Кроме характеристик положения – средних, типичных значений случайной величины, - употребляется еще ряд характеристик, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения. В качестве таких характеристик чаще всего применяются так называемые моменты.

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статические моменты, моменты инерции и т.д.). Совершенно теми же приемами пользуются в теории вероятностей для описания основных свойств распределения случайной величины. Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные.

Начальным моментом s-го порядка прерывной случайной величины называется сумма вида:

. (5.7.1)

Очевидно, это определение совпадает с определением начального момента порядка s в механике, если на оси абсцисс в точках сосредоточены массы .

Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом s-го порядка называется интеграл

. (5.7.2)

Нетрудно убедиться, что введенная в предыдущем n° основная характеристика положения – математическое ожидание – представляет собой не что иное, как первый начальный момент случайной величины .

Пользуясь знаком математического ожидания, можно объединить две формулы (5.7.1) и (5.7.2) в одну. Действительно, формулы (5.7.1) и (5.7.2) по структуре полностью аналогичны формулам (5.6.1) и (5.6.2), с той разницей, что в них вместо и стоят, соответственно, и . Поэтому можно написать общее определение начального момента -го порядка, справедливое как для прерывных, так и для непрерывных величин:

, (5.7.3)

т.е. начальным моментом -го порядка случайной величины называется математическое ожидание -й степени этой случайной величины.

Перед тем, как дать определение центрального момента, введем новое понятие «центрированной случайной величины».

Пусть имеется случайная величина с математическим ожиданием . Центрированной случайной величиной, соответствующей величине , называется отклонение случайной величины от её математического ожидания:

Условимся в дальнейшем везде обозначать центрированную случайную величину, соответствующую данной случайной величине, той же буквой со значком наверху.

Нетрудно убедиться, что математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю. Действительно, для прерывной величины

аналогично и для непрерывной величины.

Центрирование случайной величины, очевидно, равносильно переносу начала координат в среднюю, «центральную» точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию.

Моменты центрированной случайной величины носят название центральных моментов. Они аналогичны моментам относительно центра тяжести в механике.

Таким образом, центральным моментом порядка s случайной величины называется математическое ожидание -й степени соответствующей центрированной случайной величины:

, (5.7.6)

а для непрерывной – интегралом

. (5.7.8)

В дальнейшем в тех случаях, когда не возникает сомнений, к какой случайной величине относится данный момент, мы будем для краткости вместо и писать просто и .

Очевидно, для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю:

, (5.7.9)

так как математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю.

Выведем соотношения, связывающие центральные и начальные моменты различных порядков. Вывод мы проведем только для прерывных величин; легко убедится, что точно те же соотношения справедливы и для непрерывных величин, если заменить конечные суммы интегралами, а вероятности – элементами вероятности.

Рассмотрим второй центральный момент:

Аналогично для третьего центрального момента получим:

Выражения для и т.д. могут быть получены аналогичным путем.

Таким образом, для центральных моментов любой случайной величины справедливы формулы:

(5.7.10)

Вообще говоря, моменты могут рассматриваться не только относительно начала координат (начальные моменты) или математического ожидания (центральные моменты), но и относительно произвольной точки :

. (5.7.11)

Однако центральные моменты имеют перед всеми другими преимущество: первый центральный момент, как мы видели, всегда равен нулю, а следующий за ним, второй центральный момент при этой системе отсчета имеет минимальное значение. Докажем это. Для прерывной случайной величины при формула (5.7.11) имеет вид:

. (5.7.12)

Преобразуем это выражение:

Очевидно, эта величина достигает своего минимума, когда , т.е. когда момент берется относительно точки .

Из всех моментов в качестве характеристик случайной величины чаще всего применяются первый начальный момент (математическое ожидание) и второй центральный момент .

Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины. Ввиду крайней важности этой характеристики среди других моментов введем для нее специальное обозначение :

Согласно определению центрального момента

, (5.7.13)

т.е. дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины.

Заменяя в выражении (5.7.13) величину её выражением, имеем также:

. (5.7.14)

Для непосредственного вычисления дисперсии служат формулы:

, (5.7.15)

(5.7.16)

Соответственно для прерывных и непрерывных величин.

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около её математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает «рассеивание».

Если обратиться к механической интерпретации распределения, то дисперсия представляет собой не что иное, как момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести (математического ожидания).

