Në lëndën e matematikës së klasës së 7-të hasim për herë të parë ekuacionet me dy ndryshore, por ato studiohen vetëm në kuadrin e sistemeve të ekuacioneve me dy të panjohura. Kjo është arsyeja pse një seri e tërë problemesh në të cilat vendosen kushte të caktuara në koeficientët e ekuacionit që i kufizojnë ato bien jashtë syve. Përveç kësaj, metodat për zgjidhjen e problemeve si "Zgjidhja e një ekuacioni me numra natyrorë ose me numra të plotë" gjithashtu shpërfillen, megjithëse probleme të këtij lloji gjenden gjithnjë e më shpesh në materialet e Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe në provimet pranuese.

Cili ekuacion do të quhet ekuacion me dy ndryshore?

Kështu, për shembull, ekuacionet 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, ose xy = 12 janë ekuacione në dy ndryshore.

Konsideroni ekuacionin 2x – y = 1. Bëhet i vërtetë kur x = 2 dhe y = 3, kështu që ky çift vlerash të ndryshueshme është një zgjidhje për ekuacionin në fjalë.

Kështu, zgjidhja e çdo ekuacioni me dy ndryshore është një grup çiftesh të renditura (x; y), vlerat e variablave që e kthejnë këtë ekuacion në një barazi të vërtetë numerike.

Një ekuacion me dy të panjohura mund të:

A) kanë një zgjidhje. Për shembull, ekuacioni x 2 + 5y 2 = 0 ka një zgjidhje unike (0; 0);

b) kanë zgjidhje të shumta. Për shembull, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ka 4 zgjidhje: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) nuk ka zgjidhje. Për shembull, ekuacioni x 2 + y 2 + 1 = 0 nuk ka zgjidhje;

G) kanë pafundësisht shumë zgjidhje. Për shembull, x + y = 3. Zgjidhjet e këtij ekuacioni do të jenë numra, shuma e të cilëve është e barabartë me 3. Bashkësia e zgjidhjeve të këtij ekuacioni mund të shkruhet në formën (k; 3 - k), ku k është çdo real numri.

Metodat kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve me dy variabla janë metodat e bazuara në faktorizimin e shprehjeve, izolimi i një katrori të plotë, përdorimi i vetive të një ekuacioni kuadratik, shprehjet e kufizuara dhe metodat e vlerësimit. Ekuacioni zakonisht shndërrohet në një formë nga e cila mund të merret një sistem për gjetjen e të panjohurave.

Faktorizimi

Shembulli 1.

Zgjidheni ekuacionin: xy – 2 = 2x – y.

Zgjidhje.

Ne grupojmë termat për qëllim të faktorizimit:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Nga çdo kllapa nxjerrim një faktor të përbashkët:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Kemi:

y = 2, x – çdo numër real ose x = -1, y – çdo numër real.

Kështu, përgjigja janë të gjitha çiftet e formës (x; 2), x € R dhe (-1; y), y € R.

Barazia e numrave jonegativë në zero

Shembulli 2.

Zgjidheni ekuacionin: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Zgjidhje.

Grupimi:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Tani çdo kllapa mund të paloset duke përdorur formulën e diferencës në katror.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Shuma e dy shprehjeve jo negative është zero vetëm nëse 3x – 2 = 0 dhe 2y – 3 = 0.

Kjo do të thotë x = 2/3 dhe y = 3/2.

Përgjigje: (2/3; 3/2).

Metoda e vlerësimit

Shembulli 3.

Zgjidheni ekuacionin: (x 2 + 2x + 2) (y 2 – 4y + 6) = 2.

Zgjidhje.

Në çdo kllapa zgjedhim një katror të plotë:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Le të vlerësojmë kuptimi i shprehjeve në kllapa.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 dhe (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, atëherë ana e majtë e ekuacionit është gjithmonë të paktën 2. Barazia është e mundur nëse:

(x + 1) 2 + 1 = 1 dhe (y – 2) 2 + 2 = 2, që do të thotë x = -1, y = 2.

Përgjigje: (-1; 2).

Le të njihemi me një metodë tjetër për zgjidhjen e ekuacioneve me dy ndryshore të shkallës së dytë. Kjo metodë konsiston në trajtimin e ekuacionit si katror në lidhje me disa ndryshore.

Shembulli 4.

Zgjidheni ekuacionin: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Zgjidhje.

Le ta zgjidhim ekuacionin si ekuacion kuadratik për x. Le të gjejmë diskriminuesin:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Ekuacioni do të ketë zgjidhje vetëm kur D = 0, domethënë nëse y = 4. Ne e zëvendësojmë vlerën e y në ekuacionin origjinal dhe gjejmë se x = 3.

Përgjigje: (3; 4).

Shpesh në ekuacionet me dy të panjohura ato tregojnë kufizimet në variabla.

Shembulli 5.

Zgjidheni ekuacionin me numra të plotë: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Zgjidhje.

Le ta rishkruajmë ekuacionin në formën x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Ana e djathtë e ekuacionit që rezulton kur pjesëtohet me 5 jep një mbetje prej 2. Prandaj, x 2 nuk pjesëtohet me 5. Por katrori i a numri i papjesëtueshëm me 5 jep një mbetje prej 1 ose 4. Pra, barazia është e pamundur dhe nuk ka zgjidhje.

Përgjigje: pa rrënjë.

Shembulli 6.

Zgjidheni ekuacionin: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Zgjidhje.

Le të theksojmë katrorët e plotë në çdo kllapa:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ana e majtë e ekuacionit është gjithmonë më e madhe ose e barabartë me 3. Barazia është e mundur me kusht |x| – 2 = 0 dhe y + 3 = 0. Kështu, x = ± 2, y = -3.

Përgjigje: (2; -3) dhe (-2; -3).

Shembulli 7.

Për çdo çift të numrave të plotë negativ (x;y) që plotëson ekuacionin
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, njehso shumën (x + y). Ju lutemi tregoni shumën më të vogël në përgjigjen tuaj.

Zgjidhje.

Le të zgjedhim katrorë të plotë:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Meqenëse x dhe y janë numra të plotë, edhe katrorët e tyre janë numra të plotë. Ne marrim shumën e katrorëve të dy numrave të plotë të barabartë me 37 nëse mbledhim 1 + 36. Prandaj:

(x – y) 2 = 36 dhe (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 dhe (y + 2) 2 = 36.

Duke zgjidhur këto sisteme dhe duke marrë parasysh se x dhe y janë negative, gjejmë zgjidhje: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Përgjigje: -17.

Mos u dëshpëroni nëse keni vështirësi në zgjidhjen e ekuacioneve me dy të panjohura. Me pak praktikë, mund të përballoni çdo ekuacion.

Ende keni pyetje? Nuk dini si të zgjidhni ekuacionet në dy ndryshore?
Për të marrë ndihmë nga një mësues, regjistrohu.
Mësimi i parë është falas!

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Heinrich G.N. FMS Nr. 146, Perm

54 ≡ 6× 5 ≡ 2 (mod. 7),

55 ≡ 2× 5 ≡ 3 (mod 7), 56 ≡ 3× 5 ≡ 1 (mod 7).

Duke e ngritur k në fuqi, marrim 56k ≡ 1(mod 7) për çdo k natyral. Prandaj 5555 =56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7).

(Gjeometrikisht, kjo barazi do të thotë që ne shkojmë rreth rrethit, duke filluar nga 5, nëntëdhjetë e dy cikle dhe tre numra të tjerë). Kështu, numri 222555 lë një mbetje prej 6 kur ndahet me 7.

Zgjidhja e ekuacioneve në numra të plotë.

Pa dyshim, një nga temat interesante në matematikë është zgjidhja e ekuacioneve diofantine. Kjo temë studiohet në klasën e 8-të, e më pas në klasat e 10-ta dhe të 11-ta.

Çdo ekuacion që duhet të zgjidhet me numra të plotë quhet ekuacion diofantin. Më i thjeshti prej tyre është një ekuacion i formës ax+bу=c, ku a, b dhe cÎ Z. Për zgjidhjen e këtij ekuacioni përdoret teorema e mëposhtme.

Teorema. Ekuacioni linear diofantin ax+bу=c, ku a, b dhe сО Z ka një zgjidhje nëse dhe vetëm nëse c pjesëtohet me gcd të numrave a dhe b. Nëse d=GCD (a, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d dhe (x0, y0) është zgjidhje e ekuacionit akh+bу=с, atëherë të gjitha zgjidhjet jepen me formulat x=x0 +b1 t, y=y0 –a1 t, ku t është një numër i plotë arbitrar.

1. Zgjidhini ekuacionet në numra të plotë:

2. Kam shqyrtuar problemet e mëposhtme me maturantët në përgatitjen për Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë për këtë temë.

1). Zgjidheni ekuacionin me numra të plotë: xy+3y+2x+6=13. Zgjidhja:

Le të faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit. Ne marrim:

Meqenëse x, уО Z, marrim një grup sistemesh ekuacionesh:

Heinrich G.N.

FMS Nr. 146, Perm

Përgjigje: (–2;11), (10; –1), (–4; –15), (–15, –3)

2). Zgjidheni ekuacionin me numra natyrorë: 3x +4y =5z.

9). Gjeni të gjithë çiftet e numrave natyrorë m dhe n për të cilët vlen barazia 3m +7=2n.

10). Gjeni të gjitha trinjakët e numrave natyrorë k, m dhe n për të cilët vlen barazia: 2∙k!=m! – 2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)

njëmbëdhjetë). Të gjithë termat e sekuencës së fundme janë numra natyrorë. Secili anëtar i kësaj sekuence, duke filluar nga i dyti, është ose 14 herë më i madh ose 14 herë më i vogël se ai i mëparshmi. Shuma e të gjithë termave të sekuencës është 4321.

c) Cili është numri më i madh i termave që mund të ketë sekuenca? Zgjidhja:

a) Le të a1 =x, pastaj a2 = 14x ose a1 =14x, pastaj a2 =x. Pastaj, sipas kushtit, a1 + a2 = 4321. Marrim: x + 14x = 4321, 15x = 4321, por 4321 nuk është shumëfish i 15, që do të thotë se nuk mund të ketë dy terma në sekuencë.

b) Le të a1 =x, pastaj a2 = 14x, a3 =x, ose 14x+x+14x=4321, ose x+14x+x=4321. 29x=4321, pastaj x=149, 14x=2086. Kjo do të thotë se sekuenca mund të ketë tre terma. Në rastin e dytë, 16x=4321, por atëherë x nuk është numër natyror.

Pa pergjigje; b) po; c) 577.

12). Të gjithë termat e sekuencës së fundme janë numra natyrorë. Secili anëtar i kësaj sekuence, duke filluar me të dytin, ose në 10; herë më shumë, ose 10 herë më pak se ai i mëparshmi. Shuma e të gjithë termave të sekuencës është 1860.

a) A mund të ketë një sekuencë dy terma? b) A mundet një sekuencë të ketë tre terma?

c) Cili është numri më i madh i termave që mund të ketë sekuenca?

