Уравнение нормали к графику функции примеры. Уравнение касательной и нормали к графику функции. Основные свойства неопределенного интеграла
Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке?
На данном уроке мы узнаем, как найти уравнение нормали к графику функции в точке и разберём многочисленные примеры, которые касаются этой задачи. Для качественного усвоения материала нужно понимать геометрический смысл производной и уметь их находить хотя бы на уровне следующих статей:
Как найти производную? Производная сложной функции и .
Перечисленные уроки позволят «чайникам» быстро сориентироваться в теме и поднять свои навыки дифференцирования практически с полного нуля. По существу, сейчас последует развёрнутое продолжение параграфа об уравнении касательной 3-й статьи из вышеприведенного списка. Почему продолжение? Уравнение нормали тесно связано с уравнением касательной. Помимо прочего я рассмотрю задачи о том, как построить уравнения этих линий в ситуациях, когда функция задана неявно либо параметрически .
Но сначала освежим воспоминания: если функция дифференцируема в точке (т.е. если существует конечная производная ), то уравнение касательной к графику функции в точке можно найти по следующей формуле:
Это самый распространенный случай, с которым мы уже столкнулись на уроке Простейшие задачи с производными . Однако дело этим не ограничивается: если в точке существует бесконечная производная: , то касательная будет параллельна оси и её уравнение примет вид . Дежурный пример: функция с производной , которая обращается в бесконечность вблизи критической точки . Соответствующая касательная выразится уравнением: (ось ординат).
Если же производной не существует (например, производной от в точке ) , то, разумеется, не существует и общей касательной .
Как различать последние два случая, я расскажу чуть позже, а пока что вернёмся в основное русло сегодняшнего урока:
Что такое нормаль ? Нормалью к графику функции в точке называется прямая , проходящая через данную точку перпендикулярно касательной к графику функции в этой точке (понятно, что касательная должна существовать) . Если совсем коротко, нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.
Как найти уравнение нормали ? Из курса аналитической геометрии напрашивается очень простой алгоритм: находим уравнение касательной и представляем его вобщем виде . Далее «снимаем» нормальный вектор и составляем уравнение нормали по точке и направляющему вектору .
Этот способ применять можно, но в математическом анализе принято пользоваться готовой формулой, основанной на взаимосвязи угловых коэффициентов перпендикулярных прямых . Если существует конечная и отличная от нуля производная , то уравнение нормали к графику функции в точке выражается следующим уравнением:
Особые случаи, когда равна нулю либо бесконечности мы обязательно рассмотрим, но сначала «обычные» примеры:
Пример 1
Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой в точке, абсцисса которой равна .
В практических заданиях часто требуется найти и касательную тоже. Впрочем, это очень только нА руку – лучше будет «набита рука» =)
Решение : Первая часть задания хорошо знакома, уравнение касательной составим по формуле:
В данном случае:
Найдём
производную
:
Здесь
на первом шаге вынесли
константу за знак производной
,
на втором – использовали правило
дифференцирования сложной функции
.
Теперь вычислим производную в точке :
Получено конечное число и это радует. Подставим и в формулу :
Перебросим наверх левой части, раскроем скобки и представим уравнение касательной в общем виде : Вторая часть задания ничуть не сложнее. Уравнение нормали составим по формуле: Избавляемся от трёхэтажности дроби и доводим уравнение до ума: – искомое уравнение.
Ответ :
Здесь можно выполнить частичную проверку. Во-первых, координаты точки должны удовлетворять каждому уравнению:
– верное равенство.
– верное равенство.
И, во-вторых, векторы нормали должны быть ортогональны. Это элементарно проверяется с помощью скалярного произведения : , что и требовалось проверить.
Как вариант, вместо нормальных векторов можно использовать направляющие векторы прямых .
! Данная проверка оказывается бесполезной, если неверно найдена производная и/или производная в точке . Это «слабое звено» задания – будьте предельно внимательны!
Чертежа
по условию не требовалось, но полноты
картины ради:
Забавно,
но фактически получилась и полная
проверка, поскольку чертёж выполнен
достаточно точно =) Кстати, функция
задаёт
верхнюю дугу эллипса
.
Следующая задача для самостоятельного решения:
Пример 2
Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .
Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.
Теперь разберём два особых случая:
1) Если производная в точке равна нулю: , то уравнение касательной упростится: То есть, касательная будет параллельна оси .
Соответственно, нормаль будет проходить через точку параллельно оси , а значит её уравнение примет вид .