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины; для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратическим отклонением (иначе – «стандартом») случайной величины . Среднее квадратическое отклонение будем обозначать :

, (5.7.17)

Для упрощения записей мы часто будем пользоваться сокращенными обозначениями среднего квадратического отклонения и дисперсии: и . В случае, когда не возникает сомнения, к какой случайной величине относятся эти характеристики, мы будем иногда опускать значок х у и и писать просто и . Слова «среднее квадратическое отклонение» иногда будем сокращенно заменять буквами с.к.о.

На практике часто применяется формула, выражающая дисперсию случайной величины через её второй начальный момент (вторая из формул (5.7.10)). В новых обозначениях она будет иметь вид:

Математическое ожидание и дисперсия (или среднее квардратическое отклонение ) – наиболее часто применяемые характеристики случайной величины. Они характеризуют наиболее важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Для более подробного описания распределения применяются моменты высших порядков.

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (или «скошенности») распределения. Если распределение симметрично относительно математического ожидания (или, в механической интерпретации, масса распределена симметрично относительно центра тяжести), то все моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю. Действительно, в сумме

при симметричном относительно законе распределения и нечетном каждому положительному слагаемому соответствует равное ему по абсолютной величине отрицательное слагаемое, так что вся сумма равна нулю. То же, очевидно, справедливо и для интеграла

,

который равен нулю, как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции.

Естественно поэтому в качестве характеристики асимметрии распределения выбрать какой-либо из нечетных моментов. Простейший из них есть третий центральный момент. Он имеет размерность куба случайной величины: чтобы получить безразмерную характеристику, третий момент делят на куб среднего квадратического отклонения. Полученная величина носит название «коэффициент асимметрии» или просто «асимметрии»; мы обозначим её :

На рис. 5.7.1 показано два асимметричных распределения; одно из них (кривая I) имеет положительную асимметрию (); другое (кривая II) – отрицательную ().

Четвертый центральный момент служит для характеристики так называемой «крутости», т.е. островершинности или плосковершинности распределения. Эти свойства распределения описываются с помощью так называемого эксцесса. Эксцессом случайной величины называется величина

Число 3 вычитается из отношения потому, что для весьма важного и широко распространенного в природе нормального закона распределения (с которым мы подробно познакомимся в дальнейшем) . Таки образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю; кривые, более островершинные по сравнении с нормальной, обладают положительным эксцессом; кривые более плосковершинные – отрицательным эксцессом.

На рис. 5.7.2 представлены: нормальное распределение (кривая I), распределение с положительным эксцессом (кривая II) и распределение с отрицательным эксцессом (кривая III).

Кроме рассмотренных выше начальных и центральных моментов, на практике иногда применяются так называемые абсолютные моменты (начальные и центральные), определяемые формулами

Очевидно, абсолютные моменты четных порядков совпадают с обычными моментами.

Из абсолютных моментов наиболее часто применяется первый абсолютный центральный момент

, (5.7.21)

называемый средним арифметическим отклонением. Наряду с дисперсией и средним квадратическим отклонением среднее арифметическое отклонение иногда применяется как характеристика рассеивания.

Математическое ожидание, мода, медиана, начальные и центральные моменты и, в частности, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, асимметрия и эксцесс представляют собой наиболее употребительные числовые характеристики случайных величин. Во многих задачах практики полная характеристика случайной величины – закон распределения – или не нужна, или не может быть получена. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощь. Числовых характеристик, каждая из которых выражает какое-либо характерное свойство распределения.

Очень часто числовыми характеристиками пользуются для приближенной замены одного распределения другим, причем обычно стремятся произвести эту замену так, чтобы сохранились неизменными несколько важнейших моментов.

Пример 1. Производится один опыт, в результате которого может появиться или не появиться событие , вероятность которого равна . Рассматривается случайная величина – число появлений события (характеристическая случайная величина события ). Определить её характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение. Ряд распределения величины имеет вид:

где - вероятность непоявления события .

По формуле (5.6.1) находим математическое ожидание величины :

Дисперсию величины определяем по формуле (5.7.15):

(Предлагаем читателю получить тот же результат, выразив дисперсию через второй начальный момент).

Пример 2. Производится три независимых выстрела по мишени; вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. случайная величина – число попаданий. Определить характеристики величины – математическое ожидание, дисперсию, с.к.о., асимметрию.

