În școala elementară, elevii sunt introduși în conceptul de unghi. Dar ca figură geometrică care are anumite proprietăți, încep să o studieze din clasa a VII-a la geometrie. Pare, o figură destul de simplă, ce se poate spune despre ea. Dar, dobândind noi cunoștințe, școlarii înțeleg din ce în ce mai mult că pot afla fapte destul de interesante despre aceasta.

In contact cu

Când se studiază

Cursul de geometrie școlară este împărțit în două secțiuni: planimetrie și stereometrie. În fiecare dintre ele există o atenție considerabilă este dat la colțuri:

• În planimetrie se prezintă conceptul lor de bază și se face o introducere asupra tipurilor lor după mărime. Proprietățile fiecărui tip de triunghi sunt studiate mai detaliat. Pentru elevi apar noi definiții - acestea sunt figuri geometrice formate prin intersecția a două drepte între ele și intersecția mai multor drepte cu transversale.
• În stereometrie se studiază unghiurile spațiale - diedrul și triedrul.

Atenţie! Acest articol discută toate tipurile și proprietățile unghiurilor în planimetrie.

Definiție și măsurare

Când începeți să studiați, mai întâi determinați ce este un unghiîn planimetrie.

Dacă luăm un anumit punct din plan și desenăm două raze arbitrare din el, obținem o figură geometrică - un unghi, format din următoarele elemente:

• vârf - punctul din care au fost trase razele, notat cu o majusculă a alfabetului latin;
• laturile sunt linii semidreapte trasate de la vârf.

Toate elementele care formează figura în care luăm în considerare împart planul două părți:

• intern - în planimetrie nu depășește 180 de grade;
• extern.

Principiul măsurării unghiurilor în planimetrie explicat pe o bază intuitivă. Pentru început, elevii sunt introduși în conceptul de unghi rotit.

Important! Se spune că un unghi este dezvoltat dacă semi-liniile care ies din vârful său formează o linie dreaptă. Unghiul nedezvoltat este toate celelalte cazuri.

Dacă este împărțit în 180 de părți egale, atunci se obișnuiește să se considere că măsura unei părți este egală cu 10. În acest caz, se spune că măsurarea se face în grade, iar măsura gradului unei astfel de cifre este 180. grade.

Principalele tipuri

Tipurile de unghiuri sunt împărțite în funcție de criterii precum grade, natura formării lor și categoriile prezentate mai jos.

După mărime

Luând în considerare mărimea, unghiurile sunt împărțite în:

• extins;
• Drept;
• bont;
• picant.

Ce unghi se numește desfășurat a fost prezentat mai sus. Să definim conceptul de direct.

Se poate obține prin împărțirea expansului în două părți egale. În acest caz, este ușor să răspunzi la întrebarea: câte grade este un unghi drept?

Împărțiți 180 de grade de desfășurat la 2 și obținem asta un unghi drept este de 90 de grade. Aceasta este o figură minunată, deoarece multe fapte din geometrie sunt legate de ea.

De asemenea, are propriile sale caracteristici în denumire. Pentru a arăta un unghi drept în figură, acesta este notat nu printr-un arc, ci printr-un pătrat.

Unghiurile care se obțin prin împărțirea unei drepte la o rază arbitrară se numesc acute.În mod logic, rezultă că un unghi ascuțit este mai mic decât un unghi drept, dar măsura lui este diferită de 0 grade. Adică are o valoare de la 0 la 90 de grade.

Un unghi obtuz este mai mare decât un unghi drept, dar mai mic decât un unghi drept. Măsura gradului său variază de la 90 la 180 de grade.

Acest element poate fi împărțit în diferite tipuri de figuri luate în considerare, excluzând cea extinsă.

Indiferent de modul în care este împărțit un unghi nerotat, se folosește întotdeauna axioma de bază a planimetriei - „proprietatea de bază a măsurării”.

La împărțind un unghi cu un fascicul sau mai multe, măsura gradului unei figuri date este egală cu suma măsurilor unghiurilor în care este împărțită.

La nivelul clasei a VII-a se termină acolo tipurile de unghiuri după mărimea lor. Dar pentru a spori erudiția, putem adăuga că există și alte soiuri care au o măsură a gradului mai mare de 180 de grade.Se numesc convexe.

Cifre la intersecția liniilor

Următoarele tipuri de unghiuri în care sunt introduși elevii sunt elementele formate prin intersecția a două drepte. Figurile care sunt plasate una față de alta se numesc verticale. Trăsătura lor distinctivă este că sunt egali.

Elementele care sunt adiacente aceleiași linii sunt numite adiacente. Teorema care reflectă proprietatea lor spune că unghiurile adiacente se adaugă până la 180 de grade.