2) Если производная в точке существует, но бесконечна: , то, как отмечалось в самом начале статьи, касательная станет вертикальной: . И поскольку нормаль проходит через точку параллельно оси , то её уравнение выразится «зеркальным» образом:
Всё просто:
Пример 3
Составить уравнения касательной и нормали к параболе в точке . Сделать чертёж.
Требование выполнить чертёж я не добавлял – так было сформулировано задание в оригинале. Хотя это редкость.
Решение : составим уравнение касательной . В данном случае
Казалось бы, расчёты пустяковые, а в знаках запутаться более чем реально:
Таким образом:
Поскольку касательная параллельна оси (Случай №1) , то нормаль, проходящая через ту же точку , будет параллельна оси ординат:
Чертёж – это, конечно же, дополнительные хлопоты, но зато добротная проверка аналитического решения:
Ответ : ,
В школьном курсе математики распространено упрощённое определение касательной, которое формулируется примерно так: «Касательная к графику функции – это прямая, имеющая с данным графиком единственную общую точку» . Как видите, в общем случае это утверждение некорректно. Согласно геометрическому смыслу производной , касательной является именно зелёная, а не синяя прямая.
Следующий пример посвящён тому же Случаю №1, когда :
Пример 4
Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке .
Краткое решение и ответ в конце урока
Случай №2, в котором на практике встречается редко, поэтому начинающие могут особо не волноваться и с лёгким сердцем пропустить пятый пример. Информация, выделенная курсивом, предназначена для читателей с высоким уровнем подготовки, которые хорошо разобрались с определениями производной и касательной , а также имеют опыт нахождения производной по определению :
Пример 5
Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке
Решение
:
в
критической
точке
знаменатель
производной
обращается
в ноль, и поэтому здесь нужно вычислить
односторонние производные
с
помощью определения производной (см.
конец статьи
Производная
по определению
):
Обе
производные бесконечны, следовательно,
в точке
существует
общая вертикальная касательная:
Ну,
и очевидно, что нормалью является ось
абсцисс. Формально по формуле:
Для
лучшего понимания задачи приведу
чертёж:
Ответ
:
Я рад, что вы не ушли бороздить просторы Интернета, потому что всё самое интересное только начинается! Чтобы осилить материал следующего параграфа, нужно уметь находить производную от неявно заданной функции :
Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана неявно?
Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения:
Пример 6
Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке .
Решение : судя по уравнению, это какая-то линия 3-го порядка , какая именно – нас сейчас совершенно не интересует.
В уравнении присутствует зловред , и поэтому перспектива выразить функция в явном виде выглядит весьма туманной.
Но этого и не требуется! Есть куда более остроумное решение. Уравнение касательной составим по той же формуле .
Из условия известны значения , кстати, не помешает убедиться, что они действительно удовлетворяют предложенному уравнению: Получено верное равенство, значит, с точкой всё в порядке.
Осталось вычислить . Сначала по стандартной схеме найдём производную от функции, заданной неявно :
Перепишем результат с более подходящим для нашей задачи обозначением:
На 2-м шаге в найденное выражение производной подставим :
Вот так-то!
Осталось аккуратно разобраться с уравнением:
Составим уравнение нормали:
Ответ :
Готово! А поначалу представлялось всё непросто. Хотя производная здесь, конечно, – место уязвимое. Миниатюра для самостоятельного решения:
Пример 7
Найти уравнение нормали к линии в точке
Хватит уже вымучивать касательную =)
В данном случае легко выяснить, что это окружность центром в точке радиуса и даже выразить нужную функцию . Но зачем?! Ведь найти производную от неявно заданной функции на порядок легче! Она тут чуть ли не самая примитивная.
Краткое решение и ответ в конце урока.
Как найти уравнение касательной и уравнение нормали, если функция задана параметрически?
Ещё проще. Но для этого нужно потренироваться в нахождении производной от параметрически заданной функции . А так – почти халява:
Пример 8
Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде , проведенные в точке, для которой .
Чертёж циклоиды можно найти на странице S и V, если линия задана параметрически (так получилось, что эта статья была создана раньше) . Там даже изображена точка касания.
Решение : абсцисса и ордината точки касания рассчитываются непосредственно из параметрических уравнений кривой:
Найдём 1-ую производную от параметрически заданной функции :
И вычислим её значение при :
Уравнение касательной составим по обычной формуле с поправкой на несколько другие обозначения:
Уравнение нормали:
Ответ :
В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной линией:
Пример 9
Составить уравнение нормали к полукубической параболе , проведенной в точке, для которой .
Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего расчётного геометрического макета .
Ну а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь, что изложенный материал прошёл для вас не по касательной, а нормально =)
Спасибо за внимание и успехов!