Решение. Ряд распределения величины имеет вид:

Вычисляем числовые характеристики величины :

Заметим, что те же характеристики могли бы быть вычислены значительно проще с помощью теорем о числовых характеристиках функций (см. главу 10).

Определение. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Пример . Для рассмотренного выше примера находим.

Математическое ожидание случайной величины равно:

Возможные значения квадрата отклонения:

; ;

Дисперсия равна:

Однако, на практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, т.к. приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким вычислениям. Поэтому применяется другой способ.

Вычисление дисперсии

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания :

Доказательство. С учетом того, что математическое ожидание и квадрат математического ожидания – величины постоянные, можно записать:

Применим эту формулу для рассмотренного выше примера:

Свойства дисперсии

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю:

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

.

3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

Справедливость этого равенства вытекает из свойства 2.

Теорема. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и вероятность непоявления события в каждом испытании :

Пример. Завод выпускает 96% изделий первого сорта и 4% изделий второго сорта. Наугад выбирают 1000 изделий. Пусть Х – число изделий первого сорта в данной выборке. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Таким образом, закон распределения может считаться биноминальным.

Пример. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления этого события в каждом испытании равны и известно, что

Т.к. случайная величина Х распределена по биноминальному закону, то

Пример. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А , если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.

По формуле дисперсии биноминального закона получаем:

;

Пример. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно ; ; . Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.

Принимая за случайную величину число отказавших приборов, видим что эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4.

Для составления закона распределения этой случайной величины необходимо определить соответствующие вероятности. Примем .

1) Не отказал ни один прибор:

2) Отказал один из приборов.

Математическое ожидание показывает, вокруг какой точки группируются значения случайной величины. Необходимо также уметь измерить изменчивость случайной величины относительно математического ожидания. Выше показано, что M [(X - a ) 2 ] достигает минимума по а при а = М(Х). Поэтому за показатель изменчивости случайной величины естественно взять именно M [(X -М(Х)) 2 ].

Определение 5. Дисперсией случайной величины Х называется число

Установим ряд свойств дисперсии случайной величины, постоянно используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений.

Утверждение 8. Пусть Х – случайная величина, а и b – некоторые числа, Y = aX + b . Тогда D (Y ) = a 2 D (X ).

Как следует из утверждений 3 и 5, M (Y ) = aM (X ) + b . Следовательно, D (Y ) = M [(Y - M (Y )) 2 ] = M [(aX + b - aM (X ) - b ) 2 ] = M [ a 2 (X - M (X )) 2 ]. Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то M [ a 2 (X - M (X )) 2 ] = a 2 M [(X - M (X )) 2 ] = a 2 D (Х).

Утверждение 8 показывает, в частности, как меняется дисперсия результата наблюдений при изменении начала отсчета и единицы измерения. Оно дает правило преобразования расчетных формул при переходе к другим значениям параметров сдвига и масштаба.

Утверждение 9. Если случайные величины Х и У независимы, то дисперсия их суммы Х+У равна сумме дисперсий: D (X + Y ) = D (X ) + D (Y ).

Для доказательства воспользуемся тождеством

(Х + У – (М(Х)+М(У)) 2 = (Х–М(Х)) 2

+ 2(Х–М(Х))(У–М(У)) + (У–М(У)) 2 ,

которое вытекает из известной формулы элементарной алгебры (a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 при подстановке a = X - M (X ) и b = Y - M (Y ). Из утверждений 3 и 5 и определения дисперсии следует, что

D (X + Y ) = D (X ) + D (Y ) + 2 M {(Х–М(Х))(У–М(У))}.

Согласно утверждению 6 из независимости Х и У вытекает независимость Х -М (Х ) и У -М (У ). Из утверждения 7 следует, что

M {(Х–М(Х))(У–М(У))}= M (Х–М(Х))М(У–М(У)).

Поскольку M (Х–М(Х)) = 0 (см. утверждение 3), то правая часть последнего равенства равна 0, откуда с учетом двух предыдущих равенств и следует заключение утверждения 9.

Утверждение 10. Пусть X 1 , X 2 ,…, X k – попарно независимые случайные величины (т.е. X i и X j независимы, если ). Пусть Y k – их сумма, Y k = X 1 + X 2 +…+ X k . Тогда математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, М(Y k ) = М(X 1 )+ М(X 2 )+…+М(X k ), дисперсия суммы равна сумме дисперсий слагаемых, D (Y k ) = D (X 1 )+ D (X 2 )+…+ D (X k ).

