Seksionet: Matematika

Klasa: 10

Qëllimi i mësimit. Përgjithësimi, sistemimi dhe thellimi i njohurive për temën “Kuptimi gjeometrik i derivateve”.

Objektivat e mësimit.

  • Zhvilloni aftësinë për të zbatuar njohuritë teorike gjatë zgjidhjes së detyrave me kompleksitet të ndryshëm.
  • Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit
  • Zhvilloni aftësinë për të menaxhuar kohën e mësimit dhe për të vlerësuar aktivitetet tuaja mësimore.

Pajisjet: Tabela interaktive, prezantim, mjete vizatimi, shkumës, tekste, fletore. Të gjithë kanë një fjalëkryq në tavolinën e tyre.

Lloji i mësimit. Një mësim në sistemimin dhe thellimin e njohurive mbi temën (përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit.).

Gjatë orëve të mësimit

1. Përsëritje e materialit teorik. Zgjidhje fjalëkryq (Rrëshqitje - 3)

2. Përsëritni algoritmin për kompozimin e ekuacionit tangjent. (Rrëshqitje - 6.7)

Për të krijuar një ekuacion për tangjenten në grafikun e funksionit y=f(x) në pikën x 0, duhet të gjeni

2) y"(x0) =f"(x 0)

3) y(x0) =f(x 0)

4) Zëvendësoni numrat e gjetur në formulë

3. Zgjidhja e shembujve. Rishikimi nga kolegët. Vetëtestimi. Shkruani një ekuacion për tangjenten në grafikun e funksionit y=f(x) në pikën x 0.

a) , x 0 =1 (Rrëshqitje - 7,8)

b) y=-x 2 +4, x 0 =-1 (Rrëshqitje - 9,10)

c)y = x 3, x 0 = 1 (Rrëshqitje - 12-15)

d) x 0 =4 (Rrëshqitje - 16,17)

e) y = tgx në pikën x 0 =0 (Rrëshqitje - 20-22)

4. Zgjidhja e problemeve komplekse.

Lloji i dytë i ekuacionit tangjent. (Rrëshqitje - 23)

  • Shkruani ekuacionin e tangjentes në grafikun e funksionit y=f(x0), nëse tangjentja është paralele me drejtëzën y= kx+b.

Gjetja e algoritmit.

1. Të gjejmë derivatin e funksionit.

2. Meqenëse koeficienti këndor i tangjentes në grafikun e funksionit y= f(x0) është i barabartë me vlerën e derivatit të funksionit, d.m.th. k=f "(x0), atëherë gjejmë abshisën e pikës së tangjences duke zgjidhur ekuacionin f "(x0) = k.

3. Gjeni vlerën e funksionit në pikën x0.

4. Duke zëvendësuar vlerat e gjetura në formulë, marrim ekuacionin tangjent.

Lloji i tretë i ekuacionit tangjent. (Rrëshqitje - 27)

Shkruani ekuacionin e tangjentes në grafikun e funksionit y=f(x), nëse dihet se kjo tangjente kalon në pikën A(x 0 ,y 0).

Algoritmi i zgjidhjes.

  • Shkruani ekuacionin e tangjentes në grafikun e funksionit y=f(x), nëse dihet se kjo tangjente kalon në pikën A(x 0 ,y 0).

Y=(x-2) 2-1; A(3;-1) (Rrëshqitje - 28-30)

Lloji i katërt i ekuacionit tangjent. (Rrëshqitje - 31)

  • Shkruani një ekuacion për tangjenten e përbashkët me grafikët e funksioneve y= f(X) dhe y = g (x).

Algoritmi i zgjidhjes.

  1. Le të prezantojmë pikat e supozuara të tangjences x1 - për funksionin y= f(x) dhe x2 - për funksionin y= g(x).
  2. Le të gjejmë derivatet e këtyre funksioneve.
  3. Le të gjejmë vlerat e derivateve në këto pika f "(x1) dhe g" (x2).
  4. Le të gjejmë vlerat e funksioneve në këto pika y = f(x1) dhe y = g(x2).
  5. Le të hartojmë ekuacione tangjente për secilin funksion përkatësisht.
  6. Le të shkruajmë koeficientët këndorë k1, k2 dhe b1, b2.
    Meqenëse tangjentja është e përbashkët, koeficientët këndorë janë të barabartë dhe vlerat e b janë të barabarta. k1 = k2 dhe b1= b2
  7. Le të krijojmë një sistem ekuacionesh dhe ta zgjidhim atë, të gjejmë vlerat e x1 dhe x2
  8. Ne i zëvendësojmë vlerat e gjetura në ekuacionet e përgjithshme tangjente.
  9. Ekuacionet rezultuan të njëjta. Ne morëm ekuacionin e tangjentes së përbashkët me grafikët
  • Shkruani një ekuacion për tangjenten e përbashkët me grafikët e funksioneve y=f(x) dhe y= g(x).
    Y-(x-+2) 2 - 3 dhe y=x 2 (Rrëshqitje - 32-36)

Zgjidhja e detyrave në formatin e Provimit të Unifikuar të Shtetit (Slide - 37-40)

Plani i mësimit për klasën e 10-të

"Ekuacioni i një tangjente me grafikun e një funksioni"

Lloji i mësimit: Një mësim në prezantimin fillestar të njohurive të reja dhe formimin e aftësive fillestare lëndore, zotërimin e aftësive lëndore.

Detyra didaktike e mësimit: Sigurimi i ndërgjegjësimit dhe asimilimit të koncepteve, rregullave, algoritmeve; formimi i aftësive në zbatimin e parimeve teorike në kuadrin e zgjidhjes së problemeve arsimore.

Objektivat e mësimit: të tërheqë ekuacioni i një tangjente me një grafik të një funksioni, mësoni se si të ndërtoni një ekuacion të një tangjente për një funksion të caktuar në një pikë të caktuar.

Rezultatet e planifikuara:

ZUN. Studentët duhet

di: ekuacioni i tangjentes me grafikun e një funksioni në pikën x 0 ;

të jetë në gjendje: të hartojë një ekuacion për një tangjente me grafikun e një funksioni të caktuar në një pikë të caktuar.

zhvillimi i aftësisë për të hartuar një ekuacion për një tangjente me grafikun e një funksioni të caktuar në një pikë të caktuar.

Pajisjet: tabela, kompjuteri, projektori, ekrani, tekstet, fletoret e nxënësve, materialet për shkrim.

Mësues: Nesterova Svetlana Yurievna

Ç'kemi djema! A janë të gjithë gati për klasë? Mund të ulesh.

1 rrëshqitje. "Tangjente me grafikun e një funksioni"

Punë gojore që synon përgatitjen e studentëve për të perceptuar një temë të re (përsëritje e materialit të studiuar më parë)

10.01 – 10.03

Frontale

Punë gojore

Për të kuptuar plotësisht temën e mësimit të sotëm, duhet të kujtojmë atë që kemi studiuar më parë.

Pergjigju pyetjeve ne vazhdim.

2 rrëshqitje.

