La cursul de matematică de clasa a VII-a ne întâlnim pentru prima dată ecuații cu două variabile, dar ele sunt studiate numai în contextul sistemelor de ecuații cu două necunoscute. De aceea, o serie întreagă de probleme în care se introduc anumite condiții asupra coeficienților ecuației care îi limitează scad din vedere. În plus, metodele de rezolvare a problemelor precum „Rezolvarea unei ecuații în numere naturale sau întregi” sunt și ele ignorate, deși probleme de acest gen se găsesc din ce în ce mai des în materialele Unified State Examination și la examenele de admitere.

Care ecuație va fi numită ecuație cu două variabile?

Deci, de exemplu, ecuațiile 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 sau xy = 12 sunt ecuații în două variabile.

Luați în considerare ecuația 2x – y = 1. Devine adevărată când x = 2 și y = 3, deci această pereche de valori variabile este o soluție a ecuației în cauză.

Astfel, soluția oricărei ecuații cu două variabile este un set de perechi ordonate (x; y), valori ale variabilelor care transformă această ecuație într-o adevărată egalitate numerică.

O ecuație cu două necunoscute poate:

A) au o singura solutie. De exemplu, ecuația x 2 + 5y 2 = 0 are o soluție unică (0; 0);

b) au mai multe solutii. De exemplu, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 are 4 soluții: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) nu au solutii. De exemplu, ecuația x 2 + y 2 + 1 = 0 nu are soluții;

G) au infinit de solutii. De exemplu, x + y = 3. Soluțiile acestei ecuații vor fi numere a căror sumă este egală cu 3. Mulțimea soluțiilor acestei ecuații poate fi scrisă sub forma (k; 3 – k), unde k este orice real număr.

Principalele metode de rezolvare a ecuațiilor cu două variabile sunt metode bazate pe factorizarea expresiilor, izolarea unui pătrat complet, folosind proprietățile unei ecuații pătratice, expresii limitate și metode de estimare. Ecuația este de obicei transformată într-o formă din care se poate obține un sistem de găsire a necunoscutelor.

Factorizarea

Exemplul 1.

Rezolvați ecuația: xy – 2 = 2x – y.

Soluţie.

Grupăm termenii în scopul factorizării:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Din fiecare paranteză scoatem un factor comun:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Avem:

y = 2, x – orice număr real sau x = -1, y – orice număr real.

Prin urmare, răspunsul este toate perechile de forma (x; 2), x € R și (-1; y), y € R.

Egalitatea numerelor nenegative la zero

Exemplul 2.

Rezolvați ecuația: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Soluţie.

Grupare:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Acum fiecare paranteză poate fi pliat folosind formula diferenței pătrate.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

Suma a două expresii nenegative este zero numai dacă 3x – 2 = 0 și 2y – 3 = 0.

Aceasta înseamnă x = 2/3 și y = 3/2.

Răspuns: (2/3; 3/2).

Metoda de estimare

Exemplul 3.

Rezolvați ecuația: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Soluţie.

În fiecare paranteză selectăm un pătrat complet:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Să estimăm sensul expresiilor din paranteze.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 și (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, atunci partea stângă a ecuației este întotdeauna cel puțin 2. Egalitatea este posibilă dacă:

(x + 1) 2 + 1 = 1 și (y – 2) 2 + 2 = 2, ceea ce înseamnă x = -1, y = 2.

Răspuns: (-1; 2).

Să facem cunoștință cu o altă metodă de rezolvare a ecuațiilor cu două variabile de gradul doi. Această metodă constă în tratarea ecuației ca pătrat în raport cu o variabilă.

Exemplul 4.

Rezolvați ecuația: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Soluţie.

Să rezolvăm ecuația ca o ecuație pătratică pentru x. Să găsim discriminantul:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Ecuația va avea o soluție numai când D = 0, adică dacă y = 4. Înlocuim valoarea lui y în ecuația originală și aflăm că x = 3.

Răspuns: (3; 4).

Adesea în ecuații cu două necunoscute indică restricții asupra variabilelor.

Exemplul 5.

Rezolvați ecuația în numere întregi: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Soluţie.

Să rescriem ecuația sub forma x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Latura dreaptă a ecuației rezultate atunci când este împărțită la 5 dă un rest de 2. Prin urmare, x 2 nu este divizibil cu 5. Dar pătratul lui a numărul nedivizibil cu 5 dă un rest de 1 sau 4. Astfel, egalitatea este imposibilă și nu există soluții.

Răspuns: fără rădăcini.

Exemplul 6.

Rezolvați ecuația: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Soluţie.

Să evidențiem pătratele complete din fiecare paranteză:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Partea stângă a ecuației este întotdeauna mai mare sau egală cu 3. Egalitatea este posibilă cu condiția |x| – 2 = 0 și y + 3 = 0. Astfel, x = ± 2, y = -3.

Răspuns: (2; -3) și (-2; -3).

Exemplul 7.

Pentru fiecare pereche de numere întregi negative (x;y) care satisface ecuația
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calculați suma (x + y). Vă rugăm să indicați cea mai mică sumă în răspunsul dvs.

Soluţie.

Să selectăm pătrate complete:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Deoarece x și y sunt numere întregi, pătratele lor sunt de asemenea numere întregi. Obținem suma pătratelor a două numere întregi egale cu 37 dacă adunăm 1 + 36. Prin urmare:

(x – y) 2 = 36 și (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 și (y + 2) 2 = 36.

Rezolvând aceste sisteme și ținând cont de faptul că x și y sunt negative, găsim soluții: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Răspuns: -17.

Nu disperați dacă aveți dificultăți în rezolvarea ecuațiilor cu două necunoscute. Cu puțină practică, poți gestiona orice ecuație.

Mai ai întrebări? Nu știi cum să rezolvi ecuații în două variabile?
Pentru a obține ajutor de la un tutor, înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Heinrich G.N. FMS nr. 146, Perm

54 ≡ 6× 5 ≡ 2(mod 7),

55 ≡ 2× 5 ≡ 3(mod 7), 56 ≡ 3× 5 ≡ 1(mod 7).

Ridicând k la putere, obținem 56k ≡ 1(mod 7) pentru orice k natural. Prin urmare 5555 =56 × 92 × 53 ≡ 6 (mod7).

(Geometric, această egalitate înseamnă că ocolim cercul, începând de la 5, nouăzeci și două de cicluri și încă trei numere). Astfel, numărul 222555 lasă un rest de 6 atunci când este împărțit la 7.

Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi.

Fără îndoială, unul dintre subiectele interesante din matematică este soluția ecuațiilor diofantine. Această temă este studiată în clasele a VIII-a, apoi în clasele a X-a și a XI-a.

Orice ecuație care trebuie rezolvată în numere întregi se numește ecuație diofantină. Cea mai simplă dintre ele este o ecuație de forma ax+bу=c, unde a, b și cÎ Z. Următoarea teoremă este folosită pentru a rezolva această ecuație.

Teorema. Ecuația liniară diofantică ax+bу=c, unde a, b și сО Z are o soluție dacă și numai dacă c este divizibil cu mcd a numerelor a și b. Dacă d=GCD (a, b), a=a1 d, b=b1 d, c=c1 d și (x0, y0) este o soluție a ecuației akh+bу=с, atunci toate soluțiile sunt date prin formulele x=x0 +b1 t, y=y0 –a1 t, unde t este un întreg arbitrar.

1. Rezolvați ecuațiile în numere întregi:

2. Am luat în considerare următoarele probleme cu absolvenții în pregătirea pentru Examenul de stat unificat la matematică pe această temă.

1). Rezolvați ecuația în numere întregi: xy+3y+2x+6=13. Soluţie:

Să factorizăm partea stângă a ecuației. Primim:

Deoarece x,уО Z, obținem un set de sisteme de ecuații:

Heinrich G.N.

FMS nr. 146, Perm

Răspuns: (–2;11), (10; –1), (–4; –15), (–15, –3)

2). Rezolvați ecuația în numere naturale: 3x +4y =5z.

9). Aflați toate perechile de numere naturale m și n pentru care este valabilă egalitatea 3m +7=2n.

10). Aflați toate tripletele numerelor naturale k, m și n pentru care egalitatea este valabilă: 2∙k!=m! –2∙n! (1!=1, 2!=1∙2, 3!= 1∙2∙3, …n!= 1∙2∙3∙…∙n)

unsprezece). Toți termenii șirului finit sunt numere naturale. Fiecare membru al acestei secvențe, începând cu al doilea, este fie de 14 ori mai mare, fie de 14 ori mai mic decât cel precedent. Suma tuturor termenilor șirului este 4321.

c) Care este cel mai mare număr de termeni pe care o poate avea șirul? Soluţie:

a) Fie a1 =x, apoi a2 = 14x sau a1 =14x, apoi a2 =x. Apoi, prin condiție, a1 + a2 = 4321. Se obține: x + 14x = 4321, 15x = 4321, dar 4321 nu este un multiplu al lui 15, ceea ce înseamnă că nu pot exista doi termeni în succesiune.

b) Fie a1 =x, apoi a2 = 14x, a3 =x sau 14x+x+14x=4321, sau x+14x+x=4321. 29x=4321, apoi x=149, 14x=2086. Aceasta înseamnă că secvența poate avea trei termeni. În al doilea caz, 16x=4321, dar atunci x nu este un număr natural.

Nici un raspuns; b) da; c) 577.

12). Toți termenii șirului finit sunt numere naturale. Fiecare membru al acestei secvențe, începând cu al doilea, sau la 10; ori mai mult sau de 10 ori mai puțin decât precedentul. Suma tuturor termenilor șirului este 1860.

a) Poate o secvență să aibă doi termeni? b) Poate o secvență să aibă trei termeni?

c) Care este cel mai mare număr de termeni pe care o poate avea șirul?