Соотношения, сформулированные в утверждении 10, являются основными при изучении выборочных характеристик, поскольку результаты наблюдений или измерений, включенные в выборку, обычно рассматриваются в математической статистике, теории принятия решений и эконометрике как реализации независимых случайных величин.

Для любого набора числовых случайных величин (не только независимых) математическое ожидание их суммы равно сумме их математических ожиданий. Это утверждение является обобщением утверждения 5. Строгое доказательство легко проводится методом математической индукции.

При выводе формулы для дисперсии D (Y k ) воспользуемся следующим свойством символа суммирования:

Положим a i = X i – M (X i ), получим

Воспользуемся теперь тем, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий:

Как показано при доказательстве утверждения 9, из попарной независимости рассматриваемых случайных величин следует, что при . Следовательно, в сумме (8) остаются только члены с i = j , а они равны как раз D (X i ).

Полученные в утверждениях 8-10 фундаментальные свойства таких характеристик случайных величин, как математическое ожидание и дисперсия, постоянно используются практически во всех вероятностно-статистических моделях реальных явлений и процессов.

Пример 9. Рассмотрим событие А и случайную величину Х такую, что , если , и в противном случае, т.е. если . Покажем, что М(Х) = Р(А), D (X ) = P (A )(1 – P (A )).

Воспользуемся формулой (5) для математического ожидания. Случайная величина Х принимает два значения – 0 и 1, значение 1 с вероятностью Р(А) и значение 0 с вероятностью 1 – Р(А), а потому М(Х) = 1 х Р(А) + 0 х (1 - Р(А)) = Р(А). Аналогично (Х – М(Х)) 2 = (1 – Р(А)) 2 с вероятностью Р(А) и (Х – М(Х)) 2 = (0 – Р(А)) 2 с вероятностью 1 – Р(А) , а потому D (A ) = (1 – P (A )) 2 P (A ) + (P (A )) 2 (1 – P (A )) . Вынося общий множитель, получаем, что D (A ) = P (A )(1 – P (A )).

Пример 10. Рассмотрим k независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может наступить, а может и не наступить. Введем случайные величины X 1 , X 2 ,…, X k следующим образом: = 1, если в i -ом испытании событие А наступило, и = 0 в противном случае. Тогда случайные величины X 1 , X 2 ,…, X k попарно независимы (см. пример 7). Как показано в примере 9, M (X i ) = p , D (X i ) = p (1 – p ) , где p = P (A ). Иногда р называют «вероятностью успеха» - в случае, если наступление события А рассматривается как «успех».

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Для вычисления дисперсии можно использовать слегка преобразованную формулу

так как М(Х) , 2 и
– постоянные величины. Таким образом,

4.2.2. Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю. Действительно, по определению

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии с возведением его в квадрат.

Доказательство

Центрированной случайной величиной называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания:

Центрированная величина обладает двумя удобными для преобразования свойствами:

Свойство 3. Если случайные величины Х иY независимы, то

Доказательство . Обозначим
. Тогдаи.

Во втором слагаемом в силу независимости случайных величин и свойств центрированных случайных величин

Пример 4.5. Еслиa иb – постоянные, тоD(a Х+ b )= D (a Х)+ D (b )=
.

4.2.3. Среднее квадратическое отклонение

Дисперсия, как характеристика разброса случайной величины, имеет один недостаток. Если, например, Х – ошибка измерения имеет размерность ММ , то дисперсия имеет размерность
. Поэтому часто предпочитают пользоваться другой характеристикой разброса –средним квадратическим отклонением , которое равно корню квадратному из дисперсии

Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и сама случайная величина.

Пример 4.6. Дисперсия числа появления события в схеме независимых испытаний

Производится n независимых испытаний и вероятность появления события в каждом испытании равнар . Выразим, как и прежде, число появления событияХ через число появления события в отдельных опытах:

Так как опыты независимы, то и связанные с опытами случайные величины независимы. А в силу независимостиимеем

Но каждая из случайных величин имеет закон распределения (пример 3.2)

и
(пример 4.4). Поэтому, по определению дисперсии:

где q =1- p .

В итоге имеем
,

Среднее квадратическое отклонение числа появлений события в n независимых опытах равно
.

