Inverzna matrica · Matrica B se naziva inverzom matrice ako je jednakost istinita: . Oznaka: − Samo kvadrat matrica može imati inverznu matricu. − Ne svaki kvadrat matrica ima inverznu matricu. Svojstva: 1. ; 2. ; 3. , gdje su matrice kvadratne i istih dimenzija. Općenito govoreći, ako je za nekvadratne matrice moguć proizvod koji će biti kvadratna matrica, tada je također moguće postojanje inverzne matrice , iako je 3-svojstvo povrijeđeno. Da biste pronašli inverznu matricu, možete koristiti metodu elementarnih transformacija reda: 1. Sastavite proširenu matricu dodjeljivanjem desne strane izvorne matrice matrice identiteta odgovarajuće dimenzije: . 2. Elementarne transformacije redaka matrice G dovesti do oblika: . − traženi rang matrice · Minor k-tog reda matrice je determinanta sastavljena od elemenata izvorne matrice koja se nalazi na sjecištu bilo kojih k redaka i k stupaca ( ). Komentar. Svaki element matrice je njen minor 1. reda. Teorema. Ako su u matrici svi minori k-tog reda jednaki nuli, tada su svi minori višeg reda jednaki nuli. Proširimo minor (determinantu) ( k+1)th reda kroz elemente 1. reda: . Algebarski komplementi su u biti minori k- reda, koji su prema uvjetima teoreme jednaki nuli. Stoga, . · U matrici reda minor reda nazivamo bazičnim ako nije jednak nuli, a svi minori reda i višeg reda jednaki su nuli ili uopće ne postoje, tj. odgovara manjem od brojeva ili . Stupci i redovi matrice iz kojih stoji baza minor nazivaju se baza. Matrica može imati nekoliko različitih baznih minora koji imaju isti redoslijed. · Redoslijed baznog minora matrice naziva se rang matrice I označen sa: , . Očito je da . Na primjer. 1. , . 2. . Matrica U sadrži jedan element različit od nule koji je minor 1. reda. Sve determinante višeg reda sadržavat će 0. redak i stoga su jednake 0. Prema tome, . inverzna matrica 4. Sustavi linearnih jednadžbi. Osnovni koncepti. Sustav linearnih algebarskih jednadžbi ( linearni sustav, koriste se i kratice SLAU, SLU) - sustav jednadžbi od kojih je svaka jednadžba linearna - algebarska jednadžba prvog stupnja. Opći pogled na sustav linearnih algebarskih jednadžbi: Ovdje je broj jednadžbi, a je broj varijabli, jesu li nepoznanice koje treba odrediti, koeficijenti i slobodni članovi pretpostavlja se da su poznati. Sustav se zove homogena, ako su svi njegovi slobodni članovi jednaki nuli (), inače - heterogena. Rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi je skup brojeva tako da odgovarajuća zamjena umjesto u sustav pretvara sve njegove jednadžbe u identitete. Sustav se naziva konzistentnim ako ima barem jedno rješenje, a nekonzistentnim ako nema niti jedno rješenje. Rješenja se smatraju različitim ako se barem jedna od vrijednosti varijabli ne podudara. Zglobni sustav s jednim rješenjem naziva se definitivnim, a ako postoji više od jednog rješenja, naziva se pododređenim. Matrični oblik Sustav linearnih algebarskih jednadžbi može se predstaviti u matričnom obliku kao: ili: . Ovdje je matrica sustava, je stupac nepoznanica, a je stupac slobodnih članova. Ako se desno od matrice doda stupac slobodnih izraza, tada se rezultirajuća matrica naziva proširenom. Kronecker-Capellijev teorem Kronecker-Capellijev teorem uspostavlja nužan i dovoljan uvjet za kompatibilnost sustava linearnih algebarskih jednadžbi kroz svojstva matričnih reprezentacija: sustav je kompatibilan ako i samo ako se rang njegove matrice podudara s rangom proširene matrice. Metode rješavanja sustava linearnih jednadžbi. Metoda matrice Neka je dan sustav linearnih jednadžbi s nepoznanicama (nad proizvoljnim poljem): Prepišimo to u matričnom obliku: Rješenje sustava ćemo pronaći pomoću formule Inverznu matricu ćemo pronaći pomoću formule: , gdje je transponirana matrica algebarskih komplemenata odgovarajućih elemenata matrice. Ako, tada inverzna matrica ne postoji, pa je nemoguće riješiti sustav matričnom metodom. U ovom slučaju sustav se rješava Gaussovom metodom. Cramerova metoda Cramerova metoda (Cramerovo pravilo) je metoda za rješavanje SLAE s brojem jednadžbi jednakim broju nepoznanica s glavnom determinantom matrice različitom od nule. Za sustav linearnih jednadžbi s nepoznanicama I-ti stupac matrice zamijenimo stupcem slobodnih članova b Primjer: Sustav linearnih jednadžbi s realnim koeficijentima: Kvalifikacije: U determinantama se stupac koeficijenata za odgovarajuću nepoznanicu zamjenjuje stupcem slobodnih članova sustava. Riješenje: 5. Gaussova metoda Algoritam rješenja: 1. Napisati proširenu matricu 2. Reducirati je na stepenasti oblik elementarnim transformacijama 3. Obrnuti potez, pri čemu bazne članove izražavamo preko slobodnih. Proširena matrica se dobiva dodavanjem stupca lažnih izraza u matricu. Postoje sljedeće elementarne transformacije: 1. Redovi matrice mogu se preuređivati. 2. Ako u matrici postoje (ili su se pojavili) proporcionalni (kao poseban slučaj, identični) redovi, tada sve te redove treba ukloniti iz matrice osim jednog. 3. Ako se nulti redak pojavi u matrici tijekom transformacija, tada ga također treba izbrisati. 4. Redak matrice može se pomnožiti (podijeliti) bilo kojim brojem, različit od nule. 5. Retku matrice možete dodati još jedan redak, pomnožen s brojem koji nije nula. Elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sustava jednadžbi Obrnuto: Obično se kao osnovne varijable uzimaju one varijable koje se nalaze na prvim mjestima u nenultim redovima transformirane matrice sustava, tj. na "stepenicama". Zatim, osnovni uvjeti su izraženi u terminima slobodnih izraza. Idemo "odozdo prema gore", istovremeno izražavajući osnovne članove i zamjenjujući rezultate u višu jednadžbu. Primjer: Osnovne varijable uvijek "sjede" striktno na koracima matrice. U ovom primjeru, osnovne varijable su, a slobodne varijable su sve preostale varijable koje nisu primile korak. U našem slučaju postoje dvije od njih: – slobodne varijable. Sad ti treba sve osnovne varijable izraziti samo kroz slobodne varijable. Obrnuto od Gaussovog algoritma tradicionalno radi odozdo prema gore

