Каноническое и параметрическое уравнения прямой. Каноническое уравнение прямой на плоскости - теория, примеры, решение задач Каноническое уравнение линии пересечения плоскостей онлайн
3.1. Канонические уравнения прямой.
Пусть в системе координат Oxyz дана прямая, которая проходит через точку
(см. рис.18).Обозначим через
вектор, параллельный данной прямой.
Векторназываетсянаправляющим
вектором прямой.
Возьмем на прямой точку
и рассмотрим вектор
Векторы
коллинеарны, следовательно, их
соответствующие координаты пропорциональны:
(3.3.1 )
Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.
Пример:
Написать
уравнения прямой, проходящей через
точку M(1,
2, –1) параллельно вектору
Решение: Вектор является направляющим вектором искомой прямой. Применяя формулы (3.1.1), получим:
Это канонические уравнения прямой.
Замечание: Обращение в нуль одного из знаменателей означает обращение в нуль соответствующего числителя, то есть y – 2 = 0; y = 2. Данная прямая лежит в плоскости y = 2, параллельной плоскости Oxz.
3.2. Параметрические уравнения прямой.
Пусть прямая задана каноническими уравнениями
Обозначим
тогда
Величина t
называется параметром и может принимать
любые значения:
.
Выразим x, y и z через t:
(3.2.1 )
Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.
Пример 1:
Составить
параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку M
(1, 2, –1) параллельно вектору
Решение: Канонические уравнения этой прямой получены в примере пункта 3.1:
Для нахождения параметрических уравнений прямой применим вывод формул (3.2.1):
Итак,
- параметрические уравнения данной
прямой.
Ответ
:
Пример 2.
Составить
параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку M
(–1, 0, 1) параллельно вектору
гдеA
(2, 1, –1), B
(–1, 3, 2).
Решение:
Вектор
является направляющим
вектором искомой прямой.
Найдем вектор
.
= (–3; 2; 3). По формулам (3.2.1) запишем уравнения прямой:
- это искомые параметрические уравнения прямой.
3.3. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
Через две заданные
точки в пространстве проходит единственная
прямая (см. рис.20). Пусть даны точки
Вектор
можно принять за направляющий вектор
данной прямой. Тогда уравнения прямой
находим
по формулам (3.1.1):
).
(3.3.1)
Пример 1. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки
Решение : Применяем формулу (3.3.1)
Получили канонические уравнения прямой. Для получения параметрических уравнений применим вывод формул (3.2.1). Получим
- это параметрические уравнения прямой.
Пример 2. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки
Решение : По формулам (3.3.1) получим:
Это канонические уравнения.
Переходим к параметрическим уравнениям:
- параметрические уравнения.
Полученная прямая параллельна оси oz (см. рис.21).
Пусть в пространстве даны две плоскости
Если эти плоскости не совпадают и не параллельны, то они пересекаются по прямой:
Эта система двух
линейных уравнений задает прямую как
линию пересечения двух плоскостей. От
уравнений (3.4.1) можно перейти к каноническим
уравнениям (3.1.1) или параметрическим
уравнениям (3.2.1). Для этого необходимо
найти точку
лежащую на прямой, и направляющий векторКоординаты точки
получим из системы (3.4.1), придав одной
из координат произвольное значение
(например,z
= 0). За направляющий вектор
можно взять векторное произведение
векторовто есть
Пример 1.
Составить
канонические уравнения прямой
Решение:
Пусть
z
= 0. Решим систему
Сложив эти уравнения,
получим: 3x
+ 6 = 0
x
= –2. Подставим найденное значение x
= –2 в первое уравнение системы и получим:
–2 + y
+ 1 = 0
y
= 1.
Итак, точка
лежит на искомой прямой.
Для нахождения направляющего вектора прямой запишем нормальные векторы плоскостей: и найдем их векторное произведение:
Уравнения прямой находим по формулам (3.1.1):
Ответ:
.