Решения и ответы :
Пример 2: Решение В данном случае: Таким образом: Уравнение нормали составим по формуле : Ответ :
Пример
4:
Решение
:
уравнение касательной составим по
формуле:
В
данной задаче:
Таким
образом:
В
точке
касательная
параллельна оси
,
поэтому соответствующее уравнение
нормали:
Ответ
:
Пример 7: Решение : в данной задаче: . Найдём производную: Или: Подставим в выражение производной : Искомое уравнение нормали: Ответ :
Пример 9: Решение : в данном случае: Найдём производную и вычислим её значение при : Уравнение нормали: Ответ :
Взято с сайта http://www.mathprofi.ru
Определение: нормалью к кривой у= ¦(х) в точке М 0 называется прямая, проходящая через точку М 0 и перпендикулярна касательной в точке М 0 к этой кривой.
Напишем уравнение касательной и нормали, зная уравнение кривой и координаты точки М 0 . Касательная имеет угловой коэффициент к= t g = ¦ , (х 0). Из аналитической геометрии известно, что прямая имеет уравнение у- у 0 = к(х – х 0).
Поэтому уравнение касательной: у - у 0 = ¦ , (х 0)(х – х 0); (1)
Угловой коэффициент нормали К н = (так как они перпендикулярны), но тогда уравнение нормали:
у- у 0 =(-1/ ¦ , (х 0)(х – х 0); (2)
Если в точке не существует производная, то в этой точке не существует и касательная.
Например, функция ¦(х)=|х| в точке х=0 не имеет производной.
lim D х ®0 (D у/ D х)= lim D х ®0 (| D х|/ D х)=
Односторонние пределы существуют, но lim D х ®0 (D у/ D х) не существует
Касательная тоже.
Такая точка называется угловой точкой графика.
§4. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
Справедлива следующая теорема о дифференцируемой функции.
Теорема: если функция у= ¦(х) имеет конечную производную в точке х 0, то функция непрерывна в этой точке.
Доказательство:
Т.к. в точке х 0 существует производная ¦ , (х 0), т.е. существует предел
lim D х ®0 (D у/ D х)= ¦ , (х 0), то D у/ D х= ¦ , (х 0)+ , где
Б.м.в., зависящая от D х. При D х®0, ®0, т.к. = (D у/ D х) - ¦ , (х 0) ®0 при D х®0
Отсюда имеем: D у= ¦ , (х 0) D х + D х.
Но тогда
Бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, поэтому ¦(х) непрерывна в точке х 0 .
Важно понять, что обратная теорема не верна!
Не всякая непрерывная функция является дифференцируемой.
Так, ¦(х) =|х| является непрерывной в точке х 0 =0, график – сплошная линия, но ¦ , (0) не существует.
§5. Производные постоянной, синуса, косинуса и степенной функции.
1. у= ¦(х) =с; у, = (с) , = 0; (1)
Доказательство:
а) в любой точке х ¦(х) = с
б) дадим х приращение D х, х + D х, значение функции ¦ (х + D х)= с;
в) ¦ (х + D х)- ¦(х)= с- с= 0;
г) D у/ D х= 0/ D х = 0
д) lim D х ®0 (D у/ D х)= lim D х ®0 0 = 0
2. у= sin х; у, = (sin х) , = cos х; (2)
Доказательство:
а) в любой точке х ¦(х) = sin х;
б) дадим х приращение D х, х + D х, значение функции
Приложения производной.
5.1.Геометрический смыл производной:
Рассмотрим график функции y = f (x ).
Из рисунка 1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: , где α - угол наклона секущей AB .
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B , то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС .
Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A, т.е. . Отсюда следует:Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке, т.е. .
1. Касательной к графику функции в точке (х 0; f(х 0) называется предельное положение секущей (АС).
Уравнение касательной : y – f (x 0) =
2. Прямая, перпендикулярная касательной (АС) в точке (х 0; f(х 0), называется нормалью к графику функции .
Уравнение нормали: y – f (x 0) =
Задача: Составить уравнения касательной и нормали, проведённых к графику функции y=10x-xв точке с абсциссой равной х 0 =2.
Решение:
1. Находим ординату точки касания: f(х 0)= f(2)=10∙2–2 2 =16,
2. Находим угловой коэффициент касательной: f " (х)= (10x-x) " =10-2х, = f " (2)=10–2∙2=6
3. Составляем уравнение касательной: y–16 = 6∙ (х-2), y–16 = 6х–12, y–6х–4 = 0 – уравнение касательной,
4. Составляем уравнение нормали: y –16 = , 6y –96 = –х+2, 6y+х–98=0 – уравнение нормали.