Nesingularna matrica je kvadratna matrica n-tog reda čija determinanta nije nula. U suprotnom se zove matrica degenerirati.

Teorem ( jedinstvenost postojanja inverzne matrice): Ako matrica ima inverznu matricu, onda je jedinstvena.

Dokaz.

Neka postoji matrica za koju i matrica za koju .

Zatim, tj. Pomnožimo obje strane jednakosti s matricom, dobivamo , gdje je i .

To znači da je to trebalo dokazati.

12. Matrične jednadžbe, njihovo rješavanje pomoću inverzne matrice.

Matrične jednadžbe mogu izgledati ovako:

AX = B, HA = B, AXB = C,

gdje su A, B, C navedene matrice, X je željena matrica.

Matrične jednadžbe rješavaju se množenjem jednadžbe inverznim matricama.

Na primjer, da biste pronašli matricu iz jednadžbe, morate ovu jednadžbu pomnožiti s lijevo.

Stoga, da biste pronašli rješenje jednadžbe, morate pronaći inverznu matricu i pomnožiti je s matricom na desnoj strani jednadžbe.

13. Kvadratni sustavi linearnih jednadžbi. Cramerovo pravilo.

Sustav od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica (ili linearni sustav) u linearnoj algebri je sustav jednadžbi oblika

Cramerova metoda (Cramerovo pravilo) je metoda za rješavanje kvadratnih sustava linearnih algebarskih jednadžbi s različitom od nule determinantom glavne matrice (i za takve jednadžbe postoji jedinstveno rješenje). Nazvana po Gabrielu Crameru (1704. – 1752.), koji je izumio metodu.

Za sustav od n linearnih jednadžbi s n nepoznanica (nad proizvoljnim poljem)

s determinantom matrice sustava Δ različitom od nule, rješenje je zapisano u obliku

(i-ti stupac matrice sustava zamijenjen je stupcem slobodnih članova).

