TEKSTI TRANSKRIPT I MËSIMIT:

Konsideroni këto artikuj:

Tulla ndërtimi, zare, furrë me mikrovalë. Këto objekte janë të bashkuara nga forma.

Një sipërfaqe e përbërë nga dy paralelogramë të barabartë ABCD dhe A1B1C1D1

dhe katër paralelograme AA1B1B dhe BB1C1C, СС1D1D, AA1D1D quhet paralelopiped.

Paralelogramet që përbëjnë një paralelipiped quhen faqe. Fytyra А1В1С1D1. Buzë ВВ1С1С. Edge ABCD.

Në këtë rast, faqet ABCD dhe A1B1C1D1 quhen më shpesh baza, dhe fytyrat e mbetura janë anësore.

Brinjët e paralelogrameve quhen skajet e paralelopipedit. Brinja A1B1. Brinja CC1. Brinjë AD.

Buza CC1 nuk i përket bazave; quhet skaj anësor.

Kulmet e paralelogrameve quhen kulme të paralelopipedit.

Kulmi D1. Vershina B. Vershina S.

Kulmet D1 dhe B

nuk i përkasin të njëjtës fytyrë dhe quhen të kundërta.

Një paralelipiped mund të përshkruhet në mënyra të ndryshme

Një paralelipiped në bazën e të cilit shtrihet një romb, dhe imazhet e fytyrave janë paralelograme.

Një paralelipiped në bazën e të cilit shtrihet një katror. Skajet e padukshme AA1, AB, AD përshkruhen me vija të ndërprera.

Një paralelipiped në bazën e të cilit shtrihet një katror

Një paralelipiped në bazën e të cilit shtrihet një drejtkëndësh ose paralelogram

Një paralelipiped me të gjitha fytyrat katrore. Më shpesh quhet kub.

Të gjithë paralelipipedët e konsideruar kanë veti. Le t'i formulojmë dhe vërtetojmë ato.

Vetia 1. Faqet e kundërta të paralelepipedit janë paralele dhe të barabarta.

Le të shqyrtojmë paralelipipedin ABCDA1B1C1D1 dhe të provojmë, për shembull, paralelizmin dhe barazinë e faqeve BB1C1C dhe AA1D1D.

Sipas përkufizimit të një paralelopipedi, faqja ABCD është një paralelogram, që do të thotë, nga vetia e një paralelogrami, skaji BC është paralel me skajin AD.

Fytyra ABB1A1 është gjithashtu një paralelogram, që do të thotë se skajet BB1 dhe AA1 janë paralele.

Kjo do të thotë se dy drejtëza të kryqëzuara BC dhe BB1 ​​të një rrafshi, përkatësisht, janë paralele me dy drejtëza AD dhe AA1, përkatësisht, të një rrafshi tjetër, që do të thotë se rrafshet ABB1A1 dhe BCC1D1 janë paralelë.

Të gjitha faqet e një paralelepipedi janë paralelograme, që do të thotë BC = AD, BB1 = AA1.

Në këtë rast, brinjët e këndeve B1BC dhe A1AD janë përkatësisht të bashkëdrejtuara, që do të thotë se janë të barabarta.

Kështu, dy brinjë fqinje dhe këndi ndërmjet tyre i paralelogramit ABB1A1 janë përkatësisht të barabartë me dy brinjë fqinje dhe këndi ndërmjet tyre i paralelogramit BCC1D1, që do të thotë se këta paralelogramë janë të barabartë.

Parallelepipedi gjithashtu ka një veti rreth diagonaleve. Diagonalja e një paralelepipedi është një segment që lidh kulme jo ngjitur. Vija me pika në vizatim tregon diagonalet B1D, BD1, A1C.

Pra, vetia 2. Diagonalet e një paralelipipedi priten në një pikë dhe ndahen përgjysmë me pikën e kryqëzimit.

Për të vërtetuar pronën, merrni parasysh katërkëndëshin BB1D1D. Diagonalet e tij B1D, BD1 janë diagonalet e paralelopipedit ABCDA1B1C1D1.

Në pronën e parë, ne kemi zbuluar tashmë se buza BB1 është paralele dhe e barabartë me skajin AA1, por buza AA1 është paralele dhe e barabartë me skajin DD1. Prandaj, skajet BB1 dhe DD1 janë paralele dhe të barabarta, gjë që dëshmon se katërkëndëshi BB1D1D është paralelogram. Dhe në një paralelogram, sipas vetive, diagonalet B1D, BD1 priten në një pikë O dhe ndahen përgjysmë me këtë pikë.

