr negativ.

Reflectarea activității

10.37-10.39

Frontal

Conversaţie

Rezumând lecția.

    Ce problemaa apărut în fața noastră în timpul lecției? (trebuia să scriem ecuația tangentei, dar nu știam cum să o facem)

    Ce obiective ne-am stabilit pentru această lecție? (deduceți ecuația tangentei, învățați să construiți ecuația tangentei pentru o funcție dată într-un punct dat)

    Ai atins scopul lecției?

    Câți dintre voi pot spune cu încredere că ați învățat să scrieți o ecuație tangentă?

    Cine mai are întrebări? Cu siguranță vom continua să lucrăm pe acest subiect și, sper, problemele tale vor fi rezolvate 100%!

Teme pentru acasă

10.39-10.40

Notează-ți temele - nr. 255 (vg), 256 (vg), 257 (vg),*, formulă!!!

Căutați în manual temele pentru acasă.

№№ 255(vg), 256(vg) - continuarea lucrărilor de clasă privind dezvoltarea abilității de a scrie o ecuație tangentă.

* – o sarcină de următorul nivel de dificultate pentru cei care doresc să se testeze:

Pe o parabolă y = x 2 + 5x – 16 găsiți punctul în care tangente la ea // linia este 5x+y+4 =0.

Mulțumesc pentru muncă. Lecția s-a terminat.

Clasă: 10

Prezentare pentru lecție























Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Tip de lecție:învăţarea de materiale noi.

Metode de predare: vizual, parțial de căutare.

Scopul lecției.

  1. Introduceți conceptul de tangentă la graficul unei funcții într-un punct, aflați care este semnificația geometrică a derivatei, deduceți ecuația tangentei și învățați cum să o găsiți pentru anumite funcții.
  2. Dezvoltați gândirea logică și vorbirea matematică.
  3. Cultivați voința și perseverența pentru a obține rezultatele finale.

Echipament: tabla interactiva, calculator.

Planul lecției

I. Moment organizatoric

Verificarea gradului de pregătire a elevilor pentru lecție. Comunicați subiectul și obiectivele lecției.

II. Actualizarea cunoștințelor.

(Amintiți-vă împreună cu elevii de definiția geometrică a unei tangente la graficul unei funcții. Dați exemple care să arate că această afirmație nu este completă.)

Să ne amintim ce este o tangentă?

„O tangentă este o dreaptă care are un punct comun cu o curbă dată.” (Diapozitivul nr. 2)

Discuție asupra corectitudinii acestei definiții. (După discuție, elevii ajung la concluzia că această definiție este incorectă.) Pentru a-și demonstra în mod clar concluzia, dăm următorul exemplu.

Să ne uităm la un exemplu. (Diapozitivul nr. 3)

Să fie date o parabolă și două drepte , care are un punct comun M (1;1) cu o parabolă dată. Există o discuție despre motivul pentru care prima linie nu este tangentă la această parabolă (Fig. 1), dar a doua este (Fig. 2).

În această lecție, tu și cu mine trebuie să aflăm ce este o tangentă la graficul unei funcții într-un punct, cum să creăm o ecuație pentru tangentă?

Luați în considerare principalele sarcini pentru alcătuirea ecuației tangentei.

Pentru a face acest lucru, amintiți-vă forma generală a ecuației unei drepte, condițiile pentru paralelismul liniilor, definiția unei derivate și regulile de diferențiere. (Diapozitivul nr. 4)

III. Lucrări pregătitoare pentru învățarea de materiale noi.

  1. Formulați definiția unei derivate. (Diapozitivul nr. 5)
  2. Completați tabelul cu funcții elementare arbitrare. (Diapozitivul nr. 6)
  3. Amintiți-vă regulile de diferențiere. (Diapozitivul nr. 7)
  4. Care dintre următoarele drepte sunt paralele și de ce? (Vezi clar) (Diapozitivul nr. 8)

IV Studierea materialelor noi.

Pentru a stabili ecuația unei drepte pe un plan, este suficient să cunoaștem coeficientul unghiular și coordonatele unui punct.

Să fie dat graficul funcției. Pe el este selectat un punct, în acest punct este trasată o tangentă la graficul funcției (presupunem că există). Aflați panta tangentei.