U drugom obliku, Cramerovo pravilo je formulirano na sljedeći način: za bilo koje koeficijente c 1, c 2, ..., c n vrijedi sljedeća jednakost:

Sustav linearnih jednadžbi:

§6. Svojstva determinanti

§7. inverzna matrica

Nesingularne i singularne matrice

inverzna matrica

Potreban i dovoljan uvjet za postojanje inverzne matrice

Algoritam za izračunavanje inverzne matrice pomoću formule

Izračunavanje inverzne matrice pomoću elementarnih transformacija

§ 6. Svojstva determinanti

1. Ako je bilo koji redak (stupac) matrice jednak nuli, tada je njegova determinanta jednaka nuli.

Korolar 1. Ako kvadratna matrica sadrži dva identična retka (stupca), tada je njena determinanta nula.

Korolar 2. Ako su elementi dva retka (stupca) matrice proporcionalni, tada je njezina determinanta jednaka nuli.

2. Ako se svi elementi bilo kojeg retka (stupca) matrice pomnože s brojem, njezina determinanta bit će pomnožena s tim brojem.

Komentar. Predznak determinante može se uzeti kao zajednički faktor svakog retka (stupca), za razliku od matrice, čiji se predznak može uzeti samo kao zajednički faktor svih elemenata.

3. Kada se matrica transponira, njena se determinanta ne mijenja.

4. Kada se dva retka (stupca) matrice zamijene, njena determinanta mijenja predznak u suprotan.

5. Determinanta matrice se ne mijenja ako se bilo kojem retku (stupcu) doda još jedan redak (stupac) pomnožen brojem.

6. Determinanta umnoška dviju kvadratnih matrica jednaka je umnošku njihovih determinanti, tj.

Komentar. Čak A∙U ≠ U∙A, .

Dakle, koristeći svojstva determinanti, možemo svesti bilo koju determinantu na trokutasti oblik. Pogledajmo ovaj proces na primjeru.

Primjer. Izračunaj odrednicu

Riješenje.

§ 7. inverzna matrica

Za svaki broj A¹ 0 postoji inverzni broj A–1 takav da A· A–1 = 1. Za kvadratne matrice uvodi se sličan koncept.

Razmotrimo kvadratnu matricu

.

Kvadratna matrica A nazvao nedegeneriran, ako je njegova determinanta različita od nule, i degenerirati ako je njegova determinanta nula.

Kvadratna matrica A–1 se zove obrnuti za kvadratnu matricu A, ako je njihov umnožak i s lijeve i s desne strane jednak matrici identiteta:

A · A –1 = A-1 · A = E.

Za razliku od brojeva, nema svaka kvadratna matrica inverznu.

Teorem (potreban i dovoljan uvjet za postojanje inverzne matrice). Da bi matrica A imala inverz, potrebno je i dovoljno da ona bude nedegenerirana.

Neka postoji kvadratna matrica n-tog reda

Matrica A -1 se zove inverzna matrica u odnosu na matricu A, ako je A*A -1 = E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda.

Matrica identiteta- takva kvadratna matrica u kojoj su svi elementi duž glavne dijagonale, koja prolazi od gornjeg lijevog kuta do donjeg desnog kuta, jedinice, a ostali su nule, na primjer:

inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice oni. za one matrice u kojima se broj redaka i stupaca podudara.

Teorem za uvjet postojanja inverzne matrice

Da bi matrica imala inverznu matricu, potrebno je i dovoljno da ona bude nesingularna.

Matrica A = (A1, A2,...A n) se zove nedegeneriran, ako su vektori stupaca linearno neovisni. Broj linearno nezavisnih vektora stupaca matrice naziva se rang matrice. Dakle, možemo reći da je za postojanje inverzne matrice neophodno i dovoljno da rang matrice bude jednak njenoj dimenziji, tj. r = n.

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice

1. Upišite matricu A u tablicu za rješavanje sustava jednadžbi Gaussovom metodom i pripišite joj matricu E s desne strane (mjesto desnih strana jednadžbi).
2. Koristeći Jordanove transformacije, reducirajte matricu A na matricu koja se sastoji od jediničnih stupaca; u ovom slučaju potrebno je istovremeno transformirati matricu E.
3. Ako je potrebno, preuredite retke (jednadžbe) posljednje tablice tako da ispod matrice A originalne tablice dobijete matricu identiteta E.
4. Zapišite inverznu matricu A -1 koja se nalazi u posljednjoj tablici ispod matrice E izvorne tablice.

