Правила дифференцирования ТЕОРЕМА 1. Дифференцирование суммы, произведения и частного. Если функции f и g дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемы f + g, f g, f /g (если g(x) 0) и при этом Пусть у = f g. 1) (f(х) + g(х))" = f "(х) + g "(х); 2) (f(х) g(х))" = f "(х)g(x) + f(x)g "(х); Доказательство. Приведем доказательство свойства 2. f = f (х + х) – f(x) f (х + х) = f(x) + f ; g = g (х + х) – g(x) g(х + х)= g(x)+ g. g "(х) f "(х) 0 при х 0 (В силу непр. диф-мой функции.)

ТЕОРЕМА 2. Дифференцирование сложной функции Пусть функция у = f(u) дифференцируема в точке u 0, у 0 = f(u 0), а функция u = (x) дифференцируема в точке x 0, u 0 = (x 0). Тогда сложная функция у = f ((x)) дифференцируема в точке x 0 и f " ((x 0)) = f " (u 0)· " (x 0) или ЗАМЕЧАНИЕ. Правило вычисления производной сложной функции распространяется на композицию любого конечного числа функций. Например: (f ((g(x))))" = f "((g(x))) "(g(x)) g"(x). Следствие. Если f (х) дифференцируема в точке х и С = const, то (С f(x))" = С f "(x); (f(x)/С)" = f "(x)/С.

Пример 1. y = cosx, х R. (cosx) = (sin(/2 – x)) = cos(/2 – x)·(/2 – x) = – sinx. y = tgx, х /2 + k, k Z. Используя теоремы 1 и 2, найдем производные тригонометрических функций y = ctgx, х + k, k Z.

ТЕОРЕМА 3. Дифференцирование обратной функции. Если у = f(x) непрерывна и строго монотонна на отрезке и имеет производную f "(x 0), тогда обратная к ней функция x = g(y) дифференцируема в точке у 0 = f(x 0), причем g "(y 0) = 1/ f "(x 0). x0x0 x 0 - x 0 + у0у0 x y x у у = f(x) x = g(y) Пусть у таково, что у 0 + у (,). Обозначим х = g(y 0 + у) – g(y 0). Нужно доказать, что существует 0 Доказательство. Пусть f(x) строго возрастает на .Пусть = f(x 0 -), = f(x 0 +). Тогда на [, ] определена обратная функция x = g(y), непрерывная и строго возрастающая, причем f(x 0) (,). Если у 0, то и х 0, в силу строгой монотонности функции. Поэтому имеем право записать тождество Если у, то и х, так как x = g(y) непрерывна в точке у 0.

Пример 2. Найдем производные обратных тригонометрических функций

0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title="Таблица производных элементарных функций 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " class="link_thumb"> 8 Таблица производных элементарных функций 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 x, х π/2 + πn, n ; 8)(ctg x) = - 1/ sin 2 x, х πn, n ; 9)10) 11)12) 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "> 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 x, х π/2 + πn, n ; 8)(ctg x) = - 1/ sin 2 x, х πn, n ; 9)10) 11)12)"> 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title="Таблица производных элементарных функций 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "> title="Таблица производных элементарных функций 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; 4). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 ">

Производная n-ого порядка ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть f(x) определена в U (x 0) и имеет производную f (x) в каждой точке этого интервала. Если в точке х 0 существует производная от f (x), то она называется второй производной от функции f(x) в этой точке и обозначается Аналогично определяется производная f (n) (x) любого порядка n =1, 2, … Если в U (x 0) существует f (n-1) (x) (при этом под производной нулевого порядка подразумевается сама функция), то n = 1, 2, 3, …. Функцию, имеющую в каждой точке множества Х производные до n-ого порядка включительно, называют n раз дифференцируемой на множестве Х.

Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке х производные n-ого порядка. Тогда функция Аf(x) + Вg(x), где А и В постоянные, также имеет производную в точке х, причем (Аf(x) + Вg(x)) (n) = Аf (n) (x) + Вg (n) (x). При вычислении производных любого порядка часто используют следующие основные формулы. y = x ; y (n) = (-1)… (- (n-1)) x - n. y = x -1, y = (-1)x -2, y = (-1)(-2) x -3 … В частности, если = m N, то y = a x ; y (n) = a x (lna) n. y =a x lna, y = a x (lna) 2, y = a x (lna) 3, … В частности (е x) (n) = е х. y " = ((x + a) - 1)" = - (x+a) - 2, y "" = 2 (x + a) - 3,y """ = (x + a) - 4, …

Y = ln(x+а); y (n) = (–1) n–1 (n–1)!(x+а) –n. y = (x +а) –1, y = – (x +а) –2, y = 2(x +а) –3, y (4) = – 2·3(x +а) – 4, … y = sin αx; y (n) = α n sin(αx+n· /2) y = α cos αx = α sin(αx+ /2), y = α 2 cos(αx+ /2) = α 2 sin(αx+2· /2), y = α 3 cos(αx + 2· /2) = α 3 sin(αx+3· /2), … y = cos αx; y (n) = α n cos(αx+n· /2) y = – α sin αx = α cos(αx+ /2), y = – α 2 sin(αx+ /2) = α 2 cos(αx + 2· /2), y = – α 3 sin(αx+2· /2) = α 3 cos(αx + 3· /2),...

