Градиентом функции в точке называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным и, обозначается.

Если рассмотреть единичный вектор e=(), то согласно формуле (3) производная по направлению есть скалярное произведение градиента и единичного вектора, задающего направление. Известно, что скалярное произведение двух векторов максимально, если они одинаково направлены. Следовательно, градиент функции в данной точке характеризует направление и величину максимального роста функции в этой точке.

Теорема. Если функция дифференцируема и в точке М 0 величина градиента отлична от нуля, то градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку и направлен в сторону возрастания функции при этом

ВЫВОД: 1) Производная функции в точке по направлению, определяемому градиентом этой функции в указанной точке, имеет максимальное значение по сравнению с производной в этой точке по любому другому направлению.

• 2) Значение производной функции по направлению, которое определяет градиент этой функции в данной точке, равно.
• 3) Зная градиент функции в каждой точке, можно с некоторой погрешностью строить линии уровня. Начнем с точки М 0 . Построим градиент в этой точке. Зададим направление, перпендикулярное градиенту. Построим малую часть линии уровня. Рассмотрим близкую точку М 1 , построим градиент в ней и так далее.

Из школьного курса математики известно, что вектор на плоскости представляет собой направленный отрезок. Его начало и конец имеют по две координаты. Координаты вектора рассчитываются путем вычитания из координат конца координат начала.

Понятие вектора может быть распространено и на n-мерное пространство (вместо двух координат будет n координат).

Градиентом grad z функции z = f(х 1 , х 2 , …х n) называется вектор частных производных функции в точке, т.е. вектор с координатами .

Можно доказать, что градиент функции характеризует направление наискорейшего роста уровня функции в точке.

Например, для функции z = 2х 1 + х 2 (см. рисунок 5.8) градиент в любой точке будет иметь координаты (2; 1). Построить его на плоскости можно различными способами, взяв в качестве начала вектора любую точку. Например, можно соединить точку (0; 0) с точкой (2; 1), или точку (1; 0) с точкой (3; 1), или точку (0; 3) с точкой (2; 4), или т.п. (см. рисунок 5.8). Все построенные таким образом вектора будут иметь координаты (2 – 0; 1 – 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Из рисунка 5.8 хорошо видно, что уровень функции растет в направлении градиента, поскольку построенные линии уровня соответствуют значениям уровня 4 > 3 > 2.

Рисунок 5.8 - Градиент функции z = 2х 1 + х 2

Рассмотрим другой пример – функцию z = 1/(х 1 х 2). Градиент этой функции уже не будет всегда одинаковым в разных точках, поскольку его координаты определяются формулами (-1/(х 1 2 х 2); -1/(х 1 х 2 2)).

На рисунке 5.9 представлены линии уровня функции z = 1/(х 1 х 2) для уровней 2 и 10 (прямая 1/(х 1 х 2) = 2 обозначена пунктиром, а прямая
1/(х 1 х 2) = 10 – сплошной линией).

Рисунок 5.9 - Градиенты функции z = 1/(х 1 х 2) в различных точках

Возьмем, например, точку (0,5; 1) и вычислим градиент в этой точке: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; -2). Заметим, что точка (0,5; 1) лежит на линии уровня 1/(х 1 х 2) = 2, ибо z = f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Чтобы изобразить вектор (-4; -2) на рисунке 5.9, соединим точку (0,5; 1) с точкой (-3,5; -1), ибо
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Возьмем другую точку на той же самой линии уровня, например, точку (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Вычислим градиент в этой точке
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Чтобы изобразить его на рисунке 5.9, соединим точку (1; 0,5) с точкой (-1; -3,5), ибо (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; -4).

Возьмем еще одну точку на той же самой линии уровня, но только теперь в неположительной координатной четверти. Например, точку (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Градиент в этой точке будет равен
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Изобразим его на рисунке 5.9, соединив точку (-0,5; -1) с точкой (3,5; 1), ибо (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4; 2).

Определение 1

Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$. Обозначение: $z=f(x,y)$.

Рассмотрим функцию $z=f(x,y)$, которая определена в некоторой области в пространстве $Oxy$.

Следовательно,

Определение 3

Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.

Обозначение: $w=f(x,y,z)$.

Рассмотрим функцию $w=f(x,y,z)$, которая определена в некоторой области в пространстве $Oxyz$.

Для заданной функции определим вектор, для которого проекциями на оси координат являются значения частных производных заданной функции в некоторой точке $\frac{\partial z}{\partial x} ;\frac{\partial z}{\partial y} $.

Определение 4

Градиентом заданной функции $w=f(x,y,z)$ называется вектор $\overrightarrow{gradw} $ следующего вида:

Теорема 3

Пусть в некотором скалярном поле $w=f(x,y,z)$ определено поле градиентов

\[\overrightarrow{gradw} =\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \overrightarrow{i} +\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \overrightarrow{j} +\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \overrightarrow{k} .\]

Производная $\frac{\partial w}{\partial s} $ по направлению заданного вектора $\overrightarrow{s} $ равна проекции вектора градиента $\overrightarrow{gradw} $ на заданный вектор $\overrightarrow{s} $.