Primjer 1

Za matricu A pronađite inverznu matricu A -1

Rješenje: Napišemo matricu A, a desnoj strani pridružujemo matricu identiteta E. Jordanovim transformacijama reduciramo matricu A na matricu identiteta E. Izračuni su dati u tablici 31.1.

Provjerimo ispravnost izračuna množenjem izvorne matrice A i inverzne matrice A -1.

Kao rezultat množenja matrica, dobivena je matrica identiteta. Stoga su izračuni izvedeni ispravno.

Odgovor:

Rješavanje matričnih jednadžbi

Matrične jednadžbe mogu izgledati ovako:

AX = B, HA = B, AXB = C,

gdje su A, B, C navedene matrice, X je željena matrica.

Matrične jednadžbe rješavaju se množenjem jednadžbe inverznim matricama.

Na primjer, da biste pronašli matricu iz jednadžbe, morate ovu jednadžbu pomnožiti s lijevo.

Stoga, da biste pronašli rješenje jednadžbe, morate pronaći inverznu matricu i pomnožiti je s matricom na desnoj strani jednadžbe.

Slično se rješavaju i ostale jednadžbe.

Primjer 2

Riješite jednadžbu AX = B ako

Riješenje: Budući da je inverzna matrica jednaka (vidi primjer 1)

Matrična metoda u ekonomskoj analizi

Uz ostale koriste se i oni matrične metode. Ove se metode temelje na linearnoj i vektorsko-matričnoj algebri. Takve se metode koriste za potrebe analize složenih i višedimenzionalnih ekonomskih pojava. Najčešće se ove metode koriste kada je potrebno napraviti usporednu procjenu funkcioniranja organizacija i njihovih strukturnih odjela.

U procesu primjene metoda matrične analize može se razlikovati nekoliko faza.

U prvoj fazi formira se sustav ekonomskih pokazatelja i na temelju njega se sastavlja matrica početnih podataka, koja je tablica u kojoj su u pojedinim redovima prikazani brojevi sustava (i = 1,2,....,n), au okomitim stupcima - brojevi pokazatelja (j = 1,2,....,m).

U drugoj fazi Za svaki okomiti stupac identificira se najveća od dostupnih vrijednosti indikatora, koja se uzima kao jedna.

Nakon toga se svi iznosi prikazani u ovom stupcu dijele s najvećom vrijednošću i formira se matrica standardiziranih koeficijenata.

U trećoj fazi sve komponente matrice su kvadrirane. Ako imaju različit značaj, tada se svakom pokazatelju matrice dodjeljuje određeni težinski koeficijent k. Vrijednost potonjeg utvrđuje se vještačenjem.

Na posljednjem, četvrta faza pronađene vrijednosti ocjene Rj grupirani su prema njihovom rastu ili smanjenju.

Navedene matrične metode treba koristiti, primjerice, u komparativnoj analizi različitih investicijskih projekata, kao iu procjeni drugih ekonomskih pokazatelja aktivnosti organizacija.

Zbrajanje matrice.

Dodatna svojstva:

· A + B = B + A.

· (A + B) + C = A + (B + C).

Množenje matrice brojem.

· k(A + B) = kA + kB.

· (k + m)A = kA + mA.

Množenje matrice.

Inverzna matrica.

Svojstva determinanti

4. Teorem o supstituciji.

5. Teorem poništavanja.

dodaci ovim elementima

gdje je i= ,

Transponiranje matrica.

Transponirana matrica
A T[ ja, j] = A[j, ja].
Na primjer,

I

Cilindrične površine.

Ploha nastala kretanjem pravca L, koji se giba u prostoru, zadržavajući konstantan smjer i sijekući svaki put određenu krivulju K, naziva se cilindrična ploha ili cilindar; krivulja K je vodilica valjka, a L je njegov generator.

Eliptični cilindar

Eliptična jednadžba:

Poseban slučaj eliptični cilindar je kružni cilindar, njegova jednadžba je x 2 + y 2 = R 2 . Jednadžba x 2 =2pz definira u prostoru parabolični cilindar.

Jednadžba: definira u prostoru hiperbolički cilindar.

Sve te površine nazivaju se cilindri drugog reda, budući da su njihove jednadžbe jednadžbe drugog stupnja s obzirom na trenutne koordinate x, y, z.

62. Elipsoidi.

Ispitajmo površinu definiranu jednadžbom:

Promotrimo presjeke površine s ravninama paralelnim s ravninom xOy. Jednadžbe takvih ravnina: z=h, gdje je h bilo koji broj. Linija dobivena u presjeku određena je s dvije jednadžbe:

Ispitajmo površinu:

I ako Da Linija presjeka plohe sa z=h ravninama ne postoji.

