Descrierea prezentării prin diapozitive individuale:

1 tobogan

Descriere slide:

Metamateriale și nanotehnologie Fizicienii au învățat cum să facă materiale cu proprietăți uimitoare. Fenomenele de reflexie internă totală a luminii în medii transparente, apărute în pelicule subțiri de materiale create cu ajutorul nanotehnologiei, pot fi utilizate pentru a controla impulsurile laser și radio ultrascurte. Iar acoperirile din aceste materiale aplicate pe un obiect îl pot face „invizibil”.

2 tobogan

Descriere slide:

Indicele de refracție negativ. Refracția luminii la limita cu un material cu indice de refracție negativ. A. În natură, la trecerea graniței a două medii, o rază incidentă pe ea oblic își continuă întotdeauna mișcarea în direcția inițială, doar la un unghi puțin diferit - mai mare sau mai mic, în funcție de raportul indicilor de refracție. B. La trecerea unei granițe cu un metamaterial care are un indice de refracție negativ, fasciculul pare să fie „reflectat” de la perpendiculară la punctul de intersecție - adică continuă să se deplaseze în metamaterial, dar dacă a căzut din partea de sus stânga, va merge mai jos, nu la dreapta, ci înapoi la stânga.

3 slide

Descriere slide:

Legea lui Snell: Dacă indicele de refracție este negativ, atunci raza este refractă în cealaltă direcție

4 slide

Descriere slide:

"Nefiresc?" Nu există materiale cu un indice de refracție negativ în natură, așa că imaginile care ilustrează funcționarea unor astfel de medii par „nenaturale”.

5 slide

Descriere slide:

Este necesar ca elementele metamateriale să aibă o dimensiune de 10-100 nm (mult mai mică decât lungimea de undă).

6 slide

Descriere slide:

Microscop optic Fizicienii din Manchester și Singapore au proiectat un microscop optic cu o rezoluție record, care poate rezolva detaliile imaginii de 50 de nanometri. Noul „nanoscop” funcționează pe același principiu, dar nu folosește metamateriale, care sunt înlocuite cu sfere simple transparente cu un diametru de câțiva micrometri, realizate, de exemplu, din dioxid de siliciu. Experimentele efectuate demonstrează în mod convingător că plasarea unor astfel de sfere pe suprafața probelor îmbunătățește semnificativ calitatea imaginilor.Diagrama și micrografia „plasei de pescuit”,

7 slide

Descriere slide:

Oamenii de știință au creat o nouă „pelerina de invizibilitate.” A fost propus un nou design al unei mantii de invizibilitate: constă din cilindri de sticlă și poate „ascunde” o tijă de metal cu un diametru de 15 microni. Cu toate acestea, va fi posibil să se ascundă în spatele unei astfel de sticlă numai de ochiul infraroșu: invizibilitatea într-o gamă mai largă de lungimi de undă nu a fost încă atinsă.

8 slide

Descriere slide:

Șapca invizibilă Până acum, pălăria de invizibilitate a fost păstrarea basmelor și a scriitorilor de science-fiction. Cu toate acestea, recent totul s-a schimbat, iar căutarea „capacului invizibilității” a devenit o distracție preferată a unor fizicieni - o nouă direcție promițătoare în știință. Un duo de publicații în Science and Nature descriu nanomateriale în vrac în care razele de lumină sunt îndoite în direcția „greșită”, fără a fi absorbite până la punctul în care nimic nu este lăsat în urmă. Până acum, absorbția puternică a fost una dintre principalele probleme.

Deci catedrale de cristale supervitale
Lumină păianjen conștientă,
Desfăcând coastele, le iar
Se adună într-un singur pachet.
O. Mandelstam

Problema copiilor „Ce este mai greu, un kilogram de vată sau un kilogram de pilitură de fier?” nu va face decât să deruteze un elev lent la minte. Este mult mai interesant să speculăm pe această temă: „Ce proprietăți va avea materialul pe care îl obținem dacă amestecăm cu grijă vată măcinată fin și pilitură de fier?” Este intuitiv clar: pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să vă amintiți proprietățile fierului și ale vatei, după care puteți spune cu încredere că materialul rezultat va reacționa cel mai probabil, de exemplu, la prezența unui magnet și a apei. Cu toate acestea, proprietățile unui material multifazic sunt întotdeauna determinate numai de proprietățile componentelor care îl formează? Aș dori să răspund pozitiv la această întrebare, deoarece este greu de imaginat, să zicem, un amestec de dielectrici (de exemplu, rumeguș și bile de spumă) care conduc curentul electric.

„Asta se întâmplă doar în basme!” - elevul de clasa I va încerca să se reactiveze, amintindu-și de numeroșii vrăjitori și vrăjitoare din basmele copiilor, care, amestecând tot felul de agarice de muște, pulpe de broaște și aripi de liliac, au primit pulberi magice ale căror proprietăți magice, strict vorbind , nu sunt caracteristice agaricului de muscă și pulpelor de broaște. Cu toate acestea, în mod surprinzător, știința modernă cunoaște exemple despre cum combinația de materiale destul de obișnuite face posibilă crearea de obiecte ale căror proprietăți nu numai că nu sunt inerente componentelor utilizate, dar, în principiu, nu pot fi găsite în natură și, așa cum ar părea la prima vedere, sunt interzise de legile fizicii. „Acesta este un miracol!” va spune elevul de clasa I. „Nu, acestea sunt metamateriale!” - va obiecta un om de știință modern. Și ambele vor avea dreptate în felul lor, pentru că din punctul de vedere al științei clasice, metamaterialele sunt capabile să creeze adevărate minuni. Cu toate acestea, procesul de creare a unui metamaterial este, de asemenea, similar cu magia, deoarece Nu este suficient să amestecați pur și simplu componentele unui metamaterial; acestea trebuie să fie structurate corespunzător.

Metamaterialele sunt materiale compozite ale căror proprietăți sunt determinate nu atât de proprietățile fizice individuale ale componentelor lor, cât de microstructura lor. Termenul „metamateriale” este aplicat în mod deosebit acelor compozite care prezintă proprietăți care nu sunt caracteristice obiectelor găsite în natură.

Unul dintre cele mai aprig dezbătute tipuri de metamateriale recent sunt obiectele cu un indice de refracție negativ. Este bine cunoscut de la cursul de fizică școlară că indicele de refracție al mediului ( n) este o cantitate care arată de câte ori viteza de fază a radiației electromagnetice în mediu ( V) mai mică decât viteza luminii în vid ( c): n=c/V. Indicele de refracție al vidului este egal cu 1 (care, de fapt, rezultă din definiție), în timp ce pentru majoritatea mediilor optice este mai mare. De exemplu, sticla de silicat obișnuită are un indice de refracție de 1,5, ceea ce înseamnă că lumina se propagă în ea cu o viteză de 1,5 ori mai mică decât în ​​vid. Este important de reținut că, în funcție de lungimea de undă a radiației electromagnetice, valoarea n poate varia.

Cel mai adesea, indicele de refracție al unui material este reținut atunci când se ia în considerare efectul refracției luminii la interfața dintre două medii optice. Acest fenomen este descris de legea lui Snell:

n 1 sinα = n 2 sinβ,

unde α este unghiul de incidență al luminii provenind dintr-un mediu cu indice de refracție n 1 și β este unghiul de refracție al luminii într-un mediu cu indice de refracție n 2.

Pentru toate mediile care pot fi găsite în natură, razele de lumină incidentă și refractată se află pe părți opuse ale normalului restabilite la interfața dintre medii în punctul de refracție (Fig. 1a). Totuși, dacă substituim formal n 2 în legea lui Snell<0, реализуется ситуация, которая еще до недавнего времени казалась физикам абсурдной: лучи падающего и преломленного света находятся по одну сторону от нормали (Рис.1б).

Posibilitatea teoretică a existenței unor materiale unice cu indice de refracție negativ a fost subliniată de fizicianul sovietic V. Veselago în urmă cu aproape 40 de ani. Cert este că indicele de refracție este legat de alte două caracteristici fundamentale ale materiei, constanta dielectrică ε și permeabilitatea magnetică μ, printr-o relație simplă: n 2 = ε·μ. În ciuda faptului că această ecuație este satisfăcută atât de valorile pozitive, cât și de cele negative ale lui n, oamenii de știință au refuzat multă vreme să creadă în semnificația fizică a acestuia din urmă - până când Veselago a arătat că n< 0 в том случае, если одновременно ε < 0 и μ < 0.

Materialele naturale cu o constantă dielectrică negativă sunt bine cunoscute - orice metal la frecvențe peste frecvența plasmei (la care metalul devine transparent). În acest caz ε< 0 достигается за счет того, что свободные электроны в металле экранируют внешнее электромагнитное поле. Гораздо сложнее создать материал с μ < 0, в природе такие материалы не существуют. Именно по этой причине работы Веселаго долгое время не привлекали должного внимания научной общественности. Прошло 30 лет, прежде чем английский ученый Д.Пендри (John Pendry) в 1999 г. показал, что отрицательная магнитная проницаемость может быть получена для проводящего кольца с зазором. Если поместить такое кольцо в переменное магнитное поле, в кольце возникнет электрический ток, а на месте зазора возникнет дуговой разряд. Поскольку металлическому кольцу можно приписать индуктивность L, а зазору соответствует эффективная емкость С, систему можно рассматривать как простейший колебательный контур с резонансной частотой ω 0 ~ 1/(LC) -1/2 . При этом система создает собственное магнитное поле, которое будет положительным при частотах переменного магнитного поля ω < ω 0 и отрицательным при ω > ω 0 .

Astfel, sunt posibile sisteme cu un răspuns negativ atât la componentele electrice, cât și la cele magnetice ale radiației electromagnetice. Cercetătorii americani sub conducerea lui David Smith au fost primii care au combinat ambele sisteme într-un singur material în 2000. Metamaterialul creat a constat din tije metalice responsabile pentru ε< 0, и медных кольцевых резонаторов, благодаря которым удалось добиться μ < 0. Несомненно, структуру, изображенную на Рис.2, сложно назвать материалом в традиционном смысле этого слова, поскольку она состоит из отдельных макроскопических объектов. Между тем, данная структура «оптимизирована» для микроволнового излучения, длина волны которого значительного больше отдельных структурных элементов метаматериала. Поэтому с точки зрения микроволн последний также однороден, как например, оптическое стекло для видимого света. Последовательно уменьшая размеры структурных элементов можно создавать метаматериалы с отрицательным показателем преломления для терагерцового и инфракрасного диапазонов спектра. Ученые ожидают, что благодаря достижениям современных нанотехнологий в самое ближайшее время будут созданы метаматериалы и для видимого диапазона спектра.

Din punct de vedere fizic, metamaterialele cu indice de refracție negativ sunt antipozii materialelor convenționale. În cazul unui indice de refracție negativ, viteza de fază a radiației electromagnetice este inversată; deplasarea Doppler are loc în sens invers; Radiația Cherenkov de la o particulă încărcată în mișcare are loc nu înainte, ci înapoi; lentilele convergente devin divergente și invers... Și toate acestea sunt doar o mică parte din acele fenomene uimitoare care sunt posibile pentru metamaterialele cu indice de refracție negativ. Utilizarea practică a unor astfel de materiale este, în primul rând, asociată cu posibilitatea creării opticii terahertzi pe baza acestora, care, la rândul său, va duce la dezvoltarea meteorologiei și oceanografiei, apariția radarelor cu noi proprietăți și pentru orice vreme. instrumente de navigație, dispozitive pentru diagnosticarea la distanță a calității pieselor și sisteme de siguranță care vă permit să detectați armele sub îmbrăcăminte, precum și dispozitive medicale unice.

Literatură

D.R. Smith, W.J. Padilla, D.C. Vier, S.C. Nemat-Nasser, S. Schultz, Mediu compozit cu permeabilitate și permisivitate negativă simultan, Physical Review Letters 84 (2000) 4184.

MOSCOVA,26 Sep - RIA Novosti, Olga Kolentsova. Uneori, realizările tehnologiei moderne pot fi confundate cu magie. Doar în loc de magie, știința exactă funcționează. Una dintre domeniile de cercetare, ale cărei rezultate ar putea servi ca o ilustrare a proprietăților „atributelor de basm”, este dezvoltarea și crearea metamaterialelor.

Din punct de vedere pur fizic, metamaterialele sunt structuri formate artificial și special construite, care au proprietăți electromagnetice sau optice de neatins în natură. Acestea din urmă nu sunt determinate nici măcar de caracteristicile substanțelor lor constitutive și anume structura.La urma urmei, casele care sunt asemănător ca aspect poate fi construit din aceleași materiale, dar unul va avea un diferit izolat fonic, iar în altul veți auzi chiar respirația vecinului din apartamentul de vizavi. Care este secretul? Doar în capacitatea constructorului de a gestiona fondurile furnizate.

