Kare- Gayri resmi olarak konuşursak, bu şeklin boyutunu gösteren iki boyutlu (düz veya kavisli) bir geometrik şeklin sayısal özelliği. Tarihsel olarak alan hesaplamasına kareleme adı veriliyordu. Alanı olan şekle denir karesi. Basit rakamlar için alanın spesifik değeri, bu konseptin pratik açıdan önemli gerekliliklerinden açıkça kaynaklanmaktadır (aşağıya bakınız). Alanı aynı olan şekillere eşit alanlı denir.

İntegral hesap, geometrik şekillerin alanını hesaplamak için genel bir yöntem sağladı. Alan kavramının bir genellemesi, daha geniş bir geometrik nesne sınıfı için uygun olan küme ölçüsü teorisiydi.

Alanı yaklaşık olarak tahmin etmek için pratikte bir palet veya özel bir ölçüm cihazı - bir planimetre kullanırlar.

Özellikler

• Birim karenin alanı 1'dir.
• Alan ilavedir.
• Alan negatif değildir.
• Eş şekillerin alanları eşittir.

Tam sayıda birim kareden oluşmayan bir düzlem üzerindeki şekiller için ve ayrıca kavisli üç boyutlu yüzeyler için alan, sınıra geçiş kullanılarak belirlenir; hem şeklin hem de sınırının parçalı olarak düzgün olması gerekir.

Alanı belirlemek için genel yöntem

Düz bir figürün alanı

Kartezyen koordinatları

Bir aralıktaki sürekli bir fonksiyonun grafiği ile yatay eksen arasında kalan alan, bu fonksiyonun belirli integrali olarak hesaplanabilir:

Bir aralıktaki iki sürekli fonksiyonun grafikleri arasında kalan alan, bu fonksiyonların belirli integrallerinin farkı olarak bulunur:

Kutupsal koordinatlar

Kutupsal koordinatlarda: fonksiyonun ve ışınların grafiğinin sınırladığı alan.

Yüzey alanı

Kavisli yüzey alanı A vektör fonksiyonu tarafından verilen, çift katlı integral tarafından verilir:

Koordinatlarda aynı:

Alan birimleri

Metrik birimler

• Kilometre kare, 1 km² = 1.000.000 m²
• Hektar, 1 ha = 10.000 m²
• Ar (dokuma), 1 a = 100 m²
• Metrekare, SI'dan türetilmiş birim 1 m² = 1 sa (centiar)
• Desimetre kare, 100 dm² = 1 m²;
• Santimetre kare, 10.000 cm² = 1 m²;
• Milimetre kare, 1.000.000 mm² = 1 m².

Rusça eski

• Verst kare = 1,13806 km²
• Tithe = 10925,4 m²
• Yığın = 0,1 desiyatin - kesilen saman ölçüldü şoklar
• Kulaç kare = 4,55224 m²

Vergi hesaplamaları için arazi ölçüleri şunlardı: uluma, pulluk, obzha büyüklüğü arazinin kalitesine ve sahibinin sosyal statüsüne bağlıydı. Ayrıca çeşitli yerel arazi ölçüleri de vardı: kutular, ip, sürü ve benzeri.

Antik

• Arura

Basit rakamların alanlarını hesaplamak için formüller

Planimetrik rakamlar

Bir dairenin alanını, parçalarını, daire içine alınmış ve yazılı rakamları hesaplamak için formüller

Uzaydaki cisimlerin yüzey alanını hesaplamak için formüller

Ayrıca bakınız

• Bir şeklin alanı - kavramın matematiksel yönleri.
• Eğri uzunluğu
• Dördülleme (matematik)
• Hacim
• Yüzey

Edebiyat

• Rashevsky P.K. Riemann geometrisi ve tensör analizi. Ed. 3., M.: Nauka, 1967.
• Fikhtengolts G.M. Diferansiyel ve integral hesabının seyri. - M.: FİZMATLIT, 1960. - T. 2. - 680 s. - ISBN 5-9221-0155-2

Bağlantılar

• Boltyansky V. Alan ve hacim kavramları üzerine. Kvant, No.5, 1977.
• Rokhlin V. A. Alan ve hacim. İlköğretim Matematik Ansiklopedisi, Kitap 5, Geometri.