Другой способ: Канонические и параметрические уравнения прямой (3.4.1) легко получить, найдя две различные точки на прямой из системы (3.4.1), а затем применив формулы (3.3.1) и вывод формул (3.2.1).
Пример 2. Составить канонические и параметрические уравнения прямой
Решение:
Пусть y
= 0. Тогда система примет вид:
Сложив уравнения,
получим: 2x
+ 4 = 0; x
= –2. Подставим x
= –2 во второе уравнение системы и
получим: –2 –z
+1 = 0
z
= –1. Итак, нашли точку
Для нахождения
второй точки положим x
= 0. Будем иметь:
То есть
Получили канонические уравнения прямой.
Составим параметрические уравнения прямой:
Ответ
:
;
.
3.5. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Пусть прямые
заданы уравнениями:
:
;
:
.
Под углом между
этими прямыми понимают угол между их
направляющими векторами
(см. рис.22). Этот уголнаходим по формуле из векторной алгебры:
или
(3.5.1)
Если прямые
перпендикулярны
(
),то
Следовательно,
Это условие перпендикулярности двух прямых в пространстве.
Если прямые
параллельны (
),то их направляющие
векторы коллинеарны (
),
то есть
(3.5.3 )
Это условие параллельности двух прямых в пространстве.
Пример 1. Найти угол между прямыми:
а).
и
б).
и
Решение:
а). Запишем направляющий вектор прямой
Найдем направляющий вектор
плоскостей, входящих в систему
Затем найдем их векторное произведение:
(см. пример 1 пункта 3.4).
По формуле (3.5.1)
получим:
Следовательно,
б). Запишем
направляющие векторы данных прямых:
Векторы
коллинеарны, так как их соответствующие
координаты пропорциональны:
Значит прямые
параллельны (
),
то есть
Ответ:
а).
б).
Пример 2. Доказать перпендикулярность прямых:
и
Решение:
Запишем направляющий вектор первой
прямой
Найдем направляющий
вектор
второй прямой. Для этого находим
нормальные векторы
плоскостей, входящих в систему:
Вычислим их векторное произведение:
(См. пример 1пункта 3.4).
Применим условие перпендикулярности прямых (3.5.2):
Условие выполнено;
следовательно, прямые перпендикулярны
(
).
Как составить уравнения прямой в пространстве?
УравнениЯ прямой в пространстве
Аналогично «плоской» прямой, существует несколько способов, которыми мы можем задать прямую в пространстве. Начнём с канонов – точки и направляющего вектора прямой:
Если известна некоторая точка пространства , принадлежащая прямой, и направляющий вектор данной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами :
Приведённая запись предполагает, что координаты направляющего вектора не равны нулю . Что делать, если одна или две координаты нулевые, мы рассмотрим чуть позже.
Как и в статье Уравнение плоскости , для простоты будем считать, что во всех задачах урока действия проводятся в ортонормированном базисе пространства.
Пример 1
Составить канонические уравнения прямой по точке и направляющему вектору
Решение
: Канонические уравнения прямой составим по формуле:
Ответ :
И ежу понятно… хотя, нет, ежу не понятно вообще ничего.
Что следует отметить в этом очень простом примере? Во-первых, полученные уравнения НЕ НАДО сокращать на единицу: . Сократить, точнее, можно, но это непривычно режет глаз и создаёт неудобства в ходе решения задач.
А во-вторых, в аналитической геометрии неизбежны две вещи – это проверка и зачёт:
На всякий случай смотрим на знаменатели уравнений и сверяемся – правильно ли там записаны координаты направляющего вектора . Нет, не подумайте, у нас не урок в детском садике «Тормозок». Данный совет очень важен, поскольку позволяет полностью исключить ошибку по невнимательности. Никто не застрахован, а вдруг неправильно переписали? Наградят премией Дарвина по геометрии.