    Grafiku i cilit funksion është drejtëz?(lineare)

    Cili ekuacion përcakton një funksion linear?(y = k x + b )

    si quhet numri para "X »? ( pjerrësia e drejtpërdrejtë)

Në një mënyrë tjetër, ekuacioniy = k x + b quhet ekuacioni i drejtëzës me koeficient këndor.

3 rrëshqitje.

    Sa është pjerrësia e vijës?(tangjentja e këndit të prirjes së drejtëzës që formon kjo drejtëz me drejtimin pozitiv të boshtit Ox).

    Formuloni përkufizimin e një tangjente:(vija e drejtë që kalon nëpër pikën (x O ; f (X O )), me segmentin e të cilit praktikisht bashkohet grafiku i diferencueshëm në pikën x O funksione f për vlerat e x afër x O ).

4 rrëshqitje.

Nëse në pikën x o ekziston derivatore , Kjo ekziston tangjente (jo vertikale) në grafikun e funksionit në pikë x o .

5 rrëshqitje.

Nëse f ’ ( x 0 ) nuk ekziston, atëherë tangjentja është ose

    nuk ekziston (si funksioni y = |x|),

    ose vertikale (si grafiku y = 3 √x).

6 rrëshqitje.

Le të kujtojmë se cili mund të jetë pozicioni relativ i tangjentes me boshtin e abshisës?

Rritja e drejtpërdrejtë => pjerrësiak >0, tg> 0 => kënd akut.

Drejtë // Boshti OX => pjerrësik=0, tg= 0 => kënd = 0 0

Vija në rënie => pjerrësik <0, tg < 0 =>kënd i mpirë.

Rrëshqitja 7

Kuptimi gjeometrik i derivatit:

Pjerrësia e tangjentës është e barabartë me vlerën e derivatit të funksionit në pikën ku vizatohet tangjentja k = f `( x o ).

Mirë, bravo, përsëritja ka mbaruar.

Tema e mësimit. Vendosja e një qëllimi mësimor

10.03-10.05

Diskutim, bisedë

Plotësoni detyrën e mëposhtme:

Jepet një funksion y = x 3 . Shkruaj ekuacioni tangjent në grafikun e këtij funksioni në pikën x 0 = 1.

PROBLEM? Po. Si ta zgjidhim atë? Cilat janë opsionet tuaja? Ku mund të gjeni ndihmë për këtë problem? Në cilat burime? Por a është problemi i zgjidhshëm? Pra, cila mendoni se do të jetë tema e mësimit tonë?

Tema e mësimit të sotëm"Ekuacioni tangjent" .

Epo, tani formuloni qëllimet e mësimit tonë (FËMIJËT):

1. Nxjerr ekuacione për tangjenten në grafikun e funksionit në pikëX O .

2. Mësoni të shkruani një ekuacion tangjent për një funksion të caktuar.

Hapim fletoret, shënojmë numrin, “punën e klasës” dhe temën e mësimit në margjina.

Perceptimi primar dhe asimilimi i materialit të ri arsimor teorik

10.06- 10.12

Frontale

Kërkimi dhe hulumtimi

8 rrëshqitje.

Le ta zgjidhim këtë problem praktik. Unë shkruaj në tabelë - ju shikoni dhe arsyetoni me mua.

Jepet një funksion y = x 3 . Është e nevojshme të shkruhet ekuacioni i tangjentes në grafikun e këtij funksioni në pikën x 0 = 1.

Le të arsyetojmë: ekuacioni i një drejtëze me një koeficient këndi ka formën:y = k x + b .

Për ta shkruar atë, duhet të dimë kuptimink Dhe b .

Ne do të gjejmë k (nga kuptimi gjeometrik i derivatit):

k = f `( x o ) = f `(1) = 3 * 1 2 = 3, d.m.th. k = 3 .

Ekuacioni ynë merr formën: y= 3x + b .

Mbani mend: nëse një vijë kalon nëpër një pikë të caktuar, atëherë kur zëvendësoni koordinatat e kësaj pike në ekuacionin e vijës, duhet të merret barazia e saktë. Kjo do të thotë se ne duhet të gjejmë ordinatën e pikës - vlerën e funksionit në pikën x 0 = 1: f (1) =1 3 =1. Pika tangjente ka koordinata (1; 1).

Ne i zëvendësojmë vlerat e gjetura në ekuacionin e vijës së drejtë, marrim:

1 = 3 . 1+ b ; Do të thotë b = - 2 .

Le të zëvendësojmë vlerat e gjeturak = 3 Dhe b = - 2 në ekuacionin e një drejtëze:y = 3x - 2.

Problemi është zgjidhur.

Rrëshqitja 9

Tani le të zgjidhim të njëjtin problem në formë të përgjithshme.

Jepet një funksion y = f ( x ), është e nevojshme të shkruhet ekuacioni i tangjentes në grafikun e këtij funksioni në pikën x 0 .

Ne arsyetojmë sipas të njëjtës skemë: ekuacioni i një drejtëze me një koeficient këndi ka formën:y = k x + b .

Nga kuptimi gjeometrik i derivatit: k = f `( x o )=> y = f `( x o ) * x + b .

Vlera e funksionit në pikën x 0 po f ( x o ), kjo do të thotë se tangjentja kalon nëpër pikën me koordinata( X 0 ; f ( x o ))=> f ( x o )= f `( x o ) * x o + b .

Le të shprehemi nga ky procesverbal b : b = f ( x o ) - f `( x o ) * x o .

Le t'i zëvendësojmë të gjitha shprehjet në ekuacionin e drejtëzës:

y = f `( x o ) * x + b = f `( x o ) * x + f ( x o ) - f `( x o ) * x o = f `( x o ) * ( X - x o )+ f ( x o ).

KRAHASA ME LIBERIN MËSIMOR (fq. 131)

Ju lutemi gjeni hyrjen për ekuacionin tangjente në tekstin e tekstit dhe krahasojeni me atë që kemi marrë.

Regjistrimi është paksa i ndryshëm (nga çfarë?), por është i saktë.

Është zakon të shkruhet ekuacioni tangjent në formën e mëposhtme:

y = f ( x o ) + f `( x o )( X - x o )

Shkruani këtë formulë në fletoren tuaj dhe nënvizoni - duhet ta dini!

Rrëshqitja 9

Tani le të krijojmë një algoritëm për gjetjen e ekuacionit tangjent. Të gjitha "sugjerimet" janë në formulën tonë.

    Gjeni vlerën e një funksioni në një pikëX O

    Llogaritni derivatin e një funksioni

    Gjeni vlerën e derivatit të një funksioni në një pikëX O

    Zëvendësoni numrat që rezultojnë në formulë

y = f ( x o ) + f `( x o )( x – x o )

    Zvogëloni ekuacionin në formën standarde

Praktikimi i aftësive parësore

10.12-10.14

Frontale

Shkrim + diskutim i përbashkët

Si funksionon kjo formulë? Le të shohim një shembull. Shkruani shembullin në fletoren tuaj.

Shkruani ekuacionin e tangjentes me grafikun e funksionit f (x) = x 3 – 2x 2 + 1 në pikën me abshisë 2.

