TRANSKRIPT TEKSTA LEKCIJE:

Razmotrite ove stavke:

Cigle za zidanje, kocke, mikrovalna pećnica. Ti su predmeti objedinjeni oblikom.

Ploha koja se sastoji od dva jednaka paralelograma ABCD i A1B1C1D1

i četiri paralelograma AA1B1B i BB1C1C, SS1D1D, AA1D1D naziva se paralelopiped.

Paralelogrami koji čine paralelopiped nazivaju se plohama. Lice A1V1S1D1. Rub VV1S1S. Rub ABCD.

U ovom slučaju, lica ABCD i A1B1C1D1 češće se nazivaju bazama, a preostala lica su bočna.

Stranice paralelograma nazivamo bridovima paralelopipeda. Rebro A1B1. Rebro CC1. Rebro AD.

Brid CC1 ne pripada bazama, već se naziva bočni brid.

Vrhovi paralelograma nazivaju se vrhovima paralelopipeda.

Vrh D1. Veršina B. Veršina S.

Vrhovi D1 i B

ne pripadaju istom licu i nazivaju se suprotnim.

Paralelepiped se može prikazati na različite načine

Paralelepiped u čijoj osnovi leži romb, a slike lica su paralelogrami.

Paralelepiped u čijoj osnovi leži kvadrat. Nevidljivi rubovi AA1, AB, AD prikazani su isprekidanim linijama.

Paralelepiped u čijoj osnovi leži kvadrat

Paralelepiped u čijoj osnovi leži pravokutnik ili paralelogram

Paralelepiped sa svim kvadratnim stranama. Češće se naziva kocka.

Svi razmatrani paralelopipedi imaju svojstva. Formulirajmo ih i dokažimo.

Svojstvo 1. Nasuprotne plohe paralelopipeda su paralelne i jednake.

Promotrimo paralelopiped ABCDA1B1C1D1 i dokažimo, na primjer, paralelnost i jednakost stranica BB1C1C i AA1D1D.

Po definiciji paralelopipeda, stranica ABCD je paralelogram, što znači da je po svojstvu paralelograma brid BC paralelan s bridom AD.

Lice ABB1A1 je također paralelogram, što znači da su bridovi BB1 i AA1 paralelni.

To znači da su dvije ravnine BC i BB1 jedne ravnine koje se sijeku paralelne s dvjema ravninama AD odnosno AA1 druge ravnine, što znači da su ravnine ABB1A1 i BCC1D1 paralelne.

Sve plohe paralelopipeda su paralelogrami, što znači BC = AD, BB1 = AA1.

U tom su slučaju stranice kutova B1BC i A1AD suusmjerene, što znači da su jednake.

Dakle, dvije susjedne stranice i kut između njih paralelograma ABB1A1 jednaki su dvjema susjednim stranicama i kutu između njih paralelograma BCC1D1, što znači da su ti paralelogrami jednaki.

Paralelepiped također ima svojstvo dijagonala. Dijagonala paralelopipeda je segment koji povezuje nesusjedne vrhove. Isprekidana linija na crtežu prikazuje dijagonale B1D, BD1, A1C.

Dakle, svojstvo 2. Dijagonale paralelopipeda sijeku se u jednoj točki i sjecištem ih dijeli popola.

Da bismo dokazali to svojstvo, razmotrimo četverokut BB1D1D. Njegove dijagonale B1D, BD1 su dijagonale paralelopipeda ABCDA1B1C1D1.

U prvom svojstvu smo već otkrili da je rub BB1 ​​paralelan i jednak rubu AA1, ali rub AA1 je paralelan i jednak rubu DD1. Dakle, bridovi BB1 i DD1 su paralelni i jednaki, što dokazuje da je četverokut BB1D1D paralelogram. A u paralelogramu, prema svojstvu, dijagonale B1D, BD1 sijeku se u nekoj točki O i tom su točkom podijeljene popola.

Četverokut BC1D1A je također paralelogram i njegove se dijagonale C1A sijeku u jednoj točki i tom točkom raspolavljaju. Dijagonale paralelograma C1A, VD1 su dijagonale paralelopipeda, što znači da je formulirano svojstvo dokazano.

Kako bismo učvrstili teorijsko znanje o paralelopipedu, razmotrimo problem s dokazom.

Na bridovima paralelopipeda označene su točke L,M,N,P tako da je BL=CM=A1N=D1P. Dokažite da je ALMDNB1C1P paralelopiped.

Lice BB1A1A je paralelogram, što znači da je rub BB1 jednak i paralelan s rubom AA1, ali prema uvjetu segmenti BL i A1N, što znači da su segmenti LB1 i NA jednaki i paralelni.

