Educational:

Dezvoltarea abilității de a rezolva probleme combinatorii folosind metoda enumerarii exhaustive a opțiunilor;

Dezvoltarea capacității de a aplica teoria matematică în situații specifice;

Introducerea elevilor în elementele umaniste legate de matematică.

Dezvoltarea capacității de a alege independent o metodă de soluție și a capacității de a justifica alegerea;

Dezvoltarea capacității de a rezolva probleme folosind doar raționament logic;

Dezvoltarea capacității de a alege o metodă de codificare rațională;

Dezvoltarea abilităților comunicative și creative ale elevilor.

Promovarea simțului responsabilității pentru calitatea și rezultatele muncii prestate; Insuflați o atitudine conștientă față de muncă;

Creați responsabilitatea pentru rezultatul final.

tabla interactiva; fișe (dungi de culoare: alb, albastru, roșu); carduri de sarcini.

Organizarea timpului. Învățarea de materiale noi. Partea practică. Reflecţie Marcare Temă pentru acasă

Organizarea timpului.

Actualizarea subiectului și a motivației.

50 de ruble, 100 de ruble, 50 de ruble, 100 de ruble; 50 de ruble, 50 de ruble, 100 de ruble, 100 de ruble (diapozitivul nr. 2 și nr. 3).

Învățarea de materiale noi .

Combinatorică este o ramură a matematicii dedicată rezolvării problemelor de selectare și aranjare a elementelor date după reguli date

O întrebare frecventă în problemele combinatorii este „ În câte feluri ...?" sau

« Câte opțiuni …?»

Indicatorul soluției

Opțiuni BSK, BKS, SBK, SKB, KBS, KSB.

Răspuns: 6 opțiuni.

Se pare că nu numai steagul Rusiei are aceste trei culori. Există state ale căror steaguri au aceleași culori.

KBS - Luxemburg,

Olanda.

Franța SKB

Profesor: Să găsim o regulă pentru rezolvarea unor astfel de probleme prin raționament logic.

Să ne uităm la exemplul dungilor colorate. Să luăm o dungă albă - poate fi rearanjată de 3 ori, să luăm o dungă albastră - poate fi rearanjată doar de 2 ori, pentru că unul dintre locuri este deja ocupat de o dungă albă, luați o bandă roșie - poate fi plasată o singură dată.

TOTAL: 3 x 2 x 1=6

Regula de bază a lucrării :

Regula înmulțirii: dacă primul element dintr-o combinație poate fi ales într-un fel, după care al doilea element poate fi ales în b moduri, atunci numărul total de combinații va fi egal cu a x b . (diapozitivul nr. 8)

Exerciții pentru ochi. (diapozitivul nr. 9)

Exercițiul „Forme”.

Desenați un pătrat, cerc, triunghi, oval, romb cu ochii în sensul acelor de ceasornic și apoi în sens invers acelor de ceasornic.

Partea practică

Profesor: Acum să trecem la problemele matematice. (distribuim carduri cu sarcini)

Un muschetar destul de faimos are în garderoba 3 pălării elegante, 4 mantale minunate și 2 perechi de cizme excelente. Câte opțiuni de costume poate crea? (Selectăm un element din trei seturi, adică facem un „trei”, ceea ce înseamnă că conform regulii de înmulțire obținem 3 4 2 = 24 de opțiuni de costum.)

Sunt 11 oameni în echipa de fotbal. Este necesar să selectați un căpitan și adjunctul acestuia. În câte moduri se poate face acest lucru? (Sunt 11 persoane în total, ceea ce înseamnă că căpitanul poate fi ales în 11 moduri, au mai rămas 10 jucători dintre care poate fi ales adjunctul căpitanului. Deci, perechea căpitanului și adjunctul lui poate fi aleasă în 11 10 = 110 moduri.)

Câte numere diferite din două cifre pot fi făcute folosind numerele 1, 4, 7, dacă numerele se repetă? (Ar trebui să obțineți un număr din două cifre - doar două poziții. În prima poziție puteți pune oricare dintre numerele propuse - 3 opțiuni de alegere, în a doua poziție, ținând cont de posibilitatea de a repeta un număr, există și 3 opțiuni de alegere. Asta înseamnă că alcătuim o pereche de numere în 3 3 = 9 moduri, adică obții 9 numere.

Câte numere diferite din trei cifre pot fi făcute din cifrele 1, 2, 3, 4, 5, cu condiția să nu se repete nicio cifră? (Număr din trei cifre: prima poziție - 5 opțiuni pentru numere, a doua poziție, ținând cont de excluderea repetărilor numerelor - 4 opțiuni, a treia poziție - 3 opțiuni. Obținem 5 4 3 = 60 de numere.)

Câte numere diferite de două cifre se pot face din numerele 0, 1, 2, 3 dacă numerele: a) pot fi repetate; b) nu se poate repeta? (a) Un număr din două cifre, ca orice număr din mai multe cifre, nu poate începe cu 0, prin urmare, în prima poziție puteți pune doar 3 dintre cele 4 cifre disponibile, 3 opțiuni, în a doua poziție, ținând cont de repetare , puteți pune oricare dintre cifre - 4 opțiuni din care să alegeți. Prin urmare, rezultă 3 4 = 12 numere; b) Prima pozitie – 3 optiuni, a doua pozitie – 3 optiuni, deoarece repetarea este exclusă. Obținem 3 3 = 9 numere.)

Codul de siguranță este format din cinci numere diferite. Câte opțiuni diferite pentru a crea un cifru? (5 4 3 2 1 = 120 de opțiuni.) În câte moduri pot fi așezate 6 persoane la o masă cu 6 tacâmuri? (6 5 4 3 2 1 = 720 de moduri.)

6 dispozitive?(6 5 4 3 2 1 = 720 de moduri.)

(8 7 6 5 4 = 6720 opțiuni.)

(Numerele folosite sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - în total 10 cifre, excluzând prin convenție 0 și 9 la începutul numărului, ținând cont de posibilitatea de a repetare, obținem 8 10 10 10 · 10 · 10 · 10 = 8.000.000 de numere.)

Reflecţie

Profesor: Băieți, lecția noastră se apropie de sfârșit. Crezi că ne-am atins scopul astăzi, de ce? Ce a fost dificil în lecție, cum poți face față? Gândește-te și dă-ți o notă pentru munca și munca ta, pune-o singur, niciunul dintre băieți nu va vedea acest semn, încearcă să fii sincer cu tine. Ai participat pe deplin la lecție? Ce trebuie făcut pentru a obține rezultate mai bune?

În plus, elevii sunt rugați să răspundă la 3 întrebări rapide:

În lecția de astăzi am fost... (ușor, de obicei, dificil)

Eu... (am învățat și pot aplica, am învățat și mi-e greu să aplic, nu am învățat)

Stima mea de sine pentru lecție...

Nu trebuie să semnați răspunsurile la întrebările de mai sus, deoarece funcţia lor principală este de a ajuta profesorul să analizeze lecţia şi rezultatele acesteia

Rezumând . Marcare

Profesor: Mă bucur foarte mult că mulți dintre voi ați lucrat bine astăzi și ați învățat o mulțime de lucruri noi, dar chiar mi-aș dori ca voi toți să lucrați din greu acasă și să nu obțineți note proaste la lecția următoare.

7. Temă pentru acasă :

1) Creați o problemă despre clasa dvs

2) Mai multe țări au decis să folosească simboluri pentru steagul lor național sub forma a 3 dungi orizontale de lățimi diferite, culori diferite - alb, albastru, roșu. Câte țări pot folosi astfel de simboluri, cu condiția ca fiecare țară să aibă propriul ei steag?

