Решение систем линейных алгебраических уравненийявляется одной из основных задач линейной алгебры. Эта задача имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем, кроме того является вспомогательной при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований.

Системой линейных алгебраических уравнений называют систему уравнений вида: (1)

где – неизвестные; – свободные члены.

Решением системы уравнений (1) называют всякую совокупность чисел которая будучи поставлена в систему (1) на место неизвестных обращает все уравнения системы в верные числовые равенства.

Систему уравнений называют совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если не имеет решений.

Совместную систему уравнений называют определенной , если она имеет одно единственное решение, и неопределенной , если она имеет, по крайней мере, два различных решения.

Две системы уравнений называют равносильными или эквивалентными , если они имеют одно и то же множество решений.

Систему (1) называют однородной , если свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда является совместной - она имеет решение (возможно, не единственное).

Если в системе (1) , то имеем систему n линейных уравнений с n неизвестными: где – неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены.

Линейная система может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Если то система имеет единственное решение;

если то система не имеет решений;

если то система имеет бесконечное множество решений.

Пример. Система имеет единственное решение пару чисел

Система имеет бесконечное множество решений. Например, решениями данной системы являются пары чисел и т.д.

Система не имеет решений, так как разность двух чисел не может принимать двух различных значений.

Определение. Определителем второго порядка называют выражение вида:

Обозначают определитель символом D.

Числа а 11, …, а 22 называют элементами определителя.

Диагональ, образованную элементами а 11 ; а 22 называют главной, диагональ, образованную элементами а 12 ; а 21 − побочной.

Таким образом, определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Заметим, что в ответе получается число.

Пример. Вычислим определители:

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: где х 1, х 2 – неизвестные; а 11 , …, а 22 – коэффициенты при неизвестных, b 1 , b 2 – свободные члены.

Если система двух уравнений с двумя неизвестными имеет единственное решение, то его можно найти с помощью определителей второго порядка.

Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называют определителем системы: D= .

В столбцах определителя D стоят коэффициенты соответственно при х 1 и при , х 2 . Введем два дополнительных определителя, которые получаются из определителя системы заменой одного из столбцов столбцом свободных членов: D 1 = D 2 = .

Теорема 14 (Крамера, для случая n=2). Если определитель D системы отличен от нуля (D¹0), то система имеет единственное решение, которое находят по формулам:

Данные формулы называют формулами Крамера.

Пример. Решим систему по правилу Крамера:

Решение. Найдем числа

Ответ.

Определение. Определителем третьего порядка называют выражение вида:

Элементы а 11; а 22 ; а 33 – образуют главную диагональ.

Числа а 13; а 22 ; а 31 – образуют побочную диагональ.

В запись с плюсом входят: произведение элементов на главной диагонали, остальные два слагаемых являются произведением элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали. Слагаемые с минусом образуют по той же схеме относительно побочной диагонали.

Пример. Вычислим определители:

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: где – неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены.

В случае единственного решения систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными можно решить с помощью определителей 3-го порядка.

Определитель системы D имеет вид:

Введем три дополнительных определителя:

Теорема 15 (Крамера, для случая n=3). Если определитель D системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находят по формулам Крамера:

Пример. Решим систему по правилу Крамера.

Решение. Найдем числа

Воспользуемся формулами Крамера и найдем решение исходной системы:

Ответ.

Заметим, что теорема Крамера применима, когда число уравнений равно числу неизвестных и когда определитель системы D отличен от нуля.

Если определитель системы равен нулю, то в этом случае система может либо не иметь решений, либо иметь бесчисленное множество решений. Эти случаи исследуются особо.

Отметим только один случай. Если определитель системы равен нулю (D=0), а хотя бы один из дополнительных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет, то есть является несовместной.

Теорему Крамера можно обобщать для системы n линейных уравнений с n неизвестными: где – неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены.

Если определитель системы линейных уравнений с неизвестными то единственное решение системы находят по формулам Крамера:

Дополнительный определитель получают из определителя D, если в нем столбец коэффициентов при неизвестном x i заменить столбцом свободных членов.

Заметим, что определители D, D 1 , … , D n имеют порядок n .

