Nxënësit njihen me konceptin e këndit në shkollën fillore. Por si një figurë gjeometrike që ka veti të caktuara, fillojnë ta studiojnë nga klasa e 7-të në gjeometri. Duket, një figurë mjaft e thjeshtë, çfarë mund të thuhet për të. Por, duke marrë njohuri të reja, nxënësit e shkollës e kuptojnë gjithnjë e më shumë se mund të mësojnë fakte mjaft interesante për të.

Në kontakt me

Kur studiohet

Kursi i gjeometrisë shkollore ndahet në dy seksione: planimetri dhe stereometri. Në secilën prej tyre ka një vëmendje të konsiderueshme u jepet qosheve:

• Në planimetri jepet koncepti bazë i tyre dhe bëhet një prezantim i llojeve të tyre sipas madhësisë. Vetitë e secilit lloj trekëndëshi janë studiuar më në detaje. Për studentët po dalin përkufizime të reja - këto janë figura gjeometrike të formuara nga kryqëzimi i dy drejtëzave me njëra-tjetrën dhe kryqëzimi i disa drejtëzave me tërthoret.
• Në stereometri studiohen këndet hapësinore - dihedral dhe trihedral.

Kujdes! Ky artikull diskuton të gjitha llojet dhe vetitë e këndeve në planimetri.

Përkufizimi dhe matja

Kur filloni të studioni, së pari përcaktoni çfarë është një kënd në planimetri.

Nëse marrim një pikë të caktuar në aeroplan dhe nxjerrim dy rreze arbitrare prej saj, marrim një figurë gjeometrike - një kënd, i përbërë nga elementët e mëposhtëm:

• kulm - pika nga e cila janë tërhequr rrezet, e shënuar me një shkronjë të madhe të alfabetit latin;
• anët janë vija gjysmë të drejta të nxjerra nga kulmi.

Të gjithë elementët që formojnë figurën që po shqyrtojmë ndajnë rrafshin në dy pjesë:

• e brendshme - në planimetri nuk i kalon 180 gradë;
• e jashtme.

Parimi i matjes së këndeve në planimetri shpjegohet mbi një bazë intuitive. Për të filluar, studentët njihen me konceptin e një këndi të rrotulluar.

E rëndësishme! Një kënd quhet i zhvilluar nëse gjysmëdrejtëzat që dalin nga kulmi i tij formojnë një vijë të drejtë. Këndi i pazhvilluar është të gjitha rastet e tjera.

Nëse ndahet në 180 pjesë të barabarta, atëherë është zakon që masa e njërës pjesë të konsiderohet e barabartë me 10. Në këtë rast thonë se matja bëhet në gradë, dhe masa e shkallës së një figure të tillë është 180. gradë.

Llojet kryesore

Llojet e këndeve ndahen sipas kritereve të tilla si shkallët, natyra e formimit të tyre dhe kategoritë e paraqitura më poshtë.

Sipas madhësisë

Duke marrë parasysh madhësinë, këndet ndahen në:

• i zgjeruar;
• drejt;
• topitur;
• pikante.

Cili kënd quhet i shpalosur u prezantua më sipër. Le të përcaktojmë konceptin e drejtpërdrejtë.

Mund të merret duke e ndarë të zgjeruar në dy pjesë të barabarta. Në këtë rast, është e lehtë t'i përgjigjemi pyetjes: sa gradë është një kënd i drejtë?

Ndani 180 gradë të shpalosur me 2 dhe marrim atë një kënd i drejtë është 90 gradë. Kjo është një figurë e mrekullueshme, pasi shumë fakte në gjeometri janë të lidhura me të.

Ai gjithashtu ka karakteristikat e veta në përcaktim. Për të treguar një kënd të drejtë në figurë, ai shënohet jo me një hark, por me një katror.

Këndet që përftohen duke ndarë një vijë të drejtë me një rreze arbitrare quhen akute. Logjikisht, rrjedh se një kënd akut është më i vogël se një kënd i drejtë, por masa e tij është e ndryshme nga 0 gradë. Kjo është, ajo ka një vlerë nga 0 në 90 gradë.

Një kënd i mpirë është më i madh se një kënd i drejtë, por më i vogël se një kënd i drejtë. Masa e shkallës së saj varion nga 90 në 180 gradë.

Ky element mund të ndahet në lloje të ndryshme figurash në shqyrtim, duke përjashtuar atë të zgjeruar.