3) a) Câte numere din două cifre se pot forma din numerele 1, 3, 5, 7, 9?

b) Câte numere din două cifre se pot face din numerele 1, 3, 5, 7, 9, cu condiția ca numerele să nu fie repetate

Profesor : Așadar, m-am bucurat să te cunosc, să fii interesat de matematică, fără îndoială se va reflecta într-un mod pozitiv în gândurile și acțiunile tale. Lecția s-a terminat. Mulțumiri tuturor. La revedere.

Literatură:

E.A. Bunimovici, V.A. Buliciov. Probabilitate și statistică la cursul de matematică școlară de învățământ general: cursurile 1-4, 5 – 8. – M.: Universitatea Pedagogică „Primul Septembrie”, 2006.

Vilenkin N.Ya. Matematică. Clasa a V-a: manual pentru învăţământul general. instituții / N.Ya. Vilenkin și alții - M.: Mnemosyna, 2009.

Smykalova E.V. Capitole suplimentare despre matematică pentru elevii clasei a V-a. SPb: SMIO. Press, 2006.

clasa a 5-a. „Matematică-5”, I.I. Zubareva, A.G. Mordkovici, 2004.

Sarcini (carduri)

Un muschetar destul de faimos are în garderoba 3 pălării elegante, 4 mantale minunate și 2 perechi de cizme excelente. Câte opțiuni de costume poate crea?

Sunt 11 oameni în echipa de fotbal. Este necesar să selectați un căpitan și adjunctul acestuia. În câte moduri se poate face acest lucru?

Câte numere diferite din două cifre pot fi făcute folosind numerele 1, 4, 7, dacă numerele sunt repetate

Câte numere diferite din trei cifre pot fi făcute din cifrele 1, 2, 3, 4, 5, cu condiția să nu se repete nicio cifră?

Câte numere diferite de două cifre se pot face din numerele 0, 1, 2, 3 dacă numerele: a) pot fi repetate; b) nu se poate repeta?

Codul de siguranță este format din cinci numere diferite. Câte opțiuni diferite pentru a crea un cifru?

În câte feluri pot fi așezate 6 persoane la o masă pe care 6 dispozitive?

În clasa a V-a se studiază 8 materii. Câte opțiuni de program diferite pot fi create pentru luni, dacă ar trebui să fie 5 lecții în această zi și toate lecțiile sunt diferite?

1. Câte numere de telefon posibile din șapte cifre pot fi create dacă excludeți numerele care încep cu 0 și 9?

Răspunsuri

Selectăm un element din trei seturi, adică alcătuim un „trei”, ceea ce înseamnă că conform regulii de înmulțire obținem 3 4 2 = 24 de opțiuni de costum.

În total, sunt 11 persoane, ceea ce înseamnă că căpitanul poate fi selectat în 11 moduri, rămânând 10 jucători dintre care poți alege un adjunct căpitan. Deci, o pereche, căpitanul și adjunctul acestuia, pot fi alese în 11 10 = 110 moduri.

Ar trebui să obțineți un număr din două cifre - doar două poziții. In prima pozitie poti pune oricare dintre numerele propuse - 3 variante, in a doua pozitie, tinand cont de posibilitatea repetarii numarului, exista si 3 variante. Aceasta înseamnă că alcătuim o pereche de numere în 3 3 = 9 moduri, adică. primești 9 numere.

Număr din trei cifre: prima poziție - 5 opțiuni pentru numere, a doua poziție, ținând cont de excluderea repetărilor numerelor - 4 opțiuni, a treia poziție - 3 opțiuni. Obținem 5 4 3 = 60 de numere.

(a) Un număr din două cifre, ca orice număr din mai multe cifre, nu poate începe cu 0, prin urmare, în prima poziție puteți pune doar 3 dintre cele 4 cifre disponibile, 3 opțiuni, în a doua poziție, ținând cont de repetare , puteți pune oricare dintre cifre - 4 opțiuni din care să alegeți. Prin urmare, rezultă 3 4 = 12 numere; b) Prima pozitie – 3 optiuni, a doua pozitie – 3 optiuni, deoarece repetarea este exclusă. Obținem 3 3 = 9 numere.

5 4 3 2 1 = 120 de opțiuni.

1. 6 5 4 3 2 1 = 720 de moduri

2. 8 7 6 5 4 = 6720 opțiuni

   Numerele folosite sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - în total 10 cifre, excluzând prin convenție 0 și 9 la începutul numărului, ținând cont de posibilitatea de repetare , obținem 8 10 10 10 10 10 10 = 8.000.000 de numere.

Clasă: 5

În acest articol ne vom uita la una dintre lecțiile din cursul de matematică de clasa a V-a, dedicată introducerii combinatoriei.

Obiectivele lecției.

Educational:

Introduceți elevilor un nou tip de problemă (probleme combinatorii), metode de rezolvare a acestora - enumerarea opțiunilor posibile, construirea unui arbore de opțiuni posibile, aplicarea regulii înmulțirii;

Introduceți un nou concept - factorial, consolidați-l atunci când rezolvați probleme, exemple, ecuații.

Educational:

Formarea respectului față de tovarăși, a capacității de a asculta și de a auzi interlocutorul

Formarea unei atitudini față de prietenie ca una dintre cele mai importante valori umane.

De dezvoltare:

Formarea interesului pentru subiect;

Formarea abilităților de calcul;

Dezvoltarea gândirii logice;

Dezvoltarea capacității de a-și dovedi și susține opinia.

În timpul orelor

1. Moment organizatoric

Profesor: Astăzi avem o lecție neobișnuită. Vom rezolva probleme legate de una dintre cele mai interesante ramuri ale matematicii - combinatoria. În știință și în viața reală, de foarte multe ori trebuie să rezolvăm probleme, a căror întrebare principală este întrebarea „În câte moduri se poate face acest lucru?” De exemplu:

În câte moduri poți nota un elev în clasă?

În câte moduri puteți atribui un monitor de clasă?

În câte moduri puteți desemna doi însoțitori la clasă?

Când rezolvați astfel de probleme, trebuie să faceți diverse combinații dintr-un număr finit de elemente și să numărați numărul de combinații. Astfel de probleme se numesc probleme combinatorii, iar ramura matematicii în care sunt luate în considerare astfel de probleme se numește combinatorie. Veți afla ce alt subiect va fi dedicată lecției când vom verifica cum ți-ai făcut temele.

2. Verificarea temelor pentru acasă

(În lecția anterioară, temele sunt compilate în așa fel încât să existe exact 6 sarcini. De exemplu, în manualul de Vilenkin N.Ya. și colab. acesta ar putea fi nr. 693(a, c), 735(1). ), 765(a,b, V))

Pe tablă există o masă și cărți atașate cu magneți. Pe cărți pe o parte este răspunsul la temele pentru acasă, pe cealaltă parte este litera.

Profesor: Să vă verificăm temele. Deschide-ți caietele și ia-ți creioanele. Găsiți răspunsuri la numerele temelor.

Elevii merg pe rând la tablă, aleg un cartonaș cu răspunsul și îl atașează la celula tabelului sub numărul sarcinii. În primul rând, cărțile sunt fixate în celulele tabelului cu partea pe care este scris răspunsul, astfel încât elevii să poată verifica corectitudinea temelor. Restul își verifică răspunsurile în caiete.

Opțiuni de răspuns (situate pe diferite părți ale cărților). Există în mod deliberat un număr excesiv de cărți, astfel încât unele dintre răspunsuri sunt incorecte.

„5” - dacă totul este corect

„4” - dacă există o eroare

„3” - 2-3 erori

„2” - mai mult de 3 erori

Învățătoarea: Să întoarcem cărțile, ce cuvânt ai primit? (PRIETENIE). Într-adevăr, astăzi în lecție nu vom rezolva doar probleme de matematică, vom îmbunătăți abilitățile de calcul, dar vom vorbi și despre prietenie.