Să dăm argumentului o creștere și să considerăm pe grafic (Fig. 3) punctul P cu abscisă. Coeficientul unghiular al secantei MP, i.e. tangenta unghiului dintre secanta si axa x se calculeaza prin formula.

Dacă acum avem tendința la zero, atunci punctul P va începe să se apropie de punctul M de-a lungul unei curbe.Am caracterizat tangenta ca poziție limită a secantei în timpul acestei abordări. Aceasta înseamnă că este firesc să presupunem că coeficientul unghiular al tangentei va fi calculat folosind formula.

Prin urmare, .

Dacă la graficul funcţiei y = f (x) în punctul x = a puteți desena o tangentă care nu este paralelă cu axa la, apoi exprimă panta tangentei. (Diapozitivul numărul 10)

Sau altfel. Derivată la un punct x = a egală cu panta tangentei la graficul funcției y = f(x)în acest moment.

Acesta este sensul geometric al derivatului. (Diapozitivul nr. 11)

Mai mult, dacă:

Să aflăm forma generală a ecuației tangentei.

Fie linia dreaptă dată de ecuația . Noi stim aia . Pentru a calcula m, folosim faptul că linia trece prin punct. Să-l conectăm în ecuație. Primim, i.e. . Să înlocuim valorile găsite kȘi mîn ecuația unei linii drepte:

– ecuația tangentei la graficul funcției. (Diapozitivul nr. 12)

Să ne uităm la exemple:

Să creăm o ecuație pentru tangentă:

(Diapozitivul nr. 14)

Când am rezolvat aceste exemple, am folosit un algoritm foarte simplu, care este următorul: (Diapozitivul nr. 15)

Să ne uităm la sarcinile tipice și la soluțiile acestora.

Nr. 1 Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției în punctul.

(Diapozitivul nr. 16)

Soluţie. Să folosim algoritmul, ținând cont de faptul că în acest exemplu .

2)

3) ;

4) Înlocuiți numerele găsite ,, în formulă.

Nr. 2 Desenați o tangentă la graficul funcției astfel încât să fie paralelă cu dreapta. (Diapozitivul nr. 17)

Soluţie. Să clarificăm formularea problemei. Cerința de a „trage o tangentă” înseamnă de obicei „a forma o ecuație pentru tangentă”. Să folosim algoritmul pentru construirea unei tangente, ținând cont de faptul că în acest exemplu .

Tangenta dorită trebuie să fie paralelă cu dreapta. Două drepte sunt paralele dacă și numai dacă panta lor este egală. Aceasta înseamnă că coeficientul unghiular al tangentei trebuie să fie egal cu coeficientul unghiular al dreptei date: .Dar . Prin urmare: ; ., adică

V. Rezolvarea problemelor.

1. Rezolvarea problemelor folosind desene finite (diapozitivul nr. 18 și diapozitivul nr. 19)

2. Rezolvarea problemelor din manual: Nr. 29.3 (a, c), Nr. 29.12 (b, d), Nr. 29.18, Nr. 29.23 (a) (Diapozitivul Nr. 20)

VI. Rezumând.

1. Răspundeți la întrebări:

  • Care este tangenta la graficul unei functii intr-un punct?
  • Care este semnificația geometrică a derivatei?
  • Formulați un algoritm pentru găsirea ecuației tangentei?

2. Care au fost dificultățile din timpul lecției, ce părți ale lecției ți-au plăcut cel mai mult?

3. Marcare.

VII. Comentarii la teme

Nr. 29.3 (b,d), Nr. 29.12 (a,c), Nr. 29.19, Nr. 29.23 (b) (Diapozitivul Nr. 22)

Literatură. (Diapozitivul 23)

  1. Algebra și începuturile analizei matematice: Manual. Pentru clasele 10-11. pentru studenții instituțiilor de învățământ general (nivel de bază) / Editat de A.G. Mordkovici. – M.: Mnemosyne, 2009.
  2. Algebra și începuturile analizei matematice: Cartea de probleme, Pentru clasele 10-11. pentru studenții instituțiilor de învățământ general (nivel de bază) / Editat de A.G. Mordkovici. – M.: Mnemosyne, 2009.
  3. Algebra și începuturile analizei. Muncă independentă și de testare pentru clasele 10-11. / Ershova A.P., Goloborodko V.V. – M.: ILEKSA, 2010.
  4. Examenul Unificat de Stat 2010. Matematică. Problema B8. Caiet de lucru / Editat de A.L. Semenov și I.V. Yashchenko - M.: Editura MTsNMO, 2010.