Elementele dintr-un triunghi

Dacă considerăm o figură ca element dintr-un triunghi, atunci unghiurile sunt împărțite în interne și externe. Un triunghi este delimitat de trei segmente și este format din trei vârfuri. Unghiurile situate în interiorul triunghiului la fiecare vârf sunt numite interne.

Dacă luăm orice element intern la orice vârf și extindem orice latură, atunci unghiul care se formează și este adiacent celui intern se numește extern. Această pereche de elemente are următoarea proprietate: suma lor este egală cu 180 de grade.

Intersecția a două drepte

Intersecția liniilor

Când două drepte se intersectează cu o transversală, se formează și unghiuri., care sunt de obicei distribuite în perechi. Fiecare pereche de elemente are propriul nume. Arata cam asa:

• culcare transversală internă: ∟4 și ∟6, ∟3 și ∟5;
• interioare unilaterale: ∟4 și ∟5, ∟3 și ∟6;
• corespunzând: ∟1 și ∟5, ∟2 și ∟6, ∟4 și ∟8, ∟3 și ∟7.

În cazul în care o secantă intersectează două drepte, toate aceste perechi de unghiuri au anumite proprietăți:

1. Culcarea transversală internă și figurile corespunzătoare sunt egale între ele.
2. Elementele interne unidirecționale se adaugă până la 180 de grade.

Studiem unghiurile din geometrie, proprietățile lor

Tipuri de unghiuri în matematică

Concluzie

Acest articol prezintă toate principalele tipuri de unghiuri care se găsesc în planimetrie și sunt studiate în clasa a VII-a. În toate cursurile ulterioare, proprietățile referitoare la toate elementele luate în considerare stau la baza studiului ulterioar al geometriei. De exemplu, atunci când studiați, va trebui să vă amintiți toate proprietățile unghiurilor formate atunci când două drepte paralele se intersectează cu o transversală. Când studiem caracteristicile triunghiurilor, este necesar să ne amintim care sunt unghiurile adiacente. Trecând la stereometrie, toate figurile volumetrice vor fi studiate și construite pe baza figurilor planimetrice.

Acest articol va discuta una dintre formele geometrice de bază - un unghi. După o introducere generală a acestui concept, ne vom concentra asupra unui tip specific de astfel de figură. Unghiul drept este un concept important în geometrie, care va fi subiectul principal al acestui articol.

Introducere în unghiul geometric

În geometrie există o serie de obiecte care formează baza oricărei științe. Unghiul se referă la ele și este definit folosind conceptul de rază, așa că să începem cu el.

De asemenea, înainte de a începe să determinați unghiul în sine, trebuie să vă amintiți mai multe obiecte la fel de importante în geometrie - acesta este un punct, o linie dreaptă pe un plan și planul în sine. O linie dreaptă este cea mai simplă figură geometrică care nu are nici început, nici sfârșit. Un plan este o suprafață care are două dimensiuni. Ei bine, o rază (sau semilinie) în geometrie este o parte a unei linii care are un început, dar fără sfârșit.

Folosind aceste concepte, putem afirma că un unghi este o figură geometrică care se află în întregime într-un anumit plan și este formată din două raze divergente cu o origine comună. Astfel de raze se numesc laturile unui unghi, iar începutul comun al laturilor este vârful acestuia.

Tipuri de unghiuri și geometrie

Știm că unghiurile pot fi complet diferite. Prin urmare, puțin mai jos va fi o mică clasificare care vă va ajuta să înțelegeți mai bine tipurile de unghiuri și principalele lor caracteristici. Deci, există mai multe tipuri de unghiuri în geometrie:

1. Unghi drept. Se caracterizează printr-o valoare de 90 de grade, ceea ce înseamnă că laturile sale sunt întotdeauna perpendiculare între ele.
2. Colt ascutit. Aceste unghiuri includ toți reprezentanții lor care au o dimensiune mai mică de 90 de grade.
3. Unghi obtuz. Aici pot exista toate unghiurile de la 90 la 180 de grade.
4. Colț desfăcut. Are o dimensiune de strict 180 de grade și în exterior laturile sale formează o linie dreaptă.

Conceptul de unghi drept

Acum să ne uităm la unghiul rotit mai detaliat. Acesta este cazul când ambele părți se află pe aceeași linie dreaptă, ceea ce poate fi văzut clar în figură puțin mai jos. Aceasta înseamnă că putem spune cu încredere că într-un unghi invers, una dintre laturile sale este în esență o continuare a celeilalte.

Merită să ne amintim faptul că un astfel de unghi poate fi întotdeauna împărțit folosind o rază care iese din vârful său. Ca rezultat, obținem două unghiuri, care în geometrie sunt numite adiacente.

De asemenea, unghiul desfășurat are mai multe caracteristici. Pentru a vorbi despre primul dintre ele, trebuie să vă amintiți conceptul de „bisectoare unghiulară”. Amintiți-vă că aceasta este o rază care împarte orice unghi exact în jumătate. În ceea ce privește unghiul desfășurat, bisectoarea acestuia îl împarte în așa fel încât să se formeze două unghiuri drepte de 90 de grade. Acesta este foarte ușor de calculat matematic: 180˚ (gradul unghiului de rotire): 2 = 90˚.

Dacă împărțim un unghi rotit cu o rază complet arbitrară, atunci ca rezultat obținem întotdeauna două unghiuri, dintre care unul va fi acut și celălalt obtuz.

Proprietățile colțurilor rotite

Va fi convenabil să luăm în considerare acest unghi, reunind toate proprietățile sale principale, ceea ce am făcut în această listă:

1. Laturile unghiului rotit sunt antiparalele și formează o linie dreaptă.
2. Unghiul de rotire este întotdeauna 180˚.
3. Două unghiuri adiacente împreună formează întotdeauna un unghi drept.
4. Un unghi complet, care este de 360˚, este format din două desfășurate și este egal cu suma lor.
5. Jumătate dintr-un unghi drept este un unghi drept.

Deci, cunoscând toate aceste caracteristici ale acestui tip de unghiuri, le putem folosi pentru a rezolva o serie de probleme geometrice.

Probleme cu unghiurile rotite

Pentru a vedea dacă ați înțeles conceptul de unghi drept, încercați să răspundeți la următoarele câteva întrebări.

1. Care este mărimea unui unghi drept dacă laturile lui formează o linie verticală?
2. Vor fi două unghiuri adiacente dacă primul are 72˚ și celălalt are 118˚?
3. Dacă un unghi complet este format din două unghiuri inverse, atunci câte unghiuri drepte are?
4. Un unghi drept este împărțit de o rază în două unghiuri, astfel încât gradele lor să fie în raport de 1:4. Calculați unghiurile rezultate.

Solutii si raspunsuri:

1. Indiferent cum este situat unghiul rotit, acesta este întotdeauna, prin definiție, egal cu 180˚.
2. Unghiurile adiacente au o latură în comun. Prin urmare, pentru a calcula dimensiunea unghiului pe care îl formează împreună, trebuie doar să adăugați valoarea măsurilor gradului lor. Aceasta înseamnă 72 +118 = 190. Dar, prin definiție, un unghi inversat este 180˚, ceea ce înseamnă că două unghiuri date nu pot fi adiacente.
3. Un unghi drept conține două unghiuri drepte. Și din moment ce cel complet are două desfășurate, înseamnă că vor fi 4 linii drepte.
4. Dacă numim unghiurile dorite a și b, atunci fie x coeficientul de proporționalitate pentru ele, ceea ce înseamnă că a=x și, în consecință, b=4x. Unghiul de rotire în grade este de 180˚. Și în funcție de proprietățile sale că măsura gradului unui unghi este întotdeauna egală cu suma gradelor unghiurilor în care este împărțit de orice rază arbitrară care trece între laturile sale, putem concluziona că x + 4x = 180˚ , ceea ce înseamnă 5x = 180˚ . De aici găsim: x = a = 36˚ și b = 4x = 144˚. Răspuns: 36˚ și 144˚.

Dacă ați reușit să răspundeți la toate aceste întrebări fără solicitări și fără să aruncați o privire la răspunsuri, atunci sunteți gata să treceți la următoarea lecție de geometrie.

Să începem prin a defini ce este un unghi. În primul rând, este În al doilea rând, este format din două raze, care se numesc laturile unghiului. În al treilea rând, acestea din urmă ies dintr-un punct, care se numește vârful unghiului. Pe baza acestor caracteristici, putem crea o definiție: un unghi este o figură geometrică care constă din două raze (laturi) care ies dintr-un punct (vârf).

Ele sunt clasificate după valoarea gradului, după locație unul față de celălalt și relativ la cerc. Să începem cu tipurile de unghiuri în funcție de mărimea lor.

Există mai multe varietăți ale acestora. Să aruncăm o privire mai atentă la fiecare tip.

Există doar patru tipuri principale de unghiuri - drepte, obtuze, acute și drepte.

Drept

Arata cam asa:

Gradul său este întotdeauna de 90 o, cu alte cuvinte, un unghi drept este un unghi de 90 de grade. Numai patrulatere precum pătratul și dreptunghiul le au.

Bont

Arata cam asa:

Măsura gradului este întotdeauna mai mare de 90 o, dar mai mică de 180 o. Poate fi găsit în patrulatere, cum ar fi un romb, un paralelogram arbitrar și în poligoane.

Picant

Arata cam asa:

Gradul de măsurare a unui unghi ascuțit este întotdeauna mai mic de 90°. Se găsește în toate patrulaterele cu excepția pătratului și a oricărui paralelogram.

Extins

Unghiul desfășurat arată astfel:

Nu apare în poligoane, dar nu este mai puțin important decât toate celelalte. Un unghi drept este o figură geometrică a cărei grad este întotdeauna 180º. Puteți construi pe el desenând una sau mai multe raze din partea de sus în orice direcție.

Există câteva alte tipuri minore de unghiuri. Nu se studiază în școli, dar este necesar să se cunoască măcar despre existența lor. Există doar cinci tipuri secundare de unghiuri:

1. Zero

Arata cam asa:

Numele unghiului în sine indică deja dimensiunea acestuia. Zona sa internă este de 0°, iar părțile laterale se află una peste alta, așa cum se arată în figură.

2. Oblic

Un unghi oblic poate fi un unghi drept, un unghi obtuz, un unghi ascuțit sau un unghi drept. Condiția sa principală este ca să nu fie egal cu 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Convex

Unghiurile convexe sunt zero, drepte, obtuze, ascuțite și drepte. După cum ați înțeles deja, gradul de măsură a unui unghi convex este de la 0° la 180°.

4. Neconvex

Unghiurile cu măsuri de grade de la 181° la 359° inclusiv sunt neconvexe.

5. Plin

Un unghi complet este de 360 ​​de grade.

Acestea sunt toate tipurile de unghiuri în funcție de mărimea lor. Acum să ne uităm la tipurile lor în funcție de locația lor pe plan unul față de celălalt.

1. Suplimentar

Acestea sunt două unghiuri ascuțite care formează o linie dreaptă, adică suma lor este de 90 o.

2. Adiacent

Unghiurile adiacente se formează dacă o rază trece prin unghiul desfășurat, sau mai degrabă prin vârful său, în orice direcție. Suma lor este de 180 o.

3. Verticală

Unghiurile verticale se formează atunci când două drepte se intersectează. Măsurile gradului lor sunt egale.

Acum să trecem la tipurile de unghiuri situate în raport cu cerc. Sunt doar două dintre ele: centrală și inscripționată.

1. Centrală

Un unghi central este un unghi cu vârful său în centrul cercului. Măsura gradului său este egală cu măsura gradului arcului mai mic subîntins de laturi.

2. Înscris

Un unghi înscris este un unghi al cărui vârf se află pe un cerc și ale cărui laturi îl intersectează. Gradul său este egal cu jumătate din arcul pe care se sprijină.

Asta e pentru unghiuri. Acum știți că pe lângă cele mai cunoscute - acute, obtuze, drepte și desfășurate - există multe alte tipuri de ele în geometrie.

Un unghi este o figură geometrică care constă din două raze diferite care emană dintr-un punct. În acest caz, aceste raze se numesc laturile unghiului. Punctul care este începutul razelor se numește vârful unghiului. În imagine puteți vedea unghiul cu vârful în punct DESPRE, și părțile kȘi m.

Pe laturile unghiului sunt marcate punctele A și C. Acest unghi poate fi desemnat ca unghi AOC. În mijloc trebuie să fie numele punctului în care se află vârful unghiului. Există și alte denumiri, unghiul O sau unghiul km. În geometrie, în locul cuvântului unghi, este adesea scris un simbol special.

Unghi dezvoltat și neextins

Dacă ambele laturi ale unui unghi se află pe aceeași linie dreaptă, atunci se numește un astfel de unghi extins unghi. Adică, o parte a unghiului este o continuare a celeilalte părți a unghiului. Figura de mai jos arată unghiul extins O.

Trebuie remarcat faptul că orice unghi împarte planul în două părți. Dacă unghiul nu este desfășurat, atunci una dintre părți se numește regiunea internă a unghiului, iar cealaltă se numește regiunea externă a acestui unghi. Figura de mai jos arată un unghi nedezvoltat și marchează regiunile exterioare și interioare ale acestui unghi.

În cazul unui unghi dezvoltat, oricare dintre cele două părți în care împarte planul poate fi considerată regiunea exterioară a unghiului. Putem vorbi despre poziția unui punct față de un unghi. Un punct poate fi situat în afara colțului (în regiunea exterioară), poate fi situat pe una dintre laturile sale sau poate fi situat în interiorul colțului (în regiunea interioară).

În figura de mai jos, punctul A se află în afara unghiului O, punctul B se află pe o parte a unghiului și punctul C se află în interiorul unghiului.

Măsurarea unghiurilor

Pentru măsurarea unghiurilor există un dispozitiv numit raportor. Unitatea de unghi este grad. Trebuie remarcat faptul că fiecare unghi are o anumită măsură de grad, care este mai mare decât zero.

În funcție de măsura gradului, unghiurile sunt împărțite în mai multe grupuri.