Pavarësisht se si ndahet një kënd jo i rrotulluar, përdoret gjithmonë aksioma bazë e planimetrisë - "vetia themelore e matjes".

Në pjesëtimi i një këndi me një rreze ose disa, masa e shkallës së një figure të caktuar është e barabartë me shumën e masave të këndeve në të cilat ajo ndahet.

Në klasën e 7-të përfundojnë llojet e këndeve sipas madhësisë së tyre. Por për të rritur erudicionin, mund të shtojmë se ka varietete të tjera që kanë një masë shkallë më të madhe se 180 gradë.Ato quhen konveks.

Figurat në kryqëzimin e vijave

Llojet e radhës të këndeve me të cilat njihen nxënësit janë elementë të formuar nga kryqëzimi i dy drejtëzave. Figurat që vendosen përballë njëra-tjetrës quhen vertikale. Karakteristika e tyre dalluese është se janë të barabartë.

Elementet që janë ngjitur me të njëjtën linjë quhen fqinjë. Teorema që pasqyron vetinë e tyre thotë këtë këndet ngjitur shtohen deri në 180 gradë.

Elementet në një trekëndësh

Nëse e konsiderojmë figurën si element në një trekëndësh, atëherë këndet ndahen në të brendshme dhe të jashtme. Një trekëndësh kufizohet nga tre segmente dhe përbëhet nga tre kulme. Këndet e vendosura brenda trekëndëshit në çdo kulm janë quhet e brendshme.

Nëse marrim ndonjë element të brendshëm në çdo kulm dhe zgjasim çdo anë, atëherë këndi që formohet dhe është ngjitur me atë të brendshëm quhet i jashtëm. Ky çift elementësh ka këtë veti: shuma e tyre është e barabartë me 180 gradë.

Kryqëzimi i dy vijave të drejta

Kryqëzimi i vijave

Kur dy vija të drejta kryqëzohen me një tërthore, formohen edhe kënde., të cilat zakonisht shpërndahen në çifte. Çdo palë elementësh ka emrin e vet. Duket kështu:

• shtrirja e brendshme kryq: ∟4 dhe ∟6, ∟3 dhe ∟5;
• e brendshme e njëanshme: ∟4 dhe ∟5, ∟3 dhe ∟6;
• përkatëse: ∟1 dhe ∟5, ∟2 dhe ∟6, ∟4 dhe ∟8, ∟3 dhe ∟7.

Në rastin kur një sekant kryqëzon dy drejtëza, të gjitha këto çifte këndesh kanë veti të caktuara:

1. Shtrirja e brendshme e tërthortë dhe figurat përkatëse janë të barabarta me njëra-tjetrën.
2. Elementët e brendshëm me një drejtim shtohen deri në 180 gradë.

Ne studiojmë këndet në gjeometri, vetitë e tyre

Llojet e këndeve në matematikë

konkluzioni

Ky artikull paraqet të gjitha llojet kryesore të këndeve që gjenden në planimetri dhe studiohen në klasën e shtatë. Në të gjitha kurset pasuese, vetitë që kanë të bëjnë me të gjithë elementët e konsideruar janë baza për studimin e mëtejshëm të gjeometrisë. Për shembull, kur studioni, do t'ju duhet të mbani mend të gjitha vetitë e këndeve të formuara kur dy linja paralele kryqëzohen me një tërthore. Kur studioni tiparet e trekëndëshave, është e nevojshme të mbani mend se cilat janë këndet ngjitur. Duke kaluar në stereometri, të gjitha figurat vëllimore do të studiohen dhe ndërtohen në bazë të figurave planimetrike.

Ky artikull do të diskutojë një nga format themelore gjeometrike - një kënd. Pas një prezantimi të përgjithshëm të këtij koncepti, ne do të përqendrohemi në një lloj specifik të një figure të tillë. Këndi i drejtë është një koncept i rëndësishëm në gjeometri, i cili do të jetë tema kryesore e këtij artikulli.

Hyrje në këndin gjeometrik

Në gjeometri ka një sërë objektesh që përbëjnë bazën e gjithë shkencës. Këndi u referohet atyre dhe përcaktohet duke përdorur konceptin e një rrezeje, kështu që le të fillojmë me të.

Gjithashtu, para se të filloni të përcaktoni vetë këndin, duhet të mbani mend disa objekte po aq të rëndësishme në gjeometri - kjo është një pikë, një vijë e drejtë në një aeroplan dhe vetë aeroplani. Një vijë e drejtë është figura më e thjeshtë gjeometrike që nuk ka as fillim as fund. Një aeroplan është një sipërfaqe që ka dy dimensione. Epo, një rreze (ose gjysmë vijë) në gjeometri është një pjesë e një rreshti që ka një fillim, por nuk ka fund.