Lecțiile 70-71. Ecuația tangentei la graficul unei funcții

09.07.2015 5132 0

Ţintă: obțineți ecuația tangentei la graficul funcției.

I. Comunicarea temei și a scopului lecțiilor

II. Repetarea și consolidarea materialului acoperit

1. Răspunsuri la întrebări despre teme (analiza problemelor nerezolvate).

2. Monitorizarea asimilării materialului (test).

Opțiunea 1

1. Aflați derivata funcției y = 3x4 – 2 cos x .

Răspuns:

în punctul x = π.

Răspuns:

3. Rezolvați ecuația y ’(x) = 0, dacă

Răspuns:

Opțiunea 2

1. Aflați derivata funcției y = 5xb + 3 sinx.

Răspuns:

2. Calculați valoarea derivatei funcțieiîn punctul x = π.

Răspuns:

3. Rezolvați ecuația y ’(x) = 0, dacă

Răspuns:

III. Învățarea de materiale noi

În cele din urmă, vom trece la etapa finală de studiu a derivatului și vom lua în considerare utilizarea derivatului în lecțiile rămase. În această lecție vom discuta tangenta la graficul unei funcții.

Conceptul de tangentă a fost deja discutat mai devreme. S-a arătat că graficul unei funcții diferențiabilă la punctul a f (x) aproape de a nu diferă practic de graficul tangentei, ceea ce înseamnă că este aproape de secanta care trece prin punctele (a; f (a)) și (a + Δx; f (a + Δx)). Oricare dintre aceste secante trece prin punctul M(a; f (A)). Pentru a scrie o ecuație pentru o tangentă, trebuie să specificați panta acesteia. Coeficientul unghiular al secantei Δ f /Δ x la Δх → 0 tinde către număr f „(a), care este coeficientul unghiular al tangentei. Prin urmare, ei spun că tangenta este poziția limită a secantei la Δx→ 0.

Acum obținem ecuația tangentei la graficul funcției f (X). Deoarece tangenta este o dreaptă și panta ei este f „(a), atunci putem scrie ecuația sa y = f „(a) x + b . Să găsim coeficientul b din condiția ca tangenta să treacă prin punctul M(a; f (A)). Înlocuiți coordonatele acestui punct în ecuația tangentei și obțineți: f (a) = f „(a) a + b, de unde b = f (a) - f „(a) · a. Acum să înlocuim valoarea găsită b în ecuația tangentei și obținem: sau Aceasta este ecuația tangentei. Să discutăm despre aplicarea ecuației tangentei.

Exemplul 1

La ce unghi se află unda sinusoidalăintersectează axa x la origine?

Unghiul la care graficul unei anumite funcții intersectează axa x este egal cu panta a tangentei trasate la graficul funcției f(x ) în acest moment. Să găsim derivata:Ținând cont de semnificația geometrică a derivatei, avem:și a = 60°.

Exemplul 2

Să scriem ecuația tangentei la graficul funcției f (x) = -x2 + 4x în punct a = 1.

f „(x) și funcția în sine f (x) la punctul a = 1 și obținem: f "(a) = f "(1) = -2 1 + 4 = 2 și f (a) = f (1) = -12 + 4 · 1 = 3. Să substituim aceste valori în ecuația tangentei. Avem: y = 2(x - 1) + 3 sau y = 2x + 1.

Pentru claritate, figura prezintă un grafic al funcției f(x ) și tangentă la această funcție. Atingerea are loc la un moment dat M (1; 3).

Pe baza exemplelor 1 și 2, putem formula un algoritm pentru obținerea ecuației tangentei la graficul funcției y = f(x):

1) desemnați abscisa punctului tangent cu litera a;

2) se calculează f (a);

3) găsiți f „(x) și calculați f „(a);

4) înlocuiți numerele găsite a , f (a ), f "(a ) în formula y = f ’(a )(x - a ) + f (a ).