Evident, putem vorbi despre divizibilitatea numerelor întregi și putem lua în considerare problemele pe această temă la nesfârșit. Am încercat să consider această temă în așa fel încât să-i intereseze într-o măsură mai mare pe elevi, să le arăt frumusețea matematicii din acest punct de vedere.

Bibliografie:

1. A. Ya. Kannel-Belov, A. K. Kovaldzhi. Cum se rezolvă problemele non-standard Moscova ICSME 2001

2. A.V. Spivak. Supliment la revista Kvant nr. 4/2000 Sărbătoare matematică, Moscova 2000

3. A.V. Spivak. Cercul matematic, „Semănat” 2003

4. St.Petersburg palatul orașului al creativității tineretului. Cercul matematic. Cartea cu probleme pentru primul și al doilea an de studiu. Saint Petersburg. 1993

5. Algebră pentru clasa a VIII-a. Un manual pentru elevii din școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii. Editat de N.Ya. Vilenkin. Moscova, 1995

6. M.L. Galitsky, A.M. Goldman, L.I. Zvavich. Culegere de probleme de algebră pentru 8-9 clase. Un manual pentru elevii din școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii. Moscova, Iluminismul. 1994

7. Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov. Algebră clasa a VIII-a. Un manual pentru școli și clase cu studiu aprofundat al matematicii. Moscova, 2001

8. M.I.Shabunin, A.A.Prokofiev UMK MATEMATICĂ Algebră. Începuturile analizei matematice. Nivel de profil. Manual pentru clasa a XI-a. Binom din Moscova. Laboratorul de cunoștințe 2009

9. M.I. Shabunin, A.A. Prokofiev, T.A. Oleinik, T.V. Sokolova. UMK MATEMATICĂ Algebră. Începuturile analizei matematice. Nivel de profil Carte de probleme pentru clasa a XI-a. Binom din Moscova. Laboratorul de cunoștințe 2009

10. A.G. Klovo, D.A. Maltsev, L.I. Abzelilova Matematică. Colectarea testelor conform planului Unified State Exam 2010

11. Examenul de stat unificat-2010. „Legiunea-M”. Rostov-pe-Don 2009

12. Examenul de stat unificat UMK „Matematică. Pregătirea pentru examenul de stat unificat”. Editat de F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov. Pregătirea pentru Examenul de stat unificat 2011. „Legiunea-M”. Rostov-pe-Don 2010

13. UMK „Matematică. Examenul de stat unificat 2010”. Editat de F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhov. MATEMATICĂ Pregătire pentru Examenul Unificat de Stat-2010. Teste educaționale și de formare. „Legiunea-M”. Rostov-pe-Don 2009

14. Examenul de stat unificat FIPI. Materiale universale pentru pregătirea elevilor MATH 2010„Intellect-Center” 2010

15. A.Zh.Zhafyarov. Matematică. Unified State Exam-2010 Consultare expresă. Editura Universității din Siberia, 2010

Rezolvarea ecuațiilor în numere întregi.

Ecuațiile incerte sunt ecuații care conțin mai multe necunoscute. Prin o soluție a unei ecuații nedeterminate înțelegem un set de valori ale necunoscutelor care transformă ecuația dată într-o egalitate adevărată.

Pentru a rezolva în numere întregi o ecuație de forma ah + de = c , Unde A, b , c - numere întregi altele decât zero, prezentăm o serie de prevederi teoretice care ne vor permite stabilirea unei reguli de decizie. Aceste prevederi se bazează și pe fapte deja cunoscute ale teoriei divizibilității.

Teorema 1.Dacă gcd (A, b ) = d , apoi există astfel de numere întregi XȘi la, că egalitatea este valabilă ah + b y = d . (Această egalitate se numește o combinație liniară sau o reprezentare liniară a celui mai mare divizor comun a două numere în ceea ce privește numerele în sine.)

Demonstrarea teoremei se bazează pe utilizarea egalității algoritmului euclidian pentru a găsi cel mai mare divizor comun a două numere (cel mai mare divizor comun este exprimat în termeni de coeficienti parțiali și resturi, pornind de la ultima egalitate din algoritmul euclidian).

Exemplu.

Aflați reprezentarea liniară a celui mai mare divizor comun al numerelor 1232 și 1672.

Soluţie.

1. Să creăm egalitățile algoritmului euclidian:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, adică. (1672,352) = 88.

2) Să exprimăm secvenţial 88 prin câte şi resturi incomplete, folosind egalităţile obţinute mai sus, începând de la sfârşit:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 - 1232∙4, adică. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Teorema 2. Dacă ecuaţia ah + b y = 1 , dacă gcd (A, b ) = 1 , este suficient să ne imaginăm numărul 1 ca o combinație liniară a numerelor a și b.

Valabilitatea acestei teoreme rezultă din teorema 1. Astfel, pentru a găsi o singură soluție întreagă a ecuației ah + b y = 1, dacă mcd (a, b) = 1, este suficient să reprezentați numărul 1 ca o combinație liniară de numere A Și V .

Exemplu.

Găsiți o soluție întreagă a ecuației 15x + 37y = 1.

Soluţie.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

Teorema 3. Dacă în Ec. ah + b y = c gcd(a, b ) = d >1 Și Cu nedivizibil cu d , atunci ecuația nu are soluții întregi.

Pentru a demonstra teorema, este suficient să presupunem contrariul.

Exemplu.

Găsiți o soluție întreagă a ecuației 16x - 34y = 7.

Soluţie.

(16,34)=2; 7 nu este divizibil cu 2, ecuația nu are soluții întregi

Teorema 4. Dacă în Ec. ah + b y = c gcd(a, b ) = d >1 și c d , atunci este

Când se demonstrează teorema, ar trebui să se arate că o soluție întreagă arbitrară a primei ecuații este, de asemenea, o soluție a celei de-a doua ecuații și invers.

Teorema 5. Dacă în Ec. ah + b y = c gcd(a, b ) = 1, atunci toate soluțiile întregi ale acestei ecuații sunt conținute în formulele:

t – orice număr întreg.

Când se demonstrează teorema, ar trebui să se arate, în primul rând, că formulele de mai sus oferă de fapt soluții pentru această ecuație și, în al doilea rând, că o soluție întreagă arbitrară a acestei ecuații este conținută în formulele de mai sus.

Teoremele de mai sus ne permit să stabilim următoarea regulă pentru rezolvarea ecuației în numere întregi ah+ b y = c gcd(a, b ) = 1:

1) Se găsește o soluție întreagă a ecuației ah + b y = 1 prin reprezentarea 1 ca o combinație liniară de numere A Șib (există și alte modalități de a găsi soluții întregi la această ecuație, de exemplu folosind fracții continue);

Dăruind t anumite valori întregi, puteți obține soluții parțiale ale acestei ecuații: cea mai mică în valoare absolută, cea mai mică pozitivă (dacă este posibil), etc.

Exemplu.

Găsiți soluții întregi ale ecuației 407x - 2816y = 33.

Soluţie.

1. Simplificam aceasta ecuatie, aducand-o la forma 37x - 256y = 3.

2. Rezolvați ecuația 37x - 256y = 1.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. Vedere generală a tuturor soluțiilor întregi ale acestei ecuații:

x = -83∙3 - 256 t = -249 - 256 t,

y = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t.

Metoda de enumerare exhaustivă a tuturor valorilor posibile ale variabilelor,

incluse în ecuație.

Aflați mulțimea tuturor perechilor de numere naturale care sunt soluții ale ecuației 49x + 51y = 602.

Soluţie:

Să exprimăm variabila x din ecuație prin y x =, deoarece x și y sunt numere naturale, atunci x =602 - 51у ≥ 49, 51у≤553, 1≤у≤10.

O căutare completă a opțiunilor arată că soluțiile naturale ale ecuației sunt x=5, y=7.

Răspuns: (5;7).

Rezolvarea ecuațiilor folosind metoda factorizării.

Diophantus, împreună cu ecuațiile liniare, considerau ecuații nedefinite pătratice și cubice. Rezolvarea lor este de obicei dificilă.

Să luăm în considerare un caz în care formula diferenței de pătrate sau o altă metodă de factorizare poate fi aplicată ecuațiilor.

Rezolvați ecuația în numere întregi: x 2 + 23 = y 2

Soluţie:

Să rescriem ecuația sub forma: y 2 - x 2 = 23, (y - x)(y + x) = 23

Deoarece x și y sunt numere întregi și 23 este un număr prim, sunt posibile următoarele cazuri:

Rezolvând sistemele rezultate, găsim:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

Exprimarea unei variabile în termenii alteia și izolarea întregii părți a fracției.

Rezolvați ecuația în numere întregi: x 2 + xy – y – 2 = 0.

Soluţie:

Să exprimăm y prin x din această ecuație:

y(x - 1) =2 - x 2,

Ecuații neliniare cu două necunoscute

Definiția 1. Să fie A niște set de perechi de numere (X; y). Ei spun că mulțimea A este dată functie numerica z din două variabile x și y , dacă se specifică o regulă cu ajutorul căreia fiecare pereche de numere din mulțimea A este asociată unui anumit număr.

Specificarea unei funcții numerice z a două variabile x și y este adesea denota Asa de:

Unde f (X , y) – orice altă funcție decât o funcție

f (X , y) = topor+de+c ,

unde a, b, c sunt numere date.

Definiția 3. Rezolvarea ecuației (2) sunați o pereche de numere ( X; y) , pentru care formula (2) este o egalitate adevărată.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația

Deoarece pătratul oricărui număr este nenegativ, din formula (4) rezultă că necunoscutele x și y satisfac sistemul de ecuații

soluția la care este o pereche de numere (6; 3).

Răspuns: (6; 3)

Exemplul 2. Rezolvați ecuația

Prin urmare, soluția ecuației (6) este număr infinit de perechi de numere drăguț

(1 + y ; y) ,

unde y este orice număr.

liniar

Definiția 4. Rezolvarea unui sistem de ecuații

sunați o pereche de numere ( X; y) , la substituirea lor în fiecare dintre ecuațiile acestui sistem se obține egalitatea corectă.