5.2. Физический смысл производной:
Определение. Скорость движения тела равна первой производной от пути по времени:
5.3. Механический смысл производной:
Определение . Ускорение движения тела равно первой производной от скорости по времени или второй производной пути по времени:
Задача: Определить скорость и ускорение точки, движущейся по закону в момент t=4c.
Решение:
1. Находим закон скорости: v= S"=
2. Находим скорость в момент t = 4c: v (t)= v (4)=2∙4 2 +8∙4=64 ед/сек
3. Находим закон ускорения: а=v′ =
4. Находим ускорение в момент t = 4c: а (t)= а(4)=4∙4+8=24 ед/сек 2
РАЗДЕЛ 1.3. Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях. Понятие дифференциала функции
Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy=ƒ"(х) ∙∆х (1).
Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.
Так как у"=х"=1, то, согласно формуле (1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.
Поэтому формулу (1) можно записать так: dy=ƒ"(х) ∙ dх (2)иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
Из формулы (2) следует равенство dy/dx=ƒ"(х).
Пример1: Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x 2 -sin(l+2x).
Решение: По формуле dy=ƒ"(х) dx находимdy=(3х 2 -sin(l+2x))"dx=(6х-2cos(l+2х))dx.
Пример2: Найти дифференциал второго порядка функции: y = x 3 –7x.
Решение:
РАЗДЕЛ 1.4. Первообразная. Неопределенный интеграл. Способы вычисления неопределенного интеграла.
Определение1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, дифференциал которой равен выражению f(x)dx. Пример : f(x) = 3х 2 3х 2 dx F(x) = х 3 .
Однако дифференциалу функции соответствует не единственная первообразная, а множество их. Рассмотрим на примере: F 1 (x) = х 3 , F 2 (x) = х 3 + 4, F 3 (x) = х 3 - 2, в общем виде F(x) + С, где С - произвольная константа. Значит для функции f(x)= 3х 2 существуют множество первообразных, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым.
Определение2. Множество всех первообразных функций f(x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом от функций f(x) на этом промежутке и обозначается символом ∫f(x)dx .
Этот символ читается так: “интеграл от f(x) по dx”, таким образом по определению:
∫ (x)dx = F(x)+C.
Символ ∫ называется знаком интеграла, f(x) – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, F(x) - какая-либо первообразная,
С - постоянная.
Основные свойства неопределенного интеграла:
1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.
d∫ f(x)dx = f(x)dx.
2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложенной с произвольной постоянной: ∫ d F(x) = F(x) + С
3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ∫ kf(x)dx = k∫ f(x)dx , k-const.
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от каждой из них: ∫ (f 1 (x)+f 2 (x)-f 3 (x))dx = ∫ f 1 (x)dx + ∫ f 2 (x)dx – ∫f 3 (x)dx .
Рассмотрим кривую, уравнение которой имеет вид
Уравнение касательной к данной кривой в точке имеет вид:
Нормалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку, перпендикулярную к касательной в этой точке.
Уравнение нормали к данной кривой в точке имеет вид:
(35)
Длина отрезка касательной, заключенного между точкой касания и осью абсцисс называется длиной касательной , проекция этого отрезка на ось абсцисс называется подкасательной .
Длина отрезка нормали, заключенного между точкой касания и осью абсцисс называется длиной нормали ,проекция этого отрезка на ось абсцисс называется поднормалью.
Пример 17
Написать уравнения касательной и нормали к кривой в точке, абсцисса которой равна.
Решение:
Найдем значение функции в точке :
Найдем производную заданной функции в точке
Ответ: Уравнение касательной:
Уравнение нормали:.
Пример 18
Написать уравнения касательной и нормали, длины касательной и подкасательной, длины нормали и поднормали для эллипса
в точке , для которой.
Решение:
Найдем как производную функции, заданной параметрически по формуле (10):
Найдем координаты точки касания : и значение производной в точке касания :
Уравнение касательной найдем по формуле (34):
Найдем координаты точкипересечения касательной с осью:
Длина касательной равна длине отрезка :
Согласно определению, подкасательная равна
Где угол – угол между касательной и осью. Поэтому,- угловой коэффициент касательной, равный
Таким образом, подкасательная равна
Уравнение нормали найдем по формуле (35):
Найдем координатыточкипересечения нормали с осью:
Длина нормали равна длине отрезка :
Согласно определению, поднормаль равна
Где угол – угол между нормалью и осью. Поэтому,- угловой коэффициент нормали, равный
Поэтому, поднормаль равна:
Ответ: Уравнение касательной:
Уравнение нормали:
Длина касательной ; подкасательная;
Длина нормали ; поднормаль
Задания 7. Написать уравнения касательной и нормали:
1. К параболе в точке, абсцисса которой
2. К окружности в точках пересечения её с осью абсцисс
3. К циклоиде в точке, для которой
4. В каких точках кривой касательная параллельна:
а) оси Оx; б) прямой
.