4.3. Моменты случайных величин

Помимо уже рассмотренных случайные величины имеют множество других числовых характеристик.

Начальным моментом k Х (
) называется математическое ожиданиеk -й степени этой случайной величины.

Центральным моментом k -го порядка случайной величиныХ называется математическое ожиданиеk -ой степени соответствующей центрированной величины.

Легко видеть, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю, центральный момент второго порядка равен дисперсии, так как .

Центральный момент третьего порядка дает представление об асимметрии распределения случайной величины. Моменты порядка выше второго употребляются сравнительно редко, поэтому мы ограничимся только самими понятиями о них.

4.4. Примеры нахождения законов распределения

Рассмотрим примеры нахождения законов распределения случайных величин и их числовых характеристик.

Пример 4.7.

Составить закон распределения числа попаданий в цель при трех выстрелах по мишени, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Найти интегральную функцию F (х) для полученного распределения дискретной случайной величиныХ и начертить ее график. Найти математическое ожиданиеM (X ) , дисперсиюD (X ) и среднее квадратическое отклонение
(Х ) случайной величиныX .

Решение

1) Дискретная случайная величина Х – число попаданий в цель при трех выстрелах – может принимать четыре значения:0, 1, 2, 3 . Вероятность того, что она примет каждое из них, найдем по формуле Бернулли при:n =3,p =0,4,q =1- p =0,6 иm =0, 1, 2, 3:

Получим вероятности возможных значений Х :;

Составим искомый закон распределения случайной величины Х :

Контроль: 0,216+0,432+0,288+0,064=1.

Построим многоугольник распределения полученной случайной величины Х . Для этого в прямоугольной системе координат отметим точки (0; 0,216), (1; 0,432), (2; 0,288), (3; 0,064). Соединим эти точки отрезками прямых, полученная ломаная и есть искомый многоугольник распределения (рис. 4.1).

2) Если х0, то F (х) =0. Действительно, значений, меньших нуля, величина Х не принимает. Следовательно, при всех х 0 , пользуясь определениемF (х) , получим F (х) =P (X < x ) =0 (как вероятность невозможного события).

Если 0, тоF (X ) =0,216. Действительно, в этом случаеF (х) =P (X < x ) = =P (- < X0)+ P (0< X < x ) =0,216+0=0,216.

Если взять, например, х =0,2, тоF (0,2)=P (X <0,2) . Но вероятность событияХ <0,2 равна 0,216, так как случайная величинаХ лишь в одном случае принимает значение меньшее 0,2, а именно0 с вероятностью 0,216.

Если 1, то

Действительно, Х может принять значение 0 с вероятностью 0,216 и значение 1 с вероятностью 0,432; следовательно, одно из этих значений, безразлично какое,Х может принять (по теореме сложения вероятностей несовместных событий) с вероятностью 0,648.

Если 2, то рассуждая аналогично, получимF (х) =0,216+0,432 + + 0,288=0,936. Действительно, пусть, например,х =3. ТогдаF (3)=P (X <3) выражает вероятность событияX <3 – стрелок сделает меньше трех попаданий, т.е. ноль, один или два. Применяя теорему сложения вероятностей, получим указанное значение функцииF (х) .

Если x >3, тоF (х) =0,216+0,432+0,288+0,064=1. Действительно, событиеX
является достоверным и вероятность его равна единице, аX >3 – невозможным. Учитывая, что

F (х) =P (X < x ) =P (X3) + P (3< X < x ) , получим указанный результат.

Итак, получена искомая интегральная функция распределения случайной величины Х:

F (x ) =

график которой изображен на рис. 4.2.

3) Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений всех возможных значений Х на их вероятности:

М(Х) =0=1,2.

То есть, в среднем происходит одно попадание в цель при трех выстрелах.

Дисперсию можно вычислить, исходя из определения дисперсии D (X )= M (X - M (X )) или воспользоваться формулойD (X )= M (X
, которая ведет к цели быстрее.

Напишем закон распределения случайной величины Х:

Найдем математическое ожидание для Х :

М(Х) = 04
= 2,16.

Вычислим искомую дисперсию:

D (X ) = M (X) – (M (X )) = 2,16 – (1,2)= 0,72.

Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле

(X ) =
= 0,848.