N-ая производная произведения двух функций (формула Лейбница) где Эта формула называется формулой Лейбница. Она может быть записана в виде где Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке х производные n-ого порядка. По индукции можно доказать, что (f(x) g(x)) (n) = ?
Пример 5. y = (x 2 +3x+5) sin x, y (13) = ? = sin(x +13π /2) (x 2 +3x+5) + 13 sin (x +12π /2) (2x+3) + 78 sin (x +11π /2) 2 = = cos x (x 2 +3x+5) + 13 sin x (2x+3) + 78 (- cos x) 2 = = (x 2 +3x -151) cos x + 13 (2x+3) sin x. Применим формулу Лейбница, положив в ней f(x) = sin x, g(x) = (x 2 +3x+5). Тогда

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Производные элементарных функций. Урок обобщающего повторения 11 класс Круглова А.Н., учитель математики ГБОУ СОШ № 186

Цели урока 1. Обобщить и закрепить понятие производной. 2. Повторить понятие предела функции и ее непрерывности, понятие производной. 3. Повторить правила дифференцирования, производные степенной и некоторых элементарных функций. 4. Применить данные знания при дифференцировании. 5. Реализация индивидуального режима работы.

Историческая справка. Термин « функция » впервые был употреблен в 1692 г. немецким математиком Г.Лейбницем. В 1748 г. Л.Эйлер определение функции и ввел символ f(x). В 1834 г. Н.И.Лобачевский дал определение функции на основе идеи соответствия двух числовых множеств. В 1837 г. немецкий математик П.Дирихле сформулировал обобщенное понятие функции: «у является функцией переменной х на отрезке , если каждому значению х соответствует определенное значение у, причем не важно, каким образом установлено это соответствие – формулой, графиком, таблицей или словесным описанием». Первое определение предела дал английский математик Д.Валлис (1616-1703). Метод пределов получил свое развитие в работах английского ученого И.Ньютона (1643-1727), он же ввел символ lim. Существенный вклад в развитие дифференциального исчисления внесли французские ученые П.Ферма (1601-1665) и Р.Декарт (1596-1650). Ньютон пришел к понятию производной, решая задачи механики, связанные с нахождением мгновенной скорости. Термин «производная» ввел в 1800 г. французский математик Л.Арбогаста (1759-1803). Обозначение производной y’ и f(x)’ ввел французский математик Ж.Лагранж (1736-1813). Существенным приближением теории дифференциального исчисления к ее современному изложению стали работы французского математика О.Коши (1789-1857).

Предел функции. Построить графики функций 1) у = х + 1 2) х ² - 1 х – 1 при х 1 у = 3 при х = 1 3) у = (х ² - 1) : (х – 1) Ответить на вопросы а) Чем являются графики функций? Прямыми б) Через какие точки на осях координат проходят графики? (0;1) и (-1;0) в) Чем отличаются графики? Второй и третий графики с «выколотой» точкой (1 ; 2) , но на втором графике при х = 1 значение функции равно 3.

Графики функций. у у у х х х 1 2 3

Вывод Общее свойство функций при значениях х, близких к 1 ? Значения каждой из функций мало отличается от 2. Следовательно, каждая из этих функций имеет в точке х = 1 предел, равный 2. Как это записать? Однако для первой функции lim y(x) = y(1) = 2 Для второй функции lim y(x) ≠ y(1) , для третьей функции у(1) не существует. Первую функцию называют непрерывной, а вторую и третью функции – разрывными в точке х = 1. lim y(x) = 2 x 1

Определение производной Производной функции f(x) в точке х 0 называется предел разностного отношения f(x 0 + h) – f(x 0) h при h → 0: ƒ‘(x 0) = lim Операция нахождения производной называется дифференцированием. 0 h

Производная степенной и некоторых элементарных функций. (Найти в правой части продолжение формул) (х ⁿ) " = 1 2 3 4 5 6 () ‘ = 1 2 3 4 5 6 3. (ln x)’ = 1 2 3 4 5 6 4. (sin x)‘ = 1 2 3 4 5 6 (cos x)’ = 1 2 3 4 5 6 Продолжим = cos x = - sin x = = tg x = 1/x = nx ⁿˉ¹