Duke përdorur këto koncepte, ne mund të bëjmë një deklaratë se një kënd është një figurë gjeometrike që shtrihet tërësisht në një plan të caktuar dhe përbëhet nga dy rreze divergjente me një origjinë të përbashkët. Rreze të tilla quhen anët e një këndi, dhe fillimi i përbashkët i brinjëve është kulmi i tij.

Llojet e këndeve dhe gjeometria

Ne e dimë se këndet mund të jenë krejtësisht të ndryshme. Prandaj, pak më poshtë do të jetë një klasifikim i vogël që do t'ju ndihmojë të kuptoni më mirë llojet e këndeve dhe veçoritë e tyre kryesore. Pra, ekzistojnë disa lloje këndesh në gjeometri:

1. Këndi i drejtë. Karakterizohet nga një vlerë prej 90 gradë, që do të thotë se anët e saj janë gjithmonë pingul me njëra-tjetrën.
2. Këndi i mprehtë. Këto kënde përfshijnë të gjithë përfaqësuesit e tyre që janë më pak se 90 gradë në madhësi.
3. Këndi i mpirë. Këtu mund të ketë të gjitha këndet që variojnë nga 90 në 180 gradë.
4. Këndi i shpalosur. Ka një madhësi rreptësisht 180 gradë dhe nga jashtë anët e saj formojnë një vijë të drejtë.

Koncepti i një këndi të drejtë

Tani le të shohim më në detaje këndin e rrotullimit. Ky është rasti kur të dyja palët shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë, e cila mund të shihet qartë në figurë pak më poshtë. Kjo do të thotë se mund të themi me besim se në një kënd të kundërt, njëra anë e saj është në thelb vazhdimësi e tjetrës.

Vlen të kujtohet fakti se një kënd i tillë mund të ndahet gjithmonë duke përdorur një rreze që del nga maja e saj. Si rezultat, marrim dy kënde, të cilat në gjeometri quhen ngjitur.

Gjithashtu, këndi i shpalosur ka disa veçori. Për të folur për të parën prej tyre, duhet të mbani mend konceptin e "përgjysmimit të këndit". Kujtoni se kjo është një rreze që ndan çdo kënd saktësisht në gjysmë. Për sa i përket këndit të shpalosur, përgjysmuesja e tij e ndan atë në atë mënyrë që të formohen dy kënde të drejta 90 gradë. Kjo është shumë e lehtë për t'u llogaritur matematikisht: 180˚ (shkalla e këndit të rrotullimit): 2 = 90˚.

Nëse ndajmë një kënd të rrotulluar me një rreze krejtësisht arbitrare, atëherë si rezultat marrim gjithmonë dy kënde, njëri prej të cilëve do të jetë i mprehtë dhe tjetri i mpirë.

Vetitë e qosheve të rrotulluara

Do të jetë e përshtatshme të merret në konsideratë ky kënd, duke bashkuar të gjitha vetitë e tij kryesore, që është ajo që bëmë në këtë listë:

1. Anët e këndit të rrotulluar janë antiparalele dhe formojnë një vijë të drejtë.
2. Këndi i rrotullimit është gjithmonë 180˚.
3. Dy kënde ngjitur së bashku formojnë gjithmonë një kënd të drejtë.
4. Një kënd i plotë, i cili është 360˚, përbëhet nga dy kënd të shpalosur dhe është i barabartë me shumën e tyre.
5. Gjysma e një këndi të drejtë është një kënd i drejtë.

Pra, duke ditur të gjitha këto karakteristika të këtij lloji këndesh, ne mund t'i përdorim ato për të zgjidhur një sërë problemesh gjeometrike.

Probleme me kënde të rrotulluara

Për të parë nëse e keni kuptuar konceptin e një këndi të drejtë, provoni t'u përgjigjeni disa pyetjeve të mëposhtme.

1. Sa është madhësia e një këndi të drejtë nëse anët e tij formojnë një vijë vertikale?
2. A do të jenë dy kënde fqinj nëse i pari është 72˚ dhe tjetri është 118˚?
3. Nëse një kënd i plotë përbëhet nga dy kënde të kundërta, atëherë sa kënde të drejta ka ai?
4. Një kënd i drejtë ndahet nga një rreze në dy kënde në mënyrë që masat e tyre të shkallës të jenë në raportin 1:4. Llogaritni këndet që rezultojnë.