Интервал (M - ; M + ) = (1,2-0,85; 1,2+0,85) = (0,35; 2,05) – интервал наиболее вероятных значений случайной величиныХ , в него попадают значения 1 и 2.

Пример 4.8.

Дана дифференциальная функция распределения (функция плотности) непрерывной случайной величины Х :

f (x ) =

1) Определить постоянный параметр a .

2) Найти интегральную функцию F (x ) .

3) Построить графики функций f (x ) иF (x ) .

4) Найти двумя способами вероятности Р(0,5< X1,5) иP (1,5< X <3,5) .

5). Найти математическое ожидание М(Х) , дисперсиюD (Х) и среднее квадратическое отклонение
случайной величиныХ .

Решение

1) Дифференциальная функция по свойству f (x ) должна удовлетворять условию
.

Вычислим этот несобственный интеграл для данной функции f (x ) :

Подставляя этот результат в левую часть равенства, получим, что а =1. В условии дляf (x ) заменим параметра на 1:

2) Для нахождения F (x ) воспользуемся формулой

.

Если х
, то
, следовательно,

Если 1
то

Если x>2, то

Итак, искомая интегральная функция F (x ) имеет вид:

3) Построим графики функций f (x ) иF (x ) (рис. 4.3 и 4.4).

4) Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (а, b ) вычисляется по формуле
, если известнафункция f (x ), и по формуле P (a < X < b ) = F (b ) – F (a ), если известна функция F (x ).

Найдем
по двум формулам и сравним результаты. По условиюа=0,5; b =1,5; функцияf (X ) задана в пункте 1). Следовательно, искомая вероятность по формуле равна:

Та же вероятность может быть вычислена по формуле b) через приращение полученной в п.2). интегральной функцииF (x ) на этом интервале:

Так какF (0,5)=0.

Аналогично находим

так как F (3,5)=1.

5) Для нахождения математического ожидания М(Х) воспользуемся формулой
Функцияf (x ) задана в решении пункта 1), она равна нулю вне интервала (1,2]:

Дисперсия непрерывной случайной величиныD (Х) определяется равенством

, или равносильным равенством

.

ДлянахожденияD (X ) воспользуемся последней формулой и учтем, что все возможные значенияf (x ) принадлежат интервалу (1,2]:

Среднее квадратическое отклонение
=
=0,276.

Интервал наиболее вероятных значений случайной величины Х равен

(М-
,М+
) = (1,58-0,28; 1,58+0,28) = (1,3; 1,86).

Математическое ожидание показывает, вокруг которой численной меры группируются значения случайной величины. Однако, необходимо также иметь возможность измерять изменчивость (вариативность) случайной величины относительно математического ожидания. Таким показателем изменчивости является математическое ожидание квадрата разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием, а именно M [(X - М [Х]) 2].

Определение. дисперсией случайной величины x называется число 14 DX] = M [(XM [X]) 2], (3.30)

или DX] = ± f (x t) o (*, - M [X]) 2.

На рис.3.26 приведены формулы для расчета распределения - статистической вероятности fx;) - а также показателей: математического ожидания М [Х] (ячейка Е9) и дисперсии D [X] (ячейка G9).

14 Предлагаем сравнить это определение с определением выборочной дисперсии

Рис. 3.26. Формулы расчета м [х] и 0 [Х] В таблице рис.3.27 показаны результаты расчета математического ожидания м [х] и дисперсии 0 [Х] по данным примера 3.14, а также гистограмму распределения м [х] = 4,00 (ячейка Е9) и дисперсия 0 [Х] = 1,00 (ячейка В9).

Математическое ожидание показывает, что значение случайной величины x группируются около значения 4,00, количество которых составляет 50% от общего количества. Однако, вокруг такого же значения могут группироваться и другие данные.

Рис. 3.27. Таблица и гистограмма распределения с А / [Х] = 4,00 и £> [Х] = 1,00

С рис.3.28 видно, что для математического ожиданиям [х] = 4,00 дисперсия £> [Х] = 2,32 является вдвое большей, чем по данным рис. 3.27. О значительной изменчивости свидетельствует и соответствующая гистограмма.