Notlar

1. Matematik ansiklopedisi (5 cilt). - M .: Sovyet Ansiklopedisi, 1982. - T. 4.
2. Fikhtengolts G.M. Diferansiyel ve integral hesabının seyri. - Ed. 6.. - M.: FİZMATLIT, 1966. - T. 2. - S. 186-224. - 800 sn.

• Alfabetik sıraya göre fiziksel büyüklükler
• Kare

§ 52. ALANIN BELİRLENMESİNİN GRAFİK YÖNTEMİ

Bu formüller göz önüne alındığında, sitenin iki katına çıkan alanının, her noktanın apsis çarpımlarının toplamına ve önceki ve sonraki noktaların koordinatları arasındaki farka veya her noktanın koordinatına eşit olduğu sonucuna varabiliriz. sonraki ve önceki noktaların apsisleri arasındaki fark. Kontrol için hesaplamalar her iki formül kullanılarak yapılır. Bunları n noktalı bir çokgen için yeniden yazalım.

Yöntem, planda verilen bölgeyi en basit geometrik şekillere bölmeye dayanmaktadır: üçgenler, dikdörtgenler, yamuklar. Kırık şekillerin kenarları ölçüme uygun düz çizgiler olmalıdır. Alanı belirlemek için gerekli miktarları plan ölçeğinde ölçerek

onların alanları

burada a, fc, c kenarların uzunluklarıdır; h yüksekliktir; C üçgenin kenarları arasındaki açıdır ve

p---(a-\-b~\-c) - yarı çevre.

§ 53. PALETLERE GÖRE ALANIN BELİRLENMESİ

Kavisli konturlara sahip küçük alanların alanları, paletler kullanılarak grafiksel olarak belirlenir. Palet şeffaf bir malzemeden yapılmıştır. Düz ve kavisli paletler vardır. Üzerine kareler veya paralel çizgilerden oluşan bir ızgaranın uygulandığı bir kağıt yaprağı üzerine doğrusal bir palet oluşturulur (Şekil 126). Kare palet ile alanı belirlemek için alanının belirlenmesi gereken alana uygulanır ve konturun içine sığan tam karelerin sayısı sayılır; Tamamlanmamış karelerin oranları gözle tahmin edilir.

Bir hücrenin alanını ve konturun kapladığı hücre sayısını bilerek bunları çarpın ve konturun alanını elde edin.

Çoğu zaman, kenarları 2 mm olan karelerden oluşan bir ızgara oluşturulur. Örneğin 1: 10.000 ölçeğinde böyle bir karenin kenar uzunluğu 20 m, alanı ise 400 m2 = - 0,04 hektar olacaktır.

Hesaplamaları basitleştirmek ve büyük hatalardan kaçınmak için 5 veya 10 kare boyunca kalın çizgiler çizin, ardından kare gruplarını kolayca sayabilirsiniz.

Karelerin oranlarını gözle tahmin etmek hatalarla ilişkilidir ve bu nedenle bu yöntemin doğruluğu düşüktür. Bu nedenle plan üzerinde 2 cm2'den büyük parsellerin alanlarının palet kullanılarak belirlenmesi önerilmez.

Paralel çizgiler içeren bir palet kullanarak arsanın alanını belirlemek için, konturun en uç noktaları çizgileri arasında olacak şekilde uygulanır. Böylece alan, paletin çizgileriyle yamuğa yakın şekillere bölünür. Daha sonra, kontur alanını elde etmek için, yamuk yüksekliğinin ve orta çizgisinin ürünü olarak tanımlanan bireysel yamukların alanlarını toplamanız gerekir. Yamukların yükseklikleri aynı olduğundan ve bilindiğinden -

bu, paletin çizgileri arasındaki mesafedir, daha sonra görev, paletin çizgileri olan orta çizgilerin uzunluğunun belirlenmesine gelir ve yamukların sınırları noktalı çizgilerdir (Şek. 127).