Zgjidhje dhe përgjigje:

1. Pavarësisht se si ndodhet këndi i rrotullimit, ai është gjithmonë, sipas përkufizimit, i barabartë me 180˚.
2. Këndet ngjitur kanë një anë të përbashkët. Prandaj, për të llogaritur madhësinë e këndit që ata bëjnë së bashku, ju vetëm duhet të shtoni vlerën e masave të shkallës së tyre. Kjo do të thotë 72 +118 = 190. Por sipas përkufizimit, një kënd i kundërt është 180˚, që do të thotë se dy kënde të dhëna nuk mund të jenë fqinj.
3. Një kënd i drejtë përmban dy kënde të drejta. Dhe meqenëse e plota ka dy të shpalosura, do të thotë se do të ketë 4 vija të drejta.
4. Nëse këndet e dëshiruara i quajmë a dhe b, atëherë le të jetë x koeficienti i proporcionalitetit për to, që do të thotë se a=x, dhe në përputhje me rrethanat b=4x. Këndi i rrotullimit në gradë është 180˚. Dhe sipas vetive të tij që masa e shkallës së një këndi është gjithmonë e barabartë me shumën e masave të shkallës së atyre këndeve në të cilat ai ndahet nga çdo rreze arbitrare që kalon midis anëve të tij, mund të konkludojmë se x + 4x = 180˚ , që do të thotë 5x = 180˚. Nga këtu gjejmë: x = a = 36˚ dhe b = 4x = 144˚. Përgjigje: 36˚ dhe 144˚.

Nëse keni qenë në gjendje t'u përgjigjeni të gjitha këtyre pyetjeve pa kërkesa dhe pa i shikuar përgjigjet, atëherë jeni gati të kaloni në mësimin tjetër të gjeometrisë.

Le të fillojmë duke përcaktuar se çfarë është një kënd. Së pari, është Së dyti, formohet nga dy rreze, të cilat quhen anët e këndit. Së treti, këto të fundit dalin nga një pikë, e cila quhet kulm i këndit. Bazuar në këto veçori, ne mund të krijojmë një përkufizim: një kënd është një figurë gjeometrike që përbëhet nga dy rreze (anët) që dalin nga një pikë (kulmi).

Ato klasifikohen sipas vlerës së shkallës, sipas vendndodhjes në lidhje me njëri-tjetrin dhe në lidhje me rrethin. Le të fillojmë me llojet e këndeve sipas madhësisë së tyre.

Ka disa lloje të tyre. Le të hedhim një vështrim më të afërt në secilin lloj.

Ekzistojnë vetëm katër lloje kryesore të këndeve - kënde të drejta, të mpirë, akute dhe të drejta.

Drejt

Duket kështu:

Masa e shkallës së saj është gjithmonë 90 o, me fjalë të tjera, një kënd i drejtë është një kënd prej 90 gradë. Vetëm katërkëndësha të tillë si katrori dhe drejtkëndëshi i kanë ato.

E paqartë

Duket kështu:

Masa e shkallës është gjithmonë më shumë se 90 o, por më pak se 180 o. Mund të gjendet në katërkëndësha të tillë si një romb, një paralelogram arbitrar dhe në shumëkëndësha.

pikante

Duket kështu:

Masa e shkallës së një këndi akut është gjithmonë më pak se 90°. Gjendet në të gjithë katërkëndëshat përveç katrorit dhe çdo paralelogrami.

Zgjeruar

Këndi i shpalosur duket si ky:

Nuk ndodh në poligone, por nuk është më pak i rëndësishëm se të gjithë të tjerët. Një kënd i drejtë është një figurë gjeometrike, masa e shkallës së së cilës është gjithmonë 180º. Mund të ndërtoni mbi të duke tërhequr një ose më shumë rreze nga maja e saj në çdo drejtim.

Ekzistojnë disa lloje të tjera të vogla këndesh. Ata nuk studiohen në shkolla, por është e nevojshme të paktën të dihet për ekzistencën e tyre. Ekzistojnë vetëm pesë lloje dytësore të këndeve:

1. Zero

Duket kështu:

Vetë emri i këndit tashmë tregon madhësinë e tij. Zona e saj e brendshme është 0°, dhe anët shtrihen njëra mbi tjetrën siç tregohet në figurë.

