Пусть прямая проходит через точку M1 (x1, y1, z1) и параллельна вектору (m ,n, l). Составим уравнение этой прямой.

Возьмем произвольную точку M (x, y, z) на этой прямой и найдем зависимость между x, y, z. Построим вектор

Векторы иколлинеарны.

- каноническое уравнение прямой в пространстве.

44 Параметрические уравнения прямой

Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.

Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:

Определение. Направляющими косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора , которые могут быть вычислены по формулам:

Отсюда получим: m: n: p = cosa: cosb: cosg.

Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к.- ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.

45 Уравнение прямой в пространстве, проходящее через две различные данные точки.

Аналитическая геометрия

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть на плоскости даны М1(х1у1) и М2(х2у2). Составим каноническое уравнение прямой, проходящей через эти две точки в качестве направляющего вектора S возьмем M1M2

тройка.

Это уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х1 у1) и (х2, у2)

Перейдем теперь к уравнениям прямой и плоскости в пространстве.

Аналитическая геометрия в 3-мерном пространстве

Аналогично двумерному случаю любое уравнение первой степени относительно трех переменных x, y, z есть уравнение плоскости в пространстве Оxyz.. Общее уравнение плоскости АX + ВY + СZ + D = 0, где вектор N=(A,B,C) есть нормаль к плоскости. Каноническое уравнение плоскости, проходящей через точку М(х0,у0,z0) и имеющей нормаль N(А,В,С) А(х – х0) + В(у – у0) + С(z – z0)=0 – что представляет собой это уравнение?

Значения х –х0, у-у0 и z –z0 - это разности координат текущей точки и фиксированной точки. Следовательно, вектор а (х-х 0, у-у0, z-z0) -это вектор, лежащий в описываемой плоскости, а вектор N - вектор, перпендикулярный к плоскости, а значит, они перпендикулярны между собой.

Тогда их скалярное произведение должно равняться нулю.

В координатной форме (N,a)=0 выглядит так:

А·(х-х0)+В·(у-у0)+С·(z-z0)=0

В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, с в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае a,b,c - левая.

46 Угол между прямыми в пространстве

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и. Так как, то по формуле для косинуса угла между векторами получим

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов и:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l1 параллельна l2 тогда и только тогда, когда параллелен.

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: .

Найти уравнения прямой проходящей через точку М1(1;2;3) параллельно прямой l1:

Поскольку искомая прямая l параллельна l1, то в качестве направляющего вектора искомой прямой l можно взять направляющий вектор прямой l1.

Одним из подпунктов темы «Уравнение прямой на плоскости» является вопрос составления параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. В статье ниже рассматривается принцип составления подобных уравнений при определенных известных данных. Покажем, как от параметрических уравнений переходить к уравнениям иного вида; разберем решение типовых задач.

Конкретная прямая может быть определена, если задать точку, которая принадлежит этой прямой, и направляющий вектор прямой.

Допустим, нам задана прямоугольная система координат O x y . А также заданы прямая а с указанием лежащей на ней точки М 1 (x 1 , y 1) и направляющий вектор заданной прямой a → = (a x , a y) . Дадим описание заданной прямой a , используя уравнения.

Используем произвольную точку М (x , y) и получим вектор М 1 М → ; вычислим его координаты по координатам точек начала и конца: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Опишем полученное: прямая задана множеством точек М (x , y) , проходит через точку М 1 (x 1 , y 1) и имеет направляющий вектор a → = (a x , a y) . Указанное множество задает прямую только тогда, когда векторы M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) и a → = (a x , a y) являются коллинеарными.

Существует необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов, которое в данном случае для векторов M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) и a → = (a x , a y) возможно записать в виде уравнения:

M 1 M → = λ · a → , где λ – некоторое действительное число.

Определение 1

Уравнение M 1 M → = λ · a → называют векторно-параметрическим уравнением прямой.