Natyrisht, ne mund të flasim për pjesëtueshmërinë e numrave të plotë dhe të shqyrtojmë problemet në këtë temë pafundësisht. Unë u përpoqa ta konsideroja këtë temë në mënyrë të tillë që të interesonte më shumë studentët, t'u tregoja atyre bukurinë e matematikës nga ky këndvështrim.

Bibliografi:

1. A. Ya. Kannel-Belov, A. K. Kovaldzhi. Si të zgjidhni problemet jo standarde Moskë ICSME 2001

2. A.V. Spivak. Shtesë e revistës Kvant nr. 4/2000 Festa matematike, Moskë 2000

3. A.V. Spivak. Rrethi matematikor, "Mbillja" 2003

4. Shën Petersburg pallati i qytetit të krijimtarisë rinore. Rrethi matematikor. Libër problematikash për vitin e parë dhe të dytë të studimit. Shën Petersburg. 1993

5. Algjebër për klasën e 8-të. Një libër shkollor për nxënësit në shkolla dhe klasa me studim të thelluar të matematikës. Redaktuar nga N.Ya Vilenkin. Moskë, 1995

6. M.L. Galitsky, A.M. Goldman, L.I. Zvavich. Mbledhja e problemave të algjebrës për Klasat 8-9. Një libër shkollor për nxënësit në shkolla dhe klasa me studim të thelluar të matematikës. Moska, Iluminizmi. 1994

7. Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov. Algjebër klasa e 8-të. Një libër shkollor për shkolla dhe klasa me studim të thelluar të matematikës. Moskë, 2001

8. M.I.Shabunin, A.A.Prokofiev UMK MATEMATIKA Algjebra. Fillimet e analizës matematikore. Niveli i profilit. Libër mësuesi për klasën e 11-të. Moska Binom. Laboratori i Dijes 2009

9. M.I. Shabunin, A.A. Prokofiev, T.A. Oleinik, T.V. Sokolova. UMK MATEMATIKA Algjebra. Fillimet e analizës matematikore. Niveli i profilit Libri me problematika për klasën e 11-të. Moska Binom. Laboratori i Dijes 2009

10. A.G. Klovo, D.A. Maltsev, L.I. Abzelilova Matematikë. Mbledhja e testeve sipas planit të Provimit të Unifikuar të Shtetit 2010

11. Provimi i Unifikuar i Shtetit-2010. "Legjioni-M". Rostov-on-Don 2009

12. Provimi i Unifikuar i Shtetit UMK “Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit”. Redaktuar nga F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov. Përgatitja për Provimi i Unifikuar i Shtetit 2011. "Legjioni-M". Rostov-on-Don 2010

13. UMK "Matematikë. Provimi i Unifikuar i Shtetit 2010”. Redaktuar nga F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov. MATEMATIKA Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit-2010. Testet edukative dhe trajnuese. "Legjioni-M". Rostov-on-Don 2009

14. Provimi i Unifikuar i Shtetit FIPI. Materiale universale për përgatitjen e studentëve MATEMATIKA 2010"Intelekt-Qendra" 2010

15. A.Zh.Zhafyarov. Matematika. Provimi i Unifikuar Shtetëror-2010 Konsultimi Express. Shtëpia Botuese e Universitetit Siberian, 2010

Zgjidhja e ekuacioneve në numra të plotë.

Ekuacionet e pasigurta janë ekuacione që përmbajnë më shumë se një të panjohur. Me një zgjidhje të një ekuacioni të papërcaktuar nënkuptojmë një grup vlerash të të panjohurave që e kthejnë ekuacionin e dhënë në një barazi të vërtetë.

Për të zgjidhur në numra të plotë një ekuacion të formës ah + nga = c , Ku A, b , c - numra të plotë përveç zeros, ne paraqesim një sërë dispozitash teorike që do të na lejojnë të vendosim një rregull vendimi. Këto dispozita bazohen edhe në fakte tashmë të njohura të teorisë së pjesëtueshmërisë.

Teorema 1.Nëse gcd (A, b ) = d , atëherë ka numra të tillë të plotë X Dhe në, që barazia qëndron ah + b y = d . (Kjo barazi quhet një kombinim linear ose një paraqitje lineare e pjesëtuesit më të madh të përbashkët të dy numrave për sa i përket vetë numrave.)

Vërtetimi i teoremës bazohet në përdorimin e barazisë së algoritmit Euklidian për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy numrave (pjesëtuesi më i madh i përbashkët shprehet me koeficientët e pjesshëm dhe mbetjet, duke filluar nga barazia e fundit në algoritmin Euklidian).

Shembull.

Gjeni paraqitjen lineare të pjesëtuesit më të madh të përbashkët të numrave 1232 dhe 1672.

Zgjidhje.

1. Le të krijojmë barazitë e algoritmit Euklidian:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, d.m.th. (1672.352) = 88.

2) Le ta shprehim 88 në mënyrë sekuenciale përmes herësit dhe mbetjeve jo të plota, duke përdorur barazitë e marra më sipër, duke filluar nga fundi:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, d.m.th. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Teorema 2. Nëse ekuacioni ah + b y = 1 , nëse gcd (A, b ) = 1 , mjafton të imagjinohet numri 1 si një kombinim linear i numrave a dhe b.

Vlefshmëria e kësaj teoreme rrjedh nga teorema 1. Kështu, për të gjetur një zgjidhje të vetme me numër të plotë të ekuacionit ah + b y = 1, nëse gcd (a, b) = 1, mjafton të përfaqësohet numri 1 si një kombinim linear i numrave A Dhe V .

Shembull.

Gjeni një zgjidhje me numër të plotë për ekuacionin 15x + 37y = 1.

Zgjidhje.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

Teorema 3. Nëse në barazimin. ah + b y = c gcd(a, b ) = d >1 Dhe Me nuk ndahet me d , atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje me numra të plotë.

Për të vërtetuar teoremën, mjafton të supozojmë të kundërtën.

Shembull.

Gjeni një zgjidhje me numër të plotë për ekuacionin 16x - 34y = 7.

Zgjidhje.

(16.34)=2; 7 nuk është i pjesëtueshëm me 2, ekuacioni nuk ka zgjidhje me numër të plotë

Teorema 4. Nëse në barazimin. ah + b y = c gcd(a, b ) = d > 1 dhe c d , atëherë është

Gjatë vërtetimit të teoremës, duhet të tregohet se një zgjidhje arbitrare me numër të plotë për ekuacionin e parë është gjithashtu një zgjidhje e ekuacionit të dytë dhe anasjelltas.

Teorema 5. Nëse në barazimin. ah + b y = c gcd(a, b ) = 1, atëherë të gjitha zgjidhjet me numra të plotë të këtij ekuacioni përmbahen në formulat:

t - çdo numër i plotë.

Gjatë vërtetimit të teoremës, duhet të tregohet, së pari, se formulat e mësipërme japin në të vërtetë zgjidhje për këtë ekuacion dhe, së dyti, se një zgjidhje arbitrare me numër të plotë të këtij ekuacioni gjendet në formulat e mësipërme.

Teoremat e mësipërme na lejojnë të vendosim rregullin e mëposhtëm për zgjidhjen e ekuacionit në numra të plotë ah+ b y = c gcd(a, b ) = 1:

1) Gjendet një zgjidhje me numër të plotë të ekuacionit ah + b y = 1 duke paraqitur 1 si një kombinim linear numrash A Dheb (ka mënyra të tjera për të gjetur zgjidhje të tëra për këtë ekuacion, për shembull duke përdorur thyesat e vazhdueshme);

Dhënia t disa vlera të plota, mund të merrni zgjidhje të pjesshme për këtë ekuacion: më e vogla në vlerë absolute, më e vogla pozitive (nëse është e mundur), etj.

Shembull.

Gjeni zgjidhje me numra të plotë të ekuacionit 407x - 2816y = 33.

Zgjidhje.

1. E thjeshtojmë këtë ekuacion, duke e sjellë në formën 37x - 256y = 3.

2. Zgjidhe ekuacionin 37x - 256y = 1.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. Pamje e përgjithshme e të gjitha zgjidhjeve me numra të plotë të këtij ekuacioni:

x = -83∙3 - 256 t = -249 - 256 t,

y = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t.

Metoda e numërimit shterues të të gjitha vlerave të mundshme të variablave,

përfshirë në ekuacion.

Gjeni bashkësinë e të gjithë çifteve të numrave natyrorë që janë zgjidhje të ekuacionit 49x + 51y = 602.

Zgjidhja:

Le të shprehim ndryshoren x nga ekuacioni përmes y x =, meqenëse x dhe y janë numra natyrorë, atëherë x =602 - 51у ≥ 49, 51у≤553, 1≤у≤10.

Një kërkim i plotë i opsioneve tregon se zgjidhjet natyrore të ekuacionit janë x=5, y=7.

Përgjigje: (5;7).

Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur metodën e faktorizimit.

Diofanti, së bashku me ekuacionet lineare, konsideroi ekuacione të pacaktuara kuadratike dhe kubike. Zgjidhja e tyre është zakonisht e vështirë.

Le të shqyrtojmë një rast kur formula e diferencës së katrorëve ose një metodë tjetër faktorizimi mund të zbatohet në ekuacione.

Zgjidheni ekuacionin me numra të plotë: x 2 + 23 = y 2

Zgjidhja:

Le ta rishkruajmë ekuacionin në formën: y 2 - x 2 = 23, (y - x)(y + x) = 23

Meqenëse x dhe y janë numra të plotë dhe 23 është një numër i thjeshtë, rastet e mëposhtme janë të mundshme:

Duke zgjidhur sistemet që rezultojnë, gjejmë:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

Shprehja e një ndryshoreje me një tjetër dhe izolimi i të gjithë pjesës së thyesës.

Zgjidheni ekuacionin me numra të plotë: x 2 + xy – y – 2 = 0.

Zgjidhja:

Le të shprehim y përmes x nga ky ekuacion:

y(x - 1) =2 - x 2,

Ekuacione jolineare me dy të panjohura

Përkufizimi 1. Le të jetë A disa grup çiftesh numrash (x; y) . Thonë se është dhënë bashkësia A funksioni numerik z nga dy variabla x dhe y , nëse specifikohet një rregull me ndihmën e së cilës çdo çift numrash nga bashkësia A shoqërohet me një numër të caktuar.

Specifikimi i një funksioni numerik z të dy ndryshoreve x dhe y është shpesh tregojnë Kështu që:

Ku f (x , y) – çdo funksion tjetër përveç funksionit

f (x , y) = sëpatë+nga+c ,

ku a, b, c jepen numra.

Përkufizimi 3. Zgjidhja e ekuacionit (2) telefononi një çift numrash ( x; y), për të cilën formula (2) është një barazi e vërtetë.

Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin

Meqenëse katrori i çdo numri është jonegativ, nga formula (4) rezulton se të panjohurat x dhe y plotësojnë sistemin e ekuacioneve

zgjidhja e së cilës është një çift numrash (6; 3).

Përgjigje: (6; 3)

Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin

Prandaj, zgjidhja e ekuacionit (6) është numër i pafund i çifteve të numrave lloj

(1 + y ; y) ,

ku y është çdo numër.

lineare

Përkufizimi 4. Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh

telefononi një çift numrash ( x; y) , kur i zëvendësojmë në secilin nga ekuacionet e këtij sistemi, fitohet barazia e saktë.

Sistemet e dy ekuacioneve, njëri prej të cilëve është linear, kanë formën

g(x , y)

Shembulli 4. Zgjidh sistemin e ekuacioneve

Zgjidhje . Le të shprehim të panjohurën y nga ekuacioni i parë i sistemit (7) përmes të panjohurës x dhe të zëvendësojmë shprehjen që rezulton në ekuacionin e dytë të sistemit:

Zgjidhja e ekuacionit

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Prandaj,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Sistemet e dy ekuacioneve, njëra prej të cilave është homogjene

Sistemet e dy ekuacioneve, njëra prej të cilave është homogjene, kanë formën

ku a, b, c jepen numra dhe g(x , y) – funksioni i dy ndryshoreve x dhe y.

Shembulli 6. Zgjidh sistemin e ekuacioneve

Zgjidhje . Le të zgjidhim ekuacionin homogjen

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

duke e trajtuar atë si një ekuacion kuadratik në lidhje me të panjohurën x:

.

Në rast se x = - 5y, nga ekuacioni i dytë i sistemit (11) fitojmë ekuacionin

5y 2 = - 20 ,

që nuk ka rrënjë.

Në rast se

nga ekuacioni i dytë i sistemit (11) fitojmë ekuacionin

,

rrënjët e të cilit janë numrat y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Duke gjetur për secilën nga këto vlera y vlerën përkatëse x, marrim dy zgjidhje për sistemin: (- 2 ; 3), (2 ; - 3) .

Përgjigje: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Shembuj të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve të llojeve të tjera

Shembulli 8. Zgjidh një sistem ekuacionesh (MIPT)

Zgjidhje . Le të prezantojmë të panjohurat e reja u dhe v, të cilat shprehen përmes x dhe y sipas formulave:

Për të rishkruar sistemin (12) në terma të të panjohurave të reja, fillimisht shprehim të panjohurat x dhe y në terma u dhe v. Nga sistemi (13) rezulton se

Le të zgjidhim sistemin linear (14) duke eliminuar variablin x nga ekuacioni i dytë i këtij sistemi. Për këtë qëllim, ne kryejmë transformimet e mëposhtme në sistemin (14).

Ka shumë shtigje që të çojnë nga buza e pyllit në pyll. Ato janë dredha-dredha, konvergojnë, ndryshojnë përsëri dhe kryqëzohen përsëri me njëri-tjetrin. Gjatë ecjes, mund të vëreni vetëm bollëkun e këtyre shtigjeve, të ecni përgjatë disa prej tyre dhe të gjurmoni drejtimin e tyre në thellësi të pyllit. Për të studiuar seriozisht pyllin, duhet të ndiqni shtigjet derisa ato të jenë të dukshme fare midis halave dhe shkurreve të thata të pishës.

Prandaj, desha të shkruaj një projekt që mund të konsiderohet si një përshkrim i një prej shëtitjeve të mundshme përgjatë skajit të matematikës moderne.

Bota përreth, nevojat e ekonomisë kombëtare dhe shpesh shqetësimet e përditshme paraqesin gjithnjë e më shumë detyra të reja për një person, zgjidhja e të cilave nuk është gjithmonë e dukshme. Ndonjëherë një pyetje e veçantë ka shumë përgjigje të mundshme, gjë që e bën të vështirë zgjidhjen e problemeve. Si të zgjidhni opsionin e duhur dhe optimal?

Zgjidhja e ekuacioneve të pasigurta lidhet drejtpërdrejt me këtë çështje. Ekuacione të tilla, që përmbajnë dy ose më shumë ndryshore, për të cilat është e nevojshme të gjenden të gjitha zgjidhjet e numrave të plotë ose natyrore, janë konsideruar që nga kohërat e lashta. Për shembull, matematikani grek Pitagora (shekulli IV para Krishtit). matematikani Aleksandrian Diophantus (shek. II-III pas Krishtit) dhe matematikanët më të mirë të një epoke më të afërt me ne - P. Fermat (shek. XVII), L. Euler (shek. XVIII), J. L. Lagrange (shek. XVIII) e të tjerë.

Duke marrë pjesë në konkursin rus të korrespondencës > në Obninsk, Konkursin Ndërkombëtar të Lojërave > dhe Olimpiadën e Qarkut Federal Ural, shpesh ndeshem me detyra të tilla. Kjo për faktin se zgjidhja e tyre është kreative. Problemet që lindin gjatë zgjidhjes së ekuacioneve në numra të plotë shkaktohen si nga kompleksiteti ashtu edhe nga fakti se atyre u kushtohet pak kohë në shkollë.

Diofanti paraqet një nga misteret më të vështira në historinë e shkencës. Nuk e dimë kohën kur ka jetuar, as paraardhësit e tij që do të kishin punuar në të njëjtën fushë. Veprat e tij janë si një zjarr i ndezur në mes të errësirës së padepërtueshme.

Periudha kohore kur Diofanti mund të kishte jetuar është gjysmë mijëvjeçari! Kufiri i poshtëm përcaktohet pa vështirësi: në librin e tij mbi numrat poligonalë, Diofanti përmend vazhdimisht matematikanin Hypsicle të Aleksandrisë, i cili jetoi në mesin e shekullit të 2-të. para Krishtit e.

Nga ana tjetër, në komentet e Theonit të Aleksandrisë për astronomin e famshëm Ptolemeu ka një fragment nga vepra e Diofantit. Theoni jetoi në mesin e shekullit të 4-të. n. e. Kjo përcakton kufirin e sipërm të këtij intervali. Pra, 500 vjet!

Historiani francez i shkencës Paul Tannry, redaktor i tekstit më të plotë të Diophantus, u përpoq të ngushtonte këtë hendek. Në bibliotekën Escurial ai gjeti pjesë nga një letër e Michael Psellus, një studiues bizantin i shekullit të 11-të. , ku thuhet se Anatolia më i ditur, pasi mblodhi pjesët më thelbësore të kësaj shkence, bëhet fjalë për futjen e shkallëve të së panjohurës dhe (emërtimin) e tyre, ia kushtoi mikut të tij Diofantit. Anatoli i Aleksandrisë në fakt përbëhet nga >, fragmente të të cilave citohen në veprat ekzistuese të Iamblichus dhe Eusenius. Por Anatoli jetoi në Aleksandri në mesin e shekullit të 111 para Krishtit. e dhe akoma më saktë - deri në vitin 270, kur u bë peshkop i Laodacias. Kjo do të thotë se miqësia e tij me Diofantin, të cilin të gjithë e quajnë Aleksandri, duhet të ketë ndodhur para kësaj. Pra, nëse matematikani i famshëm Aleksandri dhe miku i Anatolit me emrin Diofanti janë një person, atëherë koha e jetës së Diofantit është mesi i shekullit të 111 pas Krishtit.

Por vendi i banimit të Diofantit është i njohur - Aleksandria, qendra e mendimit shkencor dhe e botës helenistike.

Një nga epigramet e Antologjisë Palatine ka mbijetuar deri më sot:

Hiri i Diofantit prehet në varr: mrekullohuni me të - dhe guri

Mosha e të ndjerit do të flasë përmes artit të tij të mençur.

Me vullnetin e perëndive, ai jetoi një të gjashtën e jetës së tij si fëmijë.

Dhe u takova pesë e gjysmë me push në faqe.

Ishte vetëm dita e shtatë kur u fejua me të dashurën e tij.

Pasi kaloi pesë vjet me të, i urti priti djalin e tij.

Djali i dashur i babait të tij jetoi vetëm gjysmën e jetës së tij.

Ai u mor nga babai i tij nga varri i tij i hershëm.

Dy herë për dy vjet prindi vajtoi një pikëllim të rëndë.

Këtu pashë kufirin e jetës sime të trishtuar.

Duke përdorur metoda moderne të zgjidhjes së ekuacioneve, është e mundur të llogaritet sa vjet jetoi Diophantus.

Le të jetojë Diofanti x vjet. Le të krijojmë dhe zgjidhim ekuacionin:

Le të shumëzojmë ekuacionin me 84 për të hequr qafe thyesat:

Kështu, Diofanti jetoi 84 vjet.

Më misteriozja është vepra e Diofantit. Gjashtë nga trembëdhjetë librat që u kombinuan në > kanë arritur tek ne; stili dhe përmbajtja e këtyre librave ndryshojnë ashpër nga veprat e lashta klasike mbi teorinë e numrave dhe algjebrën, shembuj të të cilave ne i dimë nga > Euklidi, lemat e tij > nga veprat i Arkimedit dhe Apolonit. > ishte padyshim rezultat i studimeve të shumta që mbetën krejtësisht të panjohura.

Ne mund të hamendësojmë vetëm për rrënjët e saj dhe të mrekullohemi me pasurinë dhe bukurinë e metodave dhe rezultateve të saj.

> Diophanta është një koleksion problemesh (189 gjithsej), secila prej të cilave ka një zgjidhje. Problemet në të janë përzgjedhur me kujdes dhe shërbejnë për të ilustruar metoda shumë specifike, të menduara rreptësisht. Siç ishte zakon në kohët e lashta, metodat nuk formulohen në një formë të përgjithshme, por përsëriten për të zgjidhur probleme të ngjashme.

Dihet me besueshmëri një biografi unike e Diofantit, e cila, sipas legjendës, ishte gdhendur në gurin e varrit të tij dhe paraqiti një problem enigmë:

Ky enigmë shërben si shembull i problemeve që zgjidhi Diofanti. Ai u specializua në zgjidhjen e problemeve në numra të plotë. Probleme të tilla aktualisht njihen si probleme diofantine.

Studimi i ekuacioneve Diofantine zakonisht shoqërohet me vështirësi të mëdha.

Në vitin 1900, në Kongresin Botëror të Matematikanëve në Paris, një nga matematikanët kryesorë në botë, David Hilbert, identifikoi 23 probleme nga fusha të ndryshme të matematikës. Një nga këto probleme ishte problemi i zgjidhjes së ekuacioneve Diofantine. Problemi ishte si vijon: a është e mundur të zgjidhet një ekuacion me një numër arbitrar të panjohurash dhe koeficientësh të plotë në një mënyrë të caktuar - duke përdorur një algoritëm. Detyra është si më poshtë: për një ekuacion të caktuar, ju duhet të gjeni të gjitha vlerat e plota ose natyrore të variablave të përfshirë në ekuacion, në të cilat ai kthehet në një barazi të vërtetë. Diofanti doli me shumë zgjidhje të ndryshme për ekuacione të tilla. Për shkak të shumëllojshmërisë së pafundme të ekuacioneve diofantine, nuk ka një algoritëm të përgjithshëm për zgjidhjen e tyre dhe pothuajse për çdo ekuacion duhet shpikur një teknikë individuale.

Një ekuacion diofantin i shkallës 1 ose një ekuacion linear diofantin me dy të panjohura është një ekuacion i formës: ax+by=c, ku a,b,c janë numra të plotë, GCD(a,b)=1.