B) ako , linija presjeka degenerira u dvije točke (0,0,c) i (0,0,-c). Ravnina z = c, z = - c dodiruje zadanu plohu.

B) ako , tada se jednadžbe mogu prepisati kao:
, kao što se vidi, presječna linija je elipsa s poluosima a1 = , b1 = . U ovom slučaju, što je manji h, veće su poluosi. Pri n=0 postižu svoje najveće vrijednosti: a1=a, b1=b. Jednadžbe će imati oblik:

Razmotreni presjeci omogućuju prikaz površine kao zatvorene ovalne površine. Ploha se naziva elipsoid.Ako su neke poluosi jednake, troosni elipsoid prelazi u elipsoid rotacije, a ako je a=b=c onda u sferu.

Hiperboloidi.

1. Ispitajte površinu . Sjecanjem plohe s ravninom z=h dobivamo presječnu liniju čije jednadžbe imaju oblik

z=h. ili z=hpoluos: a1= b1=

poluosi postižu svoju minimalnu vrijednost pri h=0: a1=a, b1=b. Kako se h povećava, poluosi elipse će se povećavati. => x=0.

Analiza ovih presjeka pokazuje da površina određena jednadžbom ima oblik beskonačne cijevi koja se širi. Površina se zove jednolistni hiperboloid.

2. - jednadžba površine.

I - površina koja se sastoji od 2 šupljine u obliku konveksnih neograničenih zdjela. Površina se zove dvolistni hiperboloid.

64. paraboloidi.

.
-Ovaj eliptični paraboloid.

Kanonička jednadžba: (p>0, q>0).

p = q je paraboloid rotacije oko osi Oz.

Odsjeci eliptičkog paraboloida ravninama su ili elipsa, parabola ili točka.

2.
- hiperbolički paraboloid.

Odsječci hiperboličkog paraboloida ravninama su ili hiperbola, parabola ili par ravnih linija (pravocrtni generatori).

65. Kanonske plohe.

Kanonička jednadžba:

a = b - stožac rotacije (ravna kružnica)
Odsjeci stošca ravninama: u ravnini koja siječe sve pravocrtne generatrise - elipsa; u ravnini paralelnoj s jednom pravocrtnom generatrisom - parabolom; u ravnini paralelnoj s dvjema pravocrtnim generatorima - hiperbola; u ravnini koja prolazi vrhom stošca – par linija koje se sijeku ili točka (vrh).

66. Funkcija. Osnovni koncepti. Načini postavljanja.

Funkcija je zakon prema kojem se broju x iz zadanog skupa X pridružuje samo jedan broj y, zapisan , dok se x naziva argumentom funkcije, y

naziva vrijednost funkcije.

1. Analitička metoda.

2. Grafička metoda.

3. Verbalna metoda.

4. Tabelarna metoda.

Teorem usporedbe.

u teoriji diferencijalnih jednadžbi, teorem koji govori o prisutnosti određenog svojstva rješenja diferencijalne jednadžbe (ili sustava diferencijalnih jednadžbi) pod pretpostavkom da pomoćna jednadžba ili nejednadžba (sustav diferencijalnih jednadžbi ili nejednadžbi) ima neko svojstvo.

1) Sturmov teorem: svako netrivijalno rješenje jednadžbe nestaje na intervalu najviše m puta ako jednadžba i za ima ovo svojstvo.

2) Diferencijalna nejednakost: rješenje problema je komponentno nenegativno ako rješenje problema ima to svojstvo i ako su nejednakosti zadovoljene

Prva je prekrasna granica.

Kod izračunavanja limita izraza koji sadrže trigonometrijske funkcije često se koristi limit nazvao prva izvanredna granica.

Ona glasi: granica omjera sinusa i njegovog argumenta jednaka je jedinici kada argument teži nuli.

Dokaz:

Uzmimo kružnicu polumjera 1 i označimo radijansku mjeru kuta MOV s x. neka 0 , luk MV brojčano je jednak središnjem kutu x, . Očito, imamo. Na temelju odgovarajućih geometrijskih formula dobivamo . Podijelimo nejednakost s >0, dobivamo 1<

Jer , zatim na temelju kriterija (o limitu posredne funkcije) postojanja limita .