Rețineți că inițial punctul a poate fi necunoscut și trebuie găsit din condițiile problemei. Apoi, în algoritmul din paragrafele 2 și 3, cuvântul „calculați” trebuie înlocuit cu cuvântul „scrie” (după cum este ilustrat în exemplul 3).

În exemplul 2, abscisa a punctului de tangență a fost specificată direct. În multe cazuri, punctul de tangență este determinat de diferite condiții suplimentare.

Exemplul 3

Să scriem ecuațiile tangentelor trase din punct A (0; 4) la graficul funcției f (x) = - x 2 + 2x.

Este ușor de verificat că punctul A nu se află pe o parabolă. În același timp, punctele tangente ale parabolei și ale tangentelor sunt necunoscute, prin urmare, pentru a găsi aceste puncte, se va folosi o condiție suplimentară - trecerea tangentelor prin punctul A.

Să presupunem că contactul are loc la punctul a. Să găsim derivata funcției:Să calculăm valorile derivate f "(x ) și funcția în sine f (x) în punctul de tangență a și obținem: f ’(a) = -2a + 2 și f (a ) = -a2 + 2a. Să substituim aceste mărimi în ecuația tangentei. Avem: sau Aceasta este o ecuație tangentă.

Să notăm condiția ca tangentei să treacă prin punctul A, înlocuind coordonatele acestui punct. Obtinem: 4sau 4 = a2, de unde a = ±2. Astfel, contactul are loc în două puncte B(-2; -8) și C(2; 0). Prin urmare, vor exista două astfel de tangente. Să le găsim ecuațiile. Să substituim valorile a = ±2 în ecuația tangentei. Primim: când a = 2 sau yx = -2x + 4; la a = -2 sau y2 = 6x + 4. Deci, ecuațiile tangente sunt y1 = -2x + 4 și y2 = 6x + 4.

Exemplul 4

Să găsim unghiul dintre tangente folosind condițiile problemei anterioare.

Tangentele desenate y1 = -2x + 4 și y2 = 6x + 4 formează unghiuri a1 și a2 cu direcția pozitivă a axei absciselor (și tg a 1 = -2 și tg a 2 = 6) iar între ele unghiul φ = a 1 - a2. Să găsim, folosind formula binecunoscută,de unde φ = arctan 8/11.

Exemplul 5

Să scriem ecuația tangentei la graficul funcțieiparalel cu dreapta y = -x + 2.

Două drepte sunt paralele între ele dacă au pante egale. Coeficientul unghiular al dreptei y = -x + 2 este egal cu -1, coeficientul unghiular al tangentei dorite este egal cu f ’(a), unde a - abscisa punctului de tangenta. Prin urmare, pentru a determina un avem o condiție suplimentară f ’(a) = -1.

Folosind formula pentru derivata unui cot de funcții, găsim derivata:Să găsim valoarea derivatei în punctul respectiv a și obținem:

Obținem ecuațiasau (a - 2)2 = 4, sau a - 2 = ±2, de unde a = 4 și a = 0. Astfel, există două tangente care îndeplinesc condițiile problemei. Să substituim valorile a = 4 și a = 0 în ecuația tangentei y = f ’(a)(x - a) + f (A). Pentru a = 4 avem:și tangenta y1 = -(x - 4) + 3 sau y1 = -x + 7. Pentru a = 0 obținem:iar tangenta y2 = -(x - 0) – 1 sau y2 = -x - 1. Deci, ecuațiile tangentelor sunt y1 = -x + 7 și y2 = -x - 1.

Rețineți că dacă f "(a ) nu există, atunci tangenta sau nu există (ca și în cazul funcției f (x) = |x| în punctul (0; 0) - fig. a sau vertical (ca în funcțiaîn punctul (0; 0) - fig. b.


Deci, existența derivatei funcției f (x) la punctul a este echivalentă cu existența unei tangente neverticale la punctul (a; f (a)) grafică. În acest caz, coeficientul unghiular al tangentei este egal cu f „(a). Acesta este sensul geometric al derivatului.