Sistemele cu două ecuații, dintre care una liniară, au forma

g(X , y)

Exemplul 4. Rezolvarea sistemului de ecuații

Soluție. Să exprimăm necunoscuta y din prima ecuație a sistemului (7) prin necunoscuta x și să substituim expresia rezultată în a doua ecuație a sistemului:

Rezolvarea ecuației

X 1 = - 1 , X 2 = 9 .

Prin urmare,

y 1 = 8 - X 1 = 9 ,
y 2 = 8 - X 2 = - 1 .

Sisteme de două ecuații, dintre care una omogenă

Sistemele cu două ecuații, dintre care una omogenă, au forma

unde a, b, c sunt date numere și g(X , y) – funcția a două variabile x și y.

Exemplul 6. Rezolvarea sistemului de ecuații

Soluție. Să rezolvăm ecuația omogenă

3X 2 + 2X y - y 2 = 0 ,

3X 2 + 17X y + 10y 2 = 0 ,

tratându-l ca o ecuație pătratică în raport cu necunoscutul x:

.

În cazul în care X = - 5y, din a doua ecuație a sistemului (11) obținem ecuația

5y 2 = - 20 ,

care nu are rădăcini.

În cazul în care

din a doua ecuație a sistemului (11) obținem ecuația

,

ale căror rădăcini sunt numere y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Găsind pentru fiecare dintre aceste valori y valoarea corespunzătoare x, obținem două soluții ale sistemului: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Răspuns: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații de alte tipuri

Exemplul 8. Rezolvarea unui sistem de ecuații (MIPT)

Soluție. Să introducem noi necunoscute u și v, care sunt exprimate prin x și y după formulele:

Pentru a rescrie sistemul (12) în termeni de noi necunoscute, mai întâi exprimăm necunoscutele x și y în termeni de u și v. Din sistemul (13) rezultă că

Să rezolvăm sistemul liniar (14) eliminând variabila x din a doua ecuație a acestui sistem. În acest scop, efectuăm următoarele transformări pe sistemul (14).

Există multe poteci care duc de la marginea pădurii în desiș. Sunt întortocheate, converg, diverg din nou și se intersectează din nou unul cu celălalt. În timp ce mergi, poți doar să observi abundența acestor poteci, să mergi pe unele dintre ele și să le urmărești direcția în adâncurile pădurii. Pentru a studia cu seriozitate pădurea, trebuie să urmați potecile până când acestea sunt vizibile deloc printre ace de pin și tufișuri uscate.

Prin urmare, am vrut să scriu un proiect care poate fi considerat ca o descriere a uneia dintre posibilele plimbări de-a lungul marginii matematicii moderne.

Lumea înconjurătoare, nevoile economiei naționale și adesea grijile cotidiene ridică sarcini din ce în ce mai noi pentru o persoană, a căror soluție nu este întotdeauna evidentă. Uneori, o anumită întrebare are multe răspunsuri posibile, ceea ce face dificilă rezolvarea problemelor. Cum să alegi opțiunea potrivită și optimă?

Rezolvarea ecuațiilor incerte este direct legată de această problemă. Astfel de ecuații, care conțin două sau mai multe variabile, pentru care este necesar să se găsească toate soluțiile întregi sau naturale, au fost luate în considerare încă din cele mai vechi timpuri. De exemplu, matematicianul grec Pitagora (sec. IV î.Hr.). matematicianul alexandrin Diophantus (sec. II-III d.Hr.) și cei mai buni matematicieni ai unei epoci mai apropiate de noi - P. Fermat (sec. XVII), L. Euler (sec. XVIII), J. L. Lagrange (sec. XVIII) ș.a.

Participând la concursul de corespondență rusă > de la Obninsk, la Concursul Internațional de Jocuri > și la Olimpiada Districtului Federal Ural, întâmpin adesea astfel de sarcini. Acest lucru se datorează faptului că soluția lor este creativă. Problemele care apar la rezolvarea ecuațiilor în numere întregi sunt cauzate atât de complexitate, cât și de faptul că le este dedicat puțin timp în școală.

Diofantul prezintă unul dintre cele mai dificile mistere din istoria științei. Nu știm vremea în care a trăit și nici predecesorii săi care ar fi lucrat în același domeniu. Lucrările lui sunt ca un foc sclipitor în mijlocul întunericului de nepătruns.

Perioada de timp în care ar fi putut trăi Diophantus este de jumătate de mileniu! Limita inferioară este determinată fără dificultate: în cartea sa despre numerele poligonale, Diophantus îl menționează în repetate rânduri pe matematicianul Hypsicles din Alexandria, care a trăit la mijlocul secolului al II-lea. î.Hr e.

Pe de altă parte, în comentariile lui Theon din Alexandria către celebrul astronom Ptolemeu există un fragment din opera lui Diofantus. Theon a trăit la mijlocul secolului al IV-lea. n. e. Aceasta determină limita superioară a acestui interval. Deci, 500 de ani!

Istoricul francez al științei Paul Tannry, redactorul celui mai complet text al lui Diophantus, a încercat să reducă acest decalaj. În biblioteca Escurial a găsit fragmente dintr-o scrisoare a lui Michael Psellus, un savant bizantin din secolul al XI-lea. , unde se spune că cel mai învățat Anatoly, după ce a adunat cele mai esențiale părți ale acestei științe, vorbim despre introducerea gradelor necunoscutului și (desemnarea) acestora, le-a dedicat prietenului său Diofant. Anatolia Alexandriei a compus de fapt >, dintre care fragmente sunt citate în lucrările existente ale lui Iamblichus și Eusenius. Dar Anatoly a trăit în Alexandria la mijlocul secolului al 111-lea î.Hr. e și mai precis – până în 270, când a devenit episcopul Laodaciei. Aceasta înseamnă că prietenia lui cu Diophantus, pe care toată lumea îl numește Alexandria, trebuie să fi avut loc înainte de aceasta. Așadar, dacă celebrul matematician alexandrin și prietenul lui Anatoly, pe nume Diophantus, sunt o singură persoană, atunci timpul vieții lui Diophantus este mijlocul secolului 111 d.Hr.

Dar locul de reședință al lui Diophantus este binecunoscut - Alexandria, centrul gândirii științifice și al lumii elenistice.

Una dintre epigramele Antologiei Palatine a supraviețuit până în zilele noastre:

Cenușa lui Diofant se odihnește în mormânt: minunați-vă de el - și de piatră

Vârsta defunctului va vorbi prin înțeleapta sa artă.

Prin voia zeilor, el a trăit o șaseme din viața sa în copilărie.

Și m-am întâlnit cu cinci și jumătate cu puf pe obraji.

Era abia a șaptea zi când s-a logodit cu iubita lui.

După ce a petrecut cinci ani cu ea, înțeleptul și-a așteptat fiul.

Fiul iubit al tatălui său a trăit doar jumătate din viață.

A fost luat de la tatăl său de mormântul său timpuriu.

De două ori timp de doi ani, părintele a plâns durere severă.

Aici am văzut limita vieții mele triste.

Folosind metode moderne de rezolvare a ecuațiilor, este posibil să se calculeze câți ani a trăit Diophantus.

Lasă-l pe Diophantus să trăiască x ani. Să creăm și să rezolvăm ecuația:

Să înmulțim ecuația cu 84 pentru a scăpa de fracții:

Astfel, Diophantus a trăit 84 de ani.

Cea mai misterioasă este opera lui Diophantus. Șase dintre cele treisprezece cărți care au fost combinate în > au ajuns la noi; stilul și conținutul acestor cărți diferă puternic de lucrările antice clasice despre teoria numerelor și algebră, exemple despre care știm de la > Euclid, ale lui >, lemele din lucrări. lui Arhimede şi Apollonius. > a fost, fără îndoială, rezultatul a numeroase studii care au rămas complet necunoscute.

Putem doar ghici despre rădăcinile sale și să ne minunăm de bogăția și frumusețea metodelor și rezultatelor sale.

> Diophanta este o colecție de probleme (189 în total), fiecare având o soluție. Problemele din acesta sunt atent selectate și servesc la ilustrarea unor metode foarte specifice, strict gândite. După cum era obișnuit în antichitate, metodele nu sunt formulate într-o formă generală, ci sunt repetate pentru a rezolva probleme similare.

Este cunoscută cu încredere o biografie unică a lui Diophantus, care, conform legendei, a fost sculptată pe piatra funerară a lui și a reprezentat o sarcină de puzzle:

Acest puzzle servește ca un exemplu al problemelor pe care le-a rezolvat Diophantus. S-a specializat în rezolvarea problemelor în numere întregi. Astfel de probleme sunt cunoscute în prezent sub numele de probleme diofantine.

Studiul ecuațiilor diofantine este de obicei asociat cu mari dificultăți.

În 1900, la Congresul Mondial al Matematicienilor de la Paris, unul dintre cei mai mari matematicieni ai lumii, David Hilbert, a identificat 23 de probleme din diverse domenii ale matematicii. Una dintre aceste probleme a fost problema rezolvării ecuațiilor diofantine. Problema a fost următoarea: este posibil să se rezolve o ecuație cu un număr arbitrar de necunoscute și coeficienți întregi într-un anumit mod - folosind un algoritm. Sarcina este următoarea: pentru o anumită ecuație, trebuie să găsiți toate valorile întregi sau naturale ale variabilelor incluse în ecuație, la care se transformă într-o egalitate adevărată. Diophantus a venit cu multe soluții diferite pentru astfel de ecuații. Datorită varietății infinite de ecuații diofantine, nu există un algoritm general de rezolvare a acestora și pentru aproape fiecare ecuație trebuie inventat o tehnică individuală.

O ecuație diofantică de gradul I sau o ecuație diofantică liniară cu două necunoscute este o ecuație de forma: ax+by=c, unde a,b,c sunt numere întregi, GCD(a,b)=1.