Пример 4

Решение:

Выражение для градиента находим по формуле

\[\overrightarrow{gradw} =\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \overrightarrow{i} +\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \overrightarrow{j} +\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \overrightarrow{k} .\]

\[\frac{\partial w}{\partial x} =2x;\frac{\partial w}{\partial y} =4y;\frac{\partial w}{\partial z} =2.\]

Следовательно,

\[\overrightarrow{gradw} =2x\cdot \overrightarrow{i} +4y\cdot \overrightarrow{j} +2\cdot \overrightarrow{k} .\]

Пример 5

Определить градиент заданной функции

в точке $M(1;2;1)$. Вычислить $\left(|\overrightarrow{gradz} |\right)_{M} $.

Решение:

Выражение для градиента в заданной точке находим по формуле

\[\left(\overrightarrow{gradw} \right)_{M} =\left(\frac{\partial w}{\partial x} \right)_{M} \cdot \overrightarrow{i} +\left(\frac{\partial w}{\partial y} \right)_{M} \cdot \overrightarrow{j} +\left(\frac{\partial w}{\partial z} \right)_{M} \cdot \overrightarrow{k} .\]

Частные производные имеют вид:

\[\frac{\partial w}{\partial x} =2x;\frac{\partial w}{\partial y} =4y;\frac{\partial w}{\partial z} =6z^{2} .\]

Производные в точке $M(1;2)$:

\[\frac{\partial w}{\partial x} =2\cdot 1=2;\frac{\partial w}{\partial y} =4\cdot 2=8;\frac{\partial w}{\partial z} =6\cdot 1^{2} =6.\]

Следовательно,

\[\left(\overrightarrow{gradw} \right)_{M} =2\cdot \overrightarrow{i} +8\cdot \overrightarrow{j} +6\cdot \overrightarrow{k} \]

\[\left(|\overrightarrow{gradw} |\right)_{M} =\sqrt{2^{2} +8^{2} +6^{2} } =\sqrt{4+64+36} =\sqrt{104} .\]

Перечислим некоторые свойства градиента:

Производная заданной функции в заданной точке по направлению некоторого вектора $\overrightarrow{s} $ имеет наибольшее значение, если направление данного вектора $\overrightarrow{s} $ совпадает с направлением градиента. При этом данное наибольшее значение производной совпадает с длиной вектора градиента, т.е. $|\overrightarrow{gradw} |$.

Производная заданной функции по направлению вектора, который перпендикулярен к вектору градиента, т.е. $\overrightarrow{gradw} $, равна 0. Так как $\varphi =\frac{\pi }{2} $, то $\cos \varphi =0$; следовательно, $\frac{\partial w}{\partial s} =|\overrightarrow{gradw} |\cdot \cos \varphi =0$.

ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ и = f(x, у, z), заданной в некоторой обл. пространства (X Y Z), есть вектор с проекциями обозначаемый символами: grad где i, j, k - координатные орты. Г. ф. - есть функция точки (х, у, z), т. е. он образует векторное поле. Производная в направлении Г. ф. в данной точке достигает наибольшего значения и равна: Направление градиента есть направление наибыстрейшего возрастания функции. Г. ф. в данной точке перпендикулярен поверхности уровня, проходящей через эту точку. Эффективность использования Г. ф. при литологических исследованиях была показана при изучении эоловых отл. Центральных Каракумов.

Геологический словарь: в 2-х томах. - М.: Недра . Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др. . 1978 .

Смотреть что такое "ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ" в других словарях:

Эта статья о математической характеристике; о способе заливки см.: Градиент (компьютерная графика) … Википедия

- (лат.). Разность в барометрических и термометрических показаниях в разных местностях. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ГРАДИЕНТ разность в показаниях барометра и термометра в один и тот же момент… … Словарь иностранных слов русского языка

градиент - Изменение значения некоторой величины на единицу расстояния в заданном направлении. Топографический градиент — это изменение высоты местности на измеренном по горизонтали расстоянии. Тематики релейная защита EN gradient of the differential protection tripping characteristic … Справочник технического переводчика

Градиент - вектор, направленный в сторону наискорейшего возрастания функции и равный по величине ее производной в этом направлении: где символами ei обозначены единичные векторы осей координат (орты) … Экономико-математический словарь

Одно из основных понятий векторного анализа и теории нелинейных отображений. Градиентом скалярной функции векторного аргумента из евклидова пространства Е n наз. производная функции f(t).по векторному аргументу t, то есть n мерный вектор с… … Математическая энциклопедия

Градиент физиологический - – величина, отражающая изменение к либо показателя функции в зависимости от другой величины; напр., градиент парциального давления разность парциальных дав лений, определяющая диффузию газов из альвеол (акцинусов) в кровь и из крови в… … Словарь терминов по физиологии сельскохозяйственных животных

I Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis шагающий) Вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (см. Поля теория). Если величина… … Большая советская энциклопедия

Градиент - (от лат. gradiens шагающий, идущий) (в математике) вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой функции; (в физике) мера возрастания или убывания в пространстве или на плоскости какой либо физической величины на единицу… … Начала современного естествознания

Книги

• Методы решения некоторых задач избранных разделов высшей математики. Практикум , Клименко Константин Григорьевич, Левицкая Галина Васильевна, Козловский Евгений Александрович. В данном практикуме рассматриваются методы решения некоторых типов задач из таких разделов общепринятого курса математического анализа, как предел и экстремум функции, градиент и производная…

1 0 Градиент направлен по нормали к поверхности уровня (или к линии уровня, если поле плоское).