3. Material nou.

Profesor: Deci, am spus deja că astăzi vom învăța să rezolvăm probleme, a căror întrebare principală este întrebarea „În câte moduri...”.

Există trei cuvinte „PRITENȚE”, „AFFARI”, „IUBIRE” (tăiați bucăți de hârtie cu aceste cuvinte - 7 cartonașe pentru fiecare cuvânt). În câte moduri pot fi folosite aceste cuvinte pentru a forma o propoziție?

Elevii oferă opțiuni, aceste opțiuni sunt scrise pe tablă.

Răspuns: 6 moduri.

Profesor: Care opțiune credeți că este corectă din punctul de vedere al limbii ruse? (Prietenia iubește afacerile). Cum intelegi aceasta afirmatie?

Profesor: Iată o enumerare completă a tuturor opțiunilor posibile sau, după cum se spune de obicei, a tuturor combinațiilor posibile. Prin urmare, aceasta este o problemă combinatorie. Să ne gândim cum putem scrie și oficializa soluția la această problemă.

1 cale. Să notăm cuvintele propuse cu majuscule:

PRIETENIE – D

IUBIRE – L

DELO – E (să luăm a doua literă a acestui cuvânt)

Apoi, toate metodele pe care le-ați numit pot fi enumerate pur și simplu: DLE, DEL, LDE, ICE, EDL, ELD.

Se dovedește că soluția poate fi formulată sub forma unui model numit arbore de opțiuni posibile. În primul rând, este clar, ca orice imagine și, în al doilea rând, vă permite să luați în considerare totul fără a rata nimic,

Elevii, sub îndrumarea profesorului, întocmesc o diagramă:

Metoda 3 (raționament)

Unul dintre cele trei cuvinte poate fi pe primul loc: PRIETENIE, IUBIRE, AFACERI. Dacă se alege primul cuvânt, atunci al doilea loc poate fi unul dintre cele două cuvinte rămase, iar al treilea loc poate avea doar un cuvânt rămas. Deci, opțiunile totale sunt: ​​.

Rețineți că ultima tehnică este numită regula înmulțirii.

Fiecare dintre aceste trei metode are propriile sale avantaje și dezavantaje (discutați) Alegerea soluției vă aparține! Să remarcăm, totuși, că regula înmulțirii ne permite să rezolvăm o mare varietate de probleme într-un singur pas.

Anya are 3 prieteni și le-a cumpărat fiecăruia câte un baton de ciocolată și vrea să le ofere de vacanță. În câte moduri poate face asta?

Rezolvare: Elevii execută soluția pe tablă (soluția se realizează în 3 moduri)

Sunt 6 persoane în compania prietenilor: Andrey, Boris, Vitya, Grisha, Dima, Egor. În cantina școlii sunt 6 scaune la masă. Prietenii au decis să stea pe aceste 6 scaune diferit în fiecare zi în timp ce iau micul dejun. De câte ori pot face asta fără repetare?

Profesor: Ce metodă vom alege? (Elevii, sub îndrumarea profesorului, ar trebui să ajungă la concluzia că aceasta este a treia cale - regula înmulțirii).

Elevul întocmește soluția pe tablă.

Pentru comoditatea raționamentului, vom presupune că prietenii se așează la masă unul câte unul. Vom presupune că Andrey este primul care se așează la masă. Are 6 opțiuni de scaun. Boris este al doilea care se așează și alege independent un scaun dintre cele 5 rămase. Vitya își face alegerea a treia și va avea 4 scaune din care să aleagă. Grisha va avea 3 opțiuni, Dima va avea 2, iar Egor va avea 1. Folosind regula înmulțirii, obținem:

Răspunsul este de 720 de zile sau aproape 2 ani.

Profesorul: După cum vedem, condițiile problemelor sunt diferite, dar soluțiile sunt în esență aceleași. Este convenabil, așadar, să introduceți aceeași notație pentru aceste răspunsuri.

Definiție: produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la n inclusiv se numește n - factorial și se notează cu simbolul n!

Semn P! citește „En factorial”, care tradus literal din engleză înseamnă „constând din P multiplicatori.” Să remarcăm o caracteristică importantă a acestei valori - creșterea sa rapidă.

Calculati:

a) 1!; b) 2!; la 3!; d) 4!; e) 5!; e)10!

Ei cred că e 0! =1 (scrie)

Sarcina 5.

Profesor: PRIETENEA este una dintre cele mai importante bogății pe care le poate avea o persoană. Nu degeaba se compun poezii și cântece despre prietenie, se scriu proverbe și zicători. Ce proverbe și vorbe despre prietenie cunoști?

Prietenul la nevoie se cunoaște.
Nu ai o sută de ruble, ci o sută de prieteni.
Există siguranță în cifre.
Mori singur, dar ajută-ți tovarășul.
Un vechi prieten este mai bun decât doi noi.
Viața este grea fără un prieten.

Bine făcut! Este foarte important ca fiecare persoană să aibă prieteni buni, adevărați. Să rezolvăm câteva exemple folosind un nou concept - factorial și să învățăm un nou proverb despre prietenie.

Fișele cu răspunsuri se completează cu o rezervă (există cărți cu numere care nu sunt răspunsuri).

Tabel după umplere:

Sarcina 6.

4 prieteni au venit să-l viziteze pe Vasya și vor vedea un nou film. Vasya are un scaun în camera lui și a adus și 4 scaune din bucătărie. Fără îndoială, el își va lua scaunul și își va așeza prietenii pe scaune. Vasya a calculat că și-ar putea așeza prietenii în 24 de moduri.

Profesor: Vasya a calculat corect? (Da, din punct de vedere matematic)

A făcut bine? (Se discută aspectul moral al problemei)

4. Moment de educație fizică.

Profesor: Acum să ne odihnim puțin și pentru asta vom face un exercițiu fizic timp de un minut. Dacă am citit corect expresia, atunci te ridici și ridici mâinile în sus, iar dacă este incorect, te așezi cu mâinile pe lângă tine.

Ne-am ridicat. Să începem, fii atent.

6. Muncă independentă.

Profesor: Ei bine, acum că ne-am odihnit bine, să verificăm ce am învățat să facem astăzi la clasă. Pentru a face acest lucru, ne vom face singuri treaba.

7. Tema pentru acasă.

Vino cu, notează condițiile și soluțiile a 2 probleme combinatorii pe tema „Familie”. Desenați pe coli A4, puteți face desene pentru sarcini.

8. Rezumatul lecției.

Să rezumam lecția.

Ce nou ai invatat? (Am primit regula înmulțirii, i-am examinat modelul geometric - un arbore de opțiuni, am introdus un nou concept - factorial)

Ce ți-a plăcut?

Ce îți amintești?

Notele lecției.

Literatură:

1. E.A. Bunimovici, V.A. Buliciov. Probabilitate și statistică la cursul de matematică școlară de învățământ general: cursurile 1-4, 5 – 8. – M.: Universitatea Pedagogică „Primul Septembrie”, 2006.
2. Vilenkin N.Ya. Matematică. Clasa a V-a: manual pentru învăţământul general. instituții / N.Ya. Vilenkin și alții - M.: Mnemosyna, 2009.
3. Smykalova E.V. Capitole suplimentare despre matematică pentru elevii clasei a V-a. SPb: SMIO. Presă, 2006.
4. Mordkovich A.G. Evenimente. Probabilități. Prelucrarea datelor statistice: Suplimentar. Paragrafe pentru cursul de algebră clasele 7-9. instituții de învățământ / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. – M.: Mnemosyne, 2006.