10. Промежутки монотонности функции. Экстремумы функции.
Условие монотонности функции:
Для того, чтобы дифференцируемая на функцияне возрастала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неположительна.
Для того, чтобы дифференцируемая на функцияне убывала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащихее производная была неотрицательна.
Промежутки, на которых производная функции сохраняет определенный знак, называются промежутками монотонности функции
Пример 19
Найти промежутки монотонности функции .
Решение:
Найдем производную функции .
Найдем промежутки знакопостоянства полученной производной. Для этого
разложим полученный квадратный трехчлен на множители:
Исследуем знак полученного выражения, используя метод интервалов.
Таким образом, получаем согласно (36), (37),что заданная функция возрастает на и убывает на.
Ответ: Заданная функция возрастает наи убывает на.
Определение Функция имеет в точкелокальный максимум (минимум) , если существует такая окрестность точки , что для всехвыполняется условие
Локальный минимум или максимум функции называетсялокальным экстремумом.
Необходимое условие существования экстремума .
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки. Если функцияимеет в точкеэкстремумом, то производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.
Точка называетсякритической точкой функции , если производнаяв точкелибо равна нулю, либо не существует.
Достаточные условия наличия экстремума в критической точке .
Пусть точка является критической.
Первое достаточное условие экстремума:
Пусть функция непрерывна в некоторой окрестноститочкии дифференцируема в каждой точке.
Точка является локальным максимумом, если при переходе через
производная функции меняет знак с плюса на минус.
Точка является локальным минимумом, если при переходе через
производная функции меняет знак с минуса на плюс.
Пример 20
Найти экстремумы функции .
Решение:
Найдем производную заданной функции
Приравнивая в полученной производной к нулю числитель и знаменатель, найдем критические точки:
Исследуем знак производной, используя метод интервалов.
Из рисунка видно, что при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в точке- локальный максимум.
При переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс.
Следовательно, в точке - локальный минимум.
При переходе через точку производная не меняет знак. Следовательно, критическая точкане является экстремумом заданной функции.
Ответ: - локальный максимум, - локальный минимум.
Второе достаточное условие экстремума:
Если первые производные функциив точкеравны нулю, а-ная производная функциив точкеотлична от нуля, то точкаявляется экстремумом функции, причем,
то -локальный минимум
то -локальный максимум.
Пример 21
Найти экстремумы функции, пользуясь второй производной .
Решение:
Найдем первую производную заданной функции
Найдем критические точки функции:
Точку мы не рассматриваем, так как функция определена только в левой окрестности.
Найдем вторую производную
Находим
Таким образом, на основании (39) делаем вывод о том, что при - локальный максимум.
Ответ: - локальный максимум.
Задания 8.
Исследовать на возростание и убывание функции:
2. |
3. |
|
Исследовать на экстремумы функции:
7 . | |||
8 . | |||
9 . | |||
Касательная - это прямая , которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции. Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами. Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.
Уравнение касательной выводится из уравнения прямой .
Выведем уравнение касательной, а затем - уравнение нормали к графику функции.
y = kx + b .
В нём k - угловой коэффициент.
Отсюда получаем следующую запись:
y - y 0 = k (x - x 0 ) .
Значение производной f "(x 0 ) функции y = f (x ) в точке x 0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M 0 (x 0 , y 0 ) , где y 0 = f (x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной .
Таким образом, можем заменить k на f "(x 0 ) и получить следующее уравнение касательной к графику функции :
y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .
В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде . Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.
Теперь об уравнении нормали. Нормаль - это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали :
(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0
Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет "холодным душем".
Пример 0. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции в точке M (1, 1) .
Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Найдём производную функции:
Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем
В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:
На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.
Следующий пример - тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг - приведение уравнения к общему виду.
Пример 2.
Решение. Найдём ординату точки касания:
Найдём производную функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
Подставляем все полученные данные в "формулу-болванку" и получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):
Составляем уравнение нормали:
Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
Найдём производную функции:
.
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Находим уравнение касательной:
Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного "причесать": умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
.
Найдём производную функции:
Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:
.
Получаем уравнение касательной:
Приводим уравнение к общему виду:
Составляем уравнение нормали:
Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали - не заметить, что функция, данная в примере, - сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры - уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).
Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .
Решение. Найдём ординату точки касания:
Внимание! Данная функция - сложная, так как аргумент тангенса (2x ) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции.