Integrimi sipas pjesëve. Shembuj zgjidhjesh

Pershendetje perseri. Sot në mësim do të mësojmë se si të integrojmë sipas pjesëve. Metoda e integrimit sipas pjesëve është një nga themelet e llogaritjes integrale. Gjatë testeve ose provimeve, studentëve pothuajse gjithmonë u kërkohet të zgjidhin llojet e mëposhtme të integraleve: integrali më i thjeshtë (shih artikullin) ose një integral duke zëvendësuar një ndryshore (shih artikullin) ose integrali është thjesht i ndezur Metoda e integrimit me pjesë.

Si gjithmonë, duhet të keni në dorë: Tabela e integraleve Dhe Tabela e derivateve. Nëse ende nuk i keni ato, atëherë ju lutemi vizitoni dhomën e ruajtjes së faqes sime të internetit: Formula dhe tabela matematikore. Nuk do të lodhem duke përsëritur - është më mirë të printoni gjithçka. Do të përpiqem të paraqes të gjithë materialin në mënyrë konsistente, thjesht dhe qartë; nuk ka vështirësi të veçanta në integrimin e pjesëve.

Çfarë problemi zgjidh metoda e integrimit me pjesë? Metoda e integrimit sipas pjesëve zgjidh një problem shumë të rëndësishëm; ju lejon të integroni disa funksione që nuk janë në tabelë, puna funksionet, dhe në disa raste - edhe herës. Siç kujtojmë, nuk ka asnjë formulë të përshtatshme: . Por ekziston ky: – formula për integrimin nga pjesët personalisht. E di, e di, ju jeni i vetmi - ne do të punojmë me të gjatë gjithë mësimit (është më e lehtë tani).

Dhe menjëherë lista në studio. Integralet e llojeve të mëposhtme merren sipas pjesëve:

1) , , – logaritmi, logaritmi i shumëzuar me disa polinom.

2) ,është një funksion eksponencial i shumëzuar me disa polinom. Kjo përfshin gjithashtu integrale si - një funksion eksponencial i shumëzuar me një polinom, por në praktikë kjo është 97 përqind, nën integral ka një shkronjë të bukur "e". ... artikulli del disi lirik, oh po ... ka ardhur pranvera.

3) , , janë funksione trigonometrike të shumëzuara me disa polinom.

4) , – funksione trigonometrike të anasjellta (“harqe”), “harqe” të shumëzuara me disa polinom.

Disa thyesa merren gjithashtu në pjesë; ne gjithashtu do të shqyrtojmë në detaje shembujt përkatës.

Integralet e logaritmeve

Shembulli 1

Klasike. Herë pas here ky integral mund të gjendet në tabela, por nuk këshillohet të përdoret një përgjigje e gatshme, pasi mësuesi ka mungesë vitamine pranverore dhe do të shajë rëndë. Sepse integrali në shqyrtim nuk është aspak tabelor - ai merret pjesë-pjesë. Ne vendosim:

E ndërpresim zgjidhjen për shpjegime të ndërmjetme.

Ne përdorim formulën e integrimit sipas pjesëve:

Formula zbatohet nga e majta në të djathtë

Shikojmë anën e majtë: . Natyrisht, në shembullin tonë (dhe në të gjithë të tjerët që do të shqyrtojmë), diçka duhet të përcaktohet si , dhe diçka si .

Në integrale të tipit në shqyrtim, logaritmi shënohet gjithmonë.

Teknikisht, dizajni i zgjidhjes zbatohet si më poshtë; ne shkruajmë në kolonën:

Kjo do të thotë, ne e shënuam logaritmin si dhe pjesa e mbetur shprehje e integruar.

Faza tjetër: gjeni diferencialin:

Një diferencial është pothuajse i njëjtë me një derivat; ne kemi diskutuar tashmë se si ta gjejmë atë në mësimet e mëparshme.

Tani gjejmë funksionin. Për të gjetur funksionin duhet të integroni anën e djathtë barazi më e ulët:

Tani hapim zgjidhjen tonë dhe ndërtojmë anën e djathtë të formulës: .
Nga rruga, këtu është një mostër e zgjidhjes përfundimtare me disa shënime:

Pika e vetme në punë është se unë e ndërrova menjëherë dhe , pasi është zakon të shkruhet faktori para logaritmit.

Siç mund ta shihni, aplikimi i formulës së integrimit sipas pjesëve e zvogëloi në thelb zgjidhjen tonë në dy integrale të thjeshta.

Ju lutemi vini re se në disa raste Menjëherë pas aplikimi i formulës, thjeshtimi kryhet domosdoshmërisht nën integralin e mbetur - në shembullin në shqyrtim, ne e reduktuam integrandin në "x".

Le të kontrollojmë. Për ta bërë këtë, ju duhet të merrni derivatin e përgjigjes:

Është marrë funksioni integrand origjinal, që do të thotë se integrali është zgjidhur saktë.

Gjatë testit, ne përdorëm rregullin e diferencimit të produktit: . Dhe kjo nuk është rastësi.

Formula për integrimin sipas pjesëve dhe formula - këto janë dy rregulla të kundërta reciproke.

Shembulli 2

Gjeni integralin e pacaktuar.

Integrandi është prodhim i një logaritmi dhe një polinomi.
Le të vendosim.

Unë do të përshkruaj edhe një herë në detaje procedurën e zbatimit të rregullit; në të ardhmen, shembujt do të paraqiten më shkurt, dhe nëse keni vështirësi në zgjidhjen e tij vetë, duhet të ktheheni në dy shembujt e parë të mësimit. .

Siç u përmend tashmë, është e nevojshme të shënohet logaritmi (fakti që është një fuqi nuk ka rëndësi). Ne shënojmë me pjesa e mbetur shprehje e integruar.

Ne shkruajmë në kolonë:

Së pari gjejmë diferencialin:

Këtu përdorim rregullin për diferencimin e një funksioni kompleks . Nuk është rastësi që në mësimin e parë të temës Integrali i pacaktuar. Shembuj zgjidhjesh Unë u fokusova në faktin se për të zotëruar integralet, është e nevojshme të "merrni në dorë" derivatet. Ju do të duhet të merreni me derivate më shumë se një herë.

Tani gjejmë funksionin, për këtë ne integrojmë anën e djathtë barazi më e ulët:

Për integrim kemi përdorur formulën më të thjeshtë tabelare

Tani gjithçka është gati për të aplikuar formulën . Hapeni me një yll dhe "ndërtoni" zgjidhjen në përputhje me anën e djathtë:

Nën integralin përsëri kemi një polinom për logaritmin! Prandaj, zgjidhja ndërpritet përsëri dhe rregulli i integrimit sipas pjesëve zbatohet për herë të dytë. Mos harroni se në situata të ngjashme logaritmi shënohet gjithmonë.

Do të ishte mirë që deri tani të dinit të gjenit gojarisht integralet dhe derivatet më të thjeshta.

(1) Mos u ngatërroni për shenjat! Shumë shpesh minusi humbet këtu, vini re gjithashtu se minusi i referohet të gjithëve kllapa , dhe këto kllapa duhet të zgjerohen saktë.

(2) Hapni kllapat. Ne thjeshtojmë integralin e fundit.

(3) Marrim integralin e fundit.

(4) “Krehja” e përgjigjes.

Nevoja për të zbatuar rregullin e integrimit sipas pjesëve dy herë (ose edhe tre herë) nuk lind shumë rrallë.

Dhe tani disa shembuj për zgjidhjen tuaj:

Shembulli 3

Gjeni integralin e pacaktuar.

Ky shembull zgjidhet duke ndryshuar variablin (ose duke e zëvendësuar atë nën shenjën diferenciale)! Pse jo - mund të provoni ta merrni në pjesë, do të dalë të jetë një gjë qesharake.

Shembulli 4

Gjeni integralin e pacaktuar.

Por ky integral është i integruar me pjesë (fraksioni i premtuar).

Këta janë shembuj për t'i zgjidhur vetë, zgjidhje dhe përgjigje në fund të mësimit.

Duket se në shembujt 3 dhe 4 integrandët janë të ngjashëm, por metodat e zgjidhjes janë të ndryshme! Kjo është vështirësia kryesore në zotërimin e integraleve - nëse zgjidhni metodën e gabuar për zgjidhjen e një integrali, atëherë mund të ndërhyni me të për orë të tëra, si me një enigmë të vërtetë. Prandaj, sa më shumë të zgjidhni integrale të ndryshme, aq më mirë, aq më i lehtë do të jetë testi dhe provimi. Për më tepër, në vitin e dytë do të ketë ekuacione diferenciale, dhe pa përvojë në zgjidhjen e integraleve dhe derivateve nuk ka asgjë për të bërë atje.

Për sa i përket logaritmeve, kjo është ndoshta më se e mjaftueshme. Si mënjanë, mund të kujtoj gjithashtu se studentët e inxhinierisë përdorin logaritme për të quajtur gjinjtë e femrave =). Nga rruga, është e dobishme të njihen përmendësh grafikët e funksioneve kryesore elementare: sinusi, kosinusi, arktangjenti, eksponenti, polinomet e shkallës së tretë, të katërt, etj. Jo, sigurisht, një prezervativ në botë
Nuk do ta zgjas, por tani do të mbani mend shumë nga seksioni Grafikët dhe funksionet =).

Integralet e një eksponenciale të shumëzuar me një polinom

Rregulli i përgjithshëm:

Shembulli 5

Gjeni integralin e pacaktuar.

Duke përdorur një algoritëm të njohur, ne integrojmë sipas pjesëve:

Nëse keni vështirësi me integralin, atëherë duhet të ktheheni te artikulli Metoda e ndryshimit të ndryshores në integral të pacaktuar.

E vetmja gjë që mund të bëni është të rregulloni përgjigjen:

Por nëse teknika juaj e llogaritjes nuk është shumë e mirë, atëherë opsioni më fitimprurës është ta lini atë si përgjigje apo edhe

Domethënë, shembulli konsiderohet i zgjidhur kur merret integrali i fundit. Nuk do të jetë gabim; është një çështje tjetër që mësuesi mund t'ju kërkojë të thjeshtoni përgjigjen.

Shembulli 6

Gjeni integralin e pacaktuar.

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë. Ky integral është i integruar dy herë nga pjesët. Vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet shenjave - është e lehtë të ngatërrohesh në to, kujtojmë gjithashtu se ky është një funksion kompleks.

Nuk ka asgjë më shumë për të thënë për ekspozuesin. Mund të shtoj vetëm se logaritmi eksponencial dhe ai natyror janë funksione reciprokisht të anasjellta, ky jam unë në temën e grafikëve argëtues të matematikës së lartë =) Ndaloni, ndaloni, mos u shqetësoni, pedagogu është i matur.

Integralet e funksioneve trigonometrike të shumëzuara me një polinom

Rregulli i përgjithshëm: for gjithmonë tregon një polinom

Shembulli 7

Gjeni integralin e pacaktuar.

Le të integrojmë sipas pjesëve:

Hmmm...dhe nuk ka asgjë për të komentuar.

Shembulli 8

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky është një shembull për ju që ta zgjidhni vetë

Shembulli 9

Gjeni integralin e pacaktuar

Një shembull tjetër me një thyesë. Si në dy shembujt e mëparshëm, for tregon një polinom.

Le të integrojmë sipas pjesëve:

Nëse keni ndonjë vështirësi ose keqkuptim me gjetjen e integralit, ju rekomandoj të ndiqni mësimin Integrale të funksioneve trigonometrike.

Shembulli 10

Gjeni integralin e pacaktuar

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.

Këshillë: Përpara se të përdorni metodën e integrimit sipas pjesëve, duhet të aplikoni një formulë trigonometrike që e kthen produktin e dy funksioneve trigonometrike në një funksion. Formula mund të përdoret gjithashtu kur aplikoni metodën e integrimit sipas pjesëve, cilado që është më e përshtatshme për ju.