Dedicat rezolvării problemelor de selectare și aranjare a elementelor unui anumit set, de obicei finit, în conformitate cu regulile date. De exemplu, în câte moduri poți alege 6 cărți dintr-un pachet de 36 de cărți, sau în câte moduri poți face o coadă formată din 10 persoane etc. Fiecare regulă din combinatorică determină o modalitate de a construi o anumită construcție formată din elemente ale mulțimii inițiale și numite combinaţie. Scopul principal al combinatoriei este de a număra numărul de combinații care pot fi făcute din elementele setului original în conformitate cu o regulă dată. Cele mai simple exemple de construcții combinatorii sunt permutările, plasările și combinațiile.

Nașterea combinatoriei legate de muncă B. Pascalși P. Fermat despre jocurile de noroc, contribuții majore au fost aduse de Leibniz, Bernoulli și Euler. În prezent, interesul pentru combinatorică este asociat cu dezvoltarea computerelor. În combinatorică ne va interesa posibilitatea de a defini cantitativ diferite submulțimi de mulțimi finite pentru calcularea probabilității în mod clasic.

Pentru a determina cardinalitatea mulțimii care corespunde unui anumit eveniment, este util să înțelegem două reguli de combinatorie: regula produsului și regula sumei (numite uneori principiile înmulțirii și, respectiv, adunării).

Regula produsului: lasă dintr-o mulţime finită

Primul obiect poate fi selectat k 1 moduri,

al 2-lea obiect - k 2 moduri

n-al-lea obiect - k n moduri. (1,1)

Apoi un set arbitrar de listate n obiectele din acest set pot fi selectate k 1 , k 2 , …, k n moduri.

Exemplul 1. Câte numere din trei cifre sunt cu cifre diferite?

Soluţie. Există zece cifre în sistemul zecimal: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Primul loc poate fi oricare dintre cele nouă cifre (cu excepția zero). Pe locul doi se află oricare dintre cele 9 cifre rămase, cu excepția celei selectate. Ultimul loc este oricare dintre cele 8 cifre rămase.

Conform regulii produsului, 9·9·8 = 648 numere din trei cifre au cifre diferite.

Exemplul 2. Din punct de vedere Există 3 drumuri care duc la un punct și 4 drumuri de la un punct la altul. Din câte moduri poți călători in prin?

Soluţie. La punct există 3 moduri de a alege drumul până la punct, iar la punct există 4 moduri de a ajunge la punct. Conform principiului înmulțirii, există 3x4 = 12 moduri de a ajunge dintr-un punct la punctul .

Regula sumei: dacă sunt îndeplinite condițiile (1.1), oricare dintre obiecte poate fi selectat k 1 +k 2 +…+k n moduri.

Exemplul 3. Câte moduri există de a selecta un creion dintr-o cutie care conține 5 creioane roșii, 7 albastre, 3 verzi?

Soluţie. Un creion, conform regulii sumei, poate fi ales în 5+7+3 = 15 moduri.

Exemplul 4. Lasă-l să plece din oraș În oraș se poate ajunge printr-o rută aeriană, două rute de tren și trei rute de autobuz. În câte moduri poți ajunge din oraș? în oraș ?

Soluţie. Toate condițiile principiului adunării sunt îndeplinite aici, prin urmare, în conformitate cu acest principiu, obținem 1+2+3 = 6 moduri.

Să luăm în considerare un exemplu care ilustrează diferența dintre principiile înmulțirii și adunării.

Exemplul 5. Un magazin de electronice vinde trei mărci de televizoare și două tipuri de VCR. Cumpărătorul are opțiunea de a cumpăra fie un televizor, fie un VCR. În câte moduri poate face o singură achiziție? Câte seturi diferite care conțin un televizor și un magnetofon pot fi achiziționate în acest magazin dacă cumpărătorul va cumpăra atât un televizor, cât și un VCR în perechi?

Soluţie. Un televizor poate fi selectat în trei moduri, iar un reportofon în celelalte două moduri. Apoi un televizor sau un magnetofon poate fi cumpărat în 3+2=5 moduri.

În al doilea caz, un televizor poate fi selectat în trei moduri, după care VCR-ul poate fi selectat în două moduri. Prin urmare, datorită principiului înmulțirii, puteți cumpăra un televizor și un VCR în 3 × 2 = 6 moduri.

Să luăm acum în considerare exemple în care se aplică ambele reguli ale combinatoriei: atât principiul înmulțirii, cât și principiul adunării.

Exemplul 6.Într-un coș sunt 12 mere și 10 portocale. Vanya alege fie un măr, fie o portocală. După care Nadya alege atât un măr, cât și o portocală din fructele rămase. Câte astfel de alegeri sunt posibile?

Soluţie. Vanya poate alege un măr în 12 moduri, o portocală în 10 moduri. Dacă Vanya alege un măr, atunci Nadya poate alege un măr în 11 moduri și o portocală în 10 moduri. Dacă Vanya alege o portocală, atunci Nadya poate alege un măr în 12 moduri și o portocală în 9 moduri. Astfel, Vanya și Nadya își pot alege în anumite moduri.

Exemplul 7. Există 3 scrisori, fiecare dintre acestea putând fi trimisă la 6 adrese. În câte moduri se poate face acest lucru?

Soluţie. În această problemă trebuie să luăm în considerare trei cazuri:

a) toate scrisorile sunt trimise la adrese diferite;

b) toate scrisorile sunt trimise la o singură adresă;

c) doar două scrisori sunt trimise la o singură adresă.

Dacă toate scrisorile sunt trimise la adrese diferite, atunci numărul acestor metode este ușor de găsit din principiul înmulțirii: n 1 = 6×5×4 = 120 de moduri. Dacă toate scrisorile sunt trimise la o singură adresă, atunci vor exista astfel de metode n 2 = 6. Astfel, rămâne de luat în considerare doar al treilea caz, când la o singură adresă sunt trimise doar 2 scrisori. Putem selecta o scrisoare în 3 moduri și o putem trimite la orice adresă selectată în 6 moduri. Putem trimite celelalte două scrisori la adresele rămase în 5 moduri. Prin urmare, putem trimite doar două scrisori la o singură adresă n 3 =3×6×5=90 de moduri. Astfel, puteți trimite 3 scrisori la 6 adrese în conformitate cu principiul adunării

moduri.

De obicei, combinatoria consideră un experiment de selecție aleatorie idealizat. k elemente din n. În acest caz, elementele: a) nu sunt returnate înapoi (schemă de selecție fără returnări); b) retur înapoi (schema de selecție cu retur).

1. Schema de selectie fara retururi

Cazare din n elemente prin k este orice set ordonat de k elemente aparținând n- mulţime elementară. Diferitele aranjamente diferă unele de altele fie în ordinea elementelor, fie în compoziție.

Numărul de plasări de la n elemente prin k notat si calculat prin formula

(1.2)

Unde n! = 1×2×3×…× n, 1! = 1, 0! = 1.

Exemplul 8. La concurs participă 10 persoane, trei dintre ele vor ocupa locurile 1, 2, 3. Câte opțiuni diferite există?

Soluţie. În acest caz, ordinea în care sunt distribuite locurile este importantă. Numărul de opțiuni diferite este egal

Rearanjare din n elementele se numesc plasare a n elemente prin n. Numărul de permutări de la n elementele reprezintă P nși calculat folosind formula

(1.3)

Exemplul 9. Câte moduri există de a aranja 10 cărți pe un raft?

Soluţie. Numărul total de metode de aranjare este definit ca numărul de permutări (1.3) a 10 elemente și este egal cu R 10 = 10! = 3628 800.

2. Schema de selecție cu returnări

Dacă la alegere k elemente din n, elementele sunt returnate înapoi și ordonate, apoi spun că asta plasamente cu repetari .