Katërkëndëshi BC1D1A është gjithashtu një paralelogram dhe diagonalet e tij C1A priten në një pikë dhe përgjysmohen nga kjo pikë. Diagonalet e paralelogramit C1A, ВD1 janë diagonalet e paralelopipedit, që do të thotë se vetia e formuluar është vërtetuar.

Për të konsoliduar njohuritë teorike rreth paralelepipedit, merrni parasysh problemin e provës.

Pikat L,M,N,P janë shënuar në skajet e paralelipipedit ashtu që BL=CM=A1N=D1P. Vërtetoni se ALMDNB1C1P është një paralelipiped.

Fytyra BB1A1A është një paralelogram, që do të thotë se skaji BB1 është i barabartë dhe paralel me skajin AA1, por sipas kushtit, segmentet BL dhe A1N, që do të thotë se segmentet LB1 dhe NA janë të barabarta dhe paralele.

3) Prandaj, katërkëndëshi LB1NA është paralelogram.

4) Meqenëse CC1D1D është një paralelogram, do të thotë se skaji CC1 është i barabartë dhe paralel me skajin D1D, dhe CM është i barabartë me D1P sipas kushtit, që do të thotë se segmentet MC1 dhe DP janë të barabartë dhe paralel

Prandaj, katërkëndëshi MC1PD është gjithashtu një paralelogram.

5) Këndet LB1N dhe MC1P janë të barabartë si kënde me brinjë përkatësisht paralele dhe identike të drejtuara.

6) Zbuluam se paralelogramet dhe MC1PD i kanë brinjët përkatëse të barabarta dhe këndet ndërmjet tyre janë të barabarta, që do të thotë se paralelogramet janë të barabartë.

7) Segmentet janë të barabartë sipas kushtit, që do të thotë se BLMC është një paralelogram dhe ana BC është paralele me anën LM është paralele me anën B1C1.

8) Në mënyrë të ngjashme, nga paralelogrami NA1D1P rrjedh se ana A1D1 është paralele me anën NP dhe paralele me anën AD.

9) Faqet e kundërta ABB1A1 dhe DCC1D1 të paralelepipedit janë paralele në veti, dhe segmentet e drejtëzave paralele ndërmjet rrafsheve paralele janë të barabarta, që do të thotë se segmentet B1C1, LM, AD, NP janë të barabarta.

U konstatua se në katërkëndëshat ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD, dy brinjë janë paralele dhe të barabarta, që do të thotë se janë paralelogramë. Atëherë sipërfaqja jonë ALMDNB1C1P përbëhet nga gjashtë paralelogramë, dy prej të cilëve janë të barabartë, dhe sipas definicionit është një paralelopiped.

Ose (në mënyrë ekuivalente) një shumëfaqësh, i cili ka gjashtë fytyra dhe secila prej tyre - paralelogrami.

Llojet e paralelepipedit

Ekzistojnë disa lloje të paralelepipedëve:

• Një kuboid është një paralelipiped, faqet e të cilit janë të gjitha drejtkëndësha.
• Një paralelipiped i drejtë është një paralelipiped me 4 faqe anësore që janë drejtkëndësha.
• Një paralelipiped i prirur është një paralelipiped, faqet anësore të të cilit nuk janë pingul me bazat.

Elementet thelbësore

Dy faqet e një paralelipipedi që nuk kanë një skaj të përbashkët quhen përballë, dhe ato që kanë një skaj të përbashkët quhen fqinjë. Dy kulme të një paralelepipedi që nuk i përkasin të njëjtës faqe quhen të kundërta. Segmenti që lidh kulmet e kundërta quhet diagonale e paralelopipedit. Gjatësitë e tre skajeve të një paralelepipedi drejtkëndor që kanë një kulm të përbashkët quhen dimensione të tij.

Vetitë

• Parallelepipedi është simetrik rreth mesit të diagonales së tij.
• Çdo segment me skaje që i përkasin sipërfaqes së paralelopipedit dhe që kalon nga mesi i diagonales së tij ndahet në gjysmë prej tij; në veçanti, të gjitha diagonalet e një paralelipipedi priten në një pikë dhe përgjysmohen prej saj.
• Faqet e kundërta të një paralelipipedi janë paralele dhe të barabarta.
• Katrori i gjatësisë diagonale të një paralelipipedi drejtkëndor është i barabartë me shumën e katrorëve të tre dimensioneve të tij.

Formulat bazë

Paralelepiped djathtas

Sipërfaqja anësore S b =P o *h, ku P o është perimetri i bazës, h është lartësia

Sipërfaqja totale S p =S b +2S o, ku S o është zona bazë

Vëllimi V=S o *h

kuboid

Sipërfaqja anësore S b =2c(a+b), ku a, b janë anët e bazës, c është buza anësore e paralelopipedit drejtkëndor

Sipërfaqja totale S p =2(ab+bc+ac)

Vëllimi V=abc, ku a, b, c janë përmasat e një paralelipipedi drejtkëndor.

Kub

Sipërfaqja: $S=6a^2$
Vëllimi: $V=a^3$, Ku $a$- buza e një kubi.

Çdo paralelipiped

Vëllimi dhe raportet në një paralelipiped të prirur shpesh përcaktohen duke përdorur algjebër vektoriale. Vëllimi i një paralelipipedi është i barabartë me vlerën absolute të produktit të përzier të tre vektorëve të përcaktuar nga tre anët e paralelopipedit që dalin nga një kulm. Marrëdhënia ndërmjet gjatësive të brinjëve të paralelopipedit dhe këndeve ndërmjet tyre jep pohimin se përcaktorja Gram e tre vektorëve të treguar është e barabartë me katrorin e produktit të tyre të përzier: 215.

Në analizën matematikore

Në analizën matematikore nën një kuboid n-dimensionale $B$ kuptojnë shumë pika $x\; =\; (x\_1,\backslash ldpika,x\_n)$ lloj $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

Shkruani një koment për artikullin "Parallelepiped"

Shënime

Lidhjet

e saktë e saktë jo konveks Konveks Formulat, teorema, teoritë Të tjera

Një fragment që karakterizon Parallelepipedin

- On dit que les rivaux se sont reconcilies grace a l "angine... [Thonë se rivalët u pajtuan falë kësaj sëmundjeje.]
Fjala anginë përsëritej me shumë kënaqësi.
– Le vieux comte est touchant a ce qu"on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [Konti i vjetër është shumë prekës thonë ata. Qau si fëmijë kur doktori. tha atë rast të rrezikshëm.]
- Oh, ce serait une perte e tmerrshme. C"est une femme ravissante. [Oh, kjo do të ishte një humbje e madhe. Një grua kaq e bukur.]
"Vous parlez de la pauvre comtesse," tha Anna Pavlovna, duke u afruar. "J"ai envoye savoir de ses nouvelles. Në m"a dit qu"elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c"est la plus charmante femme du monde," tha Anna Pavlovna duke buzëqeshur nga entuziazmi i saj. – Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m"empeche pas de l"estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [E ke fjalën për konteshën e gjorë... dërgova për të marrë vesh për shëndetin e saj. Më thanë se po ndihej pak më mirë. Oh, pa dyshim, kjo është gruaja më e bukur në botë. Ne i përkasim kampeve të ndryshme, por kjo nuk më pengon ta respektoj për meritat e saj. Ajo është kaq e pakënaqur.] – shtoi Anna Pavlovna.
Duke besuar se me këto fjalë Anna Pavlovna po hiqte pak velin e fshehtësisë mbi sëmundjen e konteshës, një i ri i pakujdesshëm e lejoi veten të shprehte habinë që mjekët e famshëm nuk ishin thirrur, por që kontesha po trajtohej nga një sharlatan që mund të jepte të rrezikshme mjetet juridike.
"Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes," Anna Pavlovna sulmoi papritmas të riun e papërvojë në mënyrë helmuese. – Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C"est le medecin intime de la Reine d"Espagne. [Lajmi juaj mund të jetë më i saktë se i imi... por unë e di nga burime të mira se ky mjek është një person shumë i ditur dhe i zoti. Ky është mjeku i jetës së Mbretëreshës së Spanjës.] - Dhe duke shkatërruar kështu të riun, Anna Pavlovna iu drejtua Bilibin, i cili, në një rreth tjetër, mori lëkurën dhe, me sa duket, gati ta lironte për të thënë un mot, foli. për austriakët.
"Je trouve que c"est charmant! [Më duket simpatik!]", tha ai për letrën diplomatike me të cilën pankartat austriake të marra nga Wittgenstein u dërguan në Vjenë, le heros de Petropol [heroi i Petropolit] (siç ai u thirr në Petersburg).
- Si, si është kjo? - Anna Pavlovna iu drejtua atij, duke zgjuar heshtje për të dëgjuar motrën, të cilën ajo e dinte tashmë.
Dhe Bilibin përsëriti fjalët e mëposhtme origjinale të dërgesës diplomatike që ai kompozoi:
"L"Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens," tha Bilibin, "drapeaux amis et egares qu"il a trouve hors de la route, [Perandori u dërgon parulla austriake, parulla miqësore dhe të humbura që i gjeti jashtë rrugës së vërtetë.], “përfundoi Bilibin, duke liruar lëkurën.
"Sharmant, magjistar, [i bukur, simpatik," tha Princi Vasily.
"C"est la route de Varsovie peut être, [kjo është rruga e Varshavës, ndoshta.] - Princi Hippolyte tha me zë të lartë dhe të papritur. Të gjithë e shikuan atë, duke mos kuptuar se çfarë donte të thoshte me këtë. Princi Hippolyte gjithashtu shikoi prapa me habi gazmore rreth tij.Ai si të tjerët nuk e kuptonte se çfarë kuptimi kishin fjalët që thoshte.Gjatë karrierës së tij diplomatike më shumë se një herë vuri re se fjalët e thëna në këtë mënyrë papritmas dolën shumë të mprehta dhe tha këto fjalët për çdo rast, të parat që i erdhën në mendje.“Ndoshta do të shkojë shumë mirë,” mendoi ai, “dhe nëse nuk funksionon, do të mund ta rregullojnë atje.” Në të vërtetë, ndërsa mbretëroi një heshtje e sikletshme, ajo fytyrë e pamjaftueshme patriotike hyri në Anna Pavlovna, dhe ajo, duke buzëqeshur dhe duke tundur gishtin nga Ippolit, ftoi Princin Vasily në tryezë dhe, duke i paraqitur atij dy qirinj dhe një dorëshkrim, i kërkoi të fillonte. Gjithçka ra në heshtje. .