2 0 Градиент направлен в сторону возрастания функции поля.

3 0 Модуль градиента равен наибольшей производной по направлениювданной точке поля:

Эти свойства дают инвариантную характеристику градиента. Они говорят о том, что вектор gradU указывает направление и величину наибольшего изменения скалярного поля в данной точке.

Замечание 2.1. Если функция U(x,y) есть функция двух переменных, то вектор

лежит в плоскости oxy.

Пусть U=U(x,y,z) и V=V(x,y,z) дифференцируемых в точке М 0 (x,y,z) функции. Тогда имеет место следующие равенства:

а) grad()= ; б) grad(UV)=VgradU+UgradV;

в) grad(U V)=gradU gradV; г) г) grad = , V ;

д) gradU( = gradU, где , U=U() имеет производную по .

Пример 2.1. Дана функция U=x 2 +y 2 +z 2 . Определить градиент функции в точке М(-2;3;4).

Решение. Согласно формуле (2.2) имеем

Поверхностями уровня данного скалярного поля являются семейство сфер x 2 +y 2 +z 2 , вектор gradU=(-4;6;8) есть нормальный вектор плоскостей.

Пример 2.2. Найти градиент скалярного поля U=x-2y+3z.

Решение. Согласно формуле (2.2) имеем

Поверхностями уровня данного скалярного поля являются плоскости

x-2y+3z=С; вектор gradU=(1;-2;3) есть нормальный вектор плоскостей этого семейства.

Пример 2.3. Найти наибольшую крутизну подъема поверхности U=x y в точке М(2;2;4).

Решение. Имеем:

Пример 2.4. Найти единичный вектор нормали к поверхности уровня скалярного поля U=x 2 +y 2 +z 2 .

Решение. Поверхности уровня данного скалярного Поля-сфера x 2 +y 2 +z 2 =С (С>0).

Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, так что

Определяет вектор нормали к поверхности уровня в точке М(x,y,z). Для единичного вектора нормали получаем выражение

Пример 2.5. Найти градиент поля U= , где и постоянные векторы, r –радиус вектор точки.

Решение. Пусть

Тогда: . По правилу дифференцирования определителя получаем

Следовательно,

Пример 2.6. Найти градиент расстояния , где P(x,y,z) - изучаемая точка поля, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) - некоторая фиксированная точка.

Решение. Имеем - единичный вектор направления .

Пример 2.7. Найти угол между градиентами функций в точке М 0 (1,1).

Решение. Находим градиенты данных функций в точке М 0 (1,1), имеем

; Угол между gradU и gradV в точке М 0 определяется из равенства

Отсюда =0.

Пример 2.8. Найти производную по направлению, радиус- вектор равен

Решение. Находим градиент этой функции:

Подставляя (2.5) в (2.4), получим

Пример 2.9. Найти в точке М 0 (1;1;1) направление наибольшего изменения скалярного поля U=xy+yz+xz и величину этого наибольшего изменения в этой точке.

Решение. Направление наибольшего изменения поля указывается вектором grad U(M). Находим его:

И, значит, . Это вектор определяет направление наибольшего возрастания данного поля в точке М 0 (1;1;1). Величина наибольшего изменения поля в этой точке равна

Пример 3.1. Найти векторные линии векторного поля где -постоянный вектор.

Решение. Имеем так что

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на х, второй-на у, третий- на z и сложим почленно. Используя свойство пропорций, получим

Отсюда xdx+ydy+zdz=0, а значит

x 2 +y 2 +z 2 =A 1 , A 1 -const>0. Умножив теперь числитель и знаменатель первой дроби (3.3) на с 1 , второй –на с 2 , третий на с 3 и сложив почленно, получим

Откуда с 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

И, следовательно, с 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2 -const.

Искомые уравнения векторных линий

Эти уравнения показывают, что векторные линии получаются в результате пересечения сфер, имеющих общий центр в начале координат, с плоскостями, перпендикулярными вектору . Отсюда следует, что векторные линии являются окружностями, центры которых находятся на прямой, проходящей через начало координат в направлении вектора с. Плоскости окружностей перпендикулярны указанной прямой.

Пример 3.2. Найти векторную линию поля проходящую через точку (1,0,0).

Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий

Отсюда имеем . Решая первое уравнение . Или если ввести параметр t, то будем иметь В этом случае уравнение принимает вид или dz=bdt, откуда z=bt+c 2 .