Numărul de plasări cu repetări:

Exemplul 11. Hotelul dispune de 10 camere, fiecare dintre ele poate găzdui patru persoane. Câte opțiuni de cazare există pentru patru oaspeți care sosesc?

Soluţie. Fiecare invitat ulterior din 4 poate fi plasat în oricare dintre cele 10 camere, deoarece se are în vedere o experiență idealizată, astfel încât numărul total de plasări, conform formulei de plasare cu repetări (1,5), este egal cu

.

Dacă la alegere k elemente din n elementele sunt returnate înapoi fără altă ordine, atunci se spune că este combinatii cu repetari. Numar de combinatii cu repetari de la n elemente prin k definit:

Exemplul 12. Magazinul vinde 10 tipuri de prajituri. Un alt cumpărător a scos un cec pentru trei prăjituri. Presupunând că orice set de bunuri este la fel de posibil, determinați numărul de comenzi posibile.

Soluţie. Numărul de comenzi la fel de posibile conform formulei (1.6) este egal cu

.

Combinatoria este o ramură a matematicii. Conceptele și formulele de bază ale combinatoriei ca știință sunt aplicate în toate sferele vieții.

Nu este surprinzător faptul că este inclus în programul de clasa a XI-a, precum și în examenele de admitere în multe universități din Federația Rusă. Bazele sale se află în artele aplicate din multe sfere ale activității umane.

Istoria sa datează de peste 6 secole. Primele probleme combinatorii au apărut în lucrările filozofilor și matematicienilor din Evul Mediu.

Reprezentanții acelei lumi științifice au încercat să găsească metode de rezolvare a unor astfel de probleme, regulile și conceptele lor de bază și să stabilească formule și ecuații unice pentru cei care nu le-au întâlnit încă. Astfel de informații în timpul nostru se numesc informații „pentru manechin”.

Să încercăm să înțelegem aspectele acestui domeniu al științei: care sunt elementele, proprietățile, regulile, metodele și principala sa aplicație în viața noastră? Desigur, este imposibil să acoperiți întreaga zonă într-un singur articol. Prin urmare, toate cele mai elementare lucruri vor fi prezentate mai jos.

Ce este combinatoria în matematică

Esența acestui termen este dată de cărțile anilor trecuți: aceasta ramură a matematicii care se ocupă de operații pe multe elemente.

Pe Internet există manuale de informatică și matematică pentru copii și școlari, colecții de materiale și probleme pentru începători, unde combinatoria „distractivă” este explicată într-un mod accesibil. Trebuie să ne dăm seama cu fermitate cum să rezolvăm astfel de probleme.

În clasele elementare, problemele pe această temă sunt rezolvate în cluburi suplimentare și în școlile cu studiu aprofundat al matematicii - în lecțiile principale. În plus, problemele de combinatorie sunt incluse în olimpiade la toate nivelurile.

Noțiuni de bază

Există mai multe dintre ele:

1. Element– orice obiect sau fenomen inclus în setul dorit.
2. Combinaţie– submulțimi situate într-o ordine arbitrară în mulțimea inițială.
3. Rearanjare– elementele dintr-o mulțime sunt într-o ordine strict definită.
4. Cazare– subseturi ordonate în setul original.

Regula produsului

Este una dintre regulile de bază atunci când rezolvați astfel de probleme și sună astfel:

La selectarea elementului A dinnmetodele și selecția elementului B dinmÎn unele privințe, este adevărat că este posibil să alegeți o pereche A și B în același timpn* mmoduri.

Să ne uităm la exemple specifice.

Sarcina nr. 1.

Cutia contine 2 mingi si 6 corzi de sarit. Câte moduri există pentru a obține 1 minge și 1 coarda de sărit?

Răspunsul este simplu: 2 * 6 = 12.

Sarcina nr. 2.

Există 1 cub, 2 bile, 3 flori și 4 bomboane. În câte moduri poți desena un cub, o minge, o floare și o bomboană?

Soluția este similară: 1 * 2 * 3 * 4 = 24.

Mai mult, partea stângă poate fi scrisă mult mai simplu: 4!

! în acest caz nu este un semn de punctuație, ci un factorial. Folosind-o, puteți calcula opțiuni mai complexe și puteți rezolva probleme dificile (există formule diferite, dar mai multe despre asta mai târziu).

Sarcina nr. 3.

Câte numere din două cifre pot fi făcute din două cifre?

Raspuns: 2! = 2.

Sarcina nr. 4.

Câte numere din zece cifre pot fi făcute din 10 cifre?

Regula sumei

Aceasta este, de asemenea, o regulă de bază a combinatoriei.

Dacă se poate alege Anori și B -mde ori, atunci se poate alege A sau B (n+ m) o singura data.

Sarcina nr. 5.

Cutia contine 5 creioane rosii, 3 galbene, 7 verzi, 9 negre. Câte moduri există de a scoate orice creion?

Răspuns: 5 + 3 + 7 + 9 = 24.

Combinații cu și fără repetări

Acest termen se referă la combinații în orice ordine dintr-o mulțime de n cu m elemente.

Numărul de combinații este egal cu numărul de astfel de combinații.

Sarcina nr. 6.

Cutia contine 4 fructe diferite. În câte moduri poți obține 2 fructe diferite în același timp?

Solutia este simpla:

Unde este 4! – o combinație de 4 elemente.

Cu repetări puțin mai complicate, combinațiile sunt calculate folosind următoarea formulă:

Sarcina nr. 7.

Să luăm același caz, dar cu condiția ca un fruct să fie returnat în cutie.

În acest caz:

Plasări cu și fără repetări

Această definiție înseamnă o mulțime de m elemente dintr-o mulțime de n elemente.

Sarcina nr. 8.

Din 3 cifre, trebuie să alegeți 2 pentru a obține numere diferite din două cifre. Câte opțiuni?

Raspunsul este simplu:

Dar ce zici cu repetari? Aici, fiecare element poate fi plasat de mai multe ori! În acest caz, formula generală va arăta astfel:

Sarcina nr. 9.

Din 12 litere ale alfabetului latin și 10 cifre ale seriei naturale, trebuie să găsiți toate opțiunile pentru alcătuirea codului regiunii auto.

Permutări cu și fără repetări

Acest termen se referă la toate combinațiile posibile ale unui set de n elemente.

Sarcina nr. 10.

Câte numere posibile din 5 cifre pot fi făcute din 5 cifre? Ce zici de șase cifre din 6 cifre? Șapte cifre din 7 cifre?

Soluțiile, conform formulei de mai sus, sunt următoarele:

Dar ce zici cu repetari? Dacă într-un astfel de set există elemente de importanță egală, atunci vor fi mai puține permutări!

Sarcina nr. 11.

Cutia contine 3 creioane identice si un stilou. Câte permutări poți face?

Răspunsul este simplu: 4! / (3! * 1!) = 4.

Probleme combinatorii cu soluții

Exemple de toate tipurile posibile de probleme cu soluții au fost date mai sus. Aici vom încerca să ne ocupăm de cazuri mai complexe întâlnite în viața noastră.

Concluzie

Merită să studiem această știință, deoarece în epoca modernizării rapide a tehnologiei, vor fi necesari specialiști care pot oferi diverse soluții la anumite probleme practice.