A ako x<0 => , gdje je –x>0 =>

83. Druga izvanredna granica.

Kao što je poznato, granica brojevnog niza
, ima granicu jednaku e. . 1.Neka . Svaka vrijednost x nalazi se između dva pozitivna cijela broja: , gdje je n=[x] cijeli broj od x. Slijedi da dakle
. Ako , To . Zato:
,

Na temelju postojanja ograničenja: . 2. Neka . Napravimo zamjenu –x=t, tada = . I nazvana druga izvanredna granica. Oni se široko koriste u izračunavanju granica. U analitičkim primjenama eksponencijalna funkcija s bazom e igra važnu ulogu. Funkcija naziva se eksponencijalni, koristi se i oznaka .

Dokaz.

(uzimajući u obzir da ako je Dx®0, tada je Du®0, budući da je u = g(x) kontinuirana funkcija)

Zatim . Teorem je dokazan.

Cauchyjev teorem

Cauchyjev teorem: Ako su funkcije f(x) i su kontinuirani na intervalu, diferencijabilni na intervalu (a,b) i Za , onda postoji barem jedna točka , tako da je jednakost
.

Matrice. Osnovni koncepti. Linearne operacije na matricama i njihova svojstva.

Matrica veličine m puta n skup je mn realnih (kompleksnih) brojeva ili elemenata druge strukture (polinoma, funkcija itd.), zapisanih u obliku pravokutne tablice, koja se sastoji od m redaka i n stupaca i uzetih u okrugle ili pravokutne ili dvostruke ravne zagrade. U ovom slučaju, sami brojevi se nazivaju elementima matrice i svaki element je povezan s dva broja - brojem retka i brojem stupca.

Matrica čiji su svi elementi nula naziva se nulta matrica

Matrica veličine n puta n naziva se kvadratna matrica n-tog reda, tj. broj redaka je jednak broju stupaca.

Kvadratna matrica se zove dijagonalna ako su svi njeni nedijagonalni elementi nula.

Dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni elementi jednaki 1 naziva se matrica identiteta.
Zbrajanje matrice.

Dodatna svojstva:

· A + B = B + A.

· (A + B) + C = A + (B + C).

· Ako je O nulta matrica, tada je A + O = O + A = A

Napomena 1. Valjanost ovih svojstava proizlazi iz definicije operacije zbrajanja matrica.

Opaska 2. Napominjemo još jednom da se mogu zbrajati samo matrice iste dimenzije.

Množenje matrice brojem.

Svojstva množenja matrice brojem

· k(A + B) = kA + kB.

· (k + m)A = kA + mA.

Napomena 1. Valjanost svojstava proizlazi iz definicija 3.4 i 3.5.

Napomena 2. Razliku matrica A i B nazovimo matricom C za koju je C+B=A, tj. C=A+(-1)B.
Množenje matrice.

Za množenje matrice matricom također su potrebni određeni uvjeti za dimenzije faktora, a to su: broj stupaca prvog faktora mora biti jednak broju redaka drugog.

Za kvadratne matrice istog reda umnošci AB i BA postoje i imaju istu dimenziju, ali njihovi odgovarajući elementi općenito nisu jednaki.

Međutim, u nekim slučajevima produkti AB i BA se podudaraju

Inverzna matrica.

Kvadratna matrica A naziva se singularnom ako je ∆A=0, a nesingularnom ako je ∆A≠0

Kvadratna matrica B naziva se inverzom kvadratne matrice A istog reda ako je AB = BA = E. U ovom slučaju B je označen

Za postojanje inverzne matrice potrebno je i dovoljno da izvorna matrica bude nesingularna.

2. Matrična determinanta. Svojstva determinanti.

Determinanta (ili determinanta) jedan je od osnovnih pojmova linearne algebre. Determinanta matrice je polinom elemenata kvadratne matrice (to jest one u kojoj je broj redaka i stupaca jednak). Općenito, matrica se može definirati nad bilo kojim komutativnim prstenom, u kojem će slučaju determinanta biti element istog prstena. (∆A)

Svojstva determinanti

· Determinanta je koso-simetrična polilinearna funkcija redaka (stupaca) matrice. Multilinearnost znači da je determinanta linearna po svim recima (stupcima): , gdje su itd. redovi matrice, je determinanta takve matrice.

· Kada bilo kojem retku (stupcu) dodate linearnu kombinaciju drugih redaka (stupaca), determinanta se neće promijeniti.

· Ako se dva retka (stupca) matrice podudaraju, tada je njena determinanta jednaka nuli.