Do të jap formulimet e teoremave në bazë të të cilave mund të përpilohet një algoritëm për zgjidhjen e ekuacioneve të papërcaktuara të shkallës së parë të dy ndryshoreve në numra të plotë.

Teorema 1. Nëse në një ekuacion, atëherë ekuacioni ka të paktën një zgjidhje.

Dëshmi:

Mund të supozojmë se një >0. Pasi kemi zgjidhur ekuacionin për x, marrim: x = c-vua. Do të vërtetoj se nëse në këtë formulë në vend të y zëvendësojmë të gjithë numrat natyrorë më të vegjël se a dhe 0, pra numrat 0;1;2;3;. ;a-1, dhe sa herë që kryeni ndarje, atëherë të gjitha mbetjet do të jenë të ndryshme. Në të vërtetë, në vend të y do të zëvendësoj numrat m1 dhe m2, më të vegjël se a. Si rezultat, unë do të marr dy fraksione: c-bm1a dhe c-bm2a. Pasi të kryej pjesëtimin dhe të shënoj herësit jo të plotë me q1 dhe q2, dhe mbetjet me r1 dhe r2, do të gjej с-вm1а=q1+ r1а, с-вm2а= q2+ r2а.

Unë do të supozoj se mbetjet r1 dhe r2 janë të barabarta. Pastaj, duke zbritur të dytën nga barazia e parë, marr: c-bm1a- c-bm2a = q1-q2, ose b(m1 - m2)a = q1-q2.

Meqenëse q1-q2 është një numër i plotë, atëherë ana e majtë duhet të jetë një numër i plotë. Prandaj, bm1 - m2 duhet të plotpjesëtohet me a, d.m.th., ndryshimi i dy numrave natyrorë, secili prej të cilëve është më i vogël se a, duhet të jetë i pjesëtueshëm me a, gjë që është e pamundur. Kjo do të thotë që mbetjet r1 dhe r2 janë të barabarta. Kjo do të thotë, të gjitha mbetjet janë të ndryshme.

Se. Kam marrë një të bilanceve të ndryshme më pak se një. Por a e dallueshme e numrave natyrorë që nuk e kalojnë a janë numrat 0;1;2;3;. ;a-1. Rrjedhimisht, midis mbetjeve do të ketë sigurisht një dhe vetëm një të barabartë me zero. Vlera e y, zëvendësimi i së cilës në shprehjen (c-vu)a jep një mbetje prej 0, dhe e kthen x=(c-vu)a në një numër të plotë. Q.E.D.

Teorema 2. Nëse në ekuacion, dhe c nuk pjesëtohet me, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje me numër të plotë.

Dëshmi:

Le të jetë d=GCD(a;b), në mënyrë që a=md, b=nd, ku m dhe n janë numra të plotë. Atëherë ekuacioni do të marrë formën: mdх+ ndу=с, ose d(mх+ nу)=с.

Duke supozuar se ka numra të plotë x dhe y që plotësojnë ekuacionin, konstatoj se koeficienti c është i pjesëtueshëm me d. Kontradikta që rezulton vërteton teoremën.

Teorema 3. Nëse në ekuacionin, dhe, atëherë është ekuivalente me ekuacionin në të cilin.

Teorema 4. Nëse në një ekuacion, atëherë të gjitha zgjidhjet me numra të plotë të këtij ekuacioni përmbahen në formulat:

ku x0, y0 është një zgjidhje e plotë e ekuacionit, është çdo numër i plotë.

Teoremat e formuluara bëjnë të mundur ndërtimin e algoritmit të mëposhtëm për zgjidhjen e një ekuacioni të formës në numra të plotë.

1. Gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave a dhe b, nëse c nuk pjesëtohet me, atëherë ekuacioni nuk ka zgjidhje me numër të plotë; nëse dhe atëherë

2. Pjesëtoni termin e ekuacionit me termin, duke përftuar një ekuacion në të cilin.

3. Gjeni një zgjidhje të plotë (x0, y0) të ekuacionit duke paraqitur 1 si një kombinim linear të numrave dhe;

4. Krijoni një formulë të përgjithshme për zgjidhjet me numra të plotë të këtij ekuacioni, ku x0, y0 është një zgjidhje e plotë e ekuacionit dhe është çdo numër i plotë.

2. 1 METODA E ZBRITJES

Shumë > bazohen në metoda për zgjidhjen e ekuacioneve të pasigurta. Për shembull, një mashtrim që përfshin hamendjen e datës së lindjes.

Ftojeni shokun tuaj të gjejë ditëlindjen e tij me shumën e numrave të barabartë me produktin e datës së lindjes së tij me 12 dhe numrin e muajit të lindjes me 31.

Për të marrë me mend ditëlindjen e mikut tuaj, duhet të zgjidhni ekuacionin: 12x + 31y = A.

Le t'ju jepet numri 380, pra kemi ekuacionin 12x + 31y = 380. Për të gjetur x dhe y, mund të arsyetoni kështu: numri 12x + 24y pjesëtohet me 12, prandaj, sipas vetive të pjesëtueshmëria (teorema 4.4), numri 7y dhe 380 duhet të kenë të njëjtën mbetje kur pjesëtohet me 12. Numri 380 kur pjesëtohet me 12 jep një mbetje prej 8, prandaj 7y kur pjesëtohet me 12 duhet gjithashtu të lërë një mbetje prej 8, dhe meqënëse y është numri i muajit, pastaj 1

Ekuacioni që zgjidhëm është një ekuacion diofantin i shkallës së parë me dy të panjohura. Për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla, mund të përdoret e ashtuquajtura metodë e zbritjes. Unë do të shqyrtoj algoritmin e kësaj metode duke përdorur ekuacionin specifik 5x + 8y = 39.

1. Do të zgjedh të panjohurën që ka koeficientin më të vogël (në rastin tonë është x), dhe do ta shpreh përmes një të panjohure tjetër:. Do të veçoj të gjithë pjesën: Natyrisht, x do të jetë një numër i plotë nëse shprehja rezulton të jetë një numër i plotë, i cili, nga ana tjetër, do të jetë rasti kur numri 4 - 3y është i pjesëtueshëm me 5 pa mbetje.

2. Do të prezantoj një variabël shtesë z si më poshtë: 4 - 3y = 5z. Si rezultat, do të marr një ekuacion të të njëjtit lloj si ai origjinal, por me koeficientë më të vegjël. Unë do ta zgjidh atë në lidhje me variablin y:. Duke zgjedhur të gjithë pjesën, marr:

Duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme me atë të mëparshme, unë prezantoj një ndryshore të re u: 3u = 1 - 2z.

3. Të panjohurën do ta shpreh me koeficientin më të vogël, në këtë rast variablin z: =. Duke kërkuar që ai të jetë një numër i plotë, marr: 1 - u = 2v, prej nga u = 1 - 2v. Nuk ka më fraksione, zbritja ka përfunduar.

4. Tani ju duhet >. Do të shpreh përmes ndryshores v fillimisht z, pastaj y dhe pastaj x: z = = = 3v - 1; = 3 - 5v.

5. Formulat x = 3+8v dhe y = 3 - 5v, ku v është një numër i plotë arbitrar, paraqesin zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit origjinal në numra të plotë.

Koment. Kështu, metoda e zbritjes përfshin fillimisht shprehjen sekuenciale të një ndryshoreje në terma të një tjetri derisa të mos mbeten fraksione në paraqitjen e ndryshores, dhe më pas në mënyrë sekuenciale përgjatë një zinxhiri barazish për të marrë një zgjidhje të përgjithshme të ekuacionit.

2. 2 METODA E ANKETAVE

Lepujt dhe fazanët ulen në një kafaz; ata kanë gjithsej 18 këmbë. Zbuloni sa prej të dyjave janë në qeli?

Më lejoni të krijoj një ekuacion me dy të panjohura, në të cilin x është numri i lepujve dhe y është numri i fazanëve:

4x + 2y = 18, ose 2x + y = 9.

Përgjigju. 1) 1 lepur dhe 7 fazanë; 2) 2 lepuj dhe 5 fazanë; 3) 3 lepuj dhe 3 fazanë; 4) 4 lepuj dhe 1 fazan.

1. PJESA PRAKTIKE

3.1 Zgjidhja e ekuacioneve lineare me dy të panjohura

1. Zgjidheni ekuacionin 407x - 2816y = 33 me numra të plotë.

Unë do të përdor algoritmin e përpiluar.

1. Duke përdorur algoritmin Euklidian, do të gjej pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 407 dhe 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Prandaj (407.2816) = 11, me 33 të pjesëtueshëm me 11.

2. Ndani të dyja anët e ekuacionit origjinal me 11, marrim ekuacionin 37x - 256y = 3, dhe (37, 256) = 1

3. Duke përdorur algoritmin Euklidian, do të gjej një paraqitje lineare të numrit 1 përmes numrave 37 dhe 256.

256 = 37 6 + 34;

Do të shpreh 1 nga barazia e fundit, më pas duke u ngjitur me radhë barazitë do të shpreh 3; 34 dhe zëvendësoni shprehjet që rezultojnë në shprehjen për 1.

1 = 34 - 3 11 = 34 - (37 - 34 1) 11 = 34 12 - 37 11 = (256 - 37 6) 12 - 37 11 =

83 37 - 256 (- 12)

Kështu, 37·(- 83) - 256·(- 12) = 1, pra çifti i numrave x0 = - 83 dhe y0 = - 12 është zgjidhje e ekuacionit 37x - 256y = 3.

4. Do të shkruaj formulën e përgjithshme për zgjidhjet e ekuacionit origjinal ku t është çdo numër i plotë.

Përgjigju. (-83c+bt; -12c-at), t є Z.

Koment. Mund të vërtetohet se nëse çifti (x1,y1) është një zgjidhje me numër të plotë të ekuacionit ku, atëherë të gjitha zgjidhjet me numra të plotë të këtij ekuacioni gjenden duke përdorur formulat: x=x1+bty=y1-at

2. Zgjidheni barazimin 14x - 33y=32 me numra të plotë.

Zgjidhje: x = (32 + 33y) : 14

(14 [. ] 2+ 5)y + (14 [. ] 2 + 4) = 14 [. ] 2v + 5v + 14[. ] 2 + 4 = 14 (2y + 2) + 5y + 4; 2y + 2 = p; p є Z

Kërkoni nga 1 në 13

Kur y = 2; (5 [. ] 2 + 4): 14

Më lejoni të zëvendësoj y = 2 në ekuacionin origjinal

14x = 32 +33 [. ] 2

14x = 32 + 66 x = 98: 14 = 7

Do të gjej të gjitha zgjidhjet me numra të plotë nga herësi i gjetur:

14(x - 7) + 98 - 33 (y -2) - 66 = 32

14 (x - 7) - 33 (y - 2)=0

14(x - 7) = 33 (y - 2) -> 14 (x - 7) : 33 -> (x - 7): 33 -> x = 33k + 7; k є Z

Më lejoni të zëvendësoj në ekuacionin origjinal:

14(33k + 7) - 33y = 32

14. 33k + 98 - 33y = 32 y = 14k + 2; x = 33k + 7, ku k є Z. Këto formula përcaktojnë zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit origjinal.

Përgjigju. (33k + 7; 14k + 2), k є Z.

3. Zgjidheni ekuacionin x - 3y = 15 me numra të plotë.

Do të gjej GCD(1,3)=1

Do të përcaktoj një zgjidhje të caktuar: x=(15+3y):1 duke përdorur metodën e numërimit, gjej vlerën y=0 pastaj x=(15+3 [. ] 0) =15

(15; 0) - zgjidhje private.

Të gjitha zgjidhjet e tjera gjenden duke përdorur formulat: x=3k + 15, k є Z y=1k+0=k, k є Z për k=0, marr një zgjidhje të veçantë (15;0)

Përgjigje: (3k+15; k), k є Z.

4. Zgjidheni ekuacionin 7x - y = 3 me numra të plotë.

Do të gjej GCD(7, -1)=1

Do të përcaktoj një zgjidhje të caktuar: x = (3+y):7

Duke përdorur metodën e forcës brutale, gjejmë vlerën y є y = 4, x = 1

Kjo do të thotë (1; 4) është një zgjidhje e veçantë.

I gjej të gjitha zgjidhjet e tjera duke përdorur formulat: x = 1k + 1, k є Z y = 7k + 4, k є Z

Përgjigje: (k+1;7k+4); k є Z.

5. Zgjidhe ekuacionin 15x+11 y = 14 numra të plotë.

Do të gjej GCD(15, -14)=1

Unë do të përcaktoj një zgjidhje të veçantë: x = (14 - 11y):15

Duke përdorur metodën e forcës brutale, gjej vlerën y є y = 4, x = -2

(-2;4) është një zgjidhje e veçantë.

I gjej të gjitha zgjidhjet e tjera duke përdorur formulat: x = -11k - 2, k є Z y =15k + 4, k є Z

Përgjigje: (-11k-2; 15k+4); k є Z.

6. Zgjidhe ekuacionin 3x - 2y = 12 numra të plotë.

Do të gjej GCD(3; 2)=1

Do të përcaktoj një zgjidhje të caktuar: x = (12+2y):3

Duke përdorur metodën e forcës brutale, gjej vlerën y є y = 0, x = 4

(4;0) është një zgjidhje e veçantë.

I gjej të gjitha zgjidhjet e tjera duke përdorur formulat: x = 2k + 4, k є Z y = 3k, k є Z

Përgjigje: (2k+4; 3k); k є Z.

7. Zgjidheni ekuacionin xy = x + y me numra të plotë.

Unë kam xy - x - y + 1 = 1 ose (x - 1) (y - 1) = 1

Prandaj x - 1 = 1, y - 1 = 1, prej nga x = 2, y = 2 ose x - 1 = - 1, y - 1 = - 1, prej nga x = 0, y = 0 zgjidhje të tjera në numra të plotë të dhëna ekuacioni nuk ka.

Përgjigju. 0;0;(2;2).

8. Zgjidheni ekuacionin 60x - 77y = 1 me numra të plotë.

Më lejoni të zgjidh këtë ekuacion për x: x = (77y + 1) / 60 = (60y + (17y +1)) / 60 = y + (17y + 1) / 60.

Le të (17y + 1) / 60 = z, atëherë y = (60z - 1) / 17 = 3z + (9z - 1) / 17. Nëse shënojmë (9z - 1) / 17 me t, atëherë z = (17t + 1) / 9 = 2t + (- t + 1) / 9. Së fundi, le të (- t + 1) / 9 = n, pastaj t = 1- 9n. Meqenëse gjej vetëm zgjidhje me numra të plotë të ekuacionit, z, t, n duhet të jenë numra të plotë.

Kështu, z = 2 - 18n + 2 = 2 - 17n, dhe për këtë arsye y = 6 - 51n + 1 - 9n = 7 - 60n, x = 2 - 17n +7 - 60n = 9 - 77n. Pra, nëse x dhe y janë zgjidhje me numra të plotë të një ekuacioni të caktuar, atëherë ekziston një numër i plotë n i tillë që x = 9 - 77n, y = 7 - 60n. Anasjelltas, nëse y = 9 - 77n, x = 7 - 60n, atëherë, padyshim, x, y janë numra të plotë. Kontrolli tregon se ato plotësojnë ekuacionin origjinal.

Përgjigju. (9 - 77n; 7 - 60n)); n є Z.

9. Zgjidheni ekuacionin 2x+11y =24 me numra të plotë.

Do të gjej GCD(2; 11)=1

Do të përcaktoj një zgjidhje të caktuar: x = (24-11y):2

Duke përdorur metodën e forcës brutale, gjej vlerën y є y = 0, x = 12

(12;0) është një zgjidhje e veçantë.

Të gjitha zgjidhjet e tjera i gjej duke përdorur formulat: x = -11k + 12, k є Z y = 2k + 0=2k, k є Z

Përgjigje:(-11k+12; 2k); k є Z.

10. Zgjidheni ekuacionin 19x - 7y = 100 me numra të plotë.

Do të gjej GCD(19, -7)=1

Do të përcaktoj një zgjidhje të caktuar: x = (100+7y):19

Duke përdorur metodën e forcës brutale, gjej vlerën y є y = 2, x = 6

(6;2) është një zgjidhje e veçantë.

I gjej të gjitha zgjidhjet e tjera duke përdorur formulat: x = 7k + 6, k є Z y = 19k + 2, k є Z

Përgjigje:(7k+6; 19k+2); kє Z.

11. Zgjidheni ekuacionin 24x - 6y = 144 me numra të plotë

Do të gjej GCD(24, 6)=3.

Ekuacioni nuk ka zgjidhje sepse GCD(24, 6)!=1.

Përgjigju. Nuk ka zgjidhje.

12. Zgjidheni ekuacionin me numra të plotë.

Unë transformoj raportin e koeficientëve për të panjohurat.

Para së gjithash, do të veçoj të gjithë pjesën e thyesës së papërshtatshme;

Unë do ta zëvendësoj thyesën e duhur me një thyesë të barabartë.

Atëherë do ta marr.

Do të bëj të njëjtat shndërrime me thyesën e gabuar të marrë në emërues.

Tani fraksioni origjinal do të marrë formën:

Duke përsëritur të njëjtin arsyetim për thyesën, marr.

Duke izoluar të gjithë pjesën e fraksionit të pahijshëm, arrij në rezultatin përfundimtar:

Mora një shprehje të quajtur thyesë e vazhdueshme e fundme ose thyesë e vazhduar. Duke hequr lidhjen e fundit të kësaj thyese të vazhdueshme - një të pestën, unë do ta transformoj thyesën e re të vazhdueshme që rezulton në një të thjeshtë dhe do ta zbres nga thyesa origjinale.

Unë do ta reduktoj shprehjen që rezulton në një emërues të përbashkët dhe do ta heq atë, atëherë

Nga krahasimi i barazisë që rezulton me ekuacionin rezulton se, do të jetë një zgjidhje për këtë ekuacion dhe, sipas teoremës, të gjitha zgjidhjet e tij do të përmbahen në,.

Përgjigju. (9+52t; 22+127t), t є Z.

Rezultati i marrë sugjeron që në rastin e përgjithshëm, për të gjetur një zgjidhje për ekuacionin, është e nevojshme të zgjerohet raporti i koeficientëve të të panjohurave në një fraksion të vazhdueshëm, të hidhet lidhja e tij e fundit dhe të kryhen llogaritjet e ngjashme me ato të kryera. jashtë sipër.

13. Zgjidheni ekuacionin 3xy + 2x + 3y = 0 në numra të plotë.

3xy + 2x + 3y = 3y + 2x + 3y + 2 - 2 = 3y(x + 1) + 2(x + 1) - 2 =

=(x + 1)(3v + 2) - 2,

(x + 1) (3y + 2) = 2,

3y + 2 = 1 ose 3y + 1 = 2 ose 3y + 1 = -1 ose 3y + 1 = -2 x + 1 = 2, x + 1 =1, x + 1 = -2, x + 1 = -1 ; x = 2 ose x = 0 ose x = -3 ose x = -2 y cent z, y = 0, y = -1, y cent z.

Përgjigje: (0;0);(-3;-1).

14. Zgjidheni ekuacionin y - x - xy = 2 me numra të plotë.

Zgjidhje: y - xy - x + 1 = 3, (y + 1) (1 - x) = 3,

3 = 1·3 = 3·1 = (-1)·(-3) = (-3)·(-1).

y + 1 = 1 ose y + 1 = 3 ose y + 1 = -1 ose y + 1 = -3

1 - x =3, 1 - x =1, 1 - x = -3, 1 - x = -1.

y = 0 ose y = 2 ose y = -2 ose y = -4 x = -2, x = 0, x = 4, x = 2

Përgjigje: (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2).

15. Zgjidheni ekuacionin y + 4x + 2xy = 0 me numra të plotë.

Zgjidhje: y + 4x + 2xy + 2 - 2 = 0, (2x + 1)(2 + y) = 2,

2 = 1∙2 = 2∙1 = (-2)∙(-1) = (-1)∙(-2).

2x + 1 = 1 ose 2x + 1 = 2 ose 2x + 1 = -1 ose 2x + 1 = -2

2 + y = 2, 2 + y = 1, 2 + y = -2, 2 + y = -1; y = 0 ose y = -1 ose y = -4 ose y = -3 x = 0, x cent Z, x = -1, x cent Z.

Përgjigje: (-1;-4);(0;0).

16. Zgjidheni ekuacionin 5x + 10y = 21 me numra të plotë.

5(x + 2y) = 21, pasi 21 != 5n, atëherë nuk ka rrënjë.

Përgjigju. Nuk ka rrënjë.

17. Të zgjidhet ekuacioni 3x + 9y = 51 në numra natyrorë.

3(x + 3y) = 3∙17, x = 17 - 3y, y = 1, x = 14; y = 2, x = 11; y = 3, x = 8; y = 4, x = 5; y = 5, x = 2; y = 6, x = -1, -1 cent N.

Përgjigje:(2;5);(5;4);(8;3);(11;2; (14:1).

18. Zgjidhe ekuacionin 7x+5y=232 me numra të plotë.

Unë do ta zgjidh këtë ekuacion në lidhje me të panjohurën në të cilën gjendet koeficienti (moduli) më i vogël, domethënë në këtë rast në lidhje me y: y = 232-7x5.

Më lejoni t'i zëvendësoj numrat në vend të x në këtë shprehje: 0;1;2;3;4. Unë marr: x=0, y=2325=4625, x=1, y=232-75=45, x=2, y=232-145=43.6, x=3, y=232-215=42, 2 , x=4, y=232-285=40,8

Përgjigju. (1;45).

19. Zgjidheni ekuacionin 3x + 4y + 5xy = 6 me numra të plotë.

Unë kam 3∙4 + 5∙6 = 42 = mn

Pjesëtuesit 42: - +- (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42).

x = m - 45, y = n - 35 konstatoj se me m = -1, -6, 14, -21 n = -42, -7, 3, -2 zgjidhjet jane: x = -1, -2 , 2, -5 y = -9, -2, 0, -1.

Pra, ky ekuacion ka 4 zgjidhje në numra të plotë dhe asnjë në numra natyrorë.