Trebuie remarcat faptul că combinatoria este o ramură independentă a matematicii superioare (și nu face parte din terver) și s-au scris manuale grele pe această disciplină, al căror conținut, uneori, nu este mai ușor decât algebra abstractă. Cu toate acestea, o mică parte de cunoștințe teoretice ne va fi suficientă, iar în acest articol voi încerca să analizez într-o formă accesibilă bazele temei cu probleme tipice combinatorii. Și mulți dintre voi mă veți ajuta ;-)

Ce vom face? Într-un sens restrâns, combinatoria este calculul diferitelor combinații care pot fi făcute dintr-o anumită mulțime discret obiecte. Prin obiecte se înțelege orice obiect izolat sau ființă vii - oameni, animale, ciuperci, plante, insecte etc. În același timp, combinatoriei nu îi pasă deloc că setul este format dintr-o farfurie de terci de gris, un fier de lipit și o broască de mlaștină. Este esențial important ca aceste obiecte să poată fi enumerate - sunt trei dintre ele (discretență)și important este că niciuna dintre ele nu este identică.

Ne-am ocupat de multe, acum despre combinații. Cele mai comune tipuri de combinații sunt permutările de obiecte, selecția lor dintr-un set (combinație) și distribuția (plasarea). Să vedem cum se întâmplă asta chiar acum:

Permutări, combinații și plasări fără repetare

Nu vă fie teamă de termeni obscuri, mai ales că unii dintre ei chiar nu sunt foarte buni. Să începem cu coada titlului - ce înseamnă „ fara repetitii"? Aceasta înseamnă că în această secțiune vom lua în considerare seturi care constau din variat obiecte. De exemplu, ... nu, nu o sa ofer terci cu fier de lipit si broasca, mai bine sa ai ceva mai gustos =) Imagineaza-ti ca pe masa din fata ta s-au materializat un mar, o para si o banana ( dacă le aveți, situația poate fi simulată în realitate). Așezăm fructele de la stânga la dreapta în următoarea ordine:

mar / para / banana

Întrebarea unu: În câte moduri pot fi rearanjate?

O combinație a fost deja scrisă mai sus și nu există probleme cu restul:

mar / banana / para
para / mar / banana
pară / banană / măr
banană / măr / peră
banană / peră / măr

Total: 6 combinații sau 6 permutări.

Bine, nu a fost dificil să enumerați toate cazurile posibile, dar dacă există mai multe obiecte? Cu doar patru fructe diferite, numărul de combinații va crește semnificativ!

Vă rugăm să deschideți materialul de referință (este convenabil să tipăriți manualul) iar la punctul nr. 2, găsiți formula pentru numărul de permutări.

Fără bătăi de cap - 3 obiecte pot fi rearanjate în moduri diferite.

Întrebarea doi: În câte moduri poți alege a) un fruct, b) două fructe, c) trei fructe, d) cel puțin un fruct?

De ce alege? Așa că ne-am făcut pofta de mâncare la punctul anterior - pentru a mânca! =)

a) Un fruct poate fi ales, evident, în trei moduri - luați fie un măr, o peră, fie o banană. Calculul formal se efectuează conform formula pentru numărul de combinații:

Intrarea în acest caz trebuie înțeleasă după cum urmează: „în câte moduri poți alege 1 fruct din trei?”

b) Să enumerăm toate combinațiile posibile de două fructe:

măr și pere;
măr și banane;
pere și banane.

Numărul de combinații poate fi verificat cu ușurință folosind aceeași formulă:

Intrarea este înțeleasă într-un mod similar: „în câte moduri poți alege 2 fructe din trei?”

c) Și, în sfârșit, există o singură modalitate de a alege trei fructe:

Apropo, formula pentru numărul de combinații rămâne semnificativă pentru o probă goală:
În acest fel, nu puteți alege niciun fruct - de fapt, nu luați nimic și atât.

d) În câte moduri poți lua cel puțin unul fructe? Condiția „cel puțin unul” implică faptul că suntem mulțumiți cu 1 fruct (oricare) sau cu oricare 2 fructe sau cu toate cele 3 fructe:
folosind aceste metode poți alege cel puțin un fruct.

Cititorii care au studiat cu atenție lecția introductivă despre teoria probabilității, am ghicit deja ceva. Dar mai multe despre semnificația semnului plus mai târziu.

Pentru a răspunde la următoarea întrebare am nevoie de doi voluntari... ...Ei bine, din moment ce nimeni nu vrea, atunci te voi chema la consiliu =)

Întrebarea trei: În câte moduri puteți distribui câte un fruct pentru Dasha și Natasha?

Pentru a distribui două fructe, mai întâi trebuie să le selectați. Conform paragrafului „fi” din întrebarea anterioară, acest lucru se poate face în moduri, le voi rescrie:

măr și pere;
măr și banane;
pere și banane.

Dar acum vor fi de două ori mai multe combinații. Luați în considerare, de exemplu, prima pereche de fructe:
Pe Dasha o poți trata cu un măr și pe Natasha cu o peră;
sau invers - Dasha va primi para, iar Natasha va primi mărul.

Și o astfel de permutare este posibilă pentru fiecare pereche de fructe.

Luați în considerare același grup de studenți care a mers la dans. În câte moduri pot fi împerecheați un băiat și o fată?

În moduri puteți selecta 1 tânăr;
moduri în care poți alege o fată.

Astfel, un tânăr Și Puteți alege o fată: moduri.

Când se selectează 1 obiect din fiecare set, este valabil următorul principiu pentru numărarea combinațiilor: „ fiecare un obiect dintr-un set poate forma o pereche cu fiecare obiect al altui set”.

Adică, Oleg poate invita oricare dintre cele 13 fete la dans, Evgeny poate invita și oricare dintre cele treisprezece, iar restul tinerilor au o alegere similară. Total: posibile perechi.

Trebuie remarcat faptul că, în acest exemplu, „istoria” formării perechii nu contează; totusi, daca tinem cont de initiativa, numarul de combinatii trebuie dublat, intrucat fiecare dintre cele 13 fete poate invita si orice baiat la dans. Totul depinde de condițiile unei anumite sarcini!

Un principiu similar este valabil și pentru combinații mai complexe, de exemplu: în câte moduri poți alege doi tineri? Și două fete să participe la o scenetă KVN?

Uniune ȘI sugerează clar că combinațiile trebuie înmulțite:

Posibile grupuri de artiști.

Cu alte cuvinte, fiecare cu o pereche de băieți (45 de perechi unice) se poate performa orice o pereche de fete (78 de perechi unice). Și dacă luăm în considerare distribuția rolurilor între participanți, vor exista și mai multe combinații. ...Îmi doresc foarte mult, dar tot mă voi abține să continui pentru a nu vă insufla o aversiune față de viața de student =).

Regula de înmulțire a combinațiilor se aplică și unui număr mai mare de multiplicatori:

Problema 8

Câte numere din trei cifre sunt divizibile cu 5?

Soluţie: pentru claritate, să notăm acest număr cu trei asteriscuri: ***

ÎN sute de loc Puteți scrie oricare dintre numere (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sau 9). Zero nu este potrivit, deoarece în acest caz numărul încetează să fie format din trei cifre.

Dar în locul zecilor(„în mijloc”) puteți alege oricare dintre cele 10 cifre: .

Conform condiției, numărul trebuie să fie divizibil cu 5. Un număr este divizibil cu 5 dacă se termină cu 5 sau 0. Astfel, ne mulțumim cu 2 cifre în cifra cea mai puțin semnificativă.

În total, există: numere din trei cifre care sunt divizibile cu 5.

În acest caz, lucrarea este descifrată astfel: „9 moduri în care puteți alege un număr sute de loc Și 10 moduri de a alege un număr în locul zecilor Și 2 moduri de intrare Unități digitale»

Sau chiar mai simplu: „ fiecare de la 9 cifre la sute de loc combine cu fiecare de 10 cifre locul zecilor si cu fiecare de la două cifre la Unități digitale».

Răspuns: 180

Si acum…

Da, aproape că am uitat de comentariul promis la problema nr. 5, în care Bor, Dima și Volodya pot primi câte o carte în moduri diferite. Înmulțirea aici are același sens: modalități de a elimina 3 cărți din pachet ȘI în fiecare eșantion rearanjați-le în moduri.