Рис. 3.28. Таблица и гистограмма распределения с М [Х] = 4,00 и £> [Х] = 2,32

Предлагаем сравнить таблицы и графики рис. 3.27 и 3.28 и сделать выводы. Свойства дисперсии случайной величины, которые постоянно используются в вероятностно статистические методы:

o если x - случайная величина, а и Ь - некоторые числа, В = ах + Ь, то

D = a 2 D [X] (3.31)

(это значит, что число а в качестве параметра масштаба существенно влияет на дисперсию, тогда как число b - параметр сдвига на значение дисперсии не влияет);

o если X 1, X 2, X n - попарно независимые случайные величины (то есть X t и X независимые для i Ф j), то дисперсия суммы равна сумме дисперсий

D = D + D + ... + D . (3.32)

Соотношение по математического ожидания (3.25) и дисперсии (3.32) имеют важное значение при изучении выборочных свойств, поскольку результаты выборочных наблюдений или измерений рассматриваются в математической статистике, как реализации независимых случайных величин.

С дисперсией случайной величины тесно связан еще один показатель изменчивости - стандартное отклонение.

Определение. Стандартным отклонением случайной величины x называется неотъемлемое число

SD [X] = + VD [X]. (3.33)

Итак, стандартное отклонениях однозначно связано с дисперсией.

В теории и практике статистических исследований также важную роль играют специальные функции - так называемые моменты (начальные и центральные), которые являются характеристиками случайных величин.

Определение. Исходным моментом k-то порядка случайной величины x называется математическое ожидание k-й степени этой величины:

~ K = M . 15 (3.34)

Определение. Центральным моментом k-то порядка случайной величины x называется математическое ожидание k-й степени отклонения этой величины x от его математического ожидания:

m = m k, где a = M [X].

Для обозначения мометнив случайных величин используем те же буквы, что и для мометнив вариационного ряда, но с дополнительным знаком ~ ("тильда").

Формулы для вычисления моментов дискретных (которые принимают значения Х и с вероятностью р) и непрерывных (с плотностью вероятности / х)) случайных

величин приведены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Формулы для вычисления моментов случайных величин

Как и для вариационных строк моменты дискретных случайных величин имеют аналогичный смысл:

Первый начальный момент (¿= 1) случайной величины Хе ее математическим ожиданием:

~ 1 = М [Х] = с. (3.36)

Второй центральный момент (¿= 2) определяет дисперсию 0 [Х] случайной величины x:

Ш г (хи - а) 2 г. и = ЦХ] = (Т 2. (3.37)

Третий центральный момент (¿= 3) характеризует асимметрию распределения случайной величины x:

п

Коэффициент асимметрии а распределения случайной величины x имеет вид:

Г = ~ X (хи "а) 3 Р и = А. (3.38)

Четвертый центральный момент (¿= 4) характеризует крутизну распределения случайной величины.

На основе сравнения значений теоретических и выборочных моментов выполняется оценивания параметров распределений случайных величин (см., Например, разделы 4 и 5).

Как отмечалось выше, в математической статистике используются два параллельных строки показателей: первый - имеет отношение к практике (это показатели выборки), второй - базируется на теории (это показатели вероятностной модели). Соотношение этих показателей представлены в табл. 3.5.

Таблица 3.5

Соотношение показателей эмпирической выборки и вероятностной модели

Таблица 3.5 продолжение

Итак, целью описательной статистики является превращение совокупности выборочных эмпирических данных на систему показателей - так называемых статистик, имеющие отношение к реально существующих объектов. Так, психологи, педагоги, другие специалисты работают в реальной сфере, объектами которой являются лица, группы лиц, коллективы, характеристиками для которых служат эмпирические показатели. Однако основная цель исследования - это получение нового знания, а знание существует в идеальной форме в виде характеристик теоретических моделей. Отсюда возникает проблема корректного перехода от эмпирических показателей реальных объектов к показателям теоретической модели. Этот переход требует анализа как общих методических подходов, так и строгих математических оснований. Принципиальную возможность здесь открывает закон больших чисел, теоретическое обоснование котором было предоставлено Якобом Бернулли (1654-1705), Пафнутием Львовичем Чебышевым (1821-1894) и другими математиками XIX в.

Вопрос. Задача.

1. Раскройте понятие случайной величины.

2. Чем отличаются дискретная и непрерывная случайные величины?

3. Из каких элементов состоит вероятностное пространство?

4. Как построить распределение дискретной случайной величины?

5. Как связаны между собой функция плотности Л (х) и функция распределения Б (х)?

6. Предоставьте геометрическую интерпретацию Интеграл Б (со) = | Л (х) сх = 1.