Toplama yapılarak sorun çözülür. Orta çizgilerin toplamı sırayla sayaç çözümünde toplanır: önce ab segmentini alın, ardından sayacı sıkmadan sol bacağını noktayla hizalayın

Paralel çizgili bir palet, parsellerin alanlarını daha doğru belirlemenizi sağlar ancak yine de plan üzerinde 10 cm2'den büyük parsellerin alanlarını belirlemek için kullanılması tavsiye edilmez.

Eğrisel paletler, alanların alanları daha yavaş belirlendiği için yaygın olarak kullanılmamaktadır.

§ 54. POLAR PLANİMETRE VE ONUNLA ÇALIŞMAK

Alanlar özel bir cihaz olan planimetre kullanılarak mekanik olarak ölçülür. En yaygın olanı, değişken uzunlukta bir kolu olan kutupsal planimetredir (Şek. 128, a). oluşur

iki koldan oluşur - direk 3 ve baypas 7. Üç destek noktasına sahiptir - ek bir sayma mekanizmasının tekerleği 2, baypas camı 6 ve tekerlek 10. Direk kolunun bir ucunda, ölçümlere başlamadan önce kağıda bastırılan ve planimetrenin etrafında döndüğü bir direk görevi gören, alt kısmında bir iğne bulunan sabit bir ağırlık bulunmaktadır. Diğer ucu kutup

kol, sokete yerleştirilmiş bilye şeklinde bir kafaya sahip bir pim vasıtasıyla bypass koluna dönebilir şekilde bağlanır. Bu düğüm (8), bypass kolunun dönme ekseni görevi görür.

Baypas kolunun ucunda, alt yüzeyine bir baypas noktasının kazındığı cam (6) bulunmaktadır. Planimetreyi tutamaktan (5) tutarak, alanını ölçmek istediğiniz alanın dış hatları etrafına bir nokta çizin. Baypas kolu, bir sayma çarkı (10) ve bir tamsayı devir sayacından (9) oluşan sayma mekanizmasının taşıyıcısını (1) barındırır. Sayma çarkındaki okumalar için bir verniye11 bulunmaktadır. Alanın ana hatlarını takip ettiğinizde sayma çarkının kenarı kağıt üzerinde yuvarlanır veya kayar.

Planimetre ile bir alan ölçülürken, kontur noktası önceden seçilmiş bir kontur noktasıyla birleştirilir ve dört haneli bir okuma yapılır. İlk rakam tamsayı devir sayacından alınır (Şekil 128, b), sonraki iki rakam ise verniyenin sıfır vuruşuna göre sayma çarkındaki tamsayı bölümlerinin sayısıdır.

ve sonuncusu, verniye çekirdeğinden sayma çarkının bölünmesiyle çakışan stroka kadar olan strok sayısıdır.

Daha sonra orijinaline dönene kadar konturu saat yönünde izleyin

bypass kolunun R uzunluğunun (baypas noktasından kolların menteşe bağlantısına kadar) planimetre bölümü Z ile çarpımı, uzunluğun binde birine eşit

Sayma mekanizmasının taşıyıcısı hareket ettiğinden bypass kolunun uzunluğu değişir, dolayısıyla planimetrenin bölme fiyatı da değişir. Bu, hesaplamalara uygun bir planimetre bölme fiyatı seçmek için kullanılır.

Formül (X.6)'yı kullanarak, planimetrenin kutbu konturun dışındaysa alanı hesaplayabilirsiniz. Kutup konturun içinde bulunuyorsa, alanı şuna eşittir:

Pirinç. 129. Planimetrenin sabit sayısının geometrik özü

burada q, planimetrenin sabit sayısıdır.