Получены верные равенства, значит, координаты точки удовлетворяют нашим уравнениям, и сама точка действительно принадлежит данной прямой.
Проверка очень легко (и быстро!) выполняется устно.
В ряде задач требуется найти какую-нибудь другую точку , принадлежащую данной прямой. Как это сделать?
Берём полученные уравнения и мысленно «отщипываем», например, левый кусочек: . Теперь этот кусочек приравниваем к любому числу
(помним, что ноль уже был), например, к единице: . Так как , то и два других «куска» тоже должны быть равны единице. По сути, нужно решить систему:
Проверим, удовлетворяет ли найденная точка уравнениям :
Получены верные равенства, значит, точка действительно лежит на данной прямой.
Выполним чертёж в прямоугольной системе координат. Заодно вспомним, как правильно откладывать точки в пространстве:
Строим точку :
– от начала координат в отрицательном направлении оси откладываем отрезок первой координаты (зелёный пунктир);
– вторая координата нулевая, поэтому «не дёргаемся» с оси ни влево, ни вправо;
– в соответствие с третьей координатой отмеряем три единицы вверх (фиолетовый пунктир).
Строим точку : отмеряем две единицы «на себя» (желтый пунктир), одну единицу вправо (синий пунктир) и две единицы вниз (коричневый пунктир). Коричневый пунктир и сама точка наложились на координатную ось, обратите внимание, что они находятся в нижнем полупространстве и ПЕРЕД осью .
Сама прямая проходит над осью и, если меня не подводит глазомер, над осью . Не подводит, убедился аналитически. Если бы прямая проходила ЗА осью , то следовало бы стереть ластиком частичку линии сверху и снизу точки скрещивания.
У прямой бесконечно много направляющих векторов, например:
(красная стрелка)
Получился в точности исходный вектор , но это чистая случайность, такую уж я выбрал точку . Все направляющие векторы прямой коллинеарны, и их соответствующие координаты пропорциональны (более подробно – см. Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов ). Так, векторы тоже будут направляющими векторами данной прямой.
Дополнительную информацию о построении трёхмерных чертежей на клетчатой бумаге можно найти в начале методички Графики и свойства функций . В тетради разноцветные пунктирные дорожки к точкам (см. чертёж) обычно тонко прочерчивают простым карандашом тем же пунктиром.
Разберёмся с частными случаями, когда одна или две координаты направляющего вектора нулевые. Попутно продолжаем тренировку пространственного зрения, которая началась в начале урока Уравнение плоскости
. И вновь я расскажу вам сказку о голом короле – нарисую пустую систему координат и буду убеждать вас, что там есть пространственные прямые =)
Проще перечислить все шесть случаев:
1) Для точки и направляющего вектора канонические уравнения прямой распадаются на три отдельных уравнения: .
Или короче:
Пример 2 : составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору :
Что это за прямая? Направляющий вектор прямой коллинеарен орту , значит, данная прямая будет параллельна оси . Канонические уравнения следует понимать так:
а) – «игрек» и «зет» постоянны
, равны конкретным числам
;
б) переменная «икс» может принимать любые значения: (на практике данное уравнение, как правило, не записывают).
В частности, уравнения задают саму ось . Действительно, «икс» принимает любое значение, а «игрек» и «зет» всегда равны нулю.
Рассматриваемые уравнения можно интерпретировать и другим образом: посмотрим, например, на аналитическую запись оси абсцисс: . Ведь это уравнения двух плоскостей! Уравнение задаёт координатную плоскость , а уравнение – координатную плоскость . Правильно думаете – данные координатные плоскости пересекаются по оси . Способ, когда прямая в пространстве задаётся пересечением двух плоскостей, мы рассмотрим в самом конце урока.
Два похожих случая:
2) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору , выражаются формулами .
Такие прямые будут параллельны координатной оси . В частности, уравнения задают координатную саму ось ординат.
3) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору , выражаются формулами .
Данные прямые параллельны координатной оси , а уравнения задают саму ось аппликат.
Загоним в стойло вторую тройку:
4) Для точки и направляющего вектора канонические уравнения прямой распадаются на пропорцию и уравнение плоскости .
Пример 3 : составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору .
Пусть l - некоторая прямая пространства. Как и в планиметрии, любой вектор
а =/= 0, коллинеарный прямой l , называется направляющим вектором этой прямой.
Положение прямой в пространстве полностью определяется заданием направляющего вектора и точки, принадлежащей прямой.
Пусть прямая l с направляющим вектором а проходит через точку M 0 , а М - произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М (рис. 197) принадлежит прямой l тогда и только тогда, когда вектор \(\overrightarrow{M_0 M}\) коллинеарен вектору а , т. е.
\(\overrightarrow{M_0 M}\) = ta , t \(\in \) R . (1)
Если точки М и M 0 заданы своими радиус-векторами r и r 0 (рис. 198) относительно некоторой точки О пространства, то \(\overrightarrow{M_0 M}\) = r - r 0 , и уравнение (1) принимает вид
r = r 0 + ta , t \(\in \) R . (2)
Уравнения (1) и (2) называются векторно-параметрическими уравнениями прямой. Переменная t в векторно-параметрических уравнениях прямой называется параметром .
Пусть точка M 0 прямой l и направляющий вектор а заданы своими координатами:
M 0 (х 0 ; у 0 , z 0), а = (а 1 ; а 2 ; а 3).
Тогда, если (х; у; z ) - координаты произвольной точки М прямой l , то
\(\overrightarrow{M_0 M} \) = (х - х 0 ; у - у 0 ; z - z 0)
и векторное уравнение (1) равносильно следующим трем уравнениям:
х - х 0 = tа 1 , у - у 0 = tа 2 , z - z 0 = tа 3
$$ \begin{cases} x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end{cases} (3)$$
Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.
Задача 1. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
M 0 (-3; 2; 4) и имеющей направляющий вектор а = (2; -5; 3).
В данном случае х 0 = -3, у 0 = 2, z 0 = 4; а 1 = 2; а 2 = -5; а 3 = 3. Подставив эти значения в формулы (3), получим параметрические уравнения данной прямой
$$ \begin{cases} x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, \;\;t\in R\end{cases} $$
Исключим параметр t из уравнений (3). Это можно сделать, так как а =/= 0, и поэтому одна из координат вектора а заведомо отлична от нуля.
Пусть сначала все координаты отличны от нуля. Тогда
$$ t=\frac{x-x_0}{a_1},\;\;t=\frac{y-y_0}{a_2},\;\;t=\frac{z-z_0}{a_3} $$
и, следовательно,
$$ \frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3} \;\; (4)$$
Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой .
Заметим, что уравнения (4) образуют систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z.
Если в уравнениях (3) одна из координат вектора а , например а 1 равна нулю, то, исключив параметр t , снова получим систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z :
\(x=x_0, \;\; \frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}\)
Эти уравнения также называются каноническими уравнениями прямой. Для единообразия их также условно записывают в виде (4)
\(\frac{x-x_0}{0}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}\)
считая, что если знаменатель равен нулю, то равен нулю и соответствующий числитель. Эти уравнения являются уравнениями прямой, проходящей через точку M 0 (х 0 ; у 0 , z 0) параллельно координатной плоскости yOz , так как этой плоскости параллелен ее направляющий вектор (0; а 2 ; а 3).
Наконец, если в уравнениях (3) две координаты вектора а , например а 1 и а 2 равны нулю, то эти уравнения принимают вид
х = х 0 , y = у 0 , z = z 0 + ta 3 , t \(\in \) R .
Это уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (х 0 ; у 0 ; z 0) параллельно оси Oz . Для такой прямой х = х 0 , y = у 0 , a z - любое число. И в этом случае для единообразия уравнения прямой можно записывать (с той же оговоркой) в виде (4)
\(\frac{x-x_0}{0}=\frac{y-y_0}{0}=\frac{z-z_0}{a_3}\)
Таким образом, для любой прямой пространства можно написать канонические уравнения (4), и, наоборот, любое уравнение вида (4) при условии, что хотя бы один из коэффициентов а 1 , а 2 , а 3 не равен нулю, задает некоторую прямую пространства.
Задача 2. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (- 1; 1, 7) параллельно вектору а = (1; 2; 3).
Уравнения (4) в данном случае записываются слeдующим образом:
\(\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-7}{3}\)
Выведем уравнения прямой, проходящей через две данные точки M 1 (х 1 ; у 1 ; z 1) и
M 2 (х 2 ; у 2 ; z 2). Очевидно, что за направляющий вектор этой прямой можно взять вектор a = (х 2 - х 1 ; у 2 - у 1 ; z 2 - z 1), а за точку М 0 , через которую проходит прямая, например, точку M 1 . Тогда уравнения (4) запишутся так:
\(\frac{x-x_1}{x_2 - x_1}=\frac{y-y_1}{y_2 - y_1}=\frac{z-z_1}{z_2 - z_1}\) (5)
Это и есть уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (х 1 ; у 1 ; z 1) и
M 2 (х 2 ; у 2 ; z 2).
Задача 3. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M 1 (-4; 1; -3) и M 2 (-5; 0; 3).
В данном случае х 1 = -4, у 1 = 1, z 1 = -3, х 2 = -5, у 2 = 0, z 2 = 3. Подставив эти значения в формулы (5), получим
\(\frac{x+4}{-1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+3}{6}\)
Задача 4. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M 1 (3; -2; 1) и
M 2 (5; -2; 1 / 2).
После подстановки координат точек M 1 и M 2 в уравнения (5) получим
\(\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-\frac{1}{2}}\)
Канонические уравнения прямой
Постановка задачи. Найти канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей (общими уравнениями)
План решения. Канонические уравнения прямой с направляющим вектором , проходящей через данную точку , имеют вид
. (1)
Поэтому, чтобы написать канонические уравнения прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и какую-нибудь точку на прямой.
1. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий вектор ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей, т.е. согласно определению векторного произведения, имеем
. (2)
2. Выбираем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку направляющий вектор прямой не параллелен хотя бы одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает эту координатную плоскость. Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка ее пересечения с этой координатной плоскостью.
3. Подставляем найденные координаты направляющего вектора и точки в канонические уравнения прямой (1).
Замечание. Если векторное произведение (2) равно нулю, то плоскости не пересекаются (параллельны) и записать канонические уравнения прямой не представляется возможным.
Задача 12. Написать канонические уравнения прямой.
Канонические уравнения прямой:
,
где – координаты какой-либо точки прямой, – ее направляющий вектор.
Найдем какую-либо точку прямой . Пусть , тогда
Следовательно, – координаты точки, принадлежащей прямой.
Рассмотрим решение примера.
Пример.
Найдите координаты любой точки прямой, заданной в пространстве уравнениями двух пересекающихся плоскостей .
Решение.
Перепишем систему уравнений в следующем виде
В качестве базисного минора основной матрицы системы возьмем отличный от нуля минор второго порядка , то есть, z – свободная неизвестная переменная. Перенесем слагаемые, содержащие z , в правые части уравнений: .
Примем , где - произвольное действительное число, тогда .
Решим полученную систему уравнений :
Таким образом, общее решение системы уравнений имеет вид , где .
Если взять конкретное значение параметра , то мы получим частное решение системы уравнений, которое нам дает искомые координаты точки, лежащей на заданной прямой. Возьмем , тогда , следовательно, - искомая точка прямой.
Можно выполнить проверку найденных координат точки, подставив их в исходые уравнения двух пересекающихся плоскостей:
Ответ:
Направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две плоскости.
В прямоугольной системе координат от прямой линии неотделим направляющий вектор прямой . Когда прямая а в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей и , то координаты направляющего вектора прямой не видны. Сейчас мы покажем, как их определять.
Мы знаем, что прямая перпендикулярна к плоскости, когда она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Тогда нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в этой плоскости. Этими фактами и воспользуемся при нахождении направляющего вектора прямой.
Прямая а
лежит как в плоскости , так и в плоскости . Следовательно, направляющий вектор прямой а
перпендикулярен и нормальному вектору плоскости , и нормальному вектору плоскости . Таким образом, направляющим вектором прямой а
является и :
Множество всех направляющих векторов прямой а мы можем задать как , где - параметр, принимающий любые действительные значения, отличные от нуля.
Пример.
Найдите координаты любого направляющего вектора прямой, которая задана в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнениями двух пересекающихся плоскостей .
Решение.
Нормальными векторами плоскостей и являются векторы и соответственно. Направляющим вектором прямой, являющейся пересечением двух заданных плоскостей, примем векторное произведение нормальных векторов:
Ответ:
Переход к параметрическим и каноническим уравнениям прямой в пространстве.
Бывают случаи, в которых использование уравнений двух пересекающихся плоскостей для описания прямой не совсем удобно. Некоторые задачи проще решаются, если известны канонические уравнения прямой в пространстве вида или параметрические уравнения прямой в пространстве вида , где x 1 , y 1 , z 1 - координаты некоторой точки прямой, a x , a y , a z - координаты направляющего вектора прямой, а - параметр, принимающий произвольные действительные значения. Опишем процесс перехода от уравнений прямой вида к каноническим и параметрическим уравнениям прямой в пространстве.
В предыдущих пунктах мы научились находить координаты некоторой точки прямой, а также координаты некоторого направляющего вектора прямой, которая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Этих данных достаточно, чтобы записать и канонические и параметрические уравнения этой прямой в прямоугольной системе координат в пространстве.
Рассмотрим решение примера, а после этого покажем еще один способ нахождения канонических и параметрических уравнений прямой в пространстве.
Пример.
Решение.
Вычислим сначала координаты направляющего вектора прямой. Для этого найдем векторное произведение нормальных векторов и плоскостей и :
То есть, .
Теперь определим координаты некоторой точки заданной прямой. Для этого найдем одно из решений системы уравнений .
Определитель отличен от нуля, возьмем его в качестве базисного минора основной матрицы системы. Тогда переменная z
является свободной, переносим слагаемые с ней в правые части уравнений, и придаем переменной z
произвольное значение :
Решаем методом Крамера полученную систему уравнений:
Следовательно,
Примем , при этом получаем координаты точки прямой: .
Теперь мы можем записать требуемые канонические и параметрические уравнения исходной прямой в пространстве:
Ответ:
и
Вот второй способ решения этой задачи.
При нахождении координат некоторой точки прямой мы решаем систему уравнений . В общем случае ее решения можно записать в виде .
А это как раз искомые параметрические уравнения прямой в пространстве. Если каждое из полученных уравнений разрешить относительно параметра и после этого приравнять правые части равенств, то получим канонические уравнения прямой в пространстве
Покажем решение предыдущей задачи по этому методу.
Пример.
Прямая в трехмерном пространстве задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей . Напишите канонические и параметрические уравнения этой прямой.
Решение.
Решаем данную систему из двух уравнений с тремя неизвестными (решение приведено в предыдущем примере, не будем повторяться). При этом получаем . Это и есть искомые параметрические уравнения прямой в пространстве.
Осталось получить канонические уравнения прямой в пространстве:
Полученные уравнения прямой внешне отличаются от уравнений, полученных в предыдущем примере, однако они эквивалентны, так как определяют одно и то же множество точек трехмерного пространства (а значит, одну и ту же прямую).
Ответ:
и
Список литературы.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.