Conceptul de derivată permite calcule aproximative. S-a remarcat deja în mod repetat că la Δх→ 0 valori ale funcției f(x ) și tangenta la acesta y(x) practic coincid. Prin urmare, la Δx→ 0 comportament al funcției f (x) în vecinătatea punctului x0 poate fi descris aproximativ prin formula(de fapt o ecuație tangentă). Această formulă este utilizată cu succes pentru calcule aproximative.

Exemplul 6

Să calculăm valoarea funcțieiîn punctul x = 2,03.

Să găsim derivata acestei funcții: f „(x) = 12x2 - 4x + 3. Presupunem că x = a + Δx, unde a = 2 și Δx = 0,03. Să calculăm valorile funcției și derivata ei în punctul a și obținem:Și Acum determinăm valoarea funcției la un punct dat x = 2,03. Avem:

Desigur, formula de mai sus este convenabilă de utilizat dacă valorile f (a) și f „(a ) este ușor de calculat.

Exemplul 7

Să calculăm

Luați în considerare funcțiaSă găsim derivata:Vom presupune că x = a + Δx, unde a = 8 și Δx = 0,03. Să calculăm valorile funcției și derivata acesteia în punctul a și obținem:Acum să determinăm valoarea funcției la un punct dat x = 8,03. Avem:

Exemplul 8

Să rezumăm rezultatele obținute. Luați în considerare funcția de putere f (x) = x n și vom presupune că x = a + Δx și Δx→ 0. Aflați f „(x) = n x n -1 și calculați valorile funcției și derivatei acesteia la punctul a, obținem: f (a ) = an și f ’(a ) = nan -1 . Acum avem formula f (x) = a n + nan -1 Δx. Să-l folosim pentru a calcula numărul 0,98-20. Vom presupune că a = 1, Δx = -0,02 și n = -20. Atunci obținem:

Desigur, formula de mai sus poate fi utilizată pentru orice alte funcții, în special pentru cele trigonometrice.

Exemplul 9

Să calculăm bronzul 48°.

Luați în considerare funcția f (x) = tan x și găsiți derivata:Vom presupune că x = a + Δ x, unde a = 45° = π/4 și (Încă o dată, rețineți că în trigonometrie, unghiurile sunt de obicei măsurate în radiani). Să găsim valorile funcției și derivata ei la punctul a și obținem:Acum hai să calculăm(se are în vedere că π = 3,14).

IV. Întrebări de control

1. Ecuația unei tangente la graficul unei funcții.

2. Algoritm pentru derivarea ecuației tangentei.

3. Sensul geometric al derivatului.

4. Aplicarea ecuației tangentei pentru calcule aproximative.

V. Atribuirea lecției

§ 29, nr.1 (a); 2 (b); 5 (a, b); 6 (c, d); 9(a); 10 (b); 12 (g); 14(a); 17; 21(a); 22 (a, c); 24 (a, b); 25(a); 26.

VI. Temă pentru acasă

§ 29, nr. 1 (b); 2 (c); 5 (c, d); 6 (a, b); 9 (b); 10(a); 12 (b); 14 (b); 18; 21 (c); 22 (b, d); 24 (c, d); 25 (b); 27.

VII. Sarcini creative

1. În ce puncte x sunt tangentele la graficele funcțiilor paralel?

Răspuns: x = -1, x = 3.

2. Pentru ce x sunt tangentele la graficele funcțiilor y = 3 cos 5 x - 7 și y = 5 cos 3 x + 4 sunt paralele?

Răspuns:

3. La ce unghi se intersectează curbele y = x2?

Răspuns: π/2 și arctan 3/5.

4. În ce unghiuri se intersectează curbele y =? cos x și y = sin x?

Răspuns:

5. Se trasează o tangentă la parabola y = 4 - x2 în punctul cu abscisa x = 1. Aflați punctul de intersecție al acestei tangente cu axa ordonatelor.

Răspuns: (0; 5).

6. Se trasează o tangentă la parabola y = 4x - x2 în punctul cu abscisa x = 3. Aflați punctul de intersecție al acestei tangente cu axa x.

Răspuns: (9/2; 0).