· Ako su dva (ili više) retka (stupca) matrice linearno ovisna, tada je njezina determinanta jednaka nuli.

· Ako presložite dva retka (stupca) matrice, tada se njena determinanta množi s (-1).

· Zajednički faktor elemenata bilo kojeg niza determinante može se izbaciti iz predznaka determinante.

· Ako je barem jedan redak (stupac) matrice nula, tada je determinanta jednaka nuli.

· Zbroj umnožaka svih elemenata bilo kojeg retka s njihovim algebarskim komplementima jednak je determinanti.

· Zbroj umnožaka svih elemenata bilo kojeg niza s algebarskim komplementima odgovarajućih elemenata paralelnog niza jednak je nuli.

· Determinanta umnoška kvadratnih matrica istog reda jednaka je umnošku njihovih determinanti (vidi i Binet-Cauchyjevu formulu).

· Koristeći indeksnu notaciju, determinanta matrice 3x3 može se odrediti korištenjem Levi-Civita simbola iz relacije:

3. Minori i algebarski komplementi.

Minor elementa matrice n-tog reda je determinanta matrice (n-1) reda dobivena iz matrice A brisanjem i-tog retka i j-tog stupca.

Pri ispisivanju determinante (n-1) reda u izvornoj determinanti ne uzimaju se u obzir elementi koji se nalaze ispod crta.
Algebarski komplement Aij elementa aij matrice n-tog reda je njegov minor, uzet sa predznakom, ovisno o broju retka i broju stupca: to jest, algebarski komplement se podudara s minorom kada je zbroj retka i Brojevi stupaca su paran broj, a razlikuju se od minora po predznaku, kada je zbroj brojeva redaka i stupaca neparan broj.

4. Teorem o supstituciji.

Zbrojevi umnožaka proizvoljnih brojeva bi ,b2,...,b s algebarskim komplementima elemenata bilo kojeg stupca ili retka matrice reda n jednaki su determinanti matrice koja se iz ovoga dobiva na zamjenjujući elemente ovog stupca (reda) brojevima b1,b2,...,bn.

5. Teorem poništavanja.

Zbroj umnožaka elemenata jednog od stupaca (redova) matrice s odgovarajućim algebarskim komplementima elemenata drugog stupca (reda) jednak je nuli.

6. Neke metode za izračunavanje determinanti.

Teorem (Laplace). Determinanta matrice reda N = zbroj umnoška svih minora k-tog reda, koji se može sastaviti od proizvoljno odabranih k paralelnih nizova i algebarskih komplemenata tih minora

Teorem (o rastavljanju determinante na elemente niza). Kvalifikator kv. matrica = zbroj umnožaka elemenata određenog niza i algebar

dodaci ovim elementima

7. Množenje matrice. Svojstva množenja.

Operacija množenja dviju matrica uvodi se samo za slučaj kada je broj stupaca prve matrice jednak broju redaka druge matrice.

Umnožak matrice A m * n = (a i , g) s matricom B n * p = (b i , k) je matrica Cm * p = (s i , k) takva da je: ,

gdje je i= , , tj. element i-tog i k-tog stupca matrice umnoška C jednak je zbroju umnožaka elemenata i-tog retka matrice A s odgovarajućim elementima k-tog stupca matrice B. .

Matrice A, n*m i B, m*n, tzv. ugovoren. (ako je A konzistentan s B, to ne znači da je B konzistentan s A).

Značenje dosljednosti je da broj stupaca 1. matrice odgovara broju redaka 2. matrice. Za uparene matrice može se definirati operacija množenja.

Ako su matrice A i B kvadratne i iste veličine, tada A*B i B*A uvijek postoje. Transpozicija je promjena svih elemenata stupca u odgovarajuće elemente retka. Ako je A T =A, tada se poziva matrica A. simetričan (mora biti kvadrat).

Transponiranje matrica.

Transponirana matrica- matrica dobivena iz izvorne matrice zamjenom redaka stupcima.
Formalno, transponirana matrica za matricu veličine je matrica veličine, definirana kao A T[ ja, j] = A[j, ja].
Na primjer,

I

Inverzna matrica. Potreban i dovoljan uvjet za postojanje inverzne matrice. Nalaženje inverzne matrice.

Neka postoji matrica A - nesingularna.

A -1 , A -1 *A=A*A -1 =E, gdje je E matrica identiteta. A -1 ima iste dimenzije kao A.

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice:

1. Umjesto svakog elementa matrice a ij pišemo njegov algebarski komplement.

A* je matrica unije.

2. transponirati dobivenu unijsku matricu. A * T

3. Podijelite svaki element unijske matrice s determinantom matrice A.

A -1 = A *T

Teorem: (o poništavanju determinante):
zbroj umnožaka elemenata određenog niza determinante s algebarskim komplementom na elemente drugog paralelnog niza uvijek je jednak nuli.

10. Matrični prikaz sustava linearnih jednadžbi i njegovih rješenja.

Matrice omogućuju da se ukratko zapiše sustav linearnih jednadžbi. Neka je dan sustav od 3 jednadžbe s tri nepoznanice:

Razmotrite matricu sustava i matrice stupaca nepoznatih i slobodnih članova

Nađimo posao

oni. kao rezultat umnoška dobivamo lijeve strane jednadžbi ovog sustava. Tada se pomoću definicije jednakosti matrica ovaj sustav može napisati u obliku

ili kraće A∙X=B.

Ovdje su matrice A I B su poznati, a matrica x nepoznato. Potrebno ga je pronaći, jer... njegovi elementi su rješenje ovog sustava. Ova se jednadžba zove matrična jednadžba.

Neka je determinanta matrice različita od nule | A| ≠ 0. Tada se matrična jednadžba rješava na sljedeći način. Pomnožite obje strane jednadžbe s lijeve strane s matricom A-1, inverz matrice A: . Jer A -1 A = E I E∙X = X, tada dobivamo rješenje matrične jednadžbe u obliku X = A -1 B.

Imajte na umu da budući da se inverzna matrica može pronaći samo za kvadratne matrice, matrična metoda može riješiti samo one sustave u kojima broj jednadžbi poklapa se s brojem nepoznanica. Međutim, matrični zapis sustava moguć je iu slučaju kada broj jednadžbi nije jednak broju nepoznanica, tada matrica A neće biti kvadratna i stoga je nemoguće pronaći rješenje sustava u obliku X = A -1 B.

11. Rješenje nedegeneriranih linearnih sustava, Cramerove formule.

Uobičajeno je pisati SLAE u matričnom obliku, kada same nepoznanice nisu naznačene, već samo matrica sustava A i stupac slobodnih članova B.

Rješavanje nedegeneriranih SLAE pomoću Cramerove metode:

A -1 =

X1= (A 11 b 1 + A 21 b 2 + …+A n 1 b n)

Teorem: (Cramer):
rješenje nedegeneriranih jednadžbi AX=B, može se napisati ovako:

, Ak se dobiva iz A zamjenom k-tog stupca sa stupcem slobodnog člana B.

12. Rang matrice. Svojstva ranga matrice. Izračunavanje ranga matrice pomoću elementarnih transformacija.

Najveći broj linearno ovisnih redaka matrice A naziva se. rang matrice i oznaka r(a). Najveći od manjih redova date matrice osim 0 se zove rang matrice.

Svojstva:

1) kod transponiranja rang=const.

2) ako prekrižite nulti red, tada rang=const;

3)rang=trošak, uz elementarne transformacije.

3) za izračunavanje ranga pomoću elementa, transformirajte matricu A u matricu B, čiji se rang lako pronalazi.

4) rang matričnog trokuta = broj različitih elemenata koji se nalaze na glavnim dijagonalama.

Metode za pronalaženje ranga matrice:

1) metoda graničenja minora

2) metoda elementarnih transformacija

Metoda graničnih maloljetnika:

Metoda obrubljivanja minora omogućuje vam algoritmiziranje procesa pronalaženja matrice ranga i omogućuje smanjenje broja izračuna minora.

1) ako matrica ima sve nulte elemente, tada je rang = 0

2) ako postoji barem jedan element različit od nule => r(a)>0

Sada ćemo omeđiti sporednu M1, t.j. konstruirat ćemo sve moguće minore 2. reda, ktr. sadržavati i-ti redak i j-ti stupac dok ne pronađemo minor različit od nule 2. reda.

Proces će se nastaviti sve dok se ne dogodi jedan od sljedećih događaja:
1. Veličina minora će doseći broj k.

2. u nekoj će fazi svi obrubljeni minori biti = 0.

U oba slučaja, veličina matrice ranga bit će jednaka redu većeg minora koji nije nula.

Osnovna metoda transformacije:
Kao što je poznato, koncept trokutaste matrice definiran je samo za kvadratne matrice. Za pravokutne matrice analogan je koncept trapezoidne matrice.

Na primjer:
rang = 2.