Planimetrenin sabit sayısının geometrik özünü açıklığa kavuşturmak için, onu sayma çarkının kenarının düzlemi O kutbundan geçecek şekilde konumlandıralım (Şekil 129). Bu konuma yerleştirilmiş bir planimetre ile bir daire çizerseniz sayma çarkı dönmeyecek, yalnızca kağıt üzerinde kayacaktır. Bir kontur noktasıyla tanımlanan p yarıçaplı bir daireye planimetrenin ana dairesi denir; alanı planimetre tarafından dikkate alınmaz. Alan ana daireden daha büyükse, planimetre ile yalnızca ana dairenin dışındaki alan ölçülür; ölçülen alan ana dairenin alanından azsa, ikinci sayım birinciden az olacaktır ve aralarındaki fark n^ - n"n kontur alanının ana alana eklenmesini ifade eder daire.

Q sabit sayısı, aynı alanın alanı farklı kutup konumlarıyla (içinde ve dışında) iki kez ölçülerek belirlenebilir.

Daha sonra (X.6) ve (X.7) formüllerine dayanarak şunu yazabiliriz:

d = (pk - pi) - (pk - Pazartesi).

Planimetre ile yapılan ölçüm sonuçlarının kalitesi, alanın şekline, boyutuna, planimetrenin alana göre konumuna ve kağıdın kalitesine bağlıdır. Harita veya plan üzerinde 10-15 cm2'den küçük alanların planimetre ile ölçülmesi önerilmez. Yolların, nehirlerin, hendeklerin ve diğer uzatılmış bölümlerin alanlarının grafiksel veya geometrik olarak belirlenmesi daha güvenilirdir.

3.3. Arsa alanının belirlenmesi

Site iki bölüme ayrılmıştır. Planimetre bölmelerde her parçanın alanı tıpkı karenin alanı gibi iki kez belirlenir. Okumalardaki iki farkın ortalaması planimetrenin bölme fiyatı ile çarpılır ve elde edilen metrekare cinsinden alan hektara dönüştürülür ve 0,01 hektara yuvarlanır.

Sitenin toplam alanı, parçalarının alanlarının toplamına eşittir. C'nin ve sahanın alanının örnek tespiti tabloda sunulmaktadır. 3.3.

Tablo 3.3.

Arsa alanının belirlenmesi

Planimetre No. 603; R= 150,0; C = 35,81m2

Pirinç. 1.2. Teodolit 2TZO'nun genel görünümü:

1 - cırcır; 2 - diyoptri halkası; 3 - altında iplik ağı için düzeltici vidaların bulunduğu kapak; 4 - optik görüş; 5 - dikey daire; 6 - teleskop standı; 7 - kadran sabitleme vidası; 8 - davanın temeli; 9 - sürgü; 10 seviyeli vida; 11 - Alidade sabitleme vidası; 12 - silindirik seviye; 13. - teleskopun sabitleme vidası; 14 - teleskop: 15 - teleskop kılavuz vidası; 16 - Alidade kılavuz vidası; 17 - ayakta durmak; 18 - kaldırma vidası; 19 - kadran kılavuz vidası; 20 - ölçekli bir mikroskobun göz merceği; 21 - ayna

1.2. Kadran bölme fiyatının ve sayım doğruluğunun belirlenmesi. Yatay ve dikey daireler boyunca okumalar

2TZO teodolitin bir ölçek okuma mikroskobu vardır. Mikroskop görüş alanının B harfiyle gösterilen üst kısmında (Şekil 1.3), dikey daire kolunun vuruşları ve referans ölçeğinin vuruşları görülebilir ve alanın alt kısmında G harfiyle gösterilen görünümde yatay daire kolunun çizgileri ve referans ölçeğinin çizgileri görülebilir.

Bir tornavida kullanarak, başlık 3'ün altında bulunan 4 göz merceği montaj vidasını gevşetin (Şek. 1.2) ve tüpün göz merceği kısmını, dikey retikül dişi çekül dişi ile aynı hizaya gelene kadar çevirin, ardından vidalar tekrar sabitlenir.

3. Teleskobun görüş ekseni, teleskopun dönme eksenine dik olmalıdır.

Görüş ekseninin borunun dönme eksenine dik olan sapmasına (Şekil 1.4'teki C açısı) kolimasyon hatası denir. Kolimasyon hatasını tanımlamak için, görüş hattı yaklaşık olarak yatay olacak şekilde konumlandırılmış uzak, açıkça görülebilen bir nokta seçin. Izgara ipliklerinin kesişimini bu noktaya yönlendirin ve yatay bir daire boyunca sayın. Örneğin, solda bir daire varsa sayım 18°30" (CL = 18°30") olur.

Pirinç. 1.4. Kolimasyon hatası

Boruyu zirve boyunca hareket ettirirler, alidade'yi çözerler, ağ ipliklerinin kesişimini sağdaki daire üzerinde aynı noktaya işaret ederler ve bir sayım yaparlar. Örneğin, KP=198°36".

Kolimasyon hatası C'nin büyüklüğü aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

C =(KL-KP±180°)/2

Örnekte

C = (18°30"-198°36Х180°)/ 2 = -0۫ 03°

C, alet ölçeğindeki okuma doğruluğunun iki katını aşarsa, görüş ekseninin konumu düzeltilmelidir. Bunun için

Teodolit çapraz köşelerinin plan üzerinde çizilmesinin doğruluğu, çapraz çizgilerin uzunlukları ile kontrol edilir: plandan alınan bir çizgi, koordinat tablosunda kaydedilen değerinden, plan ölçeğinin doğruluğunun üç katından fazla farklı olmayabilir; 1:2000 ölçeğinde 0,6 m'dir.

2.3.3. Durumu haritalamak

Bir durumu plan üzerinde çizme yöntemleri, taslağın rehberliğinde, onu çekme yöntemlerine bağlı olarak kullanılır (Şekil 2.3). Örneğin, 2-3 hattından itibaren çalıların ve ekilebilir alanların sınırını oluştururken, aşağıdaki yöntemler kullanıldı: kutupsal ("a" noktası), dik ("b" noktası) ve ölçümler ("c" noktası).

Planda “a” noktasını çizerken, 2-3 çizgisinden 2 noktasına 47° 15"'lik bir açı ve plan ölçeğinde ortaya çıkan yönde 52,7 m'lik bir çizgi çizmek için bir açıölçer kullanın.

“B” noktasını oluştururken, 2-3 çizgisi boyunca 2 noktasından 72,0 m ve dik boyunca 9,0 m mesafe bırakılır.

2.3.4. Plan yapmak

Ana hareketin köşeleri ve kenarları, çapraz hareketin köşeleri ve durumu plan üzerinde çizim mürekkebi ile çizilir. Çapraz hareketin kenarları çizilmez.

Koordinat grid çizgilerinin kesişimi 6x6 mm ebadında yeşil mürekkeple çarpı işareti ile çizilir. Plan çerçevelerine yakın karelaj çizgilerinin çıktıları siyah mürekkeple imzalanmıştır.

Planın "1:5000, 1:2000, 1:1000, 1:500 ölçekli topoğrafik planlar için konvansiyonel işaretler"e uygun olarak hazırlanması gerekmektedir.

/ Planimetre kullanarak alanın belirlenmesi

Planimetre kullanarak alanın belirlenmesi.

İşin amacı– mekanik planimetre ile ölçüm alanlarının tasarımına ve prensiplerine aşinalık.

Planimetre, herhangi bir şekle sahip düz bir şeklin izini sürerek alanını belirlemenizi sağlayan mekanik bir cihazdır.

Polar planimetre, çalışma sırasında bir menteşe ile bağlanan 1 kutup ve 6 bypass kolundan oluşur. Kol 1'in sonunda iğneli direk 2 bulunur. Bypass kolunun bir ucunda sayma mekanizması, diğer ucunda ise bypass cihazı bulunmaktadır.

Şekil 11.

Planimetreyi tutamaktan (3) tutarak, alanını ölçmek istediğiniz alanın ana hatlarını çizmek için özel bir cihaz (4) (ortasında nokta bulunan bir büyüteç) kullanın (Şekil 11).

Sayma mekanizması 100 bölmeli bir sayma çarkından (9) ve on bölmeli bir sürmeliden (10) oluşur. Okumalar dört basamaklı bir sayı olarak ifade edilir (Şekil 11).