В координатной форме оно имеет вид:

M 1 M → = λ · a → ⇔ x - x 1 = λ · a x y - y 1 = λ · a y ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Уравнения полученной системы x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ носят название параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Суть названия в следующем: координаты всех точек прямой возможно определить по параметрическим уравнениям на плоскости вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ при переборе всех действительных значений параметра λ

Согласно вышесказанному, параметрические уравнения прямой на плоскости x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ определяют прямую линию, которая задана в прямоугольной системе координат, проходит через точку М 1 (x 1 , y 1) и имеет направляющий вектор a → = (a x , a y) . Следовательно, если заданы координаты некоторой точки прямой и координаты ее направляющего вектора, то возможно сразу записать параметрические уравнения заданной прямой.

Пример 1

Необходимо составить параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат, если заданы принадлежащая ей точка М 1 (2 , 3) и ее направляющий вектор a → = (3 , 1) .

Решение

На основе исходных данных получим: x 1 = 2 , y 1 = 3 , a x = 3 , a y = 1 . Параметрические уравнения будут иметь вид:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Наглядно проиллюстрируем:

Ответ: x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Необходимо отметить: если вектор a → = (a x , a y) служит направляющим вектором прямой а, а точки М 1 (x 1 , y 1) и М 2 (x 2 , y 2) принадлежат этой прямой, то ее возможно определить, задав параметрическими уравнениями вида: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , а также и таким вариантом: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ .

К примеру, нам заданы направляющий вектор прямой a → = (2 , - 1) , а также точки М 1 (1 , - 2) и М 2 (3 , - 3) , принадлежащие этой прямой. Тогда прямую определяют параметрические уравнения: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ или x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

Следует обратить внимание и на такой факт: если a → = (a x , a y) - направляющий вектор прямой a , то ее направляющим векторомбудет и любой из векторов μ · a → = (μ · a x , μ · a y) , где μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Таким образом, прямая а на плоскости в прямоугольной системе координат может быть определена параметрическими уравнениями: x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ при любом значении μ , отличном от нуля.

Допустим, прямая а задана параметрическими уравнениями x = 3 + 2 · λ y = - 2 - 5 · λ . Тогда a → = (2 , - 5) - направляющий векторэтой прямой. А также любой из векторов μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 станет направляющим вектором для заданной прямой. Для наглядности рассмотрим конкретный вектор - 2 · a → = (- 4 , 10) , ему соответствует значение μ = - 2 . В таком случае заданную прямую можно также определить параметрическими уравнениями x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ .

Переход от параметрических уравнений прямой на плоскости к прочим уравнениям заданной прямой и обратно

В решении некоторых задач применение параметрических уравнений является не самым оптимальным вариантом, тогда возникает необходимость перевода параметрических уравнений прямой в уравнения прямой другого вида. Рассмотрим, как же это сделать.

Параметрическим уравнениям прямой вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ будет соответствовать каноническое уравнение прямой на плоскости x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Разрешим каждое из параметрических уравнений относительно параметра λ , приравняем правые части полученных равенств и получим каноническое уравнение заданной прямой:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

При этом не должно смущать, если a x или a y будут равны нулю.

Пример 2

Необходимо осуществить переход от параметрических уравнений прямой x = 3 y = - 2 - 4 · λ к каноническому уравнению.

Решение

Запишем заданные параметрические уравнения в следующем виде: x = 3 + 0 · λ y = - 2 - 4 · λ

Выразим параметр λ в каждом из уравнений: x = 3 + 0 · λ y = - 2 - 4 · λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Приравняем правые части системы уравнений и получим требуемое каноническое уравнение прямой на плоскости:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Ответ: x - 3 0 = y + 2 - 4

В случае, когда необходимо записать уравнение прямой вида A x + B y + C = 0 , при этом заданы параметрические уравнения прямой на плоскости, необходимо сначала осуществить переход к каноническому уравнению, а затем к общему уравнению прямой. Запишем всю последовательность действий:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Пример 3

Необходимо записать общее уравнение прямой, если заданы определяющие ее параметрические уравнения: x = - 1 + 2 · λ y = - 3 · λ

Решение

Для начала осуществим переход к каноническому уравнению:

x = - 1 + 2 · λ y = - 3 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Полученная пропорция идентична равенству - 3 · (x + 1) = 2 · y . Раскроем скобки и получим общее уравнение прямой: - 3 · x + 1 = 2 · y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Ответ: 3 x + 2 y + 3 = 0

Следуя вышеуказанной логике действий, для получения уравнения прямой с угловым коэффициентом, уравнения прямой в отрезках или нормального уравнения прямой необходимо получить общее уравнение прямой, а от него осуществлять дальнейший переход.

Теперь рассмотрим обратное действие: запись параметрических уравнений прямой при другом заданном виде уравнений этой прямой.

Самый простой переход: от канонического уравнения к параметрическим. Пусть задано каноническое уравнение вида: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Каждое из отношений этого равенства примем равным параметру λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Разрешим полученные уравнения относительно переменных x и y:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Пример 4

Необходимо записать параметрические уравнения прямой, если известно каноническое уравнение прямой на плоскости: x - 2 5 = y - 2 2

Решение

Приравняем части известного уравнения к параметру λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . Из полученного равенства получим параметрические уравнения прямой: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Ответ: x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Когда необходимо осуществить переход к параметрическим уравнениям от заданного общего уравнения прямой, уравнения прямой с угловым коэффициентом или уравнения прямой в отрезках, необходимо исходное уравнение привести к каноническому, а после осуществлять переход к параметрическим уравнениям.

Пример 5

Необходимо записать параметрические уравнения прямой при известном общем уравнении этой прямой: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Решение

Заданное общее уравнение преобразуем в уравнение канонического вида:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Приравняем обе части равенства к параметру λ и получим требуемые параметрические уравнения прямой:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 · λ y = - 1 3 + 4 · λ

Ответ: x = 3 · λ y = - 1 3 + 4 · λ

Примеры и задачи с параметрическими уравнениями прямой на плоскости

Рассмотрим чаще всего встречаемые типы задач с использованием параметрических уравнений прямой на плоскости в прямоугольной системе координат.

1. В задачах первого типа заданы координаты точек, принадлежащих или нет прямой, описанной параметрическими уравнениями.

Решение таких задач опирается на следующий факт: числа (x , y) , определяемые из параметрических уравнений x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ при некотором действительном значении λ , являются координатами точки, принадлежащей прямой, которая описывается этими параметрическими уравнениями.

Пример 6

Необходимо определить координаты точки, которая лежит на прямой, заданной параметрическими уравнениями x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ при λ = 3 .

Решение

Подставим в заданные параметрические уравнения известное значение λ = 3 и осуществим вычисление искомых координат: x = 2 - 1 6 · 3 y = - 1 + 2 · 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Ответ: 1 1 2 , 5

Также возможна следующая задача: пусть задана некоторая точка M 0 (x 0 , y 0) на плоскости в прямоугольной системе координат и нужно определить, принадлежит ли эта точка прямой, описываемой параметрическими уравнениями x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ .

Чтобы решить подобную задачу, необходимо подставить координаты заданной точки в известные параметрические уравнения прямой. Если будет определено, что возможно такое значение параметра λ = λ 0 , при котором будут верными оба параметрических уравнения, тогда заданная точка является принадлежащей заданной прямой.

Пример 7

Заданы точки М 0 (4 , - 2) и N 0 (- 2 , 1) . Необходимо определить, являются ли они принадлежащими прямой, определенной параметрическими уравнениями x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Решение

Подставим координаты точки М 0 (4 , - 2) в заданные параметрические уравнения:

4 = 2 · λ - 2 = - 1 - 1 2 · λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Делаем вывод, что точка М 0 принадлежит заданной прямой, т.к. соответствует значению λ = 2 .

2 = 2 · λ 1 = - 1 - 1 2 · λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Очевидно, что не существует такого параметра λ , которому будет соответствовать точка N 0 . Другими словами, заданная прямая не проходит через точку N 0 (- 2 , 1) .

Ответ: точка М 0 принадлежит заданной прямой; точка N 0 не принадлежит заданной прямой.

1. В задачах второго типа требуется составить параметрические уравнения прямой на плоскости в прямоугольной системе координат. Самый простой пример такой задачи (при известных координатах точки прямой и направляющего вектора) был рассмотрен выше. Теперь разберем примеры, в которых сначала нужно найти координаты направляющего вектора, а потом записать параметрические уравнения.

Задана точка M 1 1 2 , 2 3 . Необходимо составить параметрические уравнения прямой, проходящей через эту точку и параллельной прямой x 2 = y - 3 - 1 .