Privatësia juaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi lexoni politikën tonë të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për ofertat unike, promovimet dhe ngjarjet e tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për t'ju dërguar njoftime dhe mesazhe të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse hyni në një tërheqje çmimesh, konkurs ose nxitje të ngjashme, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi ndaj palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Në rast se është e nevojshme - në përputhje me ligjin, urdhrin gjyqësor, në procedurat ligjore dhe / ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga organet shtetërore në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera të interesit publik.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund të transferojmë informacionin personal që mbledhim te pasardhësi i palës së tretë përkatëse.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe nga aksesi, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Ruajtja e privatësisë tuaj në nivel kompanie

Për të siguruar që të dhënat tuaja personale të jenë të sigurta, ne u komunikojmë punonjësve tanë praktikat e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Teorema. Në çdo paralelipiped, faqet e kundërta janë të barabarta dhe paralele.

Kështu, faqet (Fig.) BB 1 C 1 C dhe AA 1 D 1 D janë paralele, sepse dy drejtëza kryqëzuese BB 1 dhe B 1 C 1 të njërës faqe janë paralele me dy drejtëza kryqëzuese AA 1 dhe A 1 D 1 të tjetri. Këto faqe janë të barabarta, pasi B 1 C 1 =A 1 D 1, B 1 B=A 1 A (si brinjë të kundërta të paralelogrameve) dhe ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1.

Teorema. Në çdo paralelipiped, të katër diagonalet kryqëzohen në një pikë dhe dyshohen në të.

Le të marrim (Fig.) disa dy diagonale në paralelipiped, për shembull, AC 1 dhe DB 1, dhe të vizatojmë vija të drejta AB 1 dhe DC 1.

Meqenëse skajet AD dhe B 1 C 1 janë përkatësisht të barabarta dhe paralele me skajin BC, atëherë ato janë të barabarta dhe paralele me njëra-tjetrën.

Si rezultat, figura ADC 1 B 1 është një paralelogram në të cilin C 1 A dhe DB 1 janë diagonale, dhe në një paralelogram diagonalet kryqëzohen në gjysmë.

Kjo vërtetim mund të përsëritet për çdo dy diagonale.

Prandaj, diagonalja AC 1 pret BD 1 në gjysmë, diagonalja BD 1 kryqëzon A 1 C në gjysmë.

Kështu, të gjitha diagonalet kryqëzohen në gjysmë dhe, për rrjedhojë, në një pikë.

Teorema. Në një paralelipiped drejtkëndor, katrori i çdo diagonale është i barabartë me shumën e katrorëve të tre dimensioneve të tij.

Le të jetë (Fig.) AC 1 diagonale e një paralelipipedi drejtkëndor.