1. rakam - göstergeye göre kadran 7'den (en düşük olanı okunur)

2. rakam - sayma çarkındaki 9 rakamı, sıfır verniye vuruşundan önce imzalanır

3. rakam, sayımın ikinci rakamı ile sıfır bölme vuruşu arasındaki tam bölmelerin sayısıdır.

4. rakam, eşleşen vuruş boyunca verniyeden alınır.

Ölçüme başlamadan önce cihazı kontrol edin:

1) sayma çarkının düzgün bir şekilde döndüğünden emin olmanız gerekir; verniyeye dokunmadan eksen üzerinde serbestçe dönmelidir;

2) verniye yüzeyi silindir yüzeyinin devamı olmalıdır

3) silindir ve verniye üzerindeki bölmeler doğru olmalı, sayma silindirinin kenarındaki yivli vuruşlar doğru şekilde uygulanmalıdır;

4) Sayma silindirinin kenarındaki yivli vuruşların yönü, baypas kolunun eksenine paralel olmalıdır.

Konturun alanı planimetre ile izlenerek elde edilir; kontur izlenmeye başlamadan önce ve devre sonunda sayma mekanizmasından okumalar alınır. Planimetrenin konumu aşağıdaki koşullar sağlanacak şekilde seçilir:

1) Şekil izlenirken konturun konumu sabitlenmelidir.

2) Devre sırasında direk ile bypass kolu arasındaki açı 30°'den az ve 150°'den fazla olmamalıdır.

3) Devreyi turlarken kolların (baypas ve kutup) yaklaşık 90°'lik konumu tercih edilmelidir.

4) Sayma mekanizmasının taşıyıcısı Whatman kağıdının kenarından kaymamalıdır.

Alan aşağıdaki sırayla kontrol edilir:

1. Şeklin ana hatlarının başladığı başlangıç ​​noktası işaretlenir ve bir sayım yapılır, örneğin nl = 4554.

2. Saat yönünde, kontur boyunca bir planimetre çizilir ve bir okuma alınır, örneğin nп2 = 5666.

3. Okumalardaki fark (n2-n1) = 1112 oluşur.

4. Saat yönünde, kontur boyunca planimetrenin ikinci bir izi yapılır ve nЗ = 6779 okuması alınır.

5. Okumalardaki fark oluşur (nЗ – n2) = 1113

6. Fark (n2 - nl) ve (nЗ - n2), okumalardaki fark 200 bölüm kontur alanına sahip 2 birimden, 200 ila 200 kontur alanına sahip 3 birimden fazla farklılık göstermiyorsa karşılaştırılır. 2000, 4 birim Alan > 2000 bölüm ise okumaların ortalama farkı görüntülenir. Okumalardaki fark, planimetrenin bölümlerindeki kontur alanını verir. Alanı hektar cinsinden elde etmek için formülü kullanarak hesaplamanız gerekir.

P = С(n 2 -n 1)cp

burada P hektar cinsinden kontur alanıdır, C planimetre bölme fiyatıdır, (n2 - nl)cp okumalardaki ortalama farktır.

Planimetre bölümünün fiyatı, 1 planimetre bölümü başına düşen hektar sayısıdır, çalışma formülüne dahil edilmiştir, bu nedenle alan ölçümünden önce belirlenmelidir.

Planimetre bölme fiyatı aşağıdaki formülle belirlenir:

P, konturun bilinen alanıdır, planimetreyi bölme maliyetini belirlemek için, en kolay yol koordinat ızgarasının karesinin alanını ölçmektir, kare 4 kez daire içine alınır, fark okumalar oluşturulur ve okumalardaki ortalama fark görüntülenir. Planimetre bölme değeri dört anlamlı rakam tutularak hesaplanır.

Her planimetrenin ayrı bir C bölümü fiyatı vardır; bypass çarkının çapına ve bypass kolunun uzunluğuna bağlıdır.

Şu anda dijital raporlama cihazlı mekanik polar ve roller planimetreler bulunmaktadır.

Bu, şeklin tüm yüzeylerinin toplam alanıdır. Bir küpün yüzey alanı altı yüzünün alanlarının toplamına eşittir. Yüzey alanı bir yüzeyin sayısal bir özelliğidir. Bir küpün yüzey alanını hesaplamak için belirli bir formülü ve küpün kenarlarından birinin uzunluğunu bilmeniz gerekir. Bir küpün yüzey alanını hızlı bir şekilde hesaplayabilmeniz için formülü ve prosedürü hatırlamanız gerekir. Aşağıda hesaplama prosedürünü ayrıntılı olarak tartışacağız. küpün toplam yüzey alanı ve spesifik örnekler verin.

SA = 6a 2 formülüne göre gerçekleştirilir. Bir küp (düzenli altı yüzlü), düzenli dikdörtgen paralel yüzlü olan 5 tür normal çokyüzlüden biridir, küpün 6 ​​yüzü vardır, bu yüzlerin her biri karedir.

İçin bir küpün yüzey alanının hesaplanması SA = 6a 2 formülünü yazmanız gerekir. Şimdi bu formülün neden böyle göründüğüne bakalım. Daha önce söylediğimiz gibi küpün altı eşit kare yüzü vardır. Karenin kenarlarının eşit olduğu gerçeğine dayanarak, karenin alanı - a 2'dir; burada a, küpün kenarıdır. Bir küpün 6 ​​eşit kare yüzü olduğundan, yüzey alanını belirlemek için bir yüzün (kare) alanını altı ile çarpmanız gerekir. Sonuç olarak, bir küpün yüzey alanını (SA) hesaplamak için bir formül elde ederiz: SA = 6a 2, burada a, küpün kenarıdır (karenin kenarı).

Bir küpün yüzey alanı nedir?

Kare birimlerle ölçülür, örneğin mm2, cm2, m2 vb. Daha ileri hesaplamalar için küpün kenarını ölçmeniz gerekecektir. Bildiğimiz gibi küpün kenarları eşittir, dolayısıyla küpün yalnızca bir (herhangi) kenarını ölçmeniz yeterli olacaktır. Bu ölçümü bir cetvel (veya şerit metre) kullanarak yapabilirsiniz. Cetvel veya şerit metre üzerindeki ölçü birimlerine dikkat edin ve değeri a ile göstererek yazın.

Örnek: a = 2 cm.

Ortaya çıkan değerin karesini alın. Böylece küpün kenarının uzunluğunun karesini almış olursunuz. Bir sayının karesini almak için onu kendisiyle çarpın. Formülümüz şu şekilde görünecektir: SA = 6*a 2

Bir küpün yüzlerinden birinin alanını hesapladınız.

Örnek: bir = 2 cm

a 2 = 2 x 2 = 4 cm2

Ortaya çıkan değeri altıyla çarpın. Küpün 6 ​​eşit kenarı olduğunu unutmayın. Yüzlerden birinin alanını belirledikten sonra elde edilen değeri 6 ile çarpın, böylece küpün tüm yüzleri hesaplamaya dahil edilir.

İşte geldik son eyleme bir küpün yüzey alanının hesaplanması.

Örnek: a 2 = 4 cm2

SA = 6 x a 2 = 6 x 4 = 24 cm2

Pirinç. 7.8. Üzerine Weibel ızgara görüntüsünün bindirildiği iki fazlı (A ve B) bir nesnenin diyagramı. Bu örnekte 7 nokta arka planda, 30 nokta A aşamasına ve 5 nokta B aşamasına düşmektedir.

3.2. Yüzey alanı ölçümünün ilkeleri

Birçok biyolojik sistemde yapı ve fonksiyon arasındaki ilişkinin belirlenmesinde yüzey alanı önemlidir. Dolayısıyla akciğerlerdeki alveol duvarlarının yüzey alanı ile dokular ve hava arasındaki oksijen ve karbondioksit gibi gazların değişim hızı arasında açık ilişkiler vardır. Benzer şekilde, sindirilmiş gıdanın ince bağırsakta emilmesi, büyük ölçüde onu kaplayan villusun yüzey alanına ve ayrıca villusu oluşturan emici hücrelerin iyi durumuna bağlıdır.