Și acum o problemă de rezolvat pe cont propriu... acum voi veni cu ceva mai interesant... să fie despre aceeași versiune rusă a blackjack-ului:

Problema 9

Câte combinații câștigătoare de 2 cărți există atunci când joci „punct”?

Pentru cei care nu știu: combinația câștigătoare este 10 + ACE (11 puncte) = 21 de puncte și, să luăm în considerare combinația câștigătoare de doi ași.

(ordinea cărților din orice pereche nu contează)

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Apropo, nu considerați exemplul primitiv. Blackjack-ul este aproape singurul joc pentru care există un algoritm bazat pe matematică care vă permite să învingeți cazinoul. Cei interesați pot găsi cu ușurință o mulțime de informații despre strategia și tacticile optime. Adevărat, astfel de maeștri ajung destul de repede pe lista neagră a tuturor unităților =)

Este timpul să consolidăm materialul acoperit cu câteva sarcini solide:

Problema 10

Vasya are 4 pisici acasă.

a) în câte moduri pot fi așezate pisicile în colțurile camerei?
b) în câte moduri poți lăsa pisicile să iasă la plimbare?
c) în câte moduri poate ridica Vasya două pisici (una în stânga, cealaltă în dreapta)?

Să decidem: în primul rând, ar trebui să acordați din nou atenție faptului că problema se ocupă diferit obiecte (chiar dacă pisicile sunt gemeni identici). Aceasta este o condiție foarte importantă!

a) Tăcerea pisicilor. Sub rezerva acestei executii toate pisicile deodată
+ locația lor este importantă, așa că există permutări aici:
folosind aceste metode poți așeza pisicile în colțurile camerei.

Repet că la permutare contează doar numărul de obiecte diferite și pozițiile lor relative. În funcție de starea de spirit a lui Vasya, ea poate așeza animalele într-un semicerc pe canapea, la rând pe pervaz etc. – în toate cazurile vor exista 24 de permutări.Pentru comoditate, cei interesați își pot imagina că pisicile sunt multicolore (de exemplu, alb, negru, roșu și tabby) și să enumere toate combinațiile posibile.

b) În câte moduri poți lăsa pisicile să iasă la plimbare?

Se presupune că pisicile merg la plimbare doar pe ușă, iar întrebarea implică indiferență în ceea ce privește numărul de animale - 1, 2, 3 sau toate cele 4 pisici pot ieși la plimbare.

Numărăm toate combinațiile posibile:

În feluri, puteți lăsa o pisică (oricare dintre cele patru) să iasă la plimbare;
modalități în care puteți lăsa două pisici să iasă la plimbare (enumerați singur opțiunile);
în feluri în care poți lăsa trei pisici să iasă la plimbare (una dintre cele patru stă acasă);
Astfel poți elibera toate pisicile.

Probabil ați ghicit că valorile rezultate ar trebui să fie rezumate:
moduri prin care poți lăsa pisicile să meargă la plimbare.

Pentru entuziaști, ofer o versiune complicată a problemei - atunci când orice pisică din orice probă poate ieși aleatoriu afară, atât prin ușă, cât și prin fereastra de la etajul 10. Va fi o creștere vizibilă a combinațiilor!

c) În câte moduri poate ridica Vasya două pisici?

Situația presupune nu numai alegerea a 2 animale, ci și plasarea lor în fiecare mână:
În aceste moduri puteți ridica 2 pisici.

A doua soluție: puteți alege două pisici folosind metode Și moduri de a planta fiecare un cuplu la indemana:

Răspuns: a) 24, b) 15, c) 12

Ei bine, ca să-ți lamurești conștiința, ceva mai specific despre înmulțirea combinațiilor... Lasă Vasya să aibă 5 pisici suplimentare =) În câte moduri poți lăsa 2 pisici să iasă la plimbare? Și 1 pisica?

Adică cu fiecare câteva pisici pot fi eliberate fiecare pisică.

Un alt acordeon cu butoane pentru soluție independentă:

Problema 11

Trei pasageri s-au urcat în liftul unei clădiri cu 12 etaje. Toată lumea, indiferent de ceilalți, poate ieși la orice (începând de la etajul 2) cu probabilitate egală. În câte moduri:

1) pasagerii pot coborî la același etaj (Ordinea de ieșire nu contează);
2) două persoane pot coborî la un etaj, iar o a treia la celălalt;
3) oamenii pot ieși pe etaje diferite;
4) pot pasagerii să iasă din lift?

Și aici se întreabă des din nou, clarific: dacă la același etaj ies 2 sau 3 persoane, atunci nu contează ordinea de ieșire. Gândește, folosește formule și reguli pentru a adăuga/înmulți combinații. În caz de dificultăți, este util ca pasagerii să dea nume și să speculeze în ce combinații pot ieși din lift. Nu trebuie să fii supărat dacă ceva nu merge, de exemplu, punctul nr. 2 este destul de insidios, totuși, unul dintre cititori a găsit o soluție simplă și îmi exprim încă o dată recunoștința pentru scrisorile tale!

Soluție completă cu comentarii detaliate la sfârșitul lecției.

Ultimul paragraf este dedicat combinațiilor care apar și destul de des - conform evaluării mele subiective, în aproximativ 20-30% dintre problemele combinatorii:

Permutări, combinații și plasări cu repetări

Tipurile de combinații enumerate sunt prezentate în paragraful nr. 5 al materialului de referință Formule de bază ale combinatoriei Cu toate acestea, unele dintre ele pot să nu fie foarte clare la prima lectură. În acest caz, este mai întâi recomandabil să vă familiarizați cu exemple practice și abia apoi să înțelegeți formularea generală. Merge:

Permutări cu repetări

În permutările cu repetări, ca în permutările „obișnuite”, toate multele obiecte deodată, dar există un lucru: în această mulțime se repetă unul sau mai multe elemente (obiecte). Îndeplinește următorul standard:

Problema 12

Câte combinații diferite de litere pot fi obținute prin rearanjarea cardurilor cu următoarele litere: K, O, L, O, K, O, L, b, Ch, I, K?

Soluţie: în cazul în care toate literele ar fi diferite, atunci ar trebui aplicată o formulă banală, dar este complet clar că pentru setul de cărți propus unele manipulări vor funcționa „inactiv”, de exemplu, dacă schimbați oricare două cărți cu literele „K” „ în orice cuvânt, obțineți același cuvânt. Mai mult, fizic cărțile pot fi foarte diferite: una poate fi rotundă cu litera „K” imprimată pe ea, cealaltă poate fi pătrată cu litera „K” desenată pe ea. Dar, în funcție de sensul sarcinii, chiar și astfel de cărți sunt considerate la fel, deoarece condiția întreabă despre combinațiile de litere.

Totul este extrem de simplu - doar 11 cărți, inclusiv litera:

K – repetat de 3 ori;
O – repetat de 3 ori;
L – repetat de 2 ori;
b – repetat 1 dată;
H – repetat 1 dată;
Și - repetat 1 dată.

Verificați: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, ceea ce trebuia verificat.

Conform formulei numărul de permutări cu repetări:
pot fi obținute diferite combinații de litere. Mai mult de jumătate de milion!

Pentru a calcula rapid o valoare factorială mare, este convenabil să utilizați funcția standard Excel: introduceți în orice celulă =FACT (11)și apăsați introduce.

În practică, este destul de acceptabil să nu scrieți formula generală și, în plus, să omiteți factorii unitari:

Dar sunt necesare comentarii preliminare despre scrisorile repetate!