Решение

По условию задачи прямая, уравнение которой нам предстоит опередить, параллельна прямой x 2 = y - 3 - 1 . Тогда в качестве направляющего вектора прямой, проходящей через заданную точку, возможно использовать направляющий вектор прямой x 2 = y - 3 - 1 , который запишем в виде: a → = (2 , - 1) . Теперь известны все необходимые данные для того, чтобы составить искомые параметрические уравнения:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + (- 1) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ

Ответ: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ .

Пример 9

Задана точка М 1 (0 , - 7) . Необходимо записать параметрические уравнения прямой, проходящей через эту точку перпендикулярно прямой 3 x – 2 y – 5 = 0 .

Решение

В качестве направляющего вектора прямой, уравнение которой надо составить, возможно взять нормальный вектор прямой 3 x – 2 y – 5 = 0 . Его координаты (3 , - 2) . Запишем требуемые параметрические уравнения прямой:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = - 7 + (- 2) · λ ⇔ x = 3 · λ y = - 7 - 2 · λ

Ответ: x = 3 · λ y = - 7 - 2 · λ

1. В задачах третьего типа требуется осуществить переход от параметрических уравнений заданной прямой к прочим видам уравнений, которые ее определяют. Решение подобных примеров мы рассматривали выше, приведем еще один.

Дана прямая на плоскости в прямоугольной системе координат, определяемая параметрическими уравнениями x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . Необходимо найти координаты какого-либо нормального вектора этой прямой.

Решение

Чтобы определить искомые координаты нормального вектора, осуществим переход от параметрических уравнений к общему уравнению:

x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 · x - 1 = - 3 4 · y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Коэффициенты переменных x и y дают нам требуемые координаты нормального вектора. Таким образом, нормальный вектор прямой x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ имеет координаты 1 , 3 4 .

Ответ: 1 , 3 4 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Приравнивая в канонических уравнениях прямой каждую из дробей некоторому параметру t :

Получим уравнения выражающие текущие координаты каждой точки прямой через параметр t .

таким образом параметрические уравнения прямой имеют вид:

Уравнения прямой проходящей через две заданные точки.

Пусть заданы две точки М 1 (x 1 ,y 1 ,z 1) и М 2 (x 2 ,y 2 ,z 2) . Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки получаются так же, как аналогичное такое уравнение на плоскости. Поэтому сразу приведём вид этого уравнения.

Прямая на пересечении двух плоскостей. Общее уравнение прямой в пространстве.

Если рассмотреть две не параллельные плоскости, то их пересечением будет прямая.

Если нормальные вектора и неколенеарны.

Ниже при рассмотрении примеров мы покажем способ преобразования таких уравнений прямой к каноническим уравнениям.

5.4 Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Углом между двумя прямыми в пространстве будем называть любой из углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть две прямые заданны своими каноническими уравнениями.

За угол между двумя прямыми примем угол между направляющими векторами.

И

Условие перпендикулярности двух прямых сводится к условию перпендикулярности их направляющих векторов и , то есть к равенству нулю скалярного произведения: или в координатной форме: .

Условие параллельности двух прямых сводится к условию параллельности их направляющих векторов и

5.5 Взаимное расположение прямой и плоскости.

Пусть заданы уравнения прямой:

и плоскости . Углом между прямой и плоскостью будем называть любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость (Рис 5.5).

Рис 5.5

В случае перпендикулярности прямой к плоскости направляющий вектор прямой и нормальный вектор к плоскости коллинеарны. Таким образом, условие перпендикулярности прямой и плоскости сводится к условию коллинеарности векторов

В случае параллельности прямой и плоскости их указанные выше вектора взаимно перпендикулярны. Поэтому условие параллельности прямой и плоскости сводится к условию перпендикулярности векторов ; т.е. их скалярное произведение равно нулю или в координатной форме: .

Ниже рассмотрены примеры решения задач, связанных с темой главы 5.

Пример 1:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1,2,4) перпендикулярную прямой, заданной уравнением:

Решение:

Воспользуемся уравнением плоскости проходящей через заданную точку перпендикулярную заданному вектору.

А(х-х 0)+В(у-у 0)+С(z-z 0)=0

В качестве точки возьмём точку А (1,2,4), через которую проходит по условию плоскость.

Зная канонические уравнения прямой, мы знаем вектор, параллельный прямой .

В силу того, что по условию прямая перпендикулярна искомой плоскости, направляющий вектор может быть взят в качестве нормального вектора плоскости.

Таким образом уравнение плоскости получим в виде:

2(х-1)+1(у-2)+4(z-4)=0

2х+у+4z-16=0

2х+у+4z-20=0

Пример 2:

Найти на плоскости 4х-7у+5z-20=0 такую точку Р, для которой ОР составляет с осями координат одинаковые углы.

Решение:

Сделаем схематический чертёж. (Рис. 5.6)

у

Рис 5.6

Пуст точка Р имеет координаты . Так как вектор составляет одинаковые углы с осями координат, то направляющие косинусы этого вектора равны между собой

Найдём проекции вектора :

тогда легко находятся направляющие косинусы этого вектора.

Из равенства направляющих косинусов следует равенство:

х р =у р =z р

так как точка Р лежит на плоскости, то подстановка координат этой точки в уравнение плоскости обращает его в тождество.

4х р -7х р +5х р -20=0

2х р =20

х р =10

Соответственно: у р =10; z р =10.

Таким образом искомая точка Р имеет координаты Р(10;10;10)

Пример 3:

Даны две точки А (2,-1,-2) и В (8,-7,5). Найти уравнение плоскости, проходящей через точку В, перпендикулярную отрезку АВ.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярную заданному вектору.

А(х-х 0)+В(у-у 0)+C(z-z 0)=0

В качестве точки используем точку В (8,-7,5), а в качестве вектора, перпендикулярного плоскости вектор . Найдём проекции вектора :

тогда уравнение плоскости получим в виде:

6(х-8)-6(у+7)+7(z-5)=0

6х-48-6у-42+7z-35=0

6х-6у+7z-35=0

6х-6у+7z-125=0

Пример 4:

Найти уравнение плоскости, параллельной оси ОY и проходящей через точки К(1,-5,1) и М(3,2,-2).

Решение:

Так как плоскость параллельна оси ОY, то воспользуемся неполным уравнением плоскости.

Ax+Cz+D=0

В силу того, что точки К и М лежат на плоскости, получим два условия.

Выразим из этих условий коэффициенты А и С через D.

Подставим найденные коэффициенты в неполное уравнение плоскости:

так как , то сокращаем D:

Пример 5:

Найти уравнение плоскости проходящей через три точки М(7,6,7), К(5,10,5), R(-1,8,9)

Решение:

Воспользуемся уравнением плоскости проходящей через 3 заданные точки.

подставляя координаты точек М,К,R как первой, второй и третьей получим:

раскроем определитель по 1 ой строке.

Пример 6:

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М 1 (8,-3,1); М 2 (4,7,2) и перпендикулярно плоскости 3х+5у-7z-21=0

Решение:

Сделаем схематический чертёж (Рис 5.7)

Рис 5.7

Обозначим заданную плоскость Р 2 а искомую плоскость Р 2. . Из уравнения заданной плоскости Р 1 определяем проекции вектора , перпендикулярного плоскости Р 1.

Вектор путём параллельного переноса может быть перемещён в плоскость Р 2 , так как по условию задачи плоскость Р 2 перпендикулярна плоскости Р 1 , а это значит вектор параллелен плоскости Р 2.

Найдём проекции вектора лежащего в плоскости Р 2:

теперь мы имеем два вектора и , лежащих в плоскости Р 2 . очевидно вектор , равный векторному произведению векторов и будет перпендикулярен плоскости Р 2 , т. к. он перпендикулярен и , поэтому его нормального вектора плоскости Р 2.

Векторы и заданы своими проекциями поэтому:

Далее, используем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярную вектору. В качестве точки можно взять любую из точек М 1 или М 2 , например М 1 (8,-3,1); В качестве нормального вектора к плоскости Р 2 берём .

74(х-8)+25(у+3)+50(z-1)=0

3(х-8)+(у-3)+2(z-1)=0

3х-24+у+3+27-2=0

3х+у+2z-23=0

Пример 7:

Прямая задана пересечением двух плоскостей. Найти канонические уравнения прямой.

Решение:

Имеем уравнение в виде:

Надо найти точку (х 0 ,у 0 ,z 0 ), через которую проходит прямая и направляющий вектор .

Выберем произвольно одну из координат. Например, z=1 , тогда получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Таким образом, мы нашли точку лежащую на искомой прямой (2,0,1).

В качестве направляющего вектора искомой прямой возьмём векторное произведения векторов и , являющихся нормальными векторами т.к. , а значит параллельно искомой прямой.

Таким образом, направляющий вектор прямой имеет проекции . Используя уравнение прямой проходящий через заданную точку параллельно заданному вектору:

Итак искомое каноническое уравнение имеет вид:

Пример 8:

Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости 2x+3y+3z-8=0

Решение:

Запишем заданное уравнение прямой в параметрическом виде.

х=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

каждой точке прямой соответствует единственное значение параметра t . Для нахождения параметра t соответствующего точке пересечения прямой и плоскости подставим в уравнение плоскости выражение х, у, z через параметр t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

тогда координаты искомой точки

искомая точка пересечения имеет координаты (1;1;1).

Пример 9:

Найти уравнение плоскости проходящей через параллельные прямые.

Сделаем схематический чертёж (Рис 5.9)

Рис 5.9

Из заданных уравнений прямых и определяем проекции направляющих векторов этих прямых . Найдём проекции вектора , лежащего в плоскости Р, а точки и берём из канонических уравнений прямых М 1 (1,-1,2) и М 2 (0,1,-2).

1. Параметрическое уравнение прямой

Пусть даны точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) на прямой и вектор s = (l ,m ,n ) , лежащий на

этой прямой (или ей параллельной). Вектор s называют еще направляющим вектором прямой .

Этими условиями однозначно определяется прямая в пространстве. Найдем ее

уравнение. Возьмем произвольную точку M (x , y , z ) на прямой. Ясно, что векторы

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) и s коллинеарны.

Следовательно, M 0 M = t s − есть векторное уравнение прямой.

В координатной записи последнее уравнение имеет следующее параметрическое представление

двух углов, образованными двумя прямыми, соответственно параллельными данной и проходящими через одну точку (для чего возможно требуется совершить параллельный перенос одной из прямых).

Из определения следует, что один из углов равен углу ϕ между

Прямые перпендикулярны s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 .

4. Угол между прямой и плоскостью. Условия « » и « » прямой и

плоскости

Пусть прямая L задана своим каноническим уравнением x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,

а плоскость P – уравнением

Ax + By + Cz + D = 0.

Определение. Углом между прямой L

и плоскостью р называется острый угол между прямой L и ее проекцией на плоскость.

Из определения (и рисунка) следует, что искомый угол ϕ является дополнительным (до прямого угла) к углу между вектором нормали n (A , B ,C ) и

направляющим вектором s (l ,m ,n ) .

(. берется, чтобы получить острый угол).

Если L Р , то тогда s n (s ,n ) = 0

Теперь, если подставить найденное «t » в параметрические уравнения прямой, то найдем искомую точку пересечения

Одной из основных операций математического анализа является операция предельного перехода, которая встречается в курсе в различных формах. Мы начнем с самой простейшей формы операции предельного перехода, основанной на понятии предела так называемой числовой последовательности. Это облегчит нам введение и другой весьма важной формы операции предельного перехода – предела функции. В последующем конструкции предельных переходов будут использоваться в построении дифференциального и интегрального исчисления.



 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

 Связь бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.

 Простейшие свойства бесконечно малых последовательностей

 Предел последовательности.

 Свойства сходящихся последовательностей

 Арифметические операции над сходящимися последовательностями

 Монотонные последовательности

 Критерий сходимости Коши

 Число е и его экономическая иллюстрация.

 Применение пределов в экономических расчетах

§ 1. Числовые последовательности и простейшие свойства

1. Понятие числовой последовательности. Арифметические операции над последовательностями

Числовые последовательности представляют собой бесконечные множества чисел. Примеры последовательностей известны из школы:

1) последовательность всех членов бесконечной арифметической и геометрической прогрессий;

2) последовательность периметров правильных n -угольников, вписанных в данную окружность;

будем называть числовой последовательностью (или просто последовательностью).

