Uvod. Matematika, koja je davno postala jezikom znanosti i tehnologije, danas sve više prodire u svakodnevni život i svakodnevni jezik, a sve se više uvodi iu područja koja su mu tradicionalno udaljena. Kako je slikovito primijetio veliki Galileo Galilei (1564. - 1642.), knjiga prirode je napisana matematičkim jezikom, a njena slova su matematički znakovi i geometrijski likovi, bez njih je nemoguće razumjeti njene riječi, a da one lutaju u beskrajnom labirintu. je uzalud. A upravo je funkcija sredstvo matematičkog jezika koje nam omogućuje da opišemo procese kretanja i promjene svojstvene prirodi. Učeći kvadratnu funkciju u 9. razredu, radili smo transformacije na grafu te funkcije. Kao rezultat ovih transformacija, crtanje grafikona bilo je lako i jednostavno. I pomislio sam: "Je li moguće izvršiti slične transformacije s grafovima drugih funkcija, na primjer, linearne funkcije, obrnute proporcionalnosti, funkcije snage?" Stoga sam odabrao temu svog rada “Razred elementarnih funkcija i njihovih grafova”, postavivši si cilj: razumjeti i proučiti načine formiranja elementarnih funkcija i transformacije njihovih grafova.

Iz povijesti razvoja funkcije. Prvi put je funkcija ušla u matematiku pod nazivom “varijabilna veličina” u poznatom djelu francuskog matematičara i filozofa R. Descartesa “Geometrija”, a njezina pojava je, prema F. Engelsu, poslužila kao prekretnica u matematici. , zahvaljujući čemu su u njega uključeni pokret i dijalektika. Bez varijabli I. Newton ne bi mogao izraziti zakone dinamike koji opisuju procese mehaničkog gibanja tijela – nebeskih i potpuno zemaljskih, a suvremeni znanstvenici ne bi mogli izračunati putanje svemirskih letjelica i riješiti beskonačni niz tehnički problemi našeg doba.

Iz povijesti razvoja funkcije. S razvojem znanosti pojam funkcije se pročišćavao i generalizirao. Sada je postao toliko općenit da se poklapa s konceptom dopisivanja. Dakle, funkcija u općem smislu je svaki zakon (pravilo) prema kojem se svakom objektu iz određene klase, domene definiranja funkcije, pridružuje neki objekt iz druge (ili iste) klase, domene mogućih vrijednosti funkcije. Ali mi ne razmatramo koncept funkcije u tako općem smislu, već vjerujemo da su i neovisne i ovisne varijable količine. Dakle, funkcija je ovisnost koja povezuje sa svakom vrijednošću jedne varijable veličine (argumenta) iz određenog područja njezine promjene određenu vrijednost druge veličine (funkcije). Ako je argument označen s x, vrijednost funkcije s y, a sama ovisnost - funkcija - simbolom f, tada je odnos između vrijednosti funkcije i argumenta sljedeći: y=f (x).

Metode zadavanja funkcija. Postoje tri glavna načina izražavanja ovisnosti između veličina: tablični, grafički i analitički („formula“). Tabularna metoda je važna jer je glavna za otkrivanje stvarnih ovisnosti, a može se pokazati i kao jedino sredstvo za njihovo određivanje (nije uvijek moguće odabrati formulu, a ponekad i nema potrebe za njom). često se prebacuju na tabelarnu specifikaciju pri izvođenju praktičnih izračuna, s tim u vezi: na primjer, uporaba tablica kvadratnih korijena prikladna je pri izvođenju izračuna u koje su uključeni takvi korijeni. S matematičkog gledišta, tablično dodjeljivanje kontinuiranih ovisnosti uvijek je nepotpuno i daje samo informacije o vrijednostima funkcije u pojedinačnim točkama.

Metode zadavanja funkcija Grafička metoda prikazivanja ovisnosti također je jedan od načina njihova bilježenja pri proučavanju stvarnih pojava. To vam omogućuje izradu različitih "samosnimajućih" instrumenata, poput seizmografa, elektrokardiografa, osciloskopa itd., koji prikazuju podatke o promjenama izmjerenih veličina u obliku grafikona. Ali ako postoji graf, onda je odgovarajuća funkcija također definirana. U takvim slučajevima govorimo o grafičkom određivanju funkcije. Međutim, grafička metoda određivanja funkcije je nezgodna za izračune; Štoviše, kao i tablični, približan je i nepotpun. Analitička (formularna) dodjela funkcija odlikuje se svojom kompaktnošću, lako se pamti i sadrži potpune podatke o ovisnosti. Funkcija se može odrediti pomoću formule, na primjer: y=2x+5, S=at2/2, S=vt. Ove formule mogu se izvesti pomoću geometrijskog ili fizičkog razmišljanja. Ponekad se formule dobivaju kao rezultat obrade pokusa; takve se formule nazivaju empirijskim.

Razred elementarnih funkcija Elementarne funkcije uključuju gotovo sve funkcije koje se nalaze u školskom udžbeniku. Prije svega, postoji prilično reprezentativan skup dobro poznatih i dobro proučenih funkcija, koje se nazivaju osnovnim elementarnim funkcijama. To su funkcije: y=C, zvana konstanta, y= xa - potencijska funkcija (za a = 1 dobiva se funkcija y=x, zvana identična). U prilogu su grafovi ovih funkcija. (Dodatak 1-7) Imajući na raspolaganju osnovne elementarne funkcije, možete uvesti niz operacija koje vam omogućuju da ih međusobno kombinirate kao dijelove kako biste dobili složenije i raznolikije dizajne. Valjane aritmetičke operacije nad funkcijama. [+] – zbrajanje, [-] – oduzimanje, [*] – množenje, [:] – dijeljenje. Sve one funkcije koje se mogu dobiti iz osnovnih elemenata aritmetičkim operacijama nazivaju se elementarnim funkcijama i čine klasu elementarnih funkcija.

Formiranje klase elementarnih funkcija Imajući određeni skup osnovnih funkcija f1, f2,f3,...fk i dopuštene operacije F1, F2, ... Fs nad njima (mogu se primijeniti koliko god puta), možemo dobiti druge funkcije, slično kao što iz dijelova dizajnera, koristeći određena pravila za njihovo povezivanje, možete dobiti različite modele. Klasa svih funkcija dobivenih na ovaj način označava se na sljedeći način:< f1,f2,...fk; F1,F2,...Fs>. Konkretno, ako sve osnovne elementarne funkcije uzmemo kao osnovne i dopustimo samo aritmetičke operacije, dobivamo klasu elementarnih funkcija. Uzimajući za osnovu neke od osnovnih elementarnih funkcija i dopuštajući, možda, samo neke od navedenih operacija, dobivamo neke potklase klase elementarnih funkcija, neke obitelji funkcija generiranih ovom bazom i ovim operacijama. Evo nekoliko primjera takvih obitelji funkcija, gdje se (a) shvaća kao operacija množenja bilo kojom konstantom: - familija cijelih potencija y=x, gdje je n € N; - familija linearnih funkcija y= ax + b; - familija polinoma y= axn +...+an-1x +an, gdje je n € N.

Konstrukcija grafova Da biste konstruirali graf funkcije y = 3x2, trebate pomnožiti graf funkcije y = x2 s 3. Kao rezultat toga, graf funkcije y = x2 će se rastegnuti 3 puta duž ordinatne osi, a ako je y = 0,3 x2, tada će graf biti komprimiran na 0,3 puta duž Oy osi. (Prilog 8, 9).

Konstrukcija grafova Graf funkcije y=3(x -4)2 može se dobiti izvođenjem sljedećih koraka: - zbrajanjem grafova identične funkcije y=x i konstante y=-4, dobivamo graf funkcija y=x-4; - pomnožimo grafove funkcija y=x-4 i y=x-4, dobijemo graf funkcije y= (x -4)2; - pomnožimo y= (x -4)2 sa 3, dobijemo graf funkcije y=3(x -4)2. Ili jednostavno pomaknite graf funkcije y=3x2 duž Ox osi za 4 jedinična segmenta (Prilog 10).

Transformacije izvornog grafa funkcije y= f(x). Iz navedenog se može zaključiti da izvođenjem raznih radnji s grafovima elementarnih funkcija vršimo transformacije tih grafova i to: paralelnu translaciju, simetriju u odnosu na pravac Ox i pravac Oy.

Kako biste koristili preglede prezentacije, stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

“Funkcije i grafikoni” Prezentacija za lekciju GBOU NPO Professional Lyceum No. 80 Učiteljica matematike Galina Ivanovna Savitskaya

“Funkcije i grafovi” 1. Što je funkcija? Definicija 2. Grafovi elementarnih funkcija 3. Svojstva funkcije 5. Transformacija grafova funkcija Vježbe: Odrediti svojstva funkcije 4. Kako konstruirati graf pomoću zadanih svojstava funkcije

Neka postoje skupovi X i Y. Ako je svakom elementu x iz skupa X, prema nekom pravilu, pridružen jedan element y iz skupa Y, tada kažemo da je zadana funkcija y = f(x).DEFINICIJA X Y Y X 1 y 1 X 2 y 2 X 3 y 3 X 4 y 4 X f (zakon)

Kažu da je y funkcija od x y=f(x) U ovom slučaju: X = – domena definicije funkcije OOF ili D(y) y – skup vrijednosti funkcije MZF ili E(y) X – nezavisna varijabla ili argument Y – zavisna varijabla ili funkcija

1) Formula x 1 2 3 4 5 y 1 8 15 20 22 Metode određivanja funkcije y = x 2 + 2x – 4 y = 3x f(x) = log 2 (3x+4) f(x) = COS 2x 2) Tablica

Y= f (x) Y X 0 ordinatna os apscisna os ishodište koordinata Metode određivanja funkcije 3) Grafikon 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -2 -3 1 2 3

Y= f (x) Y X 0 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -2 -3 1 2 3 A(-2;1) B(1;-2) M(x; Y) Graf funkcije Y = f (x) je skup točaka koordinatne ravnine koje imaju koordinate (x; f (x)) ili (x; Y)

1. Linearna funkcija Grafovi elementarnih funkcija y x Y = x y = 2x y = - x y = k x + in k – nagib 0 y = x k=1 y = 2 x k=2 y = - x k=- 1 y = ½ x k = ½ 1 1 2 -1 y = ½ x

1. Linearna funkcija: Grafovi elementarnih funkcija y x y = k x + in k – nagib 0 y = x +2 y = x -2 1 1 2 -1 y = x-2 y = x+2 y = x - 2

1. Linearna funkcija: Grafovi elementarnih funkcija y x y = k x + in k – nagib 0 y = x y = 2 x = 3 1 1 1 2 -1 -2 3 2 3 y = 2 X = 3

2. Kvadratna funkcija y=ax 2 + b x + c Grafovi elementarnih funkcija 0 y x x 0 y 0 parabole Koordinate vrha parabole: x 0 = - b 2a y 0 = a (x 0) 2 + b x 0 + c ako je a > 0 Grane parabole usmjerene su prema gore ako je a 0 a

Kubna funkcija: y=ax 3 + b x 2 + cx + d Grafovi elementarnih funkcija kubna parabola y x 0 y=x 3 1 1 -1 -1 y=x 3

4. Obrnuto proporcionalna funkcija: Y= Grafikoni hiperbola elementarnih funkcija k x y x 0 1 -1 1 -1 y x 0 1 -1 1 -1 y = 1 x y = - 1 x

5. Modularna funkcija: y = | x | Grafovi elementarnih funkcija y x 0 1 1 -1

SVOJSTVA FUNKCIJA Y = f (x) Y x 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 1 a 2 a 3 a 4

SVOJSTVA FUNKCIJA y = f (x) Y x 0 a 1 a 9 1 . Domena definicije funkcije je skup vrijednosti argumenta X za koje postoji OOF funkcija: X ê [ a 1 ; a 9 ]

SVOJSTVA FUNKCIJA Y = f (x) Y x 0 u 1 u 4 2. Skup vrijednosti funkcije je skup svih brojeva koje MZF može uzeti: y ê [ in 4 ; u 1]

SVOJSTVA FUNKCIJA Y = f (x) Y x 0 a 2 a 4 a 6 a 8 3. Korijeni (ili nule) funkcije su one vrijednosti x pri kojima je funkcija jednaka nuli (y = 0 ) f (x) = 0 pri X = a 2; a 4; a 6; a 8

SVOJSTVA FUNKCIJA y = f (x) Y x 0 a 1 a 2 a 4 a 6 a 8 a 9 4 . Područja konstantnog predznaka funkcije su one vrijednosti x za koje je funkcija veća ili manja od nule (tj. y > 0 ili y 0 za X ê (a 1 ; a 2); (a 4 ; a 6) ; (a 8 ; a 9)

SVOJSTVA FUNKCIJA y= f (x) Y x 0 a 2 a 4 a 6 a 8 4. Područja konstantnog predznaka funkcije su one vrijednosti x na kojima je funkcija veća ili manja od nule (tj. y > 0 ili y

SVOJSTVA FUNKCIJA y= f (x) Y x 0 a 3 a 5 a 7 a 9 5. Monotonost funkcije su područja rastuće i opadajuće funkcije Funkcija raste kao X ê [ a 3 ; a 5]; [a 7; a 9 ] a 1 Funkcija opada kao X ê [ a 1 ; a 3]; [a 5; a 7 ]

SVOJSTVA FUNKCIJA y = f (x) Y x 0 a 3 a 5 a 7 in 2 in 3 in 4 Ekstremi funkcije F max (x) F min (x) F min (x) F max (x) = in 2 u točki ekstrema x = a 5 F min (x) = u 3 u točki ekstrema x = a 3 F min (x) = u 4 u točki ekstrema x = a 7

SVOJSTVA FUNKCIJA y = f (x) y x 0 a 7 a 9 u 1 u 4 7. Najveća i najniža vrijednost funkcije (to su najviša i najniža točka na grafu funkcije) najveća vrijednost F (x ) = u 1 u točki x = a 9 najmanja vrijednost F (x) = b 4 u točki x = a 7

y x F(x) = x 2 y x F(x) = cos x x 0 0 X -X SVOJSTVA FUNKCIJA Parne i neparne funkcije Funkcija se naziva parnom ako za bilo koji X iz njegove domene definicije vrijedi pravilo f(x) = f je zadovoljeno (- x) Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na Y os f(x) X -X f(x)

SVOJSTVA FUNKCIJA Parne i neparne funkcije Funkcija se naziva neparnom ako je za bilo koji X iz njegove domene definicije zadovoljeno pravilo f(x) = - f(x) Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište y x 0 y=x 3 x f(x) - f(x) - x y x 0 y = 1 x 1 -1 1 -1

2 2 4 6 8 10 x -2 -4 -6 -8 -10 0 4 6 y -2 -4 y= f (x) T = 4 Periodičnost funkcija Ako se uzorak grafa funkcije ponavlja, tada takva se funkcija naziva periodičkom, a isječak duljine duž osi X naziva se periodom funkcije (T) Periodična funkcija poštuje pravilo f(x) = f(x+T) SVOJSTVA FUNKCIJA

2 2 4 6 x -2 -4 -6 0 4 6 y -2 -4 -6 y= f (x) T = 6 SVOJSTVA FUNKCIJA Funkcija y=f(x) je periodična s periodom T = 6

1 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 0 2 3 4 y -1 -2 -3 -4 Označite svojstva funkcije 1) OOF 2) MZF 3) Nule funkcije 4) Pozitivna funkcija Negativna funkcija 5 ) Funkcija raste Funkcija opada 6) Ekstremumi funkcije F max (x) F min (x) 7) Najveća vrijednost funkcije Najmanja vrijednost funkcije y = f (x)

1 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 0 2 3 4 y -1 -2 -3 -4 Navedite svojstva funkcije y = f (x)

2 2 4 6 8 10 x -2 -4 -6 -8 -10 0 4 6 8 y -2 -4 -6 -8 Navedite svojstva funkcije y = f (x)

2 2 x -2 0 y -2 Navedite svojstva funkcije y = f (x)

3 3 x -1 0 y -1 -4 -5 Konstruirajte graf funkcije Zadano je: a) Domena definicije je interval [-4;3] b) Vrijednosti funkcije čine interval [ - 5;3] c) Funkcija opada na intervalima [ -4; 1 ] i [ 2 ;3] raste na intervalu [- 1 ; 2 ] d) Nule funkcije: -2 i 2

TRANSFORMACIJA GRAFIKA FUNKCIJA Poznavajući graf elementarne funkcije, npr. f(x) = x 2, možete konstruirati graf “kompleksne” funkcije, npr. f(x) = 3(x +2) 2 - 16 pomoću pravila transformacije grafova

Pravila za pretvorbu grafova 1 pravilo: Pomak duž X osi Ako dodate ili oduzmete broj argumentu X, grafikon će se pomaknuti lijevo ili desno duž X osi f(x) f(x ± a) pretvoriti u 0 y x 0 y x 4 -4 F (x) = x 2 F(x) = (x+4) 2 F(x) = (x-4) 2

Ako dodate ili oduzmete broj funkciji Y, grafikon će se pomaknuti gore ili dolje duž Y osi f(x) f(x) = X ± a pretvoriti u Pravila za pretvaranje grafikona 2 pravilo: pomak duž Y osi y x 4 - 4 0 y x F(x) = x 2 F(x) = x 2 + 4 F(x) = x 2 - 4

Ako se argument X pomnoži ili podijeli s brojem K, tada će graf biti komprimiran ili rastegnut K puta duž X osi f(x) f(k · x) pretvoren u Pravila za pretvaranje grafova 3 pravilo: kompresija (istezanje) grafa duž X osi y x F (x) = sin x F(x) = sin 2x

Ako dodate ili oduzmete broj funkciji Y, grafikon će se pomicati gore ili dolje duž Y osi f(x) f(x) ± a pretvoriti u y x F(x) = sin x F(x) = sin x 2 Pravila za pretvaranje grafova Pravilo 3: C sažimanje (rastezanje) grafa duž X osi

Ako se funkcija pomnoži ili podijeli s brojem K, tada će se graf rastegnuti ili komprimirati K puta duž Y osi f(x) k · f(x) pretvoriti u Pravila za pretvaranje grafova 4. pravilo: kompresija (istezanje) graf duž Y osi y x F( x) = cos x F(x) = cos x 1 2

Ako se funkcija pomnoži ili podijeli s brojem K, tada će se graf rastegnuti ili komprimirati K puta duž Y osi f(x) k · f(x) pretvoriti u Pravila za pretvaranje grafova 4. pravilo: kompresija (istezanje) graf duž Y osi y x F( x) = cos x F(x) = 2cos x

Ako prije funkcije promijenite predznak u suprotan, tada će se graf simetrično okrenuti u odnosu na X os f(x) - f(x) pretvoriti u Pravila za pretvaranje grafova 5 pravilo: okretanje grafa u odnosu na X os y x F(x) = x 2 F(x) = - x 2

Prezentacija "Funkcije snage, njihova svojstva i grafovi" vizualna je pomoć za izvođenje školske lekcije na ovu temu. Proučavanjem značajki i svojstava potencije s racionalnim eksponentom moguće je napraviti cjelovitu analizu svojstava potencije i njezina ponašanja na koordinatnoj ravnini. Tijekom ovog izlaganja razmatra se pojam potencne funkcije, njezine različite vrste, ponašanje grafa na koordinatnoj ravnini funkcije s negativnim, pozitivnim, parnim, neparnim eksponentom, napravljena je analiza svojstava grafa. , te su opisani primjeri rješavanja zadataka uz korištenje proučenog teorijskog materijala.

Koristeći ovu prezentaciju, učitelj ima priliku povećati učinkovitost lekcije. Slajd jasno prikazuje konstrukciju grafikona; uz pomoć isticanja boja i animacije, značajke ponašanja funkcije su istaknute, stvarajući duboko razumijevanje materijala. Jasan, jasan i dosljedan prikaz gradiva osigurava bolje pamćenje.

Demonstracija počinje svojstvom stupnja s racionalnim eksponentom, naučenim u prethodnim lekcijama. Primijećeno je da se transformira u korijen a p/q = q √a p za nenegativno a i različito od jedan q. Podsjećamo kako se to radi pomoću primjera 1,3 3/7 = 7 √1,3 3 . Slijedi definicija funkcije potencije y=x k, u kojoj je k racionalni razlomački eksponent. Definicija je uokvirena za pamćenje.

Slajd 3 prikazuje ponašanje funkcije y=x 1 na koordinatnoj ravnini. Ovo je funkcija oblika y=x, a graf je pravac koji prolazi kroz ishodište koordinata i nalazi se u prvoj i trećoj četvrtini koordinatnog sustava. Slika prikazuje sliku grafa funkcije označenu crvenom bojom.

Zatim razmatramo stupanj funkcije 2-potencije. Slajd 4 prikazuje sliku grafa funkcije y=x 2 . Školarci su već upoznati s ovom funkcijom i njezinim grafom - parabolom. Slajd 5 prikazuje kubnu parabolu - graf funkcije y=x 3 . Njegovo ponašanje također je već proučavano, tako da se učenici mogu prisjetiti svojstava grafa. Razmatran je i graf funkcije y=x 6 . Ona također predstavlja parabolu - njena slika je priložena uz opis funkcije. Slajd 7 prikazuje graf funkcije y=x 7 . Ovo je također kubna parabola.

Zatim se opisuju svojstva funkcija s negativnim eksponentima. Slajd 8 opisuje tip funkcije potencije s negativnim cijelim eksponentom y=x -n =1/x n. Primjer grafa takve funkcije je graf y=1/x 2. Ima diskontinuitet u točki x=0, sastoji se od dva dijela smještena u prvoj i drugoj četvrtini koordinatnog sustava, od kojih je svaki, budući da teži beskonačnosti, pritisnut na os apscise. Primjećuje se da je ovakvo ponašanje funkcije tipično za čak n.

Na slajdu 10 konstruiran je graf funkcije y = 1/x 3 čiji dijelovi leže u prvoj i trećoj četvrtini. Graf se također lomi u točki x=0 i ima asimptote y=0 i x=0. Primijećeno je da je ovakvo ponašanje grafa tipično za funkciju u kojoj je stupanj neparan broj.

Slajd 11 opisuje ponašanje grafa funkcije y=x0. Ovo je pravac y=1. Također se demonstrira na pravokutnoj koordinatnoj ravnini.

Zatim se analizira razlika između položaja grane funkcije y=x n s rastućim eksponentom n. Radi vizualne demonstracije, funkcionalne ovisnosti označene su istom bojom kao i grafikoni. Kao rezultat toga, jasno je da se s povećanjem indeksa funkcije grana grafa sve više pritišće uz ordinatnu os, a graf postaje strmiji. U ovom slučaju, graf funkcije y=x 2.3 zauzima srednji položaj između y=x 2 i y=x 3.

Na slajdu 13, razmatrano ponašanje funkcije snage generalizirano je u obrazac. Napominje se da je u 0<х<1 при увеличении показателя степени, уменьшается значение выражения х 5 < х 4 < х 3 , следовательно и √х 5 < √х 4 < √х 3 . Для х, большего 1, верно обратное утверждение - при увеличении показателя степени значение степенной функции увеличивается, то есть х 5 >x 4 > x 3, dakle, √x 5 > √x 4 > √x 3.

Slijedi detaljno razmatranje ponašanja na koordinatnoj ravnini funkcije potencije y=x k, u kojoj je eksponent nepravi razlomak m/n, gdje je m>n. Na slici je opis ove funkcije popraćen konstruiranim grafom u prvoj četvrtini koordinatnog sustava koji predstavlja granu parabole y=x 7/2. Svojstva funkcije za m/n>1 opisana su na slajdu 15 na primjeru grafa y=x 7/2. Napominje se da ima domenu definicije - zraka. 6. Funkcija raste od 0 do + kao x)