Kjo është ndoshta e gjitha në këtë paragraf. Për disa arsye m'u kujtua një rresht nga himni i fizikës dhe matematikës "Dhe grafiku i sinusit shkon valë pas valë përgjatë boshtit të abshisës"….

Integrale të funksioneve trigonometrike të anasjellta.
Integralet e funksioneve trigonometrike të anasjellta të shumëzuara me një polinom

Rregulli i përgjithshëm: shënon gjithmonë funksionin trigonometrik të anasjelltë.

Më lejoni t'ju kujtoj se funksionet trigonometrike të anasjellta përfshijnë arksinën, arkozinën, arktangjentin dhe arkotangjentin. Për hir të shkurtësisë së regjistrimit do t'i quaj "harqe"

Shqyrtohen në detaje shembuj të zgjidhjeve të integraleve sipas pjesëve, integrandi i të cilave përmban logaritmin, arksinën, arktangjenten, si dhe logaritmin ndaj fuqisë së numrit të plotë dhe logaritmin e polinomit.

Shiko gjithashtu: Mënyra e integrimit sipas pjesëve
Tabela e integraleve të pacaktuar
Metodat për llogaritjen e integraleve të pacaktuara
Funksionet themelore elementare dhe vetitë e tyre

Formula për integrimin sipas pjesëve

Më poshtë, kur zgjidhen shembuj, përdoret formula e integrimit sipas pjesëve:
;
.

Shembuj të integraleve që përmbajnë logaritme dhe funksione të anasjellta trigonometrike

Këtu janë shembuj të integraleve që integrohen sipas pjesëve:
, , , , , , .

Kur integrohet, ajo pjesë e integrandit që përmban logaritmin ose funksionet trigonometrike të anasjellta shënohet me u, pjesa tjetër me dv.

Më poshtë janë shembuj me zgjidhje të detajuara të këtyre integraleve.

Shembull i thjeshtë me logaritëm

Le të llogarisim integralin që përmban produktin e një polinomi dhe një logaritmi:

Këtu integrandi përmban një logaritëm. Bërja e zëvendësimeve
u = në x, dv = x 2 dx . Pastaj
,
.

Le të integrohemi sipas pjesëve.
.

.
Pastaj
.
Në fund të llogaritjeve, shtoni konstanten C.

Shembull i një logaritmi me fuqinë 2

Le të shqyrtojmë një shembull në të cilin integrandi përfshin një logaritëm në një fuqi të plotë. Integrale të tilla mund të integrohen edhe me pjesë.

Bërja e zëvendësimeve
u = (n x) 2, dv = x dx . Pastaj
,
.

Ne gjithashtu llogarisim integralin e mbetur sipas pjesëve:
.
Le të zëvendësojmë
.

Një shembull në të cilin argumenti i logaritmit është një polinom

Integralet mund të llogariten me pjesë, integrandi i të cilave përfshin një logaritëm, argumenti i të cilit është një funksion polinom, racional ose irracional. Si shembull, le të llogarisim një integral me një logaritëm, argumenti i të cilit është një polinom.
.

Bërja e zëvendësimeve
u = ln( x 2 - 1), dv = x dx .
Pastaj
,
.

Ne llogarisim integralin e mbetur:
.
Këtu nuk e shkruajmë shenjën e modulit ln | x 2 - 1|, meqenëse integrandi është përcaktuar në x 2 - 1 > 0 . Le të zëvendësojmë
.

Shembull i arksinës

Le të shqyrtojmë një shembull të një integrali, integrani i të cilit përfshin harkun.
.

Bërja e zëvendësimeve
u = harku x,
.
Pastaj
,
.

Më pas, vërejmë se integrandi është përcaktuar për |x|< 1 . Le të zgjerojmë shenjën e modulit nën logaritëm, duke marrë parasysh atë 1 - x > 0 Dhe 1 + x > 0.

Shembull tangjente harku

Le të zgjidhim shembullin me arktangjent:
.