Nxjerrja e ekuacionit e realizojmë me shkrim në tabelë dhe në fletore.

Përgjigje: y = 4x – 7.

Puna me një burim informacioni

10.14-10.15

Individual

Lexim teksti, diskutim

Shikoni tekstin shkollor në f. 131, shembulli 2. Lexoni deri në paragrafin 3. Për çfarë është ky shembull? (mund të krijoni një ekuacion për një funksion të caktuar në formë të përgjithshme dhe më pas të gjeni ekuacionin tangjent për çdo vlerë të x 0 , dhe mund të gjeni gjithashtu pikën e kryqëzimit të tangjentës me parabolën standarde me boshtin Ox

Pauzë dinamike

10.15-10.16

Pushoni

Një moment pushimi.

Rrëshqitje – ushtrim për trupin, ushtrim për sytë.

Zbatimi i parimeve teorike në kushtet e kryerjes së ushtrimeve dhe zgjidhjes së problemeve

10.16- 10.30

Frontale, individuale

E shkruar (dërrasë + fletore)

Epo, tani le të zbresim në punën praktike, qëllimi i së cilës është të zhvillojë aftësinë e kompozimit të një ekuacioni tangjent.

Shkruani në tabelë numrat 255(a, b), 256(a, b).rezerva 257 (a, b),* .

* – një detyrë e nivelit tjetër të vështirësisë për nxënësit më të përgatitur: Në një parabolë y = 3x 2 - 4x + 6 gjeni pikën në të cilën tangjentja me të // drejtëza y = 2x + 4 dhe shkruani ekuacionin e tangjentes me parabolën në këtë pikë.

Nxënësit ftohen të punojnë në bord (një nga një).

Përgjigjet:

№255

a) y = - 3x – 6, y = - 3x + 6 b) y = 2x, y = - 2x +4

№256

a) y = 3, y = - 3x + 3π b) y = 2x + 1 – π/ 2, y = 4x + √3 - 4 π/ 3

№257 (rezervë)

a) x = 1, y = 1, në t. (1; 1) tangjente // Ox

b) x = - 2, y = - 24, në t. (-2; -24) tangjente // Oh

Detyrë *përgjigjet:

A (1; 5), ekuacioni tangjent y = 2x + 3.

Përdorimi i pavarur i aftësive

10.30-10.35

Grupi, individual, i pavarur

Me shkrim (fletore), diskutim i punës në dyshe

Pra, çfarë bëmë? Kush e kuptoi materialin? Kush ka pyetje? Ne do të bëjmë një vetë-monitorim të të kuptuarit tonë të temës së mësimit.

Do të punoni në çifte - keni letra me detyra në tavolinat tuaja. Lexoni me kujdes detyrën, jepen 4-5 minuta për të përfunduar punën.

Detyrë: Shkruani një ekuacion për tangjenten me funksionin e dhënëf(x) në një pikë me një abshisë të dhënë.

I: f( x) = x 2 – 2х – 8, në pikën me abshisë -1. Përgjigje: y = -4x – 9.

II: f( x) = 2x 2 – 4x + 12, te abshisa 2. Përgjigje: y = 4x + 4.

III: f( x) = 3x 2 – x – 9, në pikën me abshisën 1. Përgjigje: y = 5x –12.

IV: f( x) = 4x 2 + 2x + 3, në pikën me abshisë -0.5. Përgjigje: y = -2x + 2.

Kontrollimi i përfundimit të punës së pavarur

10.35-10.37

Frontale, grupore

Zbatimi i vetëkontrollit sipas modelit, diskutim

Përgjigjet në tabelë (të rrotulluara). Nxënësit bëjnë vetëkontroll.

Kush mori të njëjtat përgjigje?

Kush nuk kishte të njëjtat përgjigje?

Ku gabove?

Pyetje për studentët për të konsoliduar kuptimin gjeometrik të derivatit:

    Emërtoni drejtëzat që kryqëzojnë boshtin Ox në një kënd të mprehtë.

    Emërtoni drejtëzat që // janë boshtet e Ox.

    Emërtoni drejtëzat që formojnë një kënd me boshtin Ox, tangjenta e të cilit është një numër negativ.

Reflektimi i aktivitetit

10.37-10.39

Frontale

bashkëbisedim

Duke përmbledhur mësimin.

    Çfarë problemiu shfaq para nesh gjatë mësimit? (na duhej të shkruanim ekuacionin tangjent, por nuk dinim si ta bënim)

    Çfarë synimesh vendosëm për këtë mësim? (Nxjerrini ekuacionin tangjente, mësoni të ndërtoni ekuacionin tangjente për një funksion të caktuar në një pikë të caktuar)

    A e keni arritur qëllimin e mësimit?

    Sa prej jush mund të thonë me siguri se kanë mësuar se si të shkruajnë një ekuacion tangjent?

    Kush tjetër ka pyetje? Ne patjetër do të vazhdojmë të punojmë në këtë temë dhe, shpresoj, problemet tuaja do të zgjidhen 100%!

Detyre shtepie

10.39-10.40

Shkruani detyrat tuaja të shtëpisë - Nr. 255 (vg), 256 (vg), 257 (vg),*, formulë!!!

Shikoni në librin tuaj për detyrat e shtëpisë tuaj.

№№ 255 (vg), 256 (vg) - vazhdimi i punës në klasë për zhvillimin e aftësisë për të shkruar një ekuacion tangjent.

* – një detyrë e nivelit tjetër të vështirësisë për ata që duan të testojnë veten:

Në një parabolë y = x 2 + 5x – 16 gjeni pikën në të cilën tangjentja me të // drejtëza është 5x+y+4 =0.

Faleminderit për punën. Mësimi ka mbaruar.

Klasa: 10

Prezantimi për mësimin























Kthehu përpara

Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha tiparet e prezantimit. Nëse jeni të interesuar për këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Lloji i mësimit: mësimi i materialit të ri.

Metodat e mësimdhënies: vizuale, pjesërisht kërkimore.

Qëllimi i mësimit.

  1. Prezantoni konceptin e një tangjente në grafikun e një funksioni në një pikë, zbuloni se cili është kuptimi gjeometrik i derivatit, nxirrni ekuacionin tangjente dhe mësoni se si ta gjeni atë për funksione specifike.
  2. Zhvilloni të menduarit logjik dhe të folurit matematik.
  3. Kultivoni vullnetin dhe këmbënguljen për të arritur rezultate përfundimtare.

Pajisjet: tabelë interaktive, kompjuter.

Plani i mësimit

I. Momenti organizativ

Kontrollimi i gatishmërisë së nxënësve për mësimin. Komunikoni temën dhe qëllimet e mësimit.

II. Përditësimi i njohurive.

(Kujtoni me nxënësit përkufizimin gjeometrik të një tangjente me grafikun e një funksioni. Jepni shembuj që tregojnë se ky pohim nuk është i plotë.)

Le të kujtojmë se çfarë është një tangjente?