3) Dakle, četverokut LB1NA je paralelogram.

4) Kako je CC1D1D paralelogram, to znači da je rub CC1 jednak i paralelan s rubom D1D, a CM jednak D1P prema uvjetu, što znači da su segmenti MC1 i DP jednaki i paralelni

Stoga je i četverokut MC1PD paralelogram.

5) Kutovi LB1N i MC1P jednaki su kutovi s redom paralelnim i identično usmjerenim stranicama.

6) Utvrdili smo da paralelogrami i MC1PD imaju jednake odgovarajuće stranice i kutove između njih, što znači da su paralelogrami jednaki.

7) Segmenti su jednaki prema uvjetu, što znači da je BLMC paralelogram i stranica BC je paralelna sa stranicom LM je paralelna sa stranicom B1C1.

8) Slično, iz paralelograma NA1D1P slijedi da je stranica A1D1 paralelna sa stranicom NP i paralelna sa stranicom AD.

9) Nasuprotne plohe ABB1A1 i DCC1D1 paralelopipeda su po svojstvu paralelne, a odsječci paralelnih ravnina zatvoreni između paralelnih ravnina su jednaki, što znači da su odsječci B1C1, LM, AD, NP jednaki.

Utvrđeno je da su u četverokutima ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD dvije stranice paralelne i jednake, što znači da su paralelogrami. Tada se naša ploha ALMDNB1C1P sastoji od šest paralelograma od kojih su dva jednaka i po definiciji je paralelopiped.

Ili (ekvivalentno) poliedar, koji ima šest lica i svako od njih - paralelogram.

Vrste paralelopipeda

Postoji nekoliko vrsta paralelopipeda:

• Kuboid je paralelopiped čija su sva lica pravokutnici.
• Pravi paralelopiped je paralelopiped s 4 bočne strane koje su pravokutnici.
• Nagnuti paralelopiped je paralelopiped čije bočne stranice nisu okomite na osnovice.

Bitni elementi

Dva lica paralelopipeda koja nemaju zajednički brid nazivaju se suprotnim, a ona koja imaju zajednički brid susjednim. Dva vrha paralelopipeda koja ne pripadaju istoj plohi nazivamo suprotnim. Isječak koji spaja suprotne vrhove naziva se dijagonala paralelopipeda. Duljine triju bridova pravokutnog paralelopipeda koji imaju zajednički vrh nazivaju se njegovim dimenzijama.

Svojstva

• Paralelepiped je simetričan oko sredine svoje dijagonale.
• Bilo koji segment čiji krajevi pripadaju površini paralelopipeda i prolaze kroz sredinu njegove dijagonale podijeljen je njime na pola; konkretno, sve dijagonale paralelopipeda sijeku se u jednoj točki i njome se raspolavljaju.
• Nasuprotne plohe paralelopipeda su paralelne i jednake.
• Kvadrat duljine dijagonale pravokutnog paralelopipeda jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije.

Osnovne formule

Pravi paralelopiped

Bočna površina S b =P o *h, gdje je P o opseg baze, h je visina

Ukupna površina S p =S b +2S o, gdje je S o osnovna površina

Volumen V=S o *h

Pravokutni paralelopiped

Bočna površina S b =2c(a+b), gdje su a, b stranice baze, c je bočni brid pravokutnog paralelopipeda.

Ukupna površina S p =2(ab+bc+ac)

Volumen V=abc, gdje su a, b, c dimenzije pravokutnog paralelopipeda.

Kocka

Površina: $S=6a^2$
Volumen: $V=a^3$, Gdje $a$- rub kocke.

Bilo koji paralelopiped

Volumen i omjeri u nagnutom paralelopipedu često se određuju pomoću vektorske algebre. Volumen paralelopipeda jednak je apsolutnoj vrijednosti mješovitog umnoška triju vektora određenih trima stranicama paralelopipeda koje izlaze iz jednog vrha. Odnos između duljina stranica paralelopipeda i kutova između njih daje tvrdnju da je Gram determinanta navedena tri vektora jednaka kvadratu njihova mješovitog umnoška: 215.

U matematičkoj analizi

U matematičkoj analizi pod n-dimenzionalnim kvadrom $B$ razumjeti mnoge točke $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$ ljubazan $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

Napišite recenziju o članku "Paralelepiped"

Bilješke

Linkovi

Točno Točno nekonveksan Konveksan formule, teoremi, teorije ostalo

Odlomak koji karakterizira Paralelepiped

- On dit que les rivaux se sont reconcilies grace a l "angine... [Kažu da su se suparnici pomirili zahvaljujući ovoj bolesti.]
Riječ angina ponavljala se s velikim zadovoljstvom.
– Le vieux comte est touchant a ce qu"on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [Kažu da je stari grof vrlo dirljiv. Plakao je kao dijete kad je liječnik rekao je taj opasni slučaj.]
- Oh, ce serait une perte terrible. C"est une femme ravissante. [Oh, to bi bio veliki gubitak. Tako ljupka žena.]
"Vous parlez de la pauvre comtesse", reče Ana Pavlovna prilazeći. "J"ai envoye savoir de ses nouvelles. On m"a dit qu"elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c"est la plus charmante femme du monde," rekla je Anna Pavlovna s osmijehom na svoj entuzijazam. – Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m"empeche pas de l"estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Govorite o jadnoj grofici... Poslao sam da saznam kakvo je njeno zdravlje. Rekli su mi da se osjeća malo bolje. Oh, bez sumnje, ovo je najljepša žena na svijetu. Pripadamo različitim taborima, ali to me ne sprječava da je poštujem zbog njezinih zasluga. Tako je nesretna.] – dodala je Ana Pavlovna.
Vjerujući da ovim riječima Ana Pavlovna malo podiže veo tajne nad grofičinom bolešću, jedan neoprezni mladić dopustio si je izraziti iznenađenje što nisu pozvani slavni liječnici, već što groficu liječi šarlatan koji može dati opasne pravni lijekovi.
"Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes", iznenada je Ana Pavlovna otrovno napala neiskusnog mladića. – Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C"est le medecin intime de la Reine d"Espagne. [Vaše su vijesti možda točnije od mojih... ali iz dobrih izvora znam da je ovaj liječnik vrlo obrazovana i vješta osoba. Ovo je životni liječnik španjolske kraljice.] - Uništivši tako mladića, Anna Pavlovna se obratila Bilibinu, koji je u drugom krugu podigao kožu i, očito, namjeravao je odriješiti da kaže un mot, progovorio. o Austrijancima.
“Je trouve que c"est charmant! [Smatram to šarmantnim!]," rekao je o diplomatskom papiru s kojim su austrijski barjaci koje je uzeo Wittgenstein poslani u Beč, le heros de Petropol [heroj Petropola] (kako je rekao bio je pozvan u Petersburg).
- Kako, kako je ovo? - obrati mu se Ana Pavlovna, probudivši tišinu da čuje motku, koju je već znala.
A Bilibin je ponovio sljedeće izvorne riječi diplomatske depeše koju je sastavio:
“L"Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens," reče Bilibin, "drapeaux amis et egares qu"il a trouve hors de la route, [Car šalje austrijske barjake, prijateljske i izgubljene barjake koje je pronašao izvan prave ceste.], – završio je Bilibin, opuštajući kožu.
“Šarmantno, šarmantno, [Ljupko, šarmantno”, rekao je princ Vasilij.
“C"est la route de Varsovie peut être, [Ovo je Varšavska cesta, možda.] - rekao je princ Hippolyte glasno i neočekivano. Svi su se osvrnuli na njega, ne shvaćajući što je time želio reći. Princ Hippolyte također se osvrnuo s veselim iznenađenjem oko sebe. On, kao i drugi, nije razumio što znače riječi koje je izgovorio. Tijekom svoje diplomatske karijere više je puta primijetio da su tako izgovorene riječi odjednom ispale vrlo duhovite, te je rekao ove riječi za svaki slučaj, prve koje su mu pale na pamet.»Možda će to jako dobro ispasti«, mislio je,»a ako ne uspije, moći će to tamo srediti.«Doista, dok zavladala je neugodna tišina, ono nedovoljno patriotsko lice ušlo je u Anu Pavlovnu, a ona je, smiješeći se i mašući prstom Ipolitu, pozvala kneza Vasilija k stolu i, dajući mu dvije svijeće i rukopis, zamolila ga da počne. Sve je utihnulo. .

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Teorema. U bilo kojem paralelepipedu, suprotna lica su jednaka i paralelna.

Dakle, lica (sl.) BB 1 C 1 C i AA 1 D 1 D su paralelne, jer su dvije pravce BB 1 i B 1 C 1 jedne plohe koje se sijeku paralelne s dvjema pravcima AA 1 i A 1 D 1 koje se sijeku. drugi. Te su plohe jednake jer su B 1 C 1 =A 1 D 1, B 1 B=A 1 A (kao suprotne stranice paralelograma) i ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1.

Teorema. U bilo kojem paralelopipedu sve četiri dijagonale sijeku se u jednoj točki iu njoj se dijele na pola.

Uzmimo (sl.) neke dvije dijagonale u paralelopipedu, na primjer, AC 1 i DB 1, i nacrtajmo ravne linije AB 1 i DC 1.

Kako su bridovi AD i B 1 C 1 redom jednaki i paralelni s bridom BC, onda su i međusobno jednaki i paralelni.

Kao rezultat toga, lik ADC 1 B 1 je paralelogram u kojem su C 1 A i DB 1 dijagonale, au paralelogramu se dijagonale sijeku na pola.

Ovaj dokaz se može ponoviti za svake dvije dijagonale.

Dakle, dijagonala AC 1 siječe BD 1 popola, dijagonala BD 1 siječe A 1 C popola.

Dakle, sve dijagonale sijeku se na pola i, prema tome, u jednoj točki.

Teorema. U pravokutnom paralelopipedu kvadrat bilo koje dijagonale jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije.

Neka je (sl.) AC 1 neka dijagonala pravokutnog paralelopipeda.

Crtanjem AC dobivamo dva trokuta: AC 1 C i ACB. Oba su pravokutna:

prvi jer je paralelopiped ravan, pa je brid CC 1 okomit na osnovicu,

drugi jer je paralelopiped pravokutan, što znači da se u njegovoj osnovi nalazi pravokutnik.

Iz ovih trokuta nalazimo:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 i AC 2 = AB 2 + BC 2

Stoga je AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + CC 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Posljedica. U pravokutnom paralelopipedu sve su dijagonale jednake.

Paralelopiped je prizma čije su baze paralelogrami. U ovom slučaju, svi rubovi će biti paralelogrami.
Svaki paralelopiped se može smatrati prizmom na tri različita načina, budući da se svaka dva suprotna lica mogu uzeti kao baze (na slici 5, lica ABCD i A"B"C"D", ili ABA"B" i CDC"D ", ili BCB "C" i ADA"D").
Dotično tijelo ima dvanaest rubova, četiri jednaka i međusobno paralelna.
Teorem 3 . Dijagonale paralelopipeda sijeku se u jednoj točki, poklapajući se sa sredinom svake od njih.
Paralelepiped ABCDA"B"C"D" (slika 5) ima četiri dijagonale AC", BD", CA", DB". Moramo dokazati da se polovišta bilo koje dvije od njih, na primjer AC i BD", podudaraju. To slijedi iz činjenice da je lik ABC"D", koji ima jednake i paralelne stranice AB i C"D", paralelogram.
Definicija 7 . Pravi paralelopiped je paralelopiped koji je ujedno i ravna prizma, odnosno paralelopiped čiji su bočni bridovi okomiti na ravninu baze.
Definicija 8 . Pravokutni paralelopiped je pravi paralelopiped čija je osnovica pravokutnik. U ovom slučaju, sve njegove strane će biti pravokutnici.
Pravokutni paralelopiped je prava prizma, bez obzira koju njegovu plohu uzmemo za bazu, budući da je svaki njen brid okomit na bridove koji izlaze iz istog vrha, pa će stoga biti okomit na ravnine ploha definiranih po ovim rubovima. Nasuprot tome, ravni, ali ne i pravokutni paralelepiped može se promatrati kao prava prizma na samo jedan način.
Definicija 9 . Duljine tri brida pravokutnog paralelopipeda, od kojih nijedna dva nisu međusobno paralelna (na primjer, tri brida izlaze iz istog vrha), nazivaju se njegovim dimenzijama. Dva pravokutna paralelopipeda odgovarajućih jednakih dimenzija očito su međusobno jednaka.
Definicija 10 .Kocka je pravokutni paralelopiped čije su sve tri dimenzije međusobno jednake tako da su mu sve plohe kvadrati. Dvije kocke čiji su bridovi jednaki su jednake.
Definicija 11 . Nagnuti paralelopiped kojemu su svi bridovi međusobno jednaki i kutovi svih ploha jednaki ili komplementarni nazivamo romboedar.
Sva lica romboedra su jednaki rombovi. (Neki kristali od velike važnosti imaju oblik romboedra, na primjer kristali islandskog špara.) U romboedru možete pronaći vrh (pa čak i dva suprotna vrha) tako da su svi kutovi uz njega međusobno jednaki.
Teorem 4 . Dijagonale pravokutnog paralelopipeda su međusobno jednake. Kvadrat dijagonale jednak je zbroju kvadrata triju dimenzija.
U pravokutnom paralelopipedu ABCDA"B"C"D" (slika 6) dijagonale AC" i BD" su jednake jer je četverokut ABC"D" pravokutnik (pravac AB okomita je na ravninu ECB" C", u kojem leži BC") .
Osim toga, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 na temelju teorema o kvadratu hipotenuze. Ali na temelju istog teorema AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; stoga mi imati:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.