Nokta sayma yöntemi, bunların ve daha birçok alan ve yüzey ölçümünün mikroskobik kesitler üzerinde yapılmasına olanak sağlar. İki fazlı malzeme içeren herhangi bir dilimde, iç fazı oluşturan nesneler bir matrise gömülü iki boyutlu profiller olarak görünecektir. Belirli bir faz için Ad ve Vv parametreleri Bölüm'de belirtildiği gibi belirlenebilir. 3.1.1. Şimdi toplam uzunluğu L olan hayali bir çizgiyi (veya çizgi dizisini) alıp bunu profillerin görüntüsünün üzerine yerleştirirsek, o zaman profillerin yüzeyiyle birkaç kez kesişecektir. Bu kesişme noktaları arasındaki ortalama mesafeye ortalama doğrusal kesişme adı verilir ve LL, olarak gösterilir. Belirli bir doku hacmindeki (V) iç fazın toplam yüzey alanının (S), ortalama doğrusal kesişme noktasıyla ters orantılı olduğu ve S = 2V/LL olduğu gösterilebilir.

Doğrusal bir kesişimin ortalama uzunluğu, bir dizi test çizgisinin birkaç rastgele yönlendirilmiş dilim üzerine sırayla yerleştirilmesi ve ilgili fazın tüm yüzeyi üzerindeki çizgilerin kesişme (veya kesişme noktaları) sayısının sayılmasıyla kolayca hesaplanabilir. Bu değer I, ızgaramızdaki doğruların toplam uzunluğu L ve kesişme sayısı n olarak gösterilirse ortalama doğrusal kesişim (LL) şu şekilde olacaktır:

LL=(n x L)/ ben

Uygulamada, Şekil 1'deki gibi bir dizi paralel çizgiden oluşan ızgaralar veya hatta karelerden oluşan ızgaralar bu amaçlar için kullanılabilir. 7.2, E. Bir yüzeyin tanımını AA veya VV ölçümleriyle birleştirmek istersek, Şekil 7.2'de gösterilen Weibel ızgarasını kullanabiliriz. 7.7, B. Izgara üzerindeki çizgilerin uçları hacim veya alan tahmininde kullanılacak işaretler olarak hizmet ederken, çizgilerin kendisi de müdahalelerin belirlenmesinde test görevi görecektir.

3.2.1. Yüzey ve hacim ilişkilerini tanımlama

Burada Chalkley ve arkadaşlarına göre yüzey ve hacim ilişkilerinin eş zamanlı belirlenmesine yönelik bir prosedür önerilmektedir. .

1. Weibel ızgarasını (Şekil 7.7, B), keskin görüntüsü numunenin görüntüsü üzerine bindirilecek şekilde göz merceğinin odak düzlemine yerleştirin.

2. Bir mikrometre nesnesi yerleştirin ve ızgara üzerindeki çizgilerin uzunluğunu ölçün. Bu, ana ölçümlerin yapılacağı mercek kullanılarak yapılmalıdır. Örneğin 15 µm olacak toplam uzunluğu (L) kaydedin.

3. Mikrometre nesnesini numuneyle değiştirin ve uygun bir kontrast tekniği kullanarak aynı büyütmede inceleyin.

4. İlgilendiğiniz aşamaya denk gelen satır sonlarının sayısını sayın ve yazın (p). Örneğin, Şekil 2'de. 7,8 p=5.

5. Çizgilerin aynı bileşenin yüzeyiyle kaç kez kesiştiğini sayın ve bu sayıyı (h) yazın. Örneğimizde h=1.

6. Genel formülden yüzey/hacim oranını hesaplayın S/V = (4 x p)/(L x y).

Örneğimizde, bir hücre için (4 x 5) / (15 x 1) = 20 / 15 = 1,33.

7. Güvenilir sonuçlar elde etmek amacıyla yeterince fazla sayıda hücre için p ve h ölçümlerini tekrarlayın.

Bu tür tekrarlar morfometrik çalışmalarda son derece gereklidir, çünkü mikroskobun her görüş alanında