Множество иррациональных. Иррациональные числа, определение, примеры. Числа, не являются иррациональными
С отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .
Иррациональными являются:
Примеры доказательства иррациональности
Корень из 2
Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде несократимой дроби , где и - целые числа . Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
.Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и . Пускай , где целое. Тогда
Следовательно, чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и - иррациональное число.
Двоичный логарифм числа 3
Допустим противное: рационален , то есть представляется в виде дроби , где и - целые числа . Поскольку , и могут быть выбраны положительными. Тогда
Но чётно, а нечётно. Получаем противоречие.
e
История
Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. - ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены.
Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу , который нашёл это доказательство, изучая длины сторон пентаграммы. Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок. Однако Гиппас обосновал, что не существует единой единицы длины, поскольку предположение о её существовании приводит к противоречию. Он показал, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника содержит целое число единичных отрезков, то это число должно быть одновременно и четным, и нечетным. Доказательство выглядело следующим образом:
- Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a :b , где a и b выбраны наименьшими из возможных.
- По теореме Пифагора: a ² = 2b ².
- Так как a ² четное, a должно быть четным (так как квадрат нечетного числа был бы нечетным).
- Поскольку a :b несократима, b обязано быть нечетным.
- Так как a четное, обозначим a = 2y .
- Тогда a ² = 4y ² = 2b ².
- b ² = 2y ², следовательно b ² четное, тогда и b четно.
- Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.
Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.
См. также
Примечания
Числовые системы | |
---|---|
Счётные множества |
Натуральные числа () |
Какие числа являются иррациональными? Иррациональное число — это не рациональное вещественное число, т.е. оно не может быть представлено как дробь (как отношение двух целых чисел), где m — целое число, n — натуральное число . Иррациональное число можно представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.
Иррациональное число не может иметь точного значения. Только в формате 3,333333…. Например , квадратный корень из двух - является числом иррациональным.
Какое число иррациональное? Иррациональным числом (в отличии от рациональных) называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.
Множество иррациональных чисел зачастую обозначают заглавной латинской буквой в полужирном начертании без заливки. Т.о.:
Т.е. множество иррациональных чисел это разность множеств вещественных и рациональных чисел.
Свойства иррациональных чисел.
- Сумма 2-х неотрицательных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
- Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, в нижнем классе у которых нет самого большого числа, а в верхнем нет меньшего.
- Всякое вещественное трансцендентное число - это иррациональное число.
- Все иррациональные числа являются или алгебраическими, или трансцендентными.
- Множество иррациональных чисел везде плотно на числовой прямой: меж каждой парой чисел есть иррациональное число.
- Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.
- Множество иррациональных чисел бесконечно, является множеством 2-й категории.
- Результатом каждой арифметической операции с рациональными числами (кроме, деления на 0) является рациональные числа. Результатом арифметических операций над иррациональными числами может стать как рациональное, так и иррациональное число.
- Сумма рационального и иррационального чисел всегда будет иррациональным числом.
- Сумма иррациональных чисел может быть рациональным числом. Например, пусть x иррациональное, тогда y=x*(-1) тоже иррациональное; x+y=0, а число 0 рациональное (если, например, сложить корень любой степени из 7 и минус корень такой же степени из семи, то получим рациональное число 0).
Иррациональные числа, примеры.
γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ
А свои корни они извлекли из латинского слова «ratio», что означает «разум». Исходя из дословного перевода:
- Рациональное число — это «разумное число».
- Иррациональное число, соответственно, «неразумное число».
Общее понятие рационального числа
Рациональным числом считается то число, которое можно записать в виде:
- Обыкновенной положительной дроби.
- Отрицательной обыкновенной дроби.
- В виде числа нуль (0).
Иными словами, к рациональному число подойдет следующие определения:
- Любое натуральное число является по своей сути рациональным, так как любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби.
- Любое целое число, включительно число нуль, так как любое целое число можно записать как ввиде положительной обыкновенной дроби, в виде отрицательной обыкновенной дроби, так и ввиде числа нуль.
- Любая обыкновенная дробь, и здесь не имеет значение положительная она или отрицательная, тоже напрямую подходит к определению рационального числа.
- Так же в определение можно отнести и смешанное число, конечную десятичную дробь либо бесконечную периодическую дробь.
Примеры рационального числа
Рассмотрим примеры рациональных чисел:
- Натуральные числа — «4», «202», «200».
- Целые числа — «-36», «0», «42».
- Обыкновенные дроби.
Из вышеперечисленных примеров совершенно очевидно, что рациональные числа могут быть как положительными так и отрицательными . Естественно, число 0 (нуль), которое тоже в свою очередь является рациональным числом, в тоже время не относится к категории положительного или отрицательного числа.
Отсюда, хотелось бы напомнить общеобразовательную программу с помощью следующего определения: «Рациональными числами» — называются те числа, которые можно записать в виде дроби х/у, где х (числитель) — целое число, а у (знаменатель) — натуральное число.
Общее понятие и определение иррационального числа
Помимо «рациональных чисел» нам известны и так называемые «иррациональные числа». Вкратце попробуем дать определение данным числам.
Еще древние математики, желая вычислить диагональ квадрата по его сторонам, узнали о существовании иррационального числа.
Исходя из определения о рациональных числах, можно выстроить логическую цепь и дать определение иррациональному числу.
Итак, по сути, те действительные числа, которые не являются рациональными, элементарно и есть иррациональными числами.
Десятичные дроби же, выражающие иррациональные числа, не периодичны и бесконечны.
Примеры иррационального числа
Рассмотрим для наглядности небольшой пример иррационально числа. Как мы уже поняли, бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными, к примеру:
- Число «-5,020020002… (прекрасно видно, что двойки разделены последовательностью из одного, двух, трех и т.д. нулей)
- Число «7,040044000444… (здесь ясно, что число четверок и количество нулей каждый раз цепочкой увеличивается на единицу).
- Всем известное число Пи (3,1415…). Да, да — оно тоже является иррациональным.
Вообще все действительные числа являются как рациональными так и иррациональными. Говоря простыми словами, иррациональное число нельзя представить ввиде обыкновенной дроби х/у.
Общее заключение и краткое сравнение между числами
Мы рассмотрели каждое число по отдельности, осталось отличие между рациональным числом и иррациональным:
- Иррациональное число встречается при извлечении квадратного корня, при делении окружности на диаметр и т.д.
- Рациональное число представляет обыкновенную дробь.
Заключим нашу статью несколькими определениями:
- Арифметическая операция, произведенная над рациональным числом, кроме деления на 0 (нуль), в конечном результате приведет тоже к рациональному числу.
- Конечный результат же, при совершении арифметической операции над иррациональным числом, может привести как к рациональному так и к иррациональному значению.
- Если же в арифметической операции принимают участие и те и другие числа (кроме деления или умножения на нуль), то результат нам выдаст иррациональное число.
Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби. Множество иррациональных чисел обозначают $I$ и оно равно: $I=R / Q$ .
Например . Иррациональными числами являются:
Операции над иррациональными числами
На множестве иррациональных чисел можно ввести четыре основные арифметические операции: сложение , вычитание , умножение и деление ; но ни для одной из перечисленных операций множество иррациональных чисел не обладает свойством замкнутости. Например, сумма двух иррациональных чисел может быть числом рациональным.
Например . Найдем сумму двух иррациональных чисел $0,1010010001 \ldots$ и $0,0101101110 \ldots$ . Первое из этих чисел образовано последовательностью единиц, разделенных соответственно одним нулем, двумя нулями, тремя нулями и т.д., второе - последовательностью нулей, между которыми поставлены одна единица, две единицы, три единицы и т.д.:
$$0,1010010001 \ldots+0,0101101110 \ldots=0,111111=0,(1)=\frac{1}{9}$$
Таким образом, сумма двух заданных иррациональных чисел есть число $\frac{1}{9}$ , которое является рациональным.
Пример
Задание. Доказать, что число $\sqrt{3}$ является иррациональным.
Доказательство. Будем использовать метод доказательства от противного. Предположим, что $\sqrt{3}$ число рациональное, то есть может быть представлено в виде дроби $\sqrt{3}=\frac{m}{n}$ , где $m$ и $n$ - взаимно простые натуральные числа.
Возведем обе части равенства в квадрат, получим
$$3=\frac{m^{2}}{n^{2}} \Leftrightarrow 3 \cdot n^{2}=m^{2}$$
Число 3$\cdot n^{2}$ делится на 3. Поэтому $m^{2}$ и, следовательно, $m$ делится на 3. Полагая $m=3 \cdot k$, равенство $3 \cdot n^{2}=m^{2}$ можно записать в виде
$$3 \cdot n^{2}=(3 \cdot k)^{2} \Leftrightarrow 3 \cdot n^{2}=9 \cdot k^{2} \Leftrightarrow n^{2}=3 \cdot k^{2}$$
Из последнего равенства следует, что $n^{2}$ и $n$ делятся на 3, следовательно, дробь $\frac{m}{n}$ можно сократить на 3. Но по предположению дробь $\frac{m}{n}$ несократима. Полученное противоречие и доказывает, что число $\sqrt{3}$ непредставимо в виде дроби $\frac{m}{n}$ и, следовательно, иррационально.
Что и требовалось доказать.
И π
Таким образом, множество иррациональных чисел есть разность I = R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} } множеств вещественных и рациональных чисел.
О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков , несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} .
Свойства
- Сумма двух положительных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
- Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения во множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
- Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя различными числами имеется иррациональное число.
- Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел. [ ]
Алгебраические и трансцендентные числа
Каждое иррациональное число является либо алгебраическим , либо трансцендентным . Множество алгебраических чисел является счётным множеством . Так как множество вещественных чисел несчётно, то множество иррациональных чисел несчётно.
Множество иррациональных чисел является множеством второй категории .
Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}} .История
Античность
Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (приблизительно 750-690 года до нашей эры) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены [ ] .
Первое доказательство существования иррациональных чисел, а точнее существование несоизмеримых отрезков, обычно приписывается пифагорейцу Гиппасу из Метапонта (приблизительно 470 год до нашей эры). Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок [ ] .
Нет точных данных о том, иррациональность какого числа было доказано Гиппасом. Согласно легенде он нашёл его, изучая длины сторон пентаграммы. Поэтому разумно предположить, что это было золотое сечение так как это и есть отношение диагонали к стороне в правильном пятиугольнике.
Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.
Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. - 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени - сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5. Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.
Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. Десятая книга «Начал » Евклида посвящена классификации иррациональных величин.
Средние века
Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.
Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например:
В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни - иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин:
Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. - ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях - в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н. э. - 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:
Пусть единична величина содержится в данной величине один или несколько раз, тогда эта [данная] величина соответствует целому числу… Каждая величина, которая составляет половину, или треть, или четверть единичной величины, или, сравненная с единичной величиной составляет три пятых от неё, это рациональная величина. И в целом, всякая величина, которая относится к единичной как одно число к другому, является рациональной. Если же величина не может быть представлена как несколько или часть (l/n), или несколько частей (m/n) единичной длины, она иррациональная, то есть невыразимая иначе как с помощью корней. |
Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV-XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к π, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге «Йуктибхаза». (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 были опубликованы работы
Цепные дроби , тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века - в работах Лагранжа . Дирихле также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей. В 1761 году Ламберт с помощю цепных дробей показал, что π {\displaystyle \pi } не является рациональным числом, а также что e x {\displaystyle e^{x}} и tg x {\displaystyle \operatorname {tg} x} иррациональны при любом ненулевом рациональном x {\displaystyle x} . Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения функции Бесселя - Клиффорда, показал, что π 2 {\displaystyle \pi ^{2}} иррационально, откуда иррациональность π {\displaystyle \pi } следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное).
Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем в 1844-1851 годах. Позже Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно много трансцендентных чисел. Шарль Эрмит доказал в 1873 году, что e трансцендентно, а Фердинанд Линдеман в 1882 году, основываясь на этом результате, показал трансцендентность π {\displaystyle \pi } Литература