Introducere. Matematica, devenită cu mult timp în urmă limba științei și tehnologiei, pătrunde acum din ce în ce mai mult în viața de zi cu zi și în limbajul cotidian și este introdusă din ce în ce mai mult în zone tradiționale îndepărtate de aceasta. După cum a remarcat figurativ marele Galileo Galilei (1564 - 1642), cartea naturii este scrisă în limbaj matematic, iar literele ei sunt semne matematice și figuri geometrice, fără ele este imposibil să-i înțelegem cuvintele, fără ca ele să rătăcească într-un labirint nesfârșit. este în zadar. Și funcția este mijlocul limbajului matematic care ne permite să descriem procesele de mișcare și schimbări inerente naturii. În timp ce studiam funcția pătratică în clasa a IX-a, am efectuat transformări pe graficul acestei funcții. Ca rezultat al acestor transformări, trasarea graficului a fost ușoară și simplă. Și m-am gândit: „Este posibil să se efectueze transformări similare cu grafice ale altor funcții, de exemplu, o funcție liniară, proporționalitate inversă, funcție de putere?” De aceea, am ales tema lucrării mele „Clasa de funcții elementare și graficele lor”, propunându-mi scopul: să înțeleg și să studiez modalitățile de formare a funcțiilor elementare și de transformare a graficelor acestora.

Din istoria dezvoltării funcției. Pentru prima dată, o funcție a intrat în matematică sub denumirea de „cantitate variabilă” în celebra lucrare a matematicianului și filosofului francez R. Descartes „Geometrie”, iar apariția ei, potrivit lui F. Engels, a servit drept punct de cotitură în matematică. , datorită căruia mișcarea și dialectica au fost incluse în el. Fără variabile, I. Newton nu ar fi capabil să exprime legile dinamicii care descriu procesele de mișcare mecanică a corpurilor - cerești și complet terestre, iar oamenii de știință moderni nu ar fi capabili să calculeze traiectoriile navelor spațiale și să rezolve numărul nesfârșit de problemele tehnice ale epocii noastre.

Din istoria dezvoltării funcției. Odată cu dezvoltarea științei, conceptul de funcție a fost rafinat și generalizat. Acum a devenit atât de general încât coincide cu conceptul de corespondență. Astfel, o funcție în sens general este orice lege (regulă) conform căreia fiecărui obiect dintr-o anumită clasă, domeniul de definire al unei funcții, este asociat cu un obiect dintr-o altă (sau aceeași) clasă, domeniul posibilului. valorile funcției. Dar nu considerăm conceptul de funcție într-un sens atât de general, ci credem că atât variabilele independente, cât și cele dependente sunt mărimi. Astfel, o funcție este o dependență care se conectează cu fiecare valoare a unei mărimi variabile (argument) dintr-o anumită zonă a acesteia, modificarea unei anumite valori a unei alte mărimi (funcție). Dacă argumentul este notat cu x, valoarea funcției cu y și dependența în sine - funcția - prin simbolul f, atunci relația dintre valorile funcției și argument este următoarea: y=f (X).

Metode de specificare a funcțiilor. Există trei moduri principale de exprimare a dependențelor dintre mărimi: tabelar, grafic și analitic („formulă”). Metoda tabulară este importantă deoarece este principala pentru detectarea dependențelor reale și, de asemenea, se poate dovedi a fi singurul mijloc de a le specifica (nu este întotdeauna posibil să alegeți o formulă și uneori nu este nevoie de aceasta). sunt adesea trecute la specificația tabelară atunci când se efectuează calcule practice, cu acestea legate: de exemplu, utilizarea tabelelor de rădăcini pătrate este convenabilă atunci când se efectuează calcule în care sunt implicate astfel de rădăcini. Din punct de vedere matematic, o atribuire tabelară a dependențelor continue este întotdeauna incompletă și oferă doar informații despre valorile funcției în puncte individuale.

Metode de precizare a funcţiilor Metoda grafică de reprezentare a dependenţelor este, de asemenea, unul dintre mijloacele de înregistrare a acestora la studierea fenomenelor reale. Acest lucru vă permite să realizați diverse instrumente de „auto-înregistrare”, cum ar fi un seismograf, electrocardiograf, osciloscop etc., care afișează informații despre modificările cantităților măsurate sub formă de grafice. Dar dacă există un grafic, atunci este definită și funcția corespunzătoare. În astfel de cazuri, vorbim despre specificarea grafică a funcției. Cu toate acestea, metoda grafică de specificare a unei funcții este incomodă pentru calcule; Mai mult, ca și cel tabelar, este aproximativ și incomplet. Atribuirea funcției analitice (formulare) se distinge prin compactitatea sa, este ușor de reținut și conține informații complete despre dependență. Funcția poate fi specificată folosind o formulă, de exemplu: y=2x+5, S=at2/2, S=vt. Aceste formule pot fi derivate folosind raționament geometric sau fizic. Uneori, formulele sunt obținute ca rezultat al procesării unui experiment; astfel de formule sunt numite empirice.

Clasa de funcții elementare Funcțiile elementare includ aproape toate funcțiile găsite într-un manual școlar. În primul rând, există un set destul de reprezentativ de funcții bine cunoscute și bine studiate, care sunt numite funcții elementare de bază. Acestea sunt funcții: y=C, numită constantă, y= xа - funcție de putere (pentru a = 1 se obține funcția y=x, numită identică). Sunt atașate grafice ale acestor funcții. (Anexa 1-7) Având la dispoziție funcțiile elementare de bază, puteți introduce o serie de operații care vă permit să le combinați între ele ca piese pentru a obține modele mai complexe și mai variate. Operații aritmetice valide pe funcții. [+] – adunare, [-] – scădere, [*] – înmulțire, [:] – împărțire. Toate acele funcții care pot fi obținute din elemente de bază folosind operații aritmetice se numesc funcții elementare și constituie clasa funcțiilor elementare.

Formarea unei clase de funcții elementare Având un anumit set de funcții de bază f1, f2,f3,...fk și operații admisibile F1, F2, ... Fs asupra lor (se pot aplica de orice număr), putem obțineți alte funcții, similar cu modul în care din părțile unui designer, folosind anumite reguli pentru conectarea lor, puteți obține diferite modele. Clasa tuturor funcțiilor obținute în acest fel se notează după cum urmează:< f1,f2,...fk; F1,F2,...Fs>. În special, dacă luăm ca de bază toate funcțiile elementare de bază și permitem doar operații aritmetice, obținem o clasă de funcții elementare. Luând ca bază câteva din funcțiile elementare de bază și permițând, poate, doar câteva dintre operațiile indicate, obținem câteva subclase ale clasei de funcții elementare, câteva familii de funcții generate de această bază și aceste operații. Iată câteva exemple de astfel de familii de funcții, unde (a) este înțeleasă ca operația de înmulțire cu orice constantă: - familia puterilor întregi pozitive y=x, unde n € N; - familia de funcţii liniare y= ax + b; - familia de polinoame y= axn +...+an-1x +an, unde n € N.

Construcția graficelor Pentru a construi un grafic al funcției y = 3x2, trebuie să înmulțiți graficul funcției y = x2 cu 3. Ca rezultat, graficul funcției y = x2 se va întinde de 3 ori de-a lungul axei ordonatelor, iar dacă y = 0,3 x2, atunci graficul va fi comprimat la 0, 3 ori de-a lungul axei Oy. (Anexa 8, 9).

Construcția graficelor Graficul funcției y=3(x -4)2 poate fi obținut parcurgând următorii pași: - se adună graficele funcției identice y=x și constanta y=-4, obținem un grafic de funcția y=x-4; - înmulțiți graficele funcțiilor y=x-4 și y=x-4, obținem graficul funcției y= (x -4)2; - înmulțiți y= (x -4)2 cu 3, obținem un grafic al funcției y=3(x -4)2. Sau pur și simplu mutați graficul funcției y=3x2 de-a lungul axei Ox cu 4 segmente de unitate (Anexa 10).

Transformări ale graficului original al funcției y= f(x). Din cele de mai sus, putem trage următoarea concluzie că efectuând diverse acțiuni cu grafice ale funcțiilor elementare, realizăm transformări ale acestor grafice și anume: translație paralelă, simetrie față de dreapta Ox și dreapta Oy.

Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

„Funcții și grafice” Prezentare pentru o lecție GBOU NPO Liceul Profesional Nr. 80 Profesor de matematică Galina Ivanovna Savitskaya

„Funcții și grafice” 1. Ce este o funcție? Definiție 2. Grafice ale funcțiilor elementare 3. Proprietăți ale unei funcții 5. Transformarea grafice ale funcțiilor Exerciții: Precizați proprietățile unei funcții 4. Cum se construiește un grafic folosind proprietățile date ale unei funcții

Să fie mulțimile X și Y. Daca fiecare element x din multimea X, dupa o anumita regula, este asociat cu un singur element y din multimea Y, atunci spunem ca este data functia y = f(x).DEFINITIA LUI X Y Y X 1 y 1 X 2 y 2 X 3 y 3 X 4 y 4 X f (lege)

Se spune că y este o funcție a lui x y=f(x) În acest caz: X = - domeniul de definiție al funcției OOF sau D(y) y - set de valori ale funcției MZF sau E(y) X - variabilă independentă sau argument Y - variabilă sau funcție dependentă

1) Formula x 1 2 3 4 5 y 1 8 15 20 22 Metode de precizare a funcției y = x 2 + 2x – 4 y = 3x f(x) = log 2 (3x+4) f(x) = COS 2x 2) Tabelul

Y= f (x) Y X 0 axa ordonatelor axa absciselor originea coordonatelor Metode de specificare a unei functii 3) Graficul 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -2 -3 1 2 3

Y= f (x) Y X 0 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -2 -3 1 2 3 A(-2;1) B(1;-2) M(x; Y) Graficul funcției Y = f (x) este mulțimea de puncte ale planului de coordonate având coordonatele (x; f (x)) sau (x; Y)

1. Funcția liniară Grafice ale funcțiilor elementare y x Y = x y = 2x y = - x y = k x + în k – pantă 0 y = x k=1 y = 2 x k=2 y = - x k=- 1 y = ½ x k = ½ 1 1 2 -1 y = ½ x

1. Funcția liniară: Grafice ale funcțiilor elementare y x y = k x + în k – pantă 0 y = x +2 y = x -2 1 1 2 -1 y = x-2 y = x+2 y = x - 2

1. Funcția liniară: Grafice ale funcțiilor elementare y x y = k x + în k – pantă 0 y = x y = 2 x = 3 1 1 1 2 -1 -2 3 2 3 y = 2 X = 3

2. Funcția pătratică y=ax 2 + b x + c Grafice ale funcțiilor elementare 0 y x x 0 y 0 parabolă Coordonatele vârfului parabolei: x 0 = - b 2a y 0 = a (x 0) 2 + b x 0 + c dacă a > 0 Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus dacă a 0 a

Funcția cubică: y=ax 3 + b x 2 + cx + d Grafice ale funcțiilor elementare parabolă cubică y x 0 y=x 3 1 1 -1 -1 y=x 3

4. Funcție invers proporțională: Y= Grafice ale funcțiilor elementare hiperbola k x y x 0 1 -1 1 -1 y x 0 1 -1 1 -1 y = 1 x y = - 1 x

5. Funcția modulară: y = | x | Grafice ale funcţiilor elementare y x 0 1 1 -1

PROPRIETĂȚI ALE FUNCȚILOR Y = f (x) Y x 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 1 a 2 a 3 a 4

PROPRIETĂȚI ALE FUNCȚILOR y = f (x) Y x 0 a 1 a 9 1 . Domeniul de definire al unei funcții este mulțimea de valori ale argumentului X pentru care există funcția OOF: X є [ a 1 ; a 9]

PROPRIETĂȚI ALE FUNCȚIILOR Y = f (x) Y x 0 în 1 în 4 2. Setul de valori ale funcției este setul tuturor numerelor pe care le poate lua MZF: y є [ în 4 ; în 1 ]

PROPRIETĂȚILE FUNCȚIILOR Y = f (x) Y x 0 a 2 a 4 a 6 a 8 3. Rădăcinile (sau zerourile) unei funcții sunt acele valori ale lui x la care funcția este egală cu zero (y = 0 ) f (x) = 0 la X = a 2; a 4; a 6; un 8

PROPRIETĂȚI ALE FUNCȚILOR y = f (x) Y x 0 a 1 a 2 a 4 a 6 a 8 a 9 4 . Zonele cu semn constant ale unei funcții sunt acele valori ale lui x pentru care funcția este mai mare sau mai mică decât zero (adică y > 0 sau y 0 pentru X є (a 1 ; a 2); (a 4 ; a 6) ; (a 8 ; a 9)

PROPRIETĂȚI ALE FUNCȚILOR y= f (x) Y x 0 a 2 a 4 a 6 a 8 4. Zonele cu semn constant ale unei funcții sunt acele valori ale lui x la care funcția este mai mare sau mai mică decât zero (adică y > 0 sau y

PROPRIETĂȚI ALE FUNCȚILOR y= f (x) Y x 0 a 3 a 5 a 7 a 9 5. Monotonitatea unei funcții este zonele funcției crescătoare și descrescătoare Funcția crește pe măsură ce X є [ a 3 ; a 5 ] ; [a 7; a 9 ] a 1 Funcţia scade pe măsură ce X є [ a 1 ; a 3 ] ; [a 5; a 7 ]

PROPRIETĂȚI ALE FUNCȚILOR y = f (x) Y x 0 a 3 a 5 a 7 în 2 în 3 în 4 Extreme ale funcției F max (x) F min (x) F min (x) F max (x) = in 2 în punctul extremum x = a 5 F min (x) = în 3 în punctul extremum x = a 3 F min (x) = în 4 în punctul extremum x = a 7

PROPRIETĂȚI ALE FUNCȚILOR y = f (x) y x 0 a 7 a 9 în 1 în 4 7. Cele mai mari și mai mici valori ale unei funcții (acestea sunt cele mai înalte și cele mai mici puncte de pe graficul funcției) cea mai mare valoare F (x ) = în 1 în punctul x = a 9 cea mai mică valoare F (x) = b 4 în punctul x = a 7

y x F(x) = x 2 y x F(x) = cos x x 0 0 X -X PROPRIETĂȚI ALE FUNCȚIILOR Funcții pare și impare O funcție este numită chiar dacă pentru orice X din domeniul său de definiție se aplică regula f(x) = f este satisfăcut (- x) Graficul unei funcții pare este simetric față de axa Y f(x) X -X f(x)

PROPRIETĂȚI ALE FUNCȚILOR Funcții pare și impare O funcție se numește impară dacă pentru orice X din domeniul său de definiție este îndeplinită regula f(x) = - f(x).Graficul unei funcții impare este simetric față de originea y x 0 y=x 3 x f(x) - f(x) - x y x 0 y = 1 x 1 -1 1 -1

2 2 4 6 8 10 x -2 -4 -6 -8 -10 0 4 6 y -2 -4 y= f (x) T = 4 Periodicitatea funcțiilor Dacă se repetă modelul graficului unei funcții, atunci o astfel de funcție se numește periodică, iar segmentul de lungime de-a lungul axei X se numește perioada funcției (T) O funcție periodică respectă regula f(x) = f(x+T) PROPRIETĂȚI ALE FUNCȚILOR

2 2 4 6 x -2 -4 -6 0 4 6 y -2 -4 -6 y= f (x) Т = 6 PROPRIETĂȚILE FUNCȚIILOR Funcția y=f(x) este periodică cu perioada Т = 6

1 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 0 2 3 4 y -1 -2 -3 -4 Indicați proprietățile funcției 1) OOF 2) MZF 3) Zerurile funcției 4) Funcția pozitivă Funcția negativă 5 ) Funcția crește Funcția scade 6) Extrema funcției F max (x) F min (x) 7) Cea mai mare valoare a funcției Cea mai mică valoare a funcției y = f (x)

1 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 0 2 3 4 y -1 -2 -3 -4 Indicați proprietățile funcției y = f (x)

2 2 4 6 8 10 x -2 -4 -6 -8 -10 0 4 6 8 y -2 -4 -6 -8 Indicați proprietățile funcției y = f (x)

2 2 x -2 0 y -2 Indicați proprietățile funcției y = f (x)

3 3 x -1 0 y -1 -4 -5 Construiți un grafic al funcției Având în vedere: a) Domeniul de definiție este intervalul [-4;3] b) Valorile funcției alcătuiesc intervalul [ - 5;3] c) Funcția scade pe intervalele [ -4; 1 ] şi [ 2 ;3] creşte pe intervalul [- 1 ; 2 ] d) Zerurile funcției: -2 și 2

TRANSFORMAREA GRAFURILOR DE FUNCȚII Cunoscând graficul unei funcții elementare, de exemplu f(x) = x 2, puteți construi un grafic al unei funcții „complexe”, de exemplu f(x) = 3(x +2) 2 - 16 folosind regulile de transformare a graficului

Reguli pentru conversia graficelor Regula 1: Deplasarea de-a lungul axei X Dacă adăugați sau scădeți un număr la argumentul X, graficul se va deplasa la stânga sau la dreapta de-a lungul axei X f(x) f(x ± a) converti la 0 y x 0 y x 4 -4 F (x) = x 2 F(x) = (x+4) 2 F(x) = (x-4) 2

Dacă adăugați sau scădeți un număr la funcția Y, graficul se va deplasa în sus sau în jos de-a lungul axei Y f(x) f(x) = X ± a converti la Reguli pentru conversia graficelor 2 regula: deplasarea de-a lungul axei Y y x 4 - 4 0 y x F(x) = x 2 F(x) = x 2 + 4 F(x) = x 2 - 4

Dacă argumentul X este înmulțit sau împărțit cu numărul K, atunci graficul va fi comprimat sau întins de K ori de-a lungul axei X f(x) f(k · x) convertit în Reguli pentru conversia graficelor 3 regula: compresie (întindere) a graficului de-a lungul axei X y x F (x) = sin x F(x) = sin 2x

Dacă adăugați sau scădeți un număr la funcția Y, graficul se va deplasa în sus sau în jos de-a lungul axei Y f(x) f(x) ± a converti în y x F(x) = sin x F(x) = sin x 2 Reguli pentru convertirea graficelor Regula 3: C comprimarea (întinderea) graficului de-a lungul axei X

Dacă funcția este înmulțită sau împărțită cu numărul K, atunci graficul va fi întins sau comprimat de K ori de-a lungul axei Y f(x) k · f(x) convertit în Reguli pentru conversia graficelor A patra regulă: compresia (întinderea) a graficul de-a lungul axei Y y x F( x) = cos x F(x) = cos x 1 2

Dacă funcția este înmulțită sau împărțită cu numărul K, atunci graficul va fi întins sau comprimat de K ori de-a lungul axei Y f(x) k · f(x) convertit în Reguli pentru conversia graficelor A patra regulă: compresia (întinderea) a graficul de-a lungul axei Y y x F( x) = cos x F(x) = 2cos x

Dacă schimbați semnul cu cel opus înainte de funcție, atunci graficul va fi răsturnat simetric față de axa X f(x) - f(x) convertit în Reguli pentru conversia graficelor 5 regula: răsturnarea graficului în raport cu X axa y x F(x) = x 2 F(x) = - x 2

Prezentarea „Funcțiile de putere, proprietățile și graficele lor” este un ajutor vizual pentru desfășurarea unei lecții școlare pe această temă. După ce au studiat caracteristicile și proprietățile unei puteri cu un exponent rațional, este posibil să se facă o analiză completă a proprietăților unei funcții de putere și a comportamentului acesteia pe planul de coordonate. În cadrul acestei prezentări se ia în considerare conceptul de funcție de putere, diferitele sale tipuri, comportamentul graficului pe planul de coordonate al unei funcții cu exponent negativ, pozitiv, par, impar, se face o analiză a proprietăților graficului. , și sunt descrise exemple de rezolvare a problemelor folosind materialul teoretic studiat.

Folosind această prezentare, profesorul are posibilitatea de a crește eficiența lecției. Slide-ul arată clar construcția graficului; cu ajutorul evidențierii culorilor și al animației, caracteristicile comportamentului funcției sunt evidențiate, formând o înțelegere profundă a materialului. O prezentare luminoasă, clară și consistentă a materialului asigură o mai bună memorare a acestuia.

Demonstrația începe cu proprietatea unui grad cu exponent rațional, învățată în lecțiile anterioare. Se observă că se transformă în rădăcina a p/q = q √a p pentru a nenegativ și inegal cu unul q. Se reamintește cum se face acest lucru folosind exemplul 1.3 3/7 = 7 √1.3 3 . Următoarea este o definiție a funcției de putere y=x k, în care k este un exponent fracțional rațional. Definiția este în cutie pentru memorare.

Slide 3 demonstrează comportamentul funcției y=x 1 pe planul de coordonate. Aceasta este o funcție a formei y=x, iar graficul este o linie dreaptă care trece prin originea coordonatelor și este situată în primul și al treilea sferturi ale sistemului de coordonate. Figura prezintă o imagine a graficului funcției, evidențiată cu roșu.

În continuare, luăm în considerare gradul funcției 2-putere. Slide 4 prezintă o imagine a graficului funcției y=x 2 . Elevii sunt deja familiarizați cu această funcție și cu graficul ei - o parabolă. Slide 5 se uită la o parabolă cubică - un grafic al funcției y=x 3 . De asemenea, comportamentul său a fost deja studiat, astfel încât elevii să își poată aminti proprietățile graficului. Se are în vedere și graficul funcției y=x 6. De asemenea, reprezintă o parabolă - imaginea acesteia este atașată la descrierea funcției. Slide 7 prezintă un grafic al funcției y=x 7 . Aceasta este, de asemenea, o parabolă cubică.

Apoi sunt descrise proprietățile funcțiilor cu exponenți negativi. Slide 8 descrie tipul funcției de putere cu un exponent întreg negativ y=x -n =1/x n. Un exemplu de grafic al unei astfel de funcții este graficul y=1/x 2. Are o discontinuitate în punctul x=0, este format din două părți situate în primul și al doilea sferturi ale sistemului de coordonate, fiecare dintre ele, tinde spre infinit, este presată pe axa absciselor. Se observă că acest comportament al funcției este tipic pentru n.

Pe diapozitivul 10, este construit un grafic al funcției y = 1/x 3, din care părți se află în primul și al treilea trimestru. Graficul se rupe și în punctul x=0 și are asimptote y=0 și x=0. Se observă că acest comportament al graficului este tipic pentru o funcție în care gradul este un număr impar.

Slide 11 descrie comportamentul graficului funcției y=x0. Aceasta este linia dreaptă y=1. Este demonstrată și pe un plan de coordonate dreptunghiular.

În continuare, diferența dintre locația ramurilor funcției y=x n este analizată cu exponent crescător n. Pentru demonstrarea vizuală, dependențele funcționale sunt marcate în aceeași culoare ca și graficele. Ca rezultat, este clar că, odată cu creșterea indicelui funcției, ramura graficului este apăsată mai aproape de axa ordonatelor, iar graficul devine mai abrupt. În acest caz, graficul funcției y=x 2.3 ocupă o poziție de mijloc între y=x 2 și y=x 3.

Pe diapozitivul 13, comportamentul considerat al funcției de putere este generalizat într-un model. Se observă că la 0<х<1 при увеличении показателя степени, уменьшается значение выражения х 5 < х 4 < х 3 , следовательно и √х 5 < √х 4 < √х 3 . Для х, большего 1, верно обратное утверждение - при увеличении показателя степени значение степенной функции увеличивается, то есть х 5 >x 4 > x 3, prin urmare, √x 5 > √x 4 > √x 3.

Ceea ce urmează este o analiză detaliată a comportamentului pe planul de coordonate al funcției de putere y=x k, în care exponentul este fracția improprie m/n, unde m>n. În figură, descrierea acestei funcții este însoțită de un grafic construit în primul trimestru al sistemului de coordonate, care reprezintă o ramură a parabolei y=x 7/2. Proprietățile funcției pentru m/n>1 sunt descrise în diapozitivul 15 folosind exemplul graficului y=x 7/2. Se observă că are un domeniu de definiție – rază. 6. Funcția crește de la 0 la + ca x)