7. Aflați unghiul dintre două tangente trasate din punctul (0; -2) la parabola y = x2.

Răspuns:

8. Tangentele cu coeficienți unghiulari sunt trase pe graficul funcției y = 3x2 + 3x + 2 k 1 = 0 și k 2 = 15. Scrieți ecuația dreptei care trece prin punctele de tangență.

Răspuns: y = 12x - 4.

9. Aflați ecuațiile dreptelor tangente simultan la parabolele y = x2 + x - 2 și y = -x2 + 7x - 11.

Răspuns: y = 7x - 11 și y = x - 2.

10. Scrieți ecuația tangentei comune la parabolele y = -3x2 + 4x + 4 și y = -3x2 + 16x - 20.

Răspuns: y = -2x + 7.

11. Tangenta la graficul funcției y = x2 - 4x - 3 este desenată în punctul x = 0. Aflați aria triunghiului format din tangenta și axele de coordonate.

Răspuns: 9/8.

12. Aflați aria triunghiului delimitată de axele de coordonate și tangenta la graficul funcțieiîn punctul x = 2.

Raspunsul 1.

VIII. Rezumând lecțiile

Lecție deschisă de algebră în clasa a XI-a 10/19. 2011

Profesor: Gorbunova S.V.

Tema lecției: Ecuația unei tangente la graficul unei funcții.

Obiectivele lecției


  1. Clarificați conceptul de „tangentă”.

  2. Deduceți ecuația tangentei.

  3. Creați un algoritm pentru „alcătuirea ecuației unei tangente la graficul unei funcții
y = f (x)”.

  1. Începeți să vă dezvoltați abilitățile de compunere a ecuațiilor tangente în diverse situații matematice.

  2. Să dezvolte capacitatea de a analiza, generaliza, arăta, folosi elemente de cercetare și dezvolta vorbirea matematică.

Echipament: calculator, prezentare, proiector, tablă interactivă, flashcard-uri, carduri de reflecție.

Structura lecției:


  1. EL. U.

  2. Mesaj cu subiectul lecției

  3. Repetarea materialului învățat

  4. Formularea problemei.

  5. Explicarea noului material.

  6. Crearea unui algoritm pentru „alcătuirea unei ecuații tangente”.

  7. Referință istorică.

  8. Consolidare. Exersarea abilităților în întocmirea ecuațiilor tangente.

  9. Teme pentru acasă.

  10. Lucru independent cu autotestare

  11. Rezumând lecția.

  12. Reflecţie
În timpul orelor

1. O.N.U.

2. Raportați subiectul lecției

Tema lecției de astăzi: „Ecuația unei tangente la graficul unei funcții”. Deschide-ți caietele, notează data și subiectul lecției. (diapozitivul 1)

Lăsați cuvintele pe care le vedeți pe ecran să devină motto-ul lecției de astăzi. (diapozitivul 2)


  • Nu există idei rele

  • Gândește creativ

  • Asuma riscuri

  • Nu critica
Pentru a ne pregăti pentru lecție, vom repeta materialul studiat anterior. Atentie la ecran. Scrieți soluția în caiet.

2. Repetarea materialului studiat (diapozitivul 3).

Scop: testarea cunoștințelor regulilor de bază de diferențiere.

Aflați derivata funcției:

Cine are mai multe greșeli? Cine are unul?

3. Actualizare

Scop: Pentru a activa atenția, a arăta lipsa de cunoștințe despre tangentă, a formula scopurile și obiectivele lecției. (Diapozitivul 4)

Să discutăm ce este o tangentă la graficul unei funcții?

Sunteți de acord cu afirmația că „O tangentă este o dreaptă care are un punct comun cu o curbă dată”?
Există o discuție. Declarațiile copiilor (da și de ce, nu și de ce). În timpul discuției, ajungem la concluzia că această afirmație nu este adevărată.

Să ne uităm la exemple specifice:

Exemple.(diapozitivul 5)
1) Linia dreaptă x = 1 are un punct comun M(1; 1) cu parabola y = x 2, dar nu este tangentă la parabola.

Linia dreaptă y = 2x – 1, care trece prin același punct, este tangentă la această parabolă.