Duke vizatuar AC, marrim dy trekëndësha: AC 1 C dhe ACB. Të dyja janë drejtkëndëshe:

e para sepse paralelepipedi është i drejtë, dhe për këtë arsye buza CC 1 është pingul me bazën,

e dyta sepse paralelepipedi është drejtkëndor, që do të thotë se ka një drejtkëndësh në bazën e tij.

Nga këta trekëndësha gjejmë:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 dhe AC 2 = AB 2 + BC 2

Prandaj, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + CC 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Pasoja. Në një paralelipiped drejtkëndor të gjitha diagonalet janë të barabarta.

Një paralelipiped është një prizëm, bazat e të cilit janë paralelograme. Në këtë rast, të gjitha skajet do të jenë paralelogramet.
Çdo paralelipiped mund të konsiderohet si një prizëm në tre mënyra të ndryshme, pasi çdo dy faqe të kundërta mund të merren si baza (në Fig. 5, faqet ABCD dhe A"B"C"D", ose ABA"B" dhe CDC"D ", ose BCB "C" dhe ADA"D").
Trupi në fjalë ka dymbëdhjetë skaje, katër të barabarta dhe paralele me njëra-tjetrën.
Teorema 3 . Diagonalet e një paralelipipedi kryqëzohen në një pikë, duke përputhur me mesin e secilës prej tyre.
ABCDA"B"C"D" paralelipiped" (Fig. 5) ka katër diagonale AC", BD", CA", DB". Duhet të vërtetojmë se mesi i çdo dy prej tyre, për shembull AC dhe BD", përkojnë. Kjo rrjedh nga fakti se figura ABC"D", që ka brinjë të barabarta dhe paralele AB dhe C"D", është paralelogram.
Përkufizimi 7 . Një paralelipiped i drejtë është një paralelipiped që është gjithashtu një prizëm i drejtë, domethënë një paralelipiped, skajet anësore të të cilit janë pingul me rrafshin e bazës.
Përkufizimi 8 . Një paralelipiped drejtkëndor është një paralelipiped i drejtë, baza e të cilit është një drejtkëndësh. Në këtë rast, të gjitha fytyrat e tij do të jenë drejtkëndëshe.
Një paralelipiped drejtkëndor është një prizëm i drejtë, pavarësisht se cilën nga faqet e tij marrim si bazë, pasi secila nga skajet e tij është pingul me skajet që dalin nga i njëjti kulm dhe, për rrjedhojë, do të jetë pingul me rrafshet e faqeve të përcaktuara. nga këto skaje. Në të kundërt, një paralelipiped i drejtë, por jo drejtkëndor, mund të shihet si një prizëm i drejtë vetëm në një mënyrë.
Përkufizimi 9 . Gjatësitë e tre skajeve të një paralelepipedi drejtkëndor, nga të cilat asnjë nuk është paralel me njëri-tjetrin (për shembull, tre skajet që dalin nga e njëjta kulm), quhen dimensione të tij. Dy paralelopipedë drejtkëndëshe që kanë dimensione përkatësisht të barabarta janë padyshim të barabartë me njëri-tjetrin.
Përkufizimi 10 .Një kub është një paralelipiped drejtkëndor, të tre dimensionet e të cilit janë të barabarta me njëra-tjetrën, kështu që të gjitha faqet e tij janë katrore. Dy kube, skajet e të cilëve janë të barabartë janë të barabartë.
Përkufizimi 11 . Një paralelipiped i pjerrët në të cilin të gjitha skajet janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe këndet e të gjitha faqeve janë të barabarta ose plotësuese quhet rombohedron.
Të gjitha fytyrat e një rombohedroni janë rombe të barabartë. (Disa kristale me rëndësi të madhe kanë një formë romboedri, për shembull, kristalet spar të Islandës.) Në një rombohedron mund të gjeni një kulm (dhe madje edhe dy kulme të kundërta) të tilla që të gjithë këndet ngjitur me të të jenë të barabartë me njëri-tjetrin.
Teorema 4 . Diagonalet e një paralelepipedi drejtkëndor janë të barabarta me njëra-tjetrën. Katrori i diagonales është i barabartë me shumën e katrorëve të tre dimensioneve.
Në paralelepipedin drejtkëndor ABCDA"B"C"D" (Fig. 6), diagonalet AC" dhe BD" janë të barabarta, pasi katërkëndëshi ABC"D" është një drejtkëndësh (drejtëza AB është pingul me rrafshin ECB" C", në të cilën shtrihet BC").
Përveç kësaj, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 bazuar në teoremën rreth katrorit të hipotenuzës. Por bazuar në të njëjtën teoremë AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; prandaj ne kanë:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.