Përgjigju. -1;-9;-2;-2;2;0;(-5;-1).

20. Të zgjidhet ekuacioni 8x+65y=81 në numra natyrorë.

81⋮GCD(8;65)=>

8x=81-65y x=81-65y8=16+65-65y8=2+65(1-y)8.

Le të jetë 1-y8=t, t Є Z. x=2+65t>0y=1-8t>0

65t>-2-8t>-1 t>-265 t t=0.

Në t=0 x=2y=1

Përgjigju. (2; 1).

21. Gjeni zgjidhje jonegative me numra të plotë të ekuacionit 3x+7y=250.

250⋮GCD(3;7) =>ekuacioni mund të zgjidhet në numra të plotë.

x=250-7y3=243+7-7y3=81+7(1-y)3.

Le të jetë 1-y3=t, t Є Z.

x=81+7t>=0y=1-3t>=0

7t>=-81-3t>=-1 t>=-817t=-1147t t=-11;-10;. ;0.

x=81+7tу=1-3t t=-11 ​​x=4y=34 t=-10 x=11y=31 t=-9 x=18y=28 t=-8 x=25y=25 t=- 7 x =32y=22 t=-6 x=39y=19 t=-5 x=46y=16 t=-4 x=53y=13 t=-3 x=60y=10 t=-2 x=67y= 7 t =-1 x=74y=4 t=0 x=81y=1

Përgjigju. 11;31;18;28;25;25;32;22;39;19;46;16;53;13;60;10;67;7;74;4;81;1.

22. Zgjidheni ekuacionin xy+x+y3=1988 në numra të plotë.

Le të shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me 3. Marrim:

3x+3xy+y=5964

3x+3xy+y+1=5965

(3х+1)+(3х+у)=5965

(3x+1) + y(3x+1)=5965

(3x+1)(y+1)=5965

5965=1∙5965 ose 5965=5965∙1 ose 5965=-1∙(-5965) ose 5965=-5965∙(-1) ose 5965=5∙1193 ose 5965=1193∙5 -1193) ose 5965=-1193∙(-5)

1) 3x+1=1y+1=5965 2) 3x+1=5965y+1=1 x=0y=5964 x=1988y=0

3) 3x+1=5y+1=1193 4) 3x+1=1193y+1=5 zgjidhje në numra të plotë nuk ka zgjidhje në numra të plotë nr.

5) 3x+1=-1y+1=-5965 6) 3x+1=-5965y+1=-1 pa zgjidhje në numra të plotë pa zgjidhje në numra të plotë

7) 3x+1=-5y+1=-1193 8) 3x+1=-1193y+1=-5 x=-2y=1194 x=-398y=-6

Përgjigju. 0;5964;1988;0;-2;-1194;(-398;-6).

3. 2 ZGJIDHJA E PROBLEMEVE

Ekzistojnë disa lloje problemesh, më së shpeshti këto janë probleme të natyrës olimpike, të cilat zbresin në zgjidhjen e ekuacioneve Diofantine. Për shembull: a) Detyrat për këmbimin e një shume parash të një prerjeje të caktuar.

b) Probleme që përfshijnë transfuzionin dhe ndarjen e objekteve.

1. Blemë 390 lapsa me ngjyra në kuti me 7 dhe 12 lapsa. Sa nga këto dhe kuti të tjera keni blerë?

Unë do të caktoj: x kuti me 7 lapsa, y kuti me 12 lapsa.

Më lejoni të krijoj një ekuacion: 7x + 12y = 390

Do të gjej GCD(7, 12)=1

Do të përcaktoj një zgjidhje të caktuar: x = (390 - 12y):7

Duke përdorur metodën e forcës brutale, gjej vlerën y є y = 1, x = 54

(54;1) është një zgjidhje e veçantë.

I gjej të gjitha zgjidhjet e tjera duke përdorur formulat: x = -12k + 54, k є Z y = 7k + 1, k є Z

Kam gjetur shumë zgjidhje për ekuacionin. Duke marrë parasysh kushtet e problemit, unë do të përcaktoj numrin e mundshëm të të dy kutive.

Përgjigju. Mund të blini: 54 kuti me 7 lapsa dhe 1 kuti me 12 lapsa, ose 42 kuti me 7 lapsa dhe 8 kuti me 12 lapsa, ose 30 kuti me 7 lapsa dhe 15 kuti me 12 lapsa, ose 28 kuti me 7 lapsa dhe 22 kuti me 12 lapsa, ose 6 kuti me 7 lapsa dhe 29 kuti me 12 lapsa.

2. Njëra këmbë e trekëndëshit kënddrejtë është 7 cm më e madhe se tjetra dhe perimetri i trekëndëshit është 30 cm Gjeni të gjitha brinjët e trekëndëshit.

Unë do të caktoj: x cm - njërën këmbë, (x+7) cm - këmbën tjetër, y cm - hipotenuzë

Do të hartoj dhe zgjidh ekuacionin diofantin: x+(x+7)+y=30

Do të gjej GCD(2; 1)=1

Do të përcaktoj një zgjidhje të caktuar: x = (23 - y):2

Duke përdorur metodën e forcës brutale, gjej vlerën y =1 y = 1, x = 11

(11;1) është një zgjidhje e veçantë.

I gjej të gjitha zgjidhjet e tjera të ekuacionit duke përdorur formulat: x = -k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z k

Duke marrë parasysh se çdo brinjë e trekëndëshit është më e vogël se shuma e dy brinjëve të tjera, arrijmë në përfundimin se janë tre trekëndësha me brinjët 7, 9 dhe 14; 6, 11 dhe 13; 5, 13 dhe 12. Sipas kushteve të problemës jepet trekëndëshi kënddrejtë. Ky është një trekëndësh me brinjët 5, 13 dhe 12 (vërtet teorema e Pitagorës).

Përgjigje: Njëra këmbë është 5 cm, tjetra është 12 cm, hipotenuza është 13 cm.

3. Disa fëmijë po zgjidhnin mollët. Çdo djalë mblodhi 21 kg, kurse vajza 15 kg. Në total ata grumbulluan 174 kg. Sa djem dhe sa vajza zgjodhën mollë?

Le të ketë x djem dhe y vajza, ku x dhe y janë numra natyrorë. Më lejoni të krijoj një ekuacion:

Zgjidh me metodën e përzgjedhjes: x

6 Vetëm në x = 4 e panjohura e dytë merr një vlerë të plotë pozitive (y = 6). Për çdo vlerë tjetër të x, y do të jetë ose një thyesë ose negative. Prandaj, problemi ka një zgjidhje unike.

Përgjigju. 4 djem dhe 6 vajza.

4. A është e mundur të krijohet një grup lapsash me vlerë 3 rubla dhe stilolapsa me vlerë 6 rubla me vlerë 20 rubla?

Le të jetë numri i lapsave në grup x dhe numri i lapsave y.

Më lejoni të krijoj një ekuacion:

Për çdo numër të plotë x dhe y, ana e majtë e ekuacionit duhet të jetë e pjesëtueshme me 3; ana e djathtë nuk është e pjesëtueshme me 3. Kjo do të thotë se nuk ka numra të plotë x dhe y që do të plotësonin ekuacionin tonë. Ky ekuacion nuk mund të zgjidhet në numra të plotë. Është e pamundur të krijosh një grup të tillë.

Përgjigju. Nuk ka zgjidhje.

5. Gjeni një numër natyror që, kur pjesëtohet me 3, lë mbetje 2, dhe kur pjesëtohet me 5, lë mbetje 3.

Numrin e kërkuar do ta shënoj me x. Nëse shënoj herësin e x me 3 me y dhe herësin e pjesëtimit me 5 me z, atëherë marr: x=3y+2x=5z+3

Sipas kuptimit të problemës, x, y dhe z duhet të jenë numra natyrorë. Kjo do të thotë që ne duhet të zgjidhim një sistem të pacaktuar ekuacionesh në numra të plotë.

Për çdo numër të plotë y dhe z, x do të jetë gjithashtu një numër i plotë. Zbrit të parën nga ekuacioni i dytë dhe marr:

5z - 3y + 1 = 0.

Duke gjetur të gjithë numrat e plotë pozitivë y dhe z, menjëherë do të marr të gjitha vlerat e plota pozitive të x.

Nga ky ekuacion gjej:

Një zgjidhje është e qartë: për z = 1 marrim y = 2, dhe x dhe y janë numra të plotë. Zgjidhja x = 8 korrespondon me to.

Unë do të gjej zgjidhje të tjera. Për ta bërë këtë, unë do të prezantoj një u të panjohur ndihmëse, duke vendosur z = 1 + u. Unë do të marr:

5 (1 + u) - 3y + 1 = 0, pra 5u = 3y - 6 ose 5u = 3 (y - 2).

Ana e djathtë e ekuacionit të fundit pjesëtohet me 3 për çdo numër të plotë y. Kjo do të thotë se ana e majtë duhet të jetë gjithashtu e pjesëtueshme me 3. Por numri 5 është i dyfishtë me numrin 3; prandaj u duhet të pjesëtohet me 3, d.m.th., të ketë formën 3n, ku n është një numër i plotë. Në këtë rast, y do të jetë i barabartë

15n/3 + 2 = 5n + 2, d.m.th., gjithashtu një numër i plotë. Pra, z = 1 + u = 1 + 3n, prej nga x = 5z + 3 = 8 + 15n.

Rezultati nuk është një, por një grup i pafund vlerash për x: x = 8 + 15n, ku n është një numër i plotë (pozitiv ose zero):

Përgjigju. x=8+15n; n є 0;1;2;.

6. Subjektet i sollën Shahut 300 gurë të çmuar: në kuti të vogla nga 15 copë secila dhe në kuti të mëdha - 40 copë. Sa nga këto dhe të tjera kuti ishin aty, nëse dihet se kishte më pak të vogla se të mëdha?

Më lejoni të shënoj me x numrin e kutive të vogla dhe me y numrin e kutive të mëdha.

15x+40y=300. Do ta shkurtoj me 5.

3x+8y=60 x=60-8y3 x=60-6y-2y3

X=20-2y-2y3

Që vlera e një fraksioni të jetë një numër i plotë, 2y duhet të jetë shumëfish i 3, d.m.th. 2y = 3c.

Do të shpreh variablin y dhe do të zgjedh të gjithë pjesën:

Z duhet të jetë shumëfish i 2, pra z=2u.

Më lejoni të shpreh variablat x dhe y në terma u:

X=20-2y-2y3

Х=20-2∙3u-2∙3u3

Unë do të hartoj dhe zgjidh një sistem pabarazish:

Do të shkruaj të gjitha zgjidhjet: 1; 2. Tani do të gjej vlerat e x dhe y për u=1; 2.

1) x1=20-8∙1=20-8=12 y1=3∙1=3

2) x2=20-8∙2=20-16=4 y2=3∙2=6

Përgjigju. 4 kuti të vogla; 6 kuti të mëdha.

7. Janë dhënë dy makina Ural 5557, makinat u dërguan në një fluturim Krasnoturinsk - Perm - Krasnoturinsk. Në total, për të përfunduar këtë fluturim janë dashur 4 tonë naftë dhe 2 shoferë. Është e nevojshme të përcaktohen kostot e transportit, përkatësisht kostoja e 1 ton karburant dizel dhe pagat për shoferët që kryejnë këtë fluturim, nëse dihet se janë shpenzuar gjithsej 76,000 rubla.

Le të jetë x rubla kostoja e 1 ton karburant dizel dhe x rubla paga e shoferëve. Pastaj (4x + 2y) rubla u shpenzuan në fluturim. Dhe sipas kushteve të problemit, u shpenzuan 76,000 rubla.

Unë marr ekuacionin:

Për të zgjidhur këtë ekuacion, metoda e forcës brutale do të jetë një proces intensiv i punës. Kështu që unë do të përdor metodën >.

Do të shpreh variablin y përmes x: , do të zgjedh të gjithë pjesën dhe do të marr: (1).

Që vlera e një fraksioni të jetë një numër i plotë, 2x duhet të jetë një shumëfish i 4. Kjo do të thotë, 2x = 4z, ku z është një numër i plotë. Nga këtu:

Unë do të zëvendësoj vlerën e x në shprehjen (1):

Meqenëse x, y 0, pastaj 19000 z 0, prandaj, duke dhënë z vlerat e numrave të plotë nga 0 në 19000, marr vlerat e mëposhtme të x dhe y: z

Nga të dhënat reale për kostot e transportit, dihet se 1 ton naftë (x) kushton 18,000 rubla. , dhe pagesa për shoferët që kryejnë fluturimin (y) është 10,000 rubla. (të dhënat e marra afërsisht). Nga tabela gjejmë se vlera x e barabartë me 18000 dhe vlera y e barabartë me 10000 korrespondojnë me një vlerë z të barabartë me 9000, në të vërtetë: ;.

8. Në sa mënyra mund të mbledhni shumën prej 27 rubla? , duke pasur mjaft monedha me dy dhe pesë rubla?

Më lejoni të shënoj: x monedha me dy rubla dhe y monedha me pesë rubla

Unë do të krijoj një ekuacion, duke marrë parasysh gjendjen e problemit 2x + 5y = 27.

Do të gjej GCD(2;5)=1

Do të përcaktoj një zgjidhje të caktuar: x = (27-5y):2

Duke përdorur metodën e forcës brutale, gjej vlerën y є y = 1, x = 11

(11;1) është një zgjidhje e veçantë.

Të gjitha zgjidhjet e tjera gjenden duke përdorur formulat: x = -5k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z

Ky ekuacion ka shumë zgjidhje. Le të gjejmë të gjitha mënyrat në të cilat mund të mbledhësh shumën prej 27 rubla me monedhat e ofruara. k

Përgjigju. Ekzistojnë tre mënyra në të cilat mund ta grumbulloni këtë shumë nëse keni shumë monedha me dy dhe pesë rubla.

9. Le të themi se oktapodët dhe yjet e detit jetojnë në një akuarium. Bamjet kanë 8 këmbë dhe yjet e detit 5. Gjithsej janë 39 gjymtyrë. Sa kafshë ka në akuarium?

Le të jetë x numri i yjeve të detit, y numri i oktapodëve. Atëherë të gjithë oktapodët kanë 8 këmbë, dhe të gjithë yjet kanë 5 këmbë.

Më lejoni të krijoj një ekuacion: 5x + 8y = 39.

Ju lutemi vini re se numri i kafshëve nuk mund të shprehet si numra jo të plotë ose negativ. Prandaj, nëse x është një numër i plotë jo negativ, atëherë y = (39 - 5x)/8 gjithashtu duhet të jetë një numër i plotë dhe jo negativ, dhe, për rrjedhojë, është e nevojshme që shprehja 39 - 5x të jetë e pjestueshme me 8 pa një Një kërkim i thjeshtë i opsioneve tregon se kjo është e mundur vetëm kur x = 3, pastaj y = 3.

Përgjigje: (3; 3).

10. Një fabrikë mobiljesh prodhon stola me tre dhe katër këmbë. Mjeshtri bëri 18 këmbë. Sa jashtëqitje mund të bëhen që të mund të përdoren të gjitha këmbët?

Le të jetë x numri i jashtëqitjeve me tre këmbë dhe y numri i jashtëqitjeve me katër këmbë. Pastaj, 3x + 4y = 18.

kam, 4y =18 - 3x; y = 3(6 - x):4.

Unë marr: x = 2; y = 3 ose x = 6; y = 0.

Nuk ka zgjidhje të tjera, pasi x 6.

Përgjigju. 2;3;(6;0).

11. A mund të akomodohen 718 persona në kabina me 4 dhe 8 shtretër, në mënyrë që të mos ketë vende bosh në kabina?

Le të jenë kabinat me 4 shtretër x, dhe kabinat me 8 shtretër y, atëherë:

2 (x + 2y) = 309

Përgjigju. është e ndaluar.

12. Vërtetoni se në drejtëzën 124x + 216y = 515 nuk ka asnjë pikë të vetme me koordinata të plota.

GCD(124,216) = 4, 515 != 4n, që do të thotë se nuk ka zgjidhje me numra të plotë.

Përgjigju. Nuk ka zgjidhje.

13. Kostoja e mallit është 23 rubla, blerësi ka vetëm 2 monedha rubla, dhe arkëtari ka 5 monedha rubla. A është e mundur të bëni një blerje pa shkëmbyer para?

Le të jetë x numri i monedhave 2 rubla, y numri i 5 monedhave rubla, pastaj 2x - 5y = 23, ku x,y є N.

Unë marr: 2x = 23 + 5y, nga ku x =23 + 5y2 =11 + 2y + (1 + y)2 x do të jetë një numër i plotë nëse 1 + y2 është një numër i plotë.

1 + y2 = t, ku t Euro Z, pastaj y = 2t - 1.

x = 11 + 2y + 1 + y2 = 11 + 4t - 2 + 1 + 2t-12 = 5t + 9.

T. o. x = 5t + 9, dhe y = 2t - 1, ku t є z.

Problemi ka shumë zgjidhje me numra të plotë. Më e thjeshta prej tyre është për t = 1, x = 14, y = 1, d.m.th. blerësi do të japë katërmbëdhjetë monedha 2 rubla dhe do të marrë një monedhë 5 rubla në këmbim.

Përgjigju. Mund.

14. Gjatë një auditimi të librave tregtarë të dyqanit, një nga hyrjet doli të ishte i mbuluar me bojë dhe dukej kështu:

> Ishte e pamundur të dallohej numri i njehsorëve të shitur, por nuk kishte dyshim se numri nuk ishte një pjesë; në të ardhurat ishte e mundur të dalloheshin vetëm tre shifrat e fundit, dhe gjithashtu ishte e mundur të vërtetohej se kishte tre shifra të tjera përpara tyre. A është e mundur të rivendosni një rekord duke përdorur këto të dhëna?

Le të jetë numri i njehsorëve x, atëherë kostoja e mallrave në kopekë është 4936x. Ne shënojmë totalin e tre shifrave të mbushura si y, ky është numri i mijëra kopeckëve dhe e gjithë shuma në kopekë do të shprehet si më poshtë (1000y + 728).

Marr ekuacionin 4936x = 1000y + 728, e ndaj me 8.

617x - 125y = 91, ku x,y є z, x,y

125y = 617x - 91 y = 5x - 1 +34 - 8x125 = 5x - 1 + 2 17 - 4x125 =

5x - 1 + 2t, ku t = 17 - 4x125, t Euro Z.

Nga ekuacioni t = (17 - 4x)/125 marr x = 4 - 31t + 1 - t4 =

4 - 31t + t1, ku t1 = 1 - t4, pra t = 1 - 4t1, a x = 125t1 - 27, y = 617t1 - 134.

Me kusht e di që 100

100 = 234/617 dhe t1

Kjo do të thotë se 98 metra u shitën për shumën prej 4837.28 rubla. Regjistrimi është restauruar.

Përgjigju. 98 metra i lëshuar.

15. Kërkohet të blihen 40 pulla postare për një rubla - kopeck, 4-kopeck dhe 12-kopeck. Sa pulla të çdo emërtimi mund të blini?

Ju mund të bëni dy ekuacione: x + 4y + 12z = 100 dhe x + y + z = 40, ku x është numri i shenjave qindarke, y është numri i shenjave 4-kopeck, z është numri i markave 12-kopeck . Unë zbres të dytën nga ekuacioni i parë dhe marr:

3y + 11z = 60, y = 60 - 11z3 = 20 - 11· z3.

Le të z3 = t, z = 3t, ku t Euro Z. Atëherë marr nëse x + y + z = 40 dhe z = 3t, dhe y = 20 - 11t, x = 20 + 8t.

Meqenëse x >= 0, y >= 0, z >= 0, pastaj 0

Pastaj, në përputhje me rrethanat, marr: t = 0, x = 20, y = 20, z = 0; t = 1, x = 28, y = 9, z = 3.

Pra, blerja e pullave mund të bëhet vetëm në dy mënyra, dhe nëse kushti është që të blihet të paktën një pullë nga çdo emërtim, atëherë vetëm në një mënyrë.

Përgjigju. 28 marka nga 1 kopekë, 9 marka nga 4 kopekë dhe 3 marka nga 12 kopekë.

16. Një nxënësi iu dha një detyrë me 20 problema. Për çdo pyetje të zgjidhur saktë, ai merr 8 pikë, për çdo pyetje të pazgjidhur, atij i hiqen 5 pikë. Për një detyrë që nuk e mori përsipër - 0 pikë. Studenti shënoi gjithsej 13 pikë. Sa probleme mori përsipër të zgjidhte?

Le të jenë problemat e zgjidhura saktë x, problemet e zgjidhura gabimisht të jenë y, dhe problemet që nuk merren parasysh të jenë z.

Pastaj x + y + z = 20, dhe 8x - 5y = 13.

y = 8x - 135= x - 2 +3(x - 1)5 = x - 2 + 3t, ​​ku t = x - 15, dhe x = 5t + 1.

Sipas kushtit x + y

Përgjigje: nxënësi mori 13 probleme, zgjidhi 6 dhe dështoi 7.

17. Ivanushka Budallai lufton me Gjarprin Gorynych, i cili ka 2001 koka. Duke tundur shpatën majtas, Ivani pret 10 koka dhe në kthim rriten 16. Duke tundur shpatën në të djathtë, ai pret 15 dhe rriten 6. Nëse priten të gjitha kokat, nuk rriten të reja. Ju mund të lëvizni në çdo mënyrë, por nëse ka më pak se 15 gola, atëherë vetëm në të majtë, dhe nëse ka më pak se 10, atëherë jo fare. A mundet Ivanushka Budallai të mundë Gjarprin Gorynych?

Më lejoni ta riformuloj problemin: a është e mundur të priten kokat e 1986-ës? Pastaj Ivan do të shkurtojë 15 të mbeturit me një goditje në të djathtë dhe asnjë të re nuk do të rritet.

Le të jetë x numri i goditjeve në të djathtë, dhe y numri i goditjeve në të majtë, pastaj 1986 - 9x + 6y = 0.

E pjesëtoj të gjithë ekuacionin me 6, marr

3x - 2y = 662.

y = 3x - 6622 = x - 331 + x2.

Le të x2 = t, pastaj x = 2t, dhe y = 3t - 331.

Meqenëse x >= 0, y >= 0, atëherë t >= 111, pra t = 111, x = 222, y = 2.

Unë marr: duke goditur 220 herë në të djathtë, Ivani preu 1980 koka dhe Gjarprit i kanë mbetur 21 koka; pastaj 2 goditje në të majtë dhe Gjarpri rrit 12 koka, duke bërë gjithsej 33; 2 goditjet e ardhshme djathtas i privojnë Gjarpërit 18 koka dhe Ivan ia pret 15-të e mbetura me goditjen e fundit djathtas dhe asnjë kokë e re nuk rritet.

Përgjigje: 220 goditje në të djathtë, 2 goditje në të majtë dhe 3 goditje të tjera në të djathtë.

18. Anët e një zari numërohen - 1, 2, 3, 4, 5, 6. Nga 5 kube të tillë, ata ndërtuan një kullë dhe numëruan shumën e pikave në të gjitha fytyrat e dukshme, pasi hoqën kubin e sipërm, shumën ulur me 19, cili numër doli të ishte skaji i sipërm i kubit të sipërm?

Shuma e pikave të një kubi është 21.

Le të jetë x numri i pikave në skajin e poshtëm të kubit të sipërm dhe y numri i pikave në skajin e sipërm të kubit tjetër. Kur hiqni kubin e sipërm, pikat e 5 faqeve të kubit të sipërm zhduken, shuma e pikave të të cilit është (21 - x), dhe fytyra në të cilën shfaqen pikat, që do të thotë se shuma e pikave ka zvogëlohet me (21 - x) - y, dhe sipas kushtit është 19, pra :

(21 - x) - y = 19, x + y = 2.

Prandaj y = 2 - x, dhe nga kushti 1

19. Dikush bleu 30 zogj për 30 monedha të së njëjtës prerje. Për çdo 3 harabela ju paguani 1 monedhë, për 2 bufe - 1 monedhë, për 1 pëllumb - 2 monedha. Sa zogj të secilit lloj kishte?

Le të ketë x harabela, y deme dhe z pëllumba. Pastaj, sipas kushtit, x + y + z = 30 dhe 13x + 12y + 2z = 30.

Unë marr x + y + z = 30 dhe 2x + 3y + 12z = 180, ose y + 10z = 120, y = 120 - 10z, ku sipas kushtit x

Prandaj opsionet e mëposhtme (0;20;10); (9;10;11); (18;0;12).

Përgjigje: harabela - 0, bukë - 20, pëllumba - 10; harabela - 9, bullfinches - 10, pëllumba - 11; harabela - 18, deme - 0, pëllumba - 12.

20. Gjeni të gjithë numrat dyshifrorë, secili prej të cilëve, kur zvogëlohet me 2, është i barabartë me pesëfishin e prodhimit të shifrave të tij.

Le të jenë xy numrat dyshifrorë të kërkuar.

Për ekuacionin xy - 2 = 5xy, ose (10x + y) - 5xy = 2 S = 0 dhe do të gjej të gjitha zgjidhjet natyrore nga bashkësia (x; 2).

Meqenëse x është shifra e parë e numrave dyshifrorë, mund të marrë vetëm 9 vlera.

Se. , numrat e kërkuar do të jenë: 12, 22, 32,. , 92.

Përgjigju. 12; 22, 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92.

21. Një copë teli 102 cm e gjatë duhet të pritet në copa 15 cm dhe 12 cm të gjata në mënyrë që të përdoret i gjithë teli. Si ta bëjmë atë?

Le të jetë x numri i pjesëve të një teli 15 cm i gjatë, y numri i pjesëve të një teli 12 cm i gjatë Më lejoni të krijoj një ekuacion:

15x+12y=102 /:3

4x+3y=34 x=34-4y5=6+4-4y5=6+4(1-y)5.

Le të jetë 1-y5=t x=6+4t>0y=1-5t>0=> 4t>-6-5t>-1 => t>-1,5t t=0;-1.

Nëse t=0, atëherë x=6y=1

Nëse t=-1, atëherë x=2y=6

Përgjigju. Problemi ka dy zgjidhje:

1) 102=15∙6+12∙1; 2) 102=15∙2+12∙6.

22. Petya në vitin 1987 ishte aq i vjetër sa shuma e shifrave të vitit të lindjes së tij. Në cilin vit ka lindur?

Le të lindë Petya në 1919. Pastaj në vitin 1987 ai ishte 1987-19xy, ose (1+9+x+y) vjeç. Kemi ekuacionin:

87-(10x+y)=10+x+y

77-11x=2y y=77-11x2=38-11x-12.

Duke marrë parasysh se x dhe y janë shifra të sistemit të numrave dhjetorë, gjejmë me përzgjedhje: x=3, y=1.

Përgjigju. Petya lindi në 1970.

23. Dikush blen një artikull me vlerë 19 rubla në një dyqan. Ai ka vetëm kartëmonedha 15-tre rubla, ndërsa arkëtari ka vetëm kartëmonedha 20-pesë rubla. A mund të paguaj dhe si?

Problemi zbret në zgjidhjen e ekuacionit të Diofantinës në numra të plotë pozitivë: 3x - 5y = 19, ku x

Për shkak të faktit se x>0 dhe y > 0 dhe duke marrë parasysh kushtet e problemit, është e lehtë të përcaktohet se 0

Kjo çon në 2 vlera të mundshme: x

Përgjigju. 1) 19=3∙8-1∙5 2) 19=3∙13-4∙5.

24. A është e mundur të peshoni 28 g të një lënde të caktuar në një peshore filxhani, duke pasur vetëm 4 pesha me peshë 3 g dhe 7 pesha me peshë 5 g?

Për ta bërë këtë ju duhet të zgjidhni ekuacionin:

x = 9 - 2(3y1 - 1) + y1 = 11-5y1.

Pra x = 11 - 5 y1 y = 3 y1 - 1.

Nga kushtet e problemës rezulton se y1 nuk mund t'i jepen vlera negative. Tjetra duhet të jetë y1

Përgjigju. 1 peshë në 3 g dhe 5 pesha në 5 g.

25. Blerësi bleu në dyqan për 21 rubla. mallrave. Por ai ka vetëm kartëmonedha me prerje 5 rubla, ndërsa arkëtari ka 3 rubla. Dëshironi të dini nëse mund ta paguani arkëtarin nëse keni para dhe si saktësisht?

Le të jetë x numri 5 - rubla, y - 3 - rubla.

Me kusht, x > 0, y > 0, kjo do të thotë.

Gjithashtu, t është çift, përndryshe as x as y nuk do të jenë numër i plotë.

Në t ​​= 4, 6, 8,. kemi: t

Përgjigju. 6;3;8;8;12;13;15;18;18;23;21;28;24;33;27;38;(30;43).

26. Janë 110 fletë letre. Kërkohet qepja e fletoreve me 8 fletë dhe 10 fletë secila. Sa ju duhen për të qepur?

Le të jetë x numri i fletoreve me 8 fletë, y numri i fletoreve me 10 fletë.

Pra t = 0 ose t = - 1

Përgjigju. 5;7;(10;3).

27. Shumë metoda të lashta të hamendjes së numrave dhe datave të lindjes bazohen në zgjidhjen e ekuacioneve diofantine. Për shembull, për të marrë me mend datëlindjen (muajin dhe ditën) e bashkëbiseduesit tuaj, mjafton t'i kërkoni atij shumën e përftuar nga shtimi i dy produkteve: numri i datës (x) me 12 dhe numri i muajit (y) me 31. .

Le të jetë shuma e prodhimeve në fjalë e barabartë me 330. Gjeni datën e lindjes.

Le të zgjidhim ekuacionin e papërcaktuar: y = 2y1 + y2 = 2(2y2 + y3) + y2 = 5y2 + 2y3 = 5(2y3 - 6) + 2y3 = 12y3 - 30 x = 27 - 3(12y3 - 32 +) y3 = 27 - 36y3 + 90 + 2(2y3 - 6) + y3 =

27 - 36y3 + 90 + 5y3 - 12 = 105 - 31y3 x = 12y3 - 30, y = 105 - 31y3

Pra, data e lindjes: dita e 12-të e muajit të 6-të.

28. A është e mundur të mblidhet shuma prej 51 rubla me monedha dy dhe pesë rubla? Nëse është e mundur, sa mënyra ka?

Le të ketë x monedha me dy rubla dhe monedha me pesë rubla.

Le të jetë 1+y2=z, atëherë

=> z = 1, 2, 3, 4, 5

Përgjigje: 5 mënyra.

29. A është e mundur të vendosen dyqind vezë në kuti me 10 dhe 12 copë? Nëse është e mundur, gjeni të gjitha mënyrat e tilla.

Le të ketë x kuti me 10 copë secila dhe kutitë le të kenë nga 12 copë secila. Më lejoni të krijoj një ekuacion: z = 1, 2, 3

Përgjigje: 14;5;8;10;(2;15)

30. Imagjinoni numrin 257 si shumën e dy termave natyrorë: a) njëri prej të cilëve është shumëfish i 3-shit dhe tjetri është shumëfish i 4-ës; b) njëra prej të cilave është shumëfish i 5, dhe tjetri është shumëfish i 8.

Përgjigje: 1) 249 dhe 8; 2) 225 dhe 32.

Në problemet që përfshijnë ekuacione të pacaktuara, kam hasur në një shumëllojshmëri të gjerë rastesh: problemi mund të jetë plotësisht i pazgjidhshëm (Problemi 4), mund të ketë një numër të pafund zgjidhjesh (Problemi 2), mund të ketë disa zgjidhje të përcaktuara; në veçanti, mund të ketë një zgjidhje unike (Problemi 1).

PËRFUNDIM

Synimi që i kam vënë vetes është arritur. Puna për projektin ngjalli interes dhe më mahniti. Kjo punë kërkoi nga unë jo vetëm njohuri dhe këmbëngulje të caktuara matematikore, por më dha edhe mundësinë të ndjeja gëzimin e madh të zbulimit të pavarur.

Ekuacionet diofantine gjenden në detyrat e Olimpiadës, kështu që ato zhvillojnë të menduarit logjik, rrisin nivelin e kulturës matematikore dhe rrënjosin aftësitë në punën e pavarur kërkimore në matematikë.

Kur zgjidhen ekuacionet dhe problemet që reduktohen në ekuacionet diofantine, përdoren vetitë e numrave të thjeshtë, metoda e faktorizimit të një polinomi, metoda e numërimit, metoda e zbritjes dhe algoritmi Euklidian. Sipas mendimit tim, metoda e zbritjes është më e vështira. Por metoda e forcës brutale doli të ishte më e bukur për mua.

Kam zgjidhur 54 probleme në punën time.

Kjo punë kontribuoi në një kuptim më të thellë të kurrikulës shkollore dhe zgjeroi horizontet e mia.

Ky material do të jetë i dobishëm për studentët e interesuar në matematikë. Mund të përdoret në disa mësime dhe aktivitete jashtëshkollore.