Linia x = π nu este tangentă la grafic y = cos x, deși are un singur punct comun K(π; 1). Pe de altă parte, linia y = - 1 care trece prin același punct este tangentă la grafic, deși are infinit de puncte comune de forma (π+2 πk; 1), unde k este un număr întreg, în fiecare dintre care priveste orarul.

^ 4. Stabilirea scopurilor și obiectivelor pentru copii la lecție: (diapozitivul 6)

Încercați să formulați singur scopul lecției.

Aflați ce este o tangentă la graficul unei funcții într-un punct și deduceți ecuația tangentei. Aplicați formula pentru a rezolva probleme
^ 5. Învățarea de material nou

Vedeți cum diferă poziția dreptei x=1 de poziția y=2x-1? (diapozitivul 7)

Concluzionați ce este o tangentă?

Tangenta este poziția limită a secantei.

Deoarece o tangentă este o linie dreaptă și trebuie să scriem o ecuație pentru tangentă, ce crezi că trebuie să ne amintim?

Amintiți-vă forma generală a ecuației unei linii drepte (y = kx + b)

Care este alt nume pentru numărul k? (coeficientul unghiular sau tangenta unghiului dintre această dreaptă și direcția pozitivă a axei Ox) k = tan α

Care este semnificația geometrică a derivatei?

Tangenta unghiului de înclinare dintre tangentă și direcția pozitivă a axei oX

Adică pot scrie tan α = yˈ(x). (diapozitivul 8)

Să ilustrăm asta cu un desen. (diapozitivul 9)

Fie dată o funcție y = f (x) și un punct M aparținând graficului acestei funcții. Să definim coordonatele sale astfel: x=a, y= f (a), i.e. M (a, f (a)) și să existe o derivată f "(a), adică la un punct dat derivata este definită. Să tragem o tangentă prin punctul M. Ecuația tangentei este ecuația unei drepte linie, deci are forma: y = kx + b. Prin urmare, sarcina este de a găsi k și b. Atenție la tablă, din ceea ce este scris acolo, se poate găsi k? (da, k = f "(A).)

Cum să găsesc b acum? Linia dreaptă dorită trece prin punctul M(a; f(a)), înlocuim aceste coordonate în ecuația dreptei: f(a) = ka + b, deci b = f(a) – ka, deoarece k = tan α= yˈ(x), apoi b = f(a) – f "(a)a

Să înlocuim valorile lui b și k în ecuația y = kx + b.

y = f „(a)x + f(a) – f „(a)a, luând factorul comun din paranteze, obținem:

y = f(a) + f „(a) · (x-a).

Am obținut ecuația tangentei la graficul funcției y = f(x) în punctul x = a.

Pentru a rezolva cu încredere problemele tangente, trebuie să înțelegeți clar semnificația fiecărui element din această ecuație. Să ne uităm din nou la asta: (diapozitivul 10)


  1. (a, f (a)) – punct de contact

  2. f „(a) = tan α = k tangentă sau pantă

  3. (x,y) – orice punct tangent
Și așa am derivat ecuația tangentei, am analizat semnificația fiecărui element din această ecuație, să încercăm acum să derivăm un algoritm pentru alcătuirea ecuației tangentei la graficul funcției y = f (x)

6. Întocmirea unui algoritm (diapozitivul 11).

Sugerez ca elevii să creeze ei înșiși un algoritm:


  1. Să notăm cu litera a abscisa punctului de tangență.

  2. Să calculăm f(a).

  3. Să găsim f „(x) și să calculăm f „(a).

  4. Să substituim valorile găsite ale numerelor a, f(a), f "(a) în ecuația tangentei.

  5. y = f(a) + f „(a) · (x-a).
(Distribuie elevilor algoritmul tipărit în prealabil ca reamintire pentru lucrările ulterioare.)

  1. Context istoric (diapozitivul 12).
Atentie la ecran. Descifrați cuvântul

1
4/3
9
-4
-1
-3
5

Răspuns: FLUXION (diapozitivul 13).

Care este povestea de origine a acestui nume? (diapozitivul 14, 15)

Conceptul de derivată a apărut în legătură cu necesitatea de a rezolva o serie de probleme din fizică, mecanică și matematică. Onoarea de a descoperi legile fundamentale ale analizei matematice aparține omului de știință englez Newton și matematicianului german Leibniz. Leibniz a luat în considerare problema trasării unei tangente la o curbă arbitrară.

Celebrul fizician Isaac Newton, născut în satul englez Wolstrop, a adus contribuții semnificative la matematică. Rezolvând probleme care implică desenarea tangentelor la curbe și calcularea ariilor figurilor curbilinii, el a creat o metodă generală pentru rezolvarea unor astfel de probleme - metoda fluxiunii (derivate) și numit derivatul în sine fluenta .

El a calculat derivata și integrala unei funcții de putere. Despre calculul diferențial și integral scrie în lucrarea sa „Metoda fluxurilor” (1665 – 1666), care a servit drept unul dintre începuturile analizei matematice, calculului diferențial și integral, pe care omul de știință le-a dezvoltat independent de Leibniz.

Mulți oameni de știință de-a lungul anilor au fost interesați de tangente. Conceptul de tangentă a fost întâlnit sporadic în lucrările matematicianului italian N. Tartaglia (c. 1500 - 1557) - aici tangenta a apărut în timpul studiului problemei unghiului de înclinare al pistolului, la care gradul cel mai mare. se asigură zborul unui proiectil. I. Keppler a luat în considerare tangenta în timp ce rezolva problema celui mai mare volum al unui paralelipiped înscris într-o bilă cu o rază dată.

În secolul al XVII-lea, pe baza învățăturilor lui G. Galileo despre mișcare, s-a dezvoltat activ conceptul cinematic al derivatului. Diverse versiuni ale prezentării se găsesc la R. Descartes, matematicianul francez Roberval, savantul englez D. Gregory și în lucrările lui I. Barrow.

8. Consolidare (diapozitivul 16-18).

1) Creați o ecuație pentru tangenta la graficul funcției f(x) = x² - 3x + 5 în punctul cu abscisa

Soluţie:

Să creăm o ecuație pentru tangentă (conform algoritmului). Chemați un student puternic.


  1. a = -1;

  2. f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;

  3. f „(x) = 2x – 3,
    f „(a) = f „(-1) = -2 – 3 = -5;

  4. y = 9 – 5 (x + 1),
y = 4 – 5x.

Răspuns: y = 4 – 5x.

Examenul de stat unificat 2011 sarcini B-8

1.Funcția y = f(x) este definită pe intervalul (-3; 4). Figura prezintă graficul său și tangenta la acest grafic în punctul cu abscisa a = 1. Calculați valoarea derivatei f"(x) în punctul a = 1.

Rezolvare: pentru a rezolva, este necesar să ne amintim că, dacă sunt cunoscute coordonatele oricăror două puncte A și B situate pe o dreaptă dată, atunci panta acesteia poate fi calculată folosind formula: k = , unde (x 1 ; y 1) , (x 2 ; y 2) sunt coordonatele punctelor A și, respectiv, B. Graficul arată că această tangentă trece prin puncte cu coordonatele (1; -2) și (3; -1), ceea ce înseamnă k=(-1-(-2))/(3-1)= 0,5.

2. Funcția y = f(x) este definită pe intervalul (-3;4). Figura prezintă graficul său și tangenta la acest grafic în punctul cu abscisă a = -2. Calculați valoarea derivatei f"(x) în punctul a = -2.

Rezolvare: graficul trece prin punctele (-2;1) (0;-1) . fˈ(-2)= -2

8.Tema pentru acasă (diapozitivul 19).

Pregătirea pentru examenul unificat de stat B-8 nr. 3 - 10

^ 9. Munca independentă

Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției y=f(x) în punctul cu abscisă a.
varianta 1 varianta 2

f(x) = x²+ x+1, a=1 f(x)= x-3x², a=2

răspunsuri: Opțiunea 1: y=3x; Opțiunea 2: y= -11x+12

10. Rezumând.


  • Care este tangenta la graficul unei functii intr-un punct?

  • Care este semnificația geometrică a unei derivate?

  • Formulați un algoritm pentru găsirea ecuației unei tangente într-un punct?
11. Reflecție:

Alegeți o emoticon care se potrivește cu starea și dispoziția dvs. după lecție. Mulțumesc pentru lecție.