Le të integrohemi sipas pjesëve.
.
Le të zgjedhim të gjithë pjesën e thyesës:
x 8 = x 8 + x 6 - x 6 - x 4 + x 4 + x 2 - x 2 - 1 + 1 = (x 2 + 1) (x 6 - x 4 + x 2 - 1) + 1;
.
Le të integrojmë:
.
Më në fund kemi.

Integralet e logaritmeve

Integrimi sipas pjesëve. Shembuj zgjidhjesh

Zgjidhje.

P.sh.

Llogarit integralin:

Duke përdorur vetitë e integralit (lineariteti), ᴛ.ᴇ. , e reduktojmë në një integral tabelor, e marrim atë

Pershendetje perseri. Sot në mësim do të mësojmë se si të integrojmë sipas pjesëve. Metoda e integrimit sipas pjesëve është një nga themelet e llogaritjes integrale. Gjatë testeve ose provimeve, studentëve pothuajse gjithmonë u kërkohet të zgjidhin llojet e mëposhtme të integraleve: integrali më i thjeshtë (shih artikullinIntegrali i pacaktuar. Shembuj zgjidhjesh ) ose një integral duke zëvendësuar një ndryshore (shih artikullinMetoda e ndryshimit të ndryshueshëm në një integral të pacaktuar ) ose integrali është thjesht i ndezur Metoda e integrimit me pjesë.

Si gjithmonë, duhet të keni pranë: Tabela e integraleve Dhe Tabela e derivateve. Nëse ende nuk i keni ato, atëherë ju lutemi vizitoni depon e faqes sime të internetit: Formula dhe tabela matematikore. Nuk do të lodhem duke përsëritur - është më mirë të printoni gjithçka. Do të përpiqem të paraqes të gjithë materialin në mënyrë konsistente, thjesht dhe qartë; nuk ka vështirësi të veçanta në integrimin e pjesëve.

Çfarë problemi zgjidh metoda e integrimit me pjesë? Metoda e integrimit sipas pjesëve zgjidh një problem shumë të rëndësishëm; ju lejon të integroni disa funksione që nuk janë në tabelë, puna funksionet, dhe në disa raste - edhe herës. Siç kujtojmë, nuk ka asnjë formulë të përshtatshme: . Por ekziston kjo: - formula për integrimin nga pjesët personalisht. E di, e di, ju jeni i vetmi - ne do të punojmë me të gjatë gjithë mësimit (është më e lehtë tani).

Dhe menjëherë lista në studio. Integralet e llojeve të mëposhtme merren sipas pjesëve:

1) , – logaritmi, logaritmi i shumëzuar me disa polinom.

2) , është një funksion eksponencial i shumëzuar me disa polinom. Kjo përfshin gjithashtu integrale si - një funksion eksponencial i shumëzuar me një polinom, por në praktikë kjo është 97 përqind, nën integral ka një shkronjë të bukur ʼʼеʼʼ. ... artikulli del disi lirik, oh po ... ka ardhur pranvera.

3) , – funksionet trigonometrike të shumëzuara me disa polinom.

4) - funksione trigonometrike të anasjellta ("harqe"), "harqe", shumëzuar me disa polinom.

Disa thyesa merren gjithashtu në pjesë; ne gjithashtu do të shqyrtojmë në detaje shembujt përkatës.

Shembulli 1

Gjeni integralin e pacaktuar.

Klasike. Herë pas here ky integral mund të gjendet në tabela, por nuk këshillohet të përdoret një përgjigje e gatshme, pasi mësuesi ka mungesë vitamine pranverore dhe do të shajë rëndë. Sepse integrali në shqyrtim nuk është aspak tabelor - ai merret pjesë-pjesë. Ne vendosim:

E ndërpresim zgjidhjen për shpjegime të ndërmjetme.

Ne përdorim formulën e integrimit sipas pjesëve:

Integralet e logaritmeve - koncepti dhe llojet. Klasifikimi dhe veçoritë e kategorisë "Integrale logaritmesh" 2017, 2018.