2. I zhdrejtë

Një kënd i zhdrejtë mund të jetë një kënd i drejtë, një kënd i mpirë, një kënd i mprehtë ose një kënd i drejtë. Kushti kryesor i tij është që të mos jetë i barabartë me 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Konveks

Këndet konveks janë zero, të drejtë, të mpirë, akute dhe të drejta. Siç e keni kuptuar tashmë, masa e shkallës së një këndi konveks është nga 0° në 180°.

4. Jo konveks

Këndet me masa të shkallës nga 181° deri në 359° përfshirëse janë jokonveks.

5. Plot

Një kënd i plotë është 360 gradë.

Këto janë të gjitha llojet e këndeve sipas madhësisë së tyre. Tani le të shohim llojet e tyre sipas vendndodhjes së tyre në aeroplan në lidhje me njëri-tjetrin.

1. Shtesë

Këto janë dy kënde akute që formojnë një vijë të drejtë, d.m.th. shuma e tyre është 90 o.

2. Ngjitur

Këndet fqinje formohen nëse një rreze kalon nëpër këndin e shpalosur, ose më mirë përmes kulmit të saj, në çdo drejtim. Shuma e tyre është 180 o.

3. Vertikale

Këndet vertikale formohen kur kryqëzohen dy drejtëza. Masat e tyre të shkallës janë të barabarta.

Tani le të kalojmë te llojet e këndeve të vendosura në lidhje me rrethin. Janë vetëm dy prej tyre: qendrore dhe të gdhendura.

1. Qendrore

Një kënd qendror është një kënd me kulmin e tij në qendër të rrethit. Masa e shkallës së saj është e barabartë me masën e shkallës së harkut më të vogël të shtrirë nga anët.

2. I mbishkruar

Një kënd i brendashkruar është një kënd, kulmi i të cilit shtrihet në një rreth dhe anët e të cilit e kryqëzojnë atë. Masa e shkallës së tij është e barabartë me gjysmën e harkut mbi të cilin mbështetet.

Kaq për këndet. Tani e dini se përveç atyre më të famshmeve - akute, të mpirë, të drejtë dhe të vendosur - ka shumë lloje të tjera të tyre në gjeometri.

Një kënd është një figurë gjeometrike që përbëhet nga dy rreze të ndryshme që dalin nga një pikë. Në këtë rast, këto rreze quhen anët e këndit. Pika që është fillimi i rrezeve quhet kulm i këndit. Në foto mund të shihni këndin me kulmin në pikë RRETH, dhe palët k Dhe m.

Në faqet e këndit janë shënuar pikat A dhe C. Ky kënd mund të caktohet si kënd AOC. Në mes duhet të jetë emri i pikës në të cilën ndodhet kulmi i këndit. Ka edhe emërtime të tjera, këndi O ose këndi km. Në gjeometri, në vend të fjalës kënd, shpesh shkruhet një simbol i veçantë.

Këndi i zhvilluar dhe jo i zgjeruar

Nëse të dyja anët e një këndi shtrihen në të njëjtën drejtëz, atëherë një kënd i tillë quhet zgjeruar këndi. Kjo do të thotë, njëra anë e këndit është vazhdimësi e anës tjetër të këndit. Figura më poshtë tregon këndin e zgjeruar O.

Duhet të theksohet se çdo kënd e ndan rrafshin në dy pjesë. Nëse këndi nuk shpaloset, atëherë njëra nga pjesët quhet rajoni i brendshëm i këndit, dhe tjetri quhet rajoni i jashtëm i këtij këndi. Figura më poshtë tregon një kënd të pazhvilluar dhe shënon rajonet e jashtme dhe të brendshme të këtij këndi.

Në rastin e një këndi të zhvilluar, secila nga dy pjesët në të cilat ndan rrafshin mund të konsiderohet rajoni i jashtëm i këndit. Mund të flasim për pozicionin e një pike në lidhje me një kënd. Një pikë mund të shtrihet jashtë qoshes (në rajonin e jashtëm), mund të vendoset në njërën nga anët e saj ose mund të shtrihet brenda qoshes (në rajonin e brendshëm).

Në figurën më poshtë, pika A ndodhet jashtë këndit O, pika B ndodhet në njërën anë të këndit dhe pika C ndodhet brenda këndit.

Matja e këndeve

Për të matur këndet ekziston një pajisje e quajtur raportor. Njësia e këndit është shkallë. Duhet të theksohet se çdo kënd ka një masë shkallë të caktuar, e cila është më e madhe se zero.

Në varësi të masës së shkallës, këndet ndahen në disa grupe.