Решить примеры 1) (x ³)’ = 2) (2 x)’ = 3) ()’ = 4) (lnx)’ = 5) (-4 lnx)’ = 6) (3)’ = 7) (5 cosx)’ = 8) (0.3 sinx)’ = 3x ² 2 - 10 x ˉ ³ 1 / x - 4 / x 3 e - 5 sinx 0.3 cosx

Правила дифференцирования. Производная суммы (f(x) + g(x))’ = = f’(x) – g’(x) = f’(x) + g’(x) = f’(x) * g’(x) Постоянный множитель (cf(x))’ = = c + f’(x) = f’(x) – c = cf’(x) Производная произведения (f(x) ·g(x))’ = f’(x)·g(x) + f(x)·g’(x) = f’(x) ·g’(x) = f’(x) ·g(x) Производная частного (f(x)/g(x))’ = f’(x)/g’(x) = (f’(x) ·g(x) - f(x)·g’(x)) / g²(x) = f’(x) ·g(x) – f(x)·g’(x) Продолжим урок.

Cлайд 1

Cлайд 2

Cлайд 3

Cлайд 4

Cлайд 5

Cлайд 6

Cлайд 7

Cлайд 8

Cлайд 9

Cлайд 10

Cлайд 11

Cлайд 12

Cлайд 13

ПРОИЗВОДНАЯ

МОУ Среднесантимирская СОШ

Выполнена учителем математики

Сингатулловой Г.Ш.

• Определение производной.
• Физический смысл производной.
• .

• Основные правила дифференцирования.
• Производная сложной функции.
• Примеры решения задач по теме производная.

Определение производной

Пусть на некотором интервале (a, b) определена функция y= f(x). Возьмем любую точку x 0 из этого интервала и зададим аргументу x в точке x 0 произвольное приращение ∆ x такое, что точка x 0 + ∆ x принадлежит этому интервалу. Функция получит приращение

Производной функции y= f(x) в точке x =x 0 называется предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к приращению аргумента ∆x , при стремлении приращения аргумента к нулю.

Геометрический смысл производной

Пусть функция y= f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

Где  - угол наклона касательной функции f(x) в точке (x 0 , f(x 0)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

Уравнение касательной к кривой:

Физический смысл производной 1. Задача об определении скорости движения материальной частицы

Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону s= s(t), где s- пройденный путь, t- время, и необходимо найти скорость точки в момент t 0 .

К моменту времени t 0 пройденный путь равен s 0 = s(t 0), а к моменту (t 0 + ∆t) – путь s 0 + ∆s=s(t 0 +∆t).

Тогда за промежуток ∆t средняя скорость будет

Чем меньше ∆t, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент t 0 . Поэтому под скоростью точки в момент t 0 следует понимать предел средней скорости за промежуток от t 0 до t 0 +∆t, когда ∆t⇾0 , т.е.

2. ЗАДАЧА О СКОРОСТИ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ

Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества Q изменяется в течение реакции в зависимости от времени t и является функцией от времени. Пусть за время ∆t количество вещества изменяется на ∆Q , тогда отношение будет выражать среднюю скорость химической реакции за время ∆t, а предел этого отношения

Скорость химической реакции в данный момент

времени t.

3. ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА

Если m- масса радиоактивного вещества и t- время, то явление радиоактивного распада в момент времени t при условии, что масса радиоактивного вещества с течением времени уменьшается, характеризуется функцией m= m(t).

Средняя скорость распада за время ∆t выражается отношением

а мгновенная скорость распада в момент времени t

АЛГОРИТМ вычисления производной

Производная функции y= f(x) может быть найдена по следующей схеме:

1. Дадим аргументу x приращение ∆x≠0 и найдем наращенное значение функции y+∆y= f(x+∆x).

2. Находим приращение функции ∆y= f(x+∆x) - f(x).

3. Составляем отношение

4. Находим предел этого отношения при ∆x⇾0, т.е.

(если этот предел существует).

Основные правила дифференцирования

Пусть u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции в точке x.

1) (u  v)  = u   v 

2) (uv)  = u  v +uv 

(cu)  = cu 

3) , если v  0

Производная сложной функции

Теорема. Если функция дифференцируема в точке x, а функция

дифференцируема в соответствующей точке, то сложная функция дифференцируема в точке x, причем:

т.е. производная сложной функции равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по x.

Задача 1.

Задача 2 .

Задача 3 .

Задача 4 .

Задача 5 .

Задача 6 .

Задача 7 .

Задача 8 .