Voi da formulările de teoreme pe baza cărora poate fi compilat un algoritm de rezolvare a ecuațiilor nedeterminate de gradul I a două variabile în numere întregi.

Teorema 1. Dacă într-o ecuație, atunci ecuația are cel puțin o soluție.

Dovada:

Putem presupune că a >0. După ce am rezolvat ecuația pentru x, obținem: x = c-vua. Voi demonstra că dacă în această formulă în loc de y înlocuim toate numerele naturale mai mici decât a și 0, adică numerele 0;1;2;3;. ;a-1, iar de fiecare dată când efectuați împărțirea, atunci toate resturile a vor fi diferite. Într-adevăr, în loc de y voi înlocui numerele m1 și m2, mai mici decât a. Ca rezultat, voi obține două fracții: c-bm1a și c-bm2a. După ce am efectuat împărțirea și am notat coeficientii incompleti cu q1 și q2, iar resturile cu r1 și r2, voi găsi с-вm1а=q1+ r1а, с-вm2а= q2+ r2а.

Voi presupune că resturile r1 și r2 sunt egale. Apoi, scăzând a doua din prima egalitate, obțin: c-bm1a- c-bm2a = q1-q2, sau b(m1 - m2)a = q1-q2.

Deoarece q1-q2 este un număr întreg, atunci partea stângă trebuie să fie un număr întreg. Prin urmare, bm1 - m2 trebuie să fie divizibil cu a, adică diferența a două numere naturale, fiecare dintre ele mai mic decât a, trebuie să fie divizibil cu a, ceea ce este imposibil. Aceasta înseamnă că resturile r1 și r2 sunt egale. Adică, toate reziduurile sunt diferite.

Acea. Am primit un din diverse solduri mai mici de a. Dar distinctele a numerelor naturale care nu depășesc a sunt numerele 0;1;2;3;. ;a-1. În consecință, printre resturile va fi cu siguranță unul și doar unul egal cu zero. Valoarea lui y, a cărei substituție în expresia (c-vu)a dă un rest de 0 și transformă x=(c-vu)a într-un număr întreg. Q.E.D.

Teorema 2. Dacă în ecuație, și c nu este divizibil cu, atunci ecuația nu are soluții întregi.

Dovada:

Fie d=GCD(a;b), astfel încât a=md, b=nd, unde m și n sunt numere întregi. Atunci ecuația va lua forma: mdх+ ndу=с, sau d(mх+ nу)=с.

Presupunând că există numere întregi x și y care satisfac ecuația, constat că coeficientul c este divizibil cu d. Contradicția rezultată demonstrează teorema.

Teorema 3. Dacă în ecuație, și, atunci este echivalentă cu ecuația în care.

Teorema 4. Dacă într-o ecuație, atunci toate soluțiile întregi ale acestei ecuații sunt conținute în formulele:

unde x0, y0 este o soluție întreagă a ecuației, este orice număr întreg.

Teoremele formulate fac posibilă construirea următorului algoritm pentru rezolvarea unei ecuații de formă în numere întregi.

1. Aflați cel mai mare divizor comun al numerelor a și b, dacă c nu este divizibil cu, atunci ecuația nu are soluții întregi; dacă și atunci

2. Împărțiți termenul ecuației cu termen, obținând o ecuație în care.

3. Găsiți o soluție întreagă (x0, y0) a ecuației reprezentând 1 ca o combinație liniară de numere și;

4. Creați o formulă generală pentru soluțiile întregi ale acestei ecuații, unde x0, y0 este o soluție întreagă a ecuației și este orice număr întreg.

2. 1 METODA DE COBORARE

Multe > se bazează pe metode de rezolvare a ecuațiilor incerte. De exemplu, un truc care implică ghicirea datei nașterii.

Invită-ți prietenul să-și ghicească ziua de naștere după suma numerelor egală cu produsul datei sale de naștere cu 12 și numărul lunii nașterii cu 31.

Pentru a ghici ziua de naștere a prietenului tău, trebuie să rezolvi ecuația: 12x + 31y = A.

Să vi se dea numărul 380, adică avem ecuația 12x + 31y = 380. Pentru a găsi x și y, puteți raționa astfel: numărul 12x + 24y este divizibil cu 12, prin urmare, conform proprietăților lui divizibilitate (Teorema 4.4), numărul 7y și 380 trebuie să aibă același rest atunci când este împărțit la 12. Numărul 380 când este împărțit la 12 dă un rest de 8, prin urmare 7y atunci când este împărțit la 12 trebuie să lase și un rest de 8 și, deoarece y este numărul lunii, apoi 1

Ecuația pe care am rezolvat-o este o ecuație diofantină de gradul I cu două necunoscute. Pentru a rezolva astfel de ecuații, se poate folosi așa-numita metodă de coborâre. Voi lua în considerare algoritmul acestei metode folosind ecuația specifică 5x + 8y = 39.

1. Voi alege necunoscuta care are cel mai mic coeficient (in cazul nostru este x), si o voi exprima printr-o alta necunoscuta:. Voi evidenția întreaga parte: Evident, x va fi un întreg dacă expresia se dovedește a fi un întreg, ceea ce, la rândul său, va fi cazul când numărul 4 - 3y este divizibil cu 5 fără rest.

2. Voi introduce o variabilă întreagă suplimentară z astfel: 4 - 3y = 5z. Ca urmare, voi obține o ecuație de același tip cu cea inițială, dar cu coeficienți mai mici. O voi rezolva cu privire la variabila y:. Selectând întreaga parte, am:

Raționând similar celei precedente, introdu o nouă variabilă u: 3u = 1 - 2z.

3. Voi exprima necunoscuta cu cel mai mic coeficient, în acest caz variabila z: =. Solicitând ca acesta să fie un întreg, obțin: 1 - u = 2v, de unde u = 1 - 2v. Nu mai sunt fracții, coborârea este completă.

4. Acum ai nevoie de >. Voi exprima prin variabila v mai întâi z, apoi y și apoi x: z = = = 3v - 1; = 3 - 5v.

5. Formulele x = 3+8v și y = 3 - 5v, unde v este un număr întreg arbitrar, reprezintă soluția generală a ecuației inițiale în numere întregi.

Cometariu. Astfel, metoda coborârii implică mai întâi exprimarea secvenţială a unei variabile în termenii alteia până când nu mai rămân fracţii în reprezentarea variabilei, iar apoi secvenţial de-a lungul unui lanţ de egalităţi pentru a obţine o soluţie generală a ecuaţiei.

2. 2 METODA DE SONDAJ

Iepurii și fazanii stau într-o cușcă; au 18 picioare în total. Aflați câți dintre ambele sunt în celulă?

Permiteți-mi să creez o ecuație cu două necunoscute, în care x este numărul de iepuri și y este numărul de fazani:

4x + 2y = 18 sau 2x + y = 9.

Răspuns. 1) 1 iepure și 7 fazani; 2) 2 iepuri si 5 fazani; 3) 3 iepuri si 3 fazani; 4) 4 iepuri și 1 fazan.

1. PARTEA PRACTICĂ

3.1 Rezolvarea ecuațiilor liniare cu două necunoscute

1. Rezolvați ecuația 407x - 2816y = 33 în numere întregi.

Voi folosi algoritmul compilat.

1. Folosind algoritmul euclidian, voi găsi cel mai mare divizor comun al numerelor 407 și 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Prin urmare (407,2816) = 11, cu 33 divizibil cu 11.

2. Împărțiți ambele părți ale ecuației inițiale la 11, obținem ecuația 37x - 256y = 3 și (37, 256) = 1

3. Folosind algoritmul euclidian, voi găsi o reprezentare liniară a numărului 1 prin numerele 37 și 256.

256 = 37 6 + 34;

Voi exprima 1 din ultima egalitate, apoi urcand succesiv egalitatile Voi exprima 3; 34 și înlocuiți expresiile rezultate în expresia pentru 1.

1 = 34 - 3 11 = 34 - (37 - 34 1) 11 = 34 12 - 37 11 = (256 - 37 6) 12 - 37 11 =

83 37 - 256 (- 12)

Astfel, 37·(- 83) - 256·(- 12) = 1, prin urmare perechea de numere x0 = - 83 și y0 = - 12 este o soluție a ecuației 37x - 256y = 3.

4. Voi scrie formula generală pentru soluțiile ecuației inițiale unde t este orice număr întreg.

Răspuns. (-83c+bt; -12c-at), t є Z.

Cometariu. Se poate dovedi că dacă perechea (x1,y1) este o soluție întreagă a ecuației în care, atunci toate soluțiile întregi ale acestei ecuații se găsesc folosind formulele: x=x1+bty=y1-at

2. Rezolvați ecuația 14x - 33y=32 în numere întregi.

Rezolvare: x = (32 + 33y) : 14

(14 [. ] 2+ 5)y + (14 [. ] 2 + 4) = 14 [. ] 2y + 5y + 14[. ] 2 + 4 = 14(2y + 2) + 5y + 4; 2y + 2 = p; p є Z

Căutați de la 1 la 13

Când y = 2; (5 [. ] 2 + 4): 14

Permiteți-mi să înlocuiesc y = 2 în ecuația originală

14x = 32 +33 [. ] 2

14x = 32 + 66 x = 98: 14 = 7

Voi găsi toate soluțiile întregi din câtul găsit:

14(x - 7) + 98 - 33 (y -2) - 66 = 32

14(x - 7) - 33(y - 2)=0

14(x - 7) = 33(y - 2) -> 14(x - 7) : 33 -> (x - 7): 33 -> x = 33k + 7; k є Z

Permiteți-mi să înlocuiesc în ecuația originală:

14(33k + 7) - 33y = 32

14. 33k + 98 - 33y = 32 y = 14k + 2; x = 33k + 7, unde k є Z. Aceste formule specifică soluția generală a ecuației inițiale.

Răspuns. (33k + 7; 14k + 2), k є Z.