În prezent, oamenii de știință din materiale au creat deja multe structuri ale căror proprietăți nu se găsesc în natură, deși nu depășesc limitele legilor fizice. De exemplu, unul dintre metamaterialele create poate controla undele sonore atât de strălucit încât țin o minge mică în aer. Este alcătuit din două grătare asamblate folosind cărămizi umplute cu tije termoplastice, care sunt așezate într-un model „șarpe”. Unda sonoră este focalizată ca lumina dintr-o lentilă, iar cercetătorii cred că acest dispozitiv le va permite să dezvolte controlul sunetului până la capacitatea de a-și schimba direcția, deoarece acum schimbă calea unui fascicul de lumină folosind optica.

© Ilustrație de RIA Novosti. A. Polyanina

© Ilustrație de RIA Novosti. A. Polyanina

Un alt metamaterial se poate rearanja singur. Obiectul este asamblat din el fără ajutorul mâinilor, deoarece schimbarea formei poate fi programată! Structura unui astfel de material „inteligent” constă din cuburi, fiecare perete fiind format din două straturi exterioare de tereftalat de polietilenă și un strat interior de bandă adezivă cu două fețe. Acest design vă permite să schimbați forma, volumul și chiar rigiditatea unui obiect.

Dar cele mai uimitoare proprietăți sunt cele ale metamaterialelor optice, care pot schimba percepția vizuală a realității. Ele „lucrează” în intervalul de lungimi de undă pe care ochiul uman îl poate vedea. Din astfel de materiale oamenii de știință au creat o țesătură din care poate fi făcută o mantie de invizibilitate.

Adevărat, până acum doar un micro-obiect poate fi făcut invizibil în domeniul optic.

Posibilitatea de a crea un material cu unghi de refracție negativ a fost prezisă încă din 1967 de către fizicianul sovietic Viktor Veselago, dar abia acum apar primele exemple de structuri reale cu astfel de proprietăți. Datorită unghiului de refracție negativ, razele de lumină se îndoaie în jurul unui obiect, făcându-l invizibil. Astfel, observatorul observă doar ceea ce se întâmplă în spatele celui care poartă mantia „minunată”.

© Foto: grupul Xiang Zhang, Berkeley Lab/UC Berkeley

© Foto: grupul Xiang Zhang, Berkeley Lab/UC Berkeley

Cea mai recentă realizare în crearea metamaterialelor optice aparține oamenilor de știință ruși de la NUST MISIS. Mai mult, au fost folosite cele mai comune „ingrediente” - aer, sticlă și apă. Lucrările oamenilor de știință au fost publicate într-una dintre cele mai bine cotate reviste din lume, Scientific Reports. Editura Natură. „, fiecare astfel de probă poate costa mii de euro”, a subliniat Alexey Basharin, cercetător la Laboratorul NUST MISIS de metamateriale supraconductoare, candidat la științe tehnice. — În plus, probabilitatea de eroare la formarea unui astfel de sistem este foarte mare chiar și cu utilizarea celor mai de înaltă precizie instrumente.Cu toate acestea, dacă creați un material la scară mai mare care conține nu optic (400-700 nm), ci radio valuri (7-8 cm lungime), fizica procesului Această scalare nu se va schimba, dar tehnologia de creare a acestora va deveni mai simplă.”

Studiind proprietățile structurilor create, autorii lucrării au arătat că acest tip de substanță are mai multe aplicații practice.În primul rând, aceștia sunt senzori de molecule complexe, deoarece acestea din urmă, la intrarea în câmpul metamaterialului, încep să strălucire. În acest fel, pot fi determinate chiar și molecule individuale, care ar putea avea un impact semnificativ asupra dezvoltării, de exemplu, a științei criminalistice. În plus, un astfel de metamaterial poate fi folosit ca filtru de lumină, izolând lumina de o anumită lungime de radiația incidentă.Este aplicabil și ca bază pentru crearea memoriei magnetice ultra-fiabile, deoarece structura celulelor metamaterialului le împiedică să inversarea magnetizării unul față de celălalt și, prin urmare, pierderea informațiilor.

Raportul vitezei luminii Cuîn vid până la viteza de fază v lumina in mediu:

numit indicele absolut de refracție acest mediu.

ε - constanta dielectrica relativa,

μ - permeabilitatea magnetică relativă.

Pentru orice mediu, altul decât vid, valoarea n depinde de frecvența luminii și de starea mediului (temperatura, densitatea acestuia etc.). Pentru medii rarefiate (de exemplu, gaze în condiții normale).

Cel mai adesea, indicele de refracție al unui material este reținut atunci când se ia în considerare efectul refracției luminii la interfața dintre două medii optice.

Acest fenomen este descris legea lui Snell:

unde α este unghiul de incidență al luminii provenind dintr-un mediu cu indice de refracție n 1, iar β este unghiul de refracție al luminii într-un mediu cu indice de refracție n 2.

Pentru toate mediile care pot fi găsite în natură, razele de lumină incidentă și refractată se află pe părți opuse ale normalului restabilite la interfața dintre medii în punctul de refracție. Totuși, dacă substituim în mod oficial legea lui Snell n 2<0 , se realizează următoarea situație: razele de lumină incidentă și refractată sunt de o parte a normalului.

Posibilitatea teoretică a existenței unor materiale unice cu indice de refracție negativ a fost subliniată de fizicianul sovietic V. Veselago în urmă cu aproape 40 de ani. Cert este că indicele de refracție este legat de alte două caracteristici fundamentale ale materiei, constanta dielectrică ε și permeabilitatea magnetică μ , printr-o relație simplă: n 2 = ε·μ. În ciuda faptului că această ecuație este satisfăcută atât de valorile pozitive, cât și de cele negative ale lui n, oamenii de știință au refuzat multă vreme să creadă în semnificația fizică a acestuia din urmă - până când Veselago a arătat că n< 0 în cazul în care în acelaşi timp ε < 0 Și μ < 0 .

Materialele naturale cu o constantă dielectrică negativă sunt bine cunoscute - orice metal la frecvențe peste frecvența plasmei (la care metalul devine transparent). În acest caz ε < 0 se realizează datorită faptului că electronii liberi din metal acoperă câmpul electromagnetic extern. Este mult mai dificil să creezi material cu μ < 0 , astfel de materiale nu există în natură.

Au durat 30 de ani până când omul de știință englez John Pendry să arate în 1999 că ar putea fi obținută permeabilitatea magnetică negativă pentru un inel conductor cu un spațiu. Dacă plasați un astfel de inel într-un câmp magnetic alternativ, un curent electric va apărea în inel și o descărcare de arc va apărea la spațiu. Deoarece inductanța poate fi atribuită unui inel metalic L, iar decalajul corespunde capacității efective CU, sistemul poate fi considerat ca fiind cel mai simplu circuit oscilator cu o frecvență de rezonanță ω 0 ~ 1/(LC) -1/2. În acest caz, sistemul își creează propriul câmp magnetic, care va fi pozitiv la frecvențele câmpului magnetic alternativ. ω < ω 0 și negativ la ω > ω 0 .

Astfel, sunt posibile sisteme cu un răspuns negativ atât la componentele electrice, cât și la cele magnetice ale radiației electromagnetice. Cercetătorii americani sub conducerea lui David Smith au fost primii care au combinat ambele sisteme într-un singur material în 2000. Metamaterialul creat a constat din tije metalice responsabile pentru ε < 0 , și rezonatoare cu inel de cupru, datorită cărora a fost posibil să se realizeze μ < 0 .

Fără îndoială, o astfel de structură poate fi numită cu greu un material în sensul tradițional al cuvântului, deoarece constă din obiecte macroscopice individuale. Între timp, această structură este „optimizată” pentru radiația cu microunde, a cărei lungime de undă este semnificativ mai mare decât elementele structurale individuale ale metamaterialului. Prin urmare, din punctul de vedere al microundelor, acestea din urmă sunt, de asemenea, omogene, cum ar fi, de exemplu, sticla optică pentru lumina vizibilă. Prin reducerea succesivă a dimensiunii elementelor structurale, este posibil să se creeze metamateriale cu un indice de refracție negativ pentru intervalele spectrale terahertz (de la 300 GHz la 3 THz) și infraroșu (de la 1,5 THz la 400 THz). Oamenii de știință se așteaptă ca, datorită realizărilor nanotehnologiei moderne, metamateriale pentru gama vizibilă a spectrului vor fi create în viitorul foarte apropiat.

Utilizarea practică a unor astfel de materiale este, în primul rând, asociată cu posibilitatea creării opticii terahertzi pe baza acestora, care, la rândul său, va duce la dezvoltarea meteorologiei și oceanografiei, apariția radarelor cu noi proprietăți și pentru orice vreme. instrumente de navigație, dispozitive pentru diagnosticarea la distanță a calității pieselor și sisteme de siguranță care vă permit să detectați armele sub îmbrăcăminte, precum și dispozitive medicale unice.

Proprietăți

Trecerea luminii printr-un metamaterial cu un indice de refracție „stângaci”.

Una dintre posibilele proprietăți ale metamaterialelor este un indice de refracție negativ (sau stângaci), care apare atunci când permitivitatea și permeabilitatea magnetică sunt simultan negative.

Bazele efectului

Ecuația de propagare a undelor electromagnetice într-un mediu izotrop are forma:

Unde k (\displaystyle k)- vector val, ω (\displaystyle \omega )- frecvența undei, c (\displaystyle c)- viteza luminii, n 2 = ϵ μ (\displaystyle n^(2)=\epsilon \mu )- pătratul indicelui de refracție. Din aceste ecuații este evident că schimbarea simultană a semnelor dielectricului și magnetic μ (\displaystyle \mu ) permeabilitatea mediului nu va afecta în niciun fel aceste relaţii.

Medii izotrope „Dreapta” și „Stânga”.

Ecuația (1) este derivată pe baza teoriei lui Maxwell. Pentru medii cu dielectric ϵ (\displaystyle \epsilon )și magnetice μ (\displaystyle \mu ) susceptibilitatea mediului este simultan pozitivă, trei vectori ai câmpului electromagnetic - electric și magnetic și unde formează un așa-numit sistem. vectori corecti:

Astfel de medii sunt, în consecință, numite „de dreapta”.

Medii care ϵ (\displaystyle \epsilon ), μ (\displaystyle \mu )- în același timp negativ, numit „stânga”. În astfel de medii, electrice E → (\displaystyle (\vec (E))), magnetic H → (\displaystyle (\vec (H)))și vector de undă k → (\displaystyle (\vec (k))) formează un sistem de vectori stângi.

În literatura de limba engleză, materialele descrise pot fi numite materiale pentru dreptaci și stângaci sau abreviate ca RHM (dreapta) și, respectiv, LHM (stânga).

Transfer de energie prin unde dreapta și stânga

Fluxul de energie transportat de val este determinat de vectorul Poynting, care este egal cu S → = (c / 4 π) [ E → H → ] (\displaystyle (\vec (S))=(c/4\pi)\left[(\vec (E))(\vec (H)) \dreapta]). Vector S → (\displaystyle (\vec (S))) se formează întotdeauna cu vectori E → (\displaystyle (\vec (E))), H → (\displaystyle (\vec (H))) dreapta trei. Astfel, pentru substanțele dreptaci S → (\displaystyle (\vec (S)))Și k → (\displaystyle (\vec (k)))îndreptat într-o direcție, iar pentru stânga - în direcții diferite. Din moment ce vector k → (\displaystyle (\vec (k))) coincide în direcția cu viteza de fază, este clar că substanțele stângaci sunt substanțe cu așa-numita viteză de fază negativă. Cu alte cuvinte, la substanțele stângaci viteza de fază este opusă fluxului de energie. În astfel de substanțe, de exemplu, se observă un efect Doppler invers și unde înapoi.

Dispersia medie stângă

Existența unui indicator negativ al unui mediu este posibilă dacă are dispersie de frecvență. Dacă în acelaşi timp ϵ < 0 {\displaystyle \epsilon <0} , μ < 0 {\displaystyle \mu <0} , apoi energia valurilor W = ϵ E 2 + μ H 2 (\displaystyle W=\epsilon E^(2)+\mu H^(2)) va fi negativ(!). Singura modalitate de a evita această contradicție este dacă mediul are dispersie de frecvență ∂ ϵ / ∂ ω (\displaystyle \partial \epsilon /\partial \omega)Și ∂ μ / ∂ ω (\displaystyle \partial \mu /\partial \omega).

Exemple de propagare a undelor într-un mediu stângaci