Răspuns: 554400

Un alt exemplu tipic de permutări cu repetare apare în problema de plasare a pieselor de șah, care poate fi găsită în depozit. soluții gata făcuteîn pdf-ul corespunzător. Și pentru o soluție independentă, am venit cu o sarcină mai puțin formulă:

Problema 13

Alexey face sport și 4 zile pe săptămână - atletism, 2 zile - exerciții de forță și 1 zi de odihnă. În câte moduri își poate crea un program săptămânal?

Formula nu funcționează aici, deoarece ia în considerare schimburile întâmplătoare (de exemplu, schimbarea exercițiilor de forță de miercuri cu exercițiile de forță de joi). Și din nou - de fapt, aceleași 2 sesiuni de antrenament de forță pot fi foarte diferite unele de altele, dar în contextul sarcinii (din punct de vedere al programului) sunt considerate aceleași elemente.

Soluție pe două rânduri și răspuns la sfârșitul lecției.

Combinații cu repetări

O trăsătură caracteristică a acestui tip de combinație este că eșantionul este extras din mai multe grupuri, fiecare dintre ele constând din obiecte identice.

Toată lumea a muncit din greu astăzi, așa că este timpul să vă împrospătați:

Problema 14

Cantina studențească vinde cârnați în aluat, cheesecake și gogoși. În câte moduri puteți cumpăra cinci plăcinte?

Soluţie: acordați atenție imediat criteriului tipic pentru combinațiile cu repetări - în funcție de condiție, nu este un set de obiecte ca atare oferit la alegere, ci tipuri diferite obiecte; se presupune că sunt la vânzare cel puțin cinci hot dog, 5 cheesecake și 5 gogoși. Plăcintele din fiecare grupă sunt, desigur, diferite - deoarece gogoșile absolut identice pot fi simulate doar pe computer =) Cu toate acestea, caracteristicile fizice ale plăcintelor nu sunt semnificative în scopul problemei, iar hot-dog-urile / cheesecake-urile / gogoșile din grupurile lor sunt considerate la fel.

Ce ar putea fi în eșantion? În primul rând, trebuie menționat că cu siguranță vor exista plăcinte identice în probă (deoarece alegem 5 bucăți și există 3 tipuri din care să alegeți). Există opțiuni aici pentru toate gusturile: 5 hot dog, 5 cheesecake, 5 gogoși, 3 hot dog + 2 cheesecake, 1 hot dog + 2 cheesecake + 2 gogoși etc.

Ca și în cazul combinațiilor „obișnuite”, ordinea selecției și plasarea plăcintelor în selecție nu contează - ați ales doar 5 bucăți și atât.

Folosim formula numărul de combinații cu repetări:
Puteți cumpăra 5 plăcinte folosind această metodă.

Poftă bună!

Răspuns: 21

Ce concluzie se poate trage din multe probleme combinatorii?

Uneori, cel mai greu este să înțelegeți starea.

Un exemplu similar pentru o soluție independentă:

Problema 15

Portofelul conține un număr destul de mare de monede de 1, 2, 5 și 10 ruble. În câte moduri pot fi scoase trei monede dintr-un portofel?

În scopuri de autocontrol, răspunde la câteva întrebări simple:

1) Toate monedele din eșantion pot fi diferite?
2) Numiți combinația de monede „cea mai ieftină” și cea mai „scumpe”.

Soluție și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Din experiența mea personală, pot spune că combinațiile cu repetiții sunt cel mai rar invitat în practică, ceea ce nu se poate spune despre următoarele tipuri de combinații:

Plasări cu repetări

Dintr-un set format din elemente, elementele sunt selectate, iar ordinea elementelor în fiecare selecție este importantă. Și totul ar fi bine, dar o glumă destul de neașteptată este că putem selecta orice obiect din setul original de câte ori vrem. Figurat vorbind, „mulțimea nu va scădea”.

Când se întâmplă asta? Un exemplu tipic este un lacăt cu combinație cu mai multe discuri, dar din cauza dezvoltărilor tehnologice, este mai relevant să luăm în considerare descendentul său digital:

Problema 16

Câte coduri PIN din patru cifre există?

Soluţie: de fapt, pentru a rezolva problema, cunoașterea regulilor combinatoriei este suficientă: în moduri puteți selecta prima cifră a codului PIN Și moduri - a doua cifră a codului PIN Șiîn tot atâtea feluri – al treilea Și același număr - al patrulea. Astfel, conform regulii înmulțirii combinațiilor, un cod PIN din patru cifre poate fi compus în: moduri.

Și acum folosind formula. Conform condiției, ni se oferă un set de numere, din care numerele sunt selectate și aranjate într-o anumită ordine, în timp ce numerele din eșantion pot fi repetate (adică orice cifră a setului original poate fi folosită de un număr arbitrar de ori). Conform formulei pentru numărul de plasări cu repetări:

Răspuns: 10000

Ce îmi vine în minte aici... ...dacă ATM-ul „mâncă” cardul după a treia încercare nereușită de a introduce codul PIN, atunci șansele de a-l ridica la întâmplare sunt foarte mici.

Și cine a spus că combinatoria nu are sens practic? O sarcină cognitivă pentru toți cititorii site-ului:

Problema 17

Conform standardului de stat, o plăcuță de înmatriculare a mașinii este formată din 3 numere și 3 litere. În acest caz, un număr cu trei zerouri este inacceptabil, iar literele sunt selectate din setul A, B, E, K, M, N, O, P, S, T, U, X (se folosesc doar acele litere chirilice a căror ortografie coincide cu literele latine).

Câte plăcuțe de înmatriculare diferite pot fi create pentru o regiune?

Nu atât de mulți dintre ei, apropo. În regiunile mari nu există suficientă o astfel de cantitate și, prin urmare, pentru ei există mai multe coduri pentru inscripția RUS.

Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției. Nu uitați să folosiți regulile combinatoriei ;-) ...Am vrut să arăt ceea ce era exclusiv, dar s-a dovedit că nu este exclusiv =) M-am uitat pe Wikipedia - acolo sunt calcule, deși fără comentarii. Deși în scop educațional, probabil, puțini oameni au rezolvat-o.

Lecția noastră interesantă s-a încheiat și, în sfârșit, vreau să spun că nu ți-ai pierdut timpul - pentru că formulele de combinatorie își găsesc o altă aplicație practică vitală: se găsesc în diverse probleme în teoria probabilității,
si in probleme care implică determinarea clasică a probabilităţii– mai ales des =)

Vă mulțumim tuturor pentru participarea activă și ne vedem curând!

Soluții și răspunsuri:

Sarcina 2: Soluţie: găsiți numărul tuturor permutărilor posibile a 4 cărți:

Când un card cu zero este plasat pe primul loc, numărul devine din trei cifre, așa că aceste combinații ar trebui excluse. Fie zero pe primul loc, apoi celelalte 3 cifre din cifrele inferioare pot fi rearanjate în moduri diferite.

Notă : deoarece Deoarece există doar câteva cărți, este ușor să enumerați toate opțiunile aici:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Astfel, din setul propus putem realiza:
24 – 6 = 18 numere din patru cifre
Răspuns : 18

Sarcina 4: Soluţie: în moduri puteți alege 3 cărți din 36.Și
2) Setul „cel mai ieftin” conține 3 monede de ruble, iar cel mai „scump” – 3 monede de zece ruble.

Problema 17: Soluţie: folosind aceste metode, puteți crea o combinație digitală a unui număr de mașină, în timp ce unul dintre ele (000) ar trebui exclus: .
folosind aceste metode puteți crea o combinație de litere a unui număr de înmatriculare.
Conform regulii înmulțirii combinațiilor, totalul se poate face:
plăcuțe de înmatriculare
(fiecare combinația digitală este combinată cu fiecare combinație de litere).
Răspuns : 1726272