3. Rezolvați ecuația x - 3y = 15 în numere întregi.

Voi găsi GCD(1,3)=1

Voi determina o anumită soluție: x=(15+3y):1 folosind metoda de enumerare, găsesc valoarea y=0 apoi x=(15+3 [. ] 0) =15

(15; 0) - soluție privată.

Toate celelalte soluții se găsesc folosind formulele: x=3k + 15, k є Z y=1k+0=k, k є Z pentru k=0, obțin o anumită soluție (15;0)

Răspuns: (3k+15; k), k є Z.

4. Rezolvați ecuația 7x - y = 3 în numere întregi.

Voi găsi GCD(7, -1)=1

Voi defini o anumită soluție: x = (3+y):7

Folosind metoda forței brute, găsim valoarea y є y = 4, x = 1

Aceasta înseamnă că (1;4) este o soluție specială.

Găsesc toate celelalte soluții folosind formulele: x = 1k + 1, k є Z y = 7k + 4, k є Z

Raspuns: (k+1;7k+4); k є Z.

5. Rezolvați ecuația 15x+11 y = 14 numere întregi.

Voi găsi GCD(15, -14)=1

Voi defini o anumită soluție: x = (14 - 11y):15

Folosind metoda forței brute, găsesc valoarea y є y = 4, x = -2

(-2;4) este o soluție particulară.

Găsesc toate celelalte soluții folosind formulele: x = -11k - 2, k є Z y =15k + 4, k є Z

Răspuns: (-11k-2; 15k+4); k є Z.

6. Rezolvați ecuația 3x - 2y = 12 numere întregi.

Voi găsi GCD(3; 2)=1

Voi defini o anumită soluție: x = (12+2y):3

Folosind metoda forței brute, găsesc valoarea y є y = 0, x = 4

(4;0) este o soluție particulară.

Găsesc toate celelalte soluții folosind formulele: x = 2k + 4, k є Z y = 3k, k є Z

Răspuns: (2k+4; 3k); k є Z.

7. Rezolvați ecuația xy = x + y în numere întregi.

Am xy - x - y + 1 = 1 sau (x - 1)(y - 1) = 1

Prin urmare, x - 1 = 1, y - 1 = 1, de unde x = 2, y = 2 sau x - 1 = - 1, y - 1 = - 1, de unde x = 0, y = 0 alte soluții în numere întregi având în vedere ecuația nu are.

Răspuns. 0;0;(2;2).

8. Rezolvați ecuația 60x - 77y = 1 în numere întregi.

Permiteți-mi să rezolv această ecuație pentru x: x = (77y + 1) / 60 = (60y + (17y +1)) / 60 = y + (17y + 1) / 60.

Fie (17y + 1) / 60 = z, atunci y = (60z - 1) / 17 = 3z + (9z - 1) / 17. Dacă notăm (9z - 1) / 17 cu t, atunci z = (17t + 1) / 9 = 2t + (- t + 1) / 9. În cele din urmă, fie (- t + 1) / 9 = n, apoi t = 1- 9n. Deoarece găsesc doar soluții întregi ale ecuației, z, t, n trebuie să fie numere întregi.

Astfel, z = 2 - 18n + 2 = 2 - 17n, și deci y = 6 - 51n + 1 - 9n = 7 - 60n, x = 2 - 17n +7 - 60n = 9 - 77n. Deci, dacă x și y sunt soluții întregi ale unei ecuații date, atunci există un număr întreg n astfel încât x = 9 - 77n, y = 7 - 60n. În schimb, dacă y = 9 - 77n, x = 7 - 60n, atunci, evident, x, y sunt numere întregi. Verificarea arată că acestea satisfac ecuația inițială.

Răspuns. (9 - 77n; 7 - 60n)); n є Z.

9. Rezolvați ecuația 2x+11y =24 în numere întregi.

Voi găsi GCD(2; 11)=1

Voi defini o anumită soluție: x = (24-11y):2

Folosind metoda forței brute, găsesc valoarea y є y = 0, x = 12

(12;0) este o soluție specială.

Găsesc toate celelalte soluții folosind formulele: x = -11k + 12, k є Z y = 2k + 0=2k, k є Z

Raspuns:(-11k+12; 2k); k є Z.

10. Rezolvați ecuația 19x - 7y = 100 în numere întregi.

Voi găsi GCD(19, -7)=1

Voi defini o anumită soluție: x = (100+7y):19

Folosind metoda forței brute, găsesc valoarea y є y = 2, x = 6

(6;2) este o soluție particulară.

Găsesc toate celelalte soluții folosind formulele: x = 7k + 6, k є Z y = 19k + 2, k є Z

Răspuns:(7k+6; 19k+2); kє Z.

11. Rezolvați ecuația 24x - 6y = 144 în numere întregi

Voi găsi GCD(24, 6)=3.

Ecuația nu are soluții deoarece GCD(24, 6)!=1.

Răspuns. Nu există soluții.

12. Rezolvați ecuația în numere întregi.

Transform raportul coeficienților pentru necunoscute.

În primul rând, voi evidenția întreaga parte a fracției improprie;

Voi înlocui fracția potrivită cu o fracție egală.

Atunci o voi primi.

Voi face aceleași transformări cu fracția improprie obținută la numitor.

Acum, fracția inițială va lua forma:

Repetând același raționament pentru fracțiune, obțin.

Izolând întreaga parte a fracției improprii, ajung la rezultatul final:

Am primit o expresie numită fracție continuă finită sau fracție continuă. După ce am eliminat ultima verigă a acestei fracții continuate - o cincime, voi transforma noua fracție continuă rezultată într-una simplă și o voi scădea din fracția inițială.

Voi reduce expresia rezultată la un numitor comun și o voi arunca, atunci

Din compararea egalității rezultate cu ecuația rezultă că, va fi o soluție a acestei ecuații și, conform teoremei, toate soluțiile sale vor fi conținute în,.

Răspuns. (9+52t; 22+127t), t є Z.

Rezultatul obținut sugerează că, în cazul general, pentru a găsi o soluție la ecuație, este necesar să se extindă raportul coeficienților necunoscutelor într-o fracție continuă, să se renunțe la ultima ei legătură și să se efectueze calcule similare celor efectuate. mai sus.

13. Rezolvați ecuația 3xy + 2x + 3y = 0 în numere întregi.

3xy + 2x + 3y = 3y + 2x + 3y + 2 - 2 = 3y(x + 1) + 2(x + 1) - 2 =

=(x + 1)(3y + 2) - 2,

(x + 1)(3y + 2) = 2,

3y + 2 = 1 sau 3y + 1 = 2 sau 3y + 1 = -1 sau 3y + 1 = -2 x + 1 = 2, x + 1 =1, x + 1 = -2, x + 1 = -1 ; x = 2 sau x = 0 sau x = -3 sau x = -2 y cent z, y = 0, y = -1, y cent z.

Răspuns: (0;0);(-3;-1).

14. Rezolvați ecuația y - x - xy = 2 în numere întregi.

Rezolvare: y - xy - x + 1 = 3, (y + 1)(1 - x) = 3,

3 = 1·3 = 3·1 = (-1)·(-3) = (-3)·(-1).

y + 1 = 1 sau y + 1 = 3 sau y + 1 = -1 sau y + 1 = -3

1 - x =3, 1 - x =1, 1 - x = -3, 1 - x = -1.

y = 0 sau y = 2 sau y = -2 sau y = -4 x = -2, x = 0, x = 4, x = 2

Răspuns: (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2).

15. Rezolvați ecuația y + 4x + 2xy = 0 în numere întregi.

Rezolvare: y + 4x + 2xy + 2 - 2 = 0, (2x + 1)(2 + y) = 2,

2 = 1∙2 = 2∙1 = (-2)∙(-1) = (-1)∙(-2).

2x + 1= 1 sau 2x + 1= 2 sau 2x + 1= -1 sau 2x + 1= -2

2 + y = 2, 2 + y = 1, 2 + y = -2, 2 + y = -1; y = 0 sau y = -1 sau y = -4 sau y = -3 x = 0, x cent Z, x = -1, x cent Z.

Răspuns: (-1;-4);(0;0).

16. Rezolvați ecuația 5x + 10y = 21 în numere întregi.

5(x + 2y) = 21, deoarece 21 != 5n, atunci nu există rădăcini.

Răspuns. Nu există rădăcini.

17. Rezolvați ecuația 3x + 9y = 51 în numere naturale.

3(x + 3y) = 3∙17, x = 17 - 3y, y = 1, x = 14; y = 2, x = 11; y = 3, x = 8; y = 4, x = 5; y = 5, x = 2; y = 6, x = -1, -1cent N.

Răspuns:(2;5);(5;4);(8;3);(11;2; (14:1).

18. Rezolvați ecuația 7x+5y=232 în numere întregi.

Voi rezolva această ecuație în raport cu necunoscuta la care se află cel mai mic coeficient (modulo), adică în acest caz față de y: y = 232-7x5.

Permiteți-mi să înlocuiesc numerele în loc de x în această expresie: 0;1;2;3;4. Obțin: x=0, y=2325=4625, x=1, y=232-75=45, x=2, y=232-145=43.6, x=3, y=232-215=42, 2 , x=4, y=232-285=40,8

Răspuns. (1;45).

19. Rezolvați ecuația 3x + 4y + 5xy = 6 în numere întregi.

Am 3∙4 + 5∙6 = 42 = mn

Divizori 42: - +- (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42).

x = m - 45, y = n - 35 Găsesc că cu m = -1, -6, 14, -21 n = -42, -7, 3, -2 soluțiile sunt: ​​x = -1, -2 , 2, -5 y = -9, -2, 0, -1.

Deci, această ecuație are 4 soluții în numere întregi și niciuna în numere naturale.

Răspuns. -1;-9;-2;-2;2;0;(-5;-1).

20. Rezolvați ecuația 8x+65y=81 în numere naturale.

81⋮GCD(8;65) =>

8x=81-65y x=81-65y8=16+65-65y8=2+65(1-y)8.

Fie 1-y8=t, t Є Z. x=2+65t>0y=1-8t>0

65t>-2-8t>-1 t>-265 t t=0.

La t=0 x=2y=1

Răspuns. (2;1).

21. Găsiți soluții întregi nenegative pentru ecuația 3x+7y=250.

250⋮GCD(3;7) =>ecuația poate fi rezolvată în numere întregi.

x=250-7y3=243+7-7y3=81+7(1-y)3.

Fie 1-y3=t, t Є Z.

x=81+7t>=0y=1-3t>=0

7t>=-81-3t>=-1 t>=-817t=-1147t t=-11;-10;. ;0.

x=81+7tу=1-3t t=-11 ​​​​x=4y=34 t=-10 x=11y=31 t=-9 x=18y=28 t=-8 x=25y=25 t=- 7 x =32y=22 t=-6 x=39y=19 t=-5 x=46y=16 t=-4 x=53y=13 t=-3 x=60y=10 t=-2 x=67y= 7 t =-1 x=74y=4 t=0 x=81y=1

Răspuns. 11;31;18;28;25;25;32;22;39;19;46;16;53;13;60;10;67;7;74;4;81;1.

22. Rezolvați ecuația xy+x+y3=1988 în numere întregi.

Să înmulțim ambele părți ale ecuației cu 3. Obținem:

3x+3xy+y=5964

3x+3xy+y+1=5965

(3х+1)+(3х+у)=5965

(3x+1) + y(3x+1)=5965

(3x+1)(y+1)=5965

5965=1∙5965 sau 5965=5965∙1 sau 5965=-1∙(-5965) sau 5965=-5965∙(-1) sau 5965=5∙1193 sau 5965=1193∙5 (sau 5∙5) -1193) sau 5965=-1193∙(-5)

1) 3x+1=1y+1=5965 2) 3x+1=5965y+1=1 x=0y=5964 x=1988y=0

3) 3x+1=5y+1=1193 4) 3x+1=1193y+1=5 soluții în numere întregi nu soluții în numere întregi nu

5) 3x+1=-1y+1=-5965 6) 3x+1=-5965y+1=-1 fără soluții în numere întregi fără soluții în numere întregi

7) 3x+1=-5y+1=-1193 8) 3x+1=-1193y+1=-5 x=-2y=1194 x=-398y=-6

Răspuns. 0;5964;1988;0;-2;-1194;(-398;-6).

3. 2 REZOLVAREA PROBLEMELOR

Există mai multe tipuri de probleme, cel mai adesea acestea sunt probleme de natură olimpiadică, care se rezumă la rezolvarea ecuațiilor diofantine. De exemplu: a) Sarcini privind schimbul unei sume de bani de o anumită valoare nominală.

b) Probleme care implică transfuzii și divizarea obiectelor.

1. Am cumparat 390 de creioane colorate in cutii de 7 si 12 creioane. Câte dintre acestea și alte cutii ați cumpărat?

Voi desemna: x cutii de 7 creioane, y cutii de 12 creioane.

Permiteți-mi să creez o ecuație: 7x + 12y = 390

Voi găsi GCD(7, 12)=1

Voi defini o anumită soluție: x = (390 - 12y):7

Folosind metoda forței brute, găsesc valoarea y є y = 1, x = 54

(54;1) este o soluție specială.

Găsesc toate celelalte soluții folosind formulele: x = -12k + 54, k є Z y = 7k + 1, k є Z

Am găsit multe soluții la ecuație. Ținând cont de condițiile problemei, voi determina numărul posibil al ambelor casete.

Răspuns. Puteți cumpăra: 54 cutii cu 7 creioane și 1 cutie cu 12 creioane, sau 42 cutii cu 7 creioane și 8 cutii cu 12 creioane sau 30 cutii cu 7 creioane și 15 cutii cu 12 creioane sau 28 cutii cu 7 creioane și 22 cutii cu 12 creioane sau 6 cutii cu 7 creioane și 29 cutii cu 12 creioane.

2. Un catet al unui triunghi dreptunghic este cu 7 cm mai mare decât celălalt, iar perimetrul triunghiului este de 30 cm. Aflați toate laturile triunghiului.

Voi desemna: x cm - un picior, (x+7) cm - celălalt picior, y cm - ipotenuză

Voi compune și voi rezolva ecuația diofantină: x+(x+7)+y=30

Voi găsi GCD(2; 1)=1

Voi defini o anumită soluție: x = (23 - y):2

Folosind metoda forței brute, găsesc valoarea y =1 y = 1, x = 11

(11;1) este o soluție particulară.

Găsesc toate celelalte soluții ale ecuației folosind formulele: x = -k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z k

Avand in vedere ca orice latura a unui triunghi este mai mica decat suma celorlalte doua laturi, ajungem la concluzia ca sunt trei triunghiuri cu laturile 7, 9 si 14; 6, 11 și 13; 5, 13 și 12. Conform condițiilor problemei, se dă un triunghi dreptunghic. Acesta este un triunghi cu laturile 5, 13 și 12 (teorema lui Pitagora este valabilă).

Răspuns: Un picior are 5 cm, celălalt are 12 cm, ipotenuza este de 13 cm.

3. Mai mulți copii culeseau mere. Fiecare băiat a adunat 21 kg, iar fata a strâns 15 kg. În total au adunat 174 kg. Câți băieți și câte fete au cules mere?

Să fie x băieți și y fete, x și y fiind numere naturale. Lasă-mă să creez o ecuație:

Rezolv prin metoda de selectie: x

6 Numai la x = 4 a doua necunoscută primește o valoare întreagă pozitivă (y = 6). Pentru orice altă valoare a lui x, y va fi fie o fracție, fie negativ. Prin urmare, problema are o soluție unică.

Răspuns. 4 băieți și 6 fete.

4. Este posibil să creați un set de creioane în valoare de 3 ruble și pixuri în valoare de 6 ruble în valoare de 20 de ruble?

Fie numărul de creioane din set x și numărul de pixuri y.

Lasă-mă să creez o ecuație:

Pentru orice numere întregi x și y, partea stângă a ecuației trebuie să fie divizibilă cu 3; partea dreaptă nu este divizibilă cu 3. Aceasta înseamnă că nu există numere întregi x și y care ar satisface ecuația noastră. Această ecuație nu poate fi rezolvată în numere întregi. Este imposibil să creezi un astfel de set.

Răspuns. Nu există soluții.

5. Găsiți un număr natural care, împărțit la 3, lasă un rest de 2, iar când este împărțit la 5, lasă un rest de 3.

Voi nota numărul necesar cu x. Dacă notez câtul lui x cu 3 cu y și câtul împărțirii cu 5 cu z, atunci obținem: x=3y+2x=5z+3

După semnificația problemei, x, y și z trebuie să fie numere naturale. Aceasta înseamnă că trebuie să rezolvăm un sistem nedefinit de ecuații în numere întregi.

Pentru orice număr întreg y și z, x va fi, de asemenea, un număr întreg. O scad pe prima din a doua ecuație și obținem:

5z - 3y + 1 = 0.

După ce am găsit toate numerele întregi pozitive y și z, voi obține imediat toate valorile întregi pozitive ale lui x.

Din aceasta ecuatie gasesc:

O soluție este evidentă: pentru z = 1 obținem y = 2, iar x și y sunt numere întregi. Soluția x = 8 le corespunde.

O sa gasesc si alte solutii. Pentru a face acest lucru, voi introduce o necunoscută auxiliară u, setând z = 1 + u. Voi primi:

5(1 + u) - 3y + 1 = 0, adică 5u = 3y - 6 sau 5u = 3(y - 2).

Partea dreaptă a ultimei ecuații este divizibilă cu 3 pentru orice număr întreg y. Aceasta înseamnă că și partea stângă trebuie să fie divizibilă cu 3. Dar numărul 5 este coprim cu numărul 3; prin urmare, u trebuie să fie divizibil cu 3, adică să aibă forma 3n, unde n este un număr întreg. În acest caz, y va fi egal

15n/3 + 2 = 5n + 2, adică, de asemenea, un număr întreg. Deci, z = 1 + u = 1 + 3n, de unde x = 5z + 3 = 8 + 15n.

Rezultatul nu este unul, ci un set infinit de valori pentru x: x = 8 + 15n, unde n este un număr întreg (pozitiv sau zero):

Răspuns. x=8+15n; n є 0;1;2;.

6. Subiecții au adus Șahului 300 de pietre prețioase: în cutii mici de câte 15 bucăți și în cutii mari - 40 de bucăți. Câte dintre acestea și alte cutii erau acolo, dacă se știe că erau mai puține mici decât mari?

Permiteți-mi să notez cu x numărul de cutii mici și cu y numărul celor mari.

15x+40y=300. O voi tăia cu 5.

3x+8y=60 x=60-8y3 x=60-6y-2y3

X=20-2y-2y3

Pentru ca valoarea unei fracții să fie un număr întreg, 2y trebuie să fie un multiplu al lui 3, adică 2y = 3c.

Voi exprima variabila y și voi selecta întreaga parte:

Z trebuie să fie un multiplu de 2, adică z=2u.

Permiteți-mi să exprim variabilele x și y în termeni de u:

X=20-2y-2y3

Х=20-2∙3u-2∙3u3

Voi compune și voi rezolva un sistem de inegalități:

Voi nota toate soluțiile: 1; 2. Acum voi găsi valorile lui x și y pentru u=1; 2.

1) x1=20-8∙1=20-8=12 y1=3∙1=3

2) x2=20-8∙2=20-16=4 y2=3∙2=6

Răspuns. 4 cutii mici; 6 cutii mari.

7. Au fost date două mașini Ural 5557, mașinile au fost trimise pe un zbor Krasnoturinsk - Perm - Krasnoturinsk. În total, au fost necesare 4 tone de motorină și 2 șoferi pentru a finaliza acest zbor. Este necesar să se determine costurile de transport, și anume costul pentru 1 tonă de motorină și salariile șoferilor care efectuează acest zbor, dacă se știe că au fost cheltuite în total 76.000 de ruble.

Fie x ruble costul pentru 1 tonă de motorină și x ruble să fie salariul șoferilor. Apoi (4x + 2y) ruble au fost cheltuite pe zbor. Și în funcție de condițiile problemei, au fost cheltuite 76.000 de ruble.

Obțin ecuația:

Pentru a rezolva această ecuație, metoda forței brute va fi un proces care necesită multă muncă. Deci voi folosi metoda >.

Voi exprima variabila y prin x: , voi selecta întreaga parte și voi obține: (1).

Pentru ca valoarea unei fracții să fie un număr întreg, 2x trebuie să fie un multiplu al lui 4. Adică 2x = 4z, unde z este un număr întreg. De aici:

Voi înlocui valoarea lui x în expresia (1):

Deoarece x, y 0, apoi 19000 z 0, prin urmare, dând z valori întregi de la 0 la 19000, obțin următoarele valori ale lui x și y: z

Din datele reale privind costurile de transport, se știe că 1 tonă de motorină (x) costă 18.000 de ruble. , iar plata pentru șoferii care efectuează zborul (y) este de 10.000 de ruble. (date luate aproximativ). Din tabel aflăm că valoarea x egală cu 18000 și valoarea y egală cu 10000 corespund unei valori z egală cu 9000, într-adevăr: ;.

8. În câte moduri puteți colecta suma de 27 de ruble? , având destul de multe monede de două și cinci ruble?

Permiteți-mi să notez: x monede de două ruble și y monede de cinci ruble

Voi crea o ecuație, ținând cont de condiția problemei 2x + 5y = 27.

Voi găsi GCD(2;5)=1

Voi defini o anumită soluție: x = (27-5y):2

Folosind metoda forței brute, găsesc valoarea y є y = 1, x = 11

(11;1) este o soluție particulară.

Toate celelalte soluții se găsesc folosind formulele: x = -5k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z

Această ecuație are multe soluții. Să găsim toate modalitățile prin care puteți colecta suma de 27 de ruble cu monedele oferite. k

Răspuns. Există trei moduri prin care puteți colecta această sumă dacă aveți o mulțime de monede de două și cinci ruble.

9. Să presupunem că caracatițele și stelele de mare trăiesc într-un acvariu. Caracatițele au 8 picioare, iar stelele de mare au 5. Sunt 39 de membre în total. Câte animale sunt în acvariu?

Fie x numărul de stele de mare, y numărul de caracatițe. Apoi, toate caracatițele au 8 picioare, iar toate stelele au 5 picioare.

Permiteți-mi să creez o ecuație: 5x + 8y = 39.

Vă rugăm să rețineți că numărul de animale nu poate fi exprimat ca numere neîntregi sau negative. Prin urmare, dacă x este un număr întreg nenegativ, atunci y = (39 - 5x)/8 trebuie să fie, de asemenea, un întreg și nenegativ și, prin urmare, este necesar ca expresia 39 - 5x să fie divizibil cu 8 fără a restul. O simplă căutare a opțiunilor arată că acest lucru este posibil numai atunci când x = 3, atunci y = 3.

Răspuns: (3; 3).

10. O fabrică de mobilă produce taburete cu trei și patru picioare. Stăpânul a făcut 18 picioare. Câte scaune pot fi făcute astfel încât să poată fi folosite toate picioarele?

Fie x numărul de scaune cu trei picioare și y numărul de scaune cu patru picioare. Atunci, 3x + 4y = 18.

am, 4y =18 - 3x; y = 3(6 - x):4.

Obțin: x = 2; y = 3 sau x = 6; y = 0.

Nu există alte soluții, deoarece x 6.

Răspuns. 2;3;(6;0).

11. Se pot caza 718 persoane in cabine cu 4 si 8 locuri, astfel incat sa nu fie locuri libere in cabine?

Fie cabinele cu 4 paturi x, iar cabinele cu 8 paturi y, apoi:

2(x + 2y) = 309

Răspuns. Este interzis.

12. Demonstrați că pe dreapta 124x + 216y = 515 nu există un singur punct cu coordonate întregi.

GCD(124,216) = 4, 515 != 4n, ceea ce înseamnă că nu există soluții întregi.

Răspuns. Nu există soluții.

13. Costul mărfurilor este de 23 de ruble, cumpărătorul are doar 2 monede de ruble, iar casieria are 5 monede de ruble. Este posibil să faceți o achiziție fără a face mai întâi un schimb de bani?

Fie x numărul de monede de 2 ruble, y numărul de monede de 5 ruble, apoi 2x - 5y = 23, unde x,y є N.

Obțin: 2x = 23 + 5y, de unde x =23 + 5y2 =11 + 2y + (1 + y)2 x va fi un număr întreg dacă 1 + y2 este un număr întreg.

1 + y2 = t, unde t Euro Z, apoi y = 2t - 1.

x = 11 + 2y + 1 + y2 = 11 + 4t - 2 + 1 + 2t-12 = 5t + 9.

La. x = 5t + 9 și y = 2t - 1, unde t є z.

Problema are multe soluții întregi. Cel mai simplu dintre ele este pentru t = 1, x =14, y = 1, adică cumpărătorul va oferi paisprezece monede de 2 ruble și va primi o monedă de 5 ruble în schimb.

Răspuns. Poate sa.

14. În timpul unui audit al registrelor comerciale ale magazinului, una dintre înregistrări s-a dovedit a fi acoperită cu cerneală și arăta astfel:

> Nu se putea desluși numărul de metri vânduți, dar nu era nicio îndoială că numărul nu era o fracțiune; în încasări a fost posibil să se distingă doar ultimele trei cifre și, de asemenea, a fost posibil să se stabilească că mai erau alte trei cifre în fața lor. Este posibil să restabiliți o înregistrare folosind aceste date?

Fie numărul de metri x, atunci costul mărfurilor în copeici este 4936x. Notăm totalul de trei cifre completate cu y, acesta este numărul de mii de copeici, iar întreaga sumă în copeici va fi exprimată după cum urmează (1000y + 728).

Obțin ecuația 4936x = 1000y + 728, o împart la 8.

617x - 125y = 91, unde x,y є z, x,y

125y = 617x - 91 y = 5x - 1 +34 - 8x125 = 5x - 1 + 2 17 - 4x125 =

5x - 1 + 2t, unde t = 17 - 4x125, t Euro Z.

Din ecuația t = (17 - 4x)/125 obținem x = 4 - 31t + 1 - t4 =

4 - 31t + t1, unde t1 = 1 - t4, deci t = 1 - 4t1, a x = 125t1 - 27, y = 617t1 - 134.

După condiție știu că 100

100 = 234/617 și t1

Aceasta înseamnă că 98 de metri au fost vânduți pentru suma de 4837,28 ruble. Înregistrarea a fost restabilită.

Răspuns. 98 de metri eliberați.

15. Este necesar să cumpărați 40 de mărci poștale pentru o rublă - copeck, 4 copeck și 12 copeck. Câte timbre din fiecare denominație puteți cumpăra?

Puteți face două ecuații: x + 4y + 12z = 100 și x + y + z = 40, unde x este numărul de mărci penny, y este numărul de mărci de 4 copeci, z este numărul de mărci de 12 copeci . O scad pe a doua din prima ecuație și obținem:

3y + 11z = 60, y = 60 - 11z3 = 20 - 11· z3.

Fie z3 = t, z = 3t, unde t Euro Z. Atunci obțin dacă x + y + z = 40 și z = 3t, și y = 20 - 11t, x = 20 + 8t.

Deoarece x >= 0, y >= 0, z >= 0, atunci 0

Atunci, în consecință, obțin: t = 0, x = 20, y = 20, z = 0; t = 1, x = 28, y = 9, z = 3.

Așadar, achiziția de timbre se poate face doar în două moduri, iar dacă condiția este ca cel puțin o ștampilă din fiecare denumire să fie achiziționată, atunci doar într-un singur mod.

Răspuns. 28 de mărci de 1 copeici, 9 mărci de 4 copeici și 3 mărci de 12 copeici.

16. Un elev a primit o sarcină de 20 de probleme. Pentru fiecare întrebare rezolvată corect, el primește 8 puncte; pentru fiecare întrebare nerezolvată, i se scad 5 puncte. Pentru o sarcină pe care nu și-a asumat-o - 0 puncte. Elevul a obținut 13 puncte în total. Câte probleme s-a angajat să rezolve?

Fie problemele rezolvate corect x, problemele rezolvate incorect y, iar problemele neconsiderate z.

Atunci x + y + z = 20 și 8x - 5y = 13.

y = 8x - 135= x - 2 +3(x - 1)5 = x - 2 + 3t, ​​​​unde t = x - 15 și x = 5t + 1.

Prin condiția x + y

Răspuns: elevul a luat 13 probleme, a rezolvat 6 și a picat 7.

17. Ivanushka Proastul se luptă cu Șarpele Gorynych, care are 2001 capete. Legănându-și sabia spre stânga, Ivan taie 10 capete, iar în schimb cresc 16. Legănându-și sabia spre dreapta, taie 15 și cresc 6. Dacă toate capetele sunt tăiate, nu crește altele noi. Puteți să vă balansați în orice ordine, dar dacă sunt mai puțin de 15 goluri, atunci doar spre stânga, iar dacă sunt mai puțin de 10, atunci deloc. Poate Ivanushka Nebunul să-l învingă pe Șarpele Gorynych?

Permiteți-mi să reformulez problema: este posibil să tăiați capete din 1986? Apoi Ivan va tăia restul de 15 cu o lovitură spre dreapta și nu vor crește altele noi.

Fie x numărul de lovituri la dreapta și y numărul de lovituri la stânga, apoi 1986 - 9x + 6y = 0.

Împărțim întreaga ecuație la 6, obțin

3x - 2y = 662.

y = 3x - 6622 = x - 331 + x2.

Fie x2 = t, apoi x = 2t și y = 3t - 331.

Deoarece x >= 0, y >= 0, atunci t >= 111, deci t = 111, x = 222, y = 2.

Obțin: lovind de 220 de ori în dreapta, Ivan îi taie 1980 de capete și Șarpelui mai are 21 de capete; apoi 2 lovituri la stânga și Șarpele crește 12 capete, făcând un total de 33; următoarele 2 lovituri la dreapta îl privează pe Șarpe de 18 capete și Ivan le taie pe celelalte 15 cu ultima lovitură în dreapta și nu crește cap nou.

Răspuns: 220 lovituri la dreapta, 2 lovituri la stânga și încă 3 lovituri la dreapta.

18. Laturile unui zar sunt numerotate - 1, 2, 3, 4, 5, 6. Din 5 astfel de cuburi, au construit un turn și au numărat suma punctelor de pe toate fețele vizibile, după ce au scos cubul de sus, suma a scăzut cu 19, care număr s-a dovedit a fi marginea superioară a cubului de sus?

Suma punctelor unui cub este 21.

Fie x numărul de puncte de pe muchia de jos a cubului de sus și y numărul de puncte de pe muchia de sus a următorului cub. Când scoateți cubul de sus, punctele a 5 fețe ale cubului de sus dispar, suma punctelor cărora este (21 - x) și fața pe care apar punctele, ceea ce înseamnă că suma punctelor are a scăzut cu (21 - x) - y, iar conform condiției este 19, deci:

(21 - x) - y = 19, x + y = 2.

Prin urmare y = 2 - x și prin condiția 1

19. Cineva a cumpărat 30 de păsări pentru 30 de monede de aceeași valoare. Pentru fiecare 3 vrăbii plătiți 1 monedă, pentru 2 cintece - 1 monedă, pentru 1 porumbel - 2 monede. Câte păsări de fiecare tip au fost?

Să fie x vrăbii, y cintece și z porumbei. Apoi, conform condiției, x + y + z = 30 și 13x + 12y + 2z = 30.

Obțin x + y + z = 30 și 2x + 3y + 12z = 180, sau y + 10z = 120, y = 120 - 10z, unde prin condiția x

De aici următoarele opțiuni (0;20;10); (9;10;11); (18;0;12).

Răspuns: vrăbii - 0, cintece - 20, porumbei - 10; vrăbii - 9, cintece - 10, porumbei - 11; vrăbii - 18, cintece - 0, porumbei - 12.

20. Găsiți toate numerele de două cifre, fiecare dintre acestea, atunci când este redus cu 2, este egal cu de cinci ori produsul cifrelor sale.

Fie xy numerele necesare din două cifre.

Pentru ecuația xy - 2 = 5xy, sau (10x + y) - 5xy = 2 S = 0 și voi găsi toate soluțiile naturale din mulțimea (x; 2).

Deoarece x este prima cifră a numerelor din două cifre, poate lua doar 9 valori.

Acea. , numerele necesare vor fi: 12, 22, 32,. , 92.

Răspuns. 12; 22, 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92.

21. O bucată de sârmă de 102 cm lungime trebuie tăiată în bucăți de 15 cm și 12 cm lungime, astfel încât să fie folosit tot firul. Cum să o facă?

Fie x numărul de părți ale unui fir de 15 cm lungime, y numărul de părți ale unui fir de 12 cm lungime. Permiteți-mi să creez o ecuație:

15x+12y=102 /:3

4x+3y=34 x=34-4y5=6+4-4y5=6+4(1-y)5.

Fie 1-y5=t x=6+4t>0y=1-5t>0=> 4t>-6-5t>-1 => t>-1,5t t=0;-1.

Dacă t=0, atunci x=6y=1

Dacă t=-1, atunci x=2y=6

Răspuns. Problema are două soluții:

1) 102=15∙6+12∙1; 2) 102=15∙2+12∙6.

22. Petya în 1987 era la fel de vechi ca suma cifrelor anului nașterii sale. In ce an s-a nascut?

Să se nască Petya în 1919. Apoi, în 1987, avea 1987-19xy, sau (1+9+x+y) ani. Avem ecuația:

87-(10x+y)=10+x+y

77-11x=2y y=77-11x2=38-11x-12.

Având în vedere că x și y sunt cifre ale sistemului numeric zecimal, găsim prin selecție: x=3, y=1.

Răspuns. Petya s-a născut în 1970.

23. Cineva cumpără un articol în valoare de 19 ruble într-un magazin. El are doar bancnote de 15 de trei ruble, în timp ce casierul are doar bancnote de 20 de cinci ruble. Pot plăti și cum?

Problema se rezumă la rezolvarea ecuației diofantine în numere întregi pozitive: 3x - 5y = 19, unde x

Datorita faptului ca x>0 si y > 0 si tinand cont de conditiile problemei, este usor de stabilit ca 0

Aceasta conduce la 2 valori posibile: x

Răspuns. 1) 19=3∙8-1∙5 2) 19=3∙13-4∙5.

24. Este posibil să cântăriți 28 g dintr-o anumită substanță pe o cântar de cană, având doar 4 greutăți de 3 g și 7 greutăți de 5 g?

Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvați ecuația:

x = 9 - 2(3y1 - 1) + y1 = 11-5y1.

Deci x = 11 - 5 y1 y = 3 y1 - 1.

Din condiţiile problemei rezultă că lui y1 nu i se pot da valori negative. Următorul ar trebui să fie y1

Răspuns. 1 greutate în 3 g și 5 greutăți în 5 g.

25. Cumpărătorul a cumpărat din magazin pentru 21 de ruble. bunuri. Dar el are doar bancnote de 5 ruble, în timp ce casierul are 3 ruble. Vrei să știi dacă poți plăti casieria dacă ai bani și cum anume?

Fie x numărul 5 - ruble, y - 3 - ruble.

Prin condiție, x > 0, y > 0, adică.

De asemenea, t este par, altfel nici x, nici y nu vor fi numere întregi.

La t = 4, 6, 8,. avem: t

Răspuns. 6;3;8;8;12;13;15;18;18;23;21;28;24;33;27;38;(30;43).

26. Sunt 110 coli de hârtie. Este necesar să coaseți caiete de 8 coli și 10 coli fiecare. Câte ai nevoie pentru a coase?

Fie x numărul de caiete de 8 coli, y numărul de caiete de 10 coli.

Deci t = 0 sau t = - 1

Răspuns. 5;7;(10;3).

27. Multe metode antice de ghicire a numerelor și a datelor de naștere se bazează pe rezolvarea ecuațiilor diofantine. De exemplu, pentru a ghici data nașterii (luna și ziua) interlocutorului dvs., este suficient să-i cereți suma obținută în urma adunării a două produse: numărul datei (x) cu 12 și numărul lunii (y) cu 31. .

Fie suma produselor în cauză egală cu 330. Aflați data nașterii.

Să rezolvăm ecuația nedeterminată: y = 2y1 + y2 = 2(2y2 + y3) + y2 = 5y2 + 2y3 = 5(2y3 - 6) + 2y3 = 12y3 - 30 x = 27 - 3(12y3 - 30) + 2y2 + y3 = 27 - 36y3 + 90 + 2(2y3 - 6) + y3 =

27 - 36y3 + 90 + 5y3 - 12 = 105 - 31y3 x = 12y3 - 30, y = 105 - 31y3

Deci, data nașterii: a 12-a zi a lunii a 6-a.

28. Este posibil să colectați suma de 51 de ruble cu monede de două și cinci ruble? Dacă este posibil, câte moduri există?

Să fie x monede de două ruble și monede de cinci ruble.

Fie 1+y2=z, atunci

=> z = 1, 2, 3, 4, 5

Răspuns: 5 moduri.

29. Se pot pune două sute de ouă în cutii de 10 și 12 bucăți? Dacă este posibil, găsiți toate astfel de modalități.

Să fie x cutii a câte 10 bucăți fiecare și lăsați cutiile să aibă câte 12 bucăți fiecare. Permiteți-mi să creez o ecuație: z = 1, 2, 3

Răspuns: 14;5;8;10;(2;15)

30. Imaginează-ți numărul 257 ca fiind suma a doi termeni naturali: a) dintre care unul este multiplu al lui 3, iar celălalt este multiplu al lui 4; b) dintre care unul este multiplu de 5, iar celălalt este multiplu de 8.

Raspuns: 1) 249 si 8; 2) 225 și 32.

În problemele care implică ecuații nedefinite, am întâlnit o mare varietate de cazuri: problema poate fi complet nerezolvabilă (Problema 4), poate avea un număr infinit de soluții (Problema 2), poate avea mai multe soluții definite; în special, poate avea o soluție unică (Problema 1).

CONCLUZIE

Scopul pe care mi l-am propus a fost atins. Lucrul la proiect a stârnit interes și m-a captivat. Această muncă mi-a cerut nu numai anumite cunoștințe matematice și perseverență, ci mi-a oferit și ocazia să simt marea bucurie a descoperirii independente.

Ecuațiile diofantine se găsesc în sarcinile olimpiadei, astfel încât ele dezvoltă gândirea logică, cresc nivelul de cultură matematică și insuflă abilități în activitatea de cercetare independentă în matematică.

La rezolvarea ecuatiilor si a problemelor care se reduc la ecuatii diofante se folosesc proprietatile numerelor prime, metoda factorizarii unui polinom, metoda enumerarii, metoda coborarii si algoritmul euclidian. După părerea mea, metoda de coborâre este cea mai dificilă. Dar metoda forței brute s-a dovedit a fi mai frumoasă pentru mine.

Am rezolvat 54 de probleme în munca mea.

Această lucrare a contribuit la o înțelegere mai profundă a curriculum-ului școlar și mi-a lărgit orizonturile.

Acest material va fi util studenților interesați de matematică. Poate fi folosit în unele lecții și activități extracurriculare.