"Një tangjente është një vijë e drejtë që ka një pikë të përbashkët me një kurbë të caktuar." (Rrëshqitja nr. 2)

Diskutimi i korrektësisë së këtij përkufizimi. (Pas diskutimit, nxënësit arrijnë në përfundimin se ky përkufizim është i pasaktë.) Për të vërtetuar qartë përfundimin e tyre, japim shembullin e mëposhtëm.

Le të shohim një shembull. (Rrëshqitja nr. 3)

Le të jepen një parabolë dhe dy drejtëza , e cila ka një pikë të përbashkët M (1;1) me një parabolë të dhënë. Ekziston një diskutim se pse rreshti i parë nuk është tangjent me këtë parabolë (Fig. 1), por i dyti është (Fig. 2).

Në këtë mësim, ju dhe unë duhet të zbulojmë se çfarë është një tangjente me grafikun e një funksioni në një pikë, si të krijojmë një ekuacion për tangjenten?

Shqyrtoni detyrat kryesore për hartimin e ekuacionit tangjent.

Për ta bërë këtë, kujtoni formën e përgjithshme të ekuacionit të një drejtëze, kushtet për paralelizmin e drejtëzave, përkufizimin e një derivati ​​dhe rregullat e diferencimit. (Rrëshqitja nr. 4)

III. Punë përgatitore për mësimin e materialit të ri.

  1. Formuloni përkufizimin e një derivati. (Rrëshqitja nr. 5)
  2. Plotësoni tabelën e funksioneve elementare arbitrare. (Rrëshqitja nr. 6)
  3. Mos harroni rregullat e diferencimit. (Rrëshqitja nr. 7)
  4. Cila nga drejtëzat e mëposhtme janë paralele dhe pse? (Shih qartë) (Rrëshqitja nr. 8)

IV Studimi i materialit të ri.

Për të vendosur ekuacionin e një drejtëze në një plan, mjafton të dimë koeficientin këndor dhe koordinatat e një pike.

Le të jepet grafiku i funksionit. Mbi të zgjidhet një pikë, në këtë pikë vizatohet një tangjente në grafikun e funksionit (supozojmë se ekziston). Gjeni pjerrësinë e tangjentes.

Le t'i japim argumentit një rritje dhe të shqyrtojmë në grafikun (Fig. 3) pikën P me abshisë. Koeficienti këndor i MP sekant, d.m.th. tangjentja e këndit ndërmjet sekantit dhe boshtit x llogaritet me formulë.

Nëse tani priremi në zero, atëherë pika P do të fillojë t'i afrohet pikës M përgjatë një lakore. Ne e karakterizuam tangjenten si pozicionin kufizues të sekantit gjatë kësaj afrimi. Kjo do të thotë se është e natyrshme të supozohet se koeficienti këndor i tangjentës do të llogaritet duke përdorur formulën.

Prandaj, .

Nëse në grafikun e funksionit y = f (x) në pikën x = a mund të vizatoni një tangjente që nuk është paralele me boshtin në, pastaj shpreh pjerrësinë e tangjentes. (Sllajdi numër 10)

Ose ndryshe. Derivat në një pikë x = a e barabartë me pjerrësinë e tangjentes me grafikun e funksionit y = f(x) në këtë pikë.

Ky është kuptimi gjeometrik i derivatit. (Sllajdi nr. 11)

Për më tepër, nëse:

Le të zbulojmë formën e përgjithshme të ekuacionit tangjent.

Drejtëza le të jepet nga ekuacioni . Ne e dimë atë. Për të llogaritur m, ne përdorim faktin që vija kalon nëpër pikë. Le ta lidhim atë në ekuacion. Ne marrim, d.m.th. . Le të zëvendësojmë vlerat e gjetura k Dhe m në ekuacionin e një drejtëze:

– ekuacioni i tangjentes me grafikun e funksionit. (Sllajdi nr. 12)

Le të shohim shembuj:

Le të krijojmë një ekuacion për tangjenten:

(Sllajdi nr. 14)

Gjatë zgjidhjes së këtyre shembujve kemi përdorur një algoritëm shumë të thjeshtë, i cili është si më poshtë: (Sllajdi nr. 15)

Le të shohim detyrat tipike dhe zgjidhjet e tyre.

Nr. 1 Shkruani një ekuacion për tangjenten me grafikun e funksionit në pikë.

(Rrëshqitja nr. 16)

Zgjidhje. Le të përdorim algoritmin, duke marrë parasysh se në këtë shembull .

2)

3) ;

4) Zëvendësoni numrat e gjetur ,, në formulë.

Nr. 2 Vizatoni një tangjente me grafikun e funksionit në mënyrë që të jetë paralel me drejtëzën. (Rrëshqitje nr. 17)

Zgjidhje. Le të sqarojmë formulimin e problemit. Kërkesa për të "vizatuar një tangjente" zakonisht do të thotë "të formosh një ekuacion për tangjenten". Le të përdorim algoritmin për ndërtimin e një tangjente, duke marrë parasysh se në këtë shembull .

Tangjenta e dëshiruar duhet të jetë paralele me vijën. Dy drejtëza janë paralele nëse dhe vetëm nëse pjerrësia e tyre është e barabartë. Kjo do të thotë se koeficienti këndor i tangjentes duhet të jetë i barabartë me koeficientin këndor të drejtëzës së dhënë: .Por . Prandaj: ; ., d.m.th.

V. Zgjidhja e problemeve.

1. Zgjidhja e problemeve duke përdorur vizatime të përfunduara (Sllajdi nr. 18 dhe rrëshqitja nr. 19)

2. Zgjidhja e problemave nga teksti mësimor: Nr 29.3 (a, c), Nr. 29.12 (b, d), Nr. 29.18, Nr. 29.23 (a) (Slide Nr. 20)

VI. Duke përmbledhur.

1. Përgjigjuni pyetjeve:

  • Sa është tangjentja me grafikun e një funksioni në një pikë?
  • Cili është kuptimi gjeometrik i derivatit?
  • Formuloni një algoritëm për gjetjen e ekuacionit tangjent?

2. Cilat ishin vështirësitë gjatë orës së mësimit, cilat pjesë të mësimit ju pëlqeu më shumë?

3. Shënimi.

VII. Komente për detyrat e shtëpisë

Nr. 29.3 (b,d), nr. 29.12 (a,c), nr. 29.19, nr. 29.23 (b) (rrëshqitje nr. 22)

Letërsia. (Rrëshqitje 23)

  1. Algjebra dhe fillimet e analizës matematikore: Teksti mësimor. Për klasat 10-11. për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm (niveli bazë) / Redaktuar nga A.G. Mordkoviç. - M.: Mnemosyne, 2009.
  2. Algjebra dhe fillimet e analizës matematikore: Libri me problematika, Për klasat 10-11. për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm (niveli bazë) / Redaktuar nga A.G. Mordkoviç. - M.: Mnemosyne, 2009.
  3. Algjebra dhe fillimet e analizës. Punë e pavarur dhe testuese për klasat 10-11. / Ershova A.P., Goloborodko V.V. – M.: ILEKSA, 2010.
  4. Provimi i Unifikuar i Shtetit 2010. Matematikë. Problemi B8. Libri i punës / Redaktuar nga A.L. Semenov dhe I.V. Yashchenko - M.: Shtëpia botuese MTsNMO, 2010.

Mësimet 70-71. Ekuacioni i tangjentes me grafikun e një funksioni

09.07.2015 5132 0

Synimi: të merret ekuacioni i tangjentes me grafikun e funksionit.

I. Komunikimi i temës dhe qëllimit të mësimit

II. Përsëritja dhe konsolidimi i materialit të mbuluar

1. Përgjigjet e pyetjeve për detyrat e shtëpisë (analiza e problemeve të pazgjidhura).

2. Monitorimi i asimilimit të materialit (test).

opsioni 1

1. Gjeni derivatin e funksionit y = 3x4 – 2 cos x.

Përgjigje:

në pikën x = π.

Përgjigje:

3. Zgjidhe ekuacionin y '(x) = 0, nëse

Përgjigje:

Opsioni 2

1. Gjeni derivatin e funksionit y = 5xb + 3 sinx.

Përgjigje:

2. Njehsoni vlerën e derivatit të funksionit në pikën x = π.

Përgjigje:

3. Zgjidhe ekuacionin y '(x) = 0, nëse

Përgjigje:

III. Mësimi i materialit të ri

Më në fund, ne do të kalojmë në fazën përfundimtare të studimit të derivatit dhe do të shqyrtojmë përdorimin e derivatit në mësimet e mbetura. Në këtë mësim do të diskutojmë tangjenten me grafikun e një funksioni.

Koncepti i një tangjente është diskutuar tashmë më herët. U tregua se grafiku i një funksioni të diferencueshëm në pikën a f (x) afër a praktikisht nuk ndryshon nga grafiku tangjent, që do të thotë se është afër sekantit që kalon nëpër pikat (a; f (a)) dhe (a + Δх; f (a + Δx)). Secili nga këto sekante kalon në pikën M(a; f (A)). Për të shkruar një ekuacion për një tangjente, duhet të specifikoni pjerrësinë e saj. Koeficienti këndor i sekantit Δ f / Δ x në Δх → 0 ka tendencë për numrin f "(a), i cili është koeficienti këndor i tangjentës. Prandaj, ata thonë se tangjentja është pozicioni kufizues i sekantës në Δx→ 0.

Tani marrim ekuacionin e tangjentes me grafikun e funksionit f (X). Meqenëse tangjentja është një vijë e drejtë dhe pjerrësia e saj është f "(a), atëherë mund të shkruajmë ekuacionin e tij y = f "(a) x + b . Le të gjejmë koeficientin b nga kushti që tangjentja të kalojë në pikën M(a; f (A)). Zëvendësoni koordinatat e kësaj pike në ekuacionin tangjent dhe merrni: f (a) = f "(a) a + b, prej nga b = f (a) - f "(a) · a. Tani le të zëvendësojmë vlerën e gjetur b në ekuacionin tangjente dhe marrim: ose Ky është ekuacioni tangjent. Le të diskutojmë zbatimin e ekuacionit tangjent.

Shembulli 1

Në çfarë këndi është vala sinuspret boshtin x në origjinë?

Këndi në të cilin grafiku i një funksioni të caktuar pret boshtin x është i barabartë me pjerrësinë a të tangjentës së tërhequr në grafikun e funksionit f(x ) në këtë pikë. Le të gjejmë derivatin:Duke marrë parasysh kuptimin gjeometrik të derivatit, kemi: dhe a = 60°.

Shembulli 2

Le të shkruajmë ekuacionin tangjent në grafikun e funksionit f (x) = -x2 + 4x në pikë a = 1.

f "(x) dhe vetë funksioni f (x) në pikën a = 1 dhe marrim: f "(a) = f "(1) = -2 1 + 4 = 2 dhe f (a) = f (1) = -12 + 4 · 1 = 3. Le t'i zëvendësojmë këto vlera në ekuacionin tangjent. Kemi: y = 2(x - 1) + 3 ose y = 2x + 1.

Për qartësi, figura tregon një grafik të funksionit f(x ) dhe tangjent ndaj këtij funksioni. Prekja ndodh në një pikë M (1; 3).

Bazuar në shembujt 1 dhe 2, mund të formulojmë një algoritëm për marrjen e ekuacionit të tangjentës në grafikun e funksionit y = f(x):

1) caktoni abshisën e pikës tangjente me shkronjën a;

2) llogarit f (a);

3) gjeni f "(x) dhe llogarisni f "(a);

4) zëvendësoni numrat e gjetur a , f (a ), f "(a ) në formulën y = f ’(a )(x - a ) + f (a ).

Vini re se fillimisht pika a mund të jetë e panjohur dhe duhet gjetur nga kushtet e problemit. Pastaj në algoritmin në paragrafët 2 dhe 3, fjala "llogarit" duhet të zëvendësohet me fjalën "shkruaj" (siç ilustrohet në shembullin 3).

Në shembullin 2, abshisa a e pikës tangjente u specifikua drejtpërdrejt. Në shumë raste, pika e tangjencës përcaktohet nga kushte të ndryshme shtesë.

Shembulli 3

Le të shkruajmë ekuacionet e tangjentave të nxjerra nga pika A (0; 4) në grafikun e funksionit f (x) = - x 2 + 2x.

Është e lehtë të kontrollosh që pika A të mos shtrihet në një parabolë. Në të njëjtën kohë, pikat tangjente të parabolës dhe tangjenteve janë të panjohura, prandaj, për të gjetur këto pika, do të përdoret një kusht shtesë - kalimi i tangjentave përmes pikës A.

Le të supozojmë se kontakti ndodh në pikën a. Le të gjejmë derivatin e funksionit:Le të llogarisim vlerat e derivateve f" (x ) dhe vetë funksionin f (x) në pikën e tangjencës a dhe marrim: f '(a) = -2a + 2 dhe f (a ) = -a2 + 2a. Le t'i zëvendësojmë këto sasi në ekuacionin tangjent. Ne kemi: ose Ky është një ekuacion tangjent.

Le të shkruajmë kushtin që tangjentja të kalojë në pikën A, duke zëvendësuar koordinatat e kësaj pike. Ne marrim: 4ose 4 = a2, prej nga a = ±2. Kështu, kontakti ndodh në dy pika B(-2; -8) dhe C(2; 0). Prandaj, do të ketë dy tangjente të tilla. Le të gjejmë ekuacionet e tyre. Le të zëvendësojmë vlerat a = ±2 në ekuacionin tangjent. Ne marrim: kur a = 2 ose yx = -2x + 4; në a = -2 ose y2 = 6x + 4. Pra, ekuacionet tangjente janë y1 = -2x + 4 dhe y2 = 6x + 4.

Shembulli 4

Le të gjejmë këndin midis tangjenteve duke përdorur kushtet e problemit të mëparshëm.

Tangjentet e vizatuara y1 = -2x + 4 dhe y2 = 6x + 4 bëjnë kënde a1 dhe a2 me drejtim pozitiv të boshtit të abshisave (dhe tg a 1 = -2 dhe tg a 2 = 6) dhe ndërmjet tyre këndi φ = a 1 - a2. Le të gjejmë, duke përdorur formulën e njohur,prej nga φ = arktan 8/11.

Shembulli 5

Le të shkruajmë ekuacionin e tangjentes në grafikun e funksionitparalel me drejtëzën y ​​= -x + 2.

Dy drejtëza janë paralele me njëra-tjetrën nëse kanë pjerrësi të barabartë. Koeficienti këndor i drejtëzës y = -x + 2 është i barabartë me -1, koeficienti këndor i tangjentës së dëshiruar është i barabartë me f '(a), ku a - abshisa e pikës së tangjencës. Prandaj, për të përcaktuar a kemi një kusht shtesë f '(a) = -1.

Duke përdorur formulën për derivatin e një herësi funksionesh, gjejmë derivatin:Le të gjejmë vlerën e derivatit në pikë a dhe marrim:

Ne marrim ekuacioninose (a - 2)2 = 4, ose a - 2 = ±2, prej nga a = 4 dhe a = 0. Pra, janë dy tangjente që plotësojnë kushtet e problemit. Le të zëvendësojmë vlerat a = 4 dhe a = 0 në ekuacionin tangjent y = f '(a) (x - a) + f (A). Për a = 4 kemi:dhe tangjente y1 = -(x - 4) + 3 ose y1 = -x + 7. Për a = 0 marrim:dhe tangjentja y2 = -(x - 0) – 1 ose y2 = -x - 1. Pra, ekuacionet e tangjentave janë y1 = -x + 7 dhe y2 = -x - 1.

Vini re se nëse f" (a ) nuk ekziston, atëherë tangjentja ose nuk ekziston (si me funksionin f (x) = |x| në pikën (0; 0) - fig. a, ose vertikale (si në funksionnë pikën (0; 0) - fig. b.


Pra, ekzistenca e derivatit të funksionit f (x) në pikën a është ekuivalente me ekzistencën e një tangjente jo vertikale në pikën (a; f (a)) grafika. Në këtë rast, koeficienti këndor i tangjentes është i barabartë me f "(a). Ky është kuptimi gjeometrik i derivatit.

Koncepti i derivatit lejon llogaritjet e përafërta. Tashmë është vërejtur vazhdimisht se në Δx→ 0 vlera funksioni f(x ) dhe tangjentja me të y(x) praktikisht përkojnë. Prandaj, në Δх→ 0 sjellja e funksionit f (x) në afërsi të pikës x0 mund të përshkruhet afërsisht me formulën(në fakt një ekuacion tangjent). Kjo formulë përdoret me sukses për llogaritjet e përafërta.

Shembulli 6

Le të llogarisim vlerën e funksionit në pikën x = 2.03.

Le të gjejmë derivatin e këtij funksioni: f "(x) = 12x2 - 4x + 3. Supozojmë se x = a + Δx, ku a = 2 dhe Δx = 0.03. Le të llogarisim vlerat e funksionit dhe derivatin e tij në pikën a dhe marrim: Dhe Tani përcaktojmë vlerën e funksionit në një pikë të caktuar x = 2.03. Ne kemi:

Sigurisht, formula e mësipërme është e përshtatshme për t'u përdorur nëse vlerat f (a) dhe f "(a ) është e lehtë për t'u llogaritur.

Shembulli 7

Le të llogarisim

Merrni parasysh funksioninLe të gjejmë derivatin:Do të supozojmë se x = a + Δx, ku a = 8 dhe Δx = 0,03. Le të llogarisim vlerat e funksionit dhe derivatit të tij në pikën a dhe marrim:Tani le të përcaktojmë vlerën e funksionit në një pikë të caktuar x = 8.03. Ne kemi:

Shembulli 8

Le të përmbledhim rezultatet e marra. Merrni parasysh funksionin e fuqisë f (x) = x n dhe do të supozojmë se x = a + Δx dhe Δx→ 0. Gjeni f "(x) = n x n -1 dhe llogaritim vlerat e funksionit dhe derivatit të tij në pikën a, marrim: f (a ) = an dhe f ’(a ) = nan -1 . Tani kemi formulën f (x) = a n + nan -1 Δx. Le ta përdorim atë për të llogaritur numrin 0.98-20. Ne do të supozojmë se a = 1, Δx = -0,02 dhe n = -20. Pastaj marrim:

Sigurisht, formula e mësipërme mund të përdoret për çdo funksion tjetër, veçanërisht ato trigonometrike.

Shembulli 9

Le të llogarisim tan 48°.

Merrni parasysh funksionin f (x) = tan x dhe gjeni derivatin:Do të supozojmë se x = a + Δ x, ku a = 45° = π/4 dhe (Edhe një herë, vini re se në trigonometri, këndet zakonisht maten në radianë). Le të gjejmë vlerat e funksionit dhe derivatin e tij në pikën a dhe të marrim:Tani le të llogarisim(merret parasysh se π = 3,14).

IV. Pyetje kontrolli

1. Ekuacioni i një tangjente në grafikun e një funksioni.

2. Algoritmi për nxjerrjen e ekuacionit tangjent.

3. Kuptimi gjeometrik i derivatit.

4. Zbatimi i ekuacionit tangjent për llogaritjet e përafërta.

V. Detyrë mësimi

§ 29, nr.1 (a); 2 (b); 5 (a, b); 6 (c, d); 9 (a); 10 (b); 12 (g); 14 (a); 17; 21 (a); 22 (a, c); 24 (a, b); 25 (a); 26.

VI. Detyrë shtëpie

§ 29, nr. 1 (b); 2 (c); 5 (c, d); 6 (a, b); 9 (b); 10 (a); 12 (b); 14 (b); 18; 21 (c); 22 (b, d); 24 (c, d); 25 (b); 27.

VII. Detyra krijuese

1. Në cilat pika x janë tangjentet me grafikët e funksioneve paralele?

Përgjigje: x = -1, x = 3.

2. Për çfarë x janë tangjentet me grafikët e funksioneve y = 3 cos 5 x - 7 dhe y = 5 cos 3 x + 4 janë paralele?

Përgjigje:

3. Në çfarë këndesh priten kurbat y = x2?

Përgjigje: π/2 dhe arktani 3/5.

4. Në çfarë këndesh ndërpriten kthesat y =? cos x dhe y = sin x?

Përgjigje:

5. Një tangjente vizatohet në parabolën y = 4 - x2 në pikën me abshisë x = 1. Gjeni pikën e prerjes së kësaj tangjente me boshtin e ordinatave.

Përgjigje: (0; 5).

6. Një tangjente vizatohet në parabolën y = 4x - x2 në pikën me abshisën x = 3. Gjeni pikën e prerjes së kësaj tangjente me boshtin x.

Përgjigje: (9/2; 0).

7. Gjeni këndin ndërmjet dy tangjentëve të tërhequr nga pika (0; -2) në parabolën y = x2.

Përgjigje:

8. Në grafikun e funksionit y = 3x2 + 3x + 2 vizatohen tangjentet me koeficientë këndorë. k 1 = 0 dhe k 2 = 15. Shkruani ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pikat e tangjences.

Përgjigje: y = 12x - 4.

9. Gjeni ekuacionet e drejtëzave tangjente njëkohësisht me parabolat y = x2 + x - 2 dhe y = -x2 + 7x - 11.

Përgjigje: y = 7x - 11 dhe y = x - 2.

10. Shkruani ekuacionin e tangjentes së përbashkët me parabolat y = -3x2 + 4x + 4 dhe y = -3x2 + 16x - 20.

Përgjigje: y = -2x + 7.

11. Tangjentja në grafikun e funksionit y = x2 - 4x - 3 vizatohet në pikën x = 0. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit të formuar nga tangjentja dhe boshtet e koordinatave.

Përgjigje: 9/8.

12. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit të kufizuar nga boshtet e koordinatave dhe tangjenten me grafikun e funksionitnë pikën x = 2.

Përgjigje: 1.

VIII. Duke përmbledhur mësimet

Orë e hapur e algjebrës në klasën e 11-të 10/19. 2011

Mësues: Gorbunova S.V.

Tema e mësimit: Ekuacioni i një tangjente me grafikun e një funksioni.

Objektivat e mësimit


  1. Sqaroni konceptin e "tangjentes".

  2. Nxjerrë ekuacionin tangjente.

  3. Krijo një algoritëm për "përbërjen e ekuacionit të një tangjente me grafikun e një funksioni
y = f (x)".

  1. Filloni të zhvilloni aftësi në kompozimin e ekuacioneve tangjente në situata të ndryshme matematikore.

  2. Për të zhvilluar aftësinë për të analizuar, përgjithësuar, treguar, përdorur elementë të kërkimit dhe për të zhvilluar fjalimin matematikor.

Pajisjet: kompjuter, prezantim, projektor, tabelë interaktive, kartolina, karta reflektimi.

Struktura e mësimit:


  1. AI. U.

  2. Mesazh për temën e mësimit

  3. Përsëritja e materialit të mësuar

  4. Formulimi i problemit.

  5. Shpjegimi i materialit të ri.

  6. Krijimi i një algoritmi për "përbërjen e një ekuacioni tangjent".

  7. Referencë historike.

  8. Konsolidimi. Ushtrimi i aftësive në hartimin e ekuacioneve tangjente.

  9. Detyre shtepie.

  10. Punë e pavarur me vetëtest

  11. Duke përmbledhur mësimin.

  12. Reflektimi
Gjatë orëve të mësimit

1. O.N.U.

2. Raportoni temën e mësimit

Tema e mësimit të sotëm: “Ekuacioni i një tangjente me grafikun e një funksioni”. Hapni fletoret tuaja, shkruani datën dhe temën e mësimit. (rrëshqitje 1)

Lërini fjalët që shihni në ekran të bëhen motoja e mësimit të sotëm. (rrëshqitje 2)


  • Nuk ka ide të këqija

  • Mendoni në mënyrë krijuese

  • Merrni rreziqe

  • Mos kritikoni
Për t'u përgatitur për mësimin, ne do të përsërisim materialin e studiuar më parë. Vëmendje ndaj ekranit. Shkruani zgjidhjen në fletore.

2. Përsëritje e materialit të studiuar (rrëshqitje 3).

Qëllimi: të testojë njohuritë për rregullat bazë të diferencimit.

Gjeni derivatin e funksionit:

Kush ka më shumë se një gabim? Kush e ka një?

3. Përditëso

Qëllimi: Të aktivizoni vëmendjen, të tregoni mungesën e njohurive për tangjentën, të formuloni qëllimet dhe objektivat e mësimit. (Rrëshqitja 4)

Le të diskutojmë se çfarë është një tangjente me grafikun e një funksioni?

A jeni dakord me pohimin se "Një tangjente është një drejtëz që ka një pikë të përbashkët me një kurbë të caktuar"?
Po zhvillohet një diskutim. Deklaratat e fëmijëve (po dhe pse, jo dhe pse). Gjatë diskutimit, arrijmë në përfundimin se kjo deklaratë nuk është e vërtetë.

Le të shohim shembuj specifikë:

Shembuj.(rrëshqitje 5)
1) Drejtëza x = 1 ka një pikë të përbashkët M(1; 1) me parabolën y = x 2, por nuk është tangjente me parabolën.

Drejtëza y = 2x – 1, që kalon në të njëjtën pikë, është tangjente me këtë parabolë.

Drejtëza x = π nuk është tangjente me grafikun y = cos x, megjithëse ka një pikë të vetme të përbashkët K(π; 1). Nga ana tjetër, drejtëza y = - 1 që kalon nëpër të njëjtën pikë është tangjente me grafikun, megjithëse ka pafundësisht shumë pika të përbashkëta të formës (π+2 πk; 1), ku k është një numër i plotë, në secilën prej që ka të bëjë me orarin.

^ 4. Vendosja e qëllimeve dhe objektivave për fëmijët në mësim: (rrëshqitje 6)

Përpiquni ta formuloni vetë qëllimin e mësimit.

Zbuloni se çfarë është një tangjente në grafikun e një funksioni në një pikë dhe nxirrni ekuacionin tangjente. Aplikoni formulën për të zgjidhur problemet
^ 5. Mësimi i materialit të ri

Shihni si ndryshon pozicioni i drejtëzës x=1 nga pozicioni y=2x-1? (rrëshqitje 7)

Përfundoni se çfarë është një tangjente?

Tangjenti është pozicioni kufizues i sekantit.

Meqenëse një tangjente është një vijë e drejtë dhe ne duhet të shkruajmë një ekuacion për tangjenten, çfarë mendoni se duhet të mbajmë mend?

Mbani mend formën e përgjithshme të ekuacionit të drejtëzës (y = kx + b)

Cili është emri tjetër për numrin k? (koeficienti këndor ose tangjentja e këndit ndërmjet kësaj drejtëze dhe drejtimit pozitiv të boshtit Ox) k = tan α

Cili është kuptimi gjeometrik i derivatit?

Tangjenta e këndit të prirjes ndërmjet tangjentes dhe drejtimit pozitiv të boshtit oX

Kjo do të thotë, unë mund të shkruaj tan α = yˈ(x). (rrëshqitje 8)

Le ta ilustrojmë këtë me një vizatim. (rrëshqitje 9)

Le të jepet një funksion y = f (x) dhe një pikë M që i përket grafikut të këtij funksioni. Le t'i përcaktojmë koordinatat e tij si më poshtë: x=a, y= f (a), d.m.th. M (a, f (a)) dhe le të ketë një derivat f "(a), d.m.th. në një pikë të caktuar përcaktohet derivati. Le të vizatojmë një tangjente përmes pikës M. Ekuacioni tangjent është ekuacioni i një drejte. rreshti, pra ka formën: y = kx + b. Prandaj, detyra është të gjejmë k dhe b. Kushtojini vëmendje tabelës, nga ajo që është shkruar aty, a është e mundur të gjendet k? (po, k = f "(a).)

Si ta gjeni b tani? Drejtëza e dëshiruar kalon nëpër pikën M(a; f(a)), ne i zëvendësojmë këto koordinata në ekuacionin e drejtëzës: f(a) = ka + b, pra b = f(a) - ka, pasi k = tan α= yˈ(x), pastaj b = f(a) – f "(a)a

Le të zëvendësojmë vlerat e b dhe k në ekuacionin y = kx + b.

y = f "(a)x + f(a) – f "(a)a, duke marrë faktorin e përbashkët nga kllapat, marrim:

y = f(a) + f "(a) · (x-a).

Kemi marrë ekuacionin për tangjenten në grafikun e funksionit y = f(x) në pikën x = a.

Për të zgjidhur me siguri problemet tangjente, duhet të kuptoni qartë kuptimin e secilit element në këtë ekuacion. Le ta shohim përsëri këtë: (rrëshqitje 10)


  1. (a, f (a)) - pika e kontaktit

  2. f "(a) = tan α = k tangjente ose pjerrësi

  3. (x,y) – çdo pikë tangjente
Dhe kështu kemi nxjerrë ekuacionin tangjent, analizuam kuptimin e secilit element në këtë ekuacion, le të përpiqemi tani të nxjerrim një algoritëm për kompozimin e ekuacionit tangjent në grafikun e funksionit y = f (x)

6. Hartimi i një algoritmi (rrëshqitje 11).

Unë sugjeroj që studentët të krijojnë vetë një algoritëm:


  1. Le ta shënojmë abshisën e pikës së tangjences me shkronjën a.

  2. Le të llogarisim f(a).

  3. Le të gjejmë f "(x) dhe të llogarisim f "(a).

  4. Le të zëvendësojmë vlerat e gjetura të numrave a, f(a), f "(a) në ekuacionin tangjent.

  5. y = f(a) + f "(a) · (x-a).
(Unë u shpërndaj studentëve algoritmin e printuar paraprakisht si një kujtesë për punën e mëvonshme.)

  1. Sfondi historik (rrëshqitje 12).
Vëmendje ndaj ekranit. Zbërtheni fjalën

1
4/3
9
-4
-1
-3
5

Përgjigje: FLUXION (rrëshqitje 13).

Cila është historia e origjinës së këtij emri? (rrëshqitje 14,15)

Koncepti i derivatit lindi në lidhje me nevojën për të zgjidhur një numër problemesh në fizikë, mekanikë dhe matematikë. Nderi i zbulimit të ligjeve themelore të analizës matematikore i takon shkencëtarit anglez Njuton dhe matematikanit gjerman Leibniz. Leibniz shqyrtoi problemin e vizatimit të një tangjente në një kurbë arbitrare.

Fizikani i famshëm Isaac Newton, i lindur në fshatin anglez Wolstrop, dha një kontribut të rëndësishëm në matematikë. Duke zgjidhur problemet që përfshijnë vizatimin e tangjentëve në kthesa dhe llogaritjen e zonave të figurave lakor, ai krijoi një metodë të përgjithshme për zgjidhjen e problemeve të tilla - metoda e fluksit (derivatet), dhe quhet vetë derivati fluenta .

Ai llogariti derivatin dhe integralin e një funksioni fuqie. Ai shkruan për llogaritjet diferenciale dhe integrale në veprën e tij "Metoda e Fluxions" (1665 - 1666), e cila shërbeu si një nga fillimet e analizës matematikore, llogaritjes diferenciale dhe integrale, të cilën shkencëtari e zhvilloi pavarësisht nga Leibniz.

Shumë shkencëtarë gjatë viteve kanë qenë të interesuar për tangjentet. Koncepti i një tangjente u ndesh në mënyrë sporadike në veprat e matematikanit italian N. Tartaglia (rreth 1500 - 1557) - këtu tangjentja u shfaq gjatë studimit të çështjes së këndit të pjerrësisë së një arme, në të cilën shkalla më e madhe sigurohet fluturimi i një predheje. I. Keppler e konsideroi tangjenten gjatë zgjidhjes së problemit të vëllimit më të madh të një paralelipipedi të gdhendur në një top me një rreze të caktuar.

Në shekullin e 17-të, bazuar në mësimet e G. Galileo mbi lëvizjen, koncepti kinematik i derivatit u zhvillua në mënyrë aktive. Versione të ndryshme të prezantimit gjenden te R. Descartes, matematikani francez Roberval, shkencëtari anglez D. Gregory dhe në veprat e I. Barrow.

8. Konsolidimi (rrëshqitje 16-18).

1) Krijo një ekuacion për tangjenten me grafikun e funksionit f(x) = x² - 3x + 5 në pikën me abshisën

Zgjidhja:

Le të krijojmë një ekuacion për tangjenten (sipas algoritmit). Thirrni një student të fortë.


  1. a = -1;

  2. f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;

  3. f "(x) = 2x – 3,
    f "(a) = f "(-1) = -2 – 3 = -5;

  4. y = 9 – 5 (x + 1),
y = 4 – 5x.

Përgjigje: y = 4 – 5x.

Provimi i Unifikuar i Shtetit 2011 detyrat B-8

1.Funksioni y = f(x) është përcaktuar në intervalin (-3; 4). Figura tregon grafikun e tij dhe tangjenten me këtë grafik në pikën me abshisë a = 1. Llogaritni vlerën e derivatit f"(x) në pikën a = 1.

Zgjidhja: për të zgjidhur, është e nevojshme të mbani mend se nëse dihen koordinatat e çdo dy pikash A dhe B që shtrihen në një vijë të caktuar, atëherë pjerrësia e saj mund të llogaritet duke përdorur formulën: k = , ku (x 1 ; y 1) , (x 2 ; y 2) janë përkatësisht koordinatat e pikave A dhe B. Grafiku tregon se kjo tangjente kalon nëpër pika me koordinata (1; -2) dhe (3; -1), që do të thotë k=(-1-(-2))/(3-1)= 0,5.

2. Funksioni y = f(x) është përcaktuar në intervalin (-3;4). Figura tregon grafikun e tij dhe tangjenten me këtë grafik në pikën me abshisë a = -2. Llogaritni vlerën e derivatit f"(x) në pikën a = -2.

Zgjidhje: grafiku kalon nëpër pikat (-2;1) (0;-1) . fˈ(-2)= -2

8.Detyrë shtëpie (rrëshqitje 19).

Përgatitja për Provimin e Bashkuar të Shtetit B-8 Nr.3 - 10

^ 9.Punë e pavarur

Shkruani ekuacionin e tangjentes në grafikun e funksionit y=f(x) në pikën me abshisë a.
opsioni 1 opsioni 2

f(x) = x²+ x+1, a=1 f(x)= x-3x², a=2

përgjigjet: Opsioni 1: y=3x; Opsioni 2: y= -11x+12

10. Përmbledhje.


  • Sa është tangjentja me grafikun e një funksioni në një pikë?

  • Cili është kuptimi gjeometrik i një derivati?

  • Formuloni një algoritëm për gjetjen e ekuacionit të një tangjente në një pikë?
11. Reflektimi:

Zgjidhni një emoticon që përputhet me disponimin dhe gjendjen tuaj pas mësimit. Faleminderit për mësimin.