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Одним из наиболее распространенных методов решения систем линейных алгебраических уравнений является метод последовательного исключения неизвестных −метод Гаусса . Данный метод представляет собой обобщение метода подстановки и состоит в последовательном исключении неизвестных до тех пор, пока не останется одно уравнение с одним неизвестным.

Метод основан на некоторых преобразованиях системы линейных уравнений, в результате которых получается система, равносильная исходной системе. Алгоритм метода состоит из двух этапов.

Первый этап называют прямым ходом метода Гаусса. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений. Для этого на первом шаге делят первое уравнение системы на ( в противном случае осуществляют перестановку уравнений системы). Обозначают коэффициенты полученного приведенного уравнения, домножают его на коэффициент и вычитают из второго уравнения системы, исключая, тем самым, из второго уравнения (обнуляя коэффициент ).

Аналогично поступают с остальными уравнениями и получают новую систему, во всех уравнениях которой, начиная со второго коэффициенты при , содержатся только нули. Очевидно, что полученная при этом новая система, будет равносильна исходной системе.

Если новые коэффициенты, при , не все равны нулю, можнотаким же образом исключить из третьего и последующих уравнений. Продолжая эту операцию для следующих неизвестных, приводят систему к так называемому треугольному виду:

Здесь символами и обозначены изменившиеся в результате преобразований числовые коэффициенты и свободные члены.

Из последнего уравнения системы единственным образом определяют , а затем последовательной подстановкой – остальные неизвестные.

Замечание. Иногда, в результате преобразований, в каком-либо из уравнений все коэффициенты и правая часть обращаются в ноль, то есть уравнение превращается в тождество 0=0. Исключив такое уравнение из системы, уменьшают число уравнений по сравнению с числом неизвестных. Такая система не может иметь единственного решения.

Если же в процессе применения метода Гаусса какое-нибудь уравнение превратится в равенство вида 0=1 (коэффициенты при неизвестных обратились в 0, а правая часть приняла ненулевое значение), то исходная система не имеет решения, так как подобное равенство является неверным при любых значениях неизвестных.

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

где – неизвестные; – коэффициенты при неизвестных, – свободные члены. , подставляя найденное

Решение. Применив к этой системе метод Гаусса, получим

Откуда Последнее равенство является неверным при любых значениях неизвестных, следовательно, система не имеет решения.

Ответ. Система не имеет решений.

Заметим, что рассмотренный ранее метод Крамера можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений.

Матричная форма

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или, согласно правилу перемножения матриц,

A X = B .

Если к матрице А прибавить столбец свободных членов, то А называется расширенной матрицей.

Методы решения

Прямые (или точные) методы, позволяют найти решение за определенное количество шагов. Итерационные методы, основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений

Прямые методы

• Метод прогонки (для трёхдиагональных матриц)
• Разложение Холецкого или метод квадратных корней (для положительно-определённых симметричных и эрмитовых матриц)

Итерационные методы

Решение системы линейных алгебраических уравнений на VBA

Option Explicit Sub rewenie() Dim i As Integer Dim j As Integer Dim r() As Double Dim p As Double Dim x() As Double Dim k As Integer Dim n As Integer Dim b() As Double Dim file As Integer Dim y() As Double file = FreeFile Open "C:\data.txt" For Input As file Input #file, n ReDim x(0 To n * n - 1 ) As Double ReDim y(0 To n - 1 ) As Double ReDim r(0 To n - 1 ) As Double For i = 0 To n - 1 For j = 0 To n - 1 Input #file, x(i * n + j) Next j Input #file, y(i) Next i Close #file For i = 0 To n - 1 p = x(i * n + i) For j = 1 To n - 1 x(i * n + j) = x(i * n + j) / p Next j y(i) = y(i) / p For j = i + 1 To n - 1 p = x(j * n + i) For k = i To n - 1 x(j * n + k) = x(j * n + k) - x(i * n + k) * p Next k y(j) = y(j) - y(i) * p Next j Next i " Верхнетреугольная матрица For i = n - 1 To 0 Step -1 p = y(i) For j = i + 1 To n - 1 p = p - x(i * n + j) * r(j) Next j r(i) = p / x(i * n + i) Next i " Обратный ход For i = 0 To n - 1 MsgBox r(i) Next i " End Sub

См. также

Ссылки

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "СЛАУ" в других словарях:

СЛАУ - система линейных алгебраических уравнений … Словарь сокращений и аббревиатур

У этого термина существуют и другие значения, см. Слау (значения). Город и унитарная единица Слау англ. Slough Страна … Википедия

- (Slough) город в Великобритании, в составе промышленного пояса, окружающего Большой Лондон, на железной дороге Лондон Бристоль. 101,8 тыс. жителей (1974). Машиностроение, электротехническая, электронная, автомобильная и химическая… … Большая советская энциклопедия

Слау - (Slough)Slough, промышленный и торговый город в графстве Беркшир, юж. Англия, к З. от Лондона; 97400 жителей (1981); легкая промышленность стала развиваться в период между мировыми войнами … Страны мира. Словарь

Слау: Слау (англ. Slough) город в Англии, в графстве Беркшир СЛАУ Система линейных алгебраических уравнений … Википедия

Коммуна Рёслау Röslau Герб … Википедия

Город Бад Фёслау Bad Vöslau Герб … Википедия

Проекционные методы решения СЛАУ класс итерационных методов, в которых решается задача проектирования неизвестного вектора на некоторое пространство оптимально относительно другого некоторого пространства. Содержание 1 Постановка задачи … Википедия

Город Бад Фёслау Bad Vöslau Страна АвстрияАвстрия … Википедия

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений. Содержание 1 Однородные системы 1.1 Пример 2 Неоднородные системы … Википедия

Книги

• Прямые и обратные задачи восстановления изображений, спектроскопии и томографии с MatLab (+CD) , Сизиков Валерий Сергеевич. В книге изложено применение аппарата интегральных уравнений (ИУ), систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и систем линейно-нелинейных уравнений (СЛНУ), а также программных средств…

Пример 1 . Найти общее решение и какое–нибудь частное решение системы

Решение выполняем с помощью калькулятора . Выпишем расширенную и основную матрицы:

Пунктиром отделена основная матрица A. Сверху пишем неизвестные системы, имея в виду возможную перестановку слагаемых в уравнениях системы. Определяя ранг расширенной матрицы, одновременно найдем ранг и основной. В матрице B первый и второй столбцы пропорциональны. Из двух пропорциональных столбцов в базисный минор может попасть только один, поэтому перенесем, например, первый столбец за пунктирную черту с обратным знаком. Для системы это означает перенос членов с x 1 в правую часть уравнений.

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы. Работаем с первой строкой: умножим первую строку матрицы на (-3) и прибавим ко второй и третьей строкам по очереди. Затем первую строку умножим на (-2) и прибавим к четвертой.

Вторая и третья строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например вторую, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию второго уравнения системы, так как оно является следствием третьего.

Теперь работаем со второй строкой: умножим ее на (-1) и прибавим к третьей.

Минор, обведенный пунктиром, имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rangA = rangB = 3 .
Минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x 2 , x 3 , x 4 , значит, неизвестные x 2 , x 3 , x 4 – зависимые, а x 1 , x 5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор (что соответствует пункту 4 приведенного выше алгоритма решения).

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид

Методом исключения неизвестных находим:
x 4 =3-4x 5 , x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x 2 , x 3 , x 4 через свободные x 1 и x 5 , то есть нашли общее решение:

Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Найдем два частных решения:
1) пусть x 1 = x 5 = 0, тогда x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) положим x 1 = 1, x 5 = -1, тогда x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Таким образом, нашли два решения: (0,1,-3,3,0) – одно решение, (1,4,-7,7,-1) – другое решение.

Пример 2 . Исследовать совместность, найти общее и одно частное решение системы

Решение . Переставим первое и второе уравнения, чтобы иметь единицу в первом уравнении и запишем матрицу B.

Получим нули в четвертом столбце, оперируя первой строкой:

Теперь получим нули в третьем столбце с помощью второй строки:

Третья и четвертая строки пропорциональны, поэтому одну из них можно вычеркнуть, не меняя ранга:
Третью строку умножим на (–2) и прибавим к четвертой:

Видим, что ранги основной и расширенной матриц равны 4, причем ранг совпадает с числом неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение:
-x 1 =-3 → x 1 =3; x 2 =3-x 1 → x 2 =0; x 3 =1-2x 1 → x 3 =5.
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

Пример 3 . Исследовать систему на совместность и найти решение, если оно существует.

Решение . Составляем расширенную матрицу системы.

Переставляем первые два уравнения, чтобы в левом верхнем углу была 1:
Умножая первую строку на (-1), складываем ее с третьей:

Умножим вторую строку на (-2) и прибавим к третьей:

Система несовместна, так как в основной матрице получили строку, состоящую из нулей, которая вычеркивается при нахождении ранга, а в расширенной матрице последняя строка останется, то есть r B > r A .

Задание . Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить ее средствами матричного исчисления .
Решение

Пример . Доказать совместимость системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса ; 2) методом Крамера . (ответ ввести в виде: x1,x2,x3)
Решение :doc :doc :xls
Ответ: 2,-1,3.

Пример . Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность. Найти общее решение системы и одно частное решение.
Решение
Ответ: x 3 = - 1 + x 4 + x 5 ; x 2 = 1 - x 4 ; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Задание . Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение. Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную и основную матрицы:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной .
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x 1 ,x 2 ,x 3 , значит, неизвестные x 1 ,x 2 ,x 3 – зависимые (базисные), а x 4 ,x 5 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x 1 ,x 2 ,x 3 через свободные x 4 ,x 5 , то есть нашли общее решение :
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
неопределенной , т.к. имеет более одного решения.

Задание . Решить систему уравнений.
Ответ :x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной

Ещё в школе каждый из нас изучал уравнения и, наверняка, системы уравнений. Но не многие знают, что существует несколько способов их решения. Сегодня мы подробно разберём все методы решения системы линейных алгебраических уравнений, которые состоят более чем из двух равенств.

История

На сегодняшний день известно, что искусство решать уравнения и их системы зародилось ещё в Древнем Вавилоне и Египте. Однако равенства в их привычном для нас виде появились после возникновения знака равенства "=", который был введён в 1556 году английским математиком Рекордом. Кстати, этот знак был выбран не просто так: он означает два параллельных равных отрезка. И правда, лучшего примера равенства не придумать.

Основоположником современных буквенных обозначений неизвестных и знаков степеней является французский математик Однако его обозначения значительно отличались от сегодняшних. Например, квадрат неизвестного числа он обозначал буквой Q (лат."quadratus"), а куб - буквой C (лат. "cubus"). Эти обозначения сейчас кажутся неудобными, но тогда это был наиболее понятный способ записать системы линейных алгебраических уравнений.

Однако недостатком в тогдашних методах решения было то, что математики рассматривали только положительные корни. Возможно, это связано с тем, что отрицательные значения не имели никакого практического применения. Так или иначе, но первыми считать отрицательные корни начали именно итальянские математики Никколо Тарталья, Джероламо Кардано и Рафаэль Бомбелли в 16 веке. А современный вид, основной метод решения (через дискриминант) был создан только в 17 веке благодаря работам Декарта и Ньютона.

В середине 18 века швейцарский математик Габриэль Крамер нашёл новый способ для того, чтобы сделать решение систем линейных уравнений проще. Этот способ был впоследствии назван его именем и по сей день мы пользуемся им. Но о методе Крамера поговорим чуть позднее, а пока обсудим линейные уравнения и методы их решения отдельно от системы.

Линейные уравнения

Линейные уравнения - самые простые равенства с переменной (переменными). Их относят к алгебраическим. записывают в общем виде так: а 1 *x 1 +а 2* x 2 +...а n *x n =b. Представление их в этом виде нам понадобится при составлении систем и матриц далее.

Системы линейных алгебраических уравнений

Определение этого термина такое: это совокупность уравнений, которые имеют общие неизвестные величины и общее решение. Как правило, в школе все решали системы с двумя или даже тремя уравнениями. Но бывают системы с четырьмя и более составляющими. Давайте разберёмся сначала, как следует их записать так, чтобы в дальнейшем было удобно решать. Во-первых, системы линейных алгебраических уравнений будут выглядеть лучше, если все переменные будут записаны как x с соответствующим индексом: 1,2,3 и так далее. Во-вторых, следует привести все уравнения к каноническому виду: а 1 *x 1 +а 2* x 2 +...а n *x n =b.

После всех этих действий мы можем начать рассказывать, как находить решение систем линейных уравнений. Очень сильно для этого нам пригодятся матрицы.

Матрицы

Матрица - это таблица, которая состоит из строк и столбцов, а на их пересечении находятся её элементы. Это могут быть либо конкретные значения, либо переменные. Чаще всего, чтобы обозначить элементы, под ними расставляют нижние индексы (например, а 11 или а 23). Первый индекс означает номер строки, а второй - столбца. Над матрицами, как и над любым другим математическим элементом можно совершать различные операции. Таким образом, можно:

2) Умножать матрицу на какое-либо число или вектор.

3) Транспонировать: превращать строчки матрицы в столбцы, а столбцы - в строчки.

4) Умножать матрицы, если число строк одной их них равно количеству столбцов другой.

Подробнее обсудим все эти приёмы, так как они пригодятся нам в дальнейшем. Вычитание и сложение матриц происходит очень просто. Так как мы берём матрицы одинакового размера, то каждый элемент одной таблицы соотносится с каждым элементом другой. Таким образом складываем (вычитаем) два этих элемента (важно, чтобы они стояли на одинаковых местах в своих матрицах). При умножении матрицы на число или вектор необходимо просто умножить каждый элемент матрицы на это число (или вектор). Транспонирование - очень интересный процесс. Очень интересно иногда видеть его в реальной жизни, например, при смене ориентации планшета или телефона. Значки на рабочем столе представляют собой матрицу, а при перемене положения она транспонируется и становится шире, но уменьшается в высоте.

Разберём ещё такой процесс, как Хоть он нам и не пригодится, но знать его будет всё равно полезно. Умножить две матрицы можно только при условии, что число столбцов одной таблицы равно числу строк другой. Теперь возьмём элементы строчки одной матрицы и элементы соответствующего столбца другой. Перемножим их друг на друга и затем сложим (то есть, например, произведение элементов a 11 и а 12 на b 12 и b 22 будет равно: а 11 *b 12 + а 12 *b 22). Таким образом, получается один элемент таблицы, и аналогичным методом она заполняется далее.

Теперь можем приступить к рассмотрению того, как решается система линейных уравнений.

Метод Гаусса

Этой тему начинают проходить еще в школе. Мы хорошо знаем понятие "система двух линейных уравнений" и умеем их решать. Но что делать, если число уравнений больше двух? В этом нам поможет

Конечно, этим методом удобно пользоваться, если сделать из системы матрицу. Но можно и не преобразовывать её и решать в чистом виде.

Итак, как решается этим методом система линейных уравнений Гаусса? Кстати, хоть этот способ и назван его именем, но открыли его ещё в древности. Гаусс предлагает следующее: проводить операции с уравнениями, чтобы в конце концов привести всю совокупность к ступенчатому виду. То есть, нужно, чтобы сверху вниз (если правильно расставить) от первого уравнения к последнему убывало по одному неизвестному. Иными словами, нужно сделать так, чтобы у нас получилось, скажем, три уравнения: в первом - три неизвестных, во втором - два, в третьем - одно. Тогда из последнего уравнения мы находим первое неизвестное, подставляем его значение во второе или первое уравнение, и далее находим оставшиеся две переменные.

Метод Крамера

Для освоения этого метода жизненно необходимо владеть навыками сложения, вычитания матриц, а также нужно уметь находить определители. Поэтому, если вы плохо всё это делаете или совсем не умеете, придется поучиться и потренироваться.

В чём суть этого метода, и как сделать так, чтобы получилась система линейных уравнений Крамера? Всё очень просто. Мы должны построить матрицу из численных (практически всегда) коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений. Для этого просто берём числа перед неизвестными и расставляем в таблицу в том порядке, как они записаны в системе. Если перед числом стоит знак "-", то записываем отрицательный коэффициент. Итак, мы составили первую матрицу из коэффициентов при неизвестных, не включая числа после знаков равенства (естественно, что уравнение должно быть приведено к каноническому виду, когда справа находится только число, а слева - все неизвестные с коэффициентами). Затем нужно составить ещё несколько матриц - по одной для каждой переменной. Для этого заменяем в первой матрице по очереди каждый столбец с коэффициентами столбцом чисел после знака равенства. Таким образом получаем несколько матриц и далее находим их определители.

После того как мы нашли определители, дело за малым. У нас есть начальная матрица, и есть несколько полученных матриц, которые соответствуют разным переменным. Чтобы получить решения системы, мы делим определитель полученной таблицы на определитель начальной таблицы. Полученное число и есть значение одной из переменных. Аналогично находим все неизвестные.

Другие методы

Существует ещё несколько методов для того, чтобы получить решение систем линейных уравнений. Например, так называемый метод Гаусса-Жордана, который применяется для нахождения решений системы квадратных уравнений и тоже связан с применением матриц. Существует также метод Якоби для решения системы линейных алгебраических уравнений. Он легче всех адаптируется для компьютера и применяется в вычислительной технике.

Сложные случаи

Сложность обычно возникает, если число уравнений меньше числа переменных. Тогда можно наверняка сказать, что, либо система несовместна (то есть не имеет корней), или количество её решений стремится к бесконечности. Если у нас второй случай - то нужно записать общее решение системы линейных уравнений. Оно будет содержать как минимум одну переменную.

Заключение

Вот мы и подошли к концу. Подведём итоги: мы разобрали, что такое система и матрица, научились находить общее решение системы линейных уравнений. Помимо этого рассмотрели другие варианты. Выяснили, как решается система линейных уравнений: метод Гаусса и Поговорили о сложных случаях и других способах нахождения решений.

На самом деле эта тема гораздо более обширна, и если вы хотите лучше в ней разобраться, то советуем почитать больше специализированной литературы.

Система линейных уравнений - это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.

Решение системы уравнений - это последовательность чисел (k 1 , k 2 , ..., k n ), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x 1 , x 2 , ..., x n дает верное числовое равенство.

Соответственно, решить систему уравнений - значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:

1. Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.
2. Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.
3. Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» - надо описать, как устроено это множество.

Переменная x i называется разрешенной, если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной x i должен быть равен нулю.

Если в каждом уравнении выбрать по одной разрешенной переменной, получим набор разрешенных переменных для всей системы уравнений. Сама система, записанная в таком виде, тоже будет называться разрешенной. Вообще говоря, одну и ту же исходную систему можно свести к разным разрешенным, однако сейчас нас это не волнует. Вот примеры разрешенных систем:

Обе системы являются разрешенными относительно переменных x 1 , x 3 и x 4 . Впрочем, с тем же успехом можно утверждать, что вторая система - разрешенная относительно x 1 , x 3 и x 5 . Достаточно переписать самое последнее уравнение в виде x 5 = x 4 .

Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть всего у нас k переменных, из которых r являются разрешенными. Тогда возможны два случая:

1. Число разрешенных переменных r равно общему числу переменных k : r = k . Получаем систему из k уравнений, в которых r = k разрешенных переменных. Такая система является совместной и определенной, т.к. x 1 = b 1 , x 2 = b 2 , ..., x k = b k ;
2. Число разрешенных переменных r меньше общего числа переменных k : r < k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Так, в приведенных выше системах переменные x 2 , x 5 , x 6 (для первой системы) и x 2 , x 5 (для второй) являются свободными. Случай, когда есть свободные переменные, лучше сформулировать в виде теоремы:

Обратите внимание: это очень важный момент! В зависимости от того, как вы запишете итоговую систему, одна и та же переменная может быть как разрешенной, так и свободной. Большинство репетиторов по высшей математике рекомендуют выписывать переменные в лексикографическом порядке, т.е. по возрастанию индекса. Однако вы совершенно не обязаны следовать этому совету.

Теорема. Если в системе из n уравнений переменные x 1 , x 2 , ..., x r - разрешенные, а x r + 1 , x r + 2 , ..., x k - свободные, то:

1. Если задать значения свободным переменным (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), а затем найти значения x 1 , x 2 , ..., x r , получим одно из решений.
2. Если в двух решениях значения свободных переменных совпадают, то значения разрешенных переменных тоже совпадают, т.е. решения равны.

В чем смысл этой теоремы? Чтобы получить все решения разрешенной системы уравнений, достаточно выделить свободные переменные. Затем, присваивая свободным переменным разные значения, будем получать готовые решения. Вот и все - таким образом можно получить все решения системы. Других решений не существует.

Вывод: разрешенная система уравнений всегда совместна. Если число уравнений в разрешенной системе равно числу переменных, система будет определенной, если меньше - неопределенной.

И все бы хорошо, но возникает вопрос: как из исходной системы уравнений получить разрешенную? Для этого существует