Отдельные числа x 3 , x 5 , x n будем называть элементами или членами последовательности (1). Символ x n называют общим или n -м членом данной последовательности. Придавая значение n = 1, 2, … в общем члене x n мы получаем, соответственно, первый x 1 , второй x 2 и т.д. члены.

Последовательность считается заданной (см. Опр.), если указан способ получения любого ее элемента. Часто последовательность задают формулой для общего члена последовательности.

Для сокращения записи последовательность (1) иногда записывают как

Структура общего члена (его формула) может быть сложной. Например,

Иногда последовательность задается так называемыми рекуррентными формулами , т.е. формулами, позволяющими находить последующие члены последовательности по известным предыдущим.

Пример (числа Фибоначчи). Пусть x 1 = x 2 = 1 и задана рекуррентная формула x n = x n − 1 + x n − 2 для n = 3, 4, … . Тогда имеем последовательность 1, 1,

2, 3, 5, 8, … (числа Леонардо из Пизы по прозвищу Фибоначчи). Геометрически числовую последовательность можно изобразить на чис-

ловой оси в виде последовательности точек, координаты которых равны соот-

ветствующим членам последовательности. Например, { x n } = 1 n .

Лекция № 8-9 Основы математического анализа проф. Дымков М.П. 66

Рассмотрим наряду с последовательностью { x n } еще одну последовательность { y n } : y 1 , y 2 , y ,n (2).

Определение. Суммой (разностью, произведением, частным) последо-

вательностей { xn } и { yn } называется последовательность { zn } , члены кото-

Произведением последовательности { xn } на число c R называется последовательность { c xn } .

Определение. Последовательность { xn } называется ограниченной

сверху (снизу), если существует вещественное число М (m), такое что каждый элемент этой последовательности xn удовлетворяет неравен-

ству xn ≤ M (xn ≥ m) . Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу m ≤ xn ≤ M . Последовательность xn называ-

ется неограниченной, если для положительного числа А (сколь угодно большего) найдется хотя бы один элемент последовательности xn , удовлетворя-

ющий неравенству xn > A.

{ x n } = { 1n } − ограничена, т.к. 0 ≤ x n ≤ 1.

{ x n } = { n } − ограничена снизу 1, но является неограниченной.

{ x n } = { − n } − ограничена сверху (–1), но также неограниченная.

Определение. Последовательность { x n } называется бесконечно малой ,

если для любого положительного вещественного числа ε (сколь бы малым его не взяли) существует номер N , зависящий, вообще говоря от ε , (N = N (ε )) такой, что при всех n ≥ N выполняется неравенство x n < ε .

Пример. { x n } = 1 n .

Определение. Последовательность { xn } называется бесконечно боль-

шой , если для положительного вещественного числа А (какое бы большое оно не было) найдется номер N (N = N(A)) такой, что при всех n ≥ N выпол-

няется неравенство xn > A.

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Рассмотрим две плоскости α 1 и α 2 , заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α 1 и α 2 равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x +2y -3z +4=0 и 2x +3y +z +8=0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α 1 и α 2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

Примеры.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М 1 и вектора , параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t , что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М 1 и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М , лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x , y и z и точка М перемещается по прямой.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Пусть М 1 (x 1 , y 1 , z 1) – точка, лежащая на прямой l , и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор .

Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

– канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t . Действительно, из параметрических уравнений получаем или .

Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Обозначим , отсюда x = 2 + 3t , y = –1 + 2t , z = 1 –t .

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox . Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox , следовательно, m =0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид

Исключая из уравнений параметр t , получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде. Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz .

Примеры.

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Примеры.

Построить прямую, заданную уравнениями

Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагая z = 0:

Решив эту систему, найдем точку M 1 (1;2;0).

Аналогично, полагая y = 0, получим точку пересечения прямой с плоскостью xOz :

От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М 1 на прямой и направляющий вектор прямой.

Координаты точки М 1 получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к обоим нормальным векторам и . Поэтому за направляющий вектор прямой l можно взять векторное произведение нормальных векторов:

.

Пример. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y = 0 и решим систему уравнений:

Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую имеют координаты Поэтому направляющий вектор